“圆柱和圆锥”单元典型错题分析及矫正策略

纠正学生的数学学习错误是数学教师的日常工作之一。

教师若能经常做好以下三方面的工作,就无须在“纠正错误,批改订正”上花费过多的时间和精力:(1)收集、整理学生数学学习中的典型错题;(2)分析、寻找学生出错的主观、客观原因;(3)提出切实可行、行之有效的预防和矫正策略。

本文以“圆柱和圆锥”单元典型错题分析及矫
正策略为例,谈谈对这一问题的认识与实施。

【例1】将一个圆锥形零件浸没在底面直径是3分米的圆柱形玻璃缸里,这时水面上升4厘米。

这个圆锥形零件的体积是多少立方厘米?
错误解答:3分米=30厘米,1
3
×π×(30÷2)2×4=300π(立方厘米)。

诊断:1.学生不清楚该“圆锥的体积”已经转
化为“圆柱形水的体积”,即圆柱形玻璃缸内上升
◇蒋明玉
中无处不在,从而培养学生用统计的眼光看待生活中的现象,培养学生初步的数据意识及数据分析观念。

另一方面,分享学生收集的各类统计图,有针对性地进行分析和解读,既可以巩固各类统计图的知识,明晰每种统计图的特点与优势,又可以让学生进一步明确:①数据中蕴含着大量信息;②要根据不同的问题背景与需要,选择合适的统计图描述数据。

当然,此题中,教师还应关注学生读图的水平。

一般来说,学生读图的水平有三个层次:①数据本身的读取。

即读能看见的或通过简单推理得到的信息,包括单个数据、数据的比较、数据的整体变化等。

②数据之间关系的读取。

即对统计图的解释,根据数据进行预测;思考统计图的作用;思考数据为什么会呈现这种状况。

③超越数据本身的读取。

即对统计图中的指标、收集数据的方法是否合理等进行思考与评价。

三个层次中,第一及第二层次中的解释与预测是每名学生应达到的水平。

例3:盒子里装有红、黄两种颜色的乒乓球。

每
次从中任意摸一个,记录颜色后放回去摇匀再摸。

(1)设计一个实验方案,通过实验判断盒子中哪种颜色的球比较多。

(2)以下是某四人小组每人重复摸20次的数
据记录:
能各有几个?
②按以上方式,小红接着再摸一次,摸出哪种
颜色球的可能性比较大
?为什么?一定能摸到这种颜色的球吗?
分析:此题是“统计与概率”知识的综合,涉及统计中的数据记录、统计与分析以及根据数据进行推断等知识,可以帮助学生进一步理解“只要有足够的数据就可能从中发现规律”。

同时,对于随机现象而言,学生需要明白“‘可能性大’不是‘一定’”“‘可能性小’不是‘不可能’”,从而更全面地了解和认识可能性问题。

(作者单位:广东东莞市教育局教研室)
B
分析及矫正策略
“圆柱和圆锥”单元典型错题. All Rights Reserved.
数学版
的水的体积=圆锥的体积。

2.受到圆锥体积公式的负
迁移,以为只要是求圆锥的体积一定要用V =
1
3
Sh ,但是本题看似是求圆锥的体积,实质是求圆柱的体积。

对策:1.引导学生自己画出示意图,联系生活实际,合理想象一下:上升的水的体积是圆锥形还是圆柱形?
2.引导学生找到其中的等
量关系:圆锥形物体的体积=圆柱形玻璃缸内上升的水的体积,将所求问题进行转化,从而得到正确的解答:3分米=30厘米,π×(30÷2)2×4=900π(立方厘米)。

3.进行相关变式训练。

(1)一个盛有水的圆柱形玻璃缸,底面直径20厘米,高30厘米。

把一个底面半径6厘米的圆锥完全浸没水中,水面上升了3厘米,求这个圆锥的体积。

(2)一个盛有水的圆柱形容器,底面半径是6厘米,在其中浸没一个底面半径为3厘米、高为4厘米的铁质圆锥形零件,水没有溢出,水面上升了多少厘米?【例2】把一个长、宽、高分别
是6厘米、5厘米、4厘米的长方体橡皮,切成一个圆柱,这个圆柱的体积最大是多少立方厘米?
常见错误:多数学生往往会在求最大体积时出现错误,绝大多数学生仅仅做出一种答案,而且还不知道是不是最大值。

诊断:1.多数学生不会从整体上把握问题的关键,不善于全面考虑问题。

2.学生不能理解,在高发生变化时,相应底面的圆的直径也在变化之中。

对策:1.引导学生多角度思考问题,先解决高与底面直径的对应关系。

如高是6厘米时,底面直径是4厘米;高是5厘米时,底面直径是4厘米;高是4厘米时,底面直径是5厘米。

2.思考一共有几种情况,为
什么一共有3种情况,会不会有第4种情况?实际上,因为长方体有3种不同的放置方式,所以长、宽、高都可以作为圆柱的高,所以一共有3种情况。

