2013年全国高校自主招生数学模拟试卷2
2013年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷2 数学试卷含答案(理科)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)理数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M={x|(x-1)2<4,x∈R},N={-1,0,1,2,3},则M∩N=()A.{0,1,2}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0,2,3}D.{0,1,2,3}2.设复数z满足(1-i)z=2i,则z=( )A.-1+IB.-1-iC.1+iD.1-i3.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=( )A.13B.-13C.19D.-194.已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则( )A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l5.已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=( )A.-4B.-3C.-2D.-16.执行下面的程序框图,如果输入的N=10,那么输出的S=( )A.1+12+13+…+110 B.1+12!+13!+…+110! C.1+12+13+…+111D.1+12!+13!+…+111!7.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为( )8.设a=log 36,b=log 510,c=log 714,则( ) A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c9.已知a>0,x,y 满足约束条件{x ≥1,x +y ≤3,y ≥a (x -3).若z=2x+y 的最小值为1,则a=( )A.14B.12C.1D.210.已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c,下列结论中错误的是( ) A.∃x 0∈R, f(x 0)=0B.函数y=f(x)的图象是中心对称图形C.若x 0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x 0)单调递减D.若x 0是f(x)的极值点,则f '(x 0)=011.设抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,点M 在C 上,|MF|=5,若以MF 为直径的圆过点(0,2),则C 的方程为( ) A.y 2=4x 或y 2=8x B.y 2=2x 或y 2=8x C.y 2=4x 或y 2=16xD.y 2=2x 或y 2=16x12.已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为面积相等的两部分,则b 的取值范围是( ) A.(0,1)B.(1-√22,12)C.(1-√22,13]D.[13,12)第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = . 14.从n 个正整数1,2,…,n 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为114,则n= .15.设θ为第二象限角,若tan (θ+π4)=12,则sin θ+cos θ= . 16.等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 10=0,S 15=25,则nS n 的最小值为 . 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知a=bcos C+csin B. (Ⅰ)求B;(Ⅱ)若b=2,求△ABC 面积的最大值.18.(本小题满分12分)如图,直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,D,E 分别是AB,BB 1的中点,AA 1=AC=CB=√22AB. (Ⅰ)证明:BC 1∥平面A 1CD; (Ⅱ)求二面角D-A 1C-E 的正弦值.19.(本小题满分12分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1 t该产品获利润500元,未售出的产品,每1 t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如下图所示.经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品,以X(单位:t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.(Ⅰ)将T表示为X的函数;(Ⅱ)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率;(Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若需求量X∈[100,110),则取X=105,且X=105的概率等于需求量落入[100,110)的频率),求T的数学期望.20.(本小题满分12分)平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)右焦点的直线x+y-√3=0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为12.(Ⅰ)求M的方程;(Ⅱ)C,D为M上两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值.21.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=e x-ln(x+m).(Ⅰ)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)当m≤2时,证明f(x)>0.请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答,不选、多选均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,CD 为△ABC 外接圆的切线,AB 的延长线交直线CD 于点D,E,F 分别为弦AB 与弦AC 上的点,且BC·AE=DC·AF,B,E,F,C 四点共圆. (Ⅰ)证明:CA 是△ABC 外接圆的直径;(Ⅱ)若DB=BE=EA,求过B,E,F,C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值.23.(本小题满分10分)选修4— 4:坐标系与参数方程已知动点P,Q 都在曲线C:{x =2cost ,y =2sint (t 为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M 为PQ 的中点. (Ⅰ)求M 的轨迹的参数方程;(Ⅱ)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 设a,b,c 均为正数,且a+b+c=1,证明: (Ⅰ)ab+bc+ca≤13; (Ⅱ)a 2b +b 2c +c 2a ≥1.2013年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)一、选择题1.A 化简得M={x|-1<x<3},所以M ∩N={0,1,2},故选A.2.A 由题意得z=2i 1-i =2i ·(1+i)2=-1+i,故选A.3.C 由已知条件及S 3=a 1+a 2+a 3得a 3=9a 1,设数列{a n }的公比为q,则q 2=9. 所以a 5=9=a 1·q 4=81a 1,得a 1=19,故选C.4.D 若α∥β,则m ∥n,这与m 、n 为异面直线矛盾,所以A 不正确.将已知条件转化到正方体中,易知α与β不一定垂直,但α与β的交线一定平行于l,从而排除B 、C.故选D.评析 本题考查了线面的位置关系,考查了空间想象能力,本题利用排除法求解效果比较好.5.D 由二项式定理得(1+x)5的展开式的通项为T r+1=C 5r ·x r ,所以当r=2时,(1+ax)(1+x)5的展开式中x 2的系数为C 52,当r=1时,x 2的系数为C 51·a,所以C 52+C 51·a=5,a=-1,故选D.6.B 由框图知循环情况如下:T=1,S=1,k=2; T=12,S=1+12,k=3;T=12×3,S=1+12+12×3,k=4; T=14!,S=1+12!+13!+14!,k=5;…;T=110!,S=1+12!+13!+…+110!,k=11>10,输出S,故选B. 7.A 设O(0,0,0),A(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,1),将以O 、A 、B 、C 为顶点的四面体补成一正方体后,由于OA ⊥BC,所以该几何体以zOx 平面为投影面的正视图为A.8.D 由对数运算法则得a=log 36=1+log 32,b=1+log 52,c=1+log 72,由对数函数图象得log 32>log 52>log 72,所以a>b>c,故选D.9.B 由约束条件画出可行域(如图所示的△ABC),由{x =1,y =a(x -3)得A(1,-2a), 当直线2x+y-z=0过点A 时,z=2x+y 取得最小值,所以1=2×1-2a,解得a=12,故选B.10.C 由三次函数值域为R 知f(x)=0有解,所以A 项正确;因为y=x 3的图象为中心对称图形,而f(x)=x 3+ax 2+bx+c 的图象可以由y=x 3的图象平移得到,故B 项正确;若f(x)有极小值点,则f '(x)=0有两个不等实根x 1,x 2(x 1<x 2), f '(x)=3x 2+2ax+b=3(x-x 1)(x-x 2),则f(x)在(-∞,x 1)上为增函数,在(x 1,x 2)上为减函数,在(x 2,+∞)上为增函数,故C 项错误;D 项正确.故选C.评析 本题考查了三次函数的图象和性质,考查了利用导数研究函数极值与单调性. 11.C ∵以MF 为直径的圆过点(0,2),∴点M 在第一象限.由|MF|=x M +p2=5得M (5-p 2,√2p (5-p 2)).从而以MF 为直径的圆的圆心N 的坐标为(52,12√2p (5-p2)),∵点N 的横坐标恰好等于圆的半径,∴圆与y 轴切于点(0,2),从而2=12√2p (5-p2),即p 2-10p+16=0,解得p=2或p=8,∴抛物线方程为y 2=4x 或y 2=16x.故选C.评析 本题考查了直线、圆、抛物线的位置关系,考查了综合解题能力.建立关于p 的方程是求解的关键.12.B (1)当直线y=ax+b 与AB 、BC 相交时(如图1),由{y =ax +b,x +y =1得y E =a+ba+1,又易知x D =-ba,∴|BD|=1+ba,由S △DBE =12×a+b a×a+b a+1=12得b=√1+1a+1∈(0,12).图1(2)当直线y=ax+b 与AC 、BC 相交时(如图2),由S △FCG =12(x G -x F )·|CM|=12得b=1-√22√1-a 2∈(1-√22,1)(∵0<a<1),图2∵对于任意的a>0恒成立, ∴b∈(0,12)∩(1-√22,1),即b ∈(1-√22,12).故选B.二、填空题 13.答案 2解析 解法一:AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=22-12×22=2. 解法二:以A 为原点建立平面直角坐标系(如图).则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)·(-2,2)=1×(-2)+2×2=2.14.答案 8解析 因为5=1+4=2+3,所以2C n2=114,即n(n-1)=56,解得n=8或n=-7(舍).15.答案 -√105解析 tan θ=tan [(θ+π4)-π4]=12-11+12=-13,∴sin θ=-13cos θ,将其代入sin 2θ+cos 2θ=1得109cos 2θ=1,∴cos 2θ=910,易知cos θ<0, ∴cos θ=-310√10,sin θ=√1010,故sin θ+cos θ=-√105. 16.答案 -49 解析 由S n =na 1+n(n -1)2d 得{10a 1+45d =0,15a 1+105d =25,解得a 1=-3,d=23,则S n =-3n+n(n -1)2·23=13(n 2-10n),所以nS n =13(n 3-10n 2),令f(x)=13(x 3-10x 2),则 f '(x)=x 2-203x=x (x -203),当x ∈(1,203)时, f(x)递减, 当x ∈(203,+∞)时, f(x)递增,又6<203<7, f(6)=-48, f(7)=-49,所以nS n 的最小值为-49.评析 本题考查了数列与函数的应用,考查了数列的基本运算,利用导数求最值.本题易忽略n 的取值范围. 三、解答题17.解析 (Ⅰ)由已知及正弦定理得sin A=sin Bcos C+sin C ·sin B.① 又A=π-(B+C),故sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.② 由①,②和C ∈(0,π)得sin B=cos B. 又B ∈(0,π),所以B=π4.(Ⅱ)△ABC 的面积S=12acsin B=√24ac. 由已知及余弦定理得4=a 2+c 2-2accos π4.又a 2+c 2≥2ac,故ac ≤2-√2,当且仅当a=c 时,等号成立.因此△ABC 面积的最大值为√2+1.18.解析 (Ⅰ)连结AC 1交A 1C 于点F,则F 为AC 1中点. 又D 是AB 中点,连结DF,则BC 1∥DF.因为DF ⊂平面A 1CD,BC 1⊄平面A 1CD,所以BC 1∥平面A 1CD. (Ⅱ)由AC=CB=√22AB 得,AC ⊥BC.以C 为坐标原点,CA⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.设CA=2,则D(1,1,0),E(0,2,1),A 1(2,0,2),CD⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0),CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,1),CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 1=(2,0,2). 设n =(x 1,y 1,z 1)是平面A 1CD 的法向量,则{n ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 1=0,即{x 1+y 1=0,2x 1+2z 1=0. 可取n =(1,-1,-1).同理,设m 是平面A 1CE 的法向量,则{m ·CE ⃗⃗⃗⃗ =0,m ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 1=0. 可取m =(2,1,-2).从而cos<n,m >=n ·m |n||m|=√33,故sin<n,m >=√63.即二面角D-A 1C-E 的正弦值为√63.评析 本题考查了线面平行的判定和性质,考查二面角的计算.考查了空间想象能力.正确求出平面的法向量是解题的关键.19.解析 (Ⅰ)当X ∈[100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X-39 000,当X ∈[130,150]时,T=500×130=65 000.所以T={800X -39 000,100≤x <130,65 000,130≤X ≤150.(Ⅱ)由(Ⅰ)知利润T 不少于57 000元当且仅当120≤X ≤150.由直方图知需求量X ∈[120,150]的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7.(Ⅲ)依题意可得T 的分布列为T45 000 53 000 61 000 65 000 P 0.1 0.2 0.3 0.4所以ET=45 000×0.1+53 000×0.2+61 000×0.3+65 000×0.4=59 400.20.解析 (Ⅰ)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),P(x 0,y 0),则x 12a 2+y 12b 2=1,x 22a 2+y 22b 2=1,y 2-y 1x 2-x 1=-1,由此可得b 2(x 2+x 1)a 2(y 2+y 1)=-y 2-y1x 2-x 1=1. 因为x 1+x 2=2x 0,y 1+y 2=2y 0,y 0x 0=12, 所以a 2=2b 2.又由题意知,M 的右焦点为(√3,0),故a 2-b 2=3.因此a 2=6,b 2=3.所以M 的方程为x 26+y 23=1. (Ⅱ)由{x +y -√3=0,x 26+y 23=1解得{x =4√33,y =-√33,或{x =0,y =√3. 因此|AB|=4√63. 由题意可设直线CD 的方程为y=x+n (-5√33<n <√3),设C(x 3,y 3),D(x 4,y 4).由{y =x +n,x 26+y 23=1得3x 2+4nx+2n 2-6=0. 于是x 3,4=-2n±√2(9-n 2)3.因为直线CD 的斜率为1,所以|CD|=√2|x 4-x 3|=43√9-n 2.由已知,四边形ACBD 的面积S=12|CD|·|AB|=8√69√9-n 2. 当n=0时,S 取得最大值,最大值为8√63. 所以四边形ACBD 面积的最大值为8√63.评析 本题考查了直线和椭圆的位置关系,考查了解析几何中的中点问题和最值问题,计算量大,综合性较强.应充分重视方程思想和函数思想在解题中的作用.21.解析 (Ⅰ)f '(x) =e x -1x+m .由x=0是f(x)的极值点得f '(0)=0,所以m=1.于是f(x)=e x -ln(x+1),定义域为(-1,+∞), f '(x)=e x -1x+1.函数f '(x)=e x -1x+1在(-1,+∞)单调递增,且f '(0)=0,因此当x ∈(-1,0)时, f '(x)<0;当x ∈(0,+∞)时, f '(x)>0.所以f(x)在(-1,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.(Ⅱ)当m ≤2,x ∈(-m,+∞)时,ln(x+m)≤ln(x+2),故只需证明当m=2时, f(x)>0.当m=2时,函数f '(x)=e x -1x+2在(-2,+∞)单调递增.又f '(-1)<0, f '(0)>0,故f '(x)=0在(-2,+∞)有唯一实根x 0,且x 0∈(-1,0).当x ∈(-2,x 0)时, f '(x)<0;当x ∈(x 0,+∞)时, f '(x)>0,从而当x=x 0时, f(x)取得最小值. 由f '(x 0)=0得e x 0=1x0+2,ln(x 0+2)=-x 0, 故f(x)≥f(x 0)=1x 0+2+x 0=(x 0+1)2x 0+2>0. 综上,当m ≤2时, f(x)>0.评析 本题考查了函数的极值、单调性,考查了构造函数证明不等式;考查了函数与方程思想,转化与化归的思想,对运算能力要求很高.22.解析 (Ⅰ)因为CD 为△ABC 外接圆的切线,所以∠DCB=∠A,由题设知BC FA =DCEA ,故△CDB ∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA.因为B,E,F,C 四点共圆,所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90°.所以∠CBA=90°,因此CA 是△ABC 外接圆的直径.(Ⅱ)连结CE,因为∠CBE=90°,所以过B,E,F,C 四点的圆的直径为CE,由DB=BE,有CE=DC,又BC 2=DB ·BA=2DB 2,所以CA 2=4DB 2+BC 2=6DB 2.而DC 2=DB ·DA=3DB 2,故过B,E,F,C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12.23.解析 (Ⅰ)依题意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α).M 的轨迹的参数方程为{x =cosα+cos2α,y =sinα+sin2α(α为参数,0<α<2π). (Ⅱ)M 点到坐标原点的距离d=√x 2+y 2=√2+2cosα (0<α<2π).当α=π时,d=0,故M 的轨迹过坐标原点.24.解析 (Ⅰ)由a 2+b 2≥2ab,b 2+c 2≥2bc,c 2+a 2≥2ca 得a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca ≤13.(Ⅱ)因为a 2b +b ≥2a,b 2c +c ≥2b,c 2a +a ≥2c,故a 2b +b 2c +c 2a +(a+b+c)≥2(a+b+c),即a 2b +b 2c +c 2a ≥a+b+c.所以a 2b +b 2c +c 2a ≥1.。
