人教初中数学九上《公式法》教案 (公开课获奖)

21.2.2 公式法
教学目标
知识技能
1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.
2.会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程. 数学思考与问题解决
1.经历探索求根公式的过程开展学生合情合理的推理能力.
2.提高学生的运算能力并养成良好的运算习惯. 情感态度
1.通过运用公式法解一元二次方程，提高学生的运算能力，并让学生在学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的自信心.
2.学会和他人合作，并能与他人交流思维的过程和结果. 重点难点 重点
求根公式的推导和公式法的应用. 难点
一元二次方程求根公式的推导. 教学设计
活动1 复习引入 用配方法解以下方程：
(1)01762=+-x x ； (2)52342
=-x x
总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结，教师点评). (1)移项；
(2)化二次系数为1；
(3)方程两边同时加上一次项系数一半的平方； (4)原方程变形为n m x =+2
)(的形式；
(5)如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解；如果右边是负数，那么一元二次方程无解. 活动2 实验发现
如果这个一元二次方程是一般形式)0(02
≠=++a c bx ax ，你能否用上面配方法的步骤求出它的两根，请同学们独立完成下面这个问题.
问题：)0(02
≠=++a c bx ax 且ac b 42
-≥0，试推导它的两个根a
ac
b b x 2421-+-=，
a
ac b b x 24221---=.
分析：应为前面具体数字已做的很多了，我们现在不妨把c b a ，，也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤可以一直推导下去.
解：移项，得：c bx ax -=+2
，
二次项系数化为1，得：a
c x a b x -=+
2
， 配方，得：222
)2()2(a
b a
c a b x a b x +-=++，
即22244)2(a
ac b a b x -=+①. 因为0≠a ，所以042
>a ，式子ac b 42
-的值有以下三种情况：
(1)当ac b 42
-＞0时，0442
2>-a
ac
b . 由①直接开平方，得：a a
c b a b x 2422-±=+， 即a
ac
b b x 242-±-=，
∴a ac b b x 2421-+-=，a
ac
b b x 2422---=.
(2)当ac b 42
-＝0时，
0442
2=-a ac
b . 由①可知，方程有两个相等的实数根a
b x x 221-
==. (3)当ac b 42
-<0时，0442
2<-a
ac
b . 由①可知，0)2(2
<+
a
b x ，因此方程无实数根. 由上可知，一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax 的根由方程的系数c b a ，，而定，一般地，式子
ac b 42-叫做方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△＝ac b 42-，因此：
(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式)0(02
≠=++a c bx ax ，当△≥0时，将c b a ，，
代入式子a
ac b b x 242-±-=就得到方程的根；当△0<时就得到方程无实数根.
(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式.
(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法. (4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根. 活动3 利用公式解决问题
教材第11页例2.(找四位同学板书，教师巡视及时发现错误及时纠正，对于局部学生给予适当鼓励.) 活动4 稳固练习 1.解以下方程：
(1)0232
=++x x ； (2)4722
=-x x ； (3)01322
=+-x x .
有一长方形的桌子，长为3m ，宽为2m ，一长方形桌布的面积是桌面面积的2倍，且将桌布铺到桌面上时各边垂下的长度相同，那么桌布长为 ，宽为 .
活动5 师生小结与布置作业
1.本节课你有什么困惑，请你大声地告诉老师.
2.本节课你有何感想，请你畅所欲言.
3.本节课你有和收获，请你与同伴分享.
(发动学生队本节课内容进行总结，鼓励学生大胆发言.) 布置作业：
教材第17页习题21.2第4、5题.
15.2.2 分式的加减
教学目标
明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 重点难点
1．重点：熟练地进行分式的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式的混合运算. 3．认知难点与突破方法
教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-〞号提到分式本身的前面. 教学过程
例、习题的意图分析
1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.
2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相照应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入
1．说出分数混合运算的顺序.
2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解
〔教科书〕例7 计算
[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.
〔教科书〕例8 计算：
[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：
(1) x x x x x 22)242(2+÷-+- 〔2〕)1
1()(b
a a
b b b a a -÷--- 〔3〕)2
1
22()41223(
2+--÷-+-a a a a 五、课后练习
1．计算： (1))1)(1(y
x x y x y +--+ (2)22242)44122(
a
a
a a a a a a a a -÷-⋅+----+
(3)zx
yz xy xy
z y x ++⋅++)111(
2．计算24
)2121(a
a a ÷--+，并求出当=a -1的值.
六、答案：
四、〔1〕2x 〔2〕
b a ab
- 〔3〕3 五、1.(1)22y x xy - (2)2
1
-a 〔3〕z 1
2.原式=4
22--a a ，当=a -1时，原式=-31
.
