粘性流体的不可压缩流动

Chapter 9-1 粘性不可压缩流体流动
§1概述
一、粘性不可压缩流动模型
１、关于粘性 粘性摩擦的存在必导致绕流阻力的存在，运动的衰减及涡量的扩散。

在大e R 数下，惯性力>>粘性力，采用理想流体模型，理想流体理论对不脱体绕流情况下的升力，压力分布和速度分布给出了符合实际的结果，但在阻力等与粘性效应相关的问题上却无能为力。

因而，在研究阻力等起源于粘性的现象时须抛弃理想流体假设。

在小e R 数和中e R 数情况下，粘性作用不可忽略。

2、关于不可压缩流动（流体的压缩性对流动的影响可略）
液体压缩系数小，一般可认为不可压缩（极端情况如激波等除外）。

气体在低速运动（速度远小于声速）、非定常时速度变化缓慢，且重力方向上流场的尺度<10km 时，可略其压缩性。

（当研究对流层（~10km ）内大气运动时，不能忽略重力场引起的压缩效应）。

３、基本方程组和边界条件
均质不可压缩流体.const ρ=，且温度变化小，const μ=，故有
20
V dV p
F V dt γρ⎫∇⋅=⎪
⎬∇=-+∇⎪⎭
求速度和压力场的完备方程组。

能量方程
22:dU
k T S S dt
ρ
μ=∇+ 用于求温度场 本构方程 2P p I S μ=-+ 用于求应力
边界条件：在固壁表面上，流体的法向和切向速度分别等于固体表面的对应速度分量。

在自由表面上，0, 0nn n p p p τ=-=。

二、粘性流动分类，求解问题的几种途径
层流：流体运动规则、稳定，各部分分层流动互不掺混，质点轨迹光滑。

脉线清晰 湍流：流体运动极不规则、极不稳定，伴有高频扰动，各部分激烈掺混，质点轨迹杂乱无章。

决定流动状态的参数是e R 数(Batchlor page255)，e R <<2000 一定是层流，此时粘性力足以保持流动的稳定。

层流：极少有准确解（某些特殊的简单问题，非线性方程得以简化） 近似解法：大e R 数，边界层理论
小e R 数，部分或全部忽略惯性力。

湍流：湍流理论（近似解法） 三、粘性流动的一般特征 1、运动的有旋性
由V V V V 2
2)()(-∇=∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇ (0=⋅∇V ) 知N 一S 方程可化为
dV p
F dt γΩρ
∇=--∇⨯ 粘性不可压缩流动方程组改写为0dV p
F dt V γΩρ⎧∇=--∇⨯⎪
⎨⎪∇⋅=⎩
若0Ω=则N-S 方程化为Euler 方程，粘性与无粘流动的区别就仅在于固壁上的无滑移边界条件。

理想流体上述方程组在n
n V V =固边界
下有唯一解，此解一般不满足无滑移条件，也就
是说，粘性不可压缩无旋流动的解一般不存在⇒粘性不可压缩流动一般是有旋运动。

特例：点涡引起的理想流体二维流动在r a >区域的解亦是a r =的圆柱在粘性流体中匀角速度定轴转动引起的粘性流动。

２、机械能的耗损性 2:S S μΦ= 3、涡旋的扩散性与耗散性 226P （北大）
§9.5-9.6 粘性不可压缩流动的一些准确解 一、定常的单一方向流动
1、平面Couette 流动与Poiseuille 流动
两无限大平行平板，平板间充满均质不可压缩流体，间距b ，上板以速度U 沿x 轴方向运动，下板静止，研究板间流体的定常流动。

由流动特点可知：(,)u u x y =，0==w v ，
0=∂∂
t
，0=∂∂
z ， 0=⋅∇V
)(y u u =⇒。

N-S 方程：
const x p dy u d y p g dy u d x p =∂∂=⇒⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬⎫⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧∂∂--=+∂∂-=2222 00μρμ。

边界条件：0)0(=u ，U b u =)(。

1）若沿x 轴方向无压差
0=∂∂x
p
，流动仅由上板拖动引起，即称Couette 流动，此时 02
2=dy
u
d ⇒ b Uy u = ——简单剪切流动。

