陕西省咸阳市礼泉县强华中学2019年高一数学理期末试题含解析

陕西省咸阳市礼泉县强华中学2019年高一数学理期末
试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知角θ的终边经过点P（x，3）（x＞0）且，则x等于（）
A．﹣1 B．1 C．﹣9 D．9
参考答案：
B
【考点】G9：任意角的三角函数的定义．
【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求出x的值．
【解答】解：由题意可得，cosθ=，∴x=1，
故选B．
2. 对于一个底边在x轴上的三角形，采用斜二测画出作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（）
A．2倍B．倍C．倍D．倍
参考答案：
B
【考点】LB：平面图形的直观图．
【分析】一般性结论，特殊情况一定成立，作出Rt△ABO的平面图形，对应的斜二侧图形，求它们的面积比即可．
【解答】解：OA=a OB=2b则O′A′=a O′B′=b
S△ABO=ab
故选B．
3. 在x轴上的截距为2且倾斜角为135°的直线方程为
A． B． C．
D．
参考答案：
A
4. （5分）函数f（x）=﹣x3﹣3x+5的零点所在的区间为（）
A．（1，2）B．（﹣2，0）C．（0，1）D．（﹣2，1）
参考答案：
A
考点：函数零点的判定定理．
专题：函数的性质及应用．
分析：由题意知，函数f（x）是单调函数，根据 f（1）＞0，f（2）＜0知，函数f （x）的零点必在区间（1，2）上．
解答：∵函数f（x）=﹣x3﹣3x+5是单调递减函数，
又∵f（1）=﹣13﹣3×1+5=1＞0，f（2）=﹣23﹣3×2+5=﹣9＜0，
∴函数f（x）的零点必在区间（1，2）上，
故必存在零点的区间是（1，2），
故选：A．
点评：本题考查函数的零点存在的条件：单调的连续函数若在一个区间的端点的函数值异号，则函数在此区间上一定存在零点．
5. 方程的解的个数
是
（）
A．1 B．2 C．3 D．无穷多
参考答案：
B 解析：设故，所以2a=3b或者
3a=2b，解得x=－1或者x=1
6. 在10张奖券中，有两张是一等奖，现有10人先后随机地从中各抽一张，那么第7个人抽到一等奖的概率是：
A． B。

