第48讲 直线与平面、平面与平面垂直(原卷版)(新高考专用)-《考点解透》高考数学一轮复习必备

第48讲 直线与平面、平面与平面垂直
【基础知识回顾】
知识梳理
1. 直线与平面垂直 (1)定义
如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l 与平面α互相垂直，记作l ⊥α，直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面．
(2)判定定理与性质定理
(1)定义
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是_0°的角．
(2)范围：⎣
⎡⎦⎤0，π2.
3. 平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念
①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；
②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．
(2)平面和平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理
续表
1、(2022·哈尔滨模拟)设m，n是两条不同的直线，α是平面，m，n不在α内，下列结论中错误的是()
A．m⊥α，n∥α，则m⊥n
B．m⊥α，n⊥α，则m∥n
C．m⊥α，m⊥n，则n∥α
D．m⊥n，n∥α，则m⊥α
2、已知m，l是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列可以推出α⊥β的是() A．m⊥l，m⊂β，l⊥α
B．m⊥l，α∩β＝l，m⊂α
C．m∥l，m⊥α，l⊥β
D．l⊥α，m∥l，m∥β
3、.如图，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是()
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面P AE
C．平面PDF⊥平面P AE
D．平面PDE⊥平面ABC
4、如图所示，AB是半圆O的直径，VA垂直于半圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是()
A．MN∥AB
B．平面VAC⊥平面VBC
C．MN与BC所成的角为45°
D．OC⊥平面VAC
5、如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD．(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
考向一线面垂直的判定与性质
例1、如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．
求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE．
变式1、如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面P AD，AD＝AP，E 是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
变式2、如图所示，在四棱锥PABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB
的中点，F是DC上的点，且DF＝1
2AB，PH为△PAD中AD边上的高．求证：
(1) PH⊥平面ABCD；
(2) EF⊥平面PAB.
变式3、如图，S是Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
方法总结；1.证明直线和平面垂直的常用方法有：
(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；(3)面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a⊥β)；(4)面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l⊂β⇒l⊥α).
2.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.
考向二面面垂直的判定与性质
例2、如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，AB，BC＝1，E，F分别是AB，PC 的中点，DE⊥P A.
（1）求证：EF∥平面P AD；
（2）求证：平面P AC⊥平面PDE.
变式1、如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥PD，P A＝PD，E为AD的中点．
(1)求证：PE⊥BC；
(2)求证：平面P AB⊥平面PCD.
变式2、如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝∠AA1C＝90°，平
面AA1C1C⊥平面ABC.
(1)求证：AA1⊥A1B；
(2)若AA1＝2，BC＝3，∠A1AC＝60°，求点C到平面A1ABB1的距离.
变式3、如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°．将∠ABD沿对角线BD折起，记折起后A的位置为点P，且使平面PBD⊥平面BCD．
求证：(1)CD⊥平面PBD．(2)平面PBC⊥平面PDC．
方法总结：(1)判定两个平面垂直的方法：①利用定义：证明二面角是直二面角；②利用判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.(2)面面垂直的证明，一般转化为证线面垂直，而线面垂直的证明，往往需多次利用线面垂直判定与性质定理，而线线垂直的证明有时需要利用平面解析几何条件．
考向三平行与垂直的探索性问题
例3如图所示，平面ABCD⊥平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC＝CE，点F为CE 的中点．
(1)证明：AE∥平面BDF；
(2)点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PM⊥BE？若存在，确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．
变式1、如图，在三棱台ABC­DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.
(1)设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；
(2)若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在，请确定G点的位置；若不存在，请说明理由．
变式2、在四棱锥P－ABCD中，△P AD是等边三角形，且平面P AD⊥平面ABCD，AD＝2AB ＝2BC，∠BAD＝∠ABC＝90°.
(1)在AD上是否存在一点M，使得平面PCM⊥平面ABCD，若存在，请证明；若不存在，请说明理由；
(2)若△PCD的面积为87，求四棱锥P－ABCD的体积．
变式3、如图，在四棱锥S －ABCD 中，四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC ＝60°，△SAD 为正三角形．侧面SAD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为棱AD ，SB 的中点．
(1)求证：AF ∥平面SEC ；
(2)求证：平面ASB ⊥平面CSB ；
(3)在棱SB 上是否存在一点M ，使得BD ⊥平面MAC ？若存在，求BM BS
的值；若不存在，请说明理由．
方法总结：平行与垂直中探索性问题的主要途径：①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．(2)涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点．
αβ的充要条件是
1、【2019年新课标2卷理科】设α，β为两个平面，则//
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
2、【2022年全国乙卷】在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为AB,BC的中点，则（）A．平面B1EF⊥平面BDD1B．平面B1EF⊥平面A1BD
C．平面B1EF//平面A1AC D．平面B1EF//平面A1C1D
3、【2021年新高考2卷】如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足MN OP
⊥的是（）
A．B．
C．D．
4、【2022年全国甲卷】在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1 ,AB=2,DP=√3．
(1)证明：BD⊥PA；
5、【2022年全国乙卷】如图，四面体ABCD中，AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC，E为A C的中点．
(1)证明：平面BED⊥平面ACD；
6、（2018年高考江苏卷）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥．
求证：（1）AB ∥平面11A B C ； （2）平面11ABB A ⊥平面1A BC .。