一种改进的离散时间系统的变结构控制方法罗刘敏
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u (k ) 的值尽可能的小，其值过大时，这样很容易达
到饱和值，这样控制就不存在了。控制力的切换幅度 u(k)u(k1)过大不仅会影响到运动的平稳，而且这 在实际中实现起来也有困难。
u ( k ) u ( k 1 ) C 1 C b x ( k ) A q ( k ) T T s ( s S ( k )g ) （11n ）
抖振。
给出如下趋近律：
s(k 1 )(1q)T s(k)e kTsgs(k n )
k 1
（9）
定理1 离散时间滑模趋近律(9)可有效地抑制在
滑动模面附近产生的抖动，保证系统运动最终 趋于原点。
证明：由离散趋近律（9）有
s(k 1) (1qT)s(k) Tek sgns(k)
k 1
(1qT Tek )s(k)
一种改进的离散时间系统的变结构控制方法罗刘敏
❖ 引言 ❖ 主要结果 ❖ 仿真与结论 ❖ 下一步工作
引言
变结构控制理论是二十世纪五十年代发展起来 的一种控制系统综合方法。由于变结构控制中滑动 模态的不变性，即对外界干扰和系统的摄动具有很 强的鲁棒性 ，变结构控制在实际工程中得到了推广 和应用，如电机与电力系统控制、机器人控制、飞 机控制、卫星姿态控制等。
x (k )A I b (C ) 1 C b 1 b b C 1 ( b
T ke )
2 q)T k ( 1 )
当 k时， Tek 0 。进而 x(k) 0 。
(2qT)(k 1)
所以系统最终趋向于原点，保证了系统的渐进稳定性。
证毕。
2.3 改进趋近律 2
在实际中对于变结构控制 u (k )的选择，也应满足
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
time(s)
time(s)
图1a 文献[1]方法的状态轨线
图1c 文献[1]控制器
0.6
0.4
0.2
0.2 0.1
0
-0.2
0
x1
u
-0.4
-0.1
-0.6
-0.2
-0.8 -0.3
-1
-1.2
-0.4
-1.4
-0.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
time(s)
time(s)
图2a 改进趋近律1的状态轨线
图2b改进趋近律I的控制器
0.6
0.15
0.4 0.1
0.2
0.05 0
u
-0.2 0
-0.4 -0.05
-0.6
-0.8
-0.1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
改进趋近律如下：
s(k 1 ) (1 q T s(k)) e s(k)e kT sg s(k) n （12） k 1
定理 2 趋近律（12）保持了趋近律（9）的优 点。同时可以保证控制力的切换幅度有显著的减 小。
证明： 采用趋近律（9）的控制力幅度为
u(k)u(k1)C b1(C A x(k)qT (k)s
(k 1) s(k)
此时，
h(k)s(k)
h(k)1qT Tek
(k1)s(k)
只有当 h(k) 1 时，S k 才是收敛的。
即
s(k) Tek
(2qT)(k1)
（10）
由（10）式知切换带的宽度随着 k 的增加，逐渐趋
近于零,从而削弱了系统的抖振。
利用趋近律（9）所得到的闭环系统的状态为：
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
time(s)
time(s)
图3a 改进趋近律I的状态轨线
图3b改进趋近律I的控制器
结论
采用改进趋近律1可有效地抑制滑模控制系统 中存在的抖振现象，保证了系统在原点的稳定性。 采用改进的趋近律2从实际系统出发考虑了系统控 制受限的问题，有效地降低了系统控制输入的幅值。
v(k1)v(k)0
其中，V(k)s(k)2/2。
（3）
这种到达条件保证了滑模面的全局稳定，但它 的缺点是不适合多输入系统，趋近过程的品质 也难以保证 ;
主要结果
2.1抖振产生的原因：
考虑离散时间系统
