专题研究二数列的求和习题和答案详解

(第一次作业)
1．数列{1＋2n －
1}的前n 项和为( ) A ．1＋2n B ．2＋2n C ．n ＋2n －1 D ．n ＋2＋2n
答案 C
2．数列{(－1)n (2n －1)}的前2 018项和S 2 018等于( ) A ．－2 016 B ．2 018 C ．－2 015 D ．2 015
答案 B
解析 S 2 018＝－1＋3－5＋7＋…－(2×2 017－1)＋(2×2 018－1)＝2＋2＋…＋2,1 009个2相加＝2 018.故选B.
3．在数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 12＋a 22＋a 32＋…＋a n 2等于( ) A ．(3n －1)2 B.1
2(9n －1) C ．9n －1 D.1
4
(3n －1) 答案 B
解析 因为a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，所以a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －
1－1(n ≥2)．则n ≥2时，a n ＝2·3n －
1.
当n ＝1时，a 1＝3－1＝2，适合上式，所以a n ＝2·3n －
1(n ∈N *)． 则数列{a n 2}是首项为4，公比为9的等比数列，故选B.
4．若数列{a n }，{b n }满足a n b n ＝1，a n ＝n 2＋3n ＋2，则{b n }的前10项之和为( ) A.13 B.5
12 C.12 D.712
答案 B
解析 b n ＝1a n ＝1（n ＋1）（n ＋2）＝1n ＋1－1
n ＋2，S 10＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10
＝12－13＋13－14＋14－15＋…＋111－112＝12－112＝512
. 5．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －12n ，其前n 项和S n ＝321
64，则项数n 等于( )
A ．13
B ．10
C ．9
D ．6
答案 D
解析 ∵a n ＝2n －12n ＝1－12n ，∴S n ＝n －(12＋122＋…＋12n )＝n －1＋1
2n .
而32164＝5＋164，∴n －1＋12n ＝5＋1
64
.∴n ＝6. 6．已知等差数列{a n }的公差为d ，且a n ≠0，d ≠0，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1
可化简为( ) A.nd a 1（a 1＋nd ） B.n a 1（a 1＋nd ） C.d
a 1（a 1＋nd ） D.n ＋1
a 1[a 1＋（n ＋1）d]
答案 B
解析 ∵1a n a n ＋1＝1d (1a n －1a n ＋1)，∴原式＝1d (1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a n －1
a n ＋1)
＝1d (1a 1－1a n ＋1)＝n
a 1·a n ＋1
，选B. 7．(2019·皖南八校联考)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝6，S 5＝252，则数列{a n
2n }
的前n 项和为( ) A ．1－n ＋2
2n ＋1
B ．2－n ＋42n ＋1
C ．2－n ＋4
2n
D ．2－n ＋2
2
n ＋1
答案 B
解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋
n （n －1）2d ，因为S 3＝6，S 5＝25
2，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝6，
5a 1＋10d ＝252，解得⎩⎨⎧a 1＝3
2
，
d ＝12
，所以a n ＝12n ＋1，a n 2n ＝n ＋22n ＋1，设数列{a n
2n }的前n 项和为T n ，则T n ＝322＋423＋524＋…＋n ＋12n ＋n ＋22n ＋1，12T n ＝323＋424＋525＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22n ＋2，两项相减得12T n ＝34＋
(123＋124＋…＋12n ＋1)－n ＋22n ＋2＝34＋14(1－1
2n －1)－n ＋22n ＋2，所以T n ＝2－n ＋42n ＋1. 8．S n ＝1
22－1＋1
42－1＋…＋1
（2n ）2－1＝________．
答案
n 2n ＋1
解析 通项a n ＝
1（2n ）2－1＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12(12n －1－12n ＋1
)，∴S n
＝12(1－13＋13－1
5
＋…＋
12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)＝n 2n ＋1
. 9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n ＝________．
答案 ⎩
⎪⎨⎪⎧6n －n 2 （1≤n ≤3），n 2－6n ＋18 （n>3）
解析 由S n ＝n 2－6n ，得{a n }是等差数列，且首项为－5，公差为2. ∴a n ＝－5＋(n －1)×2＝2n －7. ∴n ≤3时，a n <0；n>3时，a n >0.
∴T n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧6n －n 2 （1≤n ≤3），n 2－6n ＋18 （n>3）.
