江苏省无锡市2018届高三第一次模拟考试数学答案

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江苏省无锡市2018届高三第一次模拟考试数学

江苏省无锡市2018届高三第一次模拟考试数学注意事项:1. 本试卷共160分,考试时间120分钟.2. 答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.1.已知集合A={1,3},B={1,2,m},若A∪B=B,则实数m= .2.若复数(a∈R,i为虚数单位)是纯虚数,则实数a= .-3.某高中共有学生2 800人,其中高一年级960人,高三年级900人,现采用分层抽样的方法,抽取140人进行体育达标检测,则抽取高二年级学生人数为.4.已知a,b∈{1,2,3,4,5,6},直线l1:2x+y-1=0,l2:ax-by+3=0,则直线l1⊥l2的概率为.(第5题)5.根据如图所示的伪代码,当输入的a的值为3时,最后输出的S的值为.6.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB⊥BC,AB=3,BC=4,AA1=5,若三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积为.7.已知变量x,y满足约束条件目标函数z=3x+y的最小值为5,则c的值-为.8.若函数y=cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移个单位长度后,与函数y=sin-的图象重合,则φ=.9.已知等比数列{a n}满足a2a5=2a3,且a4,,2a7成等差数列,则a1·a2·…·a n的最大值为.10.过圆x2+y2=16内一点P(-2,3)作两条相互垂直的弦AB和CD,且AB=CD,则四边形ABCD的面积为.11.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)与椭圆+=1的焦点重合,离心率互为倒数,设F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点,P为右支上任意一点,则的最小值为.12.在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=2,∠A=,M为DC的中点,N为平面ABCD内一点,若|-|=|-|,则·= .13.已知函数f(x)=---g(x)=-x2-2x-2.若存在a∈R,使得f(a)+g(b)=0,则实数b的取值范围是.14.若函数f(x)=(x+1)2|x-a|在区间[-1,2]上单调递增,则实数a的取值范围是.二、解答题:本大题共6小题,共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)如图,四边形ABCD是菱形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=2AF.(1) 求证:AC⊥平面BDE;(2) 求证:AC∥平面BEF.(第15题)16. (本小题满分14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,cos A=,C=2A.(1) 求cos B的值;(2) 若ac=24,求△ABC的周长.17. (本小题满分14分)如图,点C为某沿海城市的高速公路出入口,直线BD为海岸线,∠CAB=,AB⊥BD,是以A为圆心,半径为1 km的圆弧型小路.该市拟修建一条从C通往海岸的观光专线-PQ,其中P为上异于B,C的一点,PQ与AB平行,设∠PAB=θ.(1) 求证:观光专线-PQ的总长度随θ的增大而减小;(2) 已知新建道路PQ的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍.当θ取何值时,观光专线-PQ的修建总成本最低?请说明理由.(第17题)18. (本小题满分16分)如图,已知椭圆E:+=1(a>0,b>0)的离心率为,F1,F2分别为左、右焦点,A,B分别为左、右顶点,原点O到直线BD的距离为.设点P在第一象限,且PB⊥x轴,连接PA交椭圆于点C.(1) 求椭圆E的方程;(2) 若△ABC的面积等于四边形OBPC的面积,求直线PA的方程;(3) 求过点B,C,P的圆的方程(结果用t表示).(第18题)19. (本小题满分16分)已知数列{a n}满足--·…·-=,n∈N*,S n是数列{a n}的前n项和.(1) 求数列{a n}的通项公式;(2) 若a p,30,S q成等差数列,a p,18,S q成等比数列,求正整数p,q的值;(3) 是否存在k∈N*,使得为数列{a n}中的项?若存在,求出所有满足条件的k的值;若不存在,请说明理由.20. (本小题满分16分)已知函数f(x)=e x(3x-2),g(x)=a(x-2),其中a,x∈R.(1) 求过点(2,0)且与函数y=f(x)的图象相切的直线方程;(2) 若对任意的x∈R,有f(x)≥g(x)恒成立,求a的取值范围;(3) 若存在唯一的整数x0,使得f(x0)<g(x0),求a的取值范围.江苏省无锡市2018届高三第一次模拟考试数学附加题注意事项:1. 附加题供选修物理的考生使用.2. 本试卷共40分,考试时间30分钟.3. 答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.21. (本小题满分10分)选修4-2:矩阵与变换已知矩阵A=,若矩阵A属于特征值λ1的一个特征向量为α1=-,属于特征值λ2的一个特征向量为α2=-,求矩阵A.22. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是(t是参数),以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若圆C的极坐标方程是ρ=4sinθ,且直线l与圆C相交,求实数m的取值范围.23. (本小题满分10分)某公司有A,B,C,D四辆汽车,其中A车的车牌尾号为0,B,C两辆车的车牌尾号为6,D车的车牌尾号为5,已知在非限行日,每辆车都有可能出车或不出车.已知A,D 两辆汽车每天出车的概率为,B,C两辆汽车每天出车的概率为,且四辆汽车是否出车是相互独立的.(1) 求该公司在星期四至少有2辆汽车出车的概率;(2) 设ξ表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和,求ξ的分布列和数学期望.24. (本小题满分10分)如图,在四棱锥P-ABCD中,△ABP是等边三角形,底面ABCD是直角梯形,∠DAB=90°,AD∥BC,E是线段AB的中点,PE⊥底面ABCD,已知DA=AB=2BC=2.(1) 求二面角P-CD-AB的正弦值;(2) 试在平面PCD上找一点M,使得EM⊥平面PCD.(第24题)。