2013年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷2 数学试卷含答案(文科)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)文 数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合M={x|-3<x<1},N={-3,-2,-1,0,1},则M∩N=( ) A.{-2,-1,0,1} B.{-3,-2,-1,0} C.{-2,-1,0} D.{-3,-2,-1}2.|21+i|=( )A.2√2B.2C.√2D.13.设x,y 满足约束条件{x -y +1≥0,x +y -1≥0,x ≤3,则z=2x-3y 的最小值是( )A.-7B.-6C.-5D.-34.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=π6,C=π4,则△ABC 的面积为( ) A.2√3+2B.√3+1C.2√3-2D.√3-15.设椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 是C 上的点,PF 2⊥F 1F 2,∠PF 1F 2=30°,则C 的离心率为( ) A.√36B.13C.12D.√336.已知sin 2α=23,则cos 2(α+π4)=( ) A.16B.13C.12D.237.执行右面的程序框图,如果输入的N=4,那么输出的S=( )A.1+12+13+14 B.1+12+13×2+14×3×2 C.1+12+13+14+15D.1+12+13×2+14×3×2+15×4×3×28.设a=log 32,b=log 52,c=log 23,则( ) A.a>c>b B.b>c>a C.c>b>aD.c>a>b9.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为( )10.设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,直线l 过F 且与C 交于A,B 两点.若|AF|=3|BF|,则l 的方程为( ) A.y=x-1或y=-x+1 B.y=√33(x-1)或y=-√33(x-1)C.y=√3(x-1)或y=-√3(x-1)D.y=√22(x-1)或y=-√22(x-1)11.已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c,下列结论中错误的是( ) A.∃x 0∈R, f(x 0)=0B.函数y=f(x)的图象是中心对称图形C.若x 0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x 0)单调递减D.若x 0是f(x)的极值点,则f '(x 0)=012.若存在正数x 使2x (x-a)<1成立,则a 的取值范围是( ) A.(-∞,+∞) B.(-2,+∞) C.(0,+∞)D.(-1,+∞)第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是 . 14.已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = . 15.已知正四棱锥O-ABCD 的体积为3√22,底面边长为√3,则以O 为球心,OA 为半径的球的表面积为 .16.函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移π个单位后,与函数y=sin (2x +π)的图象重合,则φ= .三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的公差不为零,a 1=25,且a 1,a 11,a 13成等比数列. (Ⅰ)求{a n }的通项公式; (Ⅱ)求a 1+a 4+a 7+…+a 3n-2.18.(本小题满分12分)如图,直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,D,E 分别是AB,BB 1的中点. (Ⅰ)证明:BC 1∥平面A 1CD;(Ⅱ)设AA 1=AC=CB=2,AB=2√2,求三棱锥C-A 1DE 的体积.19.(本小题满分12分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1 t 该产品获利润500元,未售出的产品,每1 t 亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品,以X(单位:t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.(Ⅰ)将T表示为X的函数;(Ⅱ)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率.20.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2√2,在y轴上截得线段长为2√3. (Ⅰ)求圆心P的轨迹方程;,求圆P的方程.(Ⅱ)若P点到直线y=x的距离为√2221.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2e-x.(Ⅰ)求f(x)的极小值和极大值;(Ⅱ)当曲线y=f(x)的切线l的斜率为负数时,求l在x轴上截距的取值范围.请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答,多答按所答第一题评分.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,CD 为△ABC 外接圆的切线,AB 的延长线交直线CD 于点D,E,F 分别为弦AB 与弦AC 上的点,且BC·AE=DC·AF,B,E,F,C 四点共圆. (Ⅰ)证明:CA 是△ABC 外接圆的直径;(Ⅱ)若DB=BE=EA,求过B,E,F,C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值.23.(本小题满分10分) 选修4—4:坐标系与参数方程已知动点P,Q 都在曲线C:{x =2cost ,y =2sint (t 为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M 为PQ 的中点. (Ⅰ)求M 的轨迹的参数方程;(Ⅱ)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点.24.(本小题满分10分) 选修4—5:不等式选讲设a,b,c 均为正数,且a+b+c=1.证明:(Ⅰ)ab+bc+ca≤13;(Ⅱ)a 2b +b 2c +c 2a≥1.2013年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)一、选择题1.C 由题意得M∩N={-2,-1,0}.选C.2.C |21+i|=|2(1-i )2|=|1-i|=√2.选C.3.B 由约束条件得可行域(如图),当直线2x-3y-z=0过点A(3,4)时,z min =2×3-3×4=-6.故选B.4.B 由正弦定理b sinB =csinC及已知条件得c=2√2.又sin A=sin(B+C)=12×√22+√32×√22=√2+√64,从而S △ABC =12bcsin A=12×2×2√2×√2+√64=√3+1.故选B.5.D 在Rt△PF 2F 1中,令|PF 2|=1,因为∠PF 1F 2=30°,所以|PF 1|=2,|F 1F 2|=√3.所以e=2c 2a =|F 1F 2||PF 1|+|PF 2|=√33.故选D. 6.A cos 2(α+π4)=1+cos(2α+π2)2=1-sin2α2=16.选A.评析 本题考查了三角函数的化简求值,考查了降幂公式、诱导公式的应用. 7.B 由框图知循环情况为:T=1,S=1,k=2;T=12,S=1+12,k=3;T=12×3,S=1+12+12×3,k=4;T=12×3×4,S=1+12+12×3+12×3×4,k=5>4,故输出S.选B. 8.D∵√3<2<3,1<2<√5,3>2,∴log 3√3<log 32<log 33,log 51<log 52<log 5√5,log 23>log 22,∴12<a<1,0<b<12,c>1,∴c>a>b.故选D.9.A 在空间直角坐标系中,易知O(0,0,0),A(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,1)恰为单位正方体的四个顶点.因此该几何体以zOx 平面为投影面所得的正视图为A.评析 本题考查了三视图和直观图,考查了空间想象能力.把几何体补成正方体是求解的关键.10.C 设直线AB 与抛物线的准线x=-1交于点C.分别过A,B 作AA 1垂直准线于A 1,BB 1垂直准线于B 1.由抛物线的定义可设|BF|=|BB 1|=t,|AF|=|AA 1|=3t.由三角形的相似得|BC ||AB |=|BC |4t=12,∴|BC|=2t,∴∠B 1CB=π6,∴直线的倾斜角α=π3或23π.又F(1,0),∴直线AB 的方程为y=√3(x-1)或y=-√3(x-1).故选C.11.C 由三次函数的值域为R 知, f(x)=0必有解,A 项正确;因为f(x)=x 3+ax 2+bx+c 的图象可由曲线y=x 3平移得到,所以y=f(x)的图象是中心对称图形,B 项正确;若y=f(x)有极值点,则其导数y=f '(x)必有2个零点,设为x 1,x 2(x 1<x 2),则有f '(x)=3x 2+2ax+b=3(x-x 1)(x-x 2),所以f(x)在(-∞,x 1)上递增,在(x 1,x 2)上递减,在(x 2,+∞)上递增,则x 2为极小值点,所以C 项错误,D 项正确.选C.评析 本题考查了三次函数的图象和性质,考查了利用导数研究函数的单调性和极值.掌握基本初等函数的图象和性质是解题关键.12.D 由2x(x-a)<1得a>x-12x ,令f(x)=x-12x ,即a>f(x)有解,则a>f(x)min ,又y=f(x)在(0,+∞)上递增,所以f(x)>f(0)=-1,所以a>-1,选D.评析 本题考查了函数的值域与最值的求法,考查了分离参变量的方法,熟悉基本初等函数的单调性是解题关键. 二、填空题 13.答案 0.2解析 任取两个不同的数的情况有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10种,其中和为5的有2种,所以所求概率为210=0.2. 14.答案 2解析 解法一:AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+0=22-12×22=2. 解法二:以A 为原点建立平面直角坐标系(如图).则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),E(1,2).∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2). 从而AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)·(-2,2)=1×(-2)+2×2=2. 评析 本题考查了向量的基本运算.向量的运算可以利用运算法则也可以利用坐标运算. 15.答案 24π解析 设底面中心为E,则|AE|=12|AC|=√62,∵体积V=13×|AB|2×|OE|=|OE|=3√22,∴|OA|2=|AE|2+|OE|2=6.从而以|OA|为半径的球的表面积S=4π·|OA|2=24π.评析 本题考查了正四棱锥和球,考查了表面积和体积,考查了空间想象能力和运算求解能力.计算错误是失分的主要原因. 16.答案 56π解析 令y=f(x)=cos(2x+φ),将其图象向右平移π2个单位后得f (x -π2)=cos [2(x -π2)+φ]=cos(2x+φ-π)=sin [(2x +φ-π)+π2]=sin (2x +φ-π2)的图象,因为其与y=sin (2x +π3)的图象重合,所以φ-π2=π3+2kπ(k∈Z),所以φ=2kπ+56π(k∈Z),又-π≤φ<π,所以φ=56π. 三、解答题17.解析 (Ⅰ)设{a n }的公差为d.由题意得,a 112=a 1a 13, 即(a 1+10d)2=a 1(a 1+12d). 于是d(2a 1+25d)=0.又a 1=25,所以d=0(舍去)或d=-2. 故a n =-2n+27.(Ⅱ)令S n =a 1+a 4+a 7+…+a 3n-2.由(Ⅰ)知a3n-2=-6n+31,故{a3n-2}是首项为25,公差为-6的等差数列.从而S n=n2(a1+a3n-2)=n2(-6n+56)=-3n2+28n.18.解析(Ⅰ)证明:连结AC 1交A1C于点F,则F为AC1中点.又D是AB中点,连结DF,则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD,BC1⊄平面A1CD,所以BC1∥平面A1CD.(Ⅱ)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AA1⊥CD.由于AC=CB,D为AB的中点,所以CD⊥AB.又AA1∩AB=A,于是CD⊥平面ABB1A1.由AA1=AC=CB=2,AB=2√2得∠ACB=90°,CD=√2,A1D=√6,DE=√3,A1E=3,故A1D2+DE2=A1E2,即DE⊥A1D.所以V C-A1DE =13×12×√6×√3×√2=1.评析本题考查了三棱柱的性质,考查了直线与平面平行的判定和体积的计算,考查了空间想象能力和运算求解能力.正确地选择方法和规范化解题至关重要.19.解析(Ⅰ)当X∈[100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X-39 000.当X∈[130,150]时,T=500×130=65 000.所以T={800X-39000,100≤X<130, 65000,130≤X≤150.(Ⅱ)由(Ⅰ)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T 不少于 57 000元的概率的估计值为0.7.20.解析 (Ⅰ)设P(x,y),圆P 的半径为r.由题设得y 2+2=r 2,x 2+3=r 2.从而y 2+2=x 2+3.故P 点的轨迹方程为y 2-x 2=1.(Ⅱ)设P(x 0,y 0),由已知得00√2=√22. 又P 在双曲线y 2-x 2=1上,从而得{|x 0-y 0|=1,y 02-x 02=1.由{x 0-y 0=1,y 02-x 02=1得{x 0=0,y 0=-1.此时,圆P 的半径r=√3. 由{x 0-y 0=-1,y 02-x 02=1得{x 0=0,y 0=1.此时,圆P 的半径r=√3. 故圆P 的方程为x 2+(y-1)2=3或x 2+(y+1)2=3.21.解析 (Ⅰ)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f '(x)=-e -x x(x-2).①当x∈(-∞,0)或x∈(2,+∞)时, f '(x)<0;当x∈(0,2)时, f '(x)>0.所以f(x)在(-∞,0),(2,+∞)上单调递减,在(0,2)上单调递增.故当x=0时, f(x)取得极小值,极小值为f(0)=0;当x=2时, f(x)取得极大值,极大值为f(2)=4e -2.(Ⅱ)设切点为(t, f(t)),则l 的方程为y=f '(t)(x-t)+f(t).所以l 在x 轴上的截距为m(t)=t-f (t )f '(t )=t+tt -2=t-2+2t -2+3.由已知和①得t∈(-∞,0)∪(2,+∞).令h(x)=x+2x (x≠0),则当x∈(0,+∞)时,h(x)的取值范围为[2√2,+∞);当x∈(-∞,-2)时,h(x)的取值范围是(-∞,-3).所以当t∈(-∞,0)∪(2,+∞)时,m(t)的取值范围是(-∞,0)∪[2√2+3,+∞).综上,l 在x 轴上的截距的取值范围是(-∞,0)∪[2√2+3,+∞). 评析 本题考查了导数的应用,均值定理求最值,考查了综合解题的能力,正确地求导是解题的关键.22.解析 (Ⅰ)证明:因为CD 为△ABC 外接圆的切线,所以∠DCB=∠A,由题设知BC FA =DCEA ,故△CDB∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA.因为B,E,F,C 四点共圆,所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90°.所以∠CBA=90°,因此CA 是△ABC 外接圆的直径.(Ⅱ)连结CE,因为∠CBE=90°,所以过B,E,F,C 四点的圆的直径为CE,由DB=BE,有CE=DC,又BC 2=DB·BA=2DB 2,所以CA 2=4DB 2+BC 2=6DB 2.而DC 2=DB·DA=3DB 2,故过B,E,F,C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12.23.解析 (Ⅰ)依题意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α).M 的轨迹的参数方程为{x =cosα+cos2α,y =sinα+sin2α(α为参数,0<α<2π). (Ⅱ)M 点到坐标原点的距离d=√x 2+y 2=√2+2cosα(0<α<2π).当α=π时,d=0,故M 的轨迹过坐标原点.24.证明 (Ⅰ)由a 2+b 2≥2ab,b 2+c 2≥2bc,c 2+a 2≥2ca 得a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤13. (Ⅱ)因为a 2b +b≥2a,b 2c +c≥2b,c 2a +a≥2c, 故a 2b +b 2c +c 2a +(a+b+c)≥2(a+b+c), 即a 2b +b 2c +c 2a ≥a+b+c.所以a 2b +b 2c +c 2a ≥1.。
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷及答案
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷一 参考答案一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 如图，在正四棱锥P −ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A −PB −C 的平面角的余弦值为（ B ） A.71 B. 71-C.21 D. 21-解：如图，在侧面PAB 内，作AM ⊥PB ，垂足为M 。
连结CM 、AC ，则∠AMC 为二面角A −PB −C 的平面角。
不妨设AB =2，则22==AC PA ，斜高为7，故2272⋅=⨯AM ，由此得27==AM CM 。
在△AMC 中，由余弦定理得712cos 222-=⋅⋅-+=∠CM AM AC CM AM AMC 。
2. 设实数a 使得不等式|2x −a |+|3x −2a |≥a 2对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是（ A）A. ]31,31[-B. ]21,21[-C. ]31,41[- D. [−3，3] 解：令a x 32=，则有31||≤a ，排除B 、D 。
由对称性排除C ，从而只有A 正确。
一般地，对k ∈R ，令ka x 21=，则原不等式为2|||34|||23|1|||a k a k a ≥-⋅+-⋅，由此易知原不等式等价于|34|23|1|||-+-≤k k a ，对任意的k ∈R 成立。
