2019年最新高三题库 闸北区2009学年度第二学期期末质量抽测高一数学试卷(附答案)

闸北区第二学期期末质量抽测
高一数学试卷
（完卷时间：90分钟 满分：100分）
一、填空题（本大题共9小题，每小题4分，满分36分）
1．一个扇形的半径是2 cm ，弧长是4 cm ，则圆心角的弧度数为 ． 2．函数2log (1)y x =-的反函数是 .
3．化简5sin()tan(
)2cos(2)cot()
2
ππααπ
παα-+=-- ． 4．设2tan =θ，则=+
)4
tan(π
θ .
5．已知函数)2
2(sin )(π
π≤≤-=x x x f
，则=--)21(1f ___________.
6．某城市连续三年年底统计的城市绿化率分别为20%，21.25%，22.5%，如果以后的若干年继续以此速度发展绿化，
要使该城市的绿化率超过
3
1
，至少还需要______年.（结果取整） 7．科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I 为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级量度r 可定义为
2
lg 2.3r I =+ 则汶川8.0级地震和玉树7.1级地震的相对能量的比值=2
1I I ．（精确到整数）
8．在公园中有一个作均速旋转运动的摩天轮，已知小明从摩天轮的最低点进入吊篮，他离地高度h （米）与乘坐摩
天轮的时间t （分钟）之间的关系为：
t h 4
cos 58π
-=，则小明重新回到摩天轮的最低点所花时间最少是_________
分钟．
9．某货轮在A 处看灯塔S 在北偏东
45方向，它向正北方向航行12海里到达B 处，看灯塔S 在北偏东
75方向．则
此时货轮到灯塔S 的距离为 海里．
二、选择题（本大题共3小题，每小题3分，满分9分）
10．根据右侧的框图，该数列的第9项等于 【 】
A. 16
B. 16-
C. 32
D. 32-
11．不等式)2(log log 42x x -<的解集是 【 】
A. }2|{<x x
B. }20|{<<x x
C. }10|{<<x x
D. }21|{<<x x
12．已知平面直角坐标系中，角α的始边与x 正半轴重合，终边与
单位圆（圆心是原点，半径为1的圆）交于点P ．若角α在第
一象限，且3
4tan =
α．将角α终边逆时针旋转3π
大小的角后与
单位圆交于点Q ，则点Q 的坐标为 【 】
A. )103
34,10433(+- B. )103
34,10433(
-+ C. )10
3
34,10343(
+- D. )10334,10343(-+
三、解答题（本大题共5小题，满分55分）
13. （本题满分9分）
已知,23,
,cos ⎪⎭
⎫
⎝
⎛∈=ππθθm 请用m 分别表示θtan 、θ2tan 、2tan θ.
14．（本题满分10分）本题共有2小题，每小题满分5分．
设α为任意角，请用下列两种方法证明：
.csc sec cot tan αααα⋅=+
（1）运用任意角的三角比定义证明； （2）运用同角三角比关系证明.
15．（本题满分12分）本题共有2小题，每小题满分6分．
已知数列}{n a 的前n 项和为22
n a S n =. （1）求证：数列}{n a 为等差数列；
（2）试讨论数列}{n a 的单调性（递增数列或递减数列或常数列）.
16．（本题满分12分）本题共有2小题，每小题满分6分．
已知函数sin 2cos 21
()2cos x x f x x
++=
．
（1）求方程0)(=x f 的所有解；
（2）若方程()f x a =在]3
,
0[π
∈x 范围内有两个不同的解，求实数a 的取值范围．
17．（本题满分12分）本题共有2小题，每1小题满分4分，第2小题满分8分．
设函数x
x
a x f +-=1lg )(，其中a 为实常数. （1）设1=a ，请指出函数)(x f y =的图像；（在答题卡上写出图像的代号A,B,C 或D ）
【 A 】 【 B 】 【 C 】 【 D 】
（2）设1->a ，试研究函数)(x f 的奇偶性与单调性，并证明你的结论.