高三数学-2018年江苏省无锡市高三数学综合试卷精品

2018年无锡市高三数学综合试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（改）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5=18-a 6，则S 10等于（）A ．180B ．90C ．198D ．1082．（改）下列各图形中，是函数图象的是（）3．（新）若以集合S ={a ，b ，c }（a ，b ，c ∈R ）中的三个不同元素为边长可构成一个三角形，那么这个三角形一定不可能．．．是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形4．（改）已知椭圆22212a a x y -=的焦距为4，则a 的值为（）ABCD5．（改）函数sin(3)cos()cos(3)cos()3633y x x x x ππππ=+--++的图象的一条对称轴的方程是（） A ．π12x =B ．π6x =C ．π12x =- D ．π24x =-6．（改）盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4只，那么310等于（） A ．恰有2只是好的概率 B ．恰有1只是坏的概率 C ．至多2只是坏的概率 D ．4只全是好的概率 7．（新）甲、乙两人同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到中点后改为跑步，而乙则是先跑步到中点后改为骑自行车，最后两人同时到达B 地．又知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快，并且两人骑车速度均比跑步速度快．若某人离开A 地的距离S 与所用时间t 的函数关系可用图①~④中的某一个来表示，则甲、乙两人的图象只可能分别是（） A ．甲是图①，乙是图② B ．甲是图①，乙是图④ C ．甲是图③，乙是图② D ．甲是图③，乙是图④ 8．（改）已知f (x ) = －2x +1，对任意正数ε，x 1、x 2∈R ，使|f (x 1)－f (x 2)|＜ε的一个充分不必要条件是（）A ．| x 1－ x 2|＜εB ．| x 1－ x 2|＜ε2C ．| x 1－ x 2|＜ε4D ．| x 1－ x 2|＞ ε49．（改）已知复数z k (k =1，2，3，…，2018)满足|z k |=1，命题甲为：∑=20031k kz=0，命题乙：复平面内以z k (k =1，2，3，…，2018)的对应点为顶点的2018边形是正多边形，那么命题甲是命题乙的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分且必要条件 D ．既不充分不必要条件 10．（改）已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，F 是BB 1的中点，G 为BC 上一点，若C 1F ⊥FG ，则∠D 1FG 为（） A ．60º B ． 120º C ．150º D ．90º11．（改）131lim 3(1)3n n n n a +→∞=++，则实数a 的取值范围为（）A ．(-2，0)B ．(-∞，-2)∪(0，+∞)C ．(-4，2)D ．(-∞，-4)∪(2，+∞)12．（新）设12)310(++n （n ∈N ）的整数部分和小数部分分别为I n 和F n ，则F n (F n +I n )的值为（） A ．1 B ．2C ．4D ．与n 有关的数第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在题中横线上． 13．（改）正整数2160的正约数共有个．第7题图14．（改）为了了解学生的体能情况，现抽取了某校一个年级的部分学生进行一分钟跳绳次数的测试，将数据整理后，画出频率分布直方图．已知图中从左到右三个小组的频率分别为0.1，0.2，0.4，第一小组的频数为5，Array那么第四小组的频数等于．15．（新）当方程m(x2+y2-4x+2y+5) =(3x+4y+33)2所表示的点的轨迹为双曲线时，则实数m的取值范围为．16．（改）设正实数x、y、z满足(x+y)(x+z)=2，则xyx(x+y+z)的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（改）（本题满分12分）有一块边长为6m的正方形钢板，将其四个角各截去一个边长为x(m)的小正方形，然后焊接成一个无盖的蓄水池（不计损耗）．（Ⅰ）求容积V关于自变量x的函数，并指出其定义域；（Ⅱ）指出函数V（x）的单调区间；（Ⅲ）蓄水池的底边为多少时，蓄水池的容积最大？最大容积是多少？18．（新）（本题满分12分）已知向量a = e1-e2，b = 4e1+3e2，其中e1= (1，0)，e2= (0，1)．（Ⅰ）试计算a·b；|a+b|的值；（Ⅱ）n个向量a1、a2、…、a n称为“线性相关”，如果存在n个不全为零的实数k1、k2、…、k n，使得k1a1+ k2a2+…+ k n a n=0成立，否则，则为“不线性相关”．依此定义，三个向量a1= (-1，1)，a2= (2，1)，a3= (3，2) 是否为“线性相关”的？请说明你的判断根据；（Ⅲ）平面上任意三个互不共线的向量a1、a2、a3，一定是线性相关的吗？为什么？19．（改）（本小题满分12分）如图，已知斜平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =AD = 2 ，∠A 1AB =∠A 1AD =∠BAD ．（Ⅰ）设∠BAD =α，A 1A 与面ABCD 所成的角为β，求证：2coscos cos ααβ=；（Ⅱ）设A 1A 到面B 1D 1DB 的距离为1，求二面角A 1-AD -B 的余弦．ABCDA 1B 1C 1D 120．（新）（本题满分12分）已知递减的等比数列{a n }，各项均正，且满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++．2712111111，31215432154321a a a a a a a a a a 试求数列{a n }的通项公式． 21．（改）（本题满分12分）椭圆中心是坐标原点O ，焦点在x 轴上，过椭圆左焦点F 的直线交椭圆于P ，Q 两点，且OQ OP ⊥．求椭圆离心率e 的取值范围．22．（新）（本小题满分14分）设集合S ={|，||<1}x x x ∈R 且．在S 中定义运算“*”，使得*1a ba b ab+=+．（Ⅰ）证明：如果a ∈S ，b ∈S ，那么a *b ∈S ；（Ⅱ）证明：对于S 中的任何元素a 、b 、c ，都有(a *b )*c = a *(b *c )成立；（Ⅲ）试问：是否存在单位元e ，使得a *e = e *a = a ？又是否存在不变元i ，使得a *i = i *a = i ．答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．B （点拨：a 5+a 6=a 1+a 10=18，S 10=11010()2a a +=90） 2．D （点拨：函数首先必须是映射，一个x 只能对应一个y ）3．D （点拨：集合中的元素具有互异性，a 、b 、c 两两互不相等）4．C （点拨：显然a <0，而对于C 、D 中的答案，只须选其中一个代入验证即可） 5．A （点拨：可先将y 化为πsin(4)6x +，其对称轴经过函数的最值点）6．A （点拨：恰有2只是好的概率为2273410C C C =310）7．B （点拨：先走一半的路程，甲所用时间较少，乙所用时间较多） 8．C （点拨：B 是充要的，A 是必要的，D 既非充分又非必要）9．B （点拨：顺次连结封闭多边形的各边所得的向量和为零向量，故由命题乙可推得甲，反之，则不然）10．D （点拨：C 1F 为D 1F 在平面BCC 1B 1内的射影，利用三垂线定理可得D 1F ⊥FG ）11．C （点拨：将133(1)n n n a +++的分子分母同除以3k，可得1()3k a +→0，从而|13a +|<1） 12．A （点拨：F n=213)n +，F n +I n =12)310(++n ）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在题中横线上． 13．40 14．15 15．0＜m ＜2516．1三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（Ⅰ）设蓄水池的底面边长为a ，则a ＝6－2x ，且蓄水池容积为2()(62)V x x x =-．由＞062＞0x x ⎧⎨-⎩，得()V x 定义域为（0，3）．（Ⅱ）322()42436，'()124836V x x x x V x x x =-+=-+．令'()V x ≥0，并注意到(0,3)x ∈知：()V x 的单调递增区间为（0，1]；令'()V x ≤0，并注意到(0,3)x ∈知，()V x 的单调递减区间为[1，3]．（Ⅲ）令2'()1248360V x x x =-+=，得x ＝1（3(0,3)x =∉，舍去）．此时，a = 4（m ）．由()V x 单调性知，3max [()](1)16(m )V x V ==．故当底面边长为4m 时，蓄水池容积最大，最大容积为16m 3． 18．（Ⅰ）a = (3，0) – (0，2) = (3，-2)，b = (4，0) +(0，1) =(4，1)．a ·b = (3，-2) ·(4，1)=10； |a +b |=|(7，1)|= 50 = 52．（Ⅱ）是“线性相关”的．令k 1(-1，1)+k 2(2，1)+k 3(3，2) = (0，0)，于是 k 1+2k 2+3k 3=0，且k 1+k 2+2k 3=0．显然由以上两条件构成的方程组有不全为零的实数解（如k 1= -1，k 2= -5，k 3=3），故它们为线性相关的．（Ⅲ）平面上任意三个互不共线的向量一定线性相关．由平面向量的基本定理知，平面上任意两个不共线的向量a 1、a 2均可作为向量的一组基底，并且对于平面内的任一其它向量a 3，有且仅有唯一的一对实数λ1、λ2，使a 3 = λ1a 1+λ2a 2．分别取k 1=λ1，k 2=λ2，k 3= -1，即有λ1a 1+λ2a 2- a 3 =0，也就是平面上任意三个互不共线的向量一定线性相关． 19．（Ⅰ）如图，因∠A 1AB =∠A 1AD ，A 1A =A 1A ，AB =AD ，故△A 1AB ≌△A 1AD ．于是，A 1B =A 1D ．故BD ⊥A 1O ．因AB =AD ，故四边形ABCD 为菱形，从而BD ⊥AC ．又A 1O ∩AC =O ，故BD ⊥面A 1C 1CA ．于是，面ABCD ⊥面A 1C 1CA ．（★）作HE ⊥AD 于E ，连A 1E ，由三垂线定理得，A 1E ⊥AD ．故，2coscos cos 11ααβ=⋅==EA AE AE AH H A AH ．（Ⅱ）由（★）得，面B 1D 1DB ⊥面A 1C 1CA ．作A 1F ⊥OO 1于F ，则A 1F ⊥面B 1D 1DB ．故A 1F =1．在Rt △A 1O 1D 1中，A 1O 1=A 1D 1•2cos α=2cos2α．于是，O 1F =αcos 21211=-F A O A ．故，2c o s2c o s c o s c o s 2c o sc o s 11ααβαα=∠==F O A ，从而，ααcos cos 22=．又αcos ≠0，于是αcos = 12 ，α=60º．由（Ⅰ）知，∠A 1EH 是二面角A 1-AD -B 的平面角，于是AB CDA 1B 1C 1D 1O 1EFOH3160tan 30tan cos 11=⋅⋅==∠AE AE E A EH EH A ． 20．设数列的公式为q ，则原方程组等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++． ②27121)1(1① ，3121)1(23454321q q q q a q q q q a将以上两式相除得 a 1a 5 = 9，即23a =9．因a n ＞0，故a 3 = 3．注意到231qa a =，q a a 32=，q a a 34=，235q a a =，于是a 1+a 2+a 3+a 4+a 5 = 3121又可化为 3121)1()1(33223=++++q q a a q qa ，变形得 313031211)1(332=+=+++a a q q q q ．解得3101=+q q （另一解为负，不合，舍去），从而 q =31（q =3，不合，舍去）．此时，27231==q a a ，nn na --=⋅=413)31(27． 21．不妨设椭圆的方程为12222=+by a x （a ＞b ＞0）．（1）当PQ ⊥x 轴时，F (–c ，0)，则ab FP 2||=且|FP | = |FQ |．又OQ OP ⊥，故|OF |= |FP |，即a b c 2=，也就是ac = a 2 – c 2．将两边同除以a 2，得 e 2+e –1= 0，解得215-=e ．（2）当PQ 不垂直x 轴时，设PQ ：)(c x k y +=并将代入椭圆方程得02)(22222222222=-+++b a c a k cx a k x a k b设),(11y x P ，),(22y x Q ，∵OQ OP ⊥，∴02121=+y y x x ．即 0))((21221=+++c x c x k x x ，亦即 0)()1(22212212=++++c k x x c k x x k ．于是 02)1(22222222222222222=++-⋅++-⋅+c k ak b c a k c k a k b b a c a k k ．解得 222222222ba cbc a b a k -+= ．显然 k ≠0，故k 2＞0，∴222222b a c b b a -+＞0，将222c a b -=代入上式，得1324+-e e ＜0，解得215-＜e ＜1．综合上述情况得e 的范围是215-≤e ＜1．22．（Ⅰ）∵a ∈S ，b ∈S ，∴|a |＜1，|b |＜1．∴22(1)()(1)(1) ab a b ab a b ab a b +-+=++++--22(1)(1)(1)(1)(1)(1)a b a b a b =++--=--＞0．∴2()1a b ab ++＜1，即|1a b ab ++|＜1，也就是1a bab++∈S ，从而a *b ∈S ．（Ⅱ）(a *b )*c =1*1111a bca b a b c abc ab c a b ab ab ac bc c ab +++++++==+++++++ ，a *(b *c ) =1*1111b ca b c a b c abc bc a b c bc ab ac bca bc+++++++==+++++++ ，故(a *b )*c = a *(b *c )．（Ⅲ）若a *e = e *a = a ，则11a e e aa ae ea++==++，变形得(1)e a a ea +=+，从而，2a ea =，该式不能对一切满足|a |＜1的实数a 恒成立，故不存在满足条件的单位元e ．若a *i = i *a = i ，则11a i i ai ai ia++==++，变形得(1)i a i ia +=+，从而，2a i a =，当1i =±时，等式对一切满足|a |＜1的实数a 恒成立，故存在满足条件的不变元1i =±．。