由于⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-<≤-≥-=-+-125334121134325|34|23|1|k k k k k k k k ，所以31|}34|23|1{|min R =-+-∈k k k ，从而上述不等式等价于31||≤a 。
3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。
甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b 。
则使不等式a −2b +10>0成立的事件发生的概率等于（ D ） A.8152 B.8159 C.8160 D.8161 解：甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个。
2013年浙江高考数学模拟卷理2
秘密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）模拟卷二 数学（理科）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率(1)k kn k n n P C P P -=-（k=0，1，2，…，n ）球的表面积公式24R S π=，球的体积公式334R V π=，其中R 表示球的半径棱柱的体积公式V Sh =，其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 棱锥的体积公式13V Sh=，其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高棱台的体积公式11221()3V h S S S S =++，其中12,S S 分别表示棱台的上、下底面积，h 表示棱台的高 第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请在答题卡指定区域内作答1．设集合A={x|1≤|x －1|≤2}，集合B ={x|0322≤-+x x }, 则C R A ∩（C R B ）=（） A ．（2，3）B ．[-3，3]C ．(]3,-∞-∪[)+∞,3D ．（－∞，－3）∪（3，+∞）2．已知i 是虚数单位，ai i-+131的共轭复数是－3i ，则实数a=（） A ．3 B ．－3 C ．31 D ．－313．设a ∈R ，则“a ＝－415”是“直线l ：ax+2y －1=0与圆C ：x 2+（y －a ）2=4相切”的（）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件 4．把函数y=cos （2x －1）的图象向左平移21，再横向伸长2倍后可得函数（）A ．y=cos （x+2π）B ．y=sin （x+2π）C ．y=sinx D ．y=cos （x+23π）5．设a ，b 是两个非零向量， ①.若|a +b |=|a |+|b |，则a ∥b ②.若a ∥b ，则|a +b |=|a |+|b |③若|a +b |=|a |+|b |，则存在实数λ，使得b =λa ④若存在实数λ，使得b =λa ，则|a +b |=|a |+|b |则正确命题是（）A ．①② Ｂ．①③ Ｃ．②③ Ｄ．②④6．从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其积为偶数，则不同的取法共有（）A ．65B ．66C ．121D ．917．若正数x ，y ，a 满足x+3y=axy ，且3x+4y 的最小值为25，则a 为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．F 1，F 2分别是双曲线C ：22a x －22by =1（a ，b ＞0）的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ，若△OBM 的面积为△OBF 1的面积的三倍，则C 的离心率是（） A.23 B ．6C ．2D ．3 9．设实数a>1，b>1，①若lna+2a=lnb+3b ，则a ＞b ②若lna+2a=lnb+3b ，则a ＜b ③若lna －2a=lnb －3b ，则a ＞b ④若lna －2a=lnb －3b 则a ＜b 则下列命题成立的是（）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①③10．已知矩形ABCD ，AB=1，BC=2，将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中（）A.存在某个位置，使得直线AC 与平面ABD 垂直.B.存在某个位置，使得直线AB 与平面ACD 垂直.C.存在某个位置，使得直线AD 与平面ABC 垂直.D.对任意位置，三对直线与平面“AC 与平面ABD ”，“AB 与平面ACD ”，“AD 与平面ABC ”均不垂直第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题 ：本大题共7小题，每小题4分，共28分，请在答题卡指定区域内作答（第13题图）11．直角三角形△ABC 两直角边为AB=3和AC=2，△ABC 围绕AC 所在直线旋转到某一位置△AB 1C ，构成一个三棱锥C —ABB 1（单位：cm ），则该三棱锥的体积的最大值为________cm 3. 12．设公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ， 若S 2=3a 2+2，S 4=3a 4+2，则d=_______13．如右上图，如果执行它的程序框图，输入正整数48==m n 、，那么输出的p 等于14．若将函数f （x ）=x 5表示为f （x ）=a 0＋a 1（1＋x ）＋a 2（1＋x ）2＋……＋a 5（1＋x ）5，其中a 0，a 1，a 2，…a 5为实数，则a 1+a 5=_________15．实数x ，y 满足平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤-+≥+-0,00201y x y x y x ，则覆盖此平面区域的最小圆的方程是______16．设函数f （x ）是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f （x ）=x ＋1，则 f （0.5）+f （1.5）+f （2.5）+…+f （2013.5）=_____17．如图，AB 为单位圆的直径，E ，F 为半圆上点，弧BE 是弧的三分之一，若AB ·AF=1，则·的值是三、解答题 ：本大题共5小题，共72分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程，请在答题卡指定区域内作答 18．(本小题满分14分)已知函数f （x ）=2asin 2x+2sinxcosx －a （a 为常数）在x=83π处取得最大值 （1）求a 值；（2）求函数f （x ）的最小正周期和单调递增区间； （3）若f （θ）=51，0＜θ＜83π，求cos θ 19． (本小题满分14分)单位正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BC ，CD 中点，平面A 1EF 交BB 1于M ，交DD 1于N（1）画出几何体A 1MEFN —ABEFD 的直观图与三视图； （2）设AC 中点为O ，在CC 上存在一点G ，使CG =λ1CC ，且OG ⊥平面A 1EF ，求λ；（3）求A 1C 与平面A 1EF 所成角的正弦值20． (本小题满分14分) 设单调递增等比数列{a n }满足a 1+a 2+a 3=7，且a 3是a 1，a 2+5的等差中项，（1）求数列{a n }的首项； （2）数列{c n }满足：对任意正整数n ，11a c +22a c +…+n n a c =22+12112--n n 均成立，求数列{c n }的通项FEADBC 1B1D 1A1BOEF21．(本小题满分15分) 已知椭圆C 的方程是12222=+by a x )0(>>b a .（1）如果椭圆C 左焦点为（－2，0），且经过点)2,2(--，求椭圆C 的方程（2）设斜率为k 的直线l ，交椭圆C 于A B 、两点，AB 的中点为M. 证明：当直线l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线上； 22．(本小题满分15分) 已知函数f(x)=21(x －1)2+lnx ，g(x)=kx －k ． （1）若23=k ，求函数F(x)=f(x)－g(x)的极值； （2）若对任意的)3,1(∈x ，都有f(x)＞g(x)成立，求k 的取值范围．感谢您的阅读，祝您生活愉快。
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷2
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷二一、填空题（64分）1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A ．2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为 ． 3．设b a ,为正实数，2211≤+ba ，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ． 4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是 ． 5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答）6．在四面体ABCD 中，已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为 ．7．直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ，则点C 的坐标为 ．8．已知=n a C())95,,2,1(2162003200=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn，则数列}{n a 中整数项的个数为 ． 二、解答题（56分）9．（16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．10．（20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*． （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．11．（20分）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方． （1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒=∠60APB ，求△PAB 的面积．2013年全国高校自主招生数学模拟试卷二参考答案1．{3,0,2,6}-. 提示：显然，在A 的所有三元子集中，每个元素均出现了3次，所以15853)1()(34321=+++-=+++a a a a ，故54321=+++a a a a ，于是集合A 的四个元素分别为5－（－1）＝6，5－3＝2，5－5＝0，5－8＝－3，因此，集合}6,2,0,3{-=A ．2．(,(1,)2-∞-+∞. 提示：设22,tan πθπθ<<-=x ，且4πθ≠，则)4sin(21cos sin 11tan cos 1)(πθθθθθ-=-=-=x f ．设)4sin(2πθ-=u ，则12<≤-u ，且0≠u ，所以 ),1(]22,(1)(+∞--∞∈= u x f ．3．-1. 提示：由2211≤+ba ，得ab b a 22≤+．又 23322)(8)(24)(44)(4)(ab ab ab ab ab b a ab b a =⋅⋅≥+=-+=+，即ab b a 22≥+． ①于是ab b a 22=+． ②再由不等式①中等号成立的条件，得1=ab ．与②联立解得⎪⎩⎪⎨⎧+=-=,12,12b a 或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=,12,12b a故1log -=b a ．4．⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ. 提示：不等式)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-等价于θθθθ5353cos 71cos sin 71sin +>+.又5371)(x x x f +=是),(+∞-∞上的增函数，所以θθcos sin >，故 ∈+<<+k k k (45242ππθππZ )． 因为)2,0[πθ∈，所以θ的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ． 5．15000. 提示：由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形：（1）有一个项目有3人参加，共有3600!5!51537=⋅-⋅C C 种方案； （2）有两个项目各有2人参加，共有11400!5!5)(21252527=⋅-⋅⋅C C C 种方案；所以满足题设要求的方案数为15000114003600=+．6提示：设四面体ABCD 的外接球球心为O ，则O 在过△ABD 的外心N 且垂直于平面ABD 的垂线上．由题设知，△ABD 是正三角形，则点N 为△ABD 的中心．设M P ,分别为CD AB ,的中点，则N 在DP 上，且DP ON ⊥，CD OM ⊥．因为︒=∠=∠=∠60ADB CDB CDA ，设CD 与平面A B D 所成角为θ，可求得32s i n ,31c o s ==θθ．在△DMN 中，33233232,121=⋅⋅=⋅===DP DN CD DM ． 由余弦定理得231312)3(1222=⋅⋅⋅-+=MN ，故2=MN ．四边形DMON 的外接圆的直径3322sin ===θMNOD ．故球O 的半径3=R ．7．)2,1(-或)6,9(-．提示： 设)2,(),,(),,(22211t t C y x B y x A ，由⎩⎨⎧==--,4,0122x y y x 得 BC DOP MN0482=--y y ，则821=+y y ，421-=⋅y y ．又12,122211+=+=y x y x ，所以182)(22121=++=+y y x x ， 11)(24212121=+++⋅=⋅y y y y x x ．因为︒=∠90ACB ，所以0=⋅，即有0)2)(2())((212212=--+--y t y t x t x t ，即0)(24)(21212212214=⋅++-+⋅++-y y t y y t x x t x x t ，即03161424=---t t t ，即0)14)(34(22=--++t t t t ．显然0142≠--t t ，否则01222=-⋅-t t ，则点C 在直线012=--y x 上，从而点C 与点A 或点B 重合．所以0342=++t t ，解得3,121-=-=t t ．故所求点C 的坐标为)2,1(-或)6,9(-．8．15. 提示：=n a C65400320020023n n n--⋅⋅．要使)951(≤≤n a n 为整数，必有65400,3200nn --均为整数，从而4|6+n ． 当=n 2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时，3200n -和65400n-均为非负整数，所以n a 为整数，共有14个．当86=n 时，=86a C 5388620023-⋅⋅，在C !114!86!20086200⋅=中，!200中因数2的个数为1972200220022002200220022002200765432=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡， 同理可计算得!86中因数2的个数为82，!114中因数2的个数为110，所以C 86200中因数2的个数为511082197=--，故86a 是整数．当92=n 时，=92a C 10369220023-⋅⋅，在C !108!92!20092200⋅=中，同样可求得!92中因数2的个数为88,!108中因数2的个数为105,故C 86200中因数2的个数为410588197=--，故92a 不是整数．因此，整数项的个数为15114=+．9．因为)21()(++-=b b f a f ，所以 |)2lg(||)21lg(||)121lg(||)1lg(|+=+=+++-=+b b b b a ， 所以21+=+b a 或1)2)(1(=++b a ，又因为b a <，所以21+≠+b a ，所以1)2)(1(=++b a ．又由|)1lg(|)(+=a a f 有意义知10+<a ，从而2110+<+<+<b b a ，于是2110+<<+<b a ．所以1210)2(6)2(6)1(101)21610(>+++=+++=+++b b b a b a ． 从而]210)2(6lg[|]210)2(6lg[|)21610(+++=+++=++b b b b b a f ． 又2lg 4)21610(=++b a f ，所以2lg 4]210)2(6lg[=+++b b ， 故16210)2(6=+++b b ．解得31-=b 或1-=b （舍去）． 把31-=b 代入1)2)(1(=++b a 解得52-=a ．所以 52-=a ，31-=b ．10．（1）由原式变形得112)1)(1(211--++-=++n n n n n t a a t a ，则2111)1(212)1(21111+-+-+=-++=-+++n n n n n n n n n t a t a t a a t a ． 记n n n b t a =-+11，则221+=+n n n b b b ，21221111=--=-+=t t t a b ． 又211,211111=+=+b b b n n ，从而有221)1(111n n b b n =⋅-+=， 故 n t a n n 211=-+，于是有 1)1(2--=nt a n n ．（2）nt n t a a n n n n )1(21)1(211--+-=-++ [])1)(1()1()1()1(211--++++-+++++-=n n n t t n t t t n n n t[][])()()1()1()1(2)1()1()1(211---++-+-+-=+++-+-=n n n n n n t t t t t n n t t t nt n n t[]132212)1()1()1()1(2-----++++++++++-=n n n n n t t t t t t n n t ， 显然在)1(0≠>t t 时恒有01>-+n n a a ，故n n a a >+1．11．（1）设直线l ：m x y +=31，),(),,(2211y x B y x A ． 将m x y +=31代入143622=+y x 中，化简整理得03696222=-++m mx x ．于是有2369,322121-=-=+m x x m x x ，232,2322211--=--=x y k x y k P B P A ． 则PA PB k k +==，上式中，分子)23)(231()23)(231(1221--++--+=x m x x m x)2(26))(22(322121--+-+=m x x m x x )2(26)3)(22(2369322----+-⋅=m m m m 0122626312322=+-+--=m m m m ，从而，0=+P B P A k k ．又P 在直线l 的左上方，因此，APB ∠的角平分线是平行于y 轴的直线，所以△PAB 的内切圆的圆心在直线23=x 上．（2）若︒=∠60APB 时，结合（1）的结论可知3,3-==P B P A k k ． 直线PA 的方程为：)23(32-=-x y ，代入143622=+y x 中，消去y 得0)3313(18)331(69142=-+-+x x ．它的两根分别是1x 和23，所以14)3313(18231-=⋅x ，即14)3313(231-=x ．所以7)133(23|23|)3(1||12+=-⋅+=x PA ．同理可求得7)133(23||-=PB ．所以1||||sin 6021249PAB S PA PB ∆=⋅⋅⋅︒==。
2013届高三数学全国高校自主招生模拟试卷(带答案)