10．(2019·衡水中学调研)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 016＝________． 答案 3×21 008－3
解析 依题意，得a n ＋1·a n ＝2n ，a n ＋1·a n ＋2＝2n ＋
1，则
a n ＋1·a n ＋2a n ·a n ＋1
＝2，即a n ＋2
a n ＝2，
所以数列a 1，a 3，a 5，…，a 2k －1，…是以a 1＝1为首项，2为公比的等比数列；数列a 2，a 4，a 6，…，a 2k ，…是以a 2＝2为首项，2为公比的等比数列，则
S 2 016＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 015)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 016)＝1－21 0081－2＋2（1－21 008）
1－2
＝3×21
008－3.
11．(2019·深圳调研二)数列{a n }是公差为d(d ≠0)的等差数列，S n 为其前n 项和，a 1，a 2，a 5成等比数列．
(1)证明：S 1，S 3，S 9成等比数列；
(2)设a 1＝1，b n ＝a 2n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 答案 (1)略 (2)2n ＋
2－n －4
解析 (1)证明：由题意有a 22＝a 1·a 5， 即(a 1＋d)2＝a 1·(a 1＋4d)，解得d ＝2a 1.
又∵S 1＝a 1，S 3＝3a 1＋3d ＝9a 1，S 9＝9a 1＋36d ＝81a 1，
∴S 32＝S 1·S 9.又∵S 1，S 3，S 9均不为零，∴S 1，S 3，S 9成等比数列． (2)由a 1＝1得d ＝2a 1＝2，则a n ＝2n －1，则T n ＝a 2＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ＝(2×2－1)＋(2×22－1)＋(2×23－1)＋…＋(2×2n －1) ＝2×(2＋22＋23＋…＋2n )－n ＝2n ＋
2－n －4.
12．(2017·课标全国Ⅲ，文)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n
2n ＋1
}的前n 项和．
答案 (1)a n ＝
22n －1 (2)2n 2n ＋1
解析 (1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，故当n ≥2时， a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)． 两式相减得(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝
2
2n －1
(n ≥2)． 又由题设可得a 1＝2，从而{a n }的通项公式为a n ＝2
2n －1
.
(2)记{a n 2n ＋1}的前n 项和为S n .由(1)知a n 2n ＋1＝2（2n ＋1）（2n －1）＝12n －1－1
2n ＋1.
则S n ＝11－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝2n 2n ＋1
.
13．已知数列{a n }为等比数列，T n ＝na 1＋(n －1)a 2＋…＋a n ，且T 1＝1，T 2＝4. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{T n }的通项公式．
答案 (1)a n ＝2n －
1 (2)T n ＝2n ＋
1－n －2
解析 (1)T 1＝a 1＝1，T 2＝2a 1＋a 2＝2＋a 2＝4，∴a 2＝2. ∴等比数列{a n }的公比q ＝a 2
a 1＝2.
∴a n ＝2n －
1.
(2)方法一：T n ＝n ＋(n －1)·2＋(n －2)·22＋…＋1·2n －
1，① 2T n ＝n·2＋(n －1)22＋(n －2)23＋…＋1·2n ，② ②－①，得
T n ＝－n ＋2＋22＋…＋2n －
1＋2n ＝－n ＋
2（1－2n ）
1－2
＝－n ＋2n ＋
1－2＝2n ＋
1－n －2.
方法二：设S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，∴S n ＝1＋2＋…＋2n －
1＝2n －1. ∴T n ＝na 1＋(n －1)a 2＋…＋2a n －1＋a n ＝a 1＋(a 1＋a 2)＋…＋(a 1＋a 2＋…＋a n ) ＝S 1＋S 2＋…＋S n ＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(2n －1) ＝(2＋22＋…＋2n )－n ＝
2（1－2n ）1－2
－n ＝2n ＋
1－n －2.
14．(2019·太原二模)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1－2，数列{b n }满足b n ＝a n ＋a n ＋
1(n ∈N
*)．
(1)求数列{b n }的通项公式；
(2)若c n ＝log 2a n (n ∈N *)，求数列{b n ·c n }的前n 项和T n . 答案 (1)b n ＝3×2n (2)T n ＝3(n －1)×2n ＋
1＋6
解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ， 又a 1＝2满足上式，∴a n ＝2n (n ∈N *)，∴b n ＝a n ＋a n ＋1＝3×2n .
