2019年吉林省白山市高考数学四模试卷(理科)

2019年吉林省白山市高考数学四模试卷（理科）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一．．．
项．
是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上） 1．设全集*=N U ，集合},,,{98632=，
A ，集合}N ,|{*∈3>=x x x
B ，则图中阴影部 分所表示的集合是 （A ）}{2
（B ）}{32，
（C ）},{321， （D ）},{986， 2．已知i 为虚数单位，则
=+12i
i
- （A ）
2
5 （B ）
2
5
（C ）
2
17 （D ）
2
10 3．已知α是第四象限角，且4
3-=αtan ，则=αsin （A ）5
3-
（B ）5
4-
（C ）5
3
（D ）
5
4 4．已知实数y x 、满足⎪⎩
⎪
⎨⎧0≥2-+20≤3--33≤y x y x y ，则目标函数y x z -2=的最大值为
（A ）-4 （B ）1 （C ）2 （D ）3
5. 已知随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，若P (ξ>3)＝0.023，则P (－1≤ξ≤3)等于 （A ）0.977
（B ）0.954 （C ）0.628 （D ）0.477
6．x x x d )(--1⎰10
2等于 （A ）4
1
（B ）
2
1 （C ）
4
1
-π （D ）
4
2
-π
7．现有三个函数：①2
+=
-x x e e y ，②2-=-x
x e e y ，③x x e
e e e y --+-=的图象（部分）如下：
则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是 （A ）①②③
（B ）③①②
（C ）②①③
（D ）③②①
8．已知执行如下左图所示的程序框图，输出的485=S ，则判断框内的条件可以是 （A ）?5<k （B ）?7>k （C ）?5≤k （D ）?6≤k
9．一个几何体的三视图如上右图，则其表面积为 （A ）20
（B ）18
（C ）32+14
（D ）22+14
10．边长为4的正方形ABCD 的中心为O ，以O 为圆心，1为半径作圆，点M 是圆O 上的任意一
点，点N 是边AB 、BC 、CD 上的任意一点（含端点），则⋅的取值范围是
（A ）][1818-，
（B ）][1616-，
（C ）][1212-，
（D ）][88-，
11．已知边长为1的等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角D AB C -- 的余弦值为
3
3
，若A 、B 、C 、D 、E 在同一球面上，则此球的体积为 （A ）π2 （B ）
π3
2
8 （C ）π2 （D ）
π3
2
12．若存在直线l 与曲线1C 和曲线2C 都相切，则称曲线1C 和曲线2C 为“相关曲线”， 有下列
四个命题：
（第9题图）
（第8题图）
①有且只有两条直线l 使得曲线：1C 4=+22y x 和曲线0=4+2+4-+222y x y x C :为“相关曲线”； ②曲线1+21=
21x y C :和曲线1-2
1
=22x y C :是“相关曲线”
； ③当0>>a b 时，曲线ax y C 4=21:和曲线222
2=+a y b x C ）（-:一定不是“相关曲线”
； ④必存在正数a 使得曲线：1C x a y ln =和曲线:2C x x y -=2为“相关曲线”. 其中正确命题的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题—24题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上). 13.已知圆C 的圆心在直线210x y +-=上，且经过原点和点(15)--,，则圆C 的方程为 ___________.
14. 任取实数[01]x y ∈,,
，则满足1
2
x y ≤≤_________. 15. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知100S =，1525S =，则使(1)n n S +取最小值的n 等于_
_.
16. 下列说法中正确的有：___________.
①已知直线,m n 与平面,αβ，若m α∥，n β⊥，αβ⊥，则m n ∥；
②用数学归纳法证明*(1)(2)()213(21)()n n n n n n n +++=⋅⋅+∈N ，从n k =到1n k =+时，等式左边需乘的代数式是(21)(22)k k ++；
③对命题“正三角形与其内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体与其内切球切于各面中心；
④在判断两个变量y 与x 是否相关时，选择了3个不同的模型，它们的相关指数2R 分别为：模型1为0.98，模型2为0.80，模型3为0.50.其中拟合效果最好的是模型1；
⑤在空间直角坐标系中，点(121)A ,,
关于y 轴的对称点A '的坐标为(121)--,,. 三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17.（本小题满分12分）
已知函数()cos(2)sin 26
f x x x π
=+-.
（1）利用“五点法”列表，并画出()f x 在5[]66
ππ
-,上的图象；
（2）a b c ,,分别是锐角ABC ∆中角A B C ,,的对边.若a =()f A =ABC ∆的周长的取值范围.
18. （本小题满分12分）
某便携式灯具厂的检验室，要检查该厂生产的某一批次产品在使用时的安全性.检查人员从中随机抽取5件，通过对其加以不同的电压（单位：伏特）测得相应电流（单位：安培），数据见下表：
10152025300608141215
x y 产品编号①②③④⑤电压电流.....()() （1）试估计如对该批次某件产品加以110伏电压，产生的电流是多少？
（2）依据其行业标准，该类产品电阻在[18,22]内为合格品.以上述抽样中得到的频率为合格品概率，再从该批次产品中随机抽取5件，记随机变量X 表示其中合格品个数，求随机变量X 的分布列、期望和方差.
