四川省乐山外国语学校2014-2015学年高一上学期期中数学试卷【含精品解析】

四川省乐山外国语学校2014-2015学年高一上学期期中数学试卷
一．选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x＜﹣1或x＞4}，那么集合A∩（∁U B）等于（）
A．{x|﹣2≤x≤4} B．{x|x≤3或x≥4} C．{x|﹣2≤x＜﹣1} D．{x|﹣1≤x≤3}
2．（5分）满足条件M∪{1}={1，2，3}的集合M的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
3．（5分）下列各式中成立的一项（）
A．B．
C．D．
4．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，则f（2）=（）A．6B．﹣6 C．10 D．﹣10
5．（5分）下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A．B．y=x3C．y=2|x|D．y=cosx
6．（5分）若数集A={x|2a+1≤x≤3a﹣5}，B={x|3≤x≤22}，则能使A⊆B成立的所有a的集合是（）
A．{a|1≤a≤9} B．{a|6≤a≤9} C．{a|a≤9} D．∅
7．（5分）若函数f（x）的定义域为[0，1]，值域为[1，2]，则f（x+2）的定义域和值域分别是（）
A．[0，1]，[1，2]B．[2，3]，[3，4]C．[﹣2，﹣1]，[1，2]D．[﹣1，2]，[3，4][来源:学&科&网]
8．（5分）设2a=5b=m，且，则m=（）
A．B．10 C．20 D．100
9．（5分）对于每个实数x，设f（x）取y=4x+1，y=x+2，y=﹣2x+4三个函数中的最小值，则f（x）的最大值为（）
A．B．C．D．
10．（5分）已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是（）
A．B．C．（3，+∞）D．[3，+∞）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卷横线上）11．（5分）幂函数f（x）的图象过点，则f（x）的解析式是．
12．（5分）已知x2+bx+c＜0的解集是{x|1＜x＜3}，则b+c等于．
13．（5分）函数f（x）=的定义域为．
14．（5分）已知函数f（x）=的定义域为R，则k的取值范围是．
15．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x，y满足f（x+y）=f（x）+f（y）+，且f（）=0，当x时，f（x）＞0．给出以下结论：①f（0）=﹣；②f（﹣1）=﹣；③f（x）为R上减函数；④f（x）+为奇函数；⑤f（x）+1为偶函数．其中正确结论的序号是．
三.解答题（16-19每小题12分，20题13分，21题14分，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．（12分）已知函数f（x）=lg的定义域为集合A，函数g（x）=的定义域为
集合B．
（1）求集合A，B；
（2）求A∩B，（∁R A）∩（∁R B）．
17．（12分）（1）已知a=，b=，求[b]2的值；（2）计算lg8+lg25+lg2•lg50+lg25的值．
18．（12分）已知函数f（x）=a•4x﹣a•2x+1+2在区间[﹣2，2]上的最大值为3，求实数a的值．
[来源:]
19．（12分）某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R（x）=其中x是仪
器的月产量．
（1）将利润表示为月产量的函数；
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？（总收益=总成本+利润．）20．（13分）已知奇函数f（x）=ax++c的图象经过点A（1，1），B（2，﹣1）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求证：函数f（x）在（0，+∞）上为减函数；
（3）若|t﹣1|≤f（x）+2对x∈[﹣2，﹣1]∪[1，2]恒成立，求实数t的范围．
21．（14分）函数f（x）对任意的x，y∈R都有f（2x+y）=2f（x）+f（y），且当x＞0，f（x）＜0．
（1）求证：f（3x）=3f（x），f（2x）=2f（x）；
（2）判断f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性并证明；
（3）若f（6）=﹣1，解不等式．
四川省乐山外国语学校2014-2015学年高一上学期期中
数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x＜﹣1或x＞4}，那么集合A∩（∁U B）等于（）