x(k 1 )A(kx ) b(k u ) （7）
其中 x(k)Rn 为系统状态矢量；u(k)R为系统控
变结构控制理论大致可以分为两类:连续时间系 统的变结构控制和离散时间系统的变结构控制。前 者从50年代至今己建立了比较完善的理论，并在实 践中有许多成功的应用。近年来随着计算机技术的 飞速发展，数字计算机正广泛地应用于控制领域。
目前很大一类控制系统都是由数字计算机来实 现控制的，这使得离散时间系统的滑模变结构控制 理论的研究更具有理论意义和实际应用价值，而日
2
永远无法趋于原点，而只能在厚度为
q
T
T
的一个
2 qT
切换带内产生等幅振荡 。
为解决指数趋近律(4)存在的问题，本文给出如下 新的离散滑模趋近律。
2.2 改进趋近律 1
对于系统的调节，我们总是期望系统具有很
好的稳定性，并且进入滑动模态后又要有较小的
抖振,而对于离散系统来说，系统的性能又和步数
k 有关，因此我们可以考虑引入步数 k来消弱
s (k 1 ) s (k )s (k ) 0 （1）
此条件式对于准滑动模态的存在是必要条件而不
是充分条件，并不能保证系统的稳定性；
S.Z.Sarpturk等于1987年提出了一种新型离散
滑模到达条件 ：
S(k1) S(k)
（2）
K.Furuta于1990年基于李雅普诺夫函数给出了 一种新的不等式形式的到达条件 ：
可近似表示为
u (k ) u (k 1 ) C 1 (b C x ( A k )e kTS (s (k ) g)n （)15） k 1
与（13）相比，控制力的切换幅度 u(k)u(k1)
有了减小。
当 S k 足够小，即系统状态在切换面附近时，
我们有 lim es(k) 1 s(k) 0
0.0001 0.1314
，Cc
1。
采样时间为1ms,初始状态为 x(0)050.5T，取
1，c 5， 0.5 ，q 10。
0.6
0.3
0.4
0.25
0.2
0.2 0
x1
u
-0.2
0.15
-0.4
0.1 -0.6
-0.8
0.05
-1
0 -1.2
-1.4
-0.05
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
这时趋近律（12）将变为
s(k 1 )(1q)T s(k)e kTsgs(k n )
k 1
（16）
这等价于趋近律（9），根据定理1，它保证了系统
状态最终趋于原点。
仿真与结论
针对二阶离散系统
x (k 1 )A(k
0.001 0.9753
，B
下一步工作
用滑模预测控制来处理系统中存在的不确定性 和外部扰动
制输入；ARnn，为系统矩阵，假设 A,b完全可控。
切换函数为 s(k)C(xk)
（8）
引理2.1[9] 离散趋近律(4)对于任意初始值 S 0 0，
当 k 时， Sk T 。当且仅当 S(k) T
2 qT
2 qT
时，有 S(k1)S(k)。
由引理1知 S ( k ) 的值无限趋近于 T ，系统运动
ek
TS(sg(kn ))) k1
采用趋近律（12）的控制力幅度为
（13）
u(k)u(k1)C b1(C A x(k)es(k)qT (k)s
ekTS(sg(kn )))
k1
（14）
当 S k 足够大时，即系统状态远离切换面时，
我们有 limes(k) 0 ，此时，u(k)u(k1) s(k)
由（11）式可以看出，第一部分是由系统矩阵决 定的，所以是不可以改变的。假设第三项是固定的， 现在主要考虑第二部分 qTs(k) 。在远离切换面时，
为了保证系统状态能快速趋近切换面，我们希望得到 一个较大的趋近律系数 qT，但这时候 qTs(k) 将会很 大，即控制力的切换幅度会很大，系统的稳定性将会 受到影响。所以如果我们仍然采用常数压缩系数，趋 近速度与控制力的切换幅度将会是一组相互矛盾的。 为此采用变压缩系数来解决这一矛盾。
益引起关注。
但在离散的情况下，离散时间系统滑动模态的性 质、存在条件及到达条件都已改变，连续时间系统 的变结构控制方法难以直接应用于离散时间系统。 因此，研究适合于离散时间系统变结构控制方法具 有重要的理论价值和实际意义。