2018届高三第一次模拟考试数学试卷(文)含答案

2017-2018高三学年第一次模拟数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合}034|{2≥++=x x x A ，}12|{＜x x B =，则=B AA ．)0,1[]3,(---∞B ．]1,3[--C ．]0,1(]3,(---∞D ．)0,(-∞ 2．已知z 满足2zi z +=-，则z 在复平面内对应的点为（） A ．(1,1)- B ．(1,1) C ．(1,1)- D ．(1,1)-- 3．已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，7825a a -=，则11S 为 A. 110 B. 55 C. 50 D. 不能确定 4．下列说法中，不正确的是A ．已知a ，b ，m ∈R ，命题：“若am 2<bm 2，则a <b ”为真命题B ．命题：“∃x 0∈R ，x 20－x 0>0”的否定是：“∀x ∈R ，x 2－x ≤0”C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题D ．“x >3”是“x >2”的充分不必要条件5．某几何体的三视图如图所示(单位：cm )，则该几何体的体积等于( ) 3cmA ．243π+B ．342π+ C ．263π+ D ．362π+6．如图给出的是计算1111352015++++的值的一个程序框图，则图中执行框中的①处和判断框中的②处应填的语句是（） A ．1,1009n n i =+>？ B ．2,1009n n i =+>？ C ．1,1008n n i =+>？ D ．2,1008n n i =+>？7．设n m ,是平面α内的两条不同直线，21,l l 是平面β内两条相交直线，则βα⊥的一个充分不必要条件是（）A ．11,l m l n ⊥⊥B ．12,m l m l ⊥⊥C ．12,m l n l ⊥⊥D ．1//,m n l n ⊥8．变量x ，y 满足22221x y x y y x +⎧⎪--⎨⎪-⎩≤≥≥，则3z y x =-的取值范围为（）A ．[]1,2B ．[]2,5C ．[]2,6D ．[]1,69．已知平面向量,a b 的夹角为045，(1,1)a = ，1b = ，则a b += （）A ．2B ．3C ．4 D10．若函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象可能为( )11.已知抛物线y 2=2px （p>0）与双曲线=1（a ＞0，b ＞0）有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为( ) A ．+2 B ．+1 C ．+1 D ．+112．若对于任意的120x x a <<<，都有211212ln ln 1x x x x x x ->-，则a 的最大值为（）A ．2eB ．eC ．1D ．12第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上 13．已知3cos ,2322πππαα⎛⎫⎛⎫+=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan α= . 14．某珠宝店丢了一件珍贵珠宝,以下四人中只有一人说真话,只有一人偷了珠宝.甲:我没有偷;乙:丙是小偷;丙:丁是小偷;丁:我没有偷.根据以上条件,可以判断偷珠宝的人是 .15. 在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝________． 16. 函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ＞0)的极大值为6，极小值为2，则f (x )的单调递减区间是________ 三、解答题：6大题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.C 1B 1A 1FE CBA17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6.(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数f (x )的值域．18.（本大题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，12AA AC ==，1=BC ,E 、F 分别为11AC 、BC 的中点. （1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ；（2）求证：1//C F 平面ABE ；（3）求三棱锥ABE C -1的体积. 19.（本小题满分12分）已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样统计，先将800人按001002003800，，，，L 进行编号．（Ⅰ）如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3个人的编号；（下面摘取了第7行至第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54（Ⅱ）抽的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有2018442++=人，若在该样本中，数学成绩优秀率为30%，求a b ，的值．（Ⅲ）将108a b ≥，≥的a b ，表示成有序数对()a b ，，求“在地理成绩为及格的学生中，数学成绩为优秀的人数比及格的人数少”的数对()a b ，的概率． 20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为22，左焦点为)0,1(-F ，过点)2,0(D 且斜率为k 的直线l 交椭圆于A ，B 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）在y 轴上，求点E ，使⋅恒为定值。

江苏省无锡市2018届高三上学期期末检测数学试题Word版含答案

无锡市普通高中2017年秋学期高三期终调研考试试卷数学一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题．．卡相应位置上．．．．．．.）1.已知集合{1,3}A，{1,2,}B m ，若A B B ，则实数m ．2.若复数312a ii （a R ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a ．3.某高中共有学生2800人，其中高一年级960人，高三年级900人，现采用分层抽样的方法，抽取140人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为．4.已知,{1,2,3,4,5,6}a b，直线1:210l x y ，2:30l ax by ，则直线12l l 的概率为．5.根据如图所示的伪代码，当输入a 的值为3时，最后输出的S 的值为．6.直三棱柱111ABC A B C 中，已知AB BC ，3AB ，4BC ，15AA ，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为．7.已知变量,x y 满足242xx yx y c，目标函数3z x y 的最小值为5，则c 的值为．8.函数cos(2)(0)yx 的图像向右平移2个单位后，与函数sin(2)3y x 的图像重合，则．9.已知等比数列{}n a 满足2532a a a ，且4a ，54，72a 成等差数列，则12n a a a 的最大值为．10.过圆2216x y 内一点(2,3)P 作两条相互垂直的弦AB 和CD ，且AB CD ，则四边形ACBD 的面积为．11.已知双曲线2222:1(0,0)xy C a b a b 与椭圆2211612x y 的焦点重合，离心率互为倒数，设12,F F 分别为双曲线C 的左，右焦点，P 为右支上任意一点，则212PF PF 的最小值为．12.在平行四边形ABCD 中，4AB ，2AD ，3A ，M 为DC 的中点，N 为平面ABCD 内一点，若||||AB NB AMAN ，则AM AN．13.已知函数()f x 2212211,211log (),22x x x xx x ，2()22g x x x .若存在a R ，使得()()0f a g b ，则实数b 的取值范围是．14.若函数2()(1)||f x x x a 在区间[1,2]上单调递增，则实数a 的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.如图，ABCD 是菱形，DE 平面ABCD ，//AF DE ，2DE AF .（1）求证：AC 平面BDE ；（2）求证：//AC 平面BEF .16.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3cos 4A ，2C A .（1）求cos B 的值；（2）若24ac ，求ABC 的周长.。

【全国市级联考word】江苏省无锡市2018届高三第一学期期末检测数学试卷(解析版)

无锡市普通高中2017年秋学期高三期终调研考试试卷数学一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．.）1.已知集合，，若，则实数__________．【答案】3【解析】,故2. 若复数（，为虚数单位）是纯虚数，则实数__________．【答案】6【解析】为纯虚数，故3. 某高中共有学生2800人，其中高一年级960人，高三年级900人，现采用分层抽样的方法，抽取140人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为__________．【答案】47【解析】由已知，高二年级人数为，采用分层抽样的方法，则抽取高二的人数为 .4. 已知，直线，，则直线的概率为_________．【答案】【解析】由已知，若直线与直线垂直，则，使直线的，故直线的概率5. 根据如图所示的伪代码，当输入的值为3时，最后输出的的值为__________．【答案】21【解析】由图中的伪代码逐步运算：，;①是，,，;②是，,，;③是，,，;④否，输出。

