2021_2022学年新教材高中数学第5章三角函数5.5三角恒等变换5.5.2简单的三角恒等变换课件

法二：用正切公式． 左边＝c1o－s2αtatna2nα2α2＝12cos2α·1－2tatannα22α2＝12cos2α·tan α＝12cos αsin α＝14 sin 2α＝右边， ∴原式成立．
三角恒等式证明的常用方法 (1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简． (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子． (3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消 除它们之间的差异，简言之，即化异求同． (4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”． (5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件， 直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．
【例 2】
求证： 1cαo－s2tαanα2＝41sin 2α. tan2
[解] 法一：用正弦、余弦公式．
左边＝cosαcα2o－s2αsinα2α＝cos2cα2oα－s2αsiαn2α2 sin2 cos2 sin2cos2
＝ccooss22αα2s－inα2sicno2sα2α2＝cos2αcsoisnα2αcosα2＝sinα2cosα2cos α ＝12sin αcos α＝41sin 2α＝右边， ∴原式成立．
应用公式解决三角函数综合问题的步骤 (1)降幂将解析式化为 f(x)＝asin ωx＋bcos ωx＋k 的形式：如将 sin xcos x 运用二倍角公式化为21sin 2x，利用降幂公式 sin2x＝1－c2os 2x， cos2x＝1＋c2os 2x将解析式化为一次式． (2)利用辅助角公式 asin α＋bcos α＝ a2＋b2sin(α＋φ)化 f(x)成 f(x) ＝Asin(ωx＋φ)＋k 的形式． (3)将“ωx＋φ”看作一个整体研究函数的性质．
提醒：在利用三角变换解决实际问题时，常因忽视角的范围而致 误．
[跟进训练] 4．如图所示，要把半径为 R 的半圆形木料截成 长方形，应怎样截取，才能使△OAB 的周长最大？ [解] 设∠AOB＝α，△OAB 的周长为 l，则 AB＝Rsin α， OB＝Rcos α，∴l＝OA＋AB＋OB ＝R＋Rsin α＋Rcos α ＝R(sin α＋cos α)＋R ＝ 2Rsinα＋π4＋R.
2．借助三角恒 等变换的简单应
角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换
用，提升数学运
对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和
一些简单的应用．(难点、易错点)
算素养.
情境导学·探新知
前面我们已经学习了二倍角公式，你能用 cos α 表示 sin2 α2，cos2 α2及 tan2 α2吗？
3.(多选)cos α－sin α 的化简结果是( )
A. 2sin4π－α
B． 2cosα－π4
C. 2sinα＋π4
D． 2cosα＋π4
AD
[cos α － sin
α＝
2
2 2 cos
α－
2 2 sin
α ＝
2 cos α＋π4 ＝
2
sin4π－α.故选 AD.]
4.21－cos2 π8＝________.
[跟进训练] 3．已知函数 f(x)＝4cos ωx·sinωx＋π4(ω>0)的最小正周期为 π. (1)求 ω 的值； (2)讨论 f(x)在区间0，2π上的单调性．
[解] (1)f(x)＝4cos ωx·sinωx＋π4 ＝2 2sin ωx·cos ωx＋2 2cos2ωx ＝ 2(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋ 2＝2sin2ωx＋π4＋ 2. 因为 f(x)的最小正周期为 π，且 ω>0， 从而有22ωπ ＝π，故 ω＝1.
