中考考点过关系列3：函数(25份)

中考考点（3-1）：函数初步【★★】
说明：（1）本节知识点：平面直角坐标系、函数的相关概念、函数的三种表示方法；（2）最大难度：☆☆☆
一、选择题（共7小题；共35分）
1. 如果电影票上用有序数对(5,3)表示第5排第3个座位，则第2排第7个座位可用有序
数对表示为( )
A. (2,2)
B. (2,7)
C. (7,2)
D. (7,7)
2. 如图，在平面直角坐标系中A(2,0)，B(−3,−4)，O(0,0)，则△AOB的面积为( )
A. 4
B. 6
C. 8
D. 3
3. 等腰三角形的周长是40cm，腰长y(cm)是底边长x(cm)的函数，此函数解析式正确的是
( )
A. y=−0.5x+20(0<x<20)
B. y=−0.5x+20(10<x<20)
C. y=−2x+40(10<x<20)
D. y=−2x+40(0<x<20)
4. 如图所示，四边形ABCD是边长为4cm的正方形，动点P在正方形ABCD的边上沿着
A→B→C→D的路径以1cm/s的速度运动，在这个运动过程中△APD的面积s(cm2)随时间t(s)的变化关系用图象表示，正确的是( )
A. B.
C. D.
5. 已知某山区平均气温与该山区海拔高度的关系如表所示：
海拔高度/m⋯0100200300400⋯
平均气温/∘C⋯2221.521a20⋯则表中a的值为( )
A. 21.5
B. 20.5
C. 21
D. 19.5
6. 已知P(a,−1)和Q(2,b)关于原点对称，则(a+b)2015的值为( )
A. −1
B. 1
C. 2
D. 0
7. 在平面坐标系内，A，B，C三点的坐标分别是(0,0)，(4,0)，(3,2)，以A，B，C三点为顶点
画平行四边形，则第四个顶点不可能在( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
二、填空题（共7小题；共35分）
8. 点P(−2,3)关于x轴的对称点的坐标是．
9. 根据下图中的程序，当输入一元二次方程x2−2x=0的解x时，输出结果y=．
10. 已知点A在x轴上方，到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，A的坐标是．
11. 函数y=√x−2
中自变量x的取值范围是．
x−3
12. 李大爷要围一个长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长恰好
为24m，要围成的菜园是如图所示的长方形ABCD．设BC边的长为x m，AB边的长为y m，则y与x之间的函数解析式y=−1
x+12中，x的取值范围是．
2
13. 已知点P坐标为(1,1)，将点P绕原点逆时针旋转45∘得点P1，则点P1的坐标
为．
14. 如图所示，在平面直角坐标系中，点A(4,0)，B(3,4)，C(0,2)，则四边形ABCO的面积
S=．
三、解答题（共2小题；共26分）
15. 如图所示，购买一种苹果，所付金额y(元)与购买量x(千克)之间的函数图象由线段OA
和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省多少元?
16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(−5,1)，B(−4,4)，
C(−1,−1)．将△ABC向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到△AʹBʹCʹ，其中点Aʹ，Bʹ，Cʹ分别为点A，B，C的对应点．
（1）请在所给坐标系中画出△AʹBʹCʹ，并直接写出点Cʹ的坐标；
（2）若AB边上一点P经过上述平移后的对应点为Pʹ(x,y)，用含x，y的式子表示点P 的坐标；（直接写出结果即可）
（3）求△AʹBʹCʹ的面积．
答案
一、选择题
1. B
2. A
3. A
4. D
5. B
6. A 【解析】由P(a,−1)和Q(2,b)关于原点对称，得a=−2，b=1．(a+b)2015=(−1)2015=−1．
7. C
二、填空题
8. (−2,−3)
9. −4或2
10. (4,3)或(−4,3)
11. x≥2且x≠3
12. 0<x<24
13. (0,√2)
14. 11
三、解答题
15. 2
16. （1）△AʹBʹCʹ如图所示，
点 Cʹ 的坐标为 (4,−5)．
（2） 点 P 的坐标为 (x −5,y +4)．
（3） 过点 Cʹ 作 CʹH ⊥x 轴于点 H ，则点 H 的坐标为 (4,0)．
∵Aʹ，Bʹ 的坐标分别为 (0,−3)，(1,0)，
∴S △AʹBʹCʹ
=S 梯形AʹOHCʹ−S △AʹOBʹ−S △CʹHBʹ=12(AʹO +CʹH )⋅OH −12AʹO ⋅BʹO −12BʹH ⋅CʹH
=12×(3+5)×4−12×3×1−12×(4−1)×5
=7.