C。

D。

参考答案：
B
略
7. 已知有且仅有两个零点，那么实数a=（）
A．B． C. D．
参考答案：
D
有两个零点，
有两个非零根，
设，
则有两个非零零点，
，
由选项可知，，
在上递增，在上递减，
有两个非零零点，得，故选D.
8. 某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：
根据上表提供的数据，求出y关于x的回归直线方程为，则t的值为
（）
A. 40
B. 50
C. 60
D. 70
参考答案：
C
分析：由题意，求得这组熟记的样本中心，将样本中心点代入回归直线的方程，即可求解答案.
详解：由题意，根据表中的数据可得
，，
把代入回归直线的方程，得，解得，故选C.
点睛：本题主要考查了回归分析的初步应用，其中熟记回归直线的基本特征——回归直线
方程经过样本中心点是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
9. 赋值语句n=n+2的意思是（）
A.n等于n+2
B.n+2等于n
C.将n的值赋给n+2
D.将n的值增加2，再赋给n，即n的值增加2
参考答案：
D
10. 数列{a n}中，对于任意，恒有，若，则等于( )
A. B. C. D.
参考答案：
D
因为,所以
,.选D.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若对任意实数，规定是不超过的最大整数，如等，则当时，函数的值域为___________
参考答案：
12. 设等差数列的前项和为，若,则 .
参考答案：
24
略
13. 把正整数排列成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到数列
，若，则____.
参考答案：
1029
略
14. 函数的图象恒过定点▲．
参考答案：
15. 函数y=3﹣sinx﹣cos2x的最小值是，最大值是．
参考答案：
；4．
【考点】三角函数的最值．
【分析】由条件利用正弦函数的值域，二次函数的性质，求得函数的最值．
【解答】解：∵函数y=3﹣sinx﹣cos2x=3﹣sinx﹣（1﹣sins2x）=sin2x﹣
sinx+2=+，
sinx∈[﹣1，1]，故当sinx=﹣1时，函数y取得最大值为4，当sinx=时，函数y取得最小值为，
故答案为：；4．
16. 设函数则实数的取值范围是
参考答案：
略
17. 若函数为偶函数,则
参考答案：
1
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）
已知，计算：
（1）（2）
参考答案：
略
19. 已知定义在区间[]上的函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，当x≥时，f(x)＝－sin x.
(1)作出y＝f(x)的图象；
(2)求y＝f(x)的解析式；
(3)若关于x的方程f(x)＝a有解，将方程中的a取一确定的值所得的所有解的和记为M a，求M a的所有可能的值及相应的a的取值范围.
参考答案：
（1）见解析；（2）f(x)＝（3）见解析
【分析】
（1）先根据当时，f（x）＝﹣sin x画出在[，]上的图象；再根据图象关于直线对称把另一部分添上即可；
（2）先根据x∈[﹣π，]得到x∈[，]，再结合当时，f（x）＝﹣sin x即可求出y＝f （x）的解析式；
（3）结合图象可得：关于x的方程f（x）＝a有解可以分为四个根，三个根，两个根三种情况，再分别对每种情况求出所有的解的和M a即可．
【详解】(1)y＝f(x)的图象如图所示.
(2)任取x∈，
则－x∈，
因函数y＝f(x)图象关于直线x＝对称，
则f(x)＝f，又当x≥时，f(x)＝－sin x，
则f(x)＝f＝－sin＝－cos x，
即f(x)＝
(3)当a＝－1时，f(x)＝a的两根为0，，则Ma＝；
当a∈时，f(x)＝a的四根满足x1＜x2＜＜x3＜x4，由对称性得x1＋x2＝0，x3＋x4＝π，则M a＝π；
当a＝－时，f(x)＝a的三根满足x1＜x2＝＜x3，由对称性得x3＋x1＝，则M a＝；
当a∈时，f(x)＝a两根为x1，x2，由对称性得M a＝.
综上，当a∈时，M a＝π；
当a＝－时，M a＝；
当a∈∪{－1}时，M a＝.
【点睛】本题主要考查分段函数的解析式求法及其图象的作法以及分类讨论思想的运用．解决第二问的关键在于根据x∈[﹣π，]得到x∈[，]．
20. 定义函数g（x）=，f（x）=x2﹣2x（x﹣a）?g（x﹣a）．
（1）若f（2）=0，求实数a的值；
（2）解关于实数a的不等式f（1）≤f（0）；
（3）函数f（x）在区间[1，2]上单调递增，求实数a的取值范围．
参考答案：
【考点】分段函数的应用；函数单调性的性质．
【分析】（1）利用分段函数，分类讨论，求出实数a的值；
（2）f（1）=1﹣2（1﹣a）g（1﹣a），f（0）=0，分类讨论，解关于实数a的不等式f （1）≤f（0）；
（3），利用函数f（x）在区间[1，2]上单调递增，求实数a 的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）=x2﹣2x（x﹣a）?g（x﹣a），∴f（2）=4﹣4（2﹣a）g（2﹣a），
当a≤2时，f（2）=4﹣4（2﹣a）=0，∴a=1，…（2分）
当a＞2时，f（2）=4+4（2﹣a）=0，∴a=3．…
（2）∵f（x）=x2﹣2x（x﹣a）?g（x﹣a），
∴f（1）=1﹣2（1﹣a）g（1﹣a），f（0）=0，
当a≤1时，∴f（1）=2a﹣1≤0，∴，…
当a＞1时，∴f（1）=﹣2a+3≤0，∴，…（8分）
∴或．…（9分）
（3）∵f（x）=x2﹣2x（x﹣a）?g（x﹣a），
∴，
当a＞0时，，∴2≤a≤3，…（11分）
当a=0时，不合题意，…（13分）
当a＜0时，f（x）在[1，2]上单调递减，不合题意，…（15分）
∴2≤a≤3．…（16分）
【点评】本题考查分段函数，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
21. 已知圆C圆心坐标为点为坐标原点，x轴、y轴被圆C截得的弦分别为OA、OB.
（1）证明：△OAB的面积为定值；
（2）设直线与圆C交于M，N两点，若，求圆C的方程.
参考答案：
（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）利用几何条件可知，△OAB为直角三角形，且圆过原点，所以得知三角形两直角边边长，求得面积；
（2）由及原点O在圆上，知OC MN，所以,求出的值，
再利用直线与圆的位置关系判断检验，符合题意的解，最后写出圆的方程。

【详解】（1）因为轴、轴被圆截得的弦分别为、，
所以经过，又为中点，所以，所以
，所以的面积为定值.
（2）因为直线与圆交于两点，，
所以的中垂线经过，且过，所以的方程，
所以，所以当时，有圆心，半径，
所以圆心到直线的距离为，
所以直线与圆交于点两点，故成立；
当时，有圆心，半径，所以圆心到直线的距离为，所以直线与圆不相交，故（舍去），
综上所述，圆的方程为.
【点睛】本题通过直线与圆的有关知识，考查学生直观想象和逻辑推理能力。

解题注意几何条件的运用可以简化运算。

22. （本小题满分10分）已知函数
（Ⅰ）当时，求函数在的值域；
（Ⅱ）若关于的方程有解，求的取值范围。

参考答案：
(Ⅰ)当时，，
令，则，
故，故值域为。