广东省汕头市潮南区2016届高三数学下学期考前训练试题 理

2016潮南区高三理科数学考前训练题
第Ⅰ卷
一 选择题：本大题共12小题，每小题5分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.已知集合}065|{2
<--=x x x A ，}33|{<<-=x x B ，则A B ⋂=( )
A ．)3,3(-
B ．)6,3(-
C ．)3,1(-
D ．)1,3(- 2.若复数i
i
z -=
12（i 是虚数单位），则=z ( ) A ．i +-1 B ．i --1 C ．i +1 D ．i -1 3．函数y =sin x sin()2
x π
+的最小正周期是( )
A ．p
2
B ．2p
C ．p
D ．4p
4.程序框图如右图所示，当输入x 为2016时，输出的y 的值为( ) A ．
8
1
B ．1
C ．2
D ．4 5.给出下列四个结论：
①已知X 服从正态分布
2
(0,)N σ，且P(-2≤X ≤2)=0.6，则P(X>2)=0.2； ②若命题
2
000:[1,),10
p x x x ∃∈+∞--<，则
2
:(,1),10p x x x ⌝∀∈-∞--≥； ③已知直线
1:310
l ax y +-=，
2:10
l x by ++=，则
12
l l ⊥的充要条件是
3-=b
a
； ④设回归直线方程ˆ
2 2.5y x =-，当变量x 增加一个单位时，y 平均增加两个单位. 其中正确的结论的个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4 6．已知等比数列{a n }中，a 5+a 7=dx ，则a 6（a 4+2a 6+a 8）的值为（）
A ．16π2
B ．4π2
C ．2π2
D ．π2
5
10
7.若直线2y x =与双曲线22
221x y a b
-=没有公共点，则双曲线的离心率的取值X 围是（ ）
A ．[3,)+∞
B ．[5,)+∞
C ．(1,3]
D ．(1,5]
8.现有4名选手参加演讲比赛活动，若每位选手可以从4个题目中任意选1个，则恰有1个题目没有被这4位选手选中的情况有（ ）
A ．36种
B ．72种
C ．144种
D ．288种 9.8(2)x -
A ．1-
B ．0
C ．1
D ． 2
10．如右图，网格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线 画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为（） A ．
16B ．13C ．1 D ．43
11．已知数列{n a }满足a 1＝1，a 2＝2，n a ＋2－n a ＝3， 则当n 为偶数时，数列{n a }的前n 项和n S ＝（ ）
A ．238n －14
B ．238n ＋14
C ．234n
D ．238n
12．已知函数2
22,0()2,0
x x x f x x x x ⎧-+≥⎪=⎨- <⎪⎩，若关于x 的不等式2
[()]()0f x af x +<恰有1个整数解，
则实数a 的最大值是（） A ．2
B ．3
C ．5
D ．8
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题～第21题为必考题，每个考生都必须做答。

第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13. 已知平面向量→a , →b 满足|→a |=1，|→b |=2，且（→a +→b ）⊥→a ，则→a 与→
b 的夹角为
14.设实数x ，y 满足约束条件2220,
20,
220,x y x y x y x y ⎧-≤⎪-≥⎨⎪+--≤⎩
，则目标函数z x y =+的最大值为 15.设,,,A B C D 是半径为4的球面上的四点，且满足,AB AC AD AC ⊥⊥,AB AD ⊥，则
ABC ABD ACD S S S ++的最大值是
16．已知数列}{n a 的通项公式为p n a n +-=2，数列}{n b 的通项公式为7
2-=n n b ，设
⎩⎨⎧>≤=n
n n n n n n b a b b a a c ,,，若在数列}{n c 中，n c c >10)10,(≠∈*n N n ，则实数p 的取值X 围是_____.
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，满足cos cos 2cos a B b A c C +=. （1）求;C
（2）若ABC ∆
的面积为6a b +=，(其中a<b )，求ACB ∠的角平分线CD 的长度.
18. （本小题满分12分）某工厂生产甲，乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品．现随机抽取这两种芯片各100件进行检测，检测结果统计如下：
测试指标 [70，76） [76，82） [82，88） [88，94） [95，100）
芯片甲 8 12 40 32 8 芯片乙 7
18
40
29
6
（1）试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率；
（2）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（1）的前提下，
（i ）记X 为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量X 的分布列； （ii ）求生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元的概率．
A B C
D
M
A
B
C
D
M
19．（本题满分12分）在边长为5的菱形ABCD 中，AC ＝8.现沿对角线BD 把△ABD 折起，折起后使∠ADC 的余弦值为9
25
.
