北京第二十二中学必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》检测(含答案解析)

一、选择题
1．如果两个正方形的边长之和为1，那么它们的面积之和的最小值是（ ） A ．
14
B ．
12
C ．1
D ．2
2．已知不等式20ax bx c ++>的解集是{}
41x x -<<，则不等式
2(1)(3)0b x a x c -+++>的解集为（ ）
A ．{}14x x -<<
B ．413x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭
C ．413x x x
⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
或 D ．{}
21x x x -或
3．已知2x >，那么函数4
2
y x x =+-的最小值是（ ） A ．5
B ．6
C ．4
D ．8
4．若不等式210x ax ++≥对于一切10,2
x ⎛⎤∈ ⎥⎝
⎦
恒成立，则a 的最小值是（ ）
A ．0
B ．2-
C ．52
-
D ．3-
5．已知m ＞0，xy ＞0，当x +y ＝2时，不等式4m x y +≥9
2
恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．1,)2
⎡+∞⎢⎣
B ．[
1,)+∞
C ．]
(01，
D ．1(02⎤
⎥⎦
，
6．已知1x >，0y >，且12
11x y
+=-，则2x y +的最小值为（ ）
A ．9
B ．10
C ．11
D ．7+7．已知正实数,a b 满足1a b +=，则11b a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
的最小值是（ ）
A ．
11
2
B ．5
C ．2+
D ．3+
8．当4x >时，不等式4
4
x m x +≥-恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．8m ≤
B ．8m <
C ．8m ≥
D ．8m >
9．两个正实数a ，b 满足3a ，12，b 成等差数列，则不等式2
134m m a b
+≥+恒成立时实数m 的取值范围是（ ）
A ．[]4,3-
B ．[]2,6-
C ．[]6,2-
D ．[]
3,4-
10．不等式28610x x -+<的解集为（ ） A ．11(,)42
B ．11
(,)(,)42
-∞+∞ C ．11(,)34
--
D ．11
(,)
(,)3
4-∞--+∞ 11．下列命题中正确的是（ ） A ．若ac bc >22，则a b >
B ．若a b >，则
11a b
< C ．若a b >，c d >，则a c b d ->-
D ．若a b >，c d <，则
a b c d
> 12．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知6
B π
=且1ABC S =△，则
2
a c ac a c
+-+的最小值（ ） A ．
1
2
B ．2
C ．
14
D ．4
二、填空题
13．已知实数,a b 满足01,01a b <<<<，若1a b +=，则11(1)(1)a b
++的最小值为__________．
14．定义,,a a b
a b b a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，若,0x y >，则2222
41616xy y x xy x y μ⎛⎫⎛⎫++=⊗ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的最小值____________.
15．已知3x <，则函数4
()3
f x x x =
+-的最大值是________. 16．设x ，y 为正实数，若2241x y xy ++=，则
266x y
xy
++的最大值是______.
17．有一批材料可以建成360m 长的图墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积
为______2
(m 围墙厚度不计)．
18．正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________. 19．已知不等式250ax x c ++>的解集为(2,3)，则a c +=________. 20．设函数1
e e
x
x y a =+-的值域为A ，若[)0,A ⊂+∞，则实数a 的取值范围是________．
三、解答题
21．已知函数2()21f x kx kx =+-.
（1）若不等式()0f x <的解集为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭
，求实数k 的值；
（2）若方程()0f x =在[]1
2，有解，求实数k 的取值范围. 22．设2()(1)2f x x a x a =--+-.
（1）若不等式()2f x ≥-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围； （2）解关于x 的不等式()0f x <(a R ∈).
23．已知不等式()()2
330,ax a x b a b R +--<∈的解集为{}
31A x x =-<<．
（1）求实数a ，b 的值；
（2）设()22
()2
ax bx f x x A x +-=∈-，当x 为何值时()f x 取得最大值，并求出其最大值．
24．已知函数()()()2
24f x x a x a R =-++∈．
（1）解关于x 的不等式()42f x a ≤-；
（2）若对任意的[]
0,4x ∈，()10f x a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围．
25．解关于x 的不等式-2≤2x +x -2≤4
26．当a 为何值时，不等式22(1)(1)10a x a x ----<的解集是全体实数？
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
设两个正方形的边长分别为x 、y ，可得1x y +=，利用基本不等式可求得两个正方形的面积之和2
2x y +的最小值.