1＋cos α 2 .(
)
(2)存在 α∈R，使得 cos α2＝12cos α.( )
(3)对于任意 α∈R，sin α2＝21sin α 都不成立．( )
(4)若 α 是第一象限角，则 tan α2＝
1－cos α 1＋cos α.(
)
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
2.已知 cos α＝35，α∈32π，2π，则 sin α2＝________，tan α2＝
2．利用半角公式求值的思路
(1)看角：看已知角与待求角的二倍关系．
(2)明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备．
(3) 选 公 式 ： 涉 及 半 角 公 式 的 正 切 值 时 ， 常 用
tan α2 ＝ 1＋sincoαs
＝ α
1－cos sin α
α，涉及半角公式的正、余弦值时，常利用
sin2α2＝1－c2os
∴f(x)的最小正周期为22π＝π. 由 2x－π3＝kπ(k∈Z)，可得 x＝k2π＋π6(k∈Z)， ∴函数 f(x)的对称中心为k2π＋π6，0(k∈Z)．
(2)由 2x－π3∈2kπ＋π2，2kπ＋32π(k∈Z)， 可得 x∈kπ＋51π2，kπ＋1112π(k∈Z)， ∴f(x)的单调递减区间为kπ＋51π2，kπ＋1112π(k∈Z)． (3)当 x∈2π，π时，2x－π3∈23π，53π， ∴2x－π3＝23π，即 x＝π2时，函数 f(x)取得最大值，最大值为 3.
α，cos2α2
＝1＋c2os α计算．
(4)下结论：结合(2)求值． 提醒：已知 cos α 的值可求α2的正弦、余弦、正切值，要注意确定 其符号．
[跟进训练]
1．已知 cos θ＝－35，且 180°<θ<270°，求 tan
θ 2.
[解] 法一：∵180°<θ<270°，∴90°<θ2<135°，即θ2是第二象限角，
知识点 1 半角公式 (1)sinα2＝_±_____1_－__c2o_s___α_，
1＋cos α (2)cosα2＝_±________2_____，
1－cos α (3)tanα2＝±_____1_＋__c_o_s_α___，
α αα (4)tanα2＝sin α2＝sin2α·2cos2α＝__1_＋_s_inc_o_αs_α__，
1＋sin 1＋cos α－
α 1－cos
＋ α
1－sin α 1＋cos α＋ 1－cos α.
[解]
原式＝ 2csoinsα2α2＋－cos2α2s2inα2＋ 2csoinsα2α2－＋cos2α2s2inα2.
∵π＜α＜32π，∴π2＜α2＜34π，∴cosα2＜0，sinα2＞0，
∴原式＝－si2nα2si＋nα2c＋oscα2o2sα2＋
应用三角函数解实际问题的方法及注意事项 (1)方法：解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间 的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知 识求解．
(2)注意：在求解过程中，要注意三点：①充分借助平面几何性质， 寻找数量关系．②注意实际问题中变量的范围．③重视三角函数有界 性的影响．
sinα2－cosα22 2sinα2－cosα2
＝－sinα2＋cosα2＋sinα2－cosα2＝－
2
2
α 2cos2.
1．化简问题中的“三变” (1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、 凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式． (2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统 一为弦或统一为切． (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如 升幂、降幂、配方、开方等．
∴tan θ2<0，
∴tan θ2＝－
1－cos 1＋cos
θ＝－ θ
11＋－－ －3535＝－2.
法二：∵180°<θ<270°，即 θ 是第三象限角， ∴sin θ＝－ 1－cos2θ＝－ 1－295＝－45， ∴tan θ2＝1－sincoθs θ＝1－－－54 35＝－2.
类型 2 三角恒等式的证明
∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<34π，∴l 的最大值为 2R＋R＝( 2＋1)R，此 时，α＋π4＝π2，即 α＝π4.
对于表达式中的正(余)弦函数是如何组合的？要分别借助哪些公 式才能将 f(x)统一化成 f(x)＝asin ωx＋bcos ωx＋k 的形式，然后再怎么 化成 f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k 的形式？
[解] (1)f(x)＝2sin xcos x－2 3cos2x＋ 3＝sin 2x－ 3cos 2x＝ 2sin2x－π3，
(2)由(1)知，f(x)＝2sin2x＋π4＋ 2. 若 0≤x≤π2，则π4≤2x＋π4≤54π.