6. 直三棱柱中，已知，，，，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________．【答案】【解析】是直三棱柱，，又三棱柱的所有顶点都在同一球面上，是球的直径，；，，；故该球的表面积为7. 已知变量满足，目标函数的最小值为5，则的值为__________．【答案】5【解析】如图为满足条件的可行域，由得，当直线过点时有最小值5，此时，解得坐标为，代入得 .【点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：1.在坐标系中作出可行域；2.根据目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；3. 确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从面确定最优解；4.求最值：将最解代入目标函数即可求最大值与最小值.8. 函数的图像向右平移个单位后，与函数的图像重合，则__________．【答案】【解析】平移后的函数的解析式为，此时图像与函数的图像重合，故, 即.9. 已知等比数列满足，且，，成等差数列，则的最大值为__________．【答案】1024【解析】由已知得；当或时得最大值 .【点睛】本题有以下几个关键之处：1.利用方程思想求得首项和公比，进而求得通项；2.利用转化化归思想将问题转化为二次函数最值问题；3.本题易错点是忽视的取值是整数，而误取 .10. 过圆内一点作两条相互垂直的弦和，且，则四边形的面积为__________．【答案】19【解析】根据题意画出上图，连接，过作，，为的中点，为的中点，又，，∴四边形为正方形，由圆的方程得到圆心，半径，【点睛】本题的关键点有以下：1.利用数形结合法作辅助线构造正方形；2.利用勾股定理求解.11. 已知双曲线与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，设分别为双曲线的左，右焦点，为右支上任意一点，则的最小值为__________．【答案】8【解析】由已知，，；又双曲线与椭圆焦点重合，离心率互为倒数，，则双曲线；在右支上，根据双曲线的定义有，，故的最小值为 .【点睛】解答本题有3个关键步骤：1、利用双曲线与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数求出曲线方程；2、利用双曲线定义求出；3、将代入整理后再利用基本不等式求出最小值.12. 在平行四边形中，，，，为的中点，为平面内一点，若，则__________．【答案】6【解析】13. 已知函数，.若存在，使得，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】当时，在恒成立在为减函数，当时；当时，.综上，欲使成立需：.【点睛】本题的解题关键是利用导数工具和函数的单调性取得函数，再利用图像的对称原原理将问题转化为，从而求得正解.14. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】由已知可得，当时，要使得原命题成立需：；当时，要使得原命题成立需：.综上.二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 如图，是菱形，平面，，.（1）求证：平面；（2）求证：平面.【答案】（1）见解析；（2）见解析.学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...试题解析：（1）证明：因为平面，所以.因为是菱形，所以，因为所以平面.（2）证明：设，取中点，连结，所以，且.因为，，所以且，从而四边形是平行四边形，.因为平面，平面，所以平面，即平面.16. 在中，角的对边分别为，，.（1）求的值；（2）若，求的周长.【答案】（1）.（2）15.【解析】试题分析：（1）由三角形内角关系结合两角和与差公式有，所以根据已知条件求出即可求出 . （2）根据正弦定理结合，即可求出的值，再利用余弦定理，求出的值.试题解析：（1）因为，所以.在中，因为，所以，因为，所以，所以.（2）根据正弦定理，所以，又，所以，.，.所以的周长为15.17. 如图，点为某沿海城市的高速公路出入口，直线为海岸线，，，是以为圆心，半径为的圆弧型小路.该市拟修建一条从通往海岸的观光专线，其中为上异于的一点，与平行，设.（1）证明：观光专线的总长度随的增大而减小；（2）已知新建道路的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍.当取何值时，观光专线的修建总成本最低？请说明理由.【答案】（1）见解析;（2）.【解析】试题分析：（1）利用扇形弧长公式求出，利用直角三角形边角关系求出，则总长为，求出为减函数，命题得证.（2）设单位成本为，则总成本为，，求出，求出，分两区间讨论的单调性，以证明为极小值点.试题解析：（1）由题意，，所以，又，所以观光专线的总长度，，因为当时，，所以在上单调递减，即观光专线的总长度随的增大而减小.（2）设翻新道路的单位成本为，则总成本，，，令，得，因为，所以，当时，，当时，.所以，当时，最小.答：当时，观光专线的修建总成本最低.【点睛】在一定条件下“成本最低”、“用料最省”、“面积最大”、“效率最高“等问题，在生产、生活中经常遇到，在数学上这类问题往往归结为求函数的最值问题.除了常见的求最值的方法外，还可用求导法求函数的最值，但无论采取何种方法都必须在函数的定义域内进行.18. 已知椭圆的离心率为，分别为左，右焦点，分别为左，右顶点，原点到直线的距离为.设点在第一象限，且轴，连接交椭圆于点.（1）求椭圆的方程；（2）若三角形的面积等于四边形的面积，求直线的方程；（3）求过点的圆方程（结果用表示）.【答案】（1）.（2）.（3）.【解析】试题分析：（1）由离心率为，得，，利用两点坐标可得的方程为，由圆心到时直线的距离公式求得，则.（2）设，，由两点的坐标可得直线的方程，与椭圆的方程联立可得的坐标（的横、纵坐标分别是的高），代入三角形的面积公式结合面积相等的条件即得关于的方程求出，最后再将代入PA方程即可得所求. （3）所求圆的圆心为的垂直平分线的交点，利用三点的坐标即可得的垂直平分线的方程，两个方程联立即可求得圆心的坐标，再代入圆的标准方程即可得所求.试题解析：（1）因为椭圆的，所以，，所以直线的方程为，又到直线的距离为，所以，所以，，所以椭圆的方程为.（2）设，，直线的方程为，由，整理得，解得：，则点的坐标是，因为三角形的面积等于四边形的面积，所以三角形的面积等于三角形的面积，，，则，解得.所以直线的方程为.（3）因为，，，所以的垂直平分线，的垂直平分线为，所以过三点的圆的圆心为，则过三点的圆方程为，即所求圆方程为.19. 已知数列满足，，是数列的前项的和.（1）求数列的通项公式；（2）若，，成等差数列，，18，成等比数列，求正整数的值；（3）是否存在，使得为数列中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）.（2），.（3）或14.【解析】试题分析：（1）当时，，，当时，由列是首项为2，公差为1的等差数列.（2）建立方程组，或.当，当无正整数解，综上，.（3）假设存在正整数，使得，，或，，，（舍去）或14.试题解析：（1）因为，，所以当时，，，当时，由和，两式相除可得，，即所以，数列是首项为2，公差为1的等差数列.于是，.（2）因为，30，成等差数列，，18，成等比数列，所以，于是，或.当时，，解得，当时，，无正整数解，所以，.（3）假设存在满足条件的正整数，使得，则，平方并化简得，，则，所以，或，或，解得：，或，，或，（舍去），综上所述，或14.20.已知函数，，其中.（1）求过点和函数的图像相切的直线方程；（2）若对任意，有恒成立，求的取值范围；（3）若存在唯一的整数，使得，求的取值范围.【答案】（1），.（2）.（3）.【解析】试题分析：（1）先设切点为，切线斜率为，再建立切线方程为，将代入方程可得，即，进而求得切线方程为：或.（2）将问题转化为对任意有恒成立，①当时，，利用导数工具求得，故此时；②当时，恒成立，故此时；③当时，，利用导数工具求得，故此时.综上：.（3）因为，由（2）知，当，原命题等价于存在唯一的整数成立，利用导数工具求得；当，原命题等价于存在唯一的整数成立，利用导数工具求得.综上：.试题解析：（1）设切点为，，则切线斜率为，所以切线方程为，因为切线过，所以，化简得，解得.当时，切线方程为，当时，切线方程为.（2）由题意，对任意有恒成立，①当时，，令，则，令得，，故此时.②当时，恒成立，故此时.③当时，，令，，故此时.综上：.（3）因为，即，由（2）知，令，则当，存在唯一的整数使得，等价于存在唯一的整数成立，因为最大，，，所以当时，至少有两个整数成立，所以.当，存在唯一的整数使得，等价于存在唯一的整数成立，因为最小，且，，所以当时，至少有两个整数成立，所以当时，没有整数成立，所有.综上：.数学（加试题）说明：解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21. 选修4-2：矩阵与变换已知矩阵，若矩阵属于特征值的一个特征向量为，属于特征值的一个特征向量为.求矩阵.【答案】.【解析】试题分析：先由和求得和求得，从而求得，可得.试题解析：由矩阵属于特征值的一个特征向量为可得，，即；得，由矩阵属于特征值的一个特征向量为，可得，即；得，解得.即，22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（是参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若圆的极坐标方程是，且直线与圆相交，求实数的取值范围.【答案】【解析】试题分析：由，得的方程为，求出圆心半径；由的参数方程得；与圆相交,则圆心到直线的距离，即可得.试题解析：由，得，所以，即圆的方程为，又由，消，得，由直线与圆相交，所以，即.【点睛】已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离与半径的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围.23. 某公司有四辆汽车，其中车的车牌尾号为0，两辆车的车牌尾号为6，车的车牌尾号为5，已知在非限行日，每辆车都有可能出车或不出车.已知两辆汽车每天出车的概率为，两辆汽车每天出车的概率为，且四辆汽车是否出车是相互独立的.该公司所在地区汽车限行规定如下：（1）求该公司在星期四至少有2辆汽车出车的概率；（2）设表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和，求的分布列和数学期望.【答案】（1）.（2）见解析.试题解析：（1）记该公司在星期四至少有两辆汽车出车为事件，则：该公司在星期四最多有一辆汽车出车.∴.答：该公司在星期四至少有两辆汽车出行的概率为.（2）由题意，的可能值为0，1，2，3，4；；；；..答：的数学期望为.【点睛】求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化为彼此互斥人事件的和；二是先求对立事件的概率，进而求所求事件的概率，本题词的第（1）题采用的是法二.24. 在四棱锥中，是等边三角形，底面是直角梯形，，，是线段的中点，底面，已知.（1）求二面角的正弦值；（2）试在平面上找一点，使得平面.【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：（1）为坐标原点，建立空间直角坐标系，即可得到各点的坐标及平面的法向量为，并求得，进而求出平面的法向量为，即可求出，最后求出.（2）设，根据平面法向量定义得，即， ,再利用建立方程求得，，进而求得点的坐标.试题解析：（1）因为底面，过作，则，以为坐标原点，方向为轴的正半轴，方向为轴的正半轴，方向为轴的正半轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量为，则，，解得，又平面的法向量为，所以，所以.（2）设点的坐标为，因为平面，所以，即，也即，，又，，，所以，所以得，，即，，，所以，所以点的坐标为.。