2）上板、下板均不动，
G x
p
-=∂∂，const G =，则为Poiseuille 流动，此时 )(2y b y G
u -=
μ。

3）平板所受粘滞力（以Couette 流为例）
b
U y
u b
y μ
μ
τ=∂∂==,0 或下板受切应力2121212u p p e y
μμ
-∂=-===∂。

4）拖动单位面积上平板外力做功功率U W τ=。

单位体积流体机械能耗散2
222
122122 2( )ij ij u U e e e e y b Φμμμμ⎛⎫∂==+== ⎪∂⎝⎭。

单位面积平板板间流体柱内的总机械能耗散b W Φ=。

例1 求解粘性流体沿倾斜平板下泻的流动（考虑重力的影响，假设自由表面与平板平行）。

220sin ------(1)
0cos ------(2)0 ------(3)p u
g x y p
g y u
x
ραμρα⎧∂∂=-+⎪∂∂⎪
⎪∂=--⎨
∂⎪
⎪∂=⎪∂⎪⎩ 边界条件：0)0(=u ，U b u =)(
公式(2)1cos ()p g y p x ρα⇒=-+，代入(1)并考虑到(3)知
const y
u x p g =∂∂=∂∂+-221sin μαρ ------（4）
设
G x
p
-=∂∂，则G x p -=∂∂1，代入（4）得B Ay y G g u +++-
=22sin μαρ。

再利用边界条件得)(2sin y b y G
g b Uy u -++=μ
αρ。

讨论：
1）若上边界b y =处是自由表面，则由于边界上0),(p b x p =故0=G ；
另外
0=∂∂=b
y y
u 要求0sin =+-
A b g μ
α
ρ， 故 )2(2s i n y b y g u -=
μ
α
ρ。

2）上板速度多大时，下板上摩檫应力为零
2
2sin 0b g G U y
u y μ
αρ+-
=⇒=∂∂=，此时
2
sin 2G g u y ραμ
+=-。

2、截面均匀的圆管内的粘性层流（Hagen-Poiseuille 流动） 无限长圆管内压强梯度力作用下的定常层流。

假设外加压差不随时间变化，不考虑入口段流动（粘性作用尚未达到充分，速度剖面随离入口的距离变化）可假设管无限长。

流体在压差作用下开始流动，当进入管中充分长距离后，粘性力达到与压强梯度力平衡，速度剖面不再变化，取柱坐标系如图，
0u z ∂=∂，0=∂∂θ。

柱坐标系下原始方程见吴书（下册page229），此流动轴对称，仅考虑N-S 方程的r e 和z e 两分量方程：
1()00p u
r z r r r p r γρ∂∂∂⎧-+=⎪∂∂∂⎪⎨∂⎪=⎪∂⎩ G const dr
du
r dr d r dz dp -≡==⇒
)(μ 则 2
12ln 4G u r C r C μ
=-
++ 边界条件：a r =，0=u ，另外附加有0→r ，u 有限；
故 )(42
2r a G u -=μ
μ420m a x Ga u u r ===
讨论：
①流量Q 及平均速度u
2
40
8 )( 2a u G a dr r ru Q a
πμππ===
⎰
, μ
8212max Ga u u ==，可利用此关系通过测量流
量来获得粘性系数。

注 关于压差（p G ∆=⨯管长）的量纲分析解见余志豪习题解答page119。

自由表面
②流体层间的阻力：2rz u G p r r τμ∂===-∂； 轴上：0=τ；壁上：max 42Ga u a
μτ=-=。

阻力系数 2max
81
2e u R λτρ==，其中e au R γ
=。

二、两同轴旋转圆柱间的定常流动（圆形流线情形，不计重力）
流体充满两无限长同轴圆柱之间1221(,,)r r r r >，两圆柱旋转角速度分别为12,w w 。

求解启动充分长时间后的定常流动。

选取柱坐标系，由流动特点可知：
()V V r θθ=，0=r V ，0=∂∂θ，0=∂∂z ，0=∂∂
t
，)(r p p = N-S 方程：22
21 ------(1)10() ------(2)
V p
r
r V V r r r r r θθθρμ⎧∂-=-⎪
∂⎪⎨⎡⎤∂∂⎪=-⎢⎥⎪∂∂⎣⎦⎩
(1)式解释：压强梯度力提供向心力；
(2)式解释：⎩
⎨⎧==⇐=00
0切向压强变化率切向加速度粘性切应力.
(2)式即22
210d V dV V dr r dr r
θθθ
+-=一一Euler 方程，设n V r θ=代入得1±=n ，故解为B V A r r
θ=+。