2013届高三数学全国高校自主招生模拟试卷（带答案）2013年全国高校自主招生数学模拟试卷四一、选择题(本题满分36分，每小题6分)1．已知△ABC，若对任意t∈R，→BA－t→BC≥→AC，则△ABC一定为A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．答案不确定2．设logx(2x2＋x－1)＞logx2－1，则x的取值范围为A．12＜x＜1B．x＞12且x≠1C．x＞1D．0＜x＜13．已知集合A＝{x|5x－a≤0}，B＝{x|6x－b＞0}，a，b∈N，且A∩B∩N ＝{2，3，4}，则整数对(a，b)的个数为A．20B．25C．30D．424．在直三棱柱A1B1C1－ABC中，∠BAC＝π2，AB＝AC＝AA1＝1．已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点)．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为A．15，1)B．15，2)C．1，2)D．15，2)5．设f(x)＝x3＋log2(x＋x2＋1)，则对任意实数a，b，a＋b≥0是f(a)＋f(b)≥0的A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件6．数码a1，a2，a3，…，a2006中有奇数个9的2007位十进制数－2a1a2…a2006的个数为A．12(102006＋82006)B．12(102006－82006)C．102006＋82006D．102006－82006二、填空题(本题满分54分，每小题9分)7.设f(x)＝sin4x－sinxcosx＋cos4x，则f(x)的值域是．8.若对一切θ∈R，复数z＝(a＋cosθ)＋(2a－sinθ)i的模不超过2，则实数a的取值范围为．9．已知椭圆x216＋y24＝1的左右焦点分别为F1与F2，点P在直线l：x－3y＋8＋23＝0上.当∠F1PF2取最大值时，比|PF1||PF2|的值为．10．底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为12cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水cm3．11．方程(x2006＋1)(1＋x2＋x4＋…＋x2004)＝2006x2005的实数解的个数为．12.袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13.给定整数n≥2，设M0(x0，y0)是抛物线y2＝nx－1与直线y＝x的一个交点.试证明对任意正整数m，必存在整数k≥2，使(x0m，y0m)为抛物线y2＝kx－1与直线y＝x的一个交点．14．将2006表示成5个正整数x1，x2，x3，x4，x5之和．记S＝1≤i ＜j≤5Σxixj．问：⑴当x1，x2，x3，x4，x5取何值时，S取到最大值；⑵进一步地，对任意1≤i，j≤5有xi－xj≤2，当x1，x2，x3，x4，x5取何值时，S取到最小值.说明理由．15．设f(x)＝x2＋a.记f1(x)＝f(x)，fn(x)＝f(fn－1(x))，n＝1，2，3，…，M＝{a∈R|对所有正整数n，fn(0)≤2}．证明，M＝－2，14]．2013年全国高校自主招生数学模拟试卷四参考答案一、选择题(本题满分36分，每小题6分)答C．解：令∠ABC＝α，过A作AD⊥BC于D，由→BA－t→BC≥→AC，推出→BA2－2t→BA•→BC＋t2→BC2≥→AC2,令t＝→BA•→BC→BC2，代入上式，得→BA2－2→BA2cos2α＋→BA2cos2α≥→AC2，即→BA2sin2α≥→AC2,也即→BAsinα≥→AC．从而有→AD≥→AC．由此可得∠ACB＝π2．答B．解：因为x＞0，x≠12x2＋x－1＞0，解得x＞12且x≠1．由logx(2x2＋x －1)＞logx2－1，＋x2－x)＞＜x＜1，2x3＋x2－x＜2或x＞1，2x3＋x2－x＞2．解得0＜x＜1或x＞1．所以x的取值范围为x＞12且x≠1．答C．解：5x－；6x－b＞＞b6．要使A∩B∩N＝{2，3，4}，则1≤b6＜2，4≤a5＜5，即6≤b＜12，20≤a＜25．所以数对(a，b)共有C61C51＝30个．答A．解：建立直角坐标系，以A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，则F(t1，0，0)(0＜t1＜1)，E(0，1，12)，G(12，0，1)，D(0，t2，0)(0＜t2＜1)．所以→EF＝(t1，－1，－12)，→GD＝(－12，t2，－1)．因为GD⊥EF，所以t1＋2t2＝1，由此推出0＜t2＜12．又→DF＝(t1，－t2，0)，→DF＝t12＋t22＝5t22－4t2＋1＝5(t2－25)2＋15，从而有15≤→DF＜1．答A．解：显然f(x)＝x3＋log2(x＋x2＋1)为奇函数，且单调递增．于是若a＋b≥0，则a≥－b，有f(a)≥f(－b)，即f(a)≥－f(b)，从而有f(a)＋f(b)≥0．反之，若f(a)＋f(b)≥0，则f(a)≥－f(b)＝f(－b),推出a≥－b，即a＋b≥0．答B．解：出现奇数个9的十进制数个数有A＝C2006192005＋C2006392003＋…＋C200620059．又由于(9＋1)2006＝k＝0Σ2006C2006k92006－k以及(9－1)2006＝k＝0Σ2006C2006k(－1)k92006－k从而得A＝C2006192005＋C2006392003＋…＋C200620059＝12(102006－82006)．填0，98]．解：f(x)＝sin4x－sinxcosx＋cos4x＝1－12sin2x－12sin22x．令t＝sin2x，则f(x)＝g(t)＝1－12t－12t2＝98－12(t＋12)2．因此－1≤t≤1ming(t)＝g(1)＝0，－1≤t≤1maxg(t)＝g(－12)＝98．故，f(x)∈0，98]．填－55，55]．解：依题意，得＋cosθ)2＋(2a－－2sinθ)≤3－5a2．－25asin(θ－φ)≤3－5a2(φ＝arcsin55)对任意实数θ成立．－，故a的取值范围为－55，55]．填3－1．.解：由平面几何知，要使∠F1PF2最大，则过F1，F2，P三点的圆必定和直线l相切于点P．直线l交x轴于A(－8－23，0)，则∠APF1＝∠AF2P，即∆APF1∽∆AF2P，即|PF1||PF2|＝|AP||AF2|⑴又由圆幂定理，|AP|2＝|AF1|•|AF2|⑵而F1(－23，0)，F2(23，0)，A(－8－23，0)，从而有|AF1|＝8，|AF2|＝8＋43．代入⑴，⑵得，|PF1||PF2|＝|AF1||AF2|＝88＋43＝4－23＝3－1．填(13＋22)π．解：设四个实心铁球的球心为O1，O2，O3，O4，其中O1，O2为下层两球的球心，A，B，C，D分别为四个球心在底面的射影．则ABCD是一个边长为22的正方形。
2013二模理科数学答案.doc
永州市2013年高考第二次模拟考试 数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题(每小题5分，共40分)D ADC BAAC二、填空题(每小题5分，共35分)(一）选做题（9－11题，考生只能从中选做2题，如果多做则按前两题计分）9． 2cos 0ρθ+= 10．1(1,)3-- 11． （二）必做题（12－16题）12． 90 13． i 14． －10 15． ＜16． （1）15（2）7 三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分12分）解：（1）20人只有2人过关，过关率为110，估计100名学员中有11001010⨯=人一次过关； …………3分（2）设“过科目一、二、三”分别为事件A 、B 、C ，过科目一的12人中有2人过了科目二却没过科目三，故P ＝21(|)126P BC A ==；…6分 （3）设这个学员一次过关的科目数为η,则η的分布列为： …………………8分E η＝22119012355101010⨯+⨯+⨯+⨯=， ………………10分 ξ＝100η，E （ξ）＝E （100η）＝100 ×E （η）＝100×910＝90． ………………12分18．（本小题满分12分）解法一(1)证明：连接OE ，OF ，由图1知：OE //AC ，OF //AD ，而OE ，OF 不在平面ACD 上，且OE 交OF 于O ，故平面OEF //平面ACD ，所以EF //平面ACD ． ………………5分（2）取AD 的中点G ，连接OG ，则∠CGO 就是二面角C －AD －O 的平面角， OGCO ＝2，………………9分90oCOG ∠=，tan CO CGO OG∠===， ………………11分故二面角C －AD －O．……………12分解法二：证明（1）如图建立空间直角坐标系，A (0,－2,0),C (0,0,2),D,-1,0), E(0,),,1,0),(0,2,2),AC =(3,1,0)AD =, (3,1EF =设平面ACD 的法向量(,,)m x y z =，依题意有：m AC m AD ⊥⊥⎧⎪⎨⎪⎩(,,)(0,2,2)220(,,)0)0m AC x y z y z m AD x y z y ⋅=⋅=+=⇒⊥=⋅=+=⎧⎪⎨⎪⎩，令x =－1,则y，z =,则(m =-，………………3分因为(m EF ⋅=-⋅-0==，所以m EF ⊥，又EF 不在平面ACD 上，故EF//平面ACD ． ………………6分 （2）易求得平面OAD 的一个法向量(0,0,1)n =，设二面角C －AD －O 的大小为θ，由图知θ为锐角，(1,cos ||||||mn m n θ⋅-===，………………9分tan cos 3θθ===………………11分故二面角C －AD －O的正切值为3． ………………12分19．（本小题满分12分） 解：(1) 由|f (x )|＝|2sin(3πx ＋6π)|＝2得sin(3πx ＋6π)＝±1， 即3πx ＋6π＝k π＋2π，∴ x ＝3k ＋1，k ∈N ，∴ {a n }是首项为1，公差为3的等差数列，∴ a n ＝3n －2，n ∈N ＊， …………4分3222n a n n b -==，{n b }是首项是2，公比是8的等比数列，其前n 项和2(18)2(81)187n nn S -==--； ………………6分 (2) 12231tan tan tan tan tan tan n n n T a a a a a a +=+++tan1tan 4tan 4tan 7tan(32)tan(31)n n =⋅+⋅++-⋅+， ………………8分由tan(31)tan(32)tan 3tan[(31)(32)]1tan(31)tan(32)n n n n n n +--=+--=++⋅-， ………………9分有tan(31)tan(32)tan(32)tan(31)1tan 3n n n n +---⋅+=-， ………………10分14473231n T n n =⋅+⋅++-⋅+tan tan tan tan tan()tan()4174107111333---=-+-+-+tan tan tan tan tan tan ()()()tan tan tan313213n n +--+-tan()tan()[]tan 3113n n +-=-tan()tan tan ． ……………12分20．（本小题满分13分）解：(1) 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，直线BC 过焦点F （0,1）， 故设BC 的直线方程为y ＝kx ＋1，由 ⎩⎨⎧=+=yx kx y 412 得x 2－4kx －4＝0，故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4， ……………3分 ∴ |x 1－x 2|＝212214)(x x x x -+＝16162+k ∴ S △EBC ＝S △EBF ＋S △CEF ＝21|x 1| |EF |＋21|x 2| |EF | ＝|x 1－x 2|＝142+k ＝5，求得k ＝34±，此时，BC 方程为314y x =±+， 点 B 的坐标为(±4，4)，故l 的方程为514y x =±-； ………………6分 （2）设B (x 1，y 1)，A (x 3，y 3)，l 方程：y ＝kx －1，由⎩⎨⎧=-=yx kx y 412， 得x 2－4kx ＋4＝0，△＝16k 2－16>0，k 2>1，故x 1＋x 3＝4k ，x 1x 3＝4，又A 在E 与B 之间， ∴0＜∣x 3∣＜∣x 1∣， ∴0＜|x 3|2＜∣x 1 x 3∣＝4， ∴0＜∣x 3∣＜2，x 1＝34x ,直线BC 的方程为1111y y x x -=+， ………………9分 设M (3x ,y o )，点M 在直线BC 上，有13111o y y x x -=+，即2131141o x y x x -=+，整理得y o ＝2－234x ，M (3x ，2－234x )， (－2＜3x ＜2且3x ≠0)|EM|==,令234x ＝t ,则(0,1)t ∈,|EM|==． ………………12分 线段EM长的取值范围为． ………………13分 21．(本题满分13分)解：（1）连结 OP ，因30o BAP ∠=，120o ABP ∠=30oAPB ∴∠=．在三角形PBO 中，222102021020cos120700OP =+-⨯⨯=22(1012)OP >+ 即22OP >故该外轮未进入我领海主权范围内． ………………5分 （2）作PQ AN ⊥于Q ，PS AB ⊥于S，则AQ SP ==30PQ =，因60oNAP ∠=，NMP θ∠=，首先应有60oθ>， 30sin PM θ=，30cos sin AM θθ=，设MP 方向的船速为V ，则我救助船全速到达P 点共所需时间为130cos 13030cos ()]sin sin sin T VV VVθλθθλθθλθ-=+⋅=⨯, ……………7分221cos 301cos 30()sin sin T VVθλθλθλθθ--'=⨯=⨯,令()0T θ'=得1cos θλ=．设使1cos θλ=的那个锐角为λθ，则当(60,)oλθθ∈时，()0T θ'<，当(,90)o λθθ∈时，()0T θ'>，()T θ在(60,)oλθ位减函数，在(,90)o λθ位增函数，（注：将(60,)o λθ写成 (0,)oλθ 不扣分）所以当1cos θλ=时()T θ能取得最小值． ………………9分另一方面，延长PC 与AN 交于0M ，须0QM QM ≥（即0QM P θ≥∠）救助船才能沿直线MP 航行．0cos cos QM P θ∠===≤，由1λ≤解得λ≥．此时0Q M P λθ≥∠，而当λ<时，0Q M P λθ<∠，由()T θ的单调性知θ取0QM P ∠时()T θ最小． ………………11分综上知，为使到达P 点的时间最短，当λ≥时，救助船选择的拐角θ应满足1cos θλ=；当λ<时，救助船应在0M 处拐头直朝P 点航行，此时cosθ=． ………………13分22．(本题满分13分)解：（1）∵()2ln()f x a x b =+，∴2()af x x b'=+，则()f x 在切点(0,2ln )A a b 处切线的 斜率2(0)a k f b '==，则()f x 在点(0,2ln )A a b 处切线方程为22ln a y x a b b =+．又由2()1x g x e =-，得2()2x g x e '=，则()g x 在切点B(0,0)处切线的斜率(0)2k g '==， 则()g x 在点B 处切线方程为2y x =． 由22ab= 和2ln 0a b =解得1a =，1b =． ()2ln(1)(1)f x x x =+>-，2()1xg x e =-． ………………4分（2）由002[1g(x x m ->+202x m x e <-， 令2()2h x x e =-要使22m x e <-[0,)+∞上有解，只需max [()]m h x <． ………………5分 ①当0x =时，(0)0h =，所以0m <； ………………6分②当0x >时，2()2x h x e '=-，∵0x >，有2≥，e 1x >，∴2()20x h x e '=-<函数2()2h x x e =-[0,)+∞上单调递减，所以max ()(0)0h x h ==， 所以0m <综合①②得实数m 的取值范围是(,0)-∞ ……………8分（3）令2()()()12ln(1)(1)x u x g x f x e x x =-=--+>-，则2222(1)2()211xx e x u x e x x +-'=-=++．∴当0x ≥时，由于21,11xex ≥+≥，所以 22(1)2x e x +≥∴()0u x '≥在0x ≥上恒成立， 函数()u x 在区间(0,)+∞上单调递增， ∴当0x >时，()(0)0u x u >=恒成立，故对于任意210x x >>，有2121()()g x x f x x ->-． ………………10分 又∵212121111()1011x x x x x x x x +--+-=>++，∴2212111ln(1)ln ln(1)ln(1)1x x x x x x +-+>=+-++． ∴2121()()()f x x f x f x ->-， ………………12分 从而2121()()()g x x f x f x ->-． ………………13分方法2：也可按下面思路：先证明212()2112()x x e x x -->- [构造2()12x u x e x =--，求导再分析单调性] 再证明2121ln(1)ln(1)x x x x ->+-+ [通过构造()ln(x 1)v x x =-+，求导后分析单调性]（详略）。
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷命题人：南昌二中 高三（01）班 张阳阳一、选择题(本题满分36分，每小题6分)1．已知△ABC ，若对任意t ∈R ，||→BA －t →BC ≥||→AC ，则△ABC 一定为A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．答案不确定 2．设log x (2x 2＋x －1)＞log x 2－1，则x 的取值范围为A ．12＜x ＜1B ．x ＞12且x ≠1 C ． x ＞1 D ． 0＜x ＜13．已知集合A ＝{x |5x －a ≤0}，B ＝{x |6x －b ＞0}，a ，b ∈N ，且A ∩B ∩N ＝{2，3，4}，则整数对(a ，b )的个数为A ．20B ．25C ．30D ．42 4．在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，∠BAC ＝π2，AB ＝AC ＝AA 1＝1．已知G 与E 分别为A 1B 1和CC 1的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点(不包括端点)．若GD ⊥EF ，则线段DF 的长度的取值范围为A ．[15，1)B ．[15，2)C ．[1，2)D ．[15，2)5．设f (x )＝x 3＋log 2(x ＋x 2＋1)，则对任意实数a ，b ，a ＋b ≥0是f (a )＋f (b )≥0的A . 充分必要条件B . 充分而不必要条件C . 必要而不充分条件D . 既不充分也不必要条件 6．数码a 1，a 2，a 3，…，a 2006中有奇数个9的2007位十进制数－2a 1a 2…a 2006的个数为A ．12(102006＋82006)B ．12(102006－82006) C ．102006＋82006 D ．102006－82006二、填空题(本题满分54分，每小题9分)7. 设f (x )＝sin 4x －sin x cos x ＋cos 4x ，则f (x )的值域是 ．8. 若对一切θ∈R ，复数z ＝(a ＋cos θ)＋(2a －sin θ)i 的模不超过2，则实数a 的取值范围为 ．9．已知椭圆x 216＋y 24＝1的左右焦点分别为F 1与F 2，点P 在直线l ：x －3y ＋8＋23＝0上.当∠F 1PF 2取最大值时，比|PF 1||PF 2|的值为 ．10．底面半径为1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为12cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水 cm 3．11．方程(x 2006＋1)(1＋x 2＋x 4＋…＋x 2004)＝2006x 2005的实数解的个数为 ． 12. 袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为 ．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13. 给定整数n ≥2，设M 0(x 0，y 0)是抛物线y 2＝nx －1与直线y ＝x 的一个交点. 