课时作业2：4.1.3 独立性与条件概率的关系

4.1.3 独立性与条件概率的关系
基础达标
一、选择题
1.若P (AB )＝19，P (A －
)＝23，P (B )＝1
3，则事件A 与B 的关系是( )
A.事件A 与B 互斥
B.事件A 与B 对立
C.事件A 与B 相互独立
D.事件A 与B 既互斥又独立 解析 ∵P (A )＝1－P (A －
)＝1－23＝1
3，
∴P (AB )＝P (A )P (B )，∴A ，B 相互独立. 答案 C
2.甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是p 1，乙解决这个问题的概率是p 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( ) A.p 1p 2 B.p 1(1－p 2)＋p 2(1－p 1) C.1－p 1p 2
D.1－(1－p 1)(1－p 2)
解析 恰好有1人解决可分为甲解决乙没解决、甲没解决乙解决两种情况，这两个事件显然是互斥的，所以恰好有1人解决这个问题的概率为p 1(1－p 2)＋p 2(1－p 1). 答案 B
3.设两个相互独立事件A 和B 都不发生的概率为1
9，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )是( ) A.29 B.118 C.13
D.23
解析 由P (AB －
)＝P (BA －
)及A ，B 相互独立，得P (A )P (B －
)＝P (B )P (A －
)，
即P (A )[1－P (B )]＝P (B )[1－P (A )]，
∴P (A )＝P (B ).又P (A － B － )＝1
9，
则P (A －
)＝P (B －
)＝13，∴P (A )＝2
3.
答案 D
4.出租车司机从饭店到火车站途中经过六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是1
3，则这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率为( ) A.124 B.427 C.79
D.127
解析 因为这位司机第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，它们之间相互独立，且遇到红灯的概率都是13，所以未遇到红灯的概率都是1－1
3＝23，所以p ＝23×23×13＝427. 答案 B
5.同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y (若指针停在边界上则重新转)，x ，y 构成数对(x ，y )，则所有数对(x ，y )中，满足xy ＝4的概率为( )
A.116
B.18
C.316
D.14
解析 满足xy ＝4的所有可能如下： x ＝1，y ＝4；x ＝2，y ＝2；x ＝4，y ＝1.
∴所求事件的概率为
p ＝P (x ＝1，y ＝4)＋P (x ＝2，y ＝2)＋P (x ＝4，y ＝1) ＝14×14＋14×14＋14×14＝316. 答案 C 二、填空题
6.有一批书共100本，其中文科书40本，理科书60本，按装潢可分精装、平装两种，精装书70本，某人从这100本书中任取一书，恰是文科书，放回后再任取1本，恰是精装书，则这一事件的概率是________.
解析 设“任取一书是文科书”的事件为A ，“任取一书是精装书”的事件为B ，则A ，B 是相互独立的事件，所求概率为P (AB ). 据题意可知，P (A )＝40100＝25，P (B )＝70100＝710， 故P (AB )＝P (A )P (B )＝25×710＝7
25. 答案 7
25
7.从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为1
3，视力合格的概率为16，其他几项标准合格的概率为1
5，从中任选一名学生，则该生三项均合格的概率为________(假设三项标准互不影响). 解析 该生三项均合格的概率为13×16×15＝1
90. 答案 1
90
8.国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别是13，14，1
5.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________. 解析 设“国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游”分别为事件A ，B ，C ，则A ，B ，C 相互独立且P (A )＝13，P (B )＝14，P (C )＝1
5，∴至少有1人去北京旅游的概率为：1－P (A －
B －
C －
)＝1－P (A －
)·P (B －
)·P (C －
)＝1－⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14×⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－15＝1－
25＝35. 答案 35 三、解答题
9.某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为45，乙当选的概率为3
5，丙当选的概率为7
10，且各人是否当选互不影响. (1)求三人中恰有一名同学当选的概率； (2)求三人中至多有两人当选的概率.
解 设甲、乙、丙当选的事件分别为A ，B ，C ， 则有P (A )＝45，P (B )＝35，P (C )＝7
10. (1)因为事件A ，B ，C 相互独立， 所以恰有一名同学当选的概率为
P (AB －
C －
)＋P (A －
BC －
)＋P (A －
B －
C )
＝P (A )P (B －
)P (C －
)＋P (A －
)P (B )P (C －
)＋P (A －
)P (B －
)P (C ) ＝45×25×310＋15×35×310＋15×25×710＝47250.
(2)因为事件A ，B ，C 相互独立，所以至多有两人当选的概率为 1－P (ABC )＝1－P (A )P (B )P (C ) ＝1－45×35×710＝83125.
10.某学生语、数、英三科考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，问一次考试中 (1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？ (2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？
解 分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A ，B ，C ，则A ，B ，C 两两相互独立且P (A )＝0.9，P (B )＝0.8，P (C )＝0.85.
