黑龙江省海林市朝鲜族中学人教高中数学选修1-1同步练习：2.2.2 双曲线的简单几何性质2 Word含解析

第2课时 双曲线的简单几何性质(2)A
一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分) 1．双曲线x 24－y 2
8＝1的离心率是( )
A ．2 B. 3 C.
62 D.33 2．设双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为2，焦距为2 3，则双曲线的渐近线方程
为( )
A ．y ＝±2x
B ．y ＝±2x
C ．y ＝±22x
D ．y ＝±12
x
3．若双曲线y 25－x 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±5
3x ，则双曲线焦点F 到渐近线的距离为
( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
4．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )
A. 6
B. 5
C.
62 D.5
2
5．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴
的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2为正三角形，则该双曲线的离心率为( )
A ．2 B. 2 C ．3 D. 3
6．已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过
F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是钝角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )
A ．(1，＋∞)
B ．(1，2)
C ．(1，1＋2)
D ．(2，＋∞)
7．已知双曲线H ：x 23－y 2
6＝1，斜率为2的动直线l 交H 于A ，B 两点，则线段AB 的中
点在一条定直线上，这条定直线的方程为( )
A ．x ＋y ＝0
B ．x －y ＝0
C ．x ＋2y ＝0
D ．x －2y ＝0
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
8．双曲线x 2a 2－y 29＝1的离心率e ＝5
4
，则其两条渐近线方程为________．
9．双曲线x 29－y 2
16＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的
直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．
10．设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点．若|PF 1|
＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为________．
11．过P (8，3)作双曲线9x 2－16y 2＝144的弦AB ，且P 为弦AB 的中点，那么直线AB 的方程为______________．
三、解答题(本大题共2小题，共25分)
12．(12分)已知点A (－3，0)和B (3，0)，动点C 到A ，B 两点的距离之差的绝对值为2，点C 的轨迹与直线y ＝x －2交于D ，E 两点，求线段DE 的长．
13．(13分)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，且双曲线C 经过点(2，
6)．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)已知直线x －y ＋m ＝0与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2
＋y 2＝5上，求m 的值．
第2课时 双曲线的简单几何性质(2)A
1．B [解析] 由双曲线离心率的定义可得，x 24－y 28＝1的离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝12
2＝
3.
2．C [解析] 由题意知2b ＝2，2c ＝2 3，所以b ＝1，c ＝3，a ＝c 2－b 2＝2，故双曲线的渐近线方程为y ＝±2
2
x ，选C .
3．B [解析] 由双曲线的渐近线方程为y ＝±5
3x 可知m ＝9，∴F(0，±14)，其到y
＝±
53x 的距离d ＝|314|14
＝3. 4．D [解析] 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a>0，b>0)，所以其渐近线方程为y ＝±
b a x ，因为点(4，－2)在渐近线上，所以b a ＝12.又
c 2＝a 2＋b 2
，所以可得c 2－a 2a 2＝14，所以e 2＝54，所以e ＝
5
2
，故选D . 5．D [解析] ∵△ABF 2为正三角形，∴||F 1F 2＝32||AF 2，∴||AF 2＝4c 3，||AF 1＝2c
3
，∴2a ＝||AF 2－||AF 1＝
2c 3
，∴e ＝c
a ＝ 3.
6．D [解析] ∵双曲线关于x 轴对称，且直线AB 垂直于x 轴，∴∠AEF ＝∠BEF ，∵△ABE 是钝角三角形，∴∠AEB 是钝角，即有|AF|＞|EF|，∵F 为左焦点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，∴|AF|＝b 2a ，∵|EF|＝a ＋c ，∴b 2
a ＞a ＋c ，即c 2－ac －2a 2
＞0，由e ＝c
a ，可得e 2－e －2＞0，解得e ＞2或e ＜－1(舍去)，则双曲线的离心率e 的取值
范围是(2，＋∞)．
7．B [解析] 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 中点为M(x 0，y 0)，则x 213－y 216＝1，x 223－y 22
6
＝1，
两式相减，可得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）3＝（y 1＋y 2）（y 1－y 2）6，即y 1－y 2x 1－x 2＝2·x 1＋x 2y 1＋y 2，又
y 1－y 2
x 1－x 2＝2，y 1＋y 2＝2y 0，x 1＋x 2＝2x 0，则2·2x 0
2y 0＝2，即x 0＝y 0，即x 0－y 0＝0，故线段AB 的中点
在直线x －y ＝0上．
8．y ＝±34x [解析] 双曲线x 2a 2－y 29＝1，∴b ＝3，又双曲线的离心率e ＝c
a ＝
1＋b 2
a
2＝
1＋9a 2＝54，解得a ＝4，∴双曲线的两条渐近线方程为y ＝±b a x ＝±3
4x. 9.
3215 [解析] 双曲线右顶点A(3，0)，右焦点F(5，0)，双曲线一条渐近线的斜率是43
，则直线FB 的方程是y ＝43(x －5)，与双曲线方程联立解得点B 的纵坐标为－3215，故△AFB 的
面积为12×|AF||y B |＝12×2×3215＝32
15
.
10.3 [解析] 不妨设|PF 1|>|PF 2|，由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝4a ，|PF 2
|＝2a.∵2a<2c ，∴∠
PF 1F 2＝30°，∴cos 30°＝（2c ）2＋（4a ）2－（2a ）2
2×2c ×4a ，整理得，c 2＋3a 2－2 3ac ＝0，即
e 2－2 3e ＋3＝0，∴e ＝ 3.
11．3x －2y －18＝0 [解析] 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由P(8，3)为弦AB 的中点，可
得x 1＋x 2＝16，y 1＋y 2＝6，又9x 21－16y 21＝144，9x 22－16y 2
2＝144，
两式相减，可得9(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－16(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，即为9(x 1－x 2)－6(y 1－y 2)＝0，可得k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝32，则直线
AB 的方程为y －3＝3
2
(x －8)，即3x －2y －18＝0.
12．解：根据双曲线的定义，可知C 的轨迹方程为x 2－y
22
＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，x 2－y 22＝1，得x 2＋4x
－6＝0.设D(x 1，y 1)，E(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝－6，∴||DE ＝（1＋1）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝45，∴线段DE 的长为4 5.
13．解：(1)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧
4a 2－6
b 2
＝1，c 2
＝a 2
＋b 2
，c a ＝3，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧a 2
＝1，b 2
＝2，∴双曲线C 的方程是x 2
－y 2
2＝1.
(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪
⎧x －y ＋m ＝0，x 2－y 22＝1，消去y 得x 2－2mx －m 2－2＝0，∴AB
的中点坐标是x 0＝x 1＋x 2
2＝m ，y 0＝2m ，又∵(m ，2m)在圆x 2＋y 2＝5上，∴m 2＋(2m)2＝5，
解得m ＝±1.。