中考考点（3-2）：正比例函数、一次函数的概念及性质【★★】
说明：（1）本节知识点：正比例函数、一次函数的概念、图象及性质；（2）最大难度：☆☆
一、选择题（共6小题；共30分）
1. 一次函数y=x−2的图象经过点( )
A. (−2,0)
B. (0,0)
C. (0,2)
D. (0,−2)
2. 如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y=ax，②y=bx，③y=cx．将a，b，
c按从小到大排列并用“<”连接，正确的是( )
A. a<b<c
B. c<b<a
C. b<c<a
D. a<c<b
x图象上的两点(x1,y1)，(x2,y2)，若x1<x2，则有( )
3. 已知正比例函数y=−1
3
A. y1<y2
B. y1≤y2
C. y1>y2
D. y1≥y2
4. 一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，则( )
A. k>0，b>0
B. k>0，b<0
C. k<0，b>0
D. k<0，b<0
5. 在同一直角坐标系内，一次函数y=kx+b与y=2kx−b的图象分别为直线l1，l2，则下
列图象中可能正确的是( )
A. B.
C. D.
6. 已知一次函数y=−2x+3，当0≤x≤5时，函数y的最大值是( )
A. 0
B. 3
C. −3
D. −7
二、填空题（共4小题；共20分）
7. 已知正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限，则k的值可以是．
8. 一次函数y=(2m−6)x+5中，y随x的增大而减小，则m的取值范围
是．
9. 函数y=2x+3的图象向下平移5个单位所得到的直线解析式为．
10. 已知直线y=(n−2)x−3与直线y=−3x+5平行，则n=．
三、解答题（共2小题；共26分）
11. 已知关于x的函数y=(m−3)x∣m∣−2+n−2．
（1）当m，n为何值时，它是一次函数?
（2）当m，n为何值时，它是正比例函数?
12. 已知：一次函数y=(2a+4)x−(3−b)，当a，b为何值时：
（1）y随x的增大而增大；
（2）图象与y轴的交点在x轴上方；
（3）图象经过第二、三、四象限．
答案
一、选择题
1. D
2. D
3. C
4. B 【解析】∵一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，且k>0时，直线必经过第一、三象限，
∴k>0．
∵图象过第三、四象限，即直线与y轴负半轴相交，
∴b<0．
5. A
6. B 【解析】∵一次函数y=−2x+3中k=−2<0，
∴y随x的增大而减小，
∴在0≤x≤5范围内，x=0时，函数值最大，为−2×0+3=3．
二、填空题
7. 任意负数（答案不唯一）
8. m<3
9. y=2x−2
10. −1
三、解答题
11. （1）由题意知∣m∣−2=1，且m−3≠0，解得m=−3，故当m=−3，n为任意实数时，它是一次函数．
（2）由题意知∣m∣−2=1，m−3≠0且n−2=0，解得m=−3，n=2，故当m=−3，n=2时，它是正比例函数．
12. （1）y随x增大而增大，故2a+4>0，解得a>−2．
（2）图象与y轴交点在x轴上方，故x=0时，y=−(3−b)>0，解得b>3．
（3）图象经过二、三、四象限，故y随x的增大而减小，2a+4<0，解得a<−2；图象与y轴的交点在x轴下方，故x=0时，y=−(3−b)<0，解得b<3．
故a<−2且b<3时，函数图象经过二、三、四象限．
中考考点（3-3）：待定系数法（一次函数）【★★】
说明：（1）本节知识点：待定系数法求直线解析式；（2）最大难度：☆☆☆
一、选择题（共4小题；共20分）
1. 与直线y=2x+5平行，且与x轴相交于点M(−2,0)的直线的解析式为( )
A. y=2x+4
B. y=2x−2
C. y=−2x−4
D. y=−2x−2
2. 一次函数y=kx+b的图象如图所示，则其函数解析式为( )
A. y=−2x−1
B. y=−1
2x−1 C. y=−x−2 D. y=−x−1
2
3. 一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既
进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示．则8min时容器内的水量为( )
A. 20L
B. 25L
C. 27L
D. 30L
4. 如图，在平面直角坐标系中，点P(−1
2
,a)在直线y=2x+2与直线y=2x+4之间，则a的取值范围是( )
A. 2<a<4
B. 1<a<3
C. 1<a<2
D. 0<a<2
二、填空题（共2小题；共10分）
5. 已知y−2与x−3成正比例，且当x=1时，y=6，那么y与x的函数关系
是．
6. 如图，在平面直角坐标系中，A(3,0)，B(0,4)，C(2,0)，D(0,1)，连接AD，BC交于点E，则
△ABE的面积为．
三、解答题（共3小题；共39分）
7. 已知：如图，在△OAB中，点O为原点，点A，B的坐标分别是(2,1)，(−2,4)．
（1）若点A，B都在一次函数y=kx+b图象上，求k，b的值；
（2）求△OAB的边AB上的中线的长．
8. 如图，直线AB分别于x轴，y轴交于A，B两点，直线AB与x轴的夹角为30∘，且点
B(0,−2)，求直线AB的函数关系式．
(m≠
9. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=m
x
0)的图象相交于A，B两点．
（1）根据图象写出A，B两点的坐标并分别求出反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出：当x为何值时，一次函数值大于反比例函数值．