边界条件：111()V r r θω= ， 222()V r r θω=； 最后可得 22
22
112
2
1212
22
22
1212
()1r r r r V r r r r r r θωωωω--=+-----------（3） 讨论：
1）应力张量分量22)(
r
B
r V r V p r μμθθθ-=-∂∂=，它代表任一流体柱壳外表面上的粘性应力，任一单位长流体柱壳外表面受摩擦力矩const B p r M r =-== 4 22
πμπθ，与r 无关，
因而该柱壳内外表面摩檫力矩平衡，故作定常运动。

2）(3)式中第一项表示刚性旋转(有旋流动)，第二项表示无旋运动.
若01=r （无内柱）则r v 2ω= 表示旋转的桶内流体与桶一起刚性旋转； 若无外柱壳2220
( 0, ..,0)r r r i e V θ
ω→→∞→=则)( 12
11r r r
r U ≥=
ω，这是N-S
方程无旋流解的一个实例。

将以上二者结合起来，即考虑一个旋转的圆柱壳浸没于无界的粘性不可压缩流体中旋
转，则得到2
V r r R Rankine R V r R r
θθωω=<⎧⎪
⎨=
≥⎪⎩组合涡 §3、非定常的单一方向的流动
一、平板的突然启动——Stokes 第一问题（瞬态过程）
假设有一无限大平板浸没在无界的静止流体中，突然平板以速度U 沿其自身所在平面运动起来，并且此后一直保持这一速度不变，求解平板启动后流体运动的演化过程。

),(t y u u = 0==w v
0=∂∂x
p
22 u u
N S eq t y
γ∂∂-=∂∂：——热传导方程
(0,), (,)0, 0u t U u t t =∞=∞>>边界条件：；（任意时刻流动还没有传到的地方就可看
成无穷远）
(,0)0, 0u y y =≥初始条件：
22()() .., (0,)1, (,)0, 0(,0)0 0u U u U t y i e u t U u t U t u y U y γ⎧∂∂=⎪∂∂⎪⎪
=∞=>⎨⎪=≥⎪⎪⎩
解定解问题
解法一：由定解问题形式知
),,(γt y f U
u
=，而γ,,t y 组成唯一无量纲变数t y γη=
（21
[]L T γ-=）；由量纲齐次性原理知)(ηf U
u =
定解问题化为2
412021
1
02(0)1, ()01, x f f f C e dx C f f C C ηη-⎧'''+=⇒=+⎪⎪⎨⎪=∞=⇒==⎪⎩
⎰，
（把偏微分方程化成了常微分方程）
故 ⎰
⎰
--
-
=-
=2
4
2
2
2
11
1η
η
π
π
dx e dx e
U u x x
) 2(
) 2(
1t
y
erf t
y erf γγ=-=
（
2
2
π
=
⎰
∞
-dx e
x ，⎰
-=
η
π
η0
2
2
)(dx e
erf x ，⎰∞
-=
η
π
ηdx e erfc x 2
2
)(）
解法二：用Laplace 变换方法求解 解法三：李新明书221~220P
分析：1、速度分布 北大228P 图； 2、涡量 ) 4e x p ( 2t y t
U y u z γγπ-=∂∂-
=Ω 涡量的产生：在启动的那一瞬间，板面上流体质点速度U ，其外的流体在瞬时的粘性作用
下有加速度，但还没有速度（速度的获得需要时间）从而出现一个速度的间断面，板上这层流体在板和板外静止流体的粘性切应力的作用下被“搓”出涡量。

3、速度和涡量的扩散（∞→t 时0→Ω是由于均摊，还是由于粘性损耗？） 当2=η时，
01.0≈U
u
可以认为涡量和动量主要集中于2=η以下，即2=η可作为速度和涡量已传播到的区域的边线，对应t y 4γδ=⇒涡量和速度扩散的距离以t 4γ的规
律增加，扩散速率dy dt δ按t γ2
规律减小。