【详解】
设两个正方形的边长分别为x 、y ，则0x >，0y >且1x y +=，
由基本不等式可得22
2x y xy +≥，所以，(
)()2
22
22221x y
x y xy x y +≥++=+=，
所以，22
12
x y +≥
，当且仅当1
2x y ==时，等号成立，
因此，两个正方形的面积之和2
2x y +的最小值为
1
2
. 故选：B. 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
2．B
解析：B 【分析】
根据不等式的解集与对应的方程根的关系的关系求得3,4b a c a ==-且0a <，化简不等式为2340x x +-<，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】
由题意，不等式20ax bx c ++>的解集是{}
41x x -<<， 可得4x =-和1x =是方程20ax bx c ++=的两根，且0a <，
所以4141b a c a ⎧
-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩
，可得3,4b a c a ==-，
所以不等式2(1)(3)0b x a x c -+++>可化为23(1)(3)40a x a x a -++->， 因为0a <，所以不等式等价于23(1)(3)40x x -++-<， 即2
34(1)(34)0x x x x +-=-+<，解得4
13
x -
<<， 即不等式2(1)(3)0b x a x c -+++>的解集为4
13x x ⎧⎫-
<<⎨⎬⎩⎭
. 故选：B. 【点睛】
解答中注意解一元二次不等式的步骤：
（1）变：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式； （2）判：计算对应方程的判别式；
（3）求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根；
（4）利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集.
3．B
解析：B 【分析】
根据基本不等式可求得最小值． 【详解】 ∵2x >，∴
442+24+2622y x x x x =
+=+-≥==--，当且仅当4
22
x x =--，即4x =时等号成立．∴y 的最小值是6． 故选：B ． 【点睛】
本题考查用基本不等式求最值，利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
4．C
解析：C 【分析】
采用分离参数将问题转化为“1a x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭对一切
10,2x ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
恒成立”，再利用基本不等式求解出1
x x
+的最小值，由此求解出a 的取值范围. 【详解】
因为不等式210x ax ++≥对于一切10,2
x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
恒成立，
所以1a x x ⎛
⎫≥-+ ⎪⎝
⎭对一切
10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立， 所以max 110,2a x x x ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎛⎤≥-+
∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎥⎝⎭⎝⎦⎣⎦⎝
⎭，
又因为()1f x x x =+在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，所以()min 15
22
f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 所以52a ≥-，所以a 的最小值为52
-， 故选：C.
【点睛】
本题考查利用基本不等式求解最值，涉及不等式在给定区间上的恒成立问题，难度一般.不等式在给定区间上恒成立求解参数范围的两种方法：参变分离法、分类讨论法.
5．B
解析：B 【分析】
根据“乘1法”，可得()4142m m x y x y x y ⎛⎫
+=++ ⎪⎝⎭
，展开后，利用基本不等式可推出其最小
值，则可得不等式(19
422
m ++≥，解不等式即可. 【详解】 解：
xy ＞0，且x +y ＝2，
0,0x y ∴>>，
()(4141411
4442222m m y mx x y m m m x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫∴+=++=+++≥++=++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝
当且仅当4y mx
x y
=2y =时，等号成立， 不等式
4m x y +≥9
2
恒成立， (19
422m ∴
++≥，化简得50m +≥ 解得m 1≥. ∴m 的取值范围是[1,)+∞
故选：B ． 【点睛】
本题考查利用基本不等式解决最值问题，熟练掌握“乘1法”是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题
6．B
解析：B 【分析】
利用“乘1法”将问题转化为求[]12(1)211x y x y ⎛⎫
-+++ ⎪-⎝⎭
的最小值，然后展开利用基本不等式求解． 【详解】
1x >，10x ->，又0y >，且
12
11x y
+=-， 2(1)21x y x y ∴+=-++
[]12(1)211x y x y ⎛⎫
=-+++ ⎪-⎝⎭
22(1)
61y x x y
-=+
+- 262
x +-10=， 当且仅当
22(1)
1y x x y
-=-，解得4x =，3y =时等号成立， 故2x y +的最小值为10． 故选：B ． 【点睛】
本题考查利用基本不等式求最和的最值，考查“1”的巧妙运用，难度一般，灵活转化是关键.