A．{x|﹣2≤x≤4} B．{x|x≤3或x≥4} C．{x|﹣2≤x＜﹣1} D．{x|﹣1≤x≤3}
考点：交、并、补集的混合运算．
专题：计算题．
分析：利用补集的定义求出C U B，再利用两个集合的交集的定义，求出A∩（C U B）．
解答：解：∵全集U=R，集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x＜﹣1或x＞4}，∴C U B={x|﹣1≤x≤4}，∴A∩（C U B）={x|﹣2≤x≤3}∩{x|﹣1≤x≤4}={x|﹣1≤x≤3}，
故选D．
点评：本题考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，求出C U B 是解题的关键．
2．（5分）满足条件M∪{1}={1，2，3}的集合M的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
考点：并集及其运算．
专题：集合．
分析：先由M∪{1}={1，2，3}可知集合M必含2和3，是否含1，不确定，则得出两种可能集合，得出答案．
解答：解：满足条件M∪﹛1﹜=﹛1，2，3﹜的集合M，M必须包含元素2，3，
所以不同的M集合，其中的区别就是否包含元素1．
那么M可能的集合有{2，3}和{1，2，3}，
故选：B．
点评：本题考查集合的并集运算，属于基础题目，较简单，掌握并集的定义即可．
3．（5分）下列各式中成立的一项（）
A．B．
C．D．
考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算．
专题：计算题．
分析：由指数的运算法则和根式与分数指数幂的互化，A中应为；B 中等式左侧为正数，右侧为负数；C中x=y=1时不成立，排除法即可得答案．
解答：解：A中应为；
B中等式左侧为正数，右侧为负数；
C中x=y=1时不成立；
D正确．
故选D
点评：本题考查根式与分数指数幂的互化、指数的运算法则，考查运算能力．
4．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，则f（2）=（）A．6B．﹣6 C．10 D．﹣10
考点：函数奇偶性的性质；函数的值．
专题：函数的性质及应用．[来源:]
分析：运用奇偶性f（2）=﹣f（﹣2），代入求解即可．
解答：解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x），
∵当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，
∴f（2）=﹣f（﹣2）=﹣[2×（﹣2）2﹣（﹣2）]=﹣10，
故选：D
点评：本题考查了函数的性质，属于容易题．
5．（5分）下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A．B．y=x3C．y=2|x|D．y=cosx
考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．
专题：函数的性质及应用．[来源:学科网ZXXK]
分析：根据题意，将x用﹣x代替判断解析式的情况利用偶函数的定义判断出为偶函数；求出导函数判断出导函数的符号，判断出函数的单调性．
解答：解：对于
函数的定义域为x∈R且x≠0
将x用﹣x代替函数的解析式不变，[来源:]
所以是偶函数
当x∈（0，+∞）时，
∵
∴在区间（0，+∞）上单调递减的函数
故选A．
点评：本题考查奇函数、偶函数的定义；考查利用导函数的符号判断函数的单调性．
6．（5分）若数集A={x|2a+1≤x≤3a﹣5}，B={x|3≤x≤22}，则能使A⊆B成立的所有a的集合是（）
A．{a|1≤a≤9} B．{a|6≤a≤9} C．{a|a≤9} D．∅
考点：集合的包含关系判断及应用．
专题：探究型．
分析：利用A⊆B，建立不等关系即可求解，注意当A=∅时，也成立．
解答：解：若A=∅，即2a+1＞3a﹣5，解得a＜6时，满足A⊆B．
若A≠∅，即a≥6时，要使A⊆B成立，
则，即，解得1≤a≤9，此时6≤a≤9．
综上a≤9．
故选C．
点评：本题主要考查利用集合关系求参数取值问题，注意对集合A为空集时也成立，注意端点取值等号的取舍问题．
7．（5分）若函数f（x）的定义域为[0，1]，值域为[1，2]，则f（x+2）的定义域和值域分别是（）
A．[0，1]，[1，2]B．[2，3]，[3，4]C．[﹣2，﹣1]，[1，2]D．[﹣1，2]，[3，4]
考点：抽象函数及其应用；函数的定义域及其求法；函数的值域．
专题：计算题．
分析：根据函数f（x+2）是由函数f（x）向左平移2个单位得到，定义域发生改变，值域不变，从而求出所求．
解答：解：函数f（x+2）是由函数f（x）向左平移2个单位得到
∵函数f（x）的定义域为[0，1]，
∴f（x+2）的定义域为[﹣2，﹣1]，
函数图象进行左右平移值域不变故f（x+2）的值域为[1，2]，
故选C．
点评：本题主要考查了抽象函数的定义域和值域，解题的关键利用图象的平移，属于中档题．