另外γ越大，扩散越快。

涡量和速度都集中于板面附近的小区域内，随↑t ，界面上涡量场逐渐减弱。

而某一
0≠y 处，涡量先增后减。

整个涡量场逐渐趋于均匀，最后达到0=Ω（涡量由于粘性而扩
散，（总量不变，参考教材455P 习题11外力拖板作功补充动能损耗），扩散方程中未含有耗散项，粘性只导致扩散。

eg ：关于涡量的产生和扩散的一个规律
在平板突然启动问题中证明
U dy =⎰
∞
ω，式中V
⨯∇=ω，该流动的速度为
)] 2(
1[t
y erf U u ν-=，这个积分意味着，由于平板的运动在0=t 时产生了一定量的涡量，
随时间的推移，涡量在流体内部扩散，但总的涡量保持不变。

证明：2
4
y t
u e y νω-∂=-=∂ 代入积分即得证。

（两无限大平板突然启动，速度均为U ，中间流体∞→t 时达到U u =，涡量消失始自两
板附近反向涡层的扩散。

）
§9.3相似原理与量纲分析 一、模型实验的必要性：
可以求得理论上的精确解的流动，只是一些简单的流动。

实际的情形要复杂得多，以至
求解一种真实的流动往往会变得非常困难，甚至无可能实现。

要解决复杂的真实流动问题，一方面依靠发展各种相似理论和数值解法；另一方面则要通过对实验观测结果的正确分析。

流体力学实验原则上是要研究尺度上缩小或放大了的真实流动。

通过对这种模拟流动的观测与分析，去推知真实流动的特性与规律。

例如，用飞机模型在风洞中作吹风试验，舰船在水槽中拖动测量等。

模拟实验一方面可以降低费用，另一方面也可使实验条件容易控制。

于是就提出了一个问题：应该如何设计模型实验，才能使模拟流动与真实的流动之间有简单的变换关系，以及如何将有限的实验结果应用于广泛的实际流动中去。

这些正是相似性原理所要回答的问题。

本课程不准备讲述相似理论的全面、严格的理论内容，只着重于介绍其思想方法，故仅从一例出发进行分析。

二、相似原理
考虑不可压缩粘性流体定常绕流圆球的问题，动力学方程组和定解条件：
20 0V p V V V V Ui r R V γρ⎧⎪
⎪∇⋅=⎪
∇⎪
⋅∇=-+∇⎨
⎪
⎪⎧=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩⎩
无穷远处边界条件球面上处 将上述定解问题无量纲化，
),,(1
),,(z y x R
z y x ='''，U V V
='，2
U p p ρ=' 得无量纲方程⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧='='='∞=''∆'+'∇'-='∇'⋅'='⋅∇'0,1,)(0)(V r i V r V UR
p V V V k
γ 由此可见，若两个不可压缩粘性流体绕球定常流动满足
2
22
1
11
R U R U γγ=
，则此二流动无量纲
方程解完全一致。

此二流动之间有简单变换关系，如(2)(1)
(2)
(1)2122
12211
,U p p V V U U U ρρ==， 说明（相似原理主要内容）： ①定义Renold 数UR
R e
γ
=
-1
②“流动相似”的概念
首先是几何相似（仅强调边界的几何相似），从而无量纲化后的边界条件一致。

其次在确定实验参数时要求e R
数相等从而保证无量纲化方程组一致。

这样两个流动就是相似的。

此时，两个流动的同一物理量（如)
(i V
）在对应点上的值成比例，这叫作力学相似。

e R 数相等是“相似准则”之一。

相似准则——无量纲化方程各项的系数，不同的流动
问题相似准则个数不同，要具体问题具体分析。

（两个定常粘性绕球流动若e R 数相等则相似，故e R 数称为相似准则）。

③V '
，p '适用于所有相似的流动。

一般粘性不可压缩流动力学相似性：吴书p231-238。

三、相似原理对模型实验的指导意义： ①对于模型实验设计的指导意义：设计实验必须保证几何相似和满足相似准则。

可在相似准则允许的前提下适当选择实验参数，eg.研究飞机在空中的等速平飞，其相似准则为e R 数：
γ
L
V R e ∞
=。

实验参数（风洞风速∞
'V ，模型特征尺寸L '，风洞内介质 'γ）须满足： γ
γL V L V ∞∞
=
''' ，可增大风洞尺寸以增大L '，或增大空气密度以减小 'γ从而减小∞'V 。