7．C
解析：C 【分析】
将原式变形为()2
2
11b a b b a b ab
++⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再利用基本不等式计算可得； 【详解】
解：()2
2
2111b a b b b a b ab ab
+++⎛
⎫+== ⎪⎝⎭
)
()
2
222
22222a ab
ab b a ab ab
ab
ab
++
++==
≥
=，
当且仅当a =
时取等号，即2a =1b =时等号成立，
故选：C ． 【点睛】
本题考查基本不等式的应用，属于中档题.
8．A
解析：A 【分析】 由题可得44
4444
x x x x +=-++--，且40x ->，利用基本不等式解答即可． 【详解】
解：∵4x >，∴
40x ->， ∴44444844x x x x +
=-++≥=--
当且仅当4
44
x x -=
-，即6x =时取等号， ∵当4x >时，不等式4
4
x m x +
≥-恒成立， ∴只需min 484m x x ⎛
⎫≤+= ⎪-⎝
⎭．
∴m 的取值范围为：(8],-∞． 故选A ． 【点睛】
本题主要考查基本不等式，解题的关键是得出44
4444
x x x x +=-++--，属于一般题．
9．C
解析：C 【分析】
由题意利用等差数列的定义和性质求得13a b =+，再利用基本不等式求得1
12ab
，根据题意，2412m m +，由此求得m 的范围． 【详解】 解：
两个正实数a ，b 满足3a ，
1
2
，b 成等差数列， 13a b ∴=+，123ab ∴，112ab
∴，∴
1
12ab
． ∴不等式21
34m m a b +
+恒成立，即234a b m m ab
++恒成立， 即
21
4m m ab
+恒成立． 2412m m ∴+，求得62m -，
故选：C ． 【点睛】
本题主要考查等差数列的定义和性质，不等式的恒成立问题，基本不等式的应用，属于基础题．
10．A
解析：A 【分析】
运用因式分解法，化为一元一次不等式组，解不等式，求并集即可得到所求解集． 【详解】
解：28610x x -+<即为(21)(41)0x x --<，
即有210410x x ->⎧⎨-<⎩或210410x x -<⎧⎨->⎩
，
可得x ∈∅或
11
42
x <<， 即解集为1(4，1
)2
，
故选A ． 【点睛】
本题考查一元二次不等式的解法，考查运算能力，属于基础题．
11．A
解析：A 【分析】
对于选项A ，由不等式性质得该选项正确；对于选项B ，11b a
a b ab
--=符号不能确定，所以该选项错误；通过举反例说明选项C 和选项D 错误. 【详解】
对于选项A ，若ac bc >22，所以20c >，则a b >，所以该选项正确；
对于选项B ，11b a
a b ab
--=符号不能确定，所以该选项错误； 对于选项C ，设1,0,1,3,2,3a b c d a c b d ===-=--=-=，所以a c b d -<-，所以
该选项错误；
对于选项D ，设0,1,2,1,0,1,a b a b
a b c d c d c d
==-=-=-==∴<，所以该选项错误； 故选：A 【点睛】
本题主要考查不等式的性质，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
12．A
解析：A 【分析】
由已知条件和三角形的面积公式得4ac =，再根据基本不等式可得+4a c ≥，令
24a c y a c +=
-+，+a c t =，2
4t y t =-（4t ≥），由此函数的单调性可得选项. 【详解】 由已知6
B π
=
且1ABC S =△，得
1sin 126
ac π
=，解得4ac =， 所以2
+42a c ac ⎛⎫=≤ ⎪
⎝⎭
，即
+4a c ≥，当且仅当a c =时取等号，
所以224a c a c ac a c a c ++-=-++，令24a c y a c +=-+，+a c t =，则2
4t y t =-（4t ≥），
而24t y t =-在[)4+∞，单调递增，所以2421
4442t y t =-≥-=，所以2a c ac a c
+-+的最
小值为
12
. 故选：A. 【点睛】
本题考查三角形的面积公式，基本不等式的应用，以及运用函数的单调性求最值的问题，属于中档题.
