2015-2016学年高二数学苏教版必修5练习3.3.2《简单的线性规划问题》

3．3.2 简单的线性规划问题
1．在平面直角坐标系中，动点P(x ，y)运动范围受到一定限制，则称变量x 、y 受到条件约束．
2．目标函数为z ＝ax ＋by ，当b ≠0时，将其变化为y ＝－a b x ＋z
b ，
说明直线z ＝ax ＋by 在y 轴上的截距为z
b ，若b ＞0，直线越往上移，
截距越大，目标函数为z 的值就越大．
3．线性约束条件表示的平面区域即可行域．
4．求线性目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值问题称作线性规划问题．
5．解简单线性规划应用题的步骤是：弄清题意，设好未知量，建立关于未知量的目标函数及线性约束条件，将问题化为简单线性规划问题求解．
6．求线性目标函数z ＝ax ＋by 的最大值或最小值，首先将直线变化为y ＝－ax b ＋z
b ，再将该直线平行移动，使直线和可行域有公共点，
再观察在可行域中使z
b 最大或最小时所经过的点，该点的坐标就是最优
解．
►基础巩固 一、选择题
1．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值
为(B )
A ．12
B ．11
C ．3
D ．1
解析：画可行域分析，易知当⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3，
y ＝2时z max ＝11.
2．(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知 a ＞0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ≥1，x ＋y ≤3，
y ≥a （x －3），
若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝(B ) A .14 B .1
2
C ．1
D ．2
解析：根据约束条件画出可行域，将最大值转化为y 轴上的截距，
当z ＝2x ＋y 经过点B 时，z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，2x ＋y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，
y ＝－1，
代入y ＝
a(x －3)得a ＝1
2
.
3．(2013·山东卷)平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为(C )
A ．2
B ．1
C ．－13
D ．－1
2
解析：作出可行域，由图象可知当点M 位于点A 时，OM 的斜率
最小，由⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，
3x ＋y －8＝0⇒
⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，
即A(3，－1)，此时OM 的斜率为－13＝－13.
4．若x ≥0，y ≥0，且x ＋y ≤1，则z ＝x －y 的最大值为(B ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．－2
解析：找准区域，对于直线y ＝x －z ，－z 越小，z 越大． 5．设点P(x ，y)，其中x ，y ∈N ，满足x ＋y ≤3的点P 的个数为
(A )
A ．10个
B ．9个
C ．3个
D ．无数个
解析：选择单位长度，找整数点． 二、填空题
6．(2013·陕西卷)若点(x ，y )位于曲线y ＝|x －1|与y ＝2围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为________．
解析：封闭区域为三角形，令|x －1|＝2得x ＝－1 或x ＝3， ∴三顶点坐标分别为(1，0)，(－1，2)，(3，2)，故2x －y 在点(－1，2)处的值最小，为－4.
答案：－4
7．(2013·广东卷)给定区域D ：⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，
令点集
T ＝{(x 0，
y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．
解析：画出可行域，其中z ＝x ＋y 取最小值的整点为(0，1)，取得最大值时的整点为(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)，共5个．
故可确定5＋1＝6条不同直线．
答案：6
8．若x ，y
满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，
则
x －y 的取值范围是
________．
解析：约束条件对应△ABC 内部及边界区域，A (0，3)，B ⎝
⎛⎭⎪⎫
0，32，C (1，1)，则x －y ∈[－3，0]．
答案：[－3，0] 三、解答题
9．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元．在满足需要的条件下，最少要花费多少元？
解析：设购买重量为每袋35千克的x 袋，重量为每袋24千克的y 袋，则所要花费的金额z ＝140x ＋120y ，依题意，可得关于x 、y 的约束条件：
⎩⎪⎨⎪
⎧35x ＋24y ≥106，x ∈N ，
y ∈N ，
如图，当直线经过点⎝
⎛⎭
⎪⎫
10635，0时，目标函数z 的值最小，又x ，y
∈N ，寻找可行域上靠近边界的几个点．令x ＝0，知y ≥5，当x ＝1，知y ≥3，当x ＝2，知y ≥2，当x ＝3，知y ≥1，当x ＝4，知y ≥0，将靠近边界的几个点(0，5)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)分别代入目
标函数，可知直线z ＝140x ＋120y 过点(1，3)时，目标函数z 有最小值500元．
10．某工厂要制造A 种电子装置45台，B 种电子装置55台，需用薄钢板给每台装置配一个外壳，已知薄钢板的面积有两种规格：甲种薄钢板每张面积2 m 2，可做A 、B 的外壳分别为3个和5个，乙种薄钢板每张面积3 m 2，可做A 、B 的外壳分别为6个．两种薄钢板各用多少张，才能使总的面积最小？
解析：设用甲种薄钢板x 张，乙种薄钢板y 张，则可做A 种产品外壳(3x ＋6y )个，B 种产品外壳(5x ＋6y )个，由题意可得⎩⎪⎨⎪
⎧3x ＋6y ≥45，5x ＋6y ≥55，x ∈N ，y ∈N ，
所有的薄钢板的总面积是z ＝2x ＋3y .