（1）求证：平面ABD ⊥平面CBD ；
（2）若M 是AB 的中点，求折起后AC 与 平面MCD 所成角的正弦值.
20．（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的右焦点为F ，离心率为22，过点
F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为2，O 为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程
（Ⅱ）如图所示，设直线l 与圆)21(2
22<
<=+r r y x 、椭圆C 同时相切，
切点分别为A ，B ，求|AB|的最大值．
21．（本小题满分12分）已知b x ax e x f x
+--=2)(2
（e 为自然对数的底数，R b a ∈,）.
（Ⅰ）设)('x f 为)(x f 的导函数，证明：当0>a 时，)('x f 的最小值小于0； （Ⅱ）若0)(,0>>x f a 恒成立，求符合条件的最小整数b .
请考生在第22、23、24题中任选一题做答。

答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。

22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图所示，过点P 分别做圆O 的切线PA 、PB 和割线PCD ，弦BE 交CD 于F ，满足P 、B 、F 、
A 四点共圆.
（Ⅰ）证明：CD AE //；
（Ⅱ）若圆O 的半径为5，且3===FD CF PC ， 求四边形PBFA 的外接圆的半径.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知曲线1C ：θρcos 2=和曲线2C ：3cos =θρ，以极点O 为坐标原点，极轴为
x 轴非负半轴建立平面直角坐标系.
（Ⅰ）求曲线1C 和曲线2C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点P 是曲线1C 上一动点，过点P 作线段OP 的垂线交曲线2C 于点Q ，求线段PQ 长度的最小值.
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数|1|||)(-+=x x x f .
（Ⅰ）若|1|)(-≥m x f 恒成立，某某数m 的最大值M ；
（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，正实数b a ,满足M b a =+2
2
，证明：
ab b a 2≥+
2016潮南区高三理科数学训练题参考答案
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
C
B
C
A
A
B
D
C
B
D
C
D
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13.2p
3
14. 4 15. 32 16．()30,24
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由正弦定理，C c A b B a cos 2cos cos =+， 可得C C A B B A cos sin 2cos sin cos sin =+， 所以sin()2sin cos A B C C +=， 所以sin 2sin cos C C C =， 因为π<<C 0， 所以1
cos 2C =，故3
π=C ； ……………………………………6分 （Ⅱ）解法一：由已知13sin 324
S ab C ab =
==，
所以8ab =，……………………………7分
又6=+b a ，解得⎩
⎨⎧==42
b a ， ……………………………8分
由余弦定理可知2
1
416224122
c =+-⨯⨯⨯
=，所以32=c .……………………………9分 所以2
22c a b +=,ABC ∆为直角三角形，2
π=∠B .……………………………10分
因为CD 平分ACB ∠，所以6
π
=
∠BCD 在BCD Rt ∆中，3
3
46
cos
2=
=
π
CD . ………………12分 解法二：在ABC ∆中，因为CD 平分ACB ∠，所以6
π
=∠=∠BCD ACD
因为BCD ACD ABC S S S ∆∆∆+= ，所以6
sin 216sin 213sin 21πππ⋅⋅+⋅⋅=⋅CD a CD b ab ， 由已知13
sin 232S ab C ab =
==，所以8ab =， 又6=+b a ， 解得3
3
4=CD . ………………….12分 18. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）芯片甲为合格品的概率约为，
芯片乙为合格品的概率约为
． …（3分）
（Ⅱ）（ⅰ）随机变量X 的所有取值为90，45，30，﹣15.
