2015北京四中高二(上)期中数 学(理)

2015北京四中高二（上）期中数学（理）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）
1．（5分）抛物线y2=﹣8x的准线方程为（）
A．x=2 B．x=﹣2 C．y=2 D．y=﹣2
2．（5分）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为（）
A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x
3．（5分）已知点M的极坐标为，下列所给四个坐标中能表示点M的坐标是（）
A．B．C．D．
4．（5分）“m＜8”是“方程﹣=1表示双曲线”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（5分）若椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（）A．+=1 B．+=1
C．+=1 D．+=1
6．（5分）设椭圆C：+=1（a＞b＞0）两个焦点分别为F1，F2，若C上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，则椭圆C的离心率等于（）
A．B．C．D．
7．（5分）已知点P是抛物线y2=2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点，则|PA|+|PM|的最小值是（）
A．5 B．C．4 D．AD
8．（5分）若有两个焦点F1，F2的圆锥曲线上存在点P，使|PF1|=3|PF2|成立，则称该圆锥曲线上存在“α”点，现给出四个圆锥曲线：①﹣=1 ②x2﹣=1 ③+=1 ④+=1，其中存在“α”点的圆锥曲线有（）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）
9．（5分）抛物线y2=4x的焦点到准线的距离是．
10．（5分）命题“∃x∈R，x2+x﹣8＞0”的否定为．
11．（5分）已知双曲线的中心在原点，焦距为2，实轴长为2，则该双曲线的标准方程是．
12．（5分）椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|= ，∠F1PF2的大小为．
13．（5分）过点（0，﹣4）且与直线y=4相切的圆的圆心轨迹方程是．
14．（5分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，斜率为1的直线过F且交椭圆于A、B两点，若+与
=（3，﹣1）共线，则此椭圆的离心率为．
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分．）
15．（10分）已知椭圆C的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且C上一点到C的两个焦点的距离之和为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知斜率为的直线l与C相切，求直线l的方程．
16．（10分）若抛物线C：y2=2px的焦点在直线l：2x+y﹣2=0上．
（1）求抛物线C的方程；
（2）求直线l被抛物线C所截的弦长．
17．（10分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，且过点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）M，N，P，Q是椭圆C上的四个不同的点，两条都不和x轴垂直的直线MN和PQ分别过点F1，F2，且这两条直线互相垂直，求证：为定值．
一、选择题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）
18．（5分）命题p：∃t∈R，使得直线x﹣y+t=0与圆x2+y2=1相交；命题q：∀m＞0，双曲线﹣=1的离心率为．
则下面结论正确的是（）
A．p是假命题B．￢q是真命题C．p∧q是假命题D．p∧q是真命题
19．（5分）设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（）
A．y2=±4x B．y2=4x C．y2=±8x D．y2=8x
20．（5分）过抛物线C：y=ax2（a＞0）的焦点F作直线交C于P，Q两点，若线段PF与QF的长度分别为m，n，则m2+n2的最小值为（）
A．B．2a2C．a2D．
二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）
21．（5分）经过点A（3，1）作直线l，它与双曲线﹣y2=1只有一个公共点，这样的直线l有条．
22．（5分）曲线的极坐标方程ρ=sinθ﹣cosθ化为直角坐标方程为．
23．（5分）抛物线y=﹣x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A，B，则|AB|等于．
三、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分．）
24．（10分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点（1，），离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线y=k（x﹣1）（k≠0）与椭圆C交于A，B两点，点M是椭圆C的右顶点．直线AM与直线BM分别与y轴交于点P，Q，试问以线段PQ为直径的圆是否过x轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．25．（10分）设椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点，从每条曲线上至少取两个点，将其坐标记录于表中：
