高中数学第二章随机变量及其分布 离散型随机变量的方差学案含解析新人教A版选修2_3

2.3.2 离散型随机变量的方差
自主预习·探新知
情景引入
A ,
B 两台机床同时加工零件,每生产一批数量较大的产品时,出次品的概率如下表： A 机床
次品数X 1
0 1 2 3 P
0.7
0.2
0.06
0.04
B 机床
次品数X 2
0 1 2 3 P
0.8
0.06
0.04
0.10
试问：由E (X 1)和E (X 2)的值能比较两台机床的产品质量吗？试想利用什么指标可以比较加工质量？
新知导学
1．随机变量的方差、标准差的定义： 设离散型随机变量的分布列如下表.
X x 1 x 2 … x i … x n P
p 1
p 2
…
p i
…
p n
则__(x i －E (X ))2__i 偏离程度,而D (X )＝
∑i ＝1
n
(x i －E (X ))2p i 为这些偏离程度的加权平均,刻画了随机变量X 与其均值E (X )的__平均偏离程
度__.我们称D (X )为随机变量X 的方差,其算术平方根D (X )为随机变量X 的__标准差__．
2．离散型随机变量与样本相比较,随机变量的__数学期望__的含义相当于样本均值,随机变量取各个不同值,相当于各个不同样本点,随机变量取各个不同值的__概率__相当于各个样
本点在刻画样本方差时的权重．
3．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于__均值__的平均程度,方差(或标准差)越小,则随机变量偏离于均值的平均程度__越小__．
4．方差的性质
若a 、b 为常数,则D (aX ＋b )＝__a 2D (X )__． 设离散型随机变量X 的分布列为
X x 1 x 2 … x i … x n P
p 1
p 2
…
p i
…
p n
由Y ＝aX ＋b (a ,b 为常数)知Y 也是离散型随机变量．Y 的分布列为
Y ax 1＋b ax 2＋b … ax i ＋b … ax n ＋b P
p 1
p 2
…
p i
…
p n
由数学期望的线性性质得E (Y )＝aE (X )＋b ,于是 D (aX ＋b )＝D (Y )＝∑i ＝1
n
(ax i ＋b －E (Y ))2p i
＝∑i ＝1n
(ax i ＋b －aE (X )－b )2
p i ＝∑
i ＝1
n
(ax i －aE (X ))2p i ＝__a 2
∑i ＝1
n
(x i －E (X ))2p i __＝__a 2D (X )__．
5．若X 服从两点分布B (1,p ),则D (X )＝__p (1－p )__．
设随机变量X ～B (1,p ),则由两点分布随机变量数学期望的计算公式得E (X )＝p ,于是D (X )＝(0－p )2(1－p )＋(1－p )2p ＝p (1－p )(p ＋1－p )＝p (1－p )．
6．若X ～B (n ,p ),则D (X )＝__np (1－p )__．
预习自测
1．甲、乙两个运动员射击命中环数ξ、η的分布列如下表．其中射击比较稳定的运动员是( B )
环数k 8 9 10 P (ξ＝k ) 0.3 0.2 0.5 P (η＝k )
0.2
0.4
0.4
A ．甲
B ．乙
C ．一样
D ．无法比较
[解析] E (ξ)＝9.2,E (η)＝9.2＝E (ξ),D (ξ)＝0.76,D (η)＝0.56<D (ξ),乙稳定． 2．设随机变量X 服从二项分布B ⎝⎛⎭⎫4，1
3,则D (X )的值为( C ) A ．4
3
B ．83
C ．8
9
D ．19
[解析] D (X )＝4×13×(1－13)＝8
9
．
3．(2020·哈师大附中高二检测)设ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k 5(13)k (23)5－k
,(k ＝0、1、2、3、4、5),则D (3ξ)＝( A )
A ．10
B ．30
C ．15
D ．5 [解析] 由ξ的分布列知ξ～B (5,13),
∴D (ξ)＝5×13×(1－13)＝10
9,
∴D (3ξ)＝9D (ξ)＝10,故选A ．
4．已知随机变量X 服从二项分布B (n ,p )．若E (X )＝30,D (X )＝20,则p ＝__1
3__．