； ； ；
．
所以，随机变量X 的分布列为： X 90 45 30 ﹣15 P
…（8分）
（ⅱ）设生产的5件芯片乙中合格品n 件，则次品有5﹣n 件． 依题意，得 50n ﹣10（5﹣n ）≥140，解得
．所以 n=4，或n=5．………………….10分
设“生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元”为事件A ， 则 ． ………………….12分
19．（本题满分12分）
20．（本小题满分1 2分） 解（1）设F （C ，0），则
2
2
c a =，知a=2c ，……………………………1分 过点F 且与x 轴垂直的直线方程为x=c ，代入椭圆方程有
22222
1,22c y y b a b +==±=解得，于是，解得b ＝1，……………………………2分 又
222,2,1
a b c c -==从而，所以椭圆C 的方程为
2
212
x y +=…………………………………………………4分 （2）依题意直线l 的斜线存在，设直线l ：y ＝kx ＋m
将222
22
(12)422022
y kx m k x kmx m x y =+⎧+++-=⎨+=⎩联立得，…………………………5分 令△＝0，得2
2
2
2
2
2
2
2
164(22)(12)0,2(1)(12)0k m m k k m m k --+=--+=
22222222120k m m k m k --++=
2212m k ∴=+………………………………………………………………………………………………………6分
222
222222
2(14)14B 1212(12)12km m k m k OB k k k k -++∴∴==++++切点（,）,…………………………………………
7分
222222(1)l x y r r m r k +===+直线与圆相切，即…………………………………8分
由222
2
2
2
2
2
222122(1)11
1212(1)2111
k k m k k r k r k k k ++-=+∴+=+∴===-+++…………………9分
又22
(1,2),0r k ∈∴>
22222222
2
2
2
222222421412(14)(1)(12)121(12)(1)(12)(1)231
k k k k k k k AB OB r k k k k k k k k ++++-+∴=-=-===
++++++++
＝
22131
23k k
=-+
+11分
当且仅当4
2
21,2
k k ==
即时取等号 1AB ∴的最大值为……………………………………………………………………………………………………
………………12分
21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）证明：令()()22x g x f x e ax '==--,则()2x
g x e a '=-
因为0a >，令0()0g x '=，得0ln 2x a =
所以当(,ln 2)x a ∈-∞时，()0g x '<，()g x 单调递减；
当(ln 2,)x a ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增--------------------2分
则ln 2min min ()()(ln 2)2ln 22=22ln 22a
f x
g x g a e
a a a a a '===------------------------3分 令()ln 2G x x x x =--，(0)x >
()1(ln 1)ln G x x x '=-+=-
当(0,1)x ∈时，()0G x '>，()G x 单调递增 当(1,)x ∈+∞时，()0G x '<，()G x 单调递减
所以max ()(1)10G x G ==-<，所以min ()0f x '<成立. --------------------5分 （Ⅱ）证明：()0f x >恒成立，等价于min ()0f x >恒成立
令()()22x g x f x e ax '==--，则()2x
g x e a '=-
因为0a <，所以()0g x '>，所以()g x 单调递增，
又(0)10g =-<，022)1(g >--=a e ，所以存在0(0,1)x ∈，使得0()0g x =-------------6分 则0(,)x x ∈-∞时，()()0,g x f x '=<()f x 单调递减；
0(,)x x ∈+∞时，()()0,g x f x '=>()f x 单调递增；
所以02
min 000()()20x
f x f x e ax x b ==--+>恒成立 (1)
且00220x
e ax --= (2)
由（1）（2）,0
02
00
00002(1)2(1)22
x x x x x e b e ax x e x x e x >-++=-+-+=-+即可-----------8分 又由（2）00
2
02x e a x -=<，所以0(0,ln 2)x ∈---------------------9分
令()(1),(0,ln 2)2
x
x m x e x x =-+∈
()n x =1
()(1)12
x m x x e '=
-+
1()02
x n x xe '=>， 所以021)0()(>=>n x n ，
所以()m x 单调递增， 1
)1()0()(0-=-=>e m x m ， 22ln 22ln )122ln ()2(ln )(2ln -=+-=<e m x m ---------------------11分
所以1b >-，所以符合条件的=0b ---------------------12分
