NSD随机变量加权和的强收敛性及应用

NSD随机变量加权和的强收敛性及应用
黄翔;汪春华
【摘要】文章主要研究负超可加相依(negatively superadditive dependent,NSD)随机变量序列的强收敛性.利用NSD随机变量序列的Rosenthal 型极大值不等式建立了NSD随机变量序列加权和的完全收敛性,并且在同样的条件下得到了较完全收敛性更强的完全矩收敛性的结果,所得结果推广并改进了负相协(negatively associated,NA)序列相应的结果.作为主要结果的应用,该文进一步得到了关于NSD随机变量加权和的强大数律并给出了数值模拟.
【期刊名称】《合肥工业大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2018(041)011
【总页数】6页(P1579-1584)
【关键词】完全收敛性;完全矩收敛性;加权和;负超可加相依(NSD)随机变量;强大数律
【作者】黄翔;汪春华
【作者单位】安徽中医药大学医药信息工程学院,安徽合肥 230012;安徽中医药大学医药信息工程学院,安徽合肥 230012
【正文语种】中文
【中图分类】O211.4
在古典概率论中,统计学家们大多假设随机变量之间是相互独立的关系。

然而这种
假设在实际应用中是不合理的,各种数据之间难免会存在各种相依关系。

因此,统计学家们相继提出各种相依随机变量的概念,其中应用最为广泛的是文献[1]所提出的如下负相协随机变量。

定义1 称随机变量X1,X2,…,Xn是负相协(negatively associated，NA)的,如果对{1,2,…,n}的任意非空不交子集A与B都有:
Cov(f1(Xi,i∈A),f2(Xi,i∈B))≤0,
其中,f1与f2是使上式有意义且对各变元单调非降的函数。

若对于任意
n≥2,X1,X2,…,Xn是NA的,则称随机变量序列{Xn：n≥1}是NA的。

基于超可加函数的概念[2],文献[3]提出了比NA随机变量更弱的一种相依变量,称之为负超可加相依(negatively superadditive dependent,NSD)随机变量,其定义如下:
定义2 若
则称随机变量X1,X2,…,Xn为NSD的,其中,相互独立,且对每个与Xi有相同的分布,φ是使得上式期望存在的超可加函数。

若对任意n≥1,X1,X2,…,Xn为NSD的,则称随机变量序列{Xn:n≥1}是NSD的。

完全收敛性[4]。

若对任意的ε>0及常数C,都有则称随机变量序列{Xn:n≥1}完全收敛于常数C。

由B-C引理知,完全收敛性可以推出在几乎必然(a.s.)意义下,
Xn→C (n→∞)。

假设{Xn:n≥1}为随机变量序列,且an>0,bn>0,q>0。

文献[5]引入了下列关于完全矩收敛性的概念:
<∞, ∀ε>0。

通过一些简单的计算可知,完全矩收敛可以得到完全收敛。

因此,完全矩收敛是比完
全收敛更强的一种收敛性质。

文献[6]建立了下述关于NA随机变量加权和的完全收敛性的结果。

定理1[6] 令{X,Xn:n≥1}为同分布的NA随机变量序列,{ani:1≤i≤n,n≥1}为常数阵列,且存在0<α≤2,使得:
(1)
记bn=n1/α(log n)1/γ,其中,γ>0。

假设当1<α≤2时,EX=0。

若
(2)
则对任意的ε>0,都有：
(3)
由上述结果可以得到随机变量加权和的强大数律,因此很多文献都对其进行了推广。

如文献[7-9]分别将α>γ、α=γ、α<γ的情形推广到ρ*-混合随机变量序列。

本文将定理1的结果推广到NSD随机变量序列,并且在相同的条件下进一步得到更强的完全矩收敛性的结果。

作为主要结果的应用,本文得到了关于NSD随机变量加权和的强大数律并给出数值模拟。

本文引用如下记号:C代表正常数,其值在不同的地方可以取不同,log x=ln
max(x,e),I(A)为事件A的示性函数,a+=aI(a≥0)且a+=-aI(a<0)。

1 引理
引理1[3] 令{Xn:n≥1}为均值为0的NSD随机变量序列。

假设存在q≥2,使得对所有的i≥1都有E|Xi|q<∞。

则
引理2[9] 令{ani:1≤i≤n,n≥1}为满足(1)式的常数阵列,其中α>0,X为随机变量。

令bn=n1/α(log n)1/γ,其中,常数γ>0。

则
引理3[9] 设{ani:1≤i≤n,n≥1}为满足(1)式的常数阵列,X为随机变量。

令
bn=n1/α(log n)1/γ,其中,α>0,γ>0。

若q>max(α,γ),则
2 主要结果及证明
定理2 令{X,Xn:n≥1}为一同分布的NSD随机变量序列,{ani:1≤i≤n,n≥1}为满足(1)式的常数阵列,其中。