答案
一、选择题
1. A
2. B
3. B
4. B
二、填空题
5. y =−2x +8
6. 95
三、解答题
7. （1） ∵ 点 A ，B 都在一次函数 y =kx +b 图象上，
∴ 把 (2,1)，(−2,4) 代入可得 {2k +b =1,−2k +b =4, 解得 {k =−34,b =52
, ∴ k =−34，b =52．
（2） 如图，设直线 AB 交 y 轴于点 C ，
∵ A (2,1)，B (−2,4)，
∴ C 点为线段 AB 的中点，
由（1）可知直线 AB 的解析式为 y =−34x +52，
令 x =0 可得 y =52，
∴ OC =52，即 AB 边上的中线长为 52．
8. ∵ 点 B (0,−2)，
∴ OB =2，
∵ ∠BOA =90∘，
∴ AB =2OB =4，OA =√3OB =2√3，
即 A 的坐标为 (2√3,0)，
设直线 AB 的解析式为 y =kx +b (k ≠0)，
把 A ，B 的坐标代入得：{b =−2,2√3k +b =0,
解得：k =√33，b =−2，
所以直线 AB 的函数关系式为 y =√33x −2．
9. （1） 由图象可知：点 A 的坐标为 (2,12
)，点 B 的坐标为 (−1,−1)， ∵ 反比例函数 y =
m x (m ≠0) 的图象经过点 (2,12)， ∴12=m 2，即 m =1，
∴ 反比例函数的解析式为：y =1x ．
∵ 一次函数 y =kx +b (k ≠0) 的图象经过点 A (2,12
) 和点 B (−1,−1)， ∴{2k +b =12,−k +b =−1, 解得：{k =12,b =−12
. ∴ 一次函数的解析式为 y =12x −12．
（2） 由图象可知：当 x >2 或 −1<x <0 时一次函数值大于反比例函数值．
中考考点（3-4）：一次函数图象的平移、轴对称、旋转【★★】
说明：（1）本节知识点：一次函数的平移、轴对称、旋转；（2）最大难度：☆☆☆
一、选择题（共4小题；共20分）
1. 在平面直角坐标系中，将正比例函数y=kx(k>0)的图象向上平移一个单位，那么平移后
的图象不经过( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2. 若直线l与直线y=2x−3关于x轴对称，则直线l的解析式为( )
A. y=−2x−3
B. y=−2x+3
C. y=1
2x+3 D. y=−1
2
x−3
3. 把函数y=−2x+3的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的
图象的函数解析式是( )
A. y=−2x+7
B. y=−2x−7
C. y=−2x−3
D. y=−2x
4. 在直角坐标系中，直线a向上平移2个单位后所得直线b经过点A(0,3)，直线b绕点A 顺时针旋转90∘后所得直线经过点B(√3,0)，则直线a的表达式为( )
A. y=−√3x+3
B. y=−√3
3x+1 C. y=√3x+1 D. y=√3
3
x+1
二、填空题（共3小题；共15分）
5. 将正比例函数y=2x的图象向上平移3个单位，所得的直线不经过
第象限．
6. 在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，将直线y=x绕原点O逆时针旋转15∘，再向
上平移3个单位得到直线l，则直线l的解析式为．
x向上平移n个
7. 已知直线y=2x+2与x轴、y轴分别交于点A，B．若将直线y=1
2单位长度与线段AB有公共点，则n的取值范围是．
三、解答题（共2小题；共26分）
的
8. 将直线y=3x+1向下平移1个单位长度，得到直线y=3x+m，若反比例函数y=k
x 图象与直线y=3x+m相交于点A，且点A的纵坐标是3．
（1）求m和k的值；
的解集．
（2）结合图象求不等式3x+m>k
x
9. 如图，直线y=kx+b经过A，B两点．
（1）求此直线表达式；
（2）若直线y=kx+b绕着点A旋转，旋转后的直线y=kʹx+bʹ与y轴交于点M，若△OAM的面积为S，且3<S<5，分别写出kʹ和bʹ的取值范围（只要求写出最后结果）．
答案
一、选择题
1. D 【解析】将正比例函数y=kx(k>0)的图象向上平移一个单位得到y=kx+
1(k>0)，
∵k>0，b=1>0，
∴图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
2. B
3. C 【解析】把函数y=−2x+3的图象向左平移2个单位长度，得到的图象的函数解析式是y=−2(x+2)+3，整理得y=−2x−1．再把函数y=−2x−1的图象向下平移2个单位长度，得到的图象的函数解析式是y=−2x−3．
4. D
二、填空题
5. 四
6. y=√3x+3
【解析】直线y=x与x轴夹角为45∘，逆时针旋转15∘后，直线与x轴夹角变为60∘．
此时直线的斜率为k=√3．
直线l过(0,3)，所以l的解析式为y=√3x+3．
7. 1
2
≤n≤2
【解析】因为直线y=2x+2与x轴、y轴分别交于点A，B，
所以A(−1,0)，B(0,2)，
将直线y=1
2x向上平移n个单位长度后得到直线：y=1
2
x+n，
当直线y=1
2x+n经过点A时，0=−1
2
+n，即n=1
2
，
又因为直线y=1
2
x+n与线段AB有公共点，
所以n的取值范围为：1
2
≤n≤2．
三、解答题
8. （1）∵y=3x+m由y=3x+1向下平移一个单位长度而得，
∴m=0，
∵A点纵坐标为3且在y=3x上，
∴A点坐标为(1,3)，
∵A点在反比例函数上，
∴k=3．
（2）y=3x+m与y=k
x
的图象如图所示，
由图可知当3x+m>k
x
时，−1<x<0或x>1．9. （1）依题意，得
{b=4,
−2k+b=0.解得
{b=4,
k=2.