江苏省无锡市2018-2019学年高三第一学期期末复习数学试题含答案

33
时，可使市民活动广场及停车场的占地总面积最大.
8
18. 解：（1）据题意，椭圆 C 的离心率为
3 ，即 c
3
.①
2 a2
当直线 AP 经过点 F 时，直线 AP 的方程为 x y 1，即 ax cy ac 0 ， c a
(0
,
3
)
-

由原点 O 到直线 AF 的距离为
∴ GM OG sin 60 3 r . 2
又 BOC ， ∴ BC r sin ， OB r cos ，
∴ GF GM BC 3 r r sin ， 2
由对称性：
AB 2OB 2r cos HOA GOB 60 . ∴ HOG 60 ，则 OHG 为等边三角形， ∴ GH OG r . ∴ S矩形ABCD AB BC (2r cos ) r sin
3
，可知
ac

3
，
2
a2 c2 2
即
ac

3
.③
a2 c2 2
联立①②可得， a 2 ， c 3 ，故 b2 a2 c2 1 .
所以椭圆 C 的方程为 x2 y2 1. 4
（2）据题意，直线 AP 的斜率存在，且不为 0，设直线 AP 的斜率为 k ，则直线 AP 的方程为 y kx 1 ，
江苏省无锡市 2018—2019 学年第一学期期末复习试卷高三数学
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）
1．集合 A＝{ a2 ， a 1 ， 3 }，B＝{ a 3 ， 2a 1 ， a2 1 }，若 A B＝{﹣3}，则 a 的值是

江苏省无锡市普通高中2018届高三上学期期末考试数学试题含答案

无锡市普通高中2017年秋学期高三期终调研考试试卷数学一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．.） 1.已知集合{1,3}A =，{1,2,}B m =，若A B B =U ，则实数m = ．2.若复数312a ii+-（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a = ． 3.某高中共有学生2800人，其中高一年级960人，高三年级900人，现采用分层抽样的方法，抽取140人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为．4.已知,{1,2,3,4,5,6}a b ∈，直线1:210l x y +-=，2:30l ax by -+=，则直线12l l ⊥的概率为．5.根据如图所示的伪代码，当输入a 的值为3时，最后输出的S 的值为．6.直三棱柱111ABC A B C -中，已知AB BC ⊥，3AB =，4BC =，15AA =，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为．7.已知变量,x y 满足242x x y x y c ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，目标函数3z x y =+的最小值为5，则c 的值为．8.函数cos(2)(0)y x ϕϕπ=+<<的图像向右平移2π个单位后，与函数sin(2)3y x π=-的图像重合，则ϕ= ．9.已知等比数列{}n a 满足2532a a a =，且4a ，54，72a 成等差数列，则12n a a a ⋅⋅⋅L L 的最大值为．10.过圆2216x y +=内一点(2,3)P-作两条相互垂直的弦AB 和CD ，且AB CD =，则四边形ACBD 的面积为．11.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>与椭圆2211612x y +=的焦点重合，离心率互为倒数，设12,F F 分别为双曲线C 的左，右焦点，P 为右支上任意一点，则212PF PF 的最小值为．12.在平行四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，3A π∠=，M 为DC 的中点，N 为平面ABCD 内一点，若||||AB NB AM AN -=-u u u r u u u r u u u u r u u u r，则AM AN ⋅=u u u u r u u u r ．13.已知函数()f x =2212211,211log (),22x x x x x x ⎧+-≤-⎪⎪⎨+⎪>-⎪⎩，2()22g x x x =---.若存在a R ∈，使得()()0f a g b +=，则实数b 的取值范围是．14.若函数2()(1)||f x x x a =+-在区间[1,2]-上单调递增，则实数a 的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.如图，ABCD 是菱形，DE ⊥平面ABCD ，//AF DE ，2DE AF =.（1）求证：AC ⊥平面BDE ；（2）求证：//AC 平面BEF .16.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3cos 4A =，2C A =. （1）求cosB 的值；（2）若24ac =，求ABC ∆的周长.17.如图，点C 为某沿海城市的高速公路出入口，直线BD 为海岸线，3CAB π∠=，AB BD ⊥，»BC是以A 为圆心，半径为1km 的圆弧型小路.该市拟修建一条从C 通往海岸的观光专线»CPPQ -，其中P 为»BC上异于,B C 的一点，PQ 与AB 平行，设PAB θ∠=.（1）证明：观光专线»CPPQ -的总长度随θ的增大而减小；（2）已知新建道路PQ 的单位成本是翻新道路»CP 的单位成本的2倍.当θ取何值时，观光专线»CPPQ -的修建总成本最低？请说明理由.18.已知椭圆2222:1(0,0)x y E a b a b+=>>的离心率为22，12,F F 分别为左，右焦点，,A B 分别为左，右顶点，原点O 到直线BD 的距离为63.设点P 在第一象限，且PB x ⊥轴，连接PA 交椭圆于点C .（1）求椭圆E 的方程；（2）若三角形ABC 的面积等于四边形OBPC 的面积，求直线PA 的方程；（3）求过点,,B C P 的圆方程（结果用t 表示）.19..（1（218（3不存在，请说明理由.20.（1（2（3.数学（加试题）说明：解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21.选修4-2：矩阵与变换22.选修4-4：坐标系与参数方程围.23.6尾号为5，已知在非限行日，每辆车都有可能出车或不出车..该公司所在地区汽车限行规定如下：（1）求该公司在星期四至少有2辆汽车出车的概率；（2）设ξ表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和，求ξ的分布列和数学期望.24.在四棱锥P ABCD -中，ABP ∆是等边三角形，底面ABCD 是直角梯形，90DAB ∠=︒，//AD BC ，E 是线段AB 的中点，PE ⊥底面ABCD ，已知22DA AB BC ===.（1）求二面角P CD AB --的正弦值；（2）试在平面PCD 上找一点M ，使得EM ⊥平面PCD .试卷答案一、填空题1.32.63.474.1125.216. 50π7.5 8.6π9.1024 10.19 11.8 12.6 13. (2,0)- 14. 7(,1][,)2-∞-+∞U二、简答题（本大题共6小题，共90分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.解：（1）证明：因为DE ⊥平面ABCD ，所以DE AC ⊥. 因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，因为DE BD D ⋂= 所以AC ⊥平面BDE .（2）证明：设AC BD O =I ，取BE 中点G ，连结,FG OG ，所以，1//2OG DE 且12OG DE =. 因为//AF DE ，2DE AF =，所以//AF OG 且AF OG =，从而四边形AFGO 是平行四边形，//FG AO . 因为FG ⊂平面BEF ，AO ⊄平面BEF ，所以//AO 平面BEF ，即//AC 平面BEF .16.解：（1）因为3cos 4A =，所以2cos cos 22cos 1C A A ==-2312()148=⨯-=.在ABC ∆中，因为3cos 4A =，所以7sin 4A =，（215.17.解：（1所以观光专线的总长度.（2..18.解：（1（2所以直线PA 的方程为220x y -+=.（3）因为(2,0)B ，(2,)P t ，2224224(,)44t tC t t -++，所以BP 的垂直平分线2ty =， BC 的垂直平分线为22224t t y x t =-+，所以过,,B C P 三点的圆的圆心为228(,)22(4)t tt ++，则过,,B C P 三点的圆方程为22228()()22(4)t t x y t +-+-+42222(4)4t t t =++，即所求圆方程为22222824t x x y t +-++2804ty t -+=+.19.解：（1）因为121111(1)(1)(1)n n a a a a ---=L ，*n N ∈，所以当1n =时，11111a a -=，12a =，当2n ≥时，由1211(1)(1)a a --L 11(1)n n a a -=和12111111(1)(1)(1)n n a a a a -----=L ，两式相除可得，111n n na a a --=，即11(2)n n a a n --=≥ 所以，数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列. 于是，1n a n =+.（23018（3，14.20.（1（2①当(,2)x ∈-∞时，max (32)(32)[]22x x e x e x a a x x --≥⇒≥--，令(32)()2x e x F x x -=-，则22(38)'()(2)x e x x F x x -=-，令'()0F x =得0x =，max ()(0)1F x F ==，故此时1a ≥.②当2x =时，恒成立，故此时a R ∈.③当(2,)x ∈+∞时，min (32)(32)[]22x x e x e x a a x x --≤⇒≤--，令8'()03F x x =⇒=，83min 8()()93F x F e ==，故此时839a e ≤.综上：8319a e ≤≤. （3）因为()()f x g x <，即(32)(2)xe x a x -<-，由（2）知83(,1)(9,)a e ∈-∞+∞U ，令(32)()2x e x F x x -=-，则数学Ⅱ（附加题）21.22.即圆C 的方程为22(2)4x y +-=，又由1232x t y t m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消t ，得30x y m -+=，由直线l 与圆C 相交，所以|2|22m -<，即26m -<<. 23.解：（1）记该公司在星期四至少有两辆汽车出车为事件A ，则A ：该公司在星期四最多有一辆汽车出车2211()()()42P A =122311()()()442C +1221119()()()22464C +=. ∴55()1()64P A P A =-=. 答：该公司在星期四至少有两辆汽车出行的概率为5564. （2）由题意，ξ的可能值为0，1，2，3， 422111(0)()()2464P ξ===； 122111(1)()()()224P C ξ==1223111()()()4428C +=； 2211(2)()()24P ξ==22122311()()()422C ++123()4C 111()432=； 212131(3)()C ()()244P ξ==2122313()()428C +=； 22319(4)()()4264P ξ===.24.解：（1（2。