13.3.1 等腰三角形
教学目标
〔一〕教学知识点
1．等腰三角形的概念． 2．等腰三角形的性质．
3．等腰三角形的概念及性质的应用． 〔二〕能力训练要求
1．经历作〔画〕出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点． 2．探索并掌握等腰三角形的性质． 〔三〕情感与价值观要求
通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．
重点难点
重点：1．等腰三角形的概念及性质． 2．等腰三角形性质的应用．
难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用． 教学方法 探究归纳法． 教具准备
师：多媒体课件、投影仪； 生：硬纸、剪刀．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？
[生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．
[师]那什么样的三角形是轴对称图形？
[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折后两局部能够完全重合的就是轴对称图形．
[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形．
Ⅱ．导入新课
[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．
A
B
I
C
A
B
I
作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连接AB、BC、CA，那么可得到一个等腰三角形．
[生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点．
[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本探究中的方法，•剪出一个等腰三角形．
……
[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．
[师]有了上述概念，同学们来想一想．
〔演示课件〕
1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．
2．等腰三角形的两底角有什么关系？
3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？
4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？
[生甲]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．
[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等．
[生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的局部就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线．
[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的局部互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴．
[生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴．
[师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察． [生齐声]它们是同一条直线．
[师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质．
[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的局部互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高． [师]很好，大家看屏幕． 〔演示课件〕
等腰三角形的性质：
1．等腰三角形的两个底角相等〔简写成“等边对等角〞〕．
2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合〔通常称作“三线合一〞〕．
[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程〕． 〔投影仪演示学生证明过程〕
[生甲]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作底边BC 的中线AD ，因为
,
,,AB AC BD CD AD AD =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
所以△BAD ≌△CAD 〔SSS 〕． 所以∠B=∠C ．
[生乙]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作顶角∠BAC 的角平分线AD ，因为
,,,AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
所以△BAD ≌△CAD ．
所以BD=CD ，∠BDA=∠CDA=1
2
∠BDC=90°．
[师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很标准．下面我们来看大屏幕．
〔演示课件〕
[例1]如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ， 求：△ABC 各角的度数．
[师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题．
[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到
∠A=∠ABD ，∠ABC=∠C=∠BDC ，•
再由∠BDC=∠A+∠ABD ，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A ． 再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC 的三个内角． [师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把∠A 设为x 的话，那么∠ABC 、∠C 都可以用x 来表示，这样过程就更简捷． 〔课件演示〕
[例]因为AB=AC ，BD=BC=AD ， 所以∠ABC=∠C=∠BDC ． ∠A=∠ABD 〔等边对等角〕．
D C
A B
D C
A
B
D
C A B
设∠A=x ，那么∠BDC=∠A+∠ABD=2x ， 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x ．
于是在△ABC 中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°， 解得x=36°．
在△ABC 中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．
[师]下面我们通过练习来稳固这节课所学的知识． Ⅲ．随堂练习
〔一〕课本练习 1、2、3． 练习
1． 如图，在以下等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．
(2)
120︒
36︒
(1)
答案：〔1〕72° 〔2〕30°
2.如图，△ABC 是等腰直角三角形〔AB=AC ，∠BAC=90°〕，AD 是底边BC
上的高，标出∠B 、∠C 、∠BAD 、∠DAC 的度数，图中有哪些相等线段？
D C
A
B
答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC ，BD=DC=AD ．
3.如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=26°，求∠B 和 ∠C 的度数．
答：∠B=77°，∠C=38.5°．
〔二〕阅读课本，然后小结． Ⅳ．课时小结
这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等〔等边对等角〕，等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．
我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们． Ⅴ．课后作业
〔一〕习题13.3 第1、3、4、8题． 〔二〕1．预习课本．
2．预习提纲：等腰三角形的判定． Ⅵ．活动与探究
D C
A
B
如图，在△ABC 中，过C 作∠BAC 的平分线AD 的垂线，垂足为D ，DE ∥AB 交AC 于E ．
求证：AE=CE ．
E
D
C
A
B
过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，•等腰三角形的性质． 结果：
证明：延长CD 交AB 的延长线于P ，如图，在△ADP 和△ADC 中，
12,,,AD AD ADP ADC ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
∴△ADP ≌△ADC ．
∴∠P=∠ACD ． 又∵DE ∥AP ， ∴∠4=∠P ． ∴∠4=∠ACD ． ∴DE=EC ．
同理可证：AE=DE ．
∴AE=C E ．
板书设计
一、设计方案作出一个等腰三角形 二、等腰三角形性质 1．等边对等角 2．三线合一 三、例题分析 四、随堂练习 五、课时小结 六、课后作业 备课资料 参考练习
1．如果△ABC 是轴对称图形，那么它的对称轴一定是〔 〕 A ．某一条边上的高 B ．某一条边上的中线 C ．平分一角和这个角对边的直线 D ．某一个角的平分线 2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是〔 〕 A ．80° B ．20° C ．80°和20° D ．80°或50° 答案：1．C 2．C
3. 等腰三角形的腰长比底边多2 cm ，并且它的周长为16 cm ．求这个等腰三角形的边长． 解：设三角形的底边长为x cm ，那么其腰长为〔x+2〕cm ，根据题意，得 2〔x+2〕+x=16．解得x=4．
E D
C A B P
所以，等腰三角形的三边长为4 cm 、6 cm 和6 cm ．
15.2.2 分式的加减
教学目标
明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 重点难点
1．重点：熟练地进行分式的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式的混合运算. 3．认知难点与突破方法
教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-〞号提到分式本身的前面. 教学过程
例、习题的意图分析
1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.
2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相照应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入
1．说出分数混合运算的顺序.
2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解
〔教科书〕例7 计算
[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.
〔教科书〕例8 计算：
[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：
(1) x x x x x 22)242(2+÷-+- 〔2〕)1
1()(b
a a
b b b a a -÷--- 〔3〕)2
1
22()41223(
2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(y
x x
y x y +--+
(2)22242)44122(a
a
a a a a a a a a -÷-⋅+----+
(3)zx
yz xy xy
z y x ++⋅++)111(
2．计算24
)2121(a
a a ÷--+，并求出当=a -1的值.
六、答案：
四、〔1〕2x 〔2〕
b
a ab
- 〔3〕3 五、1.(1)2
2y x xy - (2)2
1
-a 〔3〕z 1 2.原式=4
22--a a ，当=a -1时，原式=-31
.。