专题04 数列(新高考地区专用)(原卷版)

专题04 数 列
一．等比数列前n 项和规律
二．单一条件口算结果-----实质考查等比或等差中项
1.无论是等差还是等比数列，如果只知道一个条件是取法确定具体的数列，那么可以处理为非0的常数数列，因为非0的常数数列即是等差也是等比数列。

（常数数列：每一项都是相同的）
三．公式法口算通项----a n =S n -S n-1(n ≥2)
四．口算错位相减法的结果
n
n n 1
n (1)a (dn t)q 2n d A 1q S Bq (An B)q A t B 1q +⎧⎪=+⇒⎨
⎪⎩⎧=⎪-⎪∴=-+⇔⎨
+⎪=⎪-⎩
乘法模型，除的话改成乘法
通项公式：（）指数函数的指数为，非n 变成n
五．斐波那数列---黄金分割数列---
4. 数列特点：0 1 1 2 3 5 8 13 21 34...
三个数据为一组，第一数据为偶数，第二、三个数据为奇数
技巧1 等比数列前n 项和规律
【例1】（2020·福建省厦门第六中学）已知等比数列的前n 项和()232n
n S λλ=+-⋅（λ为常数），则
λ=（ ）
A ．
B ．1-
C ．1
D ．2
【举一反三】
1．（2020·安徽含山（理））已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝3n +2+3t ，则t ＝（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．﹣3 D ．﹣9
2．（2020·安徽屯溪一中）已知等比数列的前n 项和为1
1
36n n S x -=⋅-
，则x 的值为( ) A ．
13
B ．13
-
C ．
12
D ．12
-
技巧2 单一条件口算结果
【例2-1】（1）（2020·宁夏高三其他（文））n S 为等差数列的前n 项和，若150S =，则8a =（ ）. A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2
（2）（2020·山西省长治市第二中学校高三月考（理））已知各项为正数的等比数列满足2589a a a =﹐则的值为（ ） A ．73
B ．
83
C ．3
D ．
【例2-2】（2020·河南）已知等差数列，的前n 项和分别为n S 和n T ，且，则7
6
a b =（ ） A ．67
B ．
C ．
D ．
【举一反三】
1．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S = A ．5 B ．
C ．9
D ．11
2．（2020·广东云浮·）在正项等比数列中，若63a =，则（ ）． A ．5 B ．6 C ．10 D ．11
3．（2020·浙江宁波）已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，2588b b b =，则48
37
sin a a b b +的值是（ ） A ．12
B ．12
-
C ． D
．
4．（2020·全国高三其他（理））已知数列，为等差数列，其前n 项和分别为n S ，n T ，，则5
9
a b =（ ） A ．
B ．
C ．
D ．2
技巧3 公式法口算通项
【例3】（2020·南京市秦淮中学高三其他）已知数列的前n 项和，则数列的通项公式为______．
【举一反三】
1．（2020·湖南湘潭·高考模拟（文））已知数列{}n a 的前n 项和公式为2
21n S n n =-+，则数列{}
n a 的通项公式为___．
2．（2020·山西大同·高三一模（文））已知n S 为数列的前n 项和，若，则数列的通项公式为___________.
技巧4 错位相减法口算结果
【例4】（2020·江西东湖·南昌二中高三其他（文））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(n ，
*)()n S n N ∈在函数2y x 的图象上，数列{}n b 满足1110
,363
n n b b b +=
=+， （1）求{}n a 的通项公式；
（2）若，求数列{}n c 的前n 项和n T ．
【举一反三】
1．（2020·河南高三其他（文））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(1)
2
n n n n S a --=． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）如果数列，求数列{}n n a b 的前n 项和n T ．
2．（2019·甘肃天水·高考模拟（文））在正项等比数列{n a }中，11a =且3542,,3a a a 成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若数列{n b }满足n n
n
b a =
，求数列{n b }的前n 项和n S ．
技巧5 斐波那数列
【例5】（2020·吉林前郭尔罗斯县第五中学）“斐波那契”数列是由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的．数列中的一系列数字常被人们称为神奇数．具体数列为：1，1，2，3，5，8，13，…，即从该数列的第三项开始，每个数字都等于前两个相邻数字之和．已知数列为“斐波那契”数列，n S 为数列的前n 项和，若2020a m =，则2018S =（ ） A ．2m B ．
C ．1m -
D ．1m +
【举一反三】
1．（2020·河北高三月考）数列1、1、2、3、5、8、13、21、34、称为斐波那契数列，是意大利著名数学家斐波那契于1202年在他撰写的《算盘全书》中提出的，该数列的特点是：从第三项起，每一项都等于它前面两项的和.在该数列的前2020项中，偶数的个数为（ ） A ．505 B ．673
C ．674
D ．1010
2．（2019·福建高三（理））斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”.如图，矩形ABCD 是以斐波那契数为边长的正方形拼接而成的，在每个正方形中作一个圆心角为90︒的圆弧，这些圆弧所连成的弧线就是斐波那契螺旋线的一部分.在矩形ABCD 内任取一点，该点取自阴影部分的概率为（ ） A ．
8
π B ．
4
π C ．
14
D ．
34
1．（2020·湖北黄州·黄冈中学高三其他（理））已知数列为等差数列，n S 为其前n 项和，
6353a a a +-=，则7S =（ ）
A ．42
B ．21
C ．
D ．3