（h km /1100>超音速，战斗机可达2倍音速，甚至接近3倍音速）
② 对于实验研究的指导意义：例如绕流问题中物体受力的实验测量。

吴书p236。

二、量纲分析 1. 量纲的概念。

（实例说明） 2. 量纲齐次性原理。

描述物理定律的等式或不等式两端的物理量必须有相同的量纲，也就是说，只有量纲相同的量才能够相加或比较。

eg
2 dV p
F V dt γρ
∇=-+∇ 应用：用于分析或检验物理量之间的关系。

eg ：声速是一个平衡态的热力学状态变量，在任何均质系统中，任一热力学量都是两个独立热力学变量的确定函数，我们取p 和ρ为独立热力学变量，于是0),,(=c p f ρ
),(ρp f c =，(,)f p ρ为关于ρ，p 的多项式，设幂次分别为βα、
按量纲齐次性原理 β
αρ][][][p c = 其中1
][-=LT
c ，M T
L p 2
1][--=，M L 3][-=ρ
于是有0=+βα，13=--βα，12=α ，得2
1
=
α，21-=β（为唯一一组可能值）
因此，我们得到ρ
p
c ~
或2
p
c α
ρ
=（可能的关系式中的一种）
这里α为常数，只能由热力学理论或实验求得。

实验测量时，只需测量数据组
）（c p , ρ
，
根据数据拟合出二者之间的线性关系，而不是测),,(c p ρ，大大简化测量与分析。

例1，用１：30的模型在水槽中研究潜艇阻力问题。

若实际潜艇水下航速为10knot ，试确定
研究摩阻时，模型拖拽速度多大。

答：研究摩阻时，相似准则为e R 数：γ
UL
R e =
故 knot L L U U 3002
1
1
2== 参见吴望一：方程232P ⎪⎩⎪
⎨⎧'∇'+'∇'-='∇'⋅'+∂'∂='⋅∇'V R P E F V V t
V St
V e 2
110
定常绕流t S 数消失，不计重力F 数消失，潜艇在水下，不考虑自由表面，E 数消失，只剩下Re 数。

例2，一模型港尺度比为280：1，设真实storm wave 振幅1.524m ，波速9.144m/s 。

试确定模型实验波的特征量。

答：几何相似要求模型波浪尺寸：280/524.12=A ，280/1 λ=波长。

考虑重力起作用的表面波（重力波）：
z p g w V t w ∂∂-=∇⋅+∂∂
ρρ
特征量周期T ，T t t ='；波高H ，H z z ='；波速c ，c w w /='，V V c '=及2
c p p ρ='
无量纲化方程：z p k c
gH w V t w cT H '∂'
∂-
='∇'⋅'+'∂'∂ 2 Strouhal 数：λ
H
cT H S t ==，若满足几何相似，则Strouhal 数自然相等。

Froude 数：)(2
特征重力特征惯性力O gH
c F r ==
故模型波速为2/c s =。

粘性流体的不可压缩流动习题课
小结：
I 粘性不可压缩流动基本方程组和边界条件
II 典型的精确解及流动规律：
sec sec Couette Poi cille Hagen Poi clle ⎧⎪
-⎪⎨
⎪⎪⎩
平面流动和流动圆管流动
圆形流线流动
非定常的平板启动流 I I I Stokes 和Ossen 近似，绕球流动。

Eg1、柱坐标系下求解是定常的单一方向的流动
粘性系为μ的流体沿水平圆管作定常流动，速度q ，压强梯度不为零； 1）试证：
μ
r p r q
r r 0)(-=∂∂∂∂ 2）给出通过管子的体积流量 证明：1）连续性方程
01=+∂∂+∂∂+∂∂r V z V V r r V r
z r θθ 0==θV V r 故)(r q V z =
N-S 方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂=∂∂-(2)----- )1()1(-(1)----- 022
22r q r r q r V r r V z
p r
p
z z μμ (1)式表明(2)式两端均为常数，令
0p z
p
-=∂∂ 则)(220r q r r r q r
q r r
p ∂∂∂∂=∂∂+∂∂=-μ得证。

2)积分上式并考虑到边界条件))0(,0)((有限q a q =得： )(422
a r p q --
=μ
体积流量为μ
ππ8 24
00
a p rdr q Q a
=⋅=⎰
eg2：自由表面界面问题
一皮带通过一液体池沿直线向上以匀速0V 运动，由于粘性带走一层流体（厚度h ，密度ρ，粘性系数μ）而重力使其下流，试给出流体运动速度所满足的边界条件、带走的流体层的厚度内的速度分布和流量。