Y.Dote （1980）首先提出了“准滑动模态”的 概念，把连续系统的到达条件推广到离散系统，但 未给出严格的定义和数学模型。到达条件为：
到饱和值，这样控制就不存在了。控制力的切换幅度 u(k)u(k1)过大不仅会影响到运动的平稳，而且这 在实际中实现起来也有困难。
u ( k ) u ( k 1 ) C 1 C b x ( k ) A q ( k ) T T s ( s S ( k )g ) （11n ）
抖振。
给出如下趋近律：
s(k 1 )(1q)T s(k)e kTsgs(k n )
k 1
（9）
定理1 离散时间滑模趋近律(9)可有效地抑制在
滑动模面附近产生的抖动，保证系统运动最终 趋于原点。
证明：由离散趋近律（9）有
s(k 1) (1qT)s(k) Tek sgns(k)
k 1
(1qT Tek )s(k)
一种改进的离散时间系统的变结构控制方法罗刘敏
❖ 引言 ❖ 主要结果 ❖ 仿真与结论 ❖ 下一步工作
引言
变结构控制理论是二十世纪五十年代发展起来 的一种控制系统综合方法。由于变结构控制中滑动 模态的不变性，即对外界干扰和系统的摄动具有很 强的鲁棒性 ，变结构控制在实际工程中得到了推广 和应用，如电机与电力系统控制、机器人控制、飞 机控制、卫星姿态控制等。
x (k )A I b (C ) 1 C b 1 b b C 1 ( b
T ke )
2 q)T k ( 1 )
当 k时， Tek 0 。进而 x(k) 0 。
(2qT)(k 1)
所以系统最终趋向于原点，保证了系统的渐进稳定性。
证毕。
2.3 改进趋近律 2
在实际中对于变结构控制 u (k )的选择，也应满足
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
time(s)
time(s)
图1a 文献[1]方法的状态轨线
图1c 文献[1]控制器
0.6
0.4
0.2
0.2 0.1
0
-0.2
0
x1
u
-0.4
-0.1
-0.6
-0.2
-0.8 -0.3
-1
-1.2
-0.4
-1.4
-0.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
time(s)
time(s)
图2a 改进趋近律1的状态轨线
图2b改进趋近律I的控制器
0.6
0.15
0.4 0.1
0.2
0.05 0
u
-0.2 0
-0.4 -0.05
-0.6
-0.8
-0.1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
改进趋近律如下：
s(k 1 ) (1 q T s(k)) e s(k)e kT sg s(k) n （12） k 1
定理 2 趋近律（12）保持了趋近律（9）的优 点。同时可以保证控制力的切换幅度有显著的减 小。
证明： 采用趋近律（9）的控制力幅度为
u(k)u(k1)C b1(C A x(k)qT (k)s
(k 1) s(k)
此时，
h(k)s(k)
h(k)1qT Tek
(k1)s(k)
只有当 h(k) 1 时，S k 才是收敛的。
即
s(k) Tek
(2qT)(k1)
（10）
由（10）式知切换带的宽度随着 k 的增加，逐渐趋
近于零,从而削弱了系统的抖振。
利用趋近律（9）所得到的闭环系统的状态为：
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
time(s)
time(s)
图3a 改进趋近律I的状态轨线
图3b改进趋近律I的控制器
结论
采用改进趋近律1可有效地抑制滑模控制系统 中存在的抖振现象，保证了系统在原点的稳定性。 采用改进的趋近律2从实际系统出发考虑了系统控 制受限的问题，有效地降低了系统控制输入的幅值。
v(k1)v(k)0
其中，V(k)s(k)2/2。
（3）
这种到达条件保证了滑模面的全局稳定，但它 的缺点是不适合多输入系统，趋近过程的品质 也难以保证 ;
主要结果
2.1抖振产生的原因：
考虑离散时间系统
x(k 1 )A(kx ) b(k u ) （7）
其中 x(k)Rn 为系统状态矢量；u(k)R为系统控