（附：回归方程：ˆy
bx a =+，其中：1
2
2
1
()n
i i
i n
i
i x y nx y
b a y bx x
nx
==-==--∑∑，
参考数据：5
5
2
i
i=1
i=1
=20,11,=1212250i i x y x y x
==,
.∑∑）
19. （本小题满分12分） 在四棱锥P A B C D -中，A D
B C ，DC AD ⊥，PA ⊥平面A B C D
，2AD=BC =，
30DAC =︒∠，M 为PB 中点.
（1）证明：AM 平面PCD ；
（2）若二面角M PC D --
的余弦值为PA 的长.
20．（本小题满分12分）
已知椭圆:1(>0)x y C +=a b a b
>22
22的左、右焦点分别为12F F ,，过点1F 的直线l 交椭圆于A B ,两
点，AB ||的最小值为3，且△2ABF 的周长为8.
（1）求椭圆的方程； （2）当直线l 不垂直于x 轴时，点A 关于x 轴的对称点为A '，直线A B '交x 轴于点M ，求△ABM 面积的取值范围.
21.（本小题满分12分） 已知函数()ln ()f x =x+a x a R ∈
.
（1）若曲线()y =f x 在点(1(1))f ,处与直线32y =x -相切，求a 的值；
（2）函数2()()g x f x kx =-有两个零点12x x ,,试判断122x x g +⎛⎫
' ⎪⎝⎭
的符号，并证明.
请考生在22、23、题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程.
在极坐标系中，点P 的坐标是(1,0)，曲线C
的方程为)4
π
ρθ=-.以极点为坐标原
点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为1-的直线l 经过点P . （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）若直线l 和曲线C 相交于两点A B ,，求22||||PA PB +的值. 23. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲.
已知函数()|1||2|f x x x =++-，不等式()f x t ≥对x ∀∈R 恒成立. (1)求t 的取值范围；
(2) 记t 的最大值为T ，若正实数a b ,满足22a b T +=
，求证：
211a b
+≤
2019年吉林省白山市高考数学二模试卷（理科）
参考答案及评分标准
二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)
13. 22(2)(3)13x y -++= 14. 5
12
15. 6或7 16. ③④⑤
简答与提示：
13【试题解析】由题意可知，该圆心原点和点(1,5)--的中垂线210260x y ++=上，又在直线210x y +-=上，因此圆心为(2,3)-，因此圆的方程为22(2)(3)13x y -++=.
14【试题解析】由题意，点(,)x y 所满足的区域如图所示，因此[]1,0,∈y x 条件下，x
y x ≤≤2
1
的概率即为图中阴影面积与正方形面积的比值，其中阴影面积为
32
11200
125)()|23412x x dx x =-=⎰，由几何概型可知概率为5
512112
=.
15【试题解析】由题意可知，380a a +=，而853a =，故公差23d =，13a =-，则(10)
3
n n n S -=，
现要求(1)(10)
(1)3
n n n n n S +-+=的最小值，对上式求导可知，当6n =或7n =时取最小值.
16【试题解析】由题意可知，①中m 的位置不确定，因此①错误；②用数学归纳法证明
*
(1)(2)()213(21)()n n n n n n n +++=⋅⋅+∈N ，
从k n =到1+=k n 时，等式左边需乘的代数式应为2(21)k +，因此②错误；③满足合情推理，因此③正确；④根据相关指数的定义可知，相关指数越接近于1，模型的拟合效果越好，因此④正确；⑤根据空间直角坐标系的性质可知，关于y 轴对称的点对为(,,)x y z 和(,,)x y z --，因此⑤正确. 故答案为③④⑤. 三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分) 17(本小题满分12分)
【试题解析】(1) 将函数x x x f 2sin )6
2cos()(-+=π
化简成为
())f x x π
=+，根据列表
可知函数图像如图所示.
(6分)
(2) 在锐角ABC ∆中，3)(,3-==A f a ，
可知3A π
=
，由正弦定理可知
2sin sin sin a b c
A B C
===，
即2sin b B =，2sin c C =，周长
22sin 2sin 2sin()2sin )36
L B C C C C ππ
=+=-+=+，
其中
62
C π
π
<<
，因此L
的取值范围是(3. (12分)
18 (本小题满分12分)
【试题解析】(1)由题意可得0.044,0.22b a ==，所以回归直线ˆ0.0440.22y
x =+，故当电压加为110伏时，估计电流为5.06安培 (6分)
(2)经计算，产品编号为①③的不合格品，其余为合格品，合格概率为3
5
则3~(5,)5X B ，有55
32()()()(0,1,2,3,4,5)55
i i i
P X i C i -=== X
由于~(5,)5X B ，则535EX =⨯=；5(1)555
DX =⨯⨯-=. (12分)
19(本小题满分12分)
【试题解析】解：取PC 的中点为N ，连结,MN DN
(1) M 是PB 的中点，
1//,2
MN BC MN BC ∴= //AD BC ，且2BC AD =，
//NM AD NM
AD ∴=且，
∴四边形AMND 为平行四边形，//AM ND ∴， 又 AM ⊄平面PCD ，ND ⊂平面PCD
所以//AM 平面PCD (6分) (2)以A 为坐标原点，AN 为x 轴，AD 为y 轴，
AP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.设
(
0)PA t t =>
，
30,1DAC CD ∠=︒∴=，由题意可求得：
(0,23,0),(1,0,0),(1,3,)BC DC PC t ===-.