[解析] 依题意可得E (X )＝np ＝30且D (x )＝np (1－p )＝20,解得p ＝1
3．
5．(2020·金华模拟)随机变量ξ的分布列如下：
其中a ,b ,c 成等差数列,则D (ξ)的最大值为( A ) A ．2
3
B ．59
C ．2
9
D ．34
[解析] ∵a ,b ,c 成等差数列, ∴由随机变量ξ的分布列,得：
⎩⎪⎨⎪⎧
0≤a ≤1
0≤b ≤1
≤c ≤1a ＋b ＋c ＝12b ＝a ＋c
,解得b ＝13,a ＝13－d ,b ＝1
3
＋d ,
E (ξ)＝－1×(13－d )＋0×13＋1×(1
3
＋d )＝2d ,
D (ξ)＝(－1－2d )2×(13－d )＋(0－2d )2×13＋(1－2d )2×(13＋d )＝2
3－4d 2．
∴当d ＝0时,D (ξ)取最大值为2
3
.故选A ．
互动探究·攻重难
互动探究解疑 命题方向❶
求离散型随机变量的方差
典例1 袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n 号的有n 个
(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球,X 表示所取球的标号．
(1)求X 的分布列、均值和方差；
(2)若Y ＝aX ＋b ,E (Y )＝1,D (Y )＝11,试求a ,b 的值．
[思路分析] (1)根据题意,由古典概型的概率公式求出分布列,再利用均值、方差的公式求解．
(2)运用E (Y )＝aE (X )＋b ,D (Y )＝a 2D (X ),求a ,b ． [解析] (1)X 的分布列为：
X 0 1 2 3 4 P
1
2
120
110
320
15
∴E (X )＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×1
5
＝1.5．
D (X )＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×1
5＝2.75．
(2)由D (Y )＝a 2D (X ),得a 2×2.75＝11,即a ＝±2．
又E (Y )＝aE (X )＋b ,所以当a ＝2时,由1＝2×1.5＋b ,得b ＝－2；
当a ＝－2时,由1＝－2×1.5＋b ,得b ＝4,∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－2
b ＝4
.即为所求． 『规律总结』 1.求离散型随机变量X 的方差的基本步骤：
理解X 的意义，写出X 可能取的全部值
↓
写出X 取每个值的概率
↓ 写出X 的分布列
↓
由均值的定义求出E (X )
↓
利用公式D (X )＝∑i ＝1n
(x i －E (X ))2p i 求值
2．对于变量间存在关系的方差,在求解过程中应注意方差性质的应用,如D (aξ＋b )＝a 2D (ξ),这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b 的分布列,又避免了繁杂的计算,简化了计算过程．
┃┃跟踪练习1__■
(1)已知随机变量X 的分布列为
若E (X )＝15
8,则D (X )等于( B )
A ．33
64
B ．5564
C ．7
32
D ．932
[解析] 由分布列的性质得x ＋y ＝0.5,又E (X )＝158,所以2x ＋3y ＝118,解得x ＝18,y ＝3
8,所以
D (X )＝⎝
⎛⎭⎫1－1582×12＋⎝⎛⎭⎫2－1582×18＋⎝⎛⎭⎫3－1582×38＝55
64． (2)(2020·柳州高二检测)已知X 的分布列如下：
①求X 2的分布列；
②计算X 的方差；
③若Y ＝4X ＋3,求Y 的均值和方差．
[解析] ①由分布列的性质,知12＋14＋a ＝1,故a ＝1
4
,从而X 2的分布列为
X 2 0 1 P
1
4
34
②方法一：由①知a ＝14,所以X 的均值E (X )＝(－1)×12＋0×14＋1×14＝－1
4.故X 的方差D (X )
＝(－1＋14)2×12＋(0＋14)2×14＋(1＋14)2×14＝11
16
．
方法二：由①知a ＝14,所以X 的均值E (X )＝(－1)×12＋0×14＋1×14＝－1
4,X 2的均值E (X 2)
＝0×14＋1×34＝34,所以X 的方差D (X )＝E (X 2)－(E (X ))2＝11