二、填空题
13．9【分析】应用基本不等式求得最小值【详解】∵若∴当且仅当时等号成立故答案为：9【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（1）一正二定三相等一正就是各项必须为正数；（2）二
解析：9 【分析】
应用基本不等式求得最小值． 【详解】
∵01,01a b <<<<，若1a b +=，
∴2
11111122(1)(1)111192a b a b b a ab ab ab ab a b +++=+++=++=+≥+=+⎛⎫
⎪⎝⎭
．当且仅当1
2
a b ==时等号成立．
故答案为：9． 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
14．【分析】换元判定单调性利用基本不等式求解【详解】令则在为增函数在在为减函数从而当且仅当时取等号故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（1）一正二定三相等一正就
解析：94
【分析】
换元判定单调性，利用基本不等式求解
【详解】 令y t x =，则 2
2244xy y t t x
+=+在()0,∞+为增函数， 22216111616x xy y t t
+=+在在()0,∞+为减函数， 从而22111942164
t t t t μ⎛⎫≥+++≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当12
t =
时取等号. 故答案为：94
【点睛】 易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
15．【分析】配凑成再用利用均值不等式直接求解【详解】因为所以当且仅当即时等号成立故答案为:【点睛】此题考查利用基本不等式求最值属于基础题方法点睛：均值不等式成立的3个条件一正二定三相等一正：的范围要为正 解析：1-
【分析】
配凑成()4()333f x x x ⎡⎤=--+
⎢⎥-⎣⎦
，再用利用均值不等式直接求解． 【详解】
因为3x <，所以
()()43333413f x x x ⎡⎤=--+≤-=-=-⎢⎥-⎣
⎦.当且仅当43=3x x --，即1x =时等号成立，
故答案为: 1-
【点睛】 此题考查利用基本不等式求最值，属于基础题.
方法点睛：均值不等式a b +≥成立的3个条件“一正、二定、三相等”．
一正：,a b 的范围要为正值
二定：当,a b 为大于零的变量，那么a b +
、最值．
三相等：验证均值不等式在给定的范围内能否满足取等号的条件．
16．【分析】先得到当且仅当时接着得到当且仅当时从而化简得到再求取最小值最后求出的最大值【详解】解：∵即∵当且仅当即时取等号∴当且仅当时取等号∵即∴当且仅当时取等号令则∴∵当时取最小值此时最大为：故答案为
【分析】
先得到当且仅当2x y =时15
xy ≤，接着得到当且仅当2x y =
时2x y +=≤266x y xy ++得到142m m
+，再求42m m +取最小值，最后求出266x y xy
++的最大值. 【详解】
解：∵2241x y xy ++=，即2241x y xy =-+
∵22414xy x x y y ≥=-=+，当且仅当224x y =即2x y =时，取等号， ∴15
xy ≤，当且仅当2x y =时，取等号， ∵2241x y xy ++=，即2(2)31x y xy +-=
∴2x y +=≤2x y =时，取等号，
令2x y m +==≤
231xy m =-， ∴221466242x y m xy m m m
+==+++， ∵
当m =42m m +
取最小值5，此时266x y xy ++
最大为：18
【点睛】
本题考查基本不等式求最值，是基础题.
17．8100【分析】设小矩形的高为把面积用表示出来再根据二次函数的性质求得最大值【详解】解：设每个小矩形的高为am 则长为记面积为则当时所围矩形面积的最大值为故答案为8100【点睛】本题考查函数的应用解题
解析：8100
【分析】
设小矩形的高为acm ，把面积用a 表示出来，再根据二次函数的性质求得最大值．
【详解】
解：设每个小矩形的高为am ，则长为()136043b a m =
-，记面积为2Sm 则()2336044360(090)S ab a a a a a ==⋅-=-+<<
∴当45a =时，()
28100max S m =
∴所围矩形面积的最大值为28100m
故答案为8100．
【点睛】
本题考查函数的应用，解题关键是寻找一个变量，把面积表示为此变量的函数，再根据函数的知识求得最值．本题属于基础题． 18．【分析】由题得ab ＝a ＋b ＋3≥2＋3解不等式即得解【详解】∵ab 是正数∴ab ＝a ＋b ＋3≥2＋3(当且仅当a ＝b ＝3时等号成立)所以所以所以或所以ab≥9故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式的
解析：[)9,+∞
【分析】
由题得ab ＝a ＋b ＋3，解不等式30ab -≥即得解.
