江苏省南通市海安县海安高级中学2023届数学高一上期末联考模拟试题含解析

B.②③
C.①④
D.③④
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
11．已知
f
x 是定义在
R
上的周期为
2
的奇函数，当 0
x
1 时，
f
x
3x
，则
f
5 2
___________.
12．已知幂函数 f (x) 的图象经过点 (3, 3) ，且满足条件 f (a) f (a 1) ，则实数 a 的取值范围是___
10、C 【解析】根据奇偶性的定义依次判断，并求函数的值域即可得答案.
【详解】对于①， y x 是偶函数，且值域为0, ；
对于②， y x3 是奇函数，值域为 R ；
对于③， y 2 x 是偶函数，值域为1, ；
对于④， y x2 x 偶函数，且值域为0, ，
所以符合题意的有①④
2
则
f
17 3
A. 1
B. 3
2
2
C.1
D. 3
7．已知弧长为 的弧所对的圆心角为 ，则该弧所在的扇形面积为（ ）
3
6
A. 3π
B. 1 π 3
C. 2 π 3
D. 4 π 3
8．已知 α 是第三象限的角，且 sin 1 ，则 sin( ) （ ）
3
2
A. 1 3
B. 2 2 3
参考答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】根据已知条件，应用向量数量积的运算律可得
2
a
2
2a b b
2
c
，由
a b
1 2
，即
可求出向量 a 、 b 的夹角.
【详解】由题意， (a
为 积
【详解】长方体的一个顶点上的三条棱长分别是 3，4，5，且它的 8 个顶点都在同一个球面上，
所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为： 32 42 52 5 2 ，
所以球的半径为： 5 2 ， 2
则这个球的表面积是： 4 (5 2 )2 50 2
故答案为： 50
【点睛】本题考查球的内接多面体的有关知识，球的表面积的求法，注意球的直径与长方体的对角线的转化是本题的 解答的关键，考查计算能力，空间想象能力
【解析】由题意 f (17 ) f (17 6 ) f ( ) f ( ) 2sin 1，故选 C
3
3
3
3
6
7、B
【解析】先求得扇形的半径，由此求得扇形面积.
π
【详解】依题意，扇形的半径为
3 π
2 ，所以扇形面积为
1π 23
2
π 3
.
6
故选：B
8、B
【解析】由已知求得 cos ，则由诱导公式可求. 【详解】 α 是第三象限的角，且 sin 1 ，
三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数 f x log2 x2 2ax a 的定义域是 R .
（1）求实数 a 的取值范围；
（2）解关于 m 的不等式 am2 2m1 a3m1 .
18．已知圆 M 与 x 轴相切于点（a，0），与 y 轴相切于点（0，a），且圆心 M 在直线 3x y 6 0 上.过点 P（2，1）
A.4 C.9 3．已知
B.7 D.10 是定义在 上的奇函数，且当
时，
，那么
A.
B.
C.
D.
4．已知 ABC 的三个顶点 A 、 B 、 C 及平面内一点 P 满足 PA PB PC AB ，则点 P 与 ABC 的关系是（）
A. P 在 ABC 的内部
B. P 在 ABC 的外部
C. P 是 AB 边上的一个三等分点
【详解】设幂函数的解析式为 f x x ，由题意可得： 3 3, 1 ，
2
即幂函数的解析式为： f x x ，则 f a f a 1 即： a a 1 ，
a 0
据此有：
a
1
0
a a 1
，求解不等式组可得实数
a
的取值范围是
1,
1 2
.
【点睛】本题主要考查幂函数的定义及其应用，属于基础题.
所以解得 a b 2，即 a b 的取值范围是 , 2 . 故答案为： , 2 .
15、 (0, 2]
【解析】根据对数函数的单调性解不等式即可.
【详解】由题设，可得： log4
x
log 4
1
42
，则 0
x
1
42
2，
∴不等式解集为 (0, 2] .
故答案 ： (0, 2] .
16、 50
【解析】长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，就是求出球的直径，然后求出球的表面
4
4
tan
π 4
1 3
，
所以 tan
tan
π 4
π
4
tan
π 4
tan
π 4
1
tan
π 4
tan
π 4
1 1
3 1
1
1
3
2.
所以 sin2
sin 2
sin2 2sin cos sin2 cos2
tan2 2 tan tan2 1
22 2 2 22 1
8
.
5
故选：A
6、C
车到 B，然后从 B 沿直线步行到 C. 某旅客选择第二种方式下山，山路 AC 长为 1260m，从 B 处步行下山到 C 处，
BC 500m ，经测量， cosA 12 ， cosC 3 ，求索道 AB 的长
13
5
20．已知 f x 2x1 a?2x a R.
（1）若 f x 是奇函数，求 a 的值，并判断 f x 的单调性（不用证明）；
（2）若函数 y f x 5 在区间(0,1)上有两个不同的零点，求 a 的取值范围.