16
．
③因为Y ＝4X ＋3,所以E (Y )＝4E (X )＋3＝2,D (Y )＝42D (X )＝11． 命题方向❷
两点分布、二项分布的方差
典例2 某出租车司机从某饭店到火车站途中需经过六个交通岗,假设他在各个
交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的,并且概率是13
．
(1)求这位司机遇到红灯次数X 的均值与方差；
(2)若遇上红灯,则需等待30秒,求司机总共等待时间Y 的均值与方差． [解析] (1)由题意知司机遇上红灯次数X 服从二项分布,且X ～B (6,1
3),
∴E (X )＝6×13＝2,D (X )＝6×13×(1－13)＝4
3．
(2)由已知得Y ＝30X ,
∴E (Y )＝30E (X )＝60,D (Y )＝900D (X )＝1 200．
『规律总结』 1.如果随机变量X 服从两点分布,那么其方差D (X )＝p (1－p )(p 为成功概率)． 2．如果随机变量X 服从二项分布,即X ～B (n ,p ),那么方差D (X )＝np (1－p ),计算时直接代入求解,从而避免了繁杂的计算过程．
┃┃跟踪练习2__■
若随机变量X ～B (3,p ),D (X )＝23,则p ＝__13或2
3__．
[解析] ∵X ～B (3,p ), ∴D (X )＝3p (1－p ), 由3p (1－p )＝2
3
,
得p ＝13或p ＝23．
命题方向3
方差的实际应用
典例3 (2020·日照高二检测)甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独
立的随机变量ξ与η,且ξ,η的分布列为：
ξ 1 2 3 P
a
0.1
0.6
η 1 2 3 P
0.3
b
0.3
(1)求a ,b 的值；
(2)计算ξ,η的期望与方差,并以此分析甲、乙技术状况． [解析] (1)由离散型随机变量的分布列的性质可知 a ＋0.1＋0.6＝1, ∴a ＝0.3．
同理0.3＋b ＋0.3＝1,b ＝0.4． (2)E (ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3, E (η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2,
D (ξ)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81, D (η)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3 ＝0.6．
由于E (ξ)＞E (η),说明在一次射击中,甲的平均得分比乙高,但D (ξ)>D (η),说明甲得分的稳定性不如乙,因此甲、乙两人技术水平都不够全面,各有优势与劣势．
『规律总结』 1.解答离散型随机变量的实际应用问题的关注点
(1)分析题目背景,根据实际情况抽象出概率模型,特别注意随机变量的取值及其实际意义． (2)弄清实际问题是求均值还是方差,在实际决策问题中,需先计算均值,看一下谁的平均水平高,然后再计算方差,分析一下谁的水平发挥相对稳定．因此,在利用均值和方差的意义去分析解决实际问题时,两者都要分析．
2．求分布列时的关注点
要注意利用等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率公式计算概率,并注意结合分布列的性质简化概率．
┃┃跟踪练习3__■
为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药．一段时间后,记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据,并制成下图,其中“*”表示服药者,“＋”表示未服药者．
(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y 的值小于60的概率；
(2)从图中A,B,C,D 四人中随机选出两人,记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数,求ξ的分布列和数学期望E (ξ)；