所以直线表达式为y=2x+4．
（2）3
2<kʹ<5
2
，3<bʹ<5或−5
2
<kʹ<−3
2
，−5<bʹ<−3．
【解析】提示：设点M坐标为(0,m)
S=1
2
OA⋅y M=∣m∣
∵3<S<5，
∴3<∣m∣<5
∴−5<m<−3或3<m<5
取M的坐标为(0,−5)，(0,−3)，(0,3)，(0,5)，结合点A(−2,0)，可得结果．
中考考点（3-5）：一次函数的实际应用【★★】
说明：（1）本节知识点：一次函数中有关行程、工程、费用、销售、方案、几何等的实际应用；（2）最大难度：☆☆☆
一、选择题（共5小题；共25分）
1. 甲、乙两辆摩托车同时从相距20km的A，B两地出发，相向而行，图中l1，l2分别表示
甲、乙两辆摩托车到A地的距离s(km)与行驶时间t(h)的函数关系，下列说法错误的是( )
A. 乙摩托车的速度较快
km
B. 当乙摩托车到达A地时，甲摩托车距离A地50
3
C. 经过0.25小时两摩托车相遇
D. 经过0.3小时甲摩托车行驶到A，B两地的中点
2. 一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：
会员年卡类型办卡费用/元每次游泳收费/元
A类5025
B类20020
C类40015
例如，购买A类会员年卡，一年内游泳20次，消费50+25×20=550元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45∼55次之间，则最省钱的方式为( )
A. 购买A类会员年卡
B. 购买B类会员年卡
C. 购买C类会员年卡
D. 不购买会员年卡
3. 一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：
会员年卡类型办卡费用(元)每次游泳收费(元)
A类5025
B类20020
C类40015
例如，购买A类会员卡，一年内游泳20次，消费50+25×20=550（元），若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45−55次之间，则最省钱的方式为( )
A. 购买A类会员年卡
B. 购买B类会员年卡
C. 购买C类会员年卡
D. 不购买会员年卡
4. 一个矩形被直线分成面积为x，y的两部分，则y与x之间的函数关系只可能是( )
A. B.
C. D.
5. 有两段长度相等的路面，分别交给甲，乙两个施工队同时进行施工，甲，乙两个施工队铺设路
面的长度y（米）与施工时间x（时）的函数关系的部分图象如图所示．下列四种说法：
①施工6小时，甲队比乙队多施工10米；
②施工4小时，甲乙两队施工的长度相同；
③施工5小时，甲乙两队完成路面铺设任务95米；
④如果两队施工速度不变，乙队在施工6小时后，施工速度增加到每小时12米，结果两队
同时完成铺设任务，则路面铺设任务的长度为110米．其中正确的有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题（共5小题；共25分）
6. 一农民带上若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一
些后，他想快点售完回家，于是降价出售，售出的土豆千克数x与他手中持有的钱数（含备用零钱）y的关系如图所示，请写出降价前y与x之间的关系式．
7. 某工厂2010 年、2011 年、2012 年的产值连续三年呈直线上升，具体数据如下表：
年份201020112012
产值√2a2√2a
则2011 年的产值为．
8. 在一定范围内，某种产品购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系式，若购买1000吨，
每吨800元；购买2000吨，每吨700元，一客户购买4000吨单价为元．
9. 拖拉机的油箱装油40kg，犁地平均每小时耗油3kg，拖拉机工作x h后，油箱剩下油y kg，
则y与x间的函数关系式是．
10. 小丽的家和学校在一条笔直的马路旁，某天小丽沿着这条马路上学，先从家步行到公交站台
甲，再乘车到公交站台乙下车，最后步行到学校（在整个过程中小丽步行的速度不变）．图中折线ABCDE表示小丽和学校之间的距离y（米）与她离家时间x（分钟）之间的函数关系．
（1）小丽步行的速度为；
（2）写出y与x之间的函数关系式：．
三、解答题（共5小题；共65分）
11. 为庆祝商都正式营业，商都推出了两种购物方案．方案一：非会员购物所有商品价格可获九
五折优惠，方案二：如交纳300元会费成为该商都会员，则所有商品价格可获九折优惠．
（1）以x（元）表示商品价格，y（元）表示支出金额，分别写出两种购物方案中y关于x 的函数解析式；
（2）若某人计划在商都购买价格为5880元的电视机一台，请分析选择哪种方案更省钱?