x 3 ﹣2 4
y ﹣2 0 ﹣4 ﹣
（1）求C1、C2的标准方程；
（2）设直线l与椭圆C1交于不同两点M、N，且，请问是否存在这样的直线l过抛物线C2的焦点F？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
数学试题答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）
1．【解答】抛物线y2=﹣8x的开口向左，2p=8，
∴抛物线y2=﹣8x的准线方程为x==2
故选A．
2．【解答】双曲线﹣y2=1的a=，b=1，
由双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，
则所求渐近线方程为y=±x．
故选D．
3．【解答】点M的极坐标为，由于和是终边相同的角，故点M的坐标也可表示为，故选D．
4．【解答】若方程﹣=1表示双曲线，
则（m﹣10）（m﹣8）＞0，即m＞10或m＜8．
∴“m＜8”是“方程﹣=1表示双曲线”的充分而不必要条件，
故选：A．
5．【解答】抛物线y2=8x，
∴p=4，焦点坐标为（2，0），
∵椭圆的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，
∴椭圆的半焦距c=2，即a2﹣b2=4，
∵e==，
∴a=4，b==2，
∴椭圆的标准方程为+=1，
故选：B．
6．【解答】根据|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，不妨设|PF1|=4m，|F1F2|=3m，|PF2|=2m，
∴|PF1|+|PF2|=6m＞|F1F2|=3m，此时曲线为椭圆，且曲线r的离心率等于=．
故选：A．
7．【解答】依题意可知焦点F（，0），准线 x=﹣，延长PM交准线于H点．则|PF|=|PH|．
|PM|=|PH|﹣=|PF|﹣，
|PM|+|PA|=|PF|+|PA|﹣，我们只有求出|PF|+|PA|最小值即可．
由三角形两边长大于第三边可知，|PF|+|PA|≥|FA|，①
设直线FA与抛物线交于P0点，可计算得P0（3，），另一交点（﹣，）舍去．
当P重合于P0时，|PF|+|PA|可取得最小值，可得|FA|=．
则所求为|PM|+|PA|==．
故选B．
8．【解答】对于①，﹣=1的焦点F1（﹣4，0），F2（4，0），设P（x，y），
则由|PF1|=3|PF2|可得（x+4）2+y2=9[（x﹣4）2+y2]，化简得x2+y2﹣10x+16=0，
代入双曲线的方程，消去y，得3x2﹣（10x﹣16﹣x2）=12，即为2x2﹣5x+2=0，解得x=2或，
由双曲线的范围可得x≥2，故存在P，则①正确；
对于②，x2﹣=1的焦点F1（﹣4，0），F2（4，0），则P（x，y）的轨迹方程为x2+y2﹣10x+16=0，代入双曲线的方程，消去y，得15x2﹣（10x﹣16﹣x2）=15，即为16x2﹣10x+1=0，解得x=或，由双曲线的范围为x≥1，故不存在点P，则②不正确；
对于③，+=1的焦点F1（﹣，0），F2（，0），设P（x，y），
则由|PF1|=3|PF2|可得（x+）2+y2=9[（x﹣）2+y2]，化简得x2+y2﹣x+2=0，
代入椭圆方程，消去y得2x2﹣x+81=0，可得判别式大于0，两根之积为＞9，
由椭圆的范围可得|x|≤3，故不存在P，则③不正确；
对于④，+=1的焦点F1（﹣2，0），F2（2，0），设P（x，y），
则由|PF1|=3|PF2|可得（x+2）2+y2=9[（x﹣2）2+y2]，化简得x2+y2﹣5x+8=0，
代入椭圆方程，消去y得2x2﹣15x+36=0，可得x=6或，
由椭圆的范围可得|x|，即有x=成立，故存在P，则④正确．
故选B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）
9．【解答】根据题意可知焦点F（1，0），准线方程x=﹣1，
∴焦点到准线的距离是1+1=2
故答案为2．
10．【解答】因为特称命题的否定是全称命题．所以，命题“∃x∈R，x2+x﹣8＞0”的否定为：∀x∈R，x2+x﹣8≤0．故答案为：∀x∈R，x2+x﹣8≤0．
11．【解答】由已知得，解得a=1，c=，
∴b==1，
∴当焦点在x轴时，双曲线方程为x2﹣y2=1．
当焦点在y轴时，双曲线方程为y2﹣x2=1．
故答案为：x2﹣y2=1或y2﹣x2=1．
12．【解答】∵|PF1|+|PF2|=2a=6，
∴|PF2|=6﹣|PF1|=2．
在△F1PF2中，
cos∠F1PF2
=
==﹣，
∴∠F1PF2=120°．
故答案为：2；120°
13．【解答】设动圆圆心坐标为（x，y）
∵动圆过定点（0，﹣4）且与直线y=4相切，
∴圆心到定点（0，﹣4）到直线y=4的距离都等于半径，
∴根据抛物线的定义可知动圆圆心的轨迹方程是x2=﹣16y
故答案为：x2=﹣16y
14．【解答】设椭圆方程为，则直线AB的方程为y=x﹣c，代入椭圆方程的，化简得（a2+b2）x2﹣2a2cx+a2c2﹣a2b2=0．
令A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=，x1x2=，
∵+=（x1+x2，y1+y2），与=（3，﹣1）共线
∴3（y1+y2）+（x1+x2）=0，又y1=x1﹣c，y2=x2﹣c，
∴3（x1+x2﹣2c）+（x1+x2）=0，
∴x1+x2=c，
∴= c
∴a2=3b2．
∴c==a，
故离心率e==．
故答案为：．
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分．）
15．【解答】（1）设椭圆C的标准方程为，由题意解得a=2，b=1．所以椭圆C的标准方程
（2）设直线为y=，则由题意得
得2x2+4mx+4m2﹣4=0
△=16m2﹣8（4m2﹣4）=0
解得m=
故直线方程为．