(3)试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小．(只需写出结论)
[解析] (1)由题图知,在服药的50名患者中,指标y 的人小于60的有15人,所以从服药的50名患者中随机选出一人,此人指标y 的值小于60的概率为15
50
＝0.3．
(2)由题图可知,A,B,C,D 四人中,指标x 的值大于1.7的有2人：A 和C ． 所以ξ的所有可能取值为0,1,2． P (ξ＝0)＝C 22C 24＝1
6
,
P (ξ＝1)＝C 12C 12C 24＝2
3
,
P (ξ＝2)＝C 22C 24＝1
6．
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 P
1
6
23
16
故ξ的期望E (ξ)＝0×16＋1×23＋2×1
6
＝1．
(3)在这100名患者中,服药者指标y 数据的方差大于未服药者指标y 数据的方差．
学科核心素养
用公式法求离散型随机变量的方差
若能判断出离散型随机变量服从常见的分布,则常用公式法求离散型随机变量的方差．注
意以下三种分布在解题中的应用：①当X 服从两点分布,即X ～B (1,p )时,D (X )＝p (1－p )；②当X 服从二项分布,即X ～B (n ,p )时,D (X )＝np (1－p )；③当X 服从超几何分布,即X ～H (N ,M ,n )时,D (X )＝
nM N (1－M N )N －n
N －1
． 典例4 (1)若随机事件A 在1次试验中发生的概率为p (0<p <1),用随机变量ξ表
示A 在1次试验中发生的次数,则方差D (ξ)的最大值为__1
4
__．
(2)一农场有10头牛,因误食含有病毒的饲料而被感染,已知该病的发病率为0.02,设发病的牛的头数为ξ,则D (ξ)等于__0.196__．
[解析] (1)随机变量ξ的所有可能取值为0,1,并且有P (ξ＝1)＝p ,P (ξ＝0)＝1－p ,从而ξ～B (1,p ),故D (ξ)＝p (1－p )＝p －p 2＝－(p 2－p ＋14)＋14＝－(p －12)2＋1
4
,
∵0<p <1,∴当p ＝12时,D (ξ)取得最大值,最大值为14.故填1
4
．
(2)因为随机变量ξ～B (10,0.02),所以D (ξ)＝10×0.02×0.98＝0.196.故填0.196． ┃┃跟踪练习4__■
在对某渔业产品的质量调研中,从甲、乙两地出产的该产品中各随机抽取10件测量该产品中某种元素的含量(单位：毫克)．如图所示的是测量数据的茎叶图.
甲地 乙地 8
3 4 6 8 1 2 4 7 8 8 9 0 2 4 5 6
2
0 0 1 2
(1)试用上述样本数据估计甲、乙两地该产品的优质品率(优质品件数/总件数)；
(2)从乙地抽取的上述10件产品中随机抽取3件,求抽到的3件产品中优质品件数ξ的分布列及方差D (ξ)．
[解析] (1)甲地抽取的样本中优质品有7件,优质品率为7
10.乙地抽取的样本中优质品有8
件,优质品率为810＝4
5
．
(2)ξ的所有可能值为1,2,3, P (ξ＝1)＝C 18·C 22
C 310＝115,
P (ξ＝2)＝C 28·C 12
C 310＝715
,
P (ξ＝3)＝C 38·C 02
C 310＝715
,所以ξ的分布列为：
ξ
1
2
3
P
115 715 715
所以ξ的方差D (ξ)＝8×310×(1－8
10)×10－310－1＝2875
．
易混易错警示
要准确理解随机变量取值的含义
典例5 某人有5把钥匙,其中只有一把能打开某一扇门,今任取一把试开,不能
打开者除去,求打开此门所需试开次数X 的均值和方差．
[错解] 5把钥匙中只有一把能打开房门,任取一把打开房门的概率为1
5,故试开次数X ～
B (5,1
5
),由二项分布均值
与方差的定义知E (X )＝5×15＝1,D (X )＝5×15×(1－15)＝4
5
．
[辨析] 首先这不是五次独立重复试验,从5把钥匙中取一把试开房门,若不能打开,则除去这把后,第二次试开就只有4把钥匙了．
其次X ＝k 的含义是前k －1把钥匙没有打开房门,而第k 把钥匙打开了房门． [正解] 设X 为打开此门所需的试开次数,则X 的可能取值为1、2、3、4、5． X ＝k 表示前k －1次没打开此门,第k 次才打开了此门． P (X ＝1)＝15,P (X ＝2)＝C 14C 15·14＝1