12. 某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案，方案一：用168
元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的9.5折优惠．已知小敏5月1日前不是该商店的会员．
（1）若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付多少元?
（2）请帮小敏算一算，所购买商品的价格在什么范围时，采用方案一更合算?
13. 如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给出的数据信息，解答下列问
题：
（1）求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y(cm)与饭碗数x(个)之间的一次函数解析式；
（2）把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少?
14. 国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某企业推出一种叫“CNG”的改烧汽油为天然气的装置，
每辆车改装前每天的燃料费为a元，每辆车改装费为b元，据市场调查知：每辆车改装前、后的燃料费（含改装费）y0，y1（单位：元）与正常运营时间x（单位：天）之间分别满足关系式：y0=ax，y1=b+50x，它们的函数图象如图所示．试根据图象解决下列问题：
（1）每辆车改装前每天的燃料费a=元；每辆车的改装费b=元，正常营运天后，就可以从节省的燃料费中收回改装成本；
（2）某出租车公司一次性改装了100辆出租车，因而，正常运营多少天后共节省燃料费40万元?
15. 某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000
元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元．
（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元?
（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
（3）该公司的销售人员发现：当商家一次购买这种产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越
多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元?（其他销售条件不变）
答案
一、选择题
1. C
2. C 【解析】设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，
记不购买会员年卡时消费的钱数为y1元，
根据题意得y1=30x，y A=50+25x，y B=200+20x，y C=400+15x，
当45≤x≤55时，确定y的范围，进行比较即可得到答案．
3. C 【解析】设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元．
根据题意得：
A类会员年卡：y A=50+25x，
B类会员年卡：y B=200+20x，
C类会员年卡：y C=400+15x，
不办会员卡：y D=30x．
∵y A−y B=5x−150>0，
∴y A>y B，
同理：y A>y C，y B>y C，y D>y C，
由此可知，C类会员年卡消费最低．
4. A
二、填空题
6. y =0.5x +5(0≤x ≤30)
7.
3√2
2
a 8. 500
9. y =40−3x (0≤x ≤
403
)
10. 50 米/分钟，y ={
−50x +3900,0≤x ≤53650,
5<x ≤8
−500x +7650,8<x ≤15−50x +900,
15<x ≤18
【解析】（1）小丽步行的速度为：(3900−3650)÷5=50（米/分钟）． （2）点 D 的纵坐标为：50×(18−15)=150．
设 0≤x ≤5 时 y 与 x 之间的函数关系式为 y =kx +b ． 将 (0,3900)，(5,3650) 代入得 {3900=b,
3650=5k +b,
解得：{k =−50,
b =3900.
∴ 此时 y =−50x +3900． 当 5<x ≤8 时，y =3650；
当 8<x ≤15 时，同理得 y =−500x +7650； 当 15<x ≤18 时，同理得 y =−50x +900．
综上可知：y 与 x 之间的函数关系式为 y ={
−50x +3900,0≤x ≤53650,
5<x ≤8
−500x +7650,8<x ≤15−50x +900,15<x ≤18
．
11. （1）方案一：y=0.95x；
方案二：y=0.9x+300．
（2）当x=5880时，
方案一：y=0.95x=5586，
方案二：y=0.9x+300=5592，
5586<5592，所以选择方案一更省钱．
12. （1）120×0.95=114(元)，
若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付114元；
（2）设所付钱为y元，购买商品价格为x元，则按方案一可得到一次函数的关系式：y=0.8x+168，
则按方案二可得到一次函数的关系式：
y=0.95x，
如果方案一更合算，那么可得到：
0.8x+168<0.95x，解得，x>1120，
∴所购买商品的价格在1120元以上时，采用方案一更合算．
13. （1）y=1.5x+4.5
（2）21cm
14. （1）90；4000；100
（2）依题意：可得：
400000
÷(90−50)+100=200（天）．
100
答：200天后共节省燃料费40万元．
15. （1）设商家一次购买这种产品x件时，销售单价恰好为2600元．
3000−10(x−10)=2600,
解得
x=50.