2018无锡市一模数学试题含答案

2018无锡市一模数学试题含答案设F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，P为右支上任意一点，则PF 21PF 2的最小值为________． 12. 在平行四边形ABCD 中，AB ＝4，AD＝2，∠A ＝π3，M 为DC 的中点，N 为平面ABCD 内一点，若|AB →－NB →|＝|AM →－AN →|，则AM →·AN→＝________．13. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1x 2， x ≤－12，log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 2， x>－12，g(x)＝－x 2－2x －2.若存在a ∈R ，使得f (a )＋g (b )＝0，则实数b 的取值范围是______________．14. 若函数f(x)＝(x ＋1)2|x －a|在区间[－1，2]上单调递增，则实数a 的取值范围是__________________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，已知四边形ABCD 是菱形，DE ⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝2AF.(1) 求证：AC⊥平面BDE；(2) 求证：AC∥平面BEF.16. (本小题满分14分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos A＝34，C＝2A.(1) 求cos B的值；(2) 若ac＝24，求△ABC的周长．如图，点C为某沿海城市的高速公路出入口，直线BD为海岸线，∠CAB＝π3，AB⊥BD，BC︵是以A为圆心，1km为半径的圆弧形小路．该市拟修建一条从点C通往海岸的观光专线CP︵PQ，其中P为BC︵上异于点B，C的一点，PQ与AB平行，设∠PAB＝θ.(1) 证明：观光专线CP︵PQ的总长度随θ的增大而减小；(2) 已知新建道路PQ的单位成本是翻新道路CP︵的单位成本的2倍．当θ取何值时，观光专线CP︵PQ的修建总成本最低？请说明理由．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为22，F 1，F 2分别为左、右焦点，A ，B 分别为左、右顶点，原点O 到直线BD 的距离为63.设点P 在第一象限，且PB ⊥x 轴，连结PA 交椭圆于点C.(1) 求椭圆E 的方程；(2) 若三角形ABC 的面积等于四边形OBPC 的面积，求直线PA 的方程；(3) 求过点B ，C ，P 的圆的方程(结果用t 表示)．已知数列{a n }满足⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－1a 1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－1a 2…⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－1a n ＝1a n，n ∈N *，S n 是数列{a n }的前n 项和． (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 若a p ，30，S q 成等差数列，a p ，18，S q 成等比数列，求正整数p ，q 的值；(3) 是否存在k ∈N *，使得a k a k ＋1＋16为数列{a n }中的项？若存在，求出所有满足条件的k 的值；若不存在，请说明理由．已知函数f(x)＝e x(3x－2)，g(x)＝a(x－2)，其中a，x∈R.(1) 求过点(2，0)且和函数y＝f(x)的图象相切的直线方程；(2) 若对任意x∈R，有f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3) 若存在唯一的整数x0，使得f(x0)<g(x0)，求实数a的取值范围．2018届高三年级第一次模拟考试(八)数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．B . [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 4a b ，若矩阵A 属于特征值λ1的一个特征向量为a 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2，属于特征值λ2的一个特征向量为a 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－3，求矩阵A.C. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝32t ＋m (t 是参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若圆C 的极坐标方程是ρ＝4sin θ，且直线l 与圆C 相交，求实数m 的取值范围．22. (本小题满分10分)某公司有A，B，C，D四辆汽车，其中A 车的车牌尾号为0，B，C两辆车的车牌尾号为6，D车的车牌尾号为5，已知在非限行日，每辆车都有可能出车或不出车．已知A，D两辆汽车每天出车的概率为34，B，C两辆汽车每天出车的概率为12，且四辆汽车是否出车是相互独立的．该公司所在地区汽车限行规定如下：汽车车牌尾号车辆限行日0和5 星期一1和6 星期二2和7 星期三3和8 星期四4和9 星期五(1) 求该公司在星期四至少有两辆汽车出车的概率；(2) 设ζ表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和，求ζ的分布列和数学期望．23. (本小题满分10分)如图，在四棱锥PABCD中，△ABP是等边三角形，底面ABCD是直角梯形，∠DAB＝90°，AD∥BC，E是线段AB的中点，PE⊥底面ABCD，已知DA＝AB＝2BC＝2.(1) 求二面角PCDA的正弦值；(2) 试在平面PCD上找一点M，使得EM⊥平面PCD.2018届无锡高三年级第一次模拟考试数学参考答案1. 32. 63. 474. 112 5. 21 6. 50π 7.5 8. π69. 1 024 10. 19 11. 8 12. 613. (－2，0) 14. (－∞，－1]∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫72，＋∞15. 解析：(1) 因为DE ⊥平面ABCD ，所以DE ⊥AC. (2分) 因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD.(4分) 因为DE ∩BD ＝D ，(5分) 所以AC ⊥平面BDE.(6分)(2) 设AC ∩BD ＝O ，取BE 的中点G ，连结FG ，OG ，所以OG ∥12DE 且OG ＝12DE.(8分)因为AF ∥DE ，DE ＝2AF ，所以AF ∥OG 且AF ＝OG ，从而四边形AFGO 是平行四边形，FG ∥AO. (10分)因为FG ⊂平面BEF ，AO ⊄平面BEF ，所以AO ∥平面BEF ，即AC ∥平面BEF. (14分)16. 解析：(1) 因为cos A ＝34，所以cos C ＝cos 2A ＝2cos 2A －1＝2×⎝⎛⎭⎪⎪⎫342－1＝18. (3分) 在△ABC 中，因为cos A ＝34，所以sin A ＝74.(4分) 因为cos C ＝18，所以sin C ＝1－⎝⎛⎭⎪⎪⎫182＝378，(5分)所以cos B ＝－cos (A ＋B)＝sin A sin B －cos A cos B ＝916. (7分)(2) 根据正弦定理a sin A ＝csin C，所以a c ＝23.又ac ＝24，所以a ＝4，c ＝6.(10分)b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝25，b ＝5. 所以△ABC 的周长为15. (14分)17. 解析：(1) 由题意，∠CAP ＝π3－θ，所以CP ︵＝π3－θ，又PQ ＝AB －AP cos θ＝1－cos θ，所以观光专线的总长度f (θ)＝π3－θ＋1－cos θ＝－θ－cos θ＋π3＋1，0<θ<π3.(3分)因为当0<θ<π3时，f ′(θ)＝－1＋sin θ<0，(5分)所以f(θ)在⎝⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递减，即观光专线CP ︵PQ 的总长度随θ的增大而减小．(6分)(2) 设翻新道路的单位成本为a(a>0)，则总成本g(θ)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＋2－2cos θ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－θ－2cos θ＋π3＋2，0<θ<π3，(8分)g ′(θ)＝a(－1＋2sin θ)．(9分) 令g′(θ)＝0，得sin θ＝12.因为0<θ<π3，所以θ＝π6.(10分)当0<θ<π6时，g ′(θ)<0，当π6<θ<π3时，g ′(θ)>0，(12分) 所以当θ＝π6时，g (θ)最小．(13分)故当θ＝π6时，观光专线CP ︵PQ 的修建总成本最低. (14分)18. 解析：(1) 因为椭圆E ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，所以a 2＝2c 2，b ＝c ，(1分)所以直线DB 的方程为y ＝－22x ＋b ，又O 到直线BD 的距离为63，所以b1＋12＝63，所以b ＝1，a ＝2，(3分)所以椭圆E的方程为x22＋y2＝1.(4分)(2) 设P(2，t)，t>0，直线PA的方程为y＝t22(x＋2)，(5分)由⎩⎪⎨⎪⎧x22＋y2＝1，y＝t22（x＋2），整理得(4＋t2)x2＋22t2x＋2t2－8＝0，解得x C＝42－2t24＋t2，则点C的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫42－2t24＋t2，4t4＋t2，(7分)因为三角形ABC的面积等于四边形OBPC 的面积，所以三角形AOC的面积等于三角形BPC的面积，S△AOC＝12×2×4t4＋t2＝22t4＋t2，S △PBC ＝12×t ×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－42－2t 24＋t 2＝2t 34＋t2，则2t 34＋t 2＝22t4＋t 2，解得t ＝ 2.(9分) 所以直线PA 的方程为x －2y ＋2＝0. (10分)(3) 因为B(2，0)，P(2，t)，C(42－2t 24＋t 2，4t4＋t2)，所以BP 的垂直平分线为y ＝t 2，BC 的垂直平分线为y ＝2t 2x －2tt 2＋4，所以过B ，C ，P 三点的圆的圆心为(t 2＋82（t 2＋4），t2)，(12分) 则过B ，C ，P 三点的圆方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －t 2＋82（t 2＋4）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －t 22＝t 42（t 2＋4）2＋t 24，(14分)即所求圆方程为x 2－2t 2＋82t 2＋4x ＋y 2－ty ＋8t 2＋4＝0.(16分) 19. 