2．（2020·甘肃高三其他（文））已知等比数列{}n a 的前n 项和为2n
n S a =+，则a=（ ）
A ．0
B ．
C ．1-
D ．1
3．（2020·辽源市田家炳高级中学校高二期末（理））斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，画出来的螺旋曲线.如图，白色小圆内切于边长为1的正方形，黑色曲线就是斐波那契螺旋线，它是依次在以1，2，3，5为边长的正方形中画一个圆心角为90︒的扇形，将其圆弧连
接起来得到的.若在矩形
ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ） A ． B ． C ． D ．
4．（2020·安徽高三月考（理））裴波那契数列（Fibonacci sequence ）又称黄金分割数列，因为数学家列昂纳多·裴波那契以兔子繁殖为例子引入，故又称为“兔子数列”，在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列满足：121a a ==，21++=+n n n a a a ，现从该数列的前40项中随机抽取一项，则能被3整除的概率是（ ） A ．14
B ．
13
C ．
12
D ．
23
5．（2020·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三（文））意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子.假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……，
这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是12(3,Ν)n n n a a a n n *
--=+≥∈，其中11a =，21a =.若从
该数列的前100项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（ ） A ．13
B ．
C ．
12
D ．
8．（2020·江西高三（文））意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子.假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……，这就是著名的斐波那契数列，它
的递推公式是()
*
123,n n n a a a n n N --=+≥∈，其中11a =，21a =.若从该数列的前120项中随机地抽取
一个数，则这个数是奇数的概率为（ ）
A ．13
B ．
23
C ．
12
D ．
34
7．（2020·嘉祥县第一中学高三其他）设数列{}n a ，{}n b 均为等差数列，它们的前n 项和分别为n S ，
n T ，若，则
5
5
a b =（ ） A ．
719
B ．
C ．
D ．
8．（2020·合肥一六八中学高三其他（理））已知数列{}n a 为等差数列，且满足251115a a a ++=，则数列{}n a 的前11项和为（ ） A ．40 B ．45
C ．50
D ．55
9．（2019·河南高二月考）两等差数列，的前n 项和分别为n S ，n T ，且，则8
5
(a b = ) A ．45
B ．
67
C ．
89
D ．2
10．(多选）（2020·福建省永泰县第一中学高三月考）斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为(){}
F n ，则(){}
F n 的通项公式为（ ）
A ．(1)1()2
n n
F n -+=
B ．且()()11,21F F ==
C ．(
)n n
F n ⎡⎤⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦
D ．(
)1122n n
F n ⎡⎤⎛⎫⎛⎥=+ ⎪ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎭⎦
12．（2020·福建漳州·高三其他（文））若n S 是等差数列的前n 项和，且918S =，则5a =__________.
13．（2020·陕西渭南·（理））已知数列{a n }的前n 项和S n =n (n +1)+2,其中,则a n =_____.
14．（2020·湖北高三月考（理））设n S 为数列的前n 项和，若257n n S a =-，则n a =____
15．（2020·浙江高三其他）已知数列的前n 项和，则1a =____________；数列的通项公式为
n a =____________．
16．（2020·浙江高三月考）十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契从兔子繁殖规律中发现了“斐波那契数列”，斐波那契数列满足以下关系：11a =，21a =，，记其前n 项和为n S ，设2020a m =(m 为常数)，则______；______.
17．（2020·陕西西安中学）斐波那契数列(Fibonaccisequence)，又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多斐波那契(LeonardodaFibonacci)以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.它是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55……在数学上，斐波那契数列以如下递推的方法定义：a 1=1，
a 2=1，n n 1n 2a a a --=+(n ≥3，n ∈N *)，记其前n 项和为S n ，设a 2019=t (t 为常数)，则
2017201620152014S S S S +--＝________(用t 表示)，20172019S a -=________(用常数表示).
18．（2020·全国高三其他（理））已知数列的前n 项和为n S ，且． （1）求的通项公式；
（2）若()21n n b n a =-，求数列的前n 项和n T ．
19．（2020·河南高二其他（文））设等差数列的前n 项和为n S ，且424S S =，2121a a =+. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足()214
n n n
a b -=
， 求数列的前n 项和n R .。