故商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元．（2）当0≤x≤10时，y=(3000−2400)x=600x；
当10<x≤50时，y=x[3000−10(x−10)−2400]=−10x2+700x；当x>50时，y=(2600−2400)x=200x．
故y与x之间的函数解析式为
y={600x,0≤x≤10,且x为整数
−10x2+700x,10<x≤50,且x为整数200x,x>50,且x为整数
．
（3）若要满足一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，则y应随x的增大而增大．y= 600x及y=200x均是y随x的增大而增大，二次函数y=−10x2+700x=−10(x−35)2+ 12250，当10<x≤35时，y随x的增大而增大；当35<x≤50时，y随x的增大而减小，因此x的取值范围只能为10<x≤35，即一次购买的数量为35件时的销售单价应为调整后的最低销售单价．
当x=35时，销售单价为3000−10×(35−10)=2750（元）．
故公司应将最低销售单价调整为2750元．
中考考点（3-6）：一次函数与几何图形综合【★★★】
说明：（1）本节知识点：一次函数与三角形、四边形、圆的综合题；（2）最大难度：☆☆☆☆
一、选择题（共1小题；共5分）
1. 在平面直角坐标系中，点A(0,4)，B(3,0)，且四边形ABCD为正方形，若直线l：y=kx+4
与线段BC有交点，则k的取值范围是( )
A. k≤4
3B. −4
3
≤k≤−1
7
C. −4
3≤k≤−1 D. −4
3
≤k≤4
3
二、解答题（共8小题；共104分）
2. 如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为(−3,0)，经过A，O两点作半径为
5
2
的⊙C，交y轴的负半轴于点B．
（1）求B点的坐标；
（2）过B点作⊙C的切线交x轴于点D，求直线BD的解析式．
3. 在平面直角坐标系内有一平行四边形点O(0,0)，A(4,0)，B(5,2)，C(1,2)，有一次函数y=kx+ b的图象过点P(6,1)．
（1）若此一次函数图象经过平行四边形OA边的中点，求k的值；
（2）若此一次函数图象与平行四边形OABC始终有两个交点，请求出k的取值范围．
x+6的图象分别交y轴、x轴交于点A，B，点P从点B出发，4. 如图，一次函数y=−3
4
沿射线BA以每秒1个单位的速度出发，设点P的运动时间为t秒．
（1）点P在运动过程中，若某一时刻，△OPA的面积为12，求此时P的坐标；
（2）在整个运动过程中，当t为何值时，△AOP为等腰三角形?（只需写出t的值，无需写解答过程）
x+2的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，以线段AB为边在5. 如图，一次函数y=−2
3
第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90∘．求过B，C两点直线的解析式．
6. 如图，在平面直角坐标系中，△AOB是边长为3的等边三角形，直线l与x轴，OA，AB
分别交于点C，D，E，OC=AE．过点E作EF∥OA，交x轴于点F．
（1）点A的坐标为：；（结果保留根号）
（2）求证：点C，F关于y轴对称；
（3）若AD=EF．求直线l对应的函数表达式．
7. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点，OA<OB，且OA，OB的长分别是一元二次方程x2−7x+12=0的两根．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）点P是y轴上的点，点Q是第一象限内的点．若以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出Q点的坐标．
8. 如图，长方形AOBC在直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，已知点C的坐
标是(8,4)．
（1）求对角线AB所在直线的函数关系式；
（2）对角线AB的垂直平分线MN交x轴于点M，连接AM，求线段AM的长；
（3）在（2）的条件下，若点P是直线AB上的一个动点，当△PAM的面积与长方形AOBC 的面积相等时，求点P的坐标．
9. 在平面直角坐标系中，O为原点，边长为2的正方形OABC的两顶点A，C分别在y轴，
x轴的正半轴上，现将正方形OABC绕点O顺时针旋转．
（1）如图1，当点A的对应点Aʹ落在直线y=x上时，点Aʹ的对应坐标为；点B的对应点Bʹ的坐标为；
（2）在旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N，当A点第一次落在直线y=x上时，停止旋转．
①如图2，在正方形OABC旋转过程中，线段AM，MN，NC三者满足什么样的数量关
系?请说明理由；
②当AC∥MN时，求△MBN内切圆的半径（直接写出结果即可）．
答案
一、选择题
1. B 【解析】∵ 四边形 ABCD 为正方形，点 A (0,4)，B (3,0)， ∴ C 点坐标为 (7,3)．
把 B (3,0) 代入 y =kx +4 得 3k +4=0，解得 k =−43；把 C (7,3) 代入 y =kx +4 得 7k +4=3，解得 k =−17，
∴ 当直线 y =kx +4 与线段 BC 有交点时，k 的取值范围为 −43≤k ≤−17．
二、解答题
2. （1） B 点的坐标为 (0,−4)．
（2） ∵ BD 是 ⊙C 的切线，CB 是 ⊙C 的半径，
∴ BD ⊥AB ，即 ∠ABD =90∘，
∴ ∠DAB +∠ADB =90∘．
又 ∵ ∠BDO +∠OBD =90∘，
∴ ∠DAB =∠DBO ．
∵ ∠AOB =∠BOD =90∘，
∴ △ABO ∽△BDO ．
∴ OA OB =OB OD ．
∴ OD =OB 2OA =423=163．
∴ 点 D 的坐标为 (163,0)．
设直线 BD 的解析式为 y =kx +b （k ≠0，k ，b 为常数），则有 {163k +b =0,b =−4,
∴ {k =34,b =−4,
∴ 直线 BD 的解析式为 y =34x −4．
3. （1）设 OA 的中点为 M ，
∵O (0,0)，A (4,0)，
∴OA =4，
∴OM =2，
∴M (2,0)，
∵ 图象过 M 、 P 两点，
∴{6k +b =1,2k +b =0.