试证明对任意正整数m ，必存在整数k ≥2，使(x 0m ，y 0m )为抛物线y 2＝kx －1与直线y ＝x 的一个交点．14．将2006表示成5个正整数x 1，x 2，x 3，x 4，x 5之和．记S ＝1≤i ＜j ≤5Σx i x j ．问：⑴ 当x 1，x 2，x 3，x 4，x 5取何值时，S 取到最大值；⑵ 进一步地，对任意1≤i ，j ≤5有||x i －x j ≤2，当x 1，x 2，x 3，x 4，x 5取何值时，S 取到最小值.说明理由．15．设 f (x )＝x 2＋a . 记f 1(x )＝f (x )，f n (x )＝f (f n －1(x ))，n ＝1，2，3，…，M ＝{a ∈R |对所有正整数n ，||f n (0)≤2}．证明，M ＝[－2，14]．2013年全国高校自主招生数学模拟试卷四参考答案一、选择题(本题满分36分，每小题6分)答C ．解：令∠ABC ＝α，过A 作AD ⊥BC 于D ，由||→BA －t →BC ≥||→AC ，推出||→BA 2－2t →BA · →BC ＋t 2||→BC 2≥||→AC 2,令t ＝→BA · →BC ||→BC2，代入上式，得||→BA 2－2||→BA 2cos 2α＋||→BA 2cos 2α≥||→AC 2，即 ||→BA 2sin 2α≥||→AC 2,也即||→BA sin α≥||→AC ．从而有||→AD ≥||→AC ．由此可得∠ACB ＝π2．答B ．解：因为⎩⎨⎧x ＞0，x ≠12x 2＋x －1＞0，解得x ＞12且x ≠1．由log x (2x 2＋x －1)＞log x 2－1，⇒ log x (2x 3＋x 2－x )＞log x 2⎩⎨⎧0＜x ＜1，2x 3＋x 2－x ＜2或⎩⎨⎧x ＞1，2x 3＋x 2－x ＞2．解得0＜x ＜1或x ＞1． 所以x 的取值范围为x ＞12且x ≠1．答C ． 解：5x －a ≤0x ≤a5；6x －b ＞0x ＞b6．要使A ∩B ∩N ＝{2，3，4}，则 ⎩⎨⎧1≤b6＜2，4≤a 5＜5，即⎩⎨⎧6≤b ＜12，20≤a ＜25．所以数对(a ，b )共有C 61C 51＝30个． 答A ．解：建立直角坐标系，以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，则F (t 1，0，0)(0＜t 1＜1)，E (0，1，12)，G (12，0，1)，D (0，t 2，0)(0＜t 2＜1)．所以→EF ＝(t 1，－1，－12)，→GD ＝(－12，t 2，－1)．因为GD ⊥EF ，所以t 1＋2t 2＝1，由此推出0＜t 2＜12．又→DF ＝(t 1，－t 2，0)，||→DF ＝t 12＋t 22＝5t 22－4t 2＋1＝5(t 2－25)2＋15，从而有15≤||→DF ＜1．答A ．解：显然f (x )＝x 3＋log 2(x ＋x 2＋1)为奇函数，且单调递增．于是若a ＋b ≥0，则a ≥－b ，有f (a )≥f (－b )，即f (a )≥－f (b )，从而有f (a )＋f (b )≥0． 反之，若f (a )＋f (b )≥0，则f (a )≥－f (b )＝f (－b ),推出a ≥－b ，即a ＋b ≥0． 答B ．解：出现奇数个9的十进制数个数有A ＝C 20061 92005＋C 20063 92003＋…＋C 200620059．又由于(9＋1)2006＝k ＝0Σ2006C 2006k 92006－k以及(9－1)2006＝k ＝0Σ2006C 2006k(－1)k 92006－k 从而得A ＝C 20061 92005＋C 20063 92003＋…＋C 200620059＝12(102006－82006)． 填[0，98]．解：f (x )＝sin 4x －sin x cos x ＋cos 4x ＝1－12sin2x －12sin 22x ．令t ＝sin2x ，则f (x )＝g (t )＝1－12t －12t 2＝98－12(t ＋12)2．因此－1≤t ≤1min g (t )＝g (1)＝0，－1≤t ≤1max g (t )＝g (－12)＝98． 故，f (x )∈[0，98]．填[－55，55]．解：依题意，得|z |≤2(a ＋cos θ)2＋(2a －sin θ)2≤42a (cos θ－2sin θ)≤3－5a 2． －25a sin(θ－φ)≤3－5a 2(φ＝arcsin 55)对任意实数θ成立． 25|a |≤3－5a 2|a |≤55，故 a 的取值范围为[－55，55]． 填3－1．.解：由平面几何知，要使∠F 1PF 2最大，则过F 1，F 2，P 三点的圆必定和直线l 相切于点P ．直线l 交x 轴于A (－8－23，0)，则∠APF 1＝∠AF 2P ，即∆APF 1∽∆AF 2P ，即|PF 1||PF 2|＝|AP ||AF 2|⑴ 又由圆幂定理，|AP |2＝|AF 1|·|AF 2|⑵而F 1(－23，0)，F 2(23，0)，A (－8－23，0)，从而有|AF 1|＝8，|AF 2|＝8＋43． 代入⑴，⑵得，|PF 1||PF 2|＝|AF 1||AF 2|＝88＋43＝4－23＝3－1．填(13＋22)π． 解：设四个实心铁球的球心为O 1，O 2，O 3，O 4，其中O 1，O 2为下层两球的球心，A ，B ，C ，D 分别为四个球心在底面的射影．则ABCD 是一个边长为22的正方形。
2013高校自主招生仿真模拟试题及答案2(word)
数学模拟试题(第二套)一、选择题1. 设0>a ，复数4)(i a +的实部为8-，则其虚部为（ ） A. 34 B. 24 C. 38 D.282. 在正四棱锥ABCD P -中,M ,N 分别为PB ,PD 的中点，且侧面与底面所成二面角的正切为2,则异面直线AM 与CN 所成角的余弦为（ ） A.61 B. 31 C.32 D.433. 椭圆1422=+y x的内接三角形的面积的最大值为（ ）A. 3B.49 C.223 D.2334. 在ABC ∆中，c b a 3=+，则C B A sin sin sin 的最大值为（ ）A. 817 B. 924 C.91 D.812325. 从3个2分和10个5分的钱币中取出一些，共可得到（ ）种面值.A. 42B. 43C. 44D. 45 6. 在ABC ∆中，在AB 上取点1C 使得AB AC 311=，在BC 上取点1A 使得BC BA 311=，在CA 上取点1B 使得CA CB 311=，1BB 与1CC 交于点2A ，1CC 与1AA 交于点2B ，1AA 与1BB 交于点2C ，则=∆∆ABCC B A S S 222（ ）A. 31 B.51 C.71 D.917. 5条直线最多把平面分成（ ）部分A. 13B. 14C. 15D.168. AB 为过抛物线x y 42=焦点F 的弦，O 为坐标原点，且150=∠OFA ， C 为抛物线准线与x 轴的交点，则ACB ∠的正切值为（ ）A. 31B. 32C. 34D. 19. 正方形ABCD 和正方形CDFE 有两个公共顶点C ，D ，他们的位置可用矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡F DBE C A 来表示，变换S 将正方形ABCD 逆时针旋转90，即将ABDC 分别移到BDCA 的位置.变换T 将正方形CDFE 逆时针旋转 90，即将CDFE 分别移到DFEC 的位置.则下列将各顶点从原来的位置变为⎥⎦⎤⎢⎣⎡D EFC B A 的最短的变换序列是（ ） A. ST T S T 323 B. T TS STS 22 C. 22TS STS D. T TS TS 22 10. 一个圆柱形试杯，杯底的厚度不计，空杯时重心在离杯底52处，盛满水时水的重量等于试杯的重量，则当装水的高度与试杯的高度之比为（ ）时重心最低. A. 2 B. 553 C. 12- D.1553-二、解答题11. 在ABC ∆中，2c ab =.求证： 60≤∠C .12. 长度为2的线段AB 的端点在抛物线2x y =上滑动.求其中点P 的轨迹方程.13. 己知a ，b ，c 为正数.求证：1222≥+++++ba c ac b cb a .14. 1P ,2P 为抛物线x y 42=上任意两点，过两点的切线交点为Q .求证:F P F P QF 212⋅=.15. 数列{}n a 满足k k k a a a =+++122,n S 为前n 项之和. （1）若k k k a a b +=+1，求证:{}n b 为等比数列，并求公比q . （2）若11=b ，且n n S S ∞→=lim 存在，求1a 及S .答 案一、选择题二、i a a a a i a )44()16()(3244-++-=+，81624-=+-a a ，09624=+-a a ，32=a ，3=a ，虚部38443=-a a . 答案： C三、解法一:设底面边长为2，则由侧面与底面所成二面角的正切为2，得高为2.以底面的中心O 为原点，OP 为z 轴建立空间直角坐标系，则)0,1,1(-A ，)0,1,1(B ，)0,1,1(-C ，)0,1,1(--D ，)2,0,0(P ，则)22,21,21(M ，)22,21,21(--N ，)22,23,21(-=AM ，)22,23,21(-=CN .设所成的角为θ，则32||||||cos =⋅=CN AM CN AM θ. 答案： C解法二:设底西边长为2，则由侧面与底面所成二面角的正切为2，得高为2.我们平移AM 与CN 在一起.设AD 的中点为E ，PN 的中点为G .于是AM EF //，CN FG // 因为2===AB PB PA ，所以3===CN AM EF ，2321==CN FG .在DEG ∆中，而1=DE ，23=DG ，3π=∠EDG .由余弦定理，求出27=EG .所以在DEG ∆中，由余弦定理求出32cos =∠EFG . 答案： C解法三：另一种方法平移AM 与CN 在一起，即点C 移到点A .设点N 移到点Q ，则10=MQ ，在AMQ ∆中，由余弦定理求出32cos =∠EFG . 答案: C四、将椭圆沿x 轴压缩一半，我们知道圆内接正三角形面积最大，433'''=∆C B A S ，从而椭圆的内接三角形的面积2332'''==∆∆C B A ABC S S . 答案： D五、利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，)sin(3sin 3sin sin B A C B A +==+，2cos2sin32cos2sinB A B A B A B A ++=-+，2cos32cosB A B A +=-.而312cos≤+B A所以97)cos(-≤+B A ，97cos ≥C .CC C C C B A B A C B A 2sin 41sin 21sin )cos 1(21sin )]cos()[cos(21sin sin sin +=+≤+--=因为97cos ≥C ，924sin ≤C ，812562sin ≤C ，所以2813228114292sin sin sin =+≤C B A . 答案： D六、从1分到56分中不能得到的有1，3，8，l3，…，48，53，55，从3到53是公差为5的等差数列，所以共43种. 答案: B 七、作11//CC D A ，则3111==BCBA BC BD ，而AB BC 321=，故AB BD 92=，AB AB AB D C 9492321=-=，所以3411221==AC D C AB B A ，7312=AA AB .类似的方法可求出71121=AA C A ，于是1AA 上的三条线段之比1:3:3.同样，可得1BB ，1CC 上的三条线段之比也都是1:3:3.832143222212221222=⋅=⋅=∆∆C B B A B A C B S S CB AC B A ，74121121==∆∆AA B A S S C AA C B A ，3211==∆∆BCC A S S ABCC AA ，所以71327483222=⋅⋅=∆∆ABCC B A S S . 答案： D八、解略. 答案： D九、解法一：焦点)0,1(F ，)0,1(-C ，AB 方程)1(33-=x y .与抛物线方程x y 42=联立，解得)324,347(++A ，)432,347(--B ，于是21=CA k ，21-=CB k ，341tan =+-=∠CBCA CB CA k k k k ACB . 答案： C解法二：如图，利用抛物线的定义，将原题转化为：在直角梯形ABCD 中， 30=∠BAD ，DA EF //，2=EF ，AD AF =，BC BF =，求AEB ∠.21tan tan ===∠=∠AFGF ADDE EAD AEF .类似的，有21tan tan =∠=∠EBC BEF ，AEF BEF AEF AEB ∠=∠+∠=∠2，342tan tan =∠=∠AEF AEB . 答案： C十、经检验A 、B 都能实现所要求的变换，但A 较短. 答案： A十一、设试杯的高为1，重量为1，重心最低时在水面上，设这时的高度为h ，则h h h h ⋅+=⋅+⋅)1(5212，05422=-+h h ，1553-=h . 答案： D7.解答题11. 利用正弦定理，将条件中边的关系化为角的关系，C B A 2sin sin sin =，C B A B A 2sin 2)cos()cos(=+--，C C B A 2sin 2cos )cos(=+-，02)cos(cos cos 22=--++B A C C .而1)cos(≤-B A ，所以01cos cos 22≥-+C C ，0)1cos 2)(1(cos ≥-+C C ，21cos ≥C ， 60≤∠C .12. 设),(00y x P ，),(11y x A ，),(22y x B ，AB 的斜率为k ，则AB 的方程为)(00x x k y y -=-，代入抛物线方程，得0002=-+-y kx kx x .k x x =+21，而P 是AB的中点，02x k =.再代入，得02202002=-+-y x x x x ，2000x y x x -±=，200212||x y x x -=-. 故2412||1||20020212=-⋅+=-+=x y x x x k AB ，1)14)((20200=+-x x y ，所以P 的轨迹方程为1)14)((22=+-x x y ，即14122++=x x y .13. 用A ，B ，C 表示三个分母，则 924AC B a -+=，924BA C b -+=，924CB A c -+=即要证9242424≥-++-++-+C CB A B B AC A A C B . 因为15444≥+++++C B A BAC AC B ，即15)(4)(≥+++++CB BA AC CA B C A B ，而由公式33abc c b a ≥++，得3≥++C A B C A B，3≥++C B BA AC，从而得证.14. 证法一：设),(111y x P ，),(222y x P ，),(00y x Q ，则F P 1的方程)(211x x y y +=，即22211y x y y +=，F P 2的方程22222y x y y +=.联立，得4210y y x =，2210y y y +=.于是4116)2()14()1(2221222122122120202y y y y y y y y y x QF+++=++-=+-=F P F P x x x x x x 21212121)1)(1(1⋅=++=+++=证法二：设准线为l ，作l Q P ⊥11，l Q P ⊥22，则F P Q P 111=，F P Q P 222=，Q P 1平分F P Q 11∠，Q P 2平分F P Q 22∠，则Q P 1，Q P 2分别为1FQ ，2FQ 的垂直平分线，即Q 是21Q FQ ∆的外心.因此本题可以转化为，在ABC ∆中，外心为Q ，AC 的垂直平分线1QP 交AB 的垂线1AP 于点1P ，BC 的垂直平分线2QP 交AB 的垂线2BP 于点2P ，求证212BP AP CQ⋅=.证明过程如下：设AC 的中点为D ，在D AP 1Rt ∆中，Ab DAP AD AP sin 2sin 11=∠=.同理Ba BP sin 22=.故2221sin 2sin 2sin 2sin 2CQ R BbA aBaA bBP AP ==⋅=⋅=⋅.15. （1）由题意得k k k k a a a a +=++++112)(2，即k k b b 211=+，21=q .三、由])21(1[32)(22112221112-----=-⋅⋅⋅+--=k k k b a b b b a a ，111232lim b a a k k -=-∞→；1121112212])21(1[32)(a b a b b b a k k k ---⋅=--⋅⋅⋅+-=--，11232lim a b a k k -=∞→. 因为S 存在，032lim lim lim 11212=-===∞→-∞→∞→b a a a a k k k k k k ，则323211==b a .所以11232311212)]41(1[34)(-------+=+⋅⋅⋅+++=k k k k k a b b b a S .故])41(1[3412312kk k b b b S --=+⋅⋅⋅++=-，34lim lim lim 212====∞→-∞→∞→k k k k k k S S S S .。
2013年高考模拟系列试卷(2)—数学(理)含答案
2013年高考模拟系列试卷(二)数学试题【新课标版】（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（阅读题）和第Ⅱ卷（表达题)两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的 1、设集合{}21,M x x x =-≤∈R ，{}21,02N y y xx ==-+≤≤,则()RM N ⋂等于 （ ）A ．RB ．{}|1x x R x ∈≠且C ．{}1D ．∅ 2、在复平面内,复数2013i i 1iz =+-表示的点所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3、若sin 601233,log cos 60,log tan 30a b c ===,则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．b a c >>4、设数列{}na 是公差不为零的等差数列，它的前n 项和为nS ,且1S 、2S 、4S 成等比数列，则41aa 等于( ）A ．6B ．7C ．4D ．35、已知点()1,0A -和圆222x y +=上一动点P ，动点M 满足2MA AP =,则点M 的轨迹方程是( )A ．()2231x y -+=B ．223()12x y -+=C ．2231()22x y -+= D ．223122x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ 6、命题“存在,αβ∈R ,使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-≥-”的否定为（ ） A ．任意,αβ∈R ，使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-≥- B ．任意,αβ∈R ，使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-<- C ．存在,αβ∈R ，使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-<- D ．存在,αβ∈R ，使22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-≤-7、设a b <,函数()()2y x a x b =--的图象可能是( ）8、程序框图如下：如果上述程序运行的结果S 的值比2013小，若使输出的S 最大,那么判断框中应填入（ ） A ．10k ≤ B ．10k ≥ C ．9k ≤ D ．9k ≥9、图为一个空间几何体的三视图，其中俯视图是下边一个等边三角形，其内切圆的半径是1，正视图和侧视图是上边两个图形，数据如图，则此几何体的体积是（ )A ．1533πB ．233πC ．33πD ．433π10、在9212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（ )A ．5376-B ．5376C ．84-D ．8411、如果点P 在平面区域220140x y x x y -+≤⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩上，点Q 在曲线（x －1）2＋（y－1)2＝1上，那么｜PQ ｜的最小值为（ ） A ．5－1B ．355C ．3515-D ．523－112、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点为12,F F ，过2F 的直线与圆222()()x a y b b -+-=相切于点A,并与椭圆C 交与不同的两点P,Q,如图，若A 为线段PQ 的靠近P 的三等分点，则椭圆的离心率为 ( ）A ．23B ．33C ．53D ．73第Ⅱ卷（非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题,每小题4分，共16分,把答案填在题中横线上13、由曲线23y x =-和直线2y x =所围成的面积为 。