解析：(1) 因为⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－1a 1⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－1a 2…⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－1a n ＝1a n，n ∈N *，所以当n ＝1时，1－1a 1＝1a 1，a 1＝2，(1分)当n ≥2时，由⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－1a 1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－1a 2…⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－1a n ＝1a n和⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－1a 1⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－1a 2…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a n －1＝1a n －1，两式相除可得1－1a n ＝a n －1a n ，即a n －a n －1＝1(n ≥2)，所以数列{a n }是首项为2，公差为1的等差数列.于是，a n ＝n ＋1. (4分)(2) 因为a p ，30，S q 成等差数列，a p ，18，S q 成等比数列，所以⎩⎨⎧a p ＋S q ＝60，a p S q ＝182，于是⎩⎨⎧a p ＝6，S q ＝54或⎩⎨⎧a p ＝54，S q ＝6.(7分)当⎩⎨⎧a p ＝6，S q ＝54时，⎩⎪⎨⎪⎧p ＋1＝6，（q ＋3）q 2＝54，解得⎩⎨⎧p ＝5，q ＝9，当⎩⎨⎧a p ＝54，S q ＝6时，⎩⎪⎨⎪⎧p ＋1＝54，（q ＋3）q 2＝6，无正整数解，所以p ＝5，q ＝9.(10分)(3) 假设存在满足条件的正整数k ，使得a k a k ＋1＋16＝a m (m ∈N *)，则（k ＋1）（k ＋2）＋16＝m ＋1，平方并化简得(2m ＋2)2－(2k ＋3)2＝63，(11分)则(2m ＋2k ＋5)(2m －2k －1)＝63，(12分)所以⎩⎨⎧2m ＋2k ＋5＝63，2m －2k －1＝1或⎩⎨⎧2m ＋2k ＋5＝21，2m －2k －1＝3或⎩⎨⎧2m ＋2k ＋5＝9，2m －2k －1＝7，(4分) 解得m ＝15，k ＝14或m ＝5，k ＝3或m ＝3，k ＝－1(舍去)，综上所述，k ＝3或14. (16分)20. 解析：(1) 设切点为(x 0，y 0)，f ′(x)＝e x (3x ＋1)，则切线斜率为e x 0(3x 0＋1)，所以切线方程为y －y 0＝e x 0(3x 0＋1)(x －x 0)，因为切线过(2，0)，所以－e x 0(3x 0－2)＝e x 0(3x 0＋1)(2－x 0)，化闻得3x 20－8x 0＝0，解得x 0＝0或x 0＝83. (3分)当x 0＝0时，切线方程为y ＝x －2，(4分) 当x 0＝83时，切线方程为y ＝9e 83x －18e 83. (5分)(2) 由题意，对任意x ∈R 有e x(3x －2)≥a (x－2)恒成立，①当x ∈(－∞，2)时，a ≥e x（3x －2）x －2⇒a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤e x （3x －2）x －2max，令F (x )＝e x （3x －2）x －2，则F ′(x )＝e x（3x 2－8x ）（x －2）2，令F ′(x )＝0得x ＝0，x (－∞，0) 0 (0，2) F ′(x ) ＋ 0 － F (x )单调递增极大值单调递减F (x )max ＝F (0)＝1，故此时a ≥1.(7分) ②当x ＝2时，恒成立，故此时a ∈R.(8分) ③当x ∈(2，＋∞)时，a ≤e x（3x －2）x －2⇒a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤e x （3x －2）x －2min，令F ′(x )＝0⇒x ＝83，F (x )min ＝F ⎝⎛⎭⎪⎪⎫83＝9e 83，故此时a ≤9e 83.综上1≤a ≤9e 83.(10分) (3) 因为f (x )<g (x )，即e x (3x －2)<a (x －2)，由(2)知a ∈(－∞，1)∪⎝⎛⎭⎪⎫9e 83，＋∞，令F (x )＝e x （3x －2）x －2，则(12分)当x ∈(－∞，2)，存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<g (x 0)，等价于a <e x（3x －2）x －2存在唯一的整数x 0成立，因为F (0)＝1最大，F (－1)＝53e ，F (1)＝－1e ，所以当a <53e时，至少有两个整数成立，所以a ∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫53e ，1. (14分)当x ∈(2，＋∞)，存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<g (x 0)，等价于a >e x （3x －2）x －2存在唯一的整数x 0成立，因为F ⎝⎛⎭⎪⎪⎫83＝9e 83；最小，且F (3)＝7e 3，F (4)＝5e 4，所以当a >5e 4时，至少有两个整数成立，所以当a ≤7e 3时，没有整数成立，所有a ∈(7e 3，5e 4].综上：a ∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫53e ，1∪(7e 3，5e 4]. (16分)21. 解析：由矩阵A 属于特征值λ1的一个特征向量为a 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2可得， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34a b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2＝λ1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2，即⎩⎨⎧3－8＝λ1，a －2b ＝－2λ1，(2分)得a ＝2b ＝10，由矩阵A 属于特征值λ2的一个特征向量为a 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－3，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤34a b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－3＝λ2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－3，即⎩⎨⎧6－12＝2λ2，2a －3b ＝－3λ2，(6分) 得2a －3b ＝9，解得⎩⎨⎧a ＝－12，b ＝－11，即A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－12－11，(10分) 22. 解析：由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，所以x 2＋y 2＝4x ，即圆C 的方程为x 2＋(y －2)2＝4，(3分)又由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝32t ＋m ，消去t ，得3x －y ＋m ＝0，(6分)由直线l 与圆C 相交，所以|m －2|2<2，即－2<m<6.(10分)23. 解析：(1) 记该公司在星期四至少有两辆汽车出车为事件A ，则A 为该公司在星期四最多有一辆汽车出车．P(A)＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫142⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋C 12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫34⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋C 12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫142＝964.∴ P(A)＝1－P(A)＝5564.(3分)答：该公司在星期四至少有两辆汽车出行的概率为5564.(2) 由题意，ζ的可能值为0，1，2，3，4，P (ζ＝0)＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫142＝164；P (ζ＝1)＝C 12⎝⎛⎭⎪⎪⎫12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫142＋C 12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫34·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＝18；P (ζ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫142＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫342⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋C 12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122C 12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫34⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14＝132；P (ζ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122C 12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫34⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫342C 12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＝38；P (ζ＝4)＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫342⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＝964.(8分)ζ 0 1 2 3 4 P 16418113238964E (ζ)＝18＋2×1132＋3×38＋4×964＝52.答：ζ的数学期望为52.(10分)24. 解析：(1)因为PE ⊥底面ABCD ，过点E 作ES ∥BC ，则ES ⊥AB ，以E 为坐标原点，EB 方向为x 轴的正半轴， ES 方向为y 轴的正半轴，EP 方向为z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，则E(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，A(－1，0，0)，D(－1，2，0)，P(0，0，3)，CD→＝(－2，1，0)，PC →＝(1，1，－3)．(2分)设平面PCD 的一个法向量为n(x ，y ，z )，则n·CD→＝－2x ＋y ＝0， n·PC →＝x ＋y －3z ＝0，解得n ＝(1，2，3)，因为平面ABCD 的一个法向量为m ＝(0，0，1)，(3分)所以cos 〈n ，m 〉＝n·m |n||m|＝31＋4＋3＝64，(4分)所以sin 〈n ，m 〉＝104.(5分) (2) 设点M 的坐标为(x 1，y 1，z 1)．因为EM ⊥平面PCD ，所以EM →∥n ，即x 11＝y 12＝z 13，即y 1＝2x 1，z 1＝3x 1，(6分)因为PM→＝(x 1，y 1，z 1－3)，PD →＝(－1，2，－3)，PC→＝(1，1，－3)，所以PM →＝λPC →＋μPD →＝(λ－μ，λ＋2μ，－3λ－3μ)，所以x 1＝λ－μ，y 1＝λ＋2μ＝2x 1＝2(λ－μ)，即λ＝3μ，(8分)z 1－3＝－3λ－3μ，λ＝12，所以μ＝16，(9分)所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，56，33.(10分)。

