菱形性质
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高效上好每节课·快乐上好每天学
D
边
菱形的两组对边平行且相等 菱形的四条边相等 菱形的两组对角分别相等
A
B
O
C
数学语言
角
∵四边形ABCD是菱形
菱形的邻角互补
对角线
DCA= ∠ BCA ∠∠ ADC= ∠ ABC ∥CD∠CDB AB ∠ADB= 菱形的 两条对角线互相平分 ∠ABD=∠CBD AC⊥BD
2、已知：如图, 四边形ABCD是边长为13cm的菱形, 其中 对角线BD长10cm. A 求: (1)对角线AC的长度 (2)菱形的面积 解: (1) ∵四边形ABCD是菱形, ∴∠AED=90°,
B
E
D
1 1 DE BD 10 5cm . 2 2
AE AD 2 DE 2
A
菱形的性质1： 菱形的四条边都相等.
B
C
D
又： 菱形的性质2： 菱形的两条对角线互相垂直，并 且每一条对角线平分一组对角.
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A
菱形的性质2： 菱形的两条对角线互相垂直，并 且每一条对角线平分一组对角.
B C
D
符号语言 ∵四边形ABCD是菱形 ∴ AC⊥BD AC平分∠BAD和∠BCD ； BD平分∠ABC和∠ADC
2 2
13 5 12 cm .
C
∴AC=2AE=2×12=24(cm).
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求: (2)菱形的面积 A 解：(2) 菱形ABCD的面积 =△ABD的面积+△CBD的面积
=2×△ABD的面积 1 2 BD AE 2 1 2 10 12 120 cm 2 . 2
在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变边 的长度，能否得到一个特殊的平行四边形？
平行四边形
邻边相等
菱形
有一组邻边相等的平行四边形叫菱形.
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菱形具有工整,匀称,美观等许多优点,常被人们用 在图案设计上.
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(1) 观察得到的菱形, 它是轴对称图形吗? 如果是，有几条对称轴? 对称轴之间有什么位置关系?
A
菱形是轴对称图形
2条对称轴，对称轴互相垂直平分
B C
D
(2)从图中你能得到哪些结论? 并说明理由. 提示:从边、角、对角线等 方面来探讨
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符号语言 ∵四边形ABCD是菱形 菱形的性质： ∴AB=BC=CD=AD 菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质. 由于平行四边形的对边相等，而菱形 的邻边相等，故：
∥ ∴ AD BC ∴ ∠ ∴ DAB+ ∠ DAC= ∠ ABC= ∠BAC 180° ∴ AB=BC=CD=DA ∴OA=OC;OB=OD ∠DAB= ∠ DCB ∴ =
=
菱形的两条对角线互相垂直平分， 并且每一条对角线平分一组对角.
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证一证
已知：如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O. 求证：AC⊥BD ； AC平分∠BAD和∠BCD ； BD平分∠ABC和∠ADC . 证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=AD（菱形的四条边都相等） 在△ABD中， BO=DO A O D
第十八章 平行四边形
18.2.2 菱形
—菱形的性质及判定定理
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新知探究
前面我们学习了平行四边形和矩形，知道如果 平行四边形有一个角是直角时, 成为什么图形 ?
矩形, 由角变化得到
如果从边的角度,将平行四边形特殊化,又会得 到什么特殊的四边形呢?
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D
C
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由此可进一步推导得出： 对角线互相垂直的四边形的面积都等于两条 对角线乘积的一半.
D B O A E
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课堂小结
1.你的收获是什么？你的困惑是什么？ 2.你会用类比的学习方法学习特殊四边形知识吗？
作业
教材P58，练习第2、3题．
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课堂小结
四边形集合 平行四边形集合 菱形集合 矩形集合
结束
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∴AC⊥BD，AC平分∠BAD B 同理： AC平分∠BCD； BD平分∠ABC和∠ADC
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C
随堂练习
1、如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点， 且∠B=∠ EAF=60°, ∠ BAE=18°, 求∠ CEF的度数.