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷二
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷二一、填空题（64分）1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A ．2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为 ．3．设b a ,为正实数，2211≤+b a ，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ． 4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是 ．5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答） 6．在四面体ABCD 中，已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD，则四面体ABCD 的外接球的半径为 ．7．直线012=--y x 与抛物线x y42=交于B A ,两点，C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB，则点C 的坐标为 ．8．已知=n a C())95,,2,1(2162003200=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn ，则数列}{n a 中整数项的个数为 ．二、解答题（56分）9．（16分）设函数|)1l g (|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求ba ,的值．10．（20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn nn n n t a t t a ta ∈n (N )*．（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．11．（20分）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+yx交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上； （2）若︒=∠60APB，求△PAB的面积．2013年全国高校自主招生数学模拟试卷二参考答案1．{3,0,2,6}-. 提示：显然，在A 的所有三元子集中，每个元素均出现了3次，所以15853)1()(34321=+++-=+++a a a a ，故54321=+++a a a a ，于是集合A 的四个元素分别为5－（－1）＝6，5－3＝2，5－5＝0，5－8＝－3，因此，集合}6,2,0,3{-=A ．2．(,(1,)2-∞-+∞ . 提示：设22,tan πθπθ<<-=x ，且4πθ≠，则)4sin(21cos sin 11tan cos 1)(πθθθθθ-=-=-=x f ．设)4sin(2πθ-=u，则12<≤-u ，且0≠u ，所以 ),1(]22,(1)(+∞--∞∈=ux f ．3．-1. 提示：由2211≤+b a ，得abb a 22≤+．又23322)(8)(24)(44)(4)(ab ab ab ab ab b a ab b a =⋅⋅≥+=-+=+，即abb a 22≥+． ①于是abb a 22=+． ②再由不等式①中等号成立的条件，得1=ab ．与②联立解得⎪⎩⎪⎨⎧+=-=,12,12b a 或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=,12,12b a故1log -=b a ．4．⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ. 提示：不等式)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-等价于θθθθ5353cos 71cos sin 71sin +>+. 又5371)(xx x f +=是),(+∞-∞上的增函数，所以θθcos sin >，故∈+<<+k k k (45242ππθππZ )．因为)2,0[πθ∈，所以θ的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ．5．15000. 提示：由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形： （1）有一个项目有3人参加，共有3600!5!51537=⋅-⋅C C种方案；（2）有两个项目各有2人参加，共有11400!5!5)(21252527=⋅-⋅⋅C C C 种方案；所以满足题设要求的方案数为15000114003600=+．6提示：设四面体ABCD 的外接球球心为O ，则O 在过△ABD 的外心N 且垂直于平面ABD 的垂线上．由题设知，△ABD 是正三角形，则点N 为△ABD 的中心．设M P ,分别为CD AB ,的中点，则N 在DP 上，且DP ON ⊥，CD OM ⊥．因为︒=∠=∠=∠60ADB CDB CDA ，设CD 与平面ABD 所成角为θ，可求得32s i n ,31c o s ==θθ．在△DMN 中，33233232,121=⋅⋅=⋅===DP DN CD DM ．由余弦定理得231312)3(1222=⋅⋅⋅-+=MN，故2=MN．四边形DMON 的外接圆的直径3322sin ===θMN OD ．故球O 的半径3=R ． 7．)2,1(-或)6,9(-．提示： 设)2,(),,(),,(22211t t C y x B y x A ，由⎩⎨⎧==--,4,0122x y y x 得0482=--y y ，则821=+y y ，421-=⋅y y ．又12,122211+=+=y x y x ，所以182)(22121=++=+y y x x ，11)(24212121=+++⋅=⋅y y y y x x ．因为︒=∠90ACB ，所以0=⋅CB CA ，即有)2)(2())((212212=--+--y t y t x t x t ，即0)(24)(21212212214=⋅++-+⋅++-y y t y y t x x t x x t ，AB CDO PMN即3161424=---t t t ，即0)14)(34(22=--++t t t t ．显然0142≠--t t，否则01222=-⋅-t t，则点C 在直线012=--y x 上，从而点C 与点A或点B 重合．所以0342=++t t，解得3,121-=-=t t ．故所求点C 的坐标为)2,1(-或)6,9(-．8．15. 提示：=n a C65400320020023nnn --⋅⋅．要使)951(≤≤n a n 为整数，必有65400,3200nn --均为整数，从而4|6+n ．当=n 2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时，3200n -和65400n-均为非负整数，所以n a 为整数，共有14个．当86=n时，=86a C5388620023-⋅⋅，在C!114!86!20086200⋅=中，!200中因数2的个数为1972200220022002200220022002200765432=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡，同理可计算得!86中因数2的个数为82，!114中因数2的个数为110，所以C 86200中因数2的个数为511082197=--，故86a 是整数．当92=n时，=92a C10369220023-⋅⋅，在C!108!92!20092200⋅=中，同样可求得!92中因数2的个数为88,!108中因数2的个数为105,故C 86200中因数2的个数为410588197=--，故92a 不是整数．因此，整数项的个数为15114=+． 9．因为)21()(++-=b b f a f ，所以|)2lg(||)21lg(||)121lg(||)1lg(|+=+=+++-=+b b b b a ，所以21+=+b a 或1)2)(1(=++b a ，又因为ba<，所以21+≠+b a ，所以1)2)(1(=++b a ．又由|)1lg(|)(+=a a f 有意义知10+<a ，从而 2110+<+<+<b b a ，于是2110+<<+<b a ．所以1210)2(6)2(6)1(101)21610(>+++=+++=+++b b b a b a ．从而]210)2(6lg[|]210)2(6lg[|)21610(+++=+++=++b b b b b a f ．又2lg 4)21610(=++b a f ，所以2lg 4]210)2(6lg[=+++b b ，故16210)2(6=+++b b ．解得31-=b或1-=b （舍去）． 把31-=b代入1)2)(1(=++b a 解得52-=a．所以 52-=a ，31-=b．10．（1）由原式变形得112)1)(1(211--++-=++nn n n n t a a ta ，则2111)1(212)1(21111+-+-+=-++=-+++nn nn nn n n n t a t a t a a ta ．记n nn b t a =-+11，则221+=+n n n b b b ，21221111=--=-+=t t t a b．又211,211111=+=+b b b nn ，从而有221)1(111n n b b n=⋅-+=，故nt a nn 211=-+，于是有1)1(2--=nt a nn ．（2）nt n ta ann n n )1(21)1(211--+-=-++[])1)(1()1()1()1(211--++++-+++++-=n nn tt n t t t n n n t[][])()()1()1()1(2)1()1()1(211---++-+-+-=+++-+-=n nnnn ntt t t tn n t tt nt n n t[]132212)1()1()1()1(2-----++++++++++-=n n n n n ttt t ttn n t ，显然在)1(0≠>t t 时恒有01>-+n n a a ，故n n a a >+1．11．（1）设直线l ：mx y +=31，),(),,(2211y x B y x A ．将mx y+=31代入143622=+yx中，化简整理得03696222=-++m mx x ．于是有2369,322121-=-=+m x x m x x ，232,2322211--=--=x y k x y kPB PA． 则PA PB k k +=+=，上式中，分子)23)(231()23)(231(1221--++--+=x m x x m x)2(26))(22(322121--+-+=m x x m x x)2(26)3)(22(2369322----+-⋅=m m m m122626312322=+-+--=m m m m ，从而，0=+PB PA k k ．又P 在直线l 的左上方，因此，APB ∠的角平分线是平行于y 轴的直线，所以△PAB 的内切圆的圆心在直线23=x 上．（2）若︒=∠60APB时，结合（1）的结论可知3,3-==PB PA k k ．直线PA 的方程为：)23(32-=-x y ，代入143622=+yx中，消去y得)3313(18)331(69142=-+-+x x ．它的两根分别是1x 和23，所以14)3313(18231-=⋅x，即14)3313(231-=x．所以7)133(23|23|)3(1||12+=-⋅+=x PA ．同理可求得7)133(23||-=PB ．所以1||||sin 60211)1)277249PAB S PA PB ∆=⋅⋅⋅︒=⋅⋅⋅=．。
2013年高考理科数学试题及答案-全国卷2
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷2）数 学（供理科考生使用）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）复数的11Z i =-模为 （A ）12（B ）2 （C ）2 （D ）2 （2）已知集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤=，则A ．()01，B ．(]02，C ．()1,2D ．(]12， （3）已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为（A ）3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （B ）4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （C ）3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， （D ）4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，（4）下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列； {}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列； {}4:3n p a nd +数列是递增数列； 其中的真命题为（A ）12,p p （B ）34,p p （C ）23,p p （D ）14,p p（5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[)[)[)[)20,40,40,60,60,80,820,100.若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（A）45（B）50（C ）55 （D ）60（6）在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B A b += ,a b B >∠=且则A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π （7）使得()3n x n N n x x +⎛+∈ ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项的最小的为 A ．4 B ．5 C ．6 D ．7（8）执行如图所示的程序框图，若输入10,n S ==则输出的A ．511B ．1011C ．3655D ．7255（9）已知点()()()30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有 A ．3b a = B ．31b a a=+ C ．()3310b a b a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a -+--= （10）已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为A ．3172B ．210C ．132D ．310 （11）已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -=（A ）2216a a -- （B ）2216a a +-（C ）16- （D ）16 （11）设函数()()()()()222,2,0,8x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时， （A ）有极大值，无极小值 （B ）有极小值，无极大值（C ）既有极大值又有极小值 （D ）既无极大值也无极小值第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2013自主招生数学模拟试题【第二套】
2013 自招数学模拟题【第二套】
1 2
9．设 M n 0.a1a2 an | ai 0,1 , i 1, 2, , n 1, an 1 ， 其中 0.a1a2 an a1 101 a2 102 an 10 n
Tn 是 M n 中元素的个数， S n 是 M n 中所有元素的和，则 lim
Sn n T n
10．正八面体的六个顶点标有 ， ，
，6 这六个数字，相邻两个顶点 具有公共棱 上的数
字之差的绝对值叫变差，变差的总和叫全变差 ，则全变差 V 可能的取值个数为
2013 自招数学模拟题【第二套】
二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(每题 14 分) 11． 已知 , , ,且 0,sin sin sin 0 ，求证： , , 中至少存
2013 自主招生模拟试训练（数学）第二套
满分 100 分 考试时间 90 分钟 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1．已知复数 z 满足 z 1 ，则 z iz 1 的最小值为
2 2 2 1
2 1
2.在 ABC 中， b2 ac ，则 sin B 的取值范围是
在一个角满足余弦值等于 1. 在 ABC 中， A B C ,且 以及 ABC 面积的最小值.
sin A sin B sin C 3 ，其内切圆半径为 3 ，求 B cos A cos B cos C
12.已知椭圆
x2 y 2 1 a b 0 上依次四点 A, B, C, D 共圆, a 2 b2 求证直线 AC, BD 的斜率之和为定值.
2013年自招数学答案