可行域是如上图所示的阴影部分，其中l 1：3x ＋6y ＝45；l 2：5x ＋6y ＝55，l 1与l 2的交点为A (5，5)，因目标函数z ＝2x ＋3y 在可行域上的最小值在区域边界的A (5，5)处取得，此时z 的最小值为2×5＋3×5＝25.即甲、乙两种板各5张，既能保证制造A 、B 的两种外壳的用量，同时又能使用料总面积最小．
►能力升级 一、选择题
11．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≤0，
则ω＝y －1
x ＋1
的取值范
围是(A)
A.⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤－1，13 B.⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤－12，13 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－12，1 解析：如下图，画出满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≤0
的解
(x ，y )构成的可行域△ABO ，求得B (2，2)．因为根据目标函数的几何意义是可行域上一点与点(－1，1)连线的斜率，可求得目标函数的
最小值－1，最大值1
3.故ω的取值范围是⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－1，13. 12．若函数y ＝2x
图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，
x ≥m ，则实数m 的最大值为(B)
A.1
2 B ．1 C.3
2
D ．2 解析：如图，当直线x ＝m 经过y ＝2x 与x ＋y －3＝0的交点时，
函数y ＝2x
的图象上仅有一个点在可行域内，由方程组⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝2x
，x ＋y －3＝0得
x ＝1，
∴m ≤1.
13．(2014·大纲全国卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x －y ≥0，x ＋2y ≤3，x －2y ≤1，则z ＝x
＋4y 的最大值为________．
解析：作出可行域，通过平移直线寻求最优解，也可利用顶点代入验证最优解．
方法一 作出可行域如图阴影部分所示．作直线y ＝－1
4x ，并向上
平移，由数形结合可知，当直线过点A (1，1)时，z ＝x ＋4y 取得最大值，最大值为5.
方法二 分别求出点A (1，1)，点B ⎝
⎛⎭
⎪⎫
2，12，点C (－1，－1)，把三
点坐标分别代入z ＝x ＋4y 得到5，4，－5，故z ＝x ＋4y 的最大值为5.
答案：5 二、填空题
14．已知⎩⎪⎨⎪
⎧x ≥1，x －y ＋1≤0，2x －y －2≤0，则x 2＋y 2的最小值是________．
解析：由⎩⎪⎨⎪
⎧x ≥1，x －y ＋1≤0，2x －y －2≤0画出可行域，得交点A (1，2)，B (3，4)，
如图，根据x 2＋y 2表示可行域一点到原点的距离，可知x 2＋y 2的最小值是|AO |2＝5.
答案：5
15．若点P (m ，3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离为4，且点P 在不等式2x ＋y ＜3表示的平面区域内，则m ＝________．
解析：∵4＝|4m －3×3＋1|
42＋（－3）
2，∴|m －2|＝5. ∴m ＝7或m ＝－3.∵P (7，3)不满足2x ＋y ＜3，∴m ＝－3. 答案：－3 三、解答题
16．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：
为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，求应分别种植黄瓜和韭菜各多少亩？并求出最大利润．
解析：设种植黄瓜和韭菜的面积分别为x 亩和y 亩，则依题意得⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54，x ，y ＞0，
目标函数z ＝0.55×4x ＋0.3×6y －1.2x －0.9y ＝x ＋
0.9y ，作出可行域如图，
由图知，z ＝x ＋0.9y 经过点A 时，z 最大，由⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝50，
1.2x ×0.9y ＝54⇒A (30，
20)，
∴种植30亩黄瓜和20亩韭菜时，总利润最大，最大利润为48万元．。