8．（5分）设2a=5b=m，且，则m=（）
A．B．10 C．20 D．100
考点：指数式与对数式的互化；对数的运算性质．
专题：计算题；压轴题．
分析：直接化简，用m代替方程中的a、b，然后求解即可．
解答：解：，∴m2=10，又∵m＞0，∴．
故选A
点评：本题考查指数式和对数式的互化，对数的运算性质，是基础题．
9．（5分）对于每个实数x，设f（x）取y=4x+1，y=x+2，y=﹣2x+4三个函数中的最小值，则f（x）的最大值为（）
A．B．C．D．
考点：函数的最值及其几何意义．
专题：计算题．
分析：先在同一直角坐标系中画出三条直线，再在不同区间上取靠下的函数图象，组成f （x）的图象，由图象即可看出函数的最大值，通过解直线方程即可得此最值
解答：解：由题意，可得函数f（x）的图象如图：
由得A（，）
∴f（x）的最大值为
故选D
点评：本题主要考查了利用函数图象数形结合求函数最值的方法，理解新定义函数的意义，并能画出其图象是解决问题的关键
10．（5分）已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是（）
A．B．C．（3，+∞）D．[3，+∞）
考点：对数的运算性质；函数的值域；函数的单调性及单调区间；基本不等式．
专题：计算题；压轴题；转化思想．
分析：由题意f（a）=f（b），求出ab的关系，然后利用“对勾”函数的性质知函数f（a）在a∈（0，1）上为减函数，
确定a+2b的取值范围．
解答：解：因为f（a）=f（b），所以|lga|=|lgb|，所以a=b（舍去），或，所以a+2b=
又0＜a＜b，所以0＜a＜1＜b，令，由“对勾”函数的性质知函数f（a）在a∈（0，1）上为减函数，
所以f（a）＞f（1）=1+=3，即a+2b的取值范围是（3，+∞）．
故选C．
点评：本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a的取值范围，而利用均值不等式求得a+2b=，从而错选A，这也是命题者的用心良苦之处．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卷横线上）11．（5分）幂函数f（x）的图象过点，则f（x）的解析式是．
考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
专题：计算题．
分析：先由待定系数法设出函数的解析式，令f（x）=x n，再由幂函数f（x）的图象过点
，将点的坐标代入求出参数，即可得到函数的解析式
解答：解：由题意令f（x）=x n，将点代入，
得，解得n=
所以
故答案为
点评：本题考查幂函数的概念、解析式、定义域，解答本题，关键是掌握住幂函数的解析式的形式，用待定系数法设出函数的解析式，再由题设条件求出参数得到解析式，待定系数法是求函数解析式的常用方法，其前提是函数的性质已知，如本题函数是一个幂函数．
12．（5分）已知x2+bx+c＜0的解集是{x|1＜x＜3}，则b+c等于﹣1．
考点：一元二次不等式的应用．
专题：计算题．
分析：利用二次不等式的解集与相应的二次方程的根的关系，判断出1，3是相应方程的两个根，利用韦达定理求出b，c的值
解答：解：∵不等式x2+bx+c＜0的解集是{x|1＜x＜3}，
∴1，3是方程不等式x2+bx+c=0的两个根
由根与系数的关系得到b=﹣（1+3）=﹣4；c=1×3=3
∴b+c=﹣1
故答案为：﹣1
点评：本题的考点是一元二次不等式的应用，解决一元二次不等式解集问题，要注意它的解集与相应的一元二次方程的根有着密切的联系．
13．（5分）函数f（x）=的定义域为（0，0.5]．
考点：函数的定义域及其求法．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：要使函数有意义，则需x＞0，且log0.5x﹣1≥0，运用对数函数的单调性，即可得到定义域．
解答：解：要使函数有意义，则需
x＞0，且log0.5x﹣1≥0，
即有x＞0，且log0.5x≥log0.50.5，
解得，0＜x≤0.5．
则定义域为（0，0.5]．
故答案为：（0，0.5]．
点评：本题考查函数的定义域的求法，注意偶次根式被开方式非负，对数的真数大于0，属于基础题．
14．（5分）已知函数f（x）=的定义域为R，则k的取值范围是[0，1）．
考点：函数的定义域及其求法．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：函数f（x）的定义域为R，则kx2﹣4kx+k+3＞0恒成立，对k讨论，分k=0，k＞0两种情况，最后求并集即可．
解答：解：函数f（x）的定义域为R，则
kx2﹣4kx+k+3＞0恒成立，
当k=0时，3＞0成立；
当k＞0，△＜0时，即k＞0，16k2﹣4k（k+3）＜0，
解得，0＜k＜1．
则0≤k＜1．
即k的取值范围是[0，1）．
故答案为：[0，1）．
