2.6自然坐标切向和法向加速度
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O点，质点运动规律 s=30t+5t2 (m)，求t=2s时，质点M 的法向和切向加速度.
[解]
v
ds dt
B
30 10 t
A
2
30
an
v
at
dv dt
O 15
v = 50m/s
C
t =2
Hale Waihona Puke s = 80m上页
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第二章 质点运动学
[例题4] 由楼窗口以水平初速度v0射出一发子弹，取枪口
开始阶段的运动学方程为 s 20 t 0 . 2 t 3 (单位：m，s). 求汽车在t=1s时的加速度.
[解] 加速度
a an en a tet
an vt
vt
2
R
20 0 . 6 t
2
at
2
d s dt
2
2
ds dt
an
( 20 0 . 6 t ) R
g
at
(2)
v x v0
v y gt
2
y
2 2
v
at
vx vy
2
v0 g t
2
dv dt
2
g t v0 g t
2 2
2
gt arctan v 0
an
g
2
2 at
2 v0
v0 g g t
2 2
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1. 速度和加速度矢量
速度矢量 加速度矢量
r r v = v et
a a t an a tet an en
at和an分别为质点的切向加速度和法向加速度.
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第二章 质点运动学 2. 质点作圆周运动的切向加速度和法向加速度
经t 质点速度增量 Δ v v ' v 取 AD=AC Δ v Δ 1 v Δ 2 v
2
a t 1 .2 t
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第二章 质点运动学
将R=200m及t＝1s代入上列各式，得
v t ( 20 0 . 6 1 ) m s 19 . 4 m s
2
an
( 19 . 4 ) 200
2
m s 1 . 88 m s
2
2
2
a t 1 .2 1 m s 1 .2 m s
an at
an at
2
2
v
R
dt
tan
a
O
at
an
(5)一般曲线运动 质点的曲线轨迹可视作由无限多个圆组合而成
2 dv v et en a at an
dt
——曲率圆半径
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第二章 质点运动学
[例题1] 汽车在半径为200m的圆弧形公路上刹车，刹车
Δt 0
Δv dv lim et et Δt 0 Δ t Δt dt
at反映速度大小的变化率
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第二章 质点运动学 (4)总加速度
2 dv dv v 2 et R en et en a at an
dt
a
a an at
tan an at
'
2
2
2
( 1 . 88 ) ( 1 . 2 ) m s 2 . 23 m s
1 . 88 1 .2 1 . 5667
2
2
2
2
122 33
为加速度与 e t 的夹角.
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第二章 质点运动学 [例题2]低速迫击炮弹以发射角45度 发射,其初速率v0=90m/s. 在与发射点同一水平面上落地.不计空气阻力,求炮弹在最高 点和落地点其运动轨迹的曲率. [解]将炮弹视为质点,不计空气阻力. 在直角坐标系O-xy中, 炮弹运动的速度与加速度为
O
r
s>0
A e
en
t
O
s s(t )
自然坐标也可用矢量特征描述.
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第二章 质点运动学
切向单位矢量 e t 沿曲线切向,指向s>0方向. 法向单位矢量 e n 沿曲线法向且指向曲线的凹侧.
任何矢量都可向切向和法向方向作正交分解. 动画演示
§2.6.2 速度· 法向和切向加速度
为原点，沿v0为x轴，竖直向下为y轴，并取发射时t = 0. 试求： (1)子弹在任一时刻t 的位置坐标及轨道方程； (2)子弹在t 时刻的速度，切向加速度和法向加速度.
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第二章 质点运动学
[解] (1)
x v0t
y 1 x g 2 v0
2 2
y
1 2
O
gt
2
v0
x
an
Δ 1v Δt
Δt 0
v
2 a n v en R en
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第二章 质点运动学 (3)切向加速度
v ' // v // Δ 2 v t0 时，近似有 Δ 2 v [ v ' v ]e t Δ v e t
a t lim Δ 2v
a lim lim Δv Δt
t 0
v'
B v
lim Δ 2v Δt
Δ 1v Δt
O
v
A
t 0
t 0
(1)法向加速度
t0时，近似有 Δ 1 v v
AB vΔ t Δ 1v vΔ v v R R
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v v 0 cos i ( v 0 sin gt ) j a g gj
(1)在最高点
v y v 0 sin gt 0
v v 0 cos
an g
( 90 2 2) 9 .8
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2
Rv
2
a n ( v 0 cos )
2
g
m 413 . 3 m
第二章 质点运动学
(2)在落地点
v v0et
v v0
a n g cos( 45 )
R v
2
v0
2
90 9 .8
2
m 1169 m 2 2
an
g cos( 45 )
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第二章 质点运动学
[例题3]质点M在水平面内运动轨迹如图 ， t=0 时M在
P
v ' Δ 2v C
Δ 1v
Dv
A
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法向加速度
a n lim
2
Δ 1v Δt
第二章 质点运动学
v
2
Δt 0
R
v an en R
an反映速度方向变化的快慢 . (2)角速率 定义
lim
Δt 0
Δ Δt
Δ 1v vΔ
a n lim
第二章 质点运动学
§2.6 自然坐标· 切向和法向加速度
§2.6.1 自然坐标
§2.6.2 速度· 法向和切向加速度
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第二章 质点运动学
§2.6 自然坐标· 切向和法向加速度
§2.6.1 自然坐标
若质点轨迹已知，质点的运动可分解为切向和法向.