A
D
B
F E C
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D
边
菱形的两组对边平行且相等 菱形的四条边相等 菱形的两组对角分别相等
A
B
O
C
数学语言
角
∵四边形ABCD是菱形
菱形的邻角互补
对角线
DCA= ∠ BCA ∠∠ ADC= ∠ ABC ∥CD∠CDB AB ∠ADB= 菱形的 两条对角线互相平分 ∠ABD=∠CBD AC⊥BD
2、已知：如图, 四边形ABCD是边长为13cm的菱形, 其中 对角线BD长10cm. A 求: (1)对角线AC的长度 (2)菱形的面积 解: (1) ∵四边形ABCD是菱形, ∴∠AED=90°,
B
E
D
1 1 DE BD 10 5cm . 2 2
AE AD 2 DE 2
A
菱形的性质1： 菱形的四条边都相等.
B
C
D
又： 菱形的性质2： 菱形的两条对角线互相垂直，并 且每一条对角线平分一组对角.
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A
菱形的性质2： 菱形的两条对角线互相垂直，并 且每一条对角线平分一组对角.
B C
D
符号语言 ∵四边形ABCD是菱形 ∴ AC⊥BD AC平分∠BAD和∠BCD ； BD平分∠ABC和∠ADC
2 2
13 5 12 cm .
C
∴AC=2AE=2×12=24(cm).
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求: (2)菱形的面积 A 解：(2) 菱形ABCD的面积 =△ABD的面积+△CBD的面积
=2×△ABD的面积 1 2 BD AE 2 1 2 10 12 120 cm 2 . 2
在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变边 的长度，能否得到一个特殊的平行四边形？
平行四边形
邻边相等
菱形
有一组邻边相等的平行四边形叫菱形.
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菱形具有工整,匀称,美观等许多优点,常被人们用 在图案设计上.
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(1) 观察得到的菱形, 它是轴对称图形吗? 如果是，有几条对称轴? 对称轴之间有什么位置关系?
A
菱形是轴对称图形
2条对称轴，对称轴互相垂直平分
B C
D
(2)从图中你能得到哪些结论? 并说明理由. 提示:从边、角、对角线等 方面来探讨
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符号语言 ∵四边形ABCD是菱形 菱形的性质： ∴AB=BC=CD=AD 菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质. 由于平行四边形的对边相等，而菱形 的邻边相等，故：
∥ ∴ AD BC ∴ ∠ ∴ DAB+ ∠ DAC= ∠ ABC= ∠BAC 180° ∴ AB=BC=CD=DA ∴OA=OC;OB=OD ∠DAB= ∠ DCB ∴ =
=
菱形的两条对角线互相垂直平分， 并且每一条对角线平分一组对角.
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证一证
已知：如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O. 求证：AC⊥BD ； AC平分∠BAD和∠BCD ； BD平分∠ABC和∠ADC . 证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=AD（菱形的四条边都相等） 在△ABD中， BO=DO A O D
第十八章 平行四边形
18.2.2 菱形
—菱形的性质及判定定理
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新知探究
前面我们学习了平行四边形和矩形，知道如果 平行四边形有一个角是直角时, 成为什么图形 ?
矩形, 由角变化得到
如果从边的角度,将平行四边形特殊化,又会得 到什么特殊的四边形呢?
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D
C
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由此可进一步推导得出： 对角线互相垂直的四边形的面积都等于两条 对角线乘积的一半.
D B O A E
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课堂小结
1.你的收获是什么？你的困惑是什么？ 2.你会用类比的学习方法学习特殊四边形知识吗？
作业
教材P58，练习第2、3题．
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课堂小结
四边形集合 平行四边形集合 菱形集合 矩形集合
结束
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∴AC⊥BD，AC平分∠BAD B 同理： AC平分∠BCD； BD平分∠ABC和∠ADC
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C
随堂练习
1、如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点， 且∠B=∠ EAF=60°, ∠ BAE=18°, 求∠ CEF的度数.
A
D
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