高中数学第二章 平面向量周练3 A必修4 试题

卜人入州八九几市潮王学校馆陶县第一高中数学第二章
平面向量周练3教A必修4
(时间是：80分钟总分值是：100分)
一、选择题(每一小题5分，一共40分)
1．|a|＝，|b|＝4，且a与b的夹角为，那么a·b的值是()．
A．1B.±1 C．2 D.±2
解析a·b＝|a|·|b|·cos＝×4×＝1.
答案A
2．|a|＝|b|＝2，a·b＝2，那么|a－b|＝()．
A．1B.C．2 D.或者2
解析|a－b|＝＝
＝＝＝＝2.
答案C
3．a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，那么a与b的夹角为()．
A. B.
C. D.
解析a·b＝3＋2＝5，|a|＝，|b|＝，设夹角为θ，
那么cosθ＝＝＝.又θ∈[0，π]，∴θ＝.
答案B
4．(2021·测试)在△ABC中，∠C＝90°，＝(k,1)，＝(2,3)，那么k的值是
()．A．5 B.－5
C. D.－
解析∵∠C＝90°，∴·＝0，∴(－)·＝0，即(k－2，－2)·(2,3)＝0，解得k＝5.应选A.
答案A
6．|a|＝3，|b|＝2，〈a，b〉＝60°，假设(3a＋5b)⊥(m a－b)，那么m的值是
()．
A. B.
C. D.
解析(3a＋5b)·(m a－b)＝0，即3m a2＋(5m－3)a·b－5b2＝0⇒3m·32＋(5m－
3)·3×2cos60°－5×22＝0，解之得m＝.
答案C
7．(2021·高一检测)假设a＝(2,3)，b＝(－4,7)，那么a在b方向上的投影为
()．
A. B.
C. D.
解析设a与b的夹角为θ，
那么cosθ＝＝＝，
∴a在b方向上的投影为|a|cosθ＝×＝.
答案A
8．两个大小相等的一共点力F1、F2，当它们间的夹角为90°时合力大小为20N，那么当它们的夹角为120°时，合力的大小为()．
N
C．20N
解析由题意，知|F1|＝|F2|＝10N，当其夹角为120°时，利用平行四边形法那么可构造一个菱形，其合力大小等于10N.
答案B
二、填空题(每一小题5分，一共20分)
9．设单位向量m＝(x，y)，b＝(2，－1)．假设m⊥b，那么|x＋2y|＝________.
解析∵m⊥b，∴m·b＝0.
即2x－y＝0.
又|m|2＝x2＋y2＝1，
解得或者
∴|x＋2y|＝.
答案
10．一个重20N的物体从倾斜角30°，斜面长1 m的光滑斜面顶端下滑到底端，那么重力做的功是________．
解析由力的正交分解知识可知沿斜面下滑的分力大小
|F|＝×20N＝10N，
∴W＝|F|·|s|＝10J.
或者由斜面高为m，
W＝|G|·h＝20×J＝10J.
答案10J
11．向量a＝(6,2)，b＝(－4，)，直线l过点A(3，－1)且与向量a＋2b垂直，那么直线l的方程为________．
解析a＋2b＝(6,2)＋2＝(－2,3)．
设P(x，y)为所求直线上任意一点，那么
＝(x－3，y＋1)．
∵·(a＋2b)＝0，
∴－2(x－3)＋3(y＋1)＝0，
整理得2x－3y－9＝0.
∴2x－3y－9＝0即为所求直线方程．
答案2x－3y－9＝0
12．正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，那么·的值是________．解析·＝(＋)·
＝·＋·
＝||2＝1.
答案1
三、解答题(每一小题10分，一共40分)
13．设平面上向量a＝(cosα，sinα)(0≤α≤2π)，b＝，a与b不一共线．
(1)证明向量a＋b与a－b垂直；
(2)当两个向量a＋b与a－b的模相等时，求角α.
(1)证明a＋b＝，a－b＝，
(a＋b)·(a－b)＝cos2α－＋sin2α－＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b)．
(2)解由题意：(a＋b)2＝(a－b)2得：a·b＝0，
∴－cosα＋sinα＝0，
得tanα＝，又0≤α<2π得α＝或者.
14．点A(1,2)和B(4，－1)，问能否在y轴上找到一点C，使∠ACB＝90°，假设不能，请说明理由；假设能，求出C点的坐标．
解假设存在点C(0，y)使∠ACB＝90°，那么⊥.
∵＝(－1，y－2)，＝(－4，y＋1)，⊥，
∴·＝4＋(y－2)(y＋1)＝0，
∴y2－y＋2＝0.
而在方程y2－y＋2＝0中，Δ<0，
∴方程无实数解，故不存在满足条件的点C.
15．(2021·高一期末)a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．
(1)假设|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；
(2)假设|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
解(1)设c＝(x，y)，∵|c|＝2，
∴＝2，
∴x2＋y2＝20.
由c∥a和|c|＝2，可得
解得或者故c＝(2,4)或者c＝(－2，－4)．
(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，即2a2＋3a·b－2b2＝0，∴2×5＋3a·b
－2×＝0，整理得a·b＝－，∴cosθ＝＝－1.
又θ∈[0，π]，∴θ＝π.
16．如图有两条相交成60°的直线xx′，yy′，其交点为O，甲、乙两辆汽车分别在xx′，yy′上行驶，起初甲在离O点30 km的点A处，乙在离O点10 km的点B处，后来两车均
用60 km/h的速度，甲沿xx′方向，乙沿yy′方向行驶．
(1)起初两车的间隔是多少？
(2)t小时后两车的间隔是多少？
(3)何时两车的间隔最短？
解(1)由题意知，
||2＝(－)2
＝||2＋||2－2||||cos60°
＝302＋102－2×30×10×＝700.
故||＝10(km)．
(2)设甲、乙两车t小时后的位置分别为P，Q，那么||＝60t，||＝60t.
当0≤t≤时，||2＝(－)2＝(30－60t)2＋(10＋60t)2－2(30－60t)(10＋60t)cos60°；当t>时，||2＝(60t－30)2＋(10＋60t)2－2(60t－30)(10＋60t)cos120°.
上面两式可统一为
||2＝10800t2－3600t＋700，
即||＝10.
(3)∵108t2－36t＋7＝1082＋4，
∴当t＝时，即在第10分钟末时，两车的间隔最短，且最短间隔为20(km)．。