解得：k =14 . （2）当图象过 B 、 P 两点时，代入表达式 y =kx +b ，
得到：{6k +b =1,5k +b =2.
解得：k =−1 .
当图象过 A 、 P 两点时，代入表达式 y =kx +b ，
得到：{6k +b =1,4k +b =0.
解得：k =12 .
所以 −1<k <12
. 由于要满足一次函数的存在性，所以 −1<k <12 且 k ≠0 .
4. （1） 因为 y =−34x +6，
所以 A (0,6)，
所以 OA =6，
因为 S △AOP =12OA ⋅∣x P ∣，
所以 3∣x P ∣=12，
所以 ∣x P ∣=4，
所以 x P =±4，
所以 P (4,3) 或 P (−4,9)．
（2） t =145 或 t =5 或 t =4 或 t =16．
5. ∵ 一次函数 y =−23x +2 中，令 x =0 得：y =2；
令 y =0，解得 x =3．
∴B 的坐标是 (0,2)，A 的坐标是 (3,0)．
作 CD ⊥x 轴于点 D ．
∵∠BAC =90∘，
∴∠OAB +∠CAD =90∘，
又 ∵ ∠CAD +∠ACD =90∘，
∴ ∠ACD =∠BAO ，
又 ∵ AB =AC ，∠BOA =∠CDA =90∘，
∴ △ABO ≌△CAD ，
∴ AD =OB =2，CD =OA =3，OD =OA +AD =5．
则 C 的坐标是 (5,3)．
设 BC 的解析式是 y =kx +b ，
根据题意得：{b =2,5k +b =3, 解得 {k =15,b =2.
则BC的解析式是：y=1
5
x+2．
6. （1）(3
2,3√3 2
)
【解析】过点A作AM⊥x轴于点M，如图1所示．
∵△AOB是边长为3的等边三角形，
∴AB=OB=OA=3，且∠AOM=60∘．
在Rt△AMO中，OA=3，∠AOM=60∘，
∴∠OAM=30∘，
∴OM=1
2OA=3
2
，AM=√OA2−OM2=3√3
2
，
∴点A的坐标为(3
2,3√3
2
)．
（2）若证C，F关于y轴对称，只需证OC=OF即可．∵EF∥OA，
∴∠BFE=∠BOA=60∘，
∵∠OBA=60∘，
∴△BEF为等边三角形，
∴BE=BF．
∵△AOB是等边三角形，
∴BO=BA，
∴AE=AB−BE=OB−BF=OF，
又 ∵ OC =AE ，
∴ OC =OF ．
∴ 点 C ，F 关于 y 轴对称．
（3） 设 OC =OF =x,
∵ OB =3，
∴ BF =EF =3−x ，
∵ AD =EF ，
∴ AD =3−x ．
∵ OA =3，
∴ OD =x ，
∴ ∠OCD =∠ODC ．
∵ OA ∥EF ，
∴ ∠CEF =∠CDO =∠ECF ，
∴ EF =CF ，即 3−x =2x ，
解得：x =1．
∴ 点 C 的坐标为 (−1,0)，点 D 的坐标为 (12,√32
)． 设直线 l 对应的函数表达式为 y =kx +b ，将点 C (−1,0)，点 D (12,√32) 代入直线 l 对应的函数表达式中，
得 {0=−k +b,
√32=12k +b,
解得：{k =√33,b =√33,
故直线 l 对应的函数表达式为 y =√33x +√33
．
7. （1） ∵x 2−7x +12=0，
∴(x −3)(x −4)=0，
∴x 1=3，x 2=4．
∴ 点 A 的坐标为 (3,0)，点 B 的坐标为 (0,4)．
∵ 设直线 AB 的函数表达式为 y =kx +b (k ≠0)，
∴{0=3k +b,4=b.