点评：本题考查已知函数的定义域，求参数的范围，注意结合二次函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题和易错题．
15．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x，y满足f（x+y）=f（x）+f（y）+，且f（）=0，当x时，f（x）＞0．给出以下结论：①f（0）=﹣；②f（﹣1）=﹣；③f（x）为R上减函数；④f（x）+为奇函数；⑤f（x）+1为偶函数．其中正确结论的序号是①②④．
考点：命题的真假判断与应用．
专题：计算题．
分析：由题意采用赋值法，可解决①②，在此基础上继续对各个选项逐一验证可得答案．解答：解：由题意和xy的任意性，取x=y=0代入可得f（0）=f（0）+f（0）+，即f（0）=，故①正确；
取x=，y=代入可得f（0）=f（）+f（）+，即=0+f（）+，解得f （）=﹣1，
再令x=y=代入可得f（﹣1）=f（﹣）+f（）+=﹣2+=，故②正确；
令y=﹣x代入可得=f（0）=f（x）+f（﹣x）+，即f（x）++f（﹣x）+=0，故f（x）
+为奇函数，④正确；
取y=﹣1代入可得f（x﹣1）=f（x）+f（﹣1）+，即f（x﹣1）﹣f（x）=f（﹣1）+=﹣1
＜0，即f（x﹣1）＜f（x），
故③f（x）为R上减函数，错误；
⑤错误，因为f（x）+1=f（x）++，由③可知g（x）=f（x）+为奇函数，故g（﹣x）+﹣g（x）﹣=﹣2g（x）不恒为0，
故函数f（x）+1不是偶函数
故答案为：①②④
点评：本题考查命题真假的判断，熟记函数的性质的综合应用，属中档题．
三.解答题（16-19每小题12分，20题13分，21题14分，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．（12分）已知函数f（x）=lg的定义域为集合A，函数g（x）=的定义域为
集合B．
（1）求集合A，B；
（2）求A∩B，（∁R A）∩（∁R B）．[来源:学&科&网]
考点：交、并、补集的混合运算．
专题：集合．
分析：（1）分别求出两函数的定义域确定出A与B即可；
（2）求出A与B的交集，找出A与B的补集，求出两补集的交集即可．
解答：解：（1）函数f（x）=lg，得到＞0，
整理得：（x+1）（x﹣1）＜0，
解得：﹣1＜x＜1，即A=（﹣1，1），
函数g（x）=，得到3﹣x≥0，即x≤3，
∴B=（﹣∞，3]；
（2）∵A=（﹣1，1），B=（﹣∞，3]
∴A∩B=（﹣1，1），∁R A=（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），∁R B=（3，+∞），
则（∁R A）∩（∁R B）=（3，+∞）．
点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
17．（12分）（1）已知a=，b=，求[b]2的值；（2）计算lg8+lg25+lg2•lg50+lg25的值．
考点：对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．
专题：计算题．
分析：（1）先利用有理指数幂的运算性质化简，然后代入a，b的值计算；
（2）直接利用对数的运算性质化简求值．
解答：解：（1）
==
==．
∵，[来源:学|科|网Z|X|X|K]
∴原式===20=1；
（2）
=2lg2+lg25+lg2（1+lg5）+2lg5[来源:Z#xx#]
=2（lg2+lg5）+lg25+lg2+lg2•lg5
=2+lg5（lg5+lg2）+lg2
=2+lg5+lg2=3．
点评：本题考查了有理指数幂的化简与求值，考查了对数的运算性质，关键是对运算性质的记忆，是基础题．
18．（12分）已知函数f（x）=a•4x﹣a•2x+1+2在区间[﹣2，2]上的最大值为3，求实数a的值．
考点：二次函数在闭区间上的最值．
专题：函数的性质及应用．
分析：令t=2x，由x∈[﹣2，2]，可得t∈[，4]，则g（t）=f（x）=at2﹣2at+2，根据函数的最大值为3，分类讨论求得a的值．
解答：解：令t=2x，∵x∈[﹣2，2]，∴t∈[，4]，则g（t）=f（x）=at2﹣2at+2．
当a=0时，g（t）=2≠3，故舍去a=0；
当a≠0时，g（t）=a（t﹣1）2+2﹣a；
当a＞0时，g（t）max=g（4）=8a+2=3，∴．
当a＜0时，g（t）max=2﹣a=3，∴a=﹣1．
综上，或a=﹣1．[来源:学科网]
点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属基础题．
19．（12分）某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R（x）=其中x是仪器的月产量．
（1）将利润表示为月产量的函数；
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？（总收益=总成本+利润．）
