高考数学(人教,理科)大一轮配套练透：第3章 三角函数、解三角形 第5节[ 高考]

[课堂练通考点]
1．(2014·青岛高三期末)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝3
5，则sin 2x 的值为( )
A ．－24
25 B.2425 C ．－725
D.725
解析：选C sin 2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π2 ＝－cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4
＝－⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－725.
2．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －π3的值是( )
A ．－23
3 B ．±233 C ．－1
D ．±1
解析：选C cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝
3⎝ ⎛⎭
⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －π6＝－1.
3．若f (α)＝2tan α－2sin 2α2－1
sin α2cos α2，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π12＝________.
解析：∵f (α)＝2tan α－－cos α12sin α
＝2sin αcos α＋2cos αsin α＝4
sin 2α，
∴f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π12＝4sin π6＝8. 答案：8
4．已知cos(α＋β)＝16，cos(α－β)＝1
3，则tan αtan β的值为________． 解析：因为cos(α＋β)＝1
6， 所以cos αcos β－sin αsin β＝1
6.① 因为cos(α－β)＝1
3，
所以cos αcos β＋sin αsin β＝1
3.② ①＋②得cos αcos β＝1
4. ②－①得sin αsin β＝1
12. 所以tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝1
3. 答案：1
3
5．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，π，且sin α2＋cos α2＝62.
(1)求 cos α的值；
(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，π，求cos β的值．
解：(1)因为sin α2＋cos α2＝6
2， 两边同时平方，得sin α＝1
2. 又π2<α<π，所以cos α＝－32. (2)因为π2<α<π，π
2<β<π，
所以－π<－β<－π
2， 故－π2<α－β<π2.
又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝4
5. cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35
＝－43＋310.
[课下提升考能]
第Ⅰ组：全员必做题
1．化简cos 15°cos 45°－cos 75°sin 45°的值为( ) A.1
2
B.32 C ．－1
2
D ．－3
2
解析：选A cos 15°cos 45°－cos 75°sin 45°＝cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45°＝cos(15°＋45°)＝cos 60°＝12.
2．设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan (α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1
D ．3
解析：选A 由题意可知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，
则tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β
＝－3.
3．(2013·洛阳统考)函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
4≤x ≤π2的最大值为
( )
A ．2
B ．3
C ．2＋ 3
D ．2－ 3
解析：选B 依题意，f (x )＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4＋x －3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＋1
＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，当π4≤x ≤π2时，π6≤2x －π3≤2π3，12≤sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π3≤1，此时f (x )
的最大值是3，选B.
4．(2014·兰州检测)在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为( )
A.π
4 B.π3 C.π
2
D.3π4
解析：选A 由题意知，sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，在等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边同除以cos B ·cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C
1－tan B tan C ＝－1＝－tan A ，即
tan A ＝1，所以A ＝π
4.
5．对于集合{a 1，a 2，…，a n }和常数a 0，定义：ω＝
sin 2(a 1－a 0)＋sin 2(a 2－a 0)＋…＋sin 2(a n －a 0)
n
为集合{a 1，a 2，…，a n }相对a 0的“正
弦方差”，则集合⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
π2，5π6，7π6相对a 0的“正弦方差”为( )
A.1
2 B.13
C.1
4
D ．与a 0有关的一个值
解析：选A
集合⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
π2，5π6，7π6相对
a 0的“正弦方差”
ω＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－a 0＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－a 0＋sin 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫
7π6－a 03
＝cos 2
a 0＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π
6＋a 0＋sin 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6－a 03
＝cos 2a 0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos a 0＋32sin a 02＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫12cos a 0－3
2sin a 02
3
＝cos 2a 0＋12cos 2a 0＋3
2sin 2a 03
＝32(sin 2a 0＋cos 2a 0)3
＝12.
6．已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－4
3，则tan α＝________. 解析：因为tan(π＋2α)＝tan 2α＝－4
3， 所以tan 2α＝
2tan α
1－tan 2α＝－43， 整理得2tan 2α－3tan α－2＝0， 解得tan α＝2或tan α＝－1
2，
又α是第二象限的角，所以tan α＝－1
2. 答案：－1
2
7．化简sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin 2⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π6－sin 2α的结果是________．
解析：原式＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π32＋1－cos ⎝ ⎛
⎭⎪
⎫2α＋π32－sin 2
α
＝1－12⎣⎢⎡⎦
⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＋cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2α＋π3－sin 2α
＝1－cos 2α·cos π3－sin 2
α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2
＝12.
答案：1
2 8．化简
2tan (45°－α)1－tan 2
(45°－α)·sin αcos α
cos 2α－sin 2α
＝________. 解析：原式＝tan(90°－2α)·1
2sin 2αcos 2α＝sin (90°
－2α)cos (90°－2α)·12·sin 2αcos 2α＝cos 2αsin 2α·12·
sin 2αcos 2α＝1
2.
答案：1
2
9．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝12，求tan 2α和sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值． 解：∵tan α＝12，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×12
1－14＝4
3
，
且sin αcos α＝1
2，即cos α＝2sin α，
又sin 2
α＋cos 2
α＝1，∴5sin 2
α＝1，而α∈⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，π2，
∴sin α＝55，cos α＝25
5.
∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×255＝4
5， cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝45－15＝3
5，
∴sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2α＋π3＝sin 2αcos π3＋cos 2αsin π3＝45×12＋35×32＝4＋3310.
10．已知函数f (x )＝sin x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x 2.
(1)求函数f (x )在[－π，0]上的单调区间．
(2)已知角α满足α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，2f (2α)＋4f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2－2α＝1，求f (α)的值．
解：f (x )＝sin x 2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2＋x 2
＝sin x 2cos x 2＝1
2sin x .
(1)函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π2，0.
(2)2f (2α)＋4f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝1⇒sin 2α＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2－2α＝1
⇒2sin αcos α＋2(cos 2α－sin 2α)＝1 ⇒cos 2α＋2sin αcos α－3sin 2α＝0 ⇒(cos α＋3sin α)(cos α－sin α)＝0. ∵α∈⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，π2，
∴cos α－sin α＝0⇒tan α＝1得α＝π4， 故sin α＝22，∴f (α)＝12sin α＝2
4. 第Ⅱ组：重点选做题
1．若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1a ，且α＋β＝π4，则实数a 的值为( )
A ．1
B.1
10 C ．1或1
10
D ．1或10
解析：选C tan(α＋β)＝1
⇒tan α＋tan β1－tan αtan β＝lg (10a )＋lg ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a 1－lg (10a )·lg ⎝ ⎛⎭⎪
⎫
1a ＝1 ⇒lg 2a ＋lg a ＝0，
所以lg a ＝0或lg a ＝－1，即a ＝1或1
10.
2．(2014·烟台模拟)已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－1
3，角α＋β的终边与
单位圆交点的纵坐标是4
5，则cos α＝________.
解析：依题设及三角函数的定义得： cos β＝－13，sin(α＋β)＝4
5. 又∵0<β<π，
∴π2<β<π，π2<α＋β<π，sin β＝223，cos(α＋β)＝－35. ∴cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β ＝－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋45×223＝3＋8215.
答案：
3＋8215。