5
,
P (X ＝3)＝C 24C 25·13＝15,P (X ＝4)＝C 34C 35·12＝15,P (X ＝5)＝C 44
C 45·1＝15,
故随机变量X 的概率分布列为：
X 1 2 3 4 5 P
1
5
15
15
15
15
E (X )＝1×15＋2×15＋3×15＋4×15＋5×1
5
＝3．
D (X )＝(1－3)2×15＋(2－3)2×15＋(3－3)2×15＋(4－3)2×15＋(5－3)2×1
5
＝1
5
×(22＋12＋02＋12＋22)＝2． [误区警示] (1)弄不清随机变量X 取值的含义是本题解题的易错点,X ＝k 表示前k －1把钥
匙是从4把打不开房门的钥匙中取的,故P (X ＝k )＝C k －
14
C k －15·15－(k －1)
．
(2)本题求分布列时,可换一个思维角度思考,把5把钥匙排成一列,能打开房门的钥匙排在
任一位置是等可能的,因此排在第k 个位置的概率为P (X ＝k )＝1
5
(k ＝1,2,3,4,5)．
课堂达标·固基础
1．已知随机变量X 的分布列为
X 0 1 2 P
13
13
13
设Y ＝2X ＋3,则D (Y )＝A ．8
3
B ．53
C ．2
3
D ．13
[解析] ∵E (X )＝0×13＋1×13＋2×1
3＝1,
∴D (X )＝(0－1)2×13＋(1－1)2×13＋(2－1)2×1
3
＝2
3
, ∴D (Y )＝D (2X ＋3)＝4D (X )＝8
3
．
2．一批产品中,次品率为1
4,现有放回地连续抽取4次,若抽取的次品件数记为X ,则D (X )的
值为( C )
A ．4
3
B ．83
C ．3
4
D ．116
[解析] 由题意,次品件数X 服从二项分布,即X ～B (4,14),故D (X )＝np ·(1－p )＝4×14×34＝3
4．
3．已知ξ～B (n ,p ),且E (3ξ＋2)＝9.2,D (3ξ＋2)＝12.96,则二项分布的参数n ,p 的值为( B ) A ．n ＝4,p ＝0.6 B ．n ＝6,p ＝0.4 C ．n ＝8,p ＝0.3
D ．n ＝24,p ＝0.1
[解析] 由E (3ξ＋2)＝3E (ξ)＋2,D (3ξ＋2)＝9D (ξ),设ξ～B (n ,p )时,E (ξ)＝np ,D (ξ)＝np (1－p )
可知⎩
⎪⎨⎪⎧
3np ＋2＝9.2，
9np (1－p )＝12.96，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧
n ＝6，p ＝0.4.
故选B ．
4．袋中有大小相同的三个球,编号分别为1,2,3,从袋中每次取出一个球,若取到球的编号为奇数,则取球停止,用X 表示所有被取到的球的编号之和,则X 的方差为__17
9
__．
[解析] X 的分布列为
则E (X )＝1×13＋3×12＋5×16＝8
3．
D (X )＝17
9
．
5．在一次数学考试中,第22,23,24题为选做题,规定每位考生必须且只需在其中选做一题,设5名考生选做这三题的任意一题的可能性均为1
3,每位学生对每题的选择是相互独立的,各学
生的选择相互之间没有影响．
(1)求其中甲、乙两人选做同一题的概率；
(2)设选做第23题的人数为ξ,求ξ的分布列及数学期望、方差．
[解析] (1)设事件A 1表示甲选22题,A 2表示甲选23题,A 3表示甲选24题,B 1表示乙选22题,B 2表示乙选23题,B 3表示乙选24题,
依题意P (A i )＝P (B i )＝1
3,i ＝1,2,3,则甲、乙两人选做同一题的事件为A 1B 1＋A 2B 2＋A 3B 3,且
A 1与
B 1,A 2与B 2,A 3与B 3相互独立,
∴P (A 1B 1＋A 2B 2＋A 3B 3)＝P (A 1)P (B 1)＋P (A 2)P (B 2)＋P (A 3)P (B 3)＝(13×13)×3＝1
3．
(2)ξ可能取值为0,1,2,3,4,5.且5名考生选做这三题中的任意一题的可能性均为1
3
,
∴P (ξ＝k )＝C k 5(13)k (23)5－k ＝C k
5·25－k
3
5,k ＝0,1,2,3,4,5,
∴ξ的分布列为：
∴E (ξ)＝np ＝5×13＝5
3
．
D (ξ)＝np (1－p )＝5×13×(1－13)＝10
9．。