(2)由(1)得a n ＝2n ，b n ＝3×2n ，∴c n ＝log 2a n ＝n ，∴b n ·c n ＝3n ×2n ， ∴T n ＝3×(1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n )，①
①×2得2T n ＝3×(1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋
1)，②
①－②得－T n ＝3×(2＋22＋…＋2n －n ×2n ＋
1)＝3×[(1－n)×2n ＋
1－2]，∴T n ＝3(n －1)×2n ＋1
＋6.
(第二次作业)
1．数列1，(1＋2)，(1＋2＋22)，…，(1＋2＋22＋…＋2n －
1)，…的前n 项之和为( ) A ．2n －1 B ．n·2n －n C ．2n ＋
1－n D ．2n ＋
1－n －2
答案 D 解析 记
a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －
1＝2n －1，∴S n ＝2·（2n －1）2－1
－n ＝2n ＋
1－2－n.
2．(2019·宁夏银川一中模拟)已知数列2 008，2 009，1，－2 008，－2 009，….这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 018项之和S 2 018等于( ) A ．2 008 B ．4 017 C ．1 D ．0
答案 B
解析 由已知得a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，∴a n ＋1＝a n －a n －1.
故数列的前8项依次为2 008，2 009，1，－2 008，－2 009，－1，2 008，2 009. 由此可知该数列为周期数列，周期为6，且S 6＝0. ∴2 018＝6×336＋2，∴S 2 018＝S 2＝2 008＋2 009＝4 017.
3．(2015·江苏)数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列{1a n }的前10项和为
________． 答案
2011
解析 由题意得：a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n ＋n －1＋…＋2＋1＝n （n ＋1）2，所以1a n ＝2(1n －1n ＋1)，S n ＝2(1－1n ＋1)＝2n n ＋1
，S 10＝20
11. 4．(2019·衡水中学调研卷)数列{a n }的通项公式a n ＝ncos nπ2＋1，前n 项和为S n ，则S 2 020＝
________． 答案 3 030
解析 ∵a n ＝ncos nπ
2
＋1，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝6，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝6，…，a 4k ＋1＋a 4k ＋2＋a 4k ＋3
＋a 4k ＋4＝6，k ∈N ，∴S 2 020＝505×(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＝505×6＝3 030.
5．(2019·江苏苏州调研)已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n (1－a n ＋1)，a 1＝1，数列{b n }满足b n ＝a n ·a n
＋1
，则数列{b n }的前10项的和S 10＝________．
答案
10
11
解析 由a n ＋1＝a n (1－a n ＋1)，得1a n ＋1－1a n ＝1，因此数列{1a n }是以1
a 1＝1为首项，1为公差的等
差数列，所以1a n ＝n ，即a n ＝1n ，b n ＝a n a n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1
n ＋1，所以S 10＝b 1＋b 2＋…＋
b 10＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(110－111)＝1－111＝10
11
.
6．(2013·湖南)设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)n a n －1
2n (n ∈N *)，则
(1)a 3＝________；
(2)S 1＋S 2＋…＋S 100＝________． 答案 (1)－116 (2)13(1
2
100－1)
解析 (1)因为S n ＝(－1)n a n －12n ，则S 3＝－a 3－18，S 4＝a 4－116，解得a 3＝－1
16
.
(2)当n 为偶数时，S n ＝a n －12n ，当n 为奇数时，S n ＝－a n －12n ，可得当n 为奇数时a n ＝－1
2n ＋1，
又S 1＋S 2＋…＋S 100＝(－a 1－12)＋(a 2－122)＋…＋(－a 99－1299)＋(a 100－1
2100)
＝－a 1＋a 2＋…－a 99＋a 100－(12＋122＋…＋1299＋1
2
100)
＝S 100－2(a 1＋a 3＋…＋a 99)－(1－12100)＝S 101－a 101－2(－122－124－…－12100)－(1－1
2100)
＝－12102－(－12102)＋2×122[1－（1
22）50]1－12
2
－(1－12100)＝－13(1－12100)＝13(1
2
100－1)．
7．(2016·北京，文)已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4.
(1)求{a n }的通项公式；
(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和． 答案 (1)a n ＝2n －1
(2)S n ＝n 2＋
3n －1
2
解析 (1)等比数列{b n }的公比q ＝b 3b 2＝93＝3，所以b 1＝b 2q ＝1，b 4＝b 3q ＝27.∴b n ＝3n －
1.
设等差数列{a n }的公差为d.
