用导数处理实际问题中的最优化问题

教学过程
一、复习预习
复习1：函数y =2x 3－3x 2－12x +5在［0，3］上的最小值是___________ 复习2：函数()sin f x x x =-在[0,]2
π
上的最大值为_____；最小值为_______.
二、知识讲解
创设情景
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题． 新课讲授
导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。

解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。

再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．
考点/易错点1注意实际问题中的定义域
将实际问题抽象成数学问题之后，往往容易忽略函数的定义域，比如实际问题的人数必须是正整数等等。

三、例题精析
【例题1】
【题干】汽油的使用效率何时最高
我们知道，汽油的消耗量w （单位：L ）与汽车的速度v （单位：km/h ）之间有一定的关系，汽油的消耗量w 是汽车速度v 的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题：
（1） 是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？ （2） “汽油的使用率最高”的含义是什么？
【答案】因为 w w g
t G s s v t ===
这样，问题就转化为求g v 的最小值．从图象上看，g
v
表示经过原点与曲线上点的直线的斜
率．进一步发现，当直线与曲线相切时，其斜率最小．在此切点处速度约为90/km h ．
因此，当汽车行驶距离一定时，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此时的车速约为90/km h ．从数值上看，每千米的耗油量就是图中切线的斜率，即()90f '，约为 L ．
【解析】研究汽油的使用效率（单位：L/m ）就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值．如果用G 表示每千米平均的汽油消耗量，那么w
G s
=
，其中，w 表示汽油消耗量（单位：L ），s 表示汽油行驶的路程（单位：km ）．这样，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求G
的最小值的问题．
通过大量的统计数据，并对数据进行分析、研究，
人们发现，汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率g （即每小时的汽油消耗量，单位：L/h ）与汽车行驶的平均速度v （单位：km/h ）之间有如图所示的函数关系()g f v =．
从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题．因此，我们首先需要将问题转化为汽油平均消耗率g （即每小时的汽油消耗量，单位：L/h ）与汽车行驶的平均速度v （单位：km/h ）之间关系的问题，然后利用图像中的数据信息，解决汽油使用效率最高的问题．
【例题2】
【题干】磁盘的最大存储量问题
计算机把数据存储在磁盘上。

磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。

磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。

磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit ）。

为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于m ，每比特所占用的磁道长度不得小于n 。

为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。

问题：现有一张半径为R 的磁盘，它的存储区是半径介于r 与R 之间的环形区域． （1） 是不是r 越小，磁盘的存储量越大？
（2） r 为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？ 【答案】（1）它是一个关于r 的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是r 越小，磁盘的存储量越大．
（2）2
R r =时，磁盘具有最大存储量。

此时最大存储量为224R mn π
【解析】由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。

设存储区的半径介于r 与R 之间，由于磁道之间的宽度必需大于m ，且最外面的磁道
不存储任何信息，故磁道数最多可达
R r
m
-。

由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达2r
n
π。

所以，磁盘总存储量
()f r =R r m -×2r n
π2()r R r mn π
=- （1） 它是一个关于r 的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是r 越小，磁盘的存储
量越大．
（2） 为求()f r 的最大值，计算()0f r '=．
令()0f r '=，解得2
R r =
当2R r <
时，()0f r '>；当2
R
r >时，()0f r '<． 因此2R r =时，磁盘具有最大存储量。

此时最大存储量为2
24R mn π
【例题3】
【题干】饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？
（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？
某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是2
0.8r π分，其中 r 是瓶子的半径，单位是厘米。

已知每出售1 mL 的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm 问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？
【答案】（1）半径为2cm 时，利润最小，这时()20f <，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值． （2）半径为6cm 时，利润最大．
【解析】由于瓶子的半径为r ，所以每瓶饮料的利润是
令()2
0.8(2)0f r r r π'=-= 解得 2r =（0r =舍去）
当()0,2r ∈时，()0f r '<；当()2,6r ∈时，()0f r '>．
当半径2r >时，()0f r '>它表示()f r 单调递增，即半径越大，利润越高； 当半径2r <时，()0f r '< 它表示()f r 单调递减，即半径越大，利润越低．
（1） 半径为2cm 时，利润最小，这时()20f <，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子
的成本，此时利润是负值．
（2） 半径为6cm 时，利润最大．
四、课堂运用
【基础】
1. 已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为
31
812343
y x x =-+-，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（ ）
（A ）13万件 (B)11万件 (C) 9万件 (D)7万件 答案：C
解析：令导数'
2
810y x =-+>，解得09x <<；令导数'2
810y x =-+<，解得9x >，
所以函数3
1812343
y x x =-
+-在区间(0,9)上是增函数，在区间(9,)+∞上是减函数，所以在9x =处取极大值，也是最大值，故选C 。

【巩固】
1. 某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，
左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为
803
π
立方米，且2l r ≥.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为(3)c c ＞.设该容器的建造费用为y 千元.
（Ⅰ）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r .
答案与解析：
【拔高】
课程小结
1
2．解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。

课后作业（在各自的系统上进行布置，不在教学案中体现）
【基础】 1. 2. …… 【巩固】 1. 2. …… 【拔高】 1. 2. ……
课后评价（在各自的系统上进行布置，不在教学案中体现）。