2013年高中自主招生考试数学试卷参考答案及评分标准一、选择题：（每小题3分，共24分）ABDC CABC 二、填空题：（每小题4分，共32分）9. 0 10. 161 11. 26 12. ﹙0，1﹚ 13. 1 14.28 15. 22 16. 6, n (n +1) 三、解答题：（10大题，共94分）17. （5分）解：原式=919)3(2)3()9)(9(2+•-+•++-a a a a a a =32+a ………………………………………3分 当33-=a 时，原式=332 …………………………………………………………5分 18.（5分）解：由|1-a |+2+b =0，得a =1，b =-2. ……………………………………………2分由方程x 1-2x =1得2x 2+x -1=0解之，得x 1=-1，x 2=21.…………………………………………4分 经检验，x 1=-1，x 2=21是原方程的解. …………………………………………………………5分 19.（6分）(1) 被抽查的居民中，人数最多的年龄段是21~30岁 ……………………………1分(2)总体印象感到满意的人数共有400×83%=332 (人)31~40岁年龄段总体印象感到满意的人数是：332(5412653249)66-++++=(人) 图略 ……………………………………………………3分(3) 31~40岁年龄段被抽人数是2040080100⨯=(人) 总体印象的满意率是66100%82.5%83%80⨯=≈ ； 41~50岁被抽到的人数是1540060100⨯=人,满意人数是53人, 总体印象的满意率是5388.3%88%60=≈ ； ∴41~50岁年龄段比31~40岁年龄段对博览会总体印象的满意率高. ………………………6分20.（6分）解：过D 作DE ⊥BC 于E ，作DF ⊥AB 于F ，设AB =x 米，在Rt △DEC 中，∠DCE =30°，CD =200，∴DE =100，CE =1003.在Rt △ABC 中，∠ACB =45°，∴BC=x 米.则AF =AB －BF =AB －DE =x －100，DF =BE =BC ＋CE =x ＋1003.在Rt △AFD 中，∠ADF =30°，tan30°=FD AF ， ∴333100100=+-x x . ∴473)33(100≈+=x （米）.……………………………………5分答：山AB 的高度约为473米.……………………………………………6分21．（6分）解：（1）画树状图得：∴点Q 所有可能的坐标有6个：（0，﹣2），（0，0），（0，1），（﹣2，，﹣2），（﹣2，0），（﹣2， 1）.………………………2分（2）∵点Q 在y 轴上的有：（0，﹣2），（0，0），（0，1），∴点Q 在y 轴上的概率为：21.…4分 （3）∵⊙O 的半径是2，∴在⊙O 外的有（﹣2，1），（﹣2，﹣2），在⊙O 上的有（0，﹣2），（﹣2，0）. ∴过点Q 能作⊙O 切线的概率为：3264=.…………………………………………………6分 22．（7分）解：（1）由图象知：线段BC 经过点（20，500）和（40，600），∴设解析式为：Q =kt +b ， ∴⎩⎨⎧=+=+6004050020b k b k ，解得⎩⎨⎧==4005b k ，∴解析式为：Q =5t +400（20＜t ＜40）……………2分 （2）设乙水库的供水速度为x 万m3/h ，甲为y 万m 3/h ， ∴⎩⎨⎧-=--=-600400)2(40500600)(20y x y x ，解得⎩⎨⎧==1015y x ， ∴乙水库供水速度为15万m 3/h 和甲水库一个排灌闸的灌溉速度10万m 3/h ；………… 5分（3）∵正常水位的最低值为a =500-15×20=200，∴（400-200）÷（2×10）=10h ，∴10小时后降到了正常水位的最低值．……………………………………………………… 7分23．（8分）（1）∵∠B 、∠F 同对劣弧AP ，∴ ∠B =∠F∵BO =PO ，∴∠B =∠BPO ∴∠F =∠BPF ，∴AF ∥BE …………………………3分（2）∵∠C PE = ∠B PO =∠B =∠EA P ，∠C =∠C ，∴△P C E ∽△ACP ，∴APAC PE PC =. ∵∠EA P =∠B ，∠E P A =∠A P B =90°，∴△EA P ∽△A B P ， ∴APAB PE AE =. 又∵AC =AB ，∴PEAE PE PC = ∴CP =AE ． …………………………………………………8分 24.（8分）解：（1）BE ＝GH ； ……………………………………………………………………1分（2）EF ＝GH ； …………………………………………………………………………………………2分（3）过点A 作m 的平行线交BC 于点F ′，过点D 作n 的平行线交AB 于点G ′．∵ABCD 是正方形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∠DAB ＝∠ABC ＝90°．∴四边形AEFF ′是平行四边形，四边形DHGG ′是平行四边形，∴EF ＝AF ′，GH ＝DG ′，且EF ∥AF ′，GH ∥DG ′，又∵EF ⊥GH ∴AF ′⊥DG ′．∴∠BAF ′＋∠AG ′D ＝90°．又∵∠BAF ′＋∠AF ′B ＝90°，∴∠AG ′D ＝∠AF ′B ．………………………………………………5分 在△ADG ′和△ABF ′中，⎪⎩⎪⎨⎧='∠='∠︒=∠=∠AB AD B F A D G A ABC DAB 90∴△ADG ′≌△ABF ′ ，∴AF ′＝DG ′ ，∴EF ＝GH ．…8分25.（9分）解：（1）()227.5 2.70.90.30.9 4.5y x x x x x x =-++=-+．…………………………2分（2）当4.55.49.02=+-x x 时，即0544592=+-x x ，21=x ，32=x .从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建2公顷大棚． ………………………5分（3）方法一：设3年内每年的平均收益为Z （万元）()()2227.50.90.30.30.3 6.30.310.533.075Z x x x x x x x =-++=-+=--+………………………8分∴不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益．………………9分 方法二：设三年的收益为W （万元）W =225.99)5.10(9.09.189.0)3.039.07.2(5.73222+--=+-=⨯---⨯x x x x x x ………8分 ∴不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益． ……………9分26. （12分）解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过点O 、A 、C ，可得c =0，∴⎩⎨⎧=+=+1242b a b a ，解得a =，b =，∴抛物线解析式为x x y 27232+-=． （2）设点P 的横坐标为t ，∵PN ∥CD ，∴△OPN ∽△OCD ， 可得PN =2t ，∴P （t ，2t ）， ∵点M 在抛物线上，∴M （t ，t t 27232+-）． 如解答图1，过M 点作MG ⊥AB 于G ，过P 点作PH ⊥AB 于H ，AG =y A ﹣y M =2-（t t 27232+-）=227232+-t t ，BH =PN =2t ． 当AG =BH 时，四边形ABPM 为等腰梯形，∴227232+-t t =2t ， 化简得3t 2﹣8t +4=0，解得t 1=2（不合题意，舍去），t 2=32， ∴点P 的坐标为（32，31），∴存在点P （32，31），使得四边形ABPM 为等腰梯形． （3）如解答图2，△AOB 沿AC 方向平移至△A ′O ′B ′，A ′B ′交x 轴于T ，交OC 于Q ，A ′O ′交x 轴于K ，交OC 于R ．求得过A 、C 的直线为y =﹣x +3，可设点A ′的横坐标为a ，则点A ′（a ，﹣a +3），易知△OQT ∽△OCD ，可得QT =2a ， ∴点Q 的坐标为（a ，2a ）． 解法一：设A B 与OC 相交于点J ，∵△ARQ ∽△AOJ ，相似三角形对应高的比等于相似比，∴AJQ A OB HT /=. ∴HT =a a a OB AJ Q A -=⨯---=⋅21212213/， KT =)3(2121/a T A -=， a a a y y Q A Q A 2332)3(//-=-+-=-=． S 四边形RKTQ =S △A ′KT ﹣S △A ′RQ =KT •A /T ﹣A /Q •HT=)2)(233(21)3(2321+----⋅-⋅a a a a =83)23(2143232122+--=-+-a a a ∵＜0，∴在线段AC 上存在点A /（，），能使重叠部分面积S 取到最大值，最大值为．解法二：过点R作RH⊥x轴于H，则由△ORH∽△OCD，得①由△RKH∽△A′O′B′，得②由①，②得KH=OH，OK=OH，KT=OT﹣OK=a﹣OH③则KT=④由△A′KT∽△A′O′B′，得，由③，④得=a﹣OH，即OH=2a﹣2，RH=a﹣1，∴点R的坐标为R（2a﹣2，a﹣1）S四边形RKTQ=S△QOT﹣S△ROK=•OT•QT﹣•OK•RH=a•a﹣（1+a﹣）•（a﹣1）=a2+a﹣=（a﹣）2+.∵＜0，∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．解法三：∵AB=2，OB=1，∴tan∠O′A′B′=tan∠OAB=，∴KT=A′T•tan∠O′A′B′=（﹣a+3）•=a+，∴OK=OT﹣KT=a﹣（a+）=a﹣，过点R作RH⊥x轴于H，∵tan∠OAB=tan∠RKH==2，∴RH=2KH又∵tan∠OAB=tan∠ROH===，∴2RH=OK+KH=a﹣+RH，∴RH=a﹣1，OH=2（a﹣1），∴点R坐标R（2a﹣2，a﹣1）S四边形RKTQ=S△A′KT﹣S△A′RQ=•KT•A′T﹣A′Q•（x Q﹣x R）=••（3﹣a）﹣•（3﹣a）•（﹣a+2）=a2+a﹣=（a﹣）2+∵＜0，∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．。
2013年自主招生数学试题及答案
2013年自主招生数学试题一.选择题：（本大题共12个小题，每个4分，共48分，将所选答案填涂在机读卡上） 1、下列因式分解中，结果正确的是（ ）A.2322()x y y y x y -=-B.424(2)(x x x x -=+C.211(1)x x x x x--=--D.21(2)(1)(3)a a a --=--2、“已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，试判断a b c ++与 0的大小.”一同学是这样回答的：“由图像可知：当1x =时0y <， 所以0a b c ++<.”他这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫 做（ ）A.换元法B.配方法C.数形结合法D.分类讨论法 3、已知实数x 满足22114x x x x ++-=，则1x x-的值是（ ）A.-2B.1C.-1或2D.-2或14、若直线21y x =-与反比例函数k y x =的图像交于点(2,)P a ，则反比例函数ky x=的图像还必过点（ ）A. (-1,6)B.(1,-6)C.(-2,-3)D.(2,12)5、现规定一种新的运算：“*”：*()m nm n m n -=+，那么51*22＝（ ）A.54B.5C.3D.96、一副三角板，如图所示叠放在一起，则AOB COD ∠+∠＝（ ）A.180°B.150°C.160°D.170°7、某中学对2005年、2006年、2007年该校住校人数统计时发现，2006年比2005年增加20%，2007年比2006年减少20%，那么2007年比2005年（ ）A.不增不减B.增加4％C.减少4％D.减少2％8、一半径为8的圆中，圆心角θ为锐角，且θ=，则角θ所对的弦长等于（ ）A.8B.10C. D.169、一支长为13cm 的金属筷子（粗细忽略不计），放入一个长、宽、高分别是4cm 、3cm 、16cm 的长方体水槽中，那么水槽至少要放进（ ）深的水才能完全淹没筷子。
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十六 新人教版
2013年高考数学全国高校自主招生模拟试卷十六 新人教版一选择题(共30分)1．对于每个自然数n ，抛物线y=(n 2+n )x 2-(2n +1)x +1与x 轴交于A n ，B n 两点，以|A n B n |表示该两点的距离，则|A 1B 1|+|A 2B 2|+ +|A 1992B 1992|的值是( ) (A )19911992 (B ) 19921993 (C ) 19911993 (D ) 199319922．已知如图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分，则这一曲线的方程是( ) (A )(x +1－y 2)(y +1－x 2)=0 (B )(x -1－y 2)(y -1－x 2)=0(C )(x +1－y 2)(y -1－x 2)=0 (D )(x -1－y 2)(y +1－x 2)=03．设四面体四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，它们的最大值为S ，记λ=(4Σi=1S i )/S ，则λ一定满足( ) (A )2<λ≤4 (B )3<λ<4 (C )2.5<λ≤4.5 (D )3.5<λ<5.54．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别记为a ，b ，c (b ≠1)，且C A ，sin Bsin A 都是方程logb x=log b (4x －4)的根，则△ABC ( )(A )是等腰三角形，但不是直角三角形 (B )是直角三角形，但不是等腰三角形 (C )是等腰直角三角形 (D )不是等腰三角形，也不是直角三角形5．设复数z 1，z 2在复平面上对应的点分别为A ，B ，且|z 1|=4，4z 12-2z 1z 2+z 22=0，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )(A )8 3 (B )4 3 (C )6 3 (D )12 36．设f (x )是定义在实数集R 上的函数，且满足下列关系f (10+x )=f (10-x )，f (20-x )=-f (20+x )，则f (x )是(A )偶函数，又是周期函数 (B )偶函数，但不是周期函数 (C )奇函数，又是周期函数 (D )奇函数，但不是周期函数二、填空题(每小题5分共30分)1．设x ，y ，z 是实数，3x ，4y ，5z 成等比数列，且1x ，1y ，1z 成等差数列，则x z +zx的值是______．2．在区间[0，π]中，三角方程cos7x=cos5x 的解的个数是______．3．从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k 条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则k 的最大值是_____．4．设z 1，z 2都是复数，且|z 1|=3，|z 2|=5|z 1+z 2|=7，则arg(z 2z 1)3的值是______． 5．设数列a 1，a 2， ，a n ， 满足a 1=a 2=1，a 3=2，且对任何自然数n ， 都有a n a n +1a n +2≠1，又an a n +1a n +2a n +3=a n +a n +1+a n +2+a n +3，则a 1+a 2+ +a 100的值是____．6．函数f (x )=x 4－3x 2－6x +13－x 4－x 2+1的最大值是_____． 三、(20分)求证：16<4Σi=11k <17．四、(20分)设l ，m 是两条异面直线，在l 上有A ，B ，C 三点，且AB=BC ，过A ，B ，C 分别作m 的垂线AD ，BE ，CF ，垂足依次是D ，E ，F ，已知AD=15，BE=72CF=10，求l 与m 的距离．五、(20分)设n 是自然数，f n (x )=x n +1－x －n －1x －x －1(x ≠0，±1)，令y=x +1x．1.求证:f n+1(x )=yf n (x )-f n-1(x )，(n>1)2.用数学归纳法证明：f n(x )=⎩⎪⎨⎪⎧y n－C 1n －1y n －2+…+(－1)iC in －iy n －2i+…+(－1)n2，(i=1，2，…， n2，n 为偶数) y n－C 1n －1y n －2+…+(－1)iC i n －i+…+(－1)n －12C n －12n +12y ，(i=1，2，…，n －12，n 为奇数)2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十六参考答案一、选择题(每小题5分，共30分)1．对于每个自然数n ，抛物线y=(n 2+n )x 2-(2n +1)x +1与x 轴交于A n ，B n 两点，以|A n B n |表示该两点的距离，则|A 1B 1|+|A 2B 2|+ +|A 1992B 1992|的值是( ) (A )19911992 (B ) 19921993 (C ) 19911993 (D ) 19931992解：y=((n +1)x －1)(nx －1)，∴ |A n B n |=1n －1n +1，于是|A 1B 1|+|A 2B 2|+ +|A 1992B 1992|=19921993，选B ．2．已知如图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分，则这一曲线的方程是( )(A )(x +1－y 2)(y +1－x 2)=0 (B )(x -1－y 2)(y -1－x 2)=0(C )(x +1－y 2)(y -1－x 2)=0 (D )(x -1－y 2)(y +1－x 2)=0解：(x -1－y 2)=0表示y 轴右边的半圆，(y +1－x 2)=0表示x 轴下方的半圆，故选D ．3．设四面体四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，它们的最大值为S ，记λ=(4Σi=1S i )/S ，则λ一定满足( )(A )2<λ≤4 (B )3<λ<4 (C )2.5<λ≤4.5 (D )3.5<λ<5.5解： 4Σi=1S i ≤4S ，故4Σi=1S i ≤4，又当与最大面相对的顶点向此面无限接近时，4Σi=1S i 接近2S ，故选A ．4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别记为a ，b ，c (b ≠1)，且C A ，sin B sin A 都是方程logb x=log b (4x －4)的根，则△ABC ( )(A )是等腰三角形，但不是直角三角形 (B )是直角三角形，但不是等腰三角形 (C )是等腰直角三角形 (D )不是等腰三角形，也不是直角三角形解：x 2=4x －4．根为x=2．∴C=2A ，⇒B=180°－3A ，sin B=2sin A ．⇒sin3A=2sin A ，⇒3－4sin 2A=2．A=30°，C=60°，B=90°．选B ．5．设复数z 1，z 2在复平面上对应的点分别为A ，B ，且|z 1|=4，4z 12-2z 1z 2+z 22=0，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )(A )8 3 (B )4 3 (C )6 3 (D )12 3解：2z 1z 2=cos π3±i sin π3．∴|z 2|=8，z 1、z 2的夹角=60°．S=12·4·8·32=83．选A ．6．设f (x )是定义在实数集R 上的函数，且满足下列关系f (10+x )=f (10-x )，f (20-x )=-f (20+x )，则f (x )是(A )偶函数，又是周期函数 (B )偶函数，但不是周期函数 (C )奇函数，又是周期函数 (D )奇函数，但不是周期函数 解：f (20－x )=f [10+(10－x )]=f [10－(10－x )]=f (x )=－f (20+x )． ∴f (40+x )=f [20+(20+x )]=－f (20+x )=f (x )．∴是周期函数；∴f (－x )=f (40－x )=f (20+(20－x )=－f (20－(20－x ))=－f (x )．∴ 是奇函数．选C ．二、填空题(每小题5分共30分)1．设x ，y ，z 是实数，3x ，4y ，5z 成等比数列，且1x ，1y ，1z 成等差数列，则x z +zx的值是______．解：16y 2=15xz ，y=2xz x +z ，⇒16·4x 2z 2=15xz (x +z )2．由xz ≠0，得(x +z )2xz =6415，⇒x z +z x =3415．2．在区间[0，π]中，三角方程cos7x=cos5x 的解的个数是．解：7x=5x +2k π，或7x=－5x +2k π，(k ∈Z )⇒x=k π，x=16k π (k ∈Z )，共有7解．3．从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k 条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则k 的最大值是．解：正方体共有8个顶点，若选出的k 条线两两异面，则不能共顶点，即至多可选出4条，又可以选出4条两两异面的线(如图)，故所求k 的最大值=4．4．设z 1，z 2都是复数，且|z 1|=3，|z 2|=5|z 1+z 2|=7，则arg(z 2z 1)3的值是______． 解：cos ∠OZ 1Z 3=32+52－722⨯3⨯5=－12．即∠OZ 1Z 3==120°，∴ arg(z 2z 1)=π3或5π3． ∴ arg(z 2z 1)3=π．5．设数列a 1，a 2， ，a n ， 满足a 1=a 2=1，a 3=2，且对任何自然数n ， 都有a n a n +1a n +2≠1，又a n a n +1a n +2a n +3=a n +a n +1+a n +2+a n +3，则a 1+a 2+ +a 100的值是____.解：a n a n +1a n +2a n +3=a n +a n +1+a n +2+a n +3，a n +1a n +2a n +3a n +4=a n +1+a n +2+a n +3+a n +4， 相减，得a n a n +1a n +2(a 4－a n )=a n +4－a n ，由a n a n +1a n +2≠1，得a n +4=a n ． 又，a n a n +1a n +2a n +3=a n +a n +1+a n +2+a n +3，a 1=a 2=1，a 3=2，得a 4=4．∴a 1+a 2+ +a 100=25(1+1+2+4)=200．6．