因为a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝27，所以1＋13d ＝27，即d ＝2.
所以a n ＝2n －1(n ＝1，2，3，…)．
(2)由(1)知，a n ＝2n －1，b n ＝3n －
1，因此c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －
1. 从而数列{c n }的前n 项和S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＋1＋3＋…＋3n －
1 ＝n （1＋2n －1）2＋1－3n 1－3
＝n 2＋3n －12.
8．(2019·安徽江南十校联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4. (1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列； (2)求数列{S n }的前n 项和T n . 答案 (1)略 (2)T n ＝2n ＋
3＋n 2－3n －8
2
解析 (1)证明：当n ＝1时，a 1＝S 1，S 1－2a 1＝1－4，解得a 1＝3. 由S n －2a n ＝n －4可得S n －2(S n －S n －1)＝n －4(n ≥2)， 即S n ＝2S n －1－n ＋4，所以S n －n ＋2＝2[S n －1－(n －1)＋2]．
因为S 1－1＋2＝4，所以{S n －n ＋2}是首项为4，公比为2的等比数列．
(2)由(1)知S n －n ＋2＝2n ＋
1，所以S n ＝2n ＋
1＋n －2，于是T n ＝(22＋23＋…＋2n ＋
1)＋(1＋2＋…＋n)－2n ＝4（1－2n ）1－2
＋n （n ＋1）2－2n ＝2n ＋
3＋n 2－3n －8
2.
9．(2019·重庆抽测二)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，a n ＋1＝S n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝(n －1)a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .
答案 (1)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2， n ＝1
2n －1， n ≥2
(2)T n ＝(n －2)2n ＋2
解析 (1)∵a n ＋1＝S n (n ∈N *)，∴S n ＋1－S n ＝S n ，∴
S n ＋1
S n
＝2. 又S 1＝a 1＝2，∴数列{S n }是首项为2，公比为2的等比数列，∴S n ＝2n (n ∈N *)． 当n ≥2
时，a n ＝S n －S n －1＝2n －
1(n ≥2)，∴a n ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧2， n ＝1，
2n －
1， n ≥2.
(2)T n ＝0×a 1＋1×a 2＋2×a 3＋…＋(n －1)×a n ， 当n ＝1时，T 1＝0.
当n ≥2时，T n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋(n －1)×2n －
1，① 2T n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －2)2n －
1＋(n －1)2n ，② ①－②，得－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －1
－(n －1)2n ＝2（1－2n －
1）1－2
－(n －1)2n ＝(2－n)2n －2.
∴T n ＝(n －2)2n ＋2(n ≥2)．
又T 1＝0也满足上式，∴T n ＝(n －2)2n ＋2.
10．(2015·课标全国Ⅰ)S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a n >0，a n 2＋2a n ＝4S n ＋3.
(1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝
1
a n a n ＋1
，求数列{b n }的前n 项和． 答案 (1)a n ＝2n ＋1 (2)T n ＝
n
3（2n ＋3）
解析 (1)由a n 2＋2a n ＝4S n ＋3，可知a n ＋12＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.
可得a n ＋12－a n 2＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，即2(a n ＋1＋a n )＝a n ＋12－a n 2＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )． 由于a n >0，可得a n ＋1－a n ＝2.
又a 12＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3.
所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝
1a n a n ＋1＝1（2n ＋1）（2n ＋3）＝12(12n ＋1－12n ＋3
)． 设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(13－15)＋(15－17)＋…＋(12n ＋1－12n ＋3)]＝n 3（2n ＋3）. 11．数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n(n ＋1)(n ∈N *)． (1)证明：数列{a n
n
}是等差数列；
(2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 答案 (1)略 (2)S n ＝（2n －1）·3n ＋
1＋3
4
解析 (1)证明：由题意，得
a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a n
n
＝1， 所以{a n n }是以a 1
1
＝1为首项，1为公差的等差数列．
(2)解：由(1)得a n
n ＝1＋(n －1)·1＝n ，所以a n ＝n 2. 所以b n ＝n·3n .
S n ＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n·3n ，① 3S n ＝1×32＋2×33＋…＋(n －1)·3n ＋n·3n ＋
1.② ①－②得－2S n ＝31＋32＋…＋3n －n·3n ＋1
＝3（1－3n ）1－3
－n·3n ＋1＝（1－2n ）·3n ＋
1－32.
所以S n ＝（2n －1）·3n ＋
1＋34
.。