自然坐标——将质点轨迹曲线作为一维坐标的轴线 如图选轨迹上一点 O 为原 点，用由原点 O 至质点位 s<0 置的弧长 s 作为质点位置 坐标. s 称自然坐标. s 可正 可负. 质点运动方程
[解]
v
ds dt
B
30 10 t
A
2
30
an
v
at
dv dt
O 15
v = 50m/s
C
t =2
Hale Waihona Puke s = 80m上页
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第二章 质点运动学
[例题4] 由楼窗口以水平初速度v0射出一发子弹，取枪口
开始阶段的运动学方程为 s 20 t 0 . 2 t 3 (单位：m，s). 求汽车在t=1s时的加速度.
[解] 加速度
a an en a tet
an vt
vt
2
R
20 0 . 6 t
2
at
2
d s dt
2
2
ds dt
an
( 20 0 . 6 t ) R
g
at
(2)
v x v0
v y gt
2
y
2 2
v
at
vx vy
2
v0 g t
2
dv dt
2
g t v0 g t
2 2
2
gt arctan v 0
an
g
2
2 at
2 v0
v0 g g t
2 2
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1. 速度和加速度矢量
速度矢量 加速度矢量
r r v = v et
a a t an a tet an en
at和an分别为质点的切向加速度和法向加速度.
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第二章 质点运动学 2. 质点作圆周运动的切向加速度和法向加速度
经t 质点速度增量 Δ v v ' v 取 AD=AC Δ v Δ 1 v Δ 2 v
2
a t 1 .2 t
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第二章 质点运动学
将R=200m及t＝1s代入上列各式，得
v t ( 20 0 . 6 1 ) m s 19 . 4 m s
2
an
( 19 . 4 ) 200
2
m s 1 . 88 m s
2
2
2
a t 1 .2 1 m s 1 .2 m s
an at
an at
2
2
v
R
dt
tan
a
O
at
an
(5)一般曲线运动 质点的曲线轨迹可视作由无限多个圆组合而成
2 dv v et en a at an
dt
——曲率圆半径
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第二章 质点运动学
[例题1] 汽车在半径为200m的圆弧形公路上刹车，刹车
Δt 0
Δv dv lim et et Δt 0 Δ t Δt dt
at反映速度大小的变化率
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第二章 质点运动学 (4)总加速度
2 dv dv v 2 et R en et en a at an
dt
a
a an at
tan an at
'
2
2
2
( 1 . 88 ) ( 1 . 2 ) m s 2 . 23 m s
1 . 88 1 .2 1 . 5667
2
2
2
2
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为加速度与 e t 的夹角.
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第二章 质点运动学 [例题2]低速迫击炮弹以发射角45度 发射,其初速率v0=90m/s. 在与发射点同一水平面上落地.不计空气阻力,求炮弹在最高 点和落地点其运动轨迹的曲率. [解]将炮弹视为质点,不计空气阻力. 在直角坐标系O-xy中, 炮弹运动的速度与加速度为
O
r
s>0
A e
en
t
O
s s(t )
自然坐标也可用矢量特征描述.
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第二章 质点运动学
切向单位矢量 e t 沿曲线切向,指向s>0方向. 法向单位矢量 e n 沿曲线法向且指向曲线的凹侧.
任何矢量都可向切向和法向方向作正交分解. 动画演示
§2.6.2 速度· 法向和切向加速度
为原点，沿v0为x轴，竖直向下为y轴，并取发射时t = 0. 试求： (1)子弹在任一时刻t 的位置坐标及轨道方程； (2)子弹在t 时刻的速度，切向加速度和法向加速度.
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第二章 质点运动学
[解] (1)
x v0t
y 1 x g 2 v0
2 2
y
1 2
O
gt
2
v0
x
an
Δ 1v Δt
Δt 0
v
2 a n v en R en
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第二章 质点运动学 (3)切向加速度
v ' // v // Δ 2 v t0 时，近似有 Δ 2 v [ v ' v ]e t Δ v e t
a t lim Δ 2v
a lim lim Δv Δt
t 0
v'
B v
lim Δ 2v Δt
Δ 1v Δt
O
v
A
t 0
t 0
(1)法向加速度
t0时，近似有 Δ 1 v v
AB vΔ t Δ 1v vΔ v v R R
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v v 0 cos i ( v 0 sin gt ) j a g gj
(1)在最高点
v y v 0 sin gt 0
v v 0 cos
an g
( 90 2 2) 9 .8
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2
Rv
2
a n ( v 0 cos )
2
g
m 413 . 3 m
第二章 质点运动学
(2)在落地点
v v0et
v v0
a n g cos( 45 )
R v
2
v0
2
90 9 .8
2
m 1169 m 2 2
an
g cos( 45 )
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第二章 质点运动学
[例题3]质点M在水平面内运动轨迹如图 ， t=0 时M在
P
v ' Δ 2v C
Δ 1v
Dv
A
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法向加速度
a n lim
2
Δ 1v Δt
第二章 质点运动学
v
2
Δt 0
R
v an en R
an反映速度方向变化的快慢 . (2)角速率 定义
lim
Δt 0
Δ Δt
Δ 1v vΔ
a n lim
第二章 质点运动学
§2.6 自然坐标· 切向和法向加速度
§2.6.1 自然坐标
§2.6.2 速度· 法向和切向加速度
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第二章 质点运动学
§2.6 自然坐标· 切向和法向加速度
§2.6.1 自然坐标
若质点轨迹已知，质点的运动可分解为切向和法向.
自然坐标——将质点轨迹曲线作为一维坐标的轴线 如图选轨迹上一点 O 为原 点，用由原点 O 至质点位 s<0 置的弧长 s 作为质点位置 坐标. s 称自然坐标. s 可正 可负. 质点运动方程