记bn=n1/α(log n)1/γ,其中,0<α≤2;γ>0。

当1<α≤2时,假设EX=0。

若(2)式成立,则对任意的ε>0,(3)式成立。

证明因为所以不失一般性,可设ani≥0。

对任意给定的n≥1,记
Yni=-bnI(aniXi≤-bn)+
aniXiI(|aniXi|≤bn)+bnI(aniXi>bn),
Zni=aniXi-Yni=
(aniXi-bn)I(aniXi>bn)+
(aniXi+bn)I(aniXi<-bn)。

于是可得:
I1+I2。

由Markov不等式及引理2得:
下面只需证明I2<∞。

首先验证:
(4)
若0<α≤1,则由Markov不等式、(1)式及(2)式得:
C(log n)-α/γE|X|α→0, n→∞。

若1<α≤2,则由EX=0、(1)式及(2)式得:
C(log n)-α/γE|X|α→0, n→∞。

因此(4)式成立,即当n充分大时,
取由引理1及Jensen不等式得:
由Markov不等式、引理2及引理3得:。

最后证明I22<∞。

由(1)式、Markov不等式、α≤2及q>2γ/α得:
定理3 令{X,Xn:n≥1}为同分布的NSD随机变量序列,{ani:1≤i≤n,n≥1}为满足(1)式的常数阵列。

记bn=n1/α(log n)1/γ,其中,0<α≤2,γ>0。

当1<α≤2时,假设
EX=0。

若(2)式成立,则对任意的ε>0,有
(5)
证明不失一般性,假设ani≥0。

注意到:
J1+J2。

由定理2知,J1<∞。

因此要证明(5)式,只需证明J2<∞。

对任意t≥1,记
Uni=-bnt1/αI(aniXi<-bnt1/α)+
aniXiI(|aniXi|≤bnt1/α)+
bnt1/αI(aniXi>bnt1/α),
Vni=(aniXi-bnt1/α)I(aniXi>bnt1/α)+
(aniXi+bnt1/α)I(aniXi<-bnt1/α)。

因为
⊂
所以
J21+J22。

由引理2及(2)式可得:
bn)<∞。

对J22,首先证明当n→∞时,
若0<α≤1,则由Markov不等式、(1)式及(2)式得:
若1<α≤2,则由EX=0、(1)式及(2)式可知,当n→∞时,
C(log n)-α/γE|X|α→0。

因此,当n充分大时,对任意t≥1,都有从而由Markov不等式、引理1和Jensen不等式知,当q>max{2,2γ/α}时,有
而
又因为由引理3得:
由引理2得:
同样由引理2得J233<∞。

最后证明J24<∞。

注意到αq/(2γ)>1,由Cr不等式、Markov不等式及(1)式得:
因为
所以定理3是比定理2更强的结果。

定理4 令{X,Xn:n≥1}为同分布的NSD随机变量序列,{an:n≥1}为满足的常数列。

记bn=n1/α(log n)1/γ,其中,0<α≤2,γ>0。

当1<α≤2时,假设EX=0。

若(2)式成立,则
a.s., n→∞。

证明由定理2得:
因此由Borel-Cantelli引理得:
a.s., n→∞。

另一方面,对任意n≥1,总存在整数m,使得2m≤n<2m+1,因此
a.s., n→∞。

下面给出定理4的一个简单的数值模拟。

对1≤i≤n,令
(X1,X2,…,Xn)～N(0,Σ),
其中,0为n维列向量;
为n×n维矩阵。

容易验证,当u∈(-1,0)时,X1,X2,…,Xn为NA随机变量,从而是NSD随机变量。

令u=-0.5,在定理4中,取α=2,γ=1,ai=1,并记得到当样本数分别为n=100、200、300、500时的模拟结果,如图1～图4所示。

从图1～图4可看出,随着样本数的增加,Yn的波动范围越来越小,说明其值一致地趋近于0。

这与证明的结果相吻合。

图1 样本数n=100
图2 样本数n=200
图3 样本数n=300
图4 样本数n=400
[参考文献]
【相关文献】
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