假定流动定常，铅直方向无压差，略大气摩擦。

解：速度只有y 分量)(x v v =，从而连续性方程自然满足
边界条件：0)0(V v =
0)
(=∂∂x
h v N-S 方程⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧∂∂+
∂∂--==∂∂22100x v y p g x
p
ρμρ
已知
0=∂∂y p 故可解得 02 2 V x gh x g v +-=μ
ρμρ 3
00
3 h g h V vdx Q h
μ
ρ-
==⎰ eg3、两流体界面边界条件
如图，两层不同密度，不同粘性的流体成层放置，设水平方向无压差，上板以0u 向右匀速移动，求速度分布。

解：)(11y u u = )(22y u u =
N-S 方程：上层：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧∂∂--=∂∂+∂∂-=y p g y u x p 1
12
1
21
1111010ρρμρ 01=∂∂x p 下层：⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧∂∂--=∂∂+∂∂-
=y p g y u x p 2222
222221
010ρρμρ 02=∂∂x p 解得 211C y C u +=，432C y C u += 衔接条件：)()(21h u h u =， h
y h
y y
u y
u ==∂∂=∂∂22
1
1
μμ
边界条件：0111)(u h h u =+ 0)0(2=u 故得：)(1221021h h z u u μμμ+=
)()()(122112*********h h h h h z u u μμμμμμμμ+-++=
eg4：椭圆边界。

考虑椭圆边界的管子内不可压缩粘性流体的定常流动。

管子截面周线方程
为122
22=+b
y a x
1）证明：C By Ax u z ++=2
2满足该情形下的粘性流动方程；
2）已知G 、μ、a 和b )(
G z
p
-=∂∂，决定A 、B 、C ； 3）讨论你所得到的解当∞→b 时的极限情况。

证明：1）基本定解问题：⎪⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪
⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧=+=++==+=∂∂=∂∂∂∂+∂∂=∂∂10 010
1------ )(222222
22222
22b y a x C Bx Ax u b y a x y p x p u y x z p z z 时，有当）（
μ
const B A u z =+=∇222
满足N-S 方程，亦满足连续性方程。

为满足边界条件要求)1(2222b y a x C u z --=，ie 2a C A -=，2b
C
B -=
2）由（1）得 G B A -=+μ)(2)(22222b a b Ga C +=⇒μ则)
(22
22
b a Gb A +-=μ， )(2222b a Ga B +-=μ，则)1()(222
222
222b
y a x b a b Ga u z --+=μ 3）当∞→b 时化成两板间的流动 )(222
x a G u z -=
μ。

Eg5、非定常精确解
考虑为上、下平板所界的流体的运动，其中上平板维持不动，下平板突然有平行于自身的运动，其稳定的速度为U ，如图，试证明速度分布为
d s i n
] e x p [12)1(),(2221y
n d
t n n U d y U t y u n πνππ-∑--=∞= 证明：⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧==>≥==∂∂=∂∂0
),(,),0(,00,0)0,(,022t d u U t u t y y u t y u t u ν
设w V u +=，其中)1(d
y
U V -=
则w 满足⎪
⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎨⎧==>--==∂∂=∂∂0
),(,0),0(,0)1()0,(,022t d w t w t d y
U y w t y w
t
w ν
此方程的解由分离变量法易得： t
d n n n
ye d
n A w 2
2
2sin
πνπ-
∑=
其中 π
πn U
y d y d n b y U d A d n 2s i n )1(20=-=
⎰ 得证。

Eg6：关于涡量的产生和扩散的一个规律
在平板突然启动问题中证明
U dy =⎰
∞
ω，式中V
⨯∇=ω，该流动的速度为
)] 2(
1[t
y erf U u ν-=，这个积分意味着，由于平板的运动在0=t 时产生了一定量的涡量，
随时间的推移，涡量在流体内部扩散，但总的涡量（涡通量）保持不变。

证明：2
4y t u e y νω-∂=-=∂ 代入积分即得证。

Eg7：变形情况北大387P 3、4、5（仿照题4设形式解） Eg8：球坐标系问题，北大388P .8。