设(,,1)m x y =-为平面PMC 的法向量，(,,1)n x y ''=为平面PCD 的法向量，则有：
00000
m PC x t x t
y m BC ⎧⎧⋅
=+==-⎧⎪⎪⇒⇒⎨
⎨⎨=⋅==⎩⎪⎪⎩⎩，所以(,0,1)m t =-- 00000x n PC x t y x n DC '=⎧⎧⎧⋅=''+-=⎪⎪⎪
⇒⇒⎨⎨⎨'
='=⎪⋅=⎪⎩⎪⎩⎩，所以3(0,,1)3n t = 二面角M PC D --
的余弦值为4-，
||||m n m n ⋅∴==化简得42450t t +-=，所以1t =，即1PA = (12分) 20 (本小题满分12分)
【试题解析】解：(1) 因为AB 是过焦点1F 的弦，所以当AB x ⊥轴时，||AB 最小，且最小
值为22b a ，由题意可知2
23b a
=，再由椭圆定义知，2ABF ∆的周长为4a ，
所以2,a b ==，
所以椭圆的方程为22
143
x y +
= (4分) (2)设AB 方程为112211(1),(,),(,),(,)y k x A x y B x y A x y '=+-，
则22(1)143
y k x x y =+⎧⎪
⎨+
=⎪⎩，化简得2222(34)84120k x k x k +++-=
所以2122
834k x x k -+=+①，2122412
34k x x k -=+②
则2121,A B y y k A B x x '+'=∴-方程为211121
()y y
y y x x x x ++=--
化简有1212122121
()22()
k x x k kx x k x x y x x x x x ++++=-
--，将①②代入可得 ()222
21211624643434(34)()
k k k
y x x x x k k k x x ⎛⎫=
+=+ ⎪-+++-⎝⎭， 所以直线A B '恒过定点(4,0)-，所以121
3||2
ABM S y y ∆=⨯⨯-
设:1(0)AB x my m =-≠，则22114
3x my x y =-⎧⎪
⎨+=⎪⎩，整理得22(34)690m y my +--=，
1212
2269
,3434
m y y y y m m -+==++，所以 2
22
1222
22222636144(1)||34349(1)6(1)1144144
9
1169(1)61
m m y y m m m m m m +⎛⎫-=+= ⎪++++++⎝⎭
=≤=++++ 因为0m ≠，所以120||3y y <-<，所以90,2ABM S ∆⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
(12分)
21 (本小题满分12分)
【试题解析】解：(1) ()1,(1)=3,2a
f x f a x
''=+∴∴= (4分)
(2)易知0a ≠，211112
2222()ln 0,()ln 0
g x x a x kx g x x a x kx ⎧=+-=⎨=+-=⎩不妨设1
122,1x x x t x >=> 所以12121212(ln ln )()()x x a x x k x x x x -+-=-+
所以121212
(ln ln )
1()a x x k x x x x -+=+-
1212121212121212
1222()12,(ln ln )22()1()112ln ln 22ln 12(1)ln 1111a
g x kx x
x x a x x a a g k x x x x x x x x x x a t a t a t x x x x x t t x t t '=+
-+-'=+-+=+--
++-⎛⎫--⎛⎫⎛⎫=-=-=⋅- ⎪ ⎪
⎪+-+--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
令2(1)()ln (1)1t h t t t t -=-≥+，2
22
41(1)()0(1)(1)
t h t t t t t -'=-=-≤++ 所以()h t 在(0,)+∞上单调递减，而(1)0h =，所以当1t >时，()0h t <，
所以当0a >时，12()02x x g +'<；当0a <时，12()02
x x
g +'>. (12分)
22(本小题满分10分)
【试题解析】解(1)由曲线C
22cos 2sin ρρθρθ=+，
因此曲线C 的直角坐标方程为2222x y x y +=+
点P 的直角坐标为(1,0)，直线l 的倾斜角为135︒，所以直线l
的参数方程为1,(,x t y ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩为参数). (5分)
(2)
将1,2(,2
x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)代入2222x y x y +=+
，有210t -=， 设A ，B 对应参数分别为12,t t
，有12121t t t t +=-，根据直线参数方程t 的几何意义有，
22||||PB PA +=22
2121212()24t t t t t t +=+-=. (10分) 23(本小题满分10分)
【试题解析】(1)()|1||2||12|3f x x x x x =++-++-=≥，所以3t ≤. (5分)
(2)由(1)知3,T =所以223(0,0)a b a b +=>> 因为222a b ab +≥，所以32ab ≤
，又因为11a b +≥
，所以211a b
≤≤+ （当且仅当a b =时取“=”）.。