3.有了以上分析后,再有序算出3个答案,进而找出最大值。

(1)高是6厘米时,底面直径是4厘米:V =Sh =π×(4÷2)2×6=24π(立方厘米)。

(2)高是5厘米时,底面直径是4厘米:V =
Sh =π×(4÷2)2×5=20π(立方厘米)。

(3)高是4厘米时,底面直径是5厘米:V =Sh =π×(5÷2)2×4=25π(立方厘米)。

所以,当高是4厘米,底面直径是5厘米时,圆柱体积最大,最大值为25π立方厘米。

【例3】一个圆柱和一个圆锥的体积与高都相等,已知圆柱的底面积是18平方厘米,那么圆锥的底面积是多少平方厘米?
错误解答有两种:一是18平方厘米,二是18×1
3
=6(平方厘米)。

诊断:1.受思维定式的影响,看到“圆锥”,部分学生总是在套用
13,18×1
3
=6(平方厘米)。

2.缺乏应有的空间观念,学
生“等积”意识、“转化”能力较差。

对策:1.重现规律。

(1)一个圆柱和一个圆锥的体积都是30立方厘米,高也都是3厘米,那么它们的底面积各是多少?(2)学生计算后,不难发现:圆柱的底面积是10平方厘米,圆锥的底面积是30平方厘米。

(3)发现规律:如果一个圆柱和一个圆锥的体积相等、高也相等,那么圆锥的底面积是圆柱底面积的3倍。

2.运用规律。

回到例3,因为
圆柱和圆锥的体积相等、高也相等,所以圆锥的底面积是圆柱的底面积的3倍:18×3=54(平方厘米)。

3.推广规律。

如果一个圆柱和一个圆锥的体积相等,底面积也相等,那么圆锥的高是圆柱的高的(
)。

【例4】张师傅剪下一张长方形铁皮中的涂色部分(如下图所示),正好做成一个圆柱。

求做
成的圆柱的体积。

常见问题:绝大部分学生认为缺少条件,无法解答此题。

诊断:1.读图能力较弱,不善于从图中找到解决问题的突破口。

2.特别是图中的隐含条件,学生读不出来,造成错误。

对策:1.降低坡度,层层推进,先研究以下这道题,再来探
16.56分
米
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错题寻错因
解题需支招
◇吴少东
笔者根据多年的教学经验,就错题的出错原因及应对策略谈谈自己的做法。

在完成题目时,部分学生不能认真理解题意,有的是不把题目看完就开始写,写完就行了;有的是大概看一遍题目,一知半解的情况下完成题目。

结果不是遗漏一些要点,就是被“思维定式”坑了,导致出现错误。

例1:在下面的○中填入“>”“<”“=”“+”或“-”,组成一个算式。

35
24
11
部分学生只看到了前面的大于号、小于号,后面的运算符号压根儿没看,结果直接写成35>24>11,而不是算式35-24=11。

例2:小红的牛奶糖比花生糖多
13千克,牛奶糖有2
5
千克,求花生糖有多少千克?
部分学生读题匆忙,不能很好地理解题目,看到“多”想到用“+”,于是就出现了
13+2
5。

以上错误学生是最容易出现的,平时我们也多用“粗心”来解释这种现象。

其实,大部分是读题不充分造成的,良好的读题习惯是正确解题的基础,所以我们要重视学生的读题。

除要求低年
级学生小声读,中、高年级学生默读外,同时要求学生利用笔尖指着文字读题,读懂题后再用笔算。

实践证明,坚持“笔尖指读”的方法,学生漏读关键词句的现象会有很大改观。

同时,“指读”也有利于学生沉下心来审题,思考会更充分,从而能有效提高解题的正确率。

大部分学生在解决问题时,习惯解题速度至上。

殊不知因为图快,不能整体把握题目结构,没有捕捉到藏在题目中的“玄机”,不小心掉进了“陷阱”,解错了题。

例1:计算
3
7
×27+3÷7。

在计算时,有的学生缺乏对题目的整体把握,没有发现可以利用乘法分配律来解题,使计算变得更简便,而是急于算出结果,先算
37×27=81
7
,再算3÷7=3
7
,最后算加法。

虽然运算顺序不错,但是结果很容易出现错误。

例2:张大爷想靠墙围一个长5米、宽2米的长方形鸡舍,至少需要多少米长的篱笆?
如果学生没有注意“靠墙”一词,就容易把这道题看成是求长方形的周长,列出算式(5+2)×2。

究上面这道题。

张师傅剪下一张长方形铁皮中的涂色部分(如下图所示),正好做成一个圆柱。

求做成的圆柱的体积。

猜想与验证相结合,引导学生展开探究学习。

通过这道题的学习,解决如下问题:长方形哪条边是圆柱的高?哪条边是圆柱的底面周长?能否进行互换?为什么?
不难发现,长方形的短边刚好是直径的2倍,不够作为圆柱的“底面周长”,只能作为“圆柱
的高”,所以“圆柱的高”就是4分米。

圆柱的“底面直径”是4÷2=2(分米)。

V =Sh =π×(2÷2)2
×4=4π(立方分米)。

2.在此基础上,再带着关键
性问题研究例4,解决长方形哪条边是圆柱的高,哪条边是圆柱的底面周长。

不难发现:应该以较长的一条边为底面周长,较短的一条边为高。

16.56分米就是底面周长与一条直径的和。

如果设直径为x 分米,可以得到以下方程:3.14x +x =16.56。

解之得x =4。

直径为4分米,那么高就是4×2=8(分米)。

在确定了底面直径和高的情况下,解答起来就十分简单了:V =Sh =π×(4÷2)2×8=
32π(立方分米
)。

(作者单位:江苏丹阳市华
南实
验学校)
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