函数f (x )=x 4－3x 2－6x +13－x 4－x 2+1的最大值是_____．解：f (x )=(x 2－2)2+(x －3)2－(x 2－1)2+x 2，表示点(x ，x 2)与点A (3，2)的距离及B (0，1)距离差的最大值．由于此二点在抛物线两侧，故过此二点的直线必与抛物线交于两点．对于抛物线上任意一点，到此二点距离之差大于|AB |=10．即所求最小值为10． 三、(20分)求证：16<4Σi=11k <17．证明：1k =2k +k <2k －1+k =2(k －k －1)，同时1k>2k +1+k=2(k +1－k )．于是得280Σk=1(k +1－k )<80Σk=11k <1+280Σk=1(k －k －1)AB CDD'C'B'A'即 16<80Σk=11k<1+2(80－1)<1+2(9－1)=17．四、(20分)设l ，m 是两条异面直线，在l 上有A ，B ，C 三点，且AB=BC ，过A ，B ，C 分别作m 的垂线AD ，BE ，CF ，垂足依次是D ，E ，F ，已知AD=15，BE=72CF=10，求l 与m 的距离．解：过m 作平面α∥l ，作AP ⊥α于P ，AP 与l 确定平面β，β∩α=l '，l '∩m=K ． 作BQ ⊥α，CR ⊥α，垂足为Q 、R ，则Q 、R ∈l '，且AP=BQ=CR=l 与m 的距离d ． 连PD 、QE 、RF ，则由三垂线定理之逆，知PD 、QE 、RF 都⊥m ．PD=15－d 2，QE=494－d 2，RF=10－d 2． 当D 、E 、F 在K 同侧时2QE=PD +RF ，⇒49－4d 2=15－d 2+10－d 2．解之得d= 6当D 、E 、F 不全在K 同侧时2QE=PD －RF ，⇒49－4d 2=15－d 2－10－d 2．无实解． ∴l 与m 距离为6．五、(20分)设n 是自然数，f n (x )=x n +1－x －n －1x －x －1(x ≠0，±1)，令y=x +1x．1.求证:f n+1(x )=yf n (x )-f n －1(x )，(n>1)2.用数学归纳法证明：f n(x )=⎩⎪⎨⎪⎧y n－C 1n －1y n －2+…+(－1)iC in －i yn －2i+…+(－1)n2，(i=1，2，…， n2，n 为偶数)y n －C 1n －1y n －2+…+(－1)i C in －i +…+(－1)n －12C n －12n +12y ，(i=1，2，…，n －12，n 为奇数)证明： ⑴ 由yf n (x )-f n －1(x )=(x + 1x)(x n +1－x －n －1)－x n +x－nx －x －1=x n +2－x －n －2x －x －1=f n +1(x )．故证． ⑵f 1(x )= x +1x，f 2(x )=x 2+1+x －2=(x +1x)2－1=y 2－1．故命题对n=1，2 成立．设对于n ≤m (m ≥2，m 为正整数)，命题成立，现证命题对于n=m +1成立． 1． 若m 为偶数，则m +1为奇数．由归纳假设知，对于n=m 及n=m －1，有f m (x )= y m －C 1m －1y m －2+C 2m －2y m －4+…+(－1)i C im －i y m －2i +…+(－1)m2C m2m －m 2ym －2⨯m 2①K βPQR αl'm lDE FABCf m －1(x )= y m －1－C 1m －1y m －3+…+(－1)i －1C i －1m －iym +1－2i+…+(－1)m －22·C m －22m 2y ②∴yf m (x )－f m －1(x )=y m +1－…+(－1)i(C im －i +Ci －1m －i)ym +1－2i+…+(－1)m 2(C m 2m －m 2+C m2－1m －m 2)y= y m +1－C1m +1－1y m －1+…+(－1)i Ci m －i +1ym +1－2i +…+(－1)m2·C m2m 2+1y即命题对n=m +1成立．2．若m 为奇数，则m +1为偶数，由归纳假设知，对于n=m 及n=m －1，有f m (x )=y m －1－C 1m －2y m －2+…+(－1)i ·C im －i y m －2i +…+(－1)m －12·C m －12m －12y ③ f m －1(x )=y m －1－C 1m －2y m －3+…+(－1)i －1C i －1m －iym +1－2i+…+(－1)m －12C m －12m －12④ 用y 乘③减去④，同上合并，并注意最后一项常数项为－(－1)m －12C m －12m －12=－(－1)m －12C m +12m +12=(－1)m +12． 于是得到yf m (x )－f m －1(x )=y m +1－C m 1y m －1+…+(－1)m +12，即仍有对于n=m +1，命题成立 综上所述，知对于一切正整数n ，命题成立．。
“北约”“华约”2013年自主招生数学模拟试题及答案解析
“北约”“华约”2013年自主招生数学模拟试题5. 设P 是抛物线2440y y x --=上的动点,点A 的坐标为(0,1)-,点M 在直线PA 上,且分PA所成的比为2:1,则点M 的轨迹方程是 .第二部分：解答题（共5小题 每题20分） 1设集合()12log 32A x x ⎧⎫⎪⎪=-≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，21a B xx a ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭．若A B ≠∅ ，求实数a 的取值范围2. 为了搞好学校的工作，全校各班级一共提了P )(+∈N P 条建议.已知有些班级提出了相同的建议，且任何两个班级都至少有一条建议相同，但没有两个班提出全部相同的建议.求证该校的班级数不多于12-P 个3. 设平面向量1)a =- ,1(,)22b = .若存在实数(0)m m ≠和角((,))22ππθθ∈-,使向量2(tan 3)c a b =+- ,tan d ma b θ=-+ ,且c d ⊥ .(I)求函数()m f θ=的关系式; (II)令tan t θ=,求函数()m g t =的极值.4. 已知双曲线的两个焦点分别为1F ,2F ,其中1F 又是抛物线24y x =的焦点,点A (1,2)-, B (3,2)在双曲线上.(I)求点2F 的轨迹方程; (II)是否存在直线y x m =+与点2F 的轨迹有且只 有两个公共点?若存在,求实数m 的值,若不存在,请说明理由.5. 已知a ，b 均为正整数，且,sin )(),20(2sin ,2222θπθθn b a A ba ab b a n n ⋅+=<<+=>其中求证：对一切*N ∈n ，n A 均为整数参考答案一、选择题1. 由tan 2α=,得sin 2cos αα=,有22sin 4cos αα=,即221cos 4cos αα-=.则21cos 5α=,原式=222216cos 6cos 5cos 5cos 1αααα--==. 2.设x a bi=+,,a b R∈,代入原方程整理得22(2256)(45)0a b a b ab a b i --+-++-=有2222560450a b a b ab a b ⎧--+-=⎨+-=⎩,解得11a b =⎧⎨=⎩或3232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,所以1x i =+或3322x i =-.3. 直接求x 的个位数字很困难，需将与x 相关数联系，转化成研究其相关数. 【解】令])22015()22015[(,)22015()22015(82198219+++=+-+-=y x y 则])22015()22015[(8219-+-+，由二项式定理知，对任意正整数n.)2201515(2)22015()22015(22+⋅⋅+=-++-n n n n n C 为整数，且个位数字为零.因此，x y +是个位数字为零的整数.再对y 估值， 因为2.0255220155220150=<+=-<， 且1988)22015()22015(-<-， 所以.4.02.02)22015(201919<⨯<-<<y 故x 的个位数字为9.【评述】转化的思想很重要，当研究的问题遇到困难时，将其转化为可研究的问题. 4. 解：被7除余2的数可写为72k +. 由100≤72k +≤600.知14≤k ≤85.又若某个k 使72k +能被57整除，则可设72k +=57n . 即5722877n n k n --==+. 即2n -应为7的倍数. 设72n m =+代入，得5716k m =+. ∴14571685m ≤+≤. ∴m =0,1.于是所求的个数为70．5. 设点P 00(,)x y ,M (,)x y ,有0203x x +⨯=,02(1)3y y +⨯-=,得03x x =,032y y =+而2000440y y x --=,于是得点M 的轨迹方程是291240y x --=. 二、解答题1. 解：{}13A x x =-≤<，()(){}30B x x a x a =--<．当0a >时，{}03B x a x a =<<<，由A B ≠∅ 得03a <<；当0a <时，{}30B x a x a =<<<，由A B ≠∅ 得1a >-；当0a =时，{}20B x x =<=∅，与A B ≠∅ 不符．综上所述，()()1,00,3a ∈-2. 证明：假设该校共有m 个班级，他们的建议分别组成集合m A A A ,,,21 。
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2013年全国高校自主招生数学模拟试卷2一．选择题（36分，每小题6分）1、 函数f(x)=)32(log 221--x x 的单调递增区间是(A) (-∞，-1) (B) (-∞，1) (C) (1，+∞) (D) (3，+∞) 解：由x 2-2x-3>0⇒x<-1或x>3，令f(x)=u 21log , u= x 2-2x-3，故选A2、 若实数x, y 满足(x+5)2+(y -12)2=142，则x 2+y 2的最小值为 (A) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 2解：B 3、 函数f(x)=221xx x-- (A) 是偶函数但不是奇函数 (B) 是奇函数但不是偶函数(C) 既是奇函数又是偶函数 (D) 既不是奇函数又不是偶函数 解：A4、 直线134=+y x 椭圆191622=+y x 相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 共有(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 解：设P 1(4cos α,3sin α) (0<α<2π)，即点P 1在第一象限的椭圆上，如图，考虑四边形P 1AOB 的面积S 。
S=11O BP O AP S S ∆∆+=ααcos 4321sin 3421⨯⨯+⨯⨯=6(sin α+cos α)=)4sin(26πα+∴S max =62 ∵S ⊿OAB =6∴626)(max 1-=∆AB P S ∵626-<3∴点P 不可能在直线AB 的上方，显然在直线AB 的下方有两个点P ，故选B5、 已知两个实数集合A={a 1, a 2, … , a 100}与B={b 1, b 2, … , b 50}，若从A 到B 的映射f 使得B 中的每一个元素都有原象，且f(a 1)≤f(a 2)≤…≤f(a 100)，则这样的映射共有(A) 50100C (B) 5090C (C) 49100C (D) 4999C解：不妨设b 1<b 2<…<b 50，将A 中元素a 1, a 2, … , a 100按顺序分为非空的50组，定义映射f ：A →B ，使得第i 组的元素在f 之下的象都是b i (i=1,2,…,50)，易知这样的f 满足题设要求，每个这样的分组都一一对应满足条件的映射，于是满足题设要求的映射f 的个数与A 按足码顺序分为50组的分法数相等，而A 的分法数为4999C ，则这样的映射共有4999C ，故选D 。
6、 由曲线x 2=4y, x 2= -4y, x=4, x= -4围成图形绕y 轴旋转一周所得为旋转体的体积为V 1，满足x 2+y 2≤16, x 2+(y -2)2≥4, x 2+(y +2)2≥4的点(x,y)组成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为V 2，则(A) V 1=21V 2 (B) V 1=32V 2 (C) V 1=V 2 (D) V 1=2V 2 解：如图，两图形绕y 轴旋转所得的旋转体夹在两相距为8的平行平面之间，用任意一个与y 轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为|y|，则所得截面面积 ∵S 1=π(42-4|y|) ,S 2=π(42-y 2)-π[4-(2-|y|)2]=π(42-4|y|) ∴ S 1=S 2由祖暅原理知，两个几何体体积相等。
故远C 。
一、 填空题（54分，每小题9分）7、 已知复数Z 1,Z 2满足|Z 1|=2, |Z 2|=3，若它们所对应向量的夹角为60°，则2121z z z z -+= 。
解：由余弦定理得|Z 1+Z 2|=19, |Z 1-Z 2|=7,2121z z z z -+=71338、 将二项式n xx )21(4+的展开式按x 的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的指数是整数的项共有 个。
解：不难求出前三项的系数分别是)1(81,21,1-n n n ，∵)1(811212-+=⋅n n n∴当n=8时，43161)21(r r r nr xC T -+= (r=0,1,2, (8)∴r=0,4,8,即有3个 9、 如图，点P 1,P 2,…,P 10分别是四面体点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组(P 1, P i , P j, P k )(1<i<j<k ≤10)有 个。
解：首先，在每个侧面上除P 1点外尚有五个点，其中任意三点组添加点P 1后组成的四点组都在同一个平面，这样三点组有35C 个，三个侧面共有335C 个。
其次，含P 1的每条棱上三点组添加底面与它异面的那条棱上的中点组成的四点组也在一个平面上，这样的四点组有3个P 9 8 P10∴共有335C ＋3＝33个10、 已知f(x)是定义在R 上的函数，f(1)=1且对任意x ∈R 都有f(x+5)≥f(x)+5 f(x+1)≤f(x)+1若g(x)=f(x)+1-x ，则g(2002)= 。
解：由g(x)=f(x)+1-x 得f(x)=g(x)+ x -1 ∴g(x+5)+(x+5)-1≥g(x)+(x -1)+5 g(x+1)+(x+1)-1≤g(x)+(x -1)+5 ∴g(x+5)≥g(x), g(x+1)≤g(x)∴g(x)≤g(x+5)≤g(x+4)≤g(x+3)≤g(x+2)≤g(x+1)≤g(x) ∴g(x+1)=g(x) ∴T=1 ∵g(1)=1 ∴g(2002)=111、 若1)2(log )2(log 44=-++y x y x ，则|x|-|y|的最小值是 。
解：⎩⎨⎧=-≥>⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+>->+440||24)2)(2(020222y x y x y x y x y x y x 由对称性只考虑y ≥0，因为x>0，所以只须求x -y 的最小值。
令x -y=u 代入x 2-4y 2=4中有3y 2-2uy+(4-u 2)=0 ∵y ∈R∴⊿≥03≥⇒u ∴当33,334==y x 时，u=3，故|x|-|y|的最小值是3 12、 使不等式sin 2x+acosx+a 2≥1+cosx 对一切x ∈R 恒成立的负数a 的取值范围是 。
解：∵sin 2x+acosx+a 2≥1+cosx∴4)1()21(cos 222-+≤--a a a x ∵a<0,∴当cosx=1时，函数2)21(cos --=a x y 有最大值2)211(--a ∴⇒-+≤--4)1()211(222a a a a 2+a -2≥0⇒a ≤-2或a ≥1 ∵a<0∴负数a 的取值范围是(-∞,2]二、解答题（本题满分60分，每小题20分）13、 已知点A(0,2)和抛物线y=x 2+4上两点B 、C 使得AB ⊥BC ，求点C 的纵坐标的取值范围。
解：设B 点坐标为B(y 12-4,y 1)，C 点坐标为C(y 2-4,y) 显然y 12-4≠0，故21421211+=--=y y y k AB …………5分 ∵AB ⊥BC ∴K BC = -(y 1+2)∴⎪⎩⎪⎨⎧+=--+-=-4)]4()[2(22111x y y x y y y⇒(2+y 1)(y+y 1)+1=0⇒y 12+(2+y)y 1+(2y+1)=0 …………10分 ∵y 1∈R∴⊿≥0⇒y ≤0或y ≥4 …………15分∴当y=0时，点B 的坐标为(-3，-1)；当y=4时，点B 的坐标为(5，-3)，均满足题意。
故点C 的纵坐标的取值范围为(-∞,0]∪[4,+∞)14、 如图，有一列曲线P 0, P 1, P 2, ……，已知P 0所围成的图形是面积为1的等边三角形，P k+1是对P k 进行如下操作得到的：将P k 的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉(k=0,1,2,3,…)，记S n 为曲线P k 所围成图形面积。
①求数列{S n }的通项公式；②求n n S ∞→lim 。
解：①对P 0进行操作，容易看出P 0的每条边变成P 1的4条边，故P 1的边数为3×4；同样，对P 1进行操作，P 1的每条边变成P 2的4条边，故P 2的边数为3×42，从而不难得到P n 的边数为3×4n …………5分已知P 0的面积为S 0=1，比较P 1与P 0，容易看出P 1在P 0的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为231，而P 0有3条边，故S 1=S 0+3×231=1+31 再比较P 2与P 1，容易看出P 2在P 1的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为231×231，而P 1有3×4条边，故S 2=S 1+3×4×431=1+31+334类似地有：S 3=S 2+3×42×631=1+31+334+5234 …………5分P 0 P 1P 2∴S n =121523343434311--+++++n n=1+∑=n k k1)94(43=n)94(5358⋅- (※) …………10分 下面用数学归纳法证明(※)式当n=1时，由上面已知(※)式成立， 假设当n=k 时，有S k =k )94(5358⋅- 当n=k+1时，易知第k+1次操作后，比较P k+1与P k ，P k+1在P k 的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为)1(231+k ，而P k 有3×4k 条边。
故 S k+1=S k +3×4k ×)1(231+k =1)94(5358+⋅-k 综上所述，对任何n ∈N ，(※)式成立。
②58])94(5358[lim lim =⋅-=∞→∞→n n n n S 15、 设二次函数f(x)=ax 2+bx+c (a,b,c ∈R,a ≠0)满足条件：① 当x ∈R 时，f(x-4)=f(2-x)，且f(x)≥x ；② 当x ∈(0,2)时，f(x)≤2)21(+x ③ f (x)在R 上的最小值为0。
求最大值m(m>1)，使得存在t ∈R ，只要x ∈[1,m]，就有f(x+t)≤x 解：∵f(x -4)=f(2-x)∴函数的图象关于x= -1对称 ∴ 12-=-abb=2a 由③知当x= -1时,y=0，即a -b+c=0 由①得 f(1)≥1，由②得 f(1)≤1∴f(1)=1，即工+了+以=1，又a -b+c=0∴a=41 b=21 c=41 ∴f(x)=4121412++x x …………5分假设存在t ∈R ，只要x ∈[1,m]，就有f(x+t)≤x 取x=1时，有f(t+1)≤1⇒41(t+1)2+21(t+1)+41≤1⇒-4≤t ≤0 对固定的t ∈[-4,0]，取x=m ，有f(t +m)≤m⇒41(t+m)2+21(t+m)+41≤m⇒m 2-2(1-t)m+(t 2+2t+1)≤0⇒t t 41---≤m ≤t t 41-+- …………10分∴m ≤t t 41--≤)4(4)4(1-⋅-+--=9 …………15分当t= -4时，对任意的x ∈[1,9]，恒有 f(x -4)-x=41(x 2-10x+9)=41(x -1)(x -9)≤0 ∴m 的最大值为9。