【详解】
∵a ，b 是正数，
∴ab
＝a ＋b ＋＋3(当且仅当a ＝b ＝3时等号成立)，
所以30ab -≥，
所以0≥，
3≥1≤-，
所以ab ≥9.
故答案为：[9,)+∞
【点睛】
本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
19．-7【分析】结合一元二次不等式和一元二次方程的性质列出方程组求得的值即可得到答案【详解】由不等式的解集为可得解得所以故答案为：【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法以及一元二次方程的性质其中解答
解析：-7
【分析】
结合一元二次不等式和一元二次方程的性质，列出方程组，求得,a c 的值，即可得到答案.
【详解】
由不等式250ax x c ++>的解集为(2,3)，可得052323a a c a ⎧⎪<⎪⎪+=-⎨⎪⎪⨯=⎪⎩
，解得1,6a c =-=-， 所以167a c +=--=-.
故答案为：7-.
【点睛】
本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及一元二次方程的性质，其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
20．【解析】因为a 所以则
解析：(,2]-∞
【解析】 因为1e 2e x x
y a =+-≥-a ,所以[)[)2,0,,A a =-+∞⊂+∞则20,2a a -≥≤. 三、解答题
21．（1）
13；（2）11,103⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】
（1）由题意可得32
-
、1是方程2210kx kx +-=的两个根，利用两根之积列方程即可求解； （2）方程()0f x =在[]1
2，有解，可得212k x x =+在[]12，有解，利用二次函数的性质求出2
2y x x =+的范围，即可求解.
【详解】 （1）因为2210kx kx +-<的解集是3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以32
-、1是方程2210kx kx +-=的两个根， 由根与系数的关系可得：31122k -⨯=-，解得：13
k =，
（2）因为方程()0f x =在[]1
2，有解， 所以2210kx kx +-=在[]1
2，有解， 212k x x
=+在[]12，有解， 因为22y x x =+对称轴为14
x =-，在[]12，上单调递增， 所以[]2
23,10y x x =+∈， 可得2111,2103k x x ⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦
， 所以实数k 的取值范围11,103⎡⎤⎢
⎥⎣⎦. 【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
22．（1）33a -≤≤+2）答案见解析.
【分析】
（1）一元二次不等式恒成立问题，由判别式可得参数范围．
（2）不等式变形为[(2)](1)0x a x ---<，根据2a -和1的大小分类讨论得解集．
【详解】
解：（1）由题意，不等式()2f x ≥-对于一切实数x 恒成立，等价于2(1)0x a x a --+≥
对于一切实数x 恒成立.所以2
0(1)40a a ∆≤⇔--≤⇔33a -≤≤+ （2）不等式()0f x <等价于2(1)20[(2)](1)0x a x a x a x --+-<⇔---<.
当21a ->即3a >时，不等式可化为12x a <<-，不等式的解集为{}12x x a <<-； 当21a -=即3a =时，不等式可化为2(10)x -<，不等式的解集为∅；
当21a -<即3a <时，不等式可化为21a x -<<，此时{}21x a x -<<.
综上所述：当3a <时，不等式的解集为{}21x a x -<<；
当3a =时，不等式的解集为∅；
当3a >时，不等式的解集为{}
12x x a <<-.
【点睛】
本题考查解一元二次不等式．掌握三个二次伯关系是解题关键．对含参数的一元二次不等式求解时需分类讨论，分类讨论一般有三个层次：一是二次项系数是否为0，不为0时二次项系数的正负，二是一元二次方程的判别式，三是在判别式大于0时，方程两根的大
小．注意灵活分类．23．无
24．无
25．无
26．无。