当π4≤2x＋π4≤π2， 即 0≤x≤π8时，f(x)单调递增；
当π2≤2x＋π4≤54π，
即π8≤x≤π2时，f(x)单调递减． 综上可知，f(x)在区间0，π8上单调递增，在区间8π，π2上单调递减．
第五章 三角函数
5.5 三角恒等变换 简单的三角恒等变换
学习任务核心素养来自1．能用二倍角公式导出半角公式，能用两角和与 差的三角函数公式导出积化和差、和差化积公式，
1．通过公式的
推导，培养逻辑
体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，并能够
推理素养．
进行简单的应用．(重点) 2．了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三
[跟进训练]
2．求证：
sin
x＋cos
2sin xcos x－1sin
x x－cos
x＋1＝1＋sincoxs
x .
[证明] 左边＝2sin2xcos2x－2s2isni2n2xxc2ossinx2xcos2x＋2sin22x ＝4sin222xscinosx2c2xo－s xsin22x ＝2ssiinn2x2x＝csoisn2x2x＝2s2inco2xsc2o2xs2x＝1＋sincoxs x＝右边． 所以原等式成立．
________.
5 5
－12
[∵α∈32π，2π，∴α2∈34π，π，∴sin α2＝
55，又 cos α＝35，∴sin α＝－45，
∴tan α2＝1＋sincoαs α＝1－＋4535＝－12.]
1－cos 2
α＝
知识点 2 常见的三角恒等变换 (1)辅助角公式：asin x＋bcos x＝__a_2＋__b_2_s_in_(_x_＋__φ_) (ab≠0)，其中 tan φ＝ba，φ 所在象限由 a 和 b 的符号确定． (2)降幂公式：sin2x＝1－c2os 2x，cos2x＝1＋c2os 2x，sin xcos x＝21sin 2x.
类型 4 三角函数在实际问题中的应用 【例 4】 (对接教材 P227 例题)在扇形 OPQ 中， OP＝R，圆心角∠POQ＝π3，若将此木料截成如图所 示的矩形，试求此矩形面积的最大值．
[解] 如图，作∠POQ 的平分线分别交 EF，GH 于点 M，N，连 接 OE，
设∠MOE＝α，α∈0，6π，在 Rt△MOE 中，ME＝Rsin α，OM＝Rcos α， 在 Rt△ONH 中，NOHN＝tanπ6， 得 ON＝ 3NH＝ 3Rsin α， 则 MN＝OM－ON ＝R(cos α－ 3sin α)．
类型 3 恒等变换与三角函数图象性质的综合 【例 3】 (对接教材 P227 例题)已知函数 f(x)＝2sin xcos x－2 3cos2x ＋ 3. (1)求 f(x)的最小正周期和对称中心； (2)求 f(x)的单调递减区间； (3)当 x∈2π，π时，求函数 f(x)的最大值及取得最大值时 x 的值．
设矩形 EFGH 的面积为 S， 则 S＝2ME·MN＝2R2sin α(cos α－ 3sin α) ＝R2(sin 2α＋ 3cos 2α－ 3)＝2R2sin2α＋π3－ 3R2， 由 α∈0，6π，则π3＜2α＋π3＜23π， 所以当 2α＋π3＝π2，即 α＝1π2时，Smax＝(2－ 3)R2. 所以矩形面积的最大值为(2－ 3)R2.
cos2 cos2·2cos2
tanα2＝
α sin2α＝
sinα2α·2sinα2α＝__1_－s_inc_o_αs__α_.
cos2 cos2·2sin2
半角公式中的符号由谁决定？ [提示] 半角公式中的符号由α2所在象限决定．
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)cos α2＝
－
2 4
[12－cos2
π8＝12－1＋c2os
π 4＝21－21－21× 22＝－
2 4 .]
合作探究·释疑难
类型1 化简求值问题 类型2 三角恒等式的证明 类型3 恒等变换与三角函数图象性质的综合 类型4 三角函数在实际问题中的应用
类型 1 化简求值问题
【例 1】 已知 π<α<32π，化简：