参考答案与评分标准
一、1．2； 2．21,x
y x R =+∈； 3．cot α-；
4．3-； 5．6
π
-
； 6．9；
7．22； 8．8； 9．212． 二、10；B ； 11；D ； 12．C.
三、13.【解】由题意221cos 1sin m --=--=θθ
m m 2
1cos sin tan --=
=θθθ ……………………3分 1212tan 1tan 22tan 2
2
2---=-=m m m θθθ ……………………3分 m
m
+--
=+--=11cos 1cos 12tan θθθ ……………………3分 用万能公式求对同样给分。

14．【证明】（1）设),(y x P 是任意角角α终边上任意一点，…………………… 1分
则y
y x x y x y
x
x y 2
22
2csc sec ,cot ,tan +=+=
==αααα，， 左=⋅=+=+=ααcsc sec 2
2xy
y x y x x y 右． ……………………………………4分
（2）左=⋅=⋅+=+=
ααα
αα
αααααcsc sec cos sin cos sin sin cos cos sin 22右． …………5分 15．【解】（1）由已知，得
211a S a =
=，)2,(2
)12(2*
1≥∈-=-=-=-n N n a an n a S S a n n n ………………3分 又)2,(*1≥∈=--n N n a a a n n …………………………………………2分 所以，数列}{n a 为公差为a 的等差数列． …………………………………………1分 （2）由)2,(*1≥∈=--n N n a a a n n 得
当0>a 时，数列}{n a 为递增数列； …………………………………………2分 当0=a 时，数列}{n a 为常数列； …………………………………………2分 当0<a 时，数列}{n a 为递减数列． …………………………………………2分
16．【解】（1）22sin cos 2cos ()sin cos (cos 0)2cos x x x
f x x x x x +=
=+≠ ……4分
由题意，有())4f x x π=+0=，得 )(4
Z k k x ∈-=π
π……………………2分
用其它方法同样给分
（2）当]3,
0[π
∈x 时，方程sin cos )4
a x x x π
=+=+有两个不同解，
等价于函数a y =与)4y x π=
+
（]3
,0[π
∈x ）的图像有两个不同的交点.
由函数)4sin(2π
+=x y 的图像性质得a ∈⎣. ……………………6分 17．（1）C …………………………………………………………………………………4分
（2）【解】（2）当且仅当1=a 时，函数)(x f 是奇函数. ……………………1分 证：因为函数)(x f 的定义域是),1(a -，所以，当1≠a 时，函数)(x f 非奇非偶；…1分
当1=a 时，)(11lg 11lg
)(x f x
x
x x x f -=+--=-+=-， 所以，函数)(x f 是奇函数. ……………………………………………………………2分
)(x f 是单调递减函数． ……………………………………………………………1分
任取),1(,21a x x -∈，且21x x <，
【解一】-)(1x f )(2x f 22111lg 1lg x x a x x a +--+-=2
1211
221lg
x ax x x a x ax x x a -+--+-=． 0))(1()()(122112>-+=---x x a x ax x ax 2112x ax x ax ->-∴
021211221>-+->-+-∴x ax x x a x ax x x a ， 12
1211221>-+--+-∴x ax x x a x ax x x a 0lg 2
1211
221>-+--+-∴x ax x x a x ax x x a ……………………………………………………………3分
所以，)(x f 是单调递减函数．
【解二】-)(1x f )(2x f 2
2
111lg
1lg x x a x x a +--+-=， 0)1)(1())(1(1121122211>++-+=+--+-x x x x a x x a x x a ，2
2
1111x x a x x a +->
+-∴， 由函数x y lg =是单调递增函数，有2
2
111lg
1lg x x a x x a +->+-，即>)(1x f )(2x f ， 所以，)(x f 是单调递减函数． ………………………………………………………3分。