21．已知向量 m 3sin2x 2,cosx ， n 1, 2cosx，设函数 f x m n
( Ⅰ ) 求函数 f x 的最小正周期和单调递增区间；
(
Ⅱ)
求函数
f
x
在区间
0,
4
的最大值和最小值
【解析】根据角的旋转与三角函数定义得 tan( ) 1 ，利用两角和的正切公式求得 tan ，然后待求式由二倍公式，
43
“1”的代换，变成二次齐次式，转化为 tan 的式子，再计算可得
【详解】解：将角 的终边按顺时针方向旋转 π 后所得的角为 π ，因为旋转后的终边过点 M 3,1 ，所以
∴ m2 2m 1 3m 1，解得 m 1 或 m 2，
所以原不等式的解集为 , 2 1, . 18、（1） x 32 y 32 9
（2） 8 2
（3）存在，方程为 x 2 y 4 0
【解析】（1）根据圆与坐标轴相切表示出圆心坐标，结合已知可解； （2）注意到当点 C 到直线 AB 距离最大值为圆心到直线距离加半径，然后可解; （3）根据圆心与弦的中点的连线垂直弦，或利用点差法可得. 【小问 1 详解】 ∵圆 M 与 x 轴相切于点（a，0），与 y 轴相切于点（0，a），
3
cos 1 sin2 2 2 ，sin( ) cos 2 2 .
3
2
3
故选：B.
9、D
【解析】利用并集定义直接求解即可
【详解】∵集合 A={x|x＜2}，B={x≥1}， ∴A∪B=R.
故选 D
【点睛】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设非零向量 a 、 b 、 c 满足 a b c ， a b c ，则向量 a 、 b 的夹角（ ）
2
A.
B.
6
3
C.
D.
3
4
2．已知集合 A 1,3,5 ， B 2, a,b，若 A B 1,3 ，则 a b 的值为
D. P 是 AC 边上的一个三等分点
5．已知角 的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，将角 的终边按顺时针方向旋转 π 后经过点 4
M 3,1 ，则 sin2 sin 2 （）
8
4
A.
B.
5
5
2
1
C.
D.
3
3
6．已知函数 f x 是定义在 R 上的偶函数，对任意 x R ，都有 f x 2 f x ，当 x 0, 时，f x 2sin x ，
是 故选：C.
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
11、
1
3 ## 32
【解析】根据函数的周期和奇偶性即可求得答案.
【详解】因为函数的周期为 2 的奇函数，所以
f
5 2
f
1 2
f
1 2
3.
故答案为： 3 .
12、[1, 1 ) 2
【解析】首先求得函数的解析式，然后求解实数 a 的取值范围即可.
b)2
2
c
，即
2
a
2
2a b b
2
c
，
∵a b c，
∴ 2 | a | | b | cos a,b | c |2 ，则 cos a,b 1 ，又 a,b [0, ] ， 2
∴ a,b 2 . 3
故选：B
2、A
【解析】可知，
或
，所以
．故选 A
考点：交集的应用
3、C
【解析】由题意得，
13、3
【解析】作出函数图象，根据函数零点与函数图象的关系，直接判断零点个数.
【详解】作出函数图象，如下，
由图象可知，函数 f x 有 3 个零点（3 个零点分别为 1，0，2）.
故答案为：3
14、 , 2
【解析】画出函数图象，可得 a 1 b ， 2a 2b 4 ，再根据基本不等式可求出.
.1
C.
D. 2 2
3
3
9．已知集合 A={x|x＜2}，B={x≥1}，则 A∪B=（ ）
A.{x | x 2}
B.{x |1 x 2}
C.{x | x 1}
D.R
10．下列函数是偶函数且值域为0, 的是（）
① y x ；② y x3 ；③ y 2|x| ；④ y x2 x
A.①②
【小问 1 详解】
解：∵函数 f x log2 x2 2ax a 的定义域是 R ，
∴ x2 2ax a 0 在 R 上恒成立， ∴ 4a2 4a 0 ，解得 0 a 1，
∴实数 a 的取值范围为 0,1 .
【小问 2 详解】 解：∵ 0 a 1，
∴指数函数 y ax 在 R 上单调递减，
x2 2x, x 0
13．函数
f
x
2
1 2
x
,
x
的零点个数为_________.
0
14．已知函数 f x 2x 2 ，若 f a f ba b ，则 a b 的取值范围是__________
15．不等式
log4
x
1 2
的解集为___________.
16．已知长方体的长、宽、高分别是 3，4，5，且它的 8 个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是________.
的 直线与圆 M 交于 A(x1, y1), B(x2, y2) 两点，点 C 是圆 M 上的动点.
（1）求圆 M 的方程；
（2）若直线 AB 的斜率不存在，求△ ABC 面积的最大值；
（3）是否存在弦 AB 被点 P 平分？若存在，求出直线 AB 的方程；若不存在，说明理由.
19．如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处，第一种是从 A 沿直线步行到 C，第二种是先从 A 沿索道乘缆
2022-2023 学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项: 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．答题时请按要求用笔。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
，故
考点：分段函数的应用. 4、D
【解析】利用向量的运算法则将等式变形，得到 PC 2 AP ，据三点共线的充要条件得出结论
，故选 C
【详解】解： PA PB PC AB PB PA ，
PC 2PA 2AP ， ∴ P 是 AC 边上的一个三等分点
故选：D 【点睛】本题考查向量的运算法则及三点共线的充要条件，属于基础题 5、A
【详解】画出 f x 的函数图象如图，不妨设 a b ， 因为 f a f ba b ，则由图可得 a 1 b，
2a 2 2b 2 ，可得 2 2a 2b 2 ，即 2a 2b 4 ， 又 4 2a 2b 2 2ab ，当且仅当 a b 取等号，因为 a b ，所以等号不成立，
三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1） 0,1 （2） ,2 1,
【解析】（1）由题意， x2 2ax a 0 在 R 上恒成立，由判别式 求解即可得答案； （2）由指数函数 y ax 在 R 上单调递减，可得 m2 2m 1 3m 1，求解不等式即可得答案.