考点：函数模型的选择与应用．
专题：计算题；应用题．
分析：（1）先设月产量为x台，写出总成本进而得出利润函数的解析式；
（2）分两段求出函数的最大值：当0≤x≤400时，和当x＞400时，最后得出当月产量为多少台时，公司所获利润最大及最大利润即可．
解答：解：（1）设月产量为x台，则总成本为20000+100x，
从而利润
（2）当0≤x≤400时，f（x）=，
所以当x=300时，有最大值25000；
当x＞400时，f（x）=60000﹣100x是减函数，
所以f（x）=60000﹣100×400＜25000．
所以当x=300时，有最大值25000，
即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元．
点评：函数模型为分段函数，求分段函数的最值，应先求出函数在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值为整个函数的最大值，取各部分的最小者为整个函数的最小值．
20．（13分）已知奇函数f（x）=ax++c的图象经过点A（1，1），B（2，﹣1）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求证：函数f（x）在（0，+∞）上为减函数；
（3）若|t﹣1|≤f（x）+2对x∈[﹣2，﹣1]∪[1，2]恒成立，求实数t的范围．
考点：函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题．
专题：函数的性质及应用．
分析：（1）由奇函数f（x）=ax++c的图象经过点A（1，1），B（2，﹣1）构造关于a，
b，c的方程，解方程可得函数f（x）的解析式；
（2）求出函数的导函数，进而根据导数符号与函数单调性的关系，可证得函数f（x）在（0，+∞）上为减函数；
（3）若|t﹣1|≤f（x）+2对x∈[﹣2，﹣1]∪[1，2]恒成立，则|t﹣1|≤1，解绝对值不等式可得实数t的范围．
解答：解：（1）∵奇函数f（x）=ax++c的图象经过点A（1，1），B（2，﹣1）．
∴函数f（x）=ax++c的图象经过点（﹣1，﹣1），
即，
解得：
故f（x）=﹣x+
证明：（2）∵f′（x）=﹣1﹣，
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0
故函数f（x）在（0，+∞）上为减函数；
解：（3）当x∈[﹣2，﹣1]∪[1，2]时，f（x）∈[﹣1，1]，
则f（x）+2∈[1，3]，
若|t﹣1|≤f（x）+2对x∈[﹣2，﹣1]∪[1，2]恒成立，
则|t﹣1|≤1，
则t∈[0，2]
点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数解析式的求解，函数恒成立问题，函数单调性的证明，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．
21．（14分）函数f（x）对任意的x，y∈R都有f（2x+y）=2f（x）+f（y），且当x＞0，f （x）＜0．
（1）求证：f（3x）=3f（x），f（2x）=2f（x）；
（2）判断f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性并证明；
（3）若f（6）=﹣1，解不等式．
考点：抽象函数及其应用；函数单调性的判断与证明；其他不等式的解法．
专题：函数的性质及应用．
分析：（1）利用赋值法，分别令y=x，x=y=0，y=0，即可证明，
（2）先令t=2x，先得出f（t+y）=f（t）+f（y），再利用函数的单调性性的定义即可证明，（3）先，求得f（1）=，再根据函数的单调性得到不等式，解得即可．
解答：解：（1）令y=x，则f（2x+x）=2f（x）+f（x）=3f（x），
令x=y=0，得f（0）=0，
令y=0，则f（2x）=2f（x），
故f（3x）=3f（x），f（2x）=2f（x）；
（2）由f（0）=0，函数f（x）为减函数，
令t=2x，则f（2x+y）=f（t+y），2f（x）+f（y）=f（2x）+f（y）=f（t）+f（y），
∴f（t+y）=f（t）+f（y）
设x1，x2∈R且x1＜x2，则x2﹣x1＞0，
∵当x＞0时，f（x）＜0，
∴f（x2﹣x1）＜0，
∵f（x2）=f（x2﹣x1+x1）=f（x2﹣x1）+f（x1）＜f（x1），
∴f（x1）＞f（x2），
∴函数f（x）为R上的单调减函数，[来源:学_科_网Z_X_X_K]
（3）∵，．
=
==
，
∴f（log2[x（x﹣2）]＜f（1）
因为f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，
所以
解不等式组得．
所以不等式的解集为．
点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数单调性的判断与证明，属于中档题．．。