(1)“三科成绩均未获得第一名”可以用A －
B －
C －
表示，
P (A －
B －
C －
)＝P (A －
)P (B －
)P (C －
)
＝[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )] ＝(1－0.9)(1－0.8)(1－0.85)＝0.003， 所以三科成绩均未获得第一名的概率是0.003.
(2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用(A －
BC )∪(AB －
C )∪(ABC －
)表示.
由于事件A －
BC ，AB －
C 和ABC －
两两互斥，
根据概率加法公式和相互独立事件的意义，所求的概率为P (A －
B B
C )＋P (AB －
B C )＋
P (ABC －
)
＝P (A －
)P (B )P (C )＋P (A )P (B －
)P (C )＋P (A )P (B )P (C －
)
＝[1－P (A )]P (B )P (C )＋P (A )[1－P (B )]P (C )＋P (A )P (B )·[1－P (C )]
＝(1－0.9)×0.8×0.85＋0.9×(1－0.8)×0.85＋0.9×0.8×(1－0.85)＝0.329， 所以恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329.
能力提升
11.甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为12和1
3，甲、乙两人各射击一次，有下列说法：①目标恰好被命中一次的概率为12＋1
3；②目标恰好被命中两次的概率为12×13；③目标被命中的概率为12×23＋12×13；④目标被命中的概率为1－12×23.以上说法正确的序号是( ) A.②③ B.①②③ C.②④
D.①③
解析 设“甲射击一次命中目标”为事件A ，“乙射击一次命中目标”为事件B ，
显然，A ，B 相互独立，则目标恰好被命中一次的概率为P (AB －
∪A －
B )＝P (AB －
)＋P (A －
B )＝12×23＋12×13＝1
2，故①不正确；目标恰好被命中两次的概率为P (AB )＝
P (A )·P (B )＝12×1
3，故②正确；目标被命中的概率为P (AB －∪A －B ∪AB )＝P (AB －)＋P (A －
B )＋P (AB )＝12×23＋12×13＋12×13或1－P (A － B － )＝1－P (A －)·P (B －)＝1－12×2
3，故③不
正确，④正确.故选C. 答案 C
12.某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得0分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8，0.7，0.6，且各题答对与否相互之间没有影响. (1)求这名同学得300分的概率； (2)求这名同学至少得300分的概率.
解 设事件A 为“答对第一个问题”，事件B 为“答对第二个问题”，事件C 为“答对第三个问题”，
则P (A )＝0.8，P (B )＝0.7，P (C )＝0.6.且A ，B ，C 相互独立.
(1)这名同学得300分可表示为(A －
BC )∪(AB －
C )，
所以P [(A －
BC )∪(AB －
C )]
＝P (A －
BC )＋P (AB －
C )
＝P (A －
)·P (B )·P (C )＋P (A )·P (B －
)·P (C )
＝(1－0.8)×0.7×0.6＋0.8×(1－0.7)×0.6＝0.228. 所以这名同学得300分的概率为0.228. (2)这名同学至少得300分可表示为
(A －
BC )∪(AB －
C )∪(ABC )，
所以P [(A －
BC )∪(AB －
C )∪(ABC )]
＝P [(A －
BC )∪(AB －
C )]＋P (ABC ) ＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564，
所以这名同学至少得300分的概率为0.564.
创新猜想
13.(多选题)下列说法中正确的是( )
A.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，事件A 是“第一枚为正面”，事件B 是“两枚结果相同”，则A ，B 相互独立
B.当P (A )>0，P (B )>0且P (B |A )＝P (B )时，P (B －
|A )＝1－P (B )
C.若P (A |B )＝0.8，P (A －
)＝0.2，则A ，B 独立
D.若P (AB )＝19，P (A －
)＝23，P (B )＝1
3，则A 与B 不独立
解析 A 中，P (A )＝12，P (B )＝12，P (AB )＝14＝12×1
2＝P (A )P (B )，对于B ，C ，若
P (B |A )＝P (B )，则A ，B 相互独立，所以A 与B －
也相互独立，故B ，C 均正确.D 中，P (AB )＝P (A )·P (B )，则A 与B 也相互独立，故错误. 答案 ABC
14.(多空题)已知A ，B 是相互独立事件，且P (A )＝12，P (B )＝2
3，则P (AB －
)＝________；
P ( A －
B －
)＝________.
解析 ∵P (A )＝12，P (B )＝23，∴P (A －)＝12，P (B －
)＝1
3.
∵A ，B 相互独立，∴P (AB －
)＝P (A )P (B －
)＝12×13＝1
6，
P (A －
B －
)＝P (A －
)P (B －
)＝12×13＝1
6.
答案 16 16。