变结构控制理论大致可以分为两类:连续时间系 统的变结构控制和离散时间系统的变结构控制。前 者从50年代至今己建立了比较完善的理论，并在实 践中有许多成功的应用。近年来随着计算机技术的 飞速发展，数字计算机正广泛地应用于控制领域。
目前很大一类控制系统都是由数字计算机来实 现控制的，这使得离散时间系统的滑模变结构控制 理论的研究更具有理论意义和实际应用价值，而日
2
永远无法趋于原点，而只能在厚度为
q
T
T
的一个
2 qT
切换带内产生等幅振荡 。
为解决指数趋近律(4)存在的问题，本文给出如下 新的离散滑模趋近律。
2.2 改进趋近律 1
对于系统的调节，我们总是期望系统具有很
好的稳定性，并且进入滑动模态后又要有较小的
抖振,而对于离散系统来说，系统的性能又和步数
k 有关，因此我们可以考虑引入步数 k来消弱
s (k 1 ) s (k )s (k ) 0 （1）
此条件式对于准滑动模态的存在是必要条件而不
是充分条件，并不能保证系统的稳定性；
S.Z.Sarpturk等于1987年提出了一种新型离散
滑模到达条件 ：
S(k1) S(k)
（2）
K.Furuta于1990年基于李雅普诺夫函数给出了 一种新的不等式形式的到达条件 ：
可近似表示为
u (k ) u (k 1 ) C 1 (b C x ( A k )e kTS (s (k ) g)n （)15） k 1
与（13）相比，控制力的切换幅度 u(k)u(k1)
有了减小。
当 S k 足够小，即系统状态在切换面附近时，
我们有 lim es(k) 1 s(k) 0
0.0001 0.1314
，Cc
1。
采样时间为1ms,初始状态为 x(0)050.5T，取
1，c 5， 0.5 ，q 10。
0.6
0.3
0.4
0.25
0.2
0.2 0
x1
u
-0.2
0.15
-0.4
0.1 -0.6
-0.8
0.05
-1
0 -1.2
-1.4
-0.05
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
这时趋近律（12）将变为
s(k 1 )(1q)T s(k)e kTsgs(k n )
k 1
（16）
这等价于趋近律（9），根据定理1，它保证了系统
状态最终趋于原点。
仿真与结论
针对二阶离散系统
x (k 1 )A(k
0.001 0.9753
，B
下一步工作
用滑模预测控制来处理系统中存在的不确定性 和外部扰动
制输入；ARnn，为系统矩阵，假设 A,b完全可控。
切换函数为 s(k)C(xk)
（8）
引理2.1[9] 离散趋近律(4)对于任意初始值 S 0 0，
当 k 时， Sk T 。当且仅当 S(k) T
2 qT
2 qT
时，有 S(k1)S(k)。
由引理1知 S ( k ) 的值无限趋近于 T ，系统运动
ek
TS(sg(kn ))) k1
采用趋近律（12）的控制力幅度为
（13）
u(k)u(k1)C b1(C A x(k)es(k)qT (k)s
ekTS(sg(kn )))
k1
（14）
当 S k 足够大时，即系统状态远离切换面时，
我们有 limes(k) 0 ，此时，u(k)u(k1) s(k)
由（11）式可以看出，第一部分是由系统矩阵决 定的，所以是不可以改变的。假设第三项是固定的， 现在主要考虑第二部分 qTs(k) 。在远离切换面时，
为了保证系统状态能快速趋近切换面，我们希望得到 一个较大的趋近律系数 qT，但这时候 qTs(k) 将会很 大，即控制力的切换幅度会很大，系统的稳定性将会 受到影响。所以如果我们仍然采用常数压缩系数，趋 近速度与控制力的切换幅度将会是一组相互矛盾的。 为此采用变压缩系数来解决这一矛盾。
益引起关注。
但在离散的情况下，离散时间系统滑动模态的性 质、存在条件及到达条件都已改变，连续时间系统 的变结构控制方法难以直接应用于离散时间系统。 因此，研究适合于离散时间系统变结构控制方法具 有重要的理论价值和实际意义。
Y.Dote （1980）首先提出了“准滑动模态”的 概念，把连续系统的到达条件推广到离散系统，但 未给出严格的定义和数学模型。到达条件为：