2019高三数学文北师大版一轮课时分层训练38 空间图形

课时分层训练(三十八)
空间图形的基本关系与公理
(对应学生用书第254页)
A组基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定3个平面．其中正确的序号是()
A．①B．①④
C．②③D．③④
A[显然命题①正确．
由三棱柱的三条平行棱不共面知，②错．
命题③中，两个平面重合或相交，③错．
三条直线两两相交，可确定1个或3个平面，则命题④不正确．] 2．(2018·秦皇岛模拟)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若mα，nα，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是()
A．垂直B．相交
C．异面D．平行
D[∵mα，nα，且A∈m，A∈α，
∴n在平面α内，m与平面α相交于点A，
∴m和n异面或相交，一定不平行．]
3．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是()
A．l1⊥l4
B．l1∥l4
C．l1与l4既不垂直也不平行
D．l1与l4的位置关系不确定
D [如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，记l 1＝DD 1，l 2＝DC ，l 3＝DA ．若l 4＝AA 1，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，此时l 1∥l 4，可以排除选项A 和C ．
若取C 1D 为l 4，则l 1与l 4相交；若取BA 为l 4，则l 1与l 4异面；取C 1D 1为l 4，则l 1与l 4相交且垂直． 因此l 1与l 4的位置关系不能确定．]
4．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1，CC 1的中点，那么异面直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为( ) 【导学号：00090243】 A ．45 B ．3
5 C ．23
D ．57
B [连接DF ，则AE ∥DF ，
∴∠D 1FD 为异面直线AE 与D 1F 所成的角． 设正方体棱长为a ，
则D 1D ＝a ，DF ＝52a ，D 1F ＝5
2a ， ∴cos ∠D 1FD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52a 2
－a 22·52a ·52a
＝3
5.]
5．(2018·泰安模拟)如图7-3-9，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 是DB 的中点，直线A 1C 交平面C 1BD 于点M ，则下列结论错误的是( )
图7-3-9
A ．C 1，M ，O 三点共线
B ．
C 1，M ，O ，C 四点共面 C ．C 1，O ，A 1，M 四点共面
D ．D 1，D ，O ，M 四点共面
D[连结A1C1，AC，则AC∩BD＝O，A1C∩平面C1BD＝M，
∴三点C1、M、O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，
∴C1，M，O三点共线，
∴选项A、B、C均正确，选项D错误．]
二、填空题
6. 如图7-3-10所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的
中点，有以下四个结论：
图7-3-10
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线MN与AC所成的角为60°.
其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论序号都填上)
【导学号：00090244】
③④[由题图可知AM与CC1是异面直线，AM与BN是异面直线，BN与
MB1为异面直线．
因为D1C∥MN，所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角，且角为60°.]
7. (2017·佛山模拟)如图7-3-11所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的中
点，AA1∶AB＝2∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________．
图7-3-11
60°[取A1C1的中点E，连接B1E，ED，AE，
在Rt△AB1E中，∠AB1E即为所求，
设AB＝1，则A1A＝2，AB1＝3，B1E＝
3
2，AE＝
3
2，故∠AB1E＝60°.]
8．(2017·邵阳模拟)如图7-3-12是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，
图7-3-12
①GH与EF平行；
②BD与MN为异面直线；
③GH与MN成60°角；
④DE与MN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
②③④[如图，把平面展开图还原成正四面体，知GH与EF为异面直线，
BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE与MN垂直，故②③④正确．]
三、解答题
9. 如图7-3-13所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中
点．问：
图7-3-13
(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；
(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由. 【导学号：00090245】
[解](1)AM，CN不是异面直线．理由：连接MN，A1C1，AC．
因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MN∥A1C1. 2分又因为A1A綊C1C，所以A1ACC1为平行四边形，
所以A1C1∥AC，所以MN∥AC，
所以A，M，N，C在同一平面内，
故AM和CN不是异面直线. 5分
(2)直线D1B和CC1是异面直线. 6分
理由：因为ABCD-A1B1C1D1是正方体，所以B，C，C1，D1不共面．假设D1B 与CC1不是异面直线，
则存在平面α，使D1B平面α，CC1平面α，
所以D1，B，C，C1∈α，10分这与B，C，C1，D1不共面矛盾，所以假设不成立，
即D1B和CC1是异面直线. 12分10．如图7-3-14所示，在三棱锥P-ABC中，P A⊥底面ABC，D是PC的中点．已
知∠BAC ＝π
2，AB ＝2，AC ＝23，P A ＝2.求：
图7-3-14
(1)三棱锥P -ABC 的体积；
(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值． [解] (1)S △ABC ＝1
2×2×23＝23， 三棱锥P -ABC 的体积为
V ＝13S △ABC ·P A ＝13×23×2＝43 3.
5分
(2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE 是异面直线BC 与AD 所成的角(或其补角).
8分
在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34.
故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为3
4.
12分
B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)
1．下图是正方体或四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是( )
【导学号：00090246】
D [在A 图中分别连接PS ，QR ，
易证PS ∥QR ，所以P ，Q ，R ，S 共面；
在B 图中过P ，Q ，R ，S 可作一正六边形，故四点共面；
在C 图中分别连接PQ ，RS ，
易证PQ ∥RS ，所以P ，Q ，R ，S 共面； D 图中PS 与QR 为异面直线， 所以P ，Q ，R ，S 四点不共面．]
2. 如图7-3-15，正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直，且
AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，F ，G 分别是线段AE ，BC 的中点，则AD 与GF 所成的角的余弦值为________．
图7-3-15
3
6 [取DE 的中点H ，连接HF ，GH .
由题设，HF 綊1
2AD ，
∴∠GFH 为异面直线AD 与GF 所成的角(或其补角)． 在△GHF 中，可求HF ＝2， GF ＝GH ＝6，
∴cos ∠GFH ＝(2)2＋(6)2－(6)22×2×6
＝3
6.]
3．已知三棱锥A -BCD 中，AB ＝CD ，且直线AB 与CD 成60°角，点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，求直线AB 和MN 所成的角． [解] 如图，取AC 的中点P .连接PM ，PN ，又点M ，
N 分别是BC ，AD 的中点，
则PM ∥AB ，且PM ＝1
2AB ， PN ∥CD ，且PN ＝1
2
CD ，
所以∠MPN 为AB 与CD 所成的角(或其补角)． 则∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°，
①若∠MPN ＝60°，因为PM ∥AB ，所以∠PMN 是AB 与MN 所成的角(或其补角)．
又因为AB ＝CD ，所以PM ＝PN ，
则△PMN 是等边三角形，所以∠PMN ＝60°， 即AB 和MN 所成的角为60°.
②若∠MPN ＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形， 所以∠PMN ＝30°，即AB 和MN 所成的角为30°. 综上，直线AB 和MN 所成的角为60°或30°.。