∴{k =−43,b =4.
∴ 直线 AB 的函数表达式为 y =−43
x +4． （2） Q 点的坐标是 (3,5) 或 (3,258
)． 【解析】当 P 在 B 的下边时，AB 是菱形的对角线，AB 的中点 D 坐标 (32,2)， 设过 D 与直线 AB 垂直的直线的解析式是 y =34x +m ，则 98
+m =2， 解得：m =78，
则 P 的坐标是 (0,78
)． 设 Q 的坐标是 (x,y )，则 {x 2
=32,78+y 2=2, 解得 {x =3,y =258. 则点 Q 的坐标是 (3,258)． 当 P 在 B 的上方时，AB =5，AQ =5，则 Q 点的坐标是 (3,5)．
8. （1） ∵ 四边形 AOBC 为长方形，且点 C 的坐标是 (8,4)， ∴ AO =CB =4，OB =AC =8，
∴ A 点坐标为 (0,4)，B 点坐标为 (8,0)．
设对角线 AB 所在直线的函数关系式为 y =kx +b ，将 A (0,4)，B (8,0) 代入，
得 {4=b,0=8k +b, 解得：{k =−12,b =4.
∴ 对角线 AB 所在直线的函数关系式为 y =−12x +4．
（2） ∵ 四边形 AOBC 为长方形，且 MN ⊥AB ，
∴ ∠AOB =∠MNB =90∘，
∵ ∠ABO =∠MBN ，
∴ △AOB ∽△MNB ，
∴ MB AB =BN BO ， ∵ AO =CB =4，OB =AC =8，
∴ 由勾股定理得：AB =√AO 2+OB 2=4√5，
∵ MN 垂直平分 AB ，
∴ BN =AN =12AB =2√5．
∴ MB AB =BN BO =2√58=4√5， ∴ MB =5，
∴ OM =OB −MB =8−5=3，
∴ 由勾股定理可得：AM =√AO 2+OM 2=5．
（3） ∵ A 点坐标为 (0,4)，B 点坐标为 (8,0)，MN 是 AB 的垂直平分线，
∴ 点 N 是 AB 的中点，MN ⊥AB ，
∴ N 点坐标为 (4,2)，
∴ MN =√(4−3)2+22=√5，
∵ S △PAM =S 四边形OACB =4×8=32，
∴ AP =√5=64√55，
设点 P 坐标为 (m,−12
m +4)， 则 (64√55)2=∣m ∣2+∣∣−12
m ∣∣2， 解得 m =±1285，
故点 P 的坐标为 (1285,−445) 或 (−1285,845
)． 9. （1） (√2,√2)；(2√2,0)
（2） ①结论：AM +CN =MN ；
理由：延长 BA 交 y 轴于 E 点，如图所示：
易得 ∠AOE =45∘−∠AOM ，∠CON =90∘−45∘−∠AOM =45∘−∠AOM ，
∴∠AOE =∠CON ，
又 ∵OA =OC ，∠OAE =180∘−90∘=90∘=∠OCN ，
在 △OAE 和 △OCN 中，
{∠AOE =∠CON,
OA =OC,∠EAO =∠NCO,
∴△OAE ≌△OCN ，
∴OE =ON ，AE =CN ，
在 △OME 和 △OMN 中，
{OE =ON,
∠EOM =∠NOM,OM =OM,
∴△OME ≌△OMN ．
∴MN=ME=AM+AE．
∴MN=AM+CN．
②△BMN的内切圆半径r=6−4√2．
中考考点（3-7）：函数图象过定点问题【★★】说明：（1）本节知识点：函数图象过定点的解法；（2）最大难度：☆☆
一、选择题（共1小题；共5分）
1. 直线y=(2k−1)x+k−1（k是常数）总经过的一个点是( )
A. (1,1)
B. (−1
2,−1
2
) C. (0,−1) D. (1
2
,−1
2
)
二、填空题（共1小题；共5分）
2. 当x=2时，不论k取任何实数，函数y=k(x−2)+3的值为3，所以直线y=k(x−
2)+3一定经过定点(2,3)；同样，直线y=k(x−3)+x+2一定经过的定点
为．
三、解答题（共1小题；共13分）
3. 已知函数y=mx2−6x+1（m是常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；
（2）若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．
答案
一、选择题
1. B 【解析】原函数可以化为y=k(2x+1)−x−1，
所以当x=−1
2时，y的值与k无关，此时y=−1
2
，
即该直线总经过的一个点是(−1
2,−1
2
)．。