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江苏省无锡市2018届高三第一次模拟考试
数学参考答案及评分标准
1. 3
2. 6
3. 47
4.
5. 21
6.50π
7. 5
8.
9. 1 02410. 1911. 812. 613. (-2,0)
14. (-∞,-1]∪
15. (1) 因为DE⊥平面ABCD,
(第15题)
所以DE⊥AC.(2分) 因为四边形ABCD是菱形,
所以AC⊥BD.(4分) 因为DE∩BD=D,
所以AC⊥平面BDE.(6分) (2) 如图,设AC∩BD=O,取BE的中点G,连接FG,OG,
所以OG∥DE且OG=DE.(8分)
因为AF∥DE,DE=2AF,所以AF∥OG且AF=OG,
从而四边形AFGO是平行四边形,FG∥AO.(10分) 因为FG⊂平面BEF,AO⊄平面BEF,
所以AO∥平面BEF,即AC∥平面BEF.(14分) 16. (1) 因为cos A=,
所以cos C=cos2A=2cos2A-1=2×-1=.(3分) 在△ABC中,因为cos A=,所以sin A=.(4分) 因为cos C=,所以sin C=-=, (5分) 所以cos B=-cos(A+B)=sin A sin B-cos A cos B=.(7分) (2) 根据正弦定理=,得=.
又ac=24,所以a=4,c=6, (10分) b2=a2+c2-2ac cos B=25, b=5,
所以△ABC的周长为15.(14分) 17. (1) 由题意知∠CAP=-θ,所以=-θ,
又PQ=AB-AP cosθ=1-cosθ,
所以观光专线的总长度为
f(θ)=-θ+1-cosθ=-θ-cosθ++1,0<θ<.(3分) 因为当0<θ<时,f'(θ)=-1+sinθ<0, (5分) 所以f(θ)在上单调递减,
即观光专线-PQ的总长度随θ的增大而减小.(6分) (2) 设翻新道路的单位成本为a(a>0),
则总成本g(θ)=a--=a--,0<θ<, (8分) g'(θ)=a(-1+2sinθ), (9分) 令g'(θ)=0,得sinθ=,
因为0<θ<,所以θ=.(10分) 当0<θ<时,g'(θ)<0,当<θ<时,g'(θ)>0.(12分) 所以当θ=时,g(θ)最小.(13分) 答:当θ=时,观光专线-PQ的修建总成本最低.(14分) 18. (1) 因为椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,所以a2=2c2,b=c, (1分) 所以直线DB的方程为y=-x+b.
又O到直线BD的距离为,所以=,
所以b=1,a=(3分) 所以椭圆E的方程为+y2=1.(4分) (2) 设P(,t),t>0,
直线PA的方程为y=(x+), (5分) 由
整理得(4+t2)x2+2t2x+2t2-8=0,
解得x C=-,则点C的坐标是-,.(7分)
(第18题)
因为△ABC的面积等于四边形OBPC的面积,所以△AOC的面积等于△BPC的面积,
S△AOC=××=,
S△PBC=×t×--=,
则=,解得t=.(9分) 所以直线PA的方程为x-2y+=0.(10分) (3) 因为B(,0),P(,t),C-,
所以BP的垂直平分线为y=,
BC的垂直平分线为y=x-,
所以过B,C,P三点的圆的圆心为, (12分) 则过B,C,P三点的圆的方程为+-=+, (14分) 即所求圆的方程为x2-x+y2-ty+=0.(16分) 19. (1) 因为--…-=,n∈N*,
所以当n=1时,1-=,a1=2, (1分) 当n≥2时,
由--…-=和
--…-
-=
-
,
两式相除可得,1-=-,
即a n-a n-1=1(n≥2),
所以数列{a n}是首项为2,公差为1的等差数列,
于是a n=n+1.(4分) (2) 因为a p,30,S q成等差数列,a p,18,S q成等比数列,所以
于是或(7分) 当时,解得
当时,无正整数解,
所以p=5,q=9.(10分) (3) 假设存在满足条件的正整数k,使得=a m(m∈N*),
则=m+1,
平方并化简得,(2m+2)2-(2k+3)2=63, (11分) 则(2m+2k+5)(2m-2k-1)=63, (12分) 所以
--或--或--(14分) 解得m=15,k=14或m=5,k=3,m=3,k=-1(舍去),
综上所述,k=3或14.(16分) 20. (1) 设切点为(x0,y0),f'(x)=e x(3x+1),则切线斜率为(3x0+1),
所以切线的方程为y-y0=(3x0+1)(x-x0).
因为切线过点(2,0),
所以-(3x0-2)=(3x0+1)(2-x0),
化简得3-8x0=0,解得x0=0或.(3分) 当x0=0时,切线的方程为y=x-2, (4分)
当x0=时,切线的方程为y=9x-18.(5分) (2) 由题意,对任意的x∈R,有e x(3x-2)≥a(x-2)恒成立,
①当x∈(-∞,2)时,a≥-
-⇒a≥-
-
,
令F(x)=-
-,则F'(x)=-
-
,
令F'(x)=0得x=0,
当x变化时,F(x),F'(x)
所以F(x)max=F(0)=1,故此时a≥1.(7分) ②当x=2时,恒成立,故此时a∈R.(8分)
③当x∈(2,+∞)时,a≤-
-⇒a≤-
-
,
令F'(x)=0,得x=,
当x变化时,F(x),F'(x)
所以F(x)min=F=9,故此时a≤9.
综上,1≤a≤9.(10分) (3) 因为f(x)<g(x),即e x(3x-2)<a(x-2),
由(2)知a∈(-∞,1)∪(9,+∞),
令F(x)=-
-
,
则当x变化时,F(x),F'(x)
(12分) 当x∈(-∞,2),存在唯一的整数x0使得f(x0)<g(x0),
等价于a<-
-
存在唯一的整数x0成立.
因为F(0)=1最大,F(-1)=,F(1)=-,所以当a<时,有两个整数成立,
所以a∈.(14分) 当x∈(2,+∞),存在唯一的整数x0使得f(x0)<g(x0),
等价于a>-
-
存在唯一的整数x0成立.
因为F=9最小,且F(3)=7e3,F(4)=5e4,所以当a>5e4时,有两个整数成立,
所以当a≤7e3时,没有整数成立,所有a∈(7e3,5e4].
综上,a∈∪(7e3,5e4].(16分)
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数学附加题参考答案及评分标准
21.由矩阵A属于特征值λ1的一个特征向量为α1=-可得
-=λ1
-,即
-
--
(2分)
得a=2b=10.(4分) 由矩阵A属于特征值λ2的一个特征向量为α2=-,
可得-=λ2-,即-
--
(6分)
得2a-3b=9, (8分)
解得-
-
即A=--.(10分)
22.由ρ=4sinθ,得ρ2=4ρsinθ,所以x2+y2=4x,
即圆C的方程为x2+(y-2)2=4.(3分) 又由消去t,得x-y+m=0, (6分) 由直线l与圆C相交,
得-<2,即-2<m<6.(10分)
23. (1) 记该公司在星期四至少有两辆汽车出车为事件A,则为该公司在星期四最多有一辆汽车出车,
P()=++=,
所以P(A)=1-P(=.(3分) 答:该公司在星期四至少有两辆汽车出车的概率为.
(2) 由题意,ξ的可能取值为0,1,2,3,4,
P(ξ=0)==;
P(ξ=1)=+·=;
P(ξ=2)=++·=;
P(ξ=3)=+=;
P(ξ=4)==.(8分) 所以ξ的分布列为
故E(ξ)=+2×+3×+4×=.
答:ξ的数学期望为.(10分) 24. (1) 因为PE⊥底面ABCD,过点E作ES∥BC,则ES⊥AB.
以E为坐标原点,EB方向为x轴的正半轴,ES方向为y轴的正半轴,EP方向为z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz,
则E(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),A(-1,0,0),
D(-1,2,0),P(0,0,),
=(-2,1,0),=(1,1,-).(2分) 设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),
则n·=-2x+y=0,
n·=x+y-z=0,
令x=1,解得n=(1,2,).
又平面ABCD的法向量为m=(0,0,1), (3分)
所以cos<n,m>===, (4分)
所以sin<n,m>=.(5分)
(第24题)
(2) 设M点的坐标为(x1,y1,z1),
因为EM⊥平面PCD,
所以∥n,即==,
也即y1=2x1,z1=x1.(6分) 又=(x1,y1,z1-=(-1,2,-),=(1,1,-
所以=λ+μ=(λ-μ,λ+2μ,-λ-μ),
解得x1=λ-μ,y1=λ+2μ=2x1=2(λ-μ),即λ=3μ, (8分) z1-=-λ-μ,λ=,所以μ=, (9分)
所以点M的坐标为.(10分)。

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