法2：令0,(0)10,1x f b b ==+>>-，故符合条件的最小整数0b =.-------------------6分
现证明0b =时，()0f x >求2()2x f x e ax x =--的最小值即可
令()()22x g x f x e ax '==--，则()2x g x e a '=-
因为0a <，所以()0g x '>，所以()g x 单调递增，
又(0)10g =-<，(1)220g e a =-->，所以存在0(0,1)x ∈，使得0()0g x =
则0(,)x x ∈-∞时，()()0,g x f x '=<()f x 单调递减；
0(,)x x ∈+∞时，()()0,g x f x '=>()f x 单调递增；
所以02min 000()()2x
f x f x e ax x ==--.(1) 且00220x
e ax --=...........(2) 00000min 000()()(2)2(1)22
x x x x x f x f x e e x e x ==---=-----------------8分 又由（2）00
202x e a x -=<，所以0(0,ln 2)x ∈---------------9分 现在求函数()(1),(0,ln 2)2
x x
p x e x x =--∈的X 围 0()q x =1()(1)12x p x x e '=
--，01()02
x q x xe '=-<， 所以021)0()(<-=<q x q ，所以()p x 单调递减， 1)1()0()(0=-=<e p x p
02ln 22ln )22ln 1()2(ln )(2ln >-=--=>e p x p -------------11分
所以=0b 是符合条件的. -------------12分
请考生在第22、23、24题中任选一题做答。

答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。

22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
解：（I ）连接AB,
P 、B 、F 、A 四点共圆，
PAB PFB ∴∠=∠． ．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
又PA 与圆O 切于点A,PAB AEB ∴∠=∠,．．．．．．．．．．．．．4分
PFB AEB ∴∠=∠
//AE CD ∴.．．．．．．．．．．．．．5分
（II ）因为PA 、PB 是圆O 的切线，所以P 、B 、O 、A 四点共圆，
由PAB ∆外接圆的唯一性可得P 、B 、F 、A 、O 共圆，
四边形PBFA 的外接圆就是四边形PBOA 的外接圆，
∴OP 是该外接圆的直径. ．．．．．．．．．．．．．7分
由切割线定理可得23927PA PC PD =⋅=⨯=．．．．．．．．．．．．．9分
222725213OP PA OA ∴=+=+=.
∴四边形PBFA 的外接圆的半径为13. ．．．．．．．．．．．．10分
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
解：（I ）1C 的直角坐标方程为()22
11x y -+=， ．．．．．．．．．．．．2分
2C 的直角坐标方程为3x =；．．．．．．．．．．．．4分
（II ）设曲线1C 与x 轴异于原点的交点为A,
PQ OP ⊥,PQ ∴过点A (2,0),
设直线PQ 的参数方程为()2cos sin x t t y t θθ
=+⎧⎨=⎩为参数， 代入1C 可得22cos 0,t t θ+=解得1202cos t t θ==-或，
可知2|||||2cos |AP t θ==．．．．．．．．．．．．6分 代入2C 可得2cos 3,t θ+=解得/1cos t θ=
， 可知/1||||||cos AQ t θ
==．．．．．．．．．．．．8分 所以PQ=1|||||2cos |||22,cos AP AQ θθ
+=+≥当且仅当1|2cos |||cos θθ=时取等号， 所以线段PQ 长度的最小值为22.．．．．．．．．．．．．10分
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
解：（I ）由已知可得12, 0()1, 0121, 1x x f x x x x -<⎧⎪=≤<⎨⎪-≥⎩
，
所以min ()1f x =， ．．．．．．．．．．．．3分
所以只需|1|1m -≤，解得111m -≤-≤，
02m ∴≤≤，
所以实数m 的最大值2M =. ．．．．．．．．．．．．5分
（II ）法一：综合法
222a b ab +≥1ab ∴≤
1ab ≤，当且仅当a b =时取等号，①．．．．．．．．．．．．7分 又2
a b ab +≤21≤+∴b a ab 2
ab b a ab ≤+∴，当且仅当a b =时取等号，②．．．．．．．．．．．．9分 由①②得，2
1≤+∴b a ab ，所以2a b ab +≥.．．．．．．．．．．．．10分 法二：分析法因为0,0a b >>,
所以要证2a b ab +≥，只需证222
()4a b a b +≥， 即证2222
24a b ab a b ++≥，
22a b M +=，所以只要证22224ab a b +≥，
．．．．．．．．．．．．7分 即证22()10ab ab --≤，
即证(21)(1)0ab ab +-≤，因为210ab +>，所以只需证1ab ≤， 下证1ab ≤，
因为ab b a 2222≥+=，所以1ab ≤成立， 所以2a b ab +≥．．．．．．．．．．．．10分。