16．【解答】（1）抛物线C：y2=2px的焦点为（，0），
由题意可得，p﹣2=0，解得p=2，
即有抛物线方程为y2=4x；
（2）由直线2x+y﹣2=0和抛物线y2=4x，
消去y，可得x2﹣3x+1=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
即有x1+x2=3，
由抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+p=3+2=5．
则直线l被抛物线C所截的弦长为5．
17．【解答】（Ⅰ）由已知，得．
所以a2=2b2．
所以C：，即x2+2y2=2b2．
因为椭圆C过点，所以，
得b2=4，a2=8．
所以椭圆C的方程为．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知椭圆C的焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0）．
根据题意，可设直线MN的方程为y=k（x+2），
由于直线MN与直线PQ互相垂直，则直线PQ的方程为．
设M（x1，y1），N（x2，y2）．
由方程组消y得（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣8=0．
则，．
所以|MN|===．同理可得|PQ|=．
所以==．
一、选择题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）
18．【解答】由得：2x2+2tx+t2﹣1=0，
△=﹣4t2+8，∃t∈R，使得判别式△≥0，
故命题p是真命题；
∵双曲线﹣=1中a=b=|m|=m，
∴c=m，
∴e==，故命题q为真命题．
故p∧q是真命题，
故选：D．
19．【解答】抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F坐标为，
则直线l的方程为，
它与y轴的交点为A，
所以△OAF的面积为，
解得a=±8．
所以抛物线方程为y2=±8x，
故选C．
20．【解答】抛物线C：y=ax2（a＞0）的焦点F（0，），准线方程为y=﹣，
设PQ直线方程是y=kx+，
则x1，x2是方程ax2﹣kx﹣的两根，
可设x1＞0，x2＜0，P（x1，ax12），Q（x2，ax22），
x1+x2=，x1x2=﹣，
由抛物线的定义可得m=ax12+，n=ax22+，
m+n=a（x1+x2）2﹣2ax1x2+=+，
mn=a2x12x22++（x12+x22）
=++×=，
则m2+n2=（m+n）2﹣2mn=﹣
=[2（k2+）2﹣]≥，
当且仅当k=0，取得最小值，且为．
故选：D．
二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）
21．【解答】①当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x=3，直线与双曲线相切，满足题意；
②因为a=3，b=1，所以双曲线的渐近线方程为y=x，
则A在渐近线y=x上，可作出一条与渐近线y=﹣x平行的直线，即与双曲线只有一个交点；故满足条件的直线共有2条．
故答案为：2．
22．【解答】由于曲线的极坐标方程ρ=sinθ﹣cosθ，
所以：ρ2=ρsinθ﹣ρcosθ
由于：x2+y2=ρ2，ρsinθ=y，ρcosθ=x
所以曲线的直角坐标方程为：x2+y2=y﹣x
即：x2+y2+x﹣y=0
故答案为：x2+y2+x﹣y=0
23．【解答】由题意可得，可设AB的方程为 y=x+b，
代入抛物线y=﹣x2+3化简可得 x2+x+b﹣3=0，
∴x1+x2=﹣1，x1•x2=b﹣3，
故AB的中点为（﹣，﹣+b），
根据中点在直线x+y=0上，
∴﹣+（﹣+b）=0，
∴b=1，故 x1•x2=﹣2，
∴|AB|=•=3，
故答案为：3．
三、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分．）
24．【解答】（Ⅰ）由题意得，解得a=2，b=1．
所以椭圆C的方程是．…（4分）（Ⅱ）以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点．
直线y=k（x﹣1）（k≠0）代入椭圆可得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2=，x1x2=．
又因为点M是椭圆C的右顶点，所以点M（2，0）．
由题意可知直线AM的方程为y=（x﹣2），故点P（0，﹣）．直线BM的方程为y=（x﹣2），故点Q（0，﹣）．
若以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点N（x0，0），则等价于=0恒成立．
又因为=（x0，），=（x0，），
所以•=x02+•=0恒成立．
又因为（x1﹣2）（x2﹣2）=x1x2﹣2（x1+x2）+4=，
y1y2=k（x1﹣1）（x2﹣1）=，
所以x02+•=﹣3=﹣0．
解得x0=．
故以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点（，0）．…（14分）
25．【解答】（1）设抛物线C2：y2=2px（p≠0），则有，
据此验证5个点知只有（3，）、（4，﹣4）在统一抛物线上，易求C2：y2=4x（2分）设，把点（﹣2，0）（，）代入得解得
∴C1方程为（5分）
（2）假设存在这样的直线l过抛物线焦点F（1，0）
设其方程为x﹣1=my，设M（x1，y1），N（x2，y2），
由．得x1x2+y1y2=0（*）（7分）
由消去x，得（m2+4）y2+2my﹣3=0，△=16m2+48＞0
∴①
x1x2=（1+my1）（1+my2）=1+m（y1+y2）+m2y1y2；
=②（9分）
将①②代入（*）式，得
解得（11分），
∴假设成立，即存在直线l过抛物线焦点Fl的方程为：2x±y﹣2=0（12分）。