1-3布拉菲空间点阵+原胞+晶胞
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1.2 布喇菲格子 原胞和晶胞 1.3 密堆积
Cl-的坐标为
1 1 1 , ,， 2 2 2
Cs+的坐标为
(0,0,0)
第三节 密堆积
密堆积、配位数和致密度
1.密堆积(close-packed) 如果晶体由完全相同的一种粒子组成,而粒子被看作小 球,这些全同的小球最紧密的堆积称为密堆积. 2.配位数(coordination number) 在布拉菲格子中，离某一格点最近的格点,称为该格点 的最近邻(nearest neighbour),格点周围最近邻数称为 该格子的配位数.常用符号 z 表示。 它可以描述晶体中粒子排列的紧密程度，粒子排列 越紧密，配位数越大。
Rn n1a1 n2a2 n3a3
则以 a1 , a2 , a3 为棱的平行六面体是晶格体积的最 小重复单元，即原胞 原胞的体积为 a1 (a2 a3 )
2.说明： 1). 对于同一晶格，原胞的取法不唯一，但无论如 何选取，原胞均有相同的体积，每个原胞平均只包 含一个格点。 2). 格点对应基元，如果基元由n个原子组成，则每 个原胞包含n个原子。 3). 原胞反映了晶格的周期性，如：平移对称性。
氯化钠结构属面心立方。 氯化钠的原胞选取方法与面心立方简单格子的选 取方法相同。 每个原胞包含1个格点，每个晶胞包含4个格点 基元由一个Cl-和一个Na+组成。 Cl-的坐标为
1 1 1 , , ， 2 2 2
Na+的坐标为
(0,0,0)
(c)氯化铯结构
Cl
Cs
氯化铯结构是由两个简立方子晶格沿体对角线位 移1/2的长度套构而成。 Cl-和Cs+分别组成简立方格 子，其布拉维晶格为简立方，氯化铯结构属简立方。 每个原胞包含1个格点，每个晶胞包含1个格点。 基元由一个Cl-和一个Cs+组成。
原胞晶胞 ppt课件
(i
j
k)
面心立方
小结
复式格子
氯化钠结构：由两个面心 立方的子晶格彼此沿立方体空间对角线位移二分之 一长度套构而成。 属于复式面心立方结构。
面心立方原胞与晶胞
1) 晶胞基矢 a a i ,b a j,c a k
体积 V a ( b c ) a 3
节点数 4?
晶胞
面心立方原胞与晶胞 1) 晶胞基矢 a a i ,b a j,c a k
体积 V a ( b c ) a 3
节点数：4 2）原胞基矢
晶体的对称性
点阵的对称性
布喇菲空间点阵
晶体的内部结构可以看成有一些相同相的同点的（点结点？）
在空间作规则的周期性的无限分布。
a
晶体结构
a
基元
点阵
晶体结构 = 点阵 + 基元
布喇菲空间点阵
基元：晶体的基本结构单元 (1) 一个基元对应一个节点 (2) 基元（结点）周围的环境相同（等效性） (3) 基元内部有结构，可以由一种或数种原子构成
3. 反映晶格结构周期性与对称性特征的体积重复单元。 原胞只反映晶格的周期性特征， 晶胞则同时反映晶格周期性和对称性。
a
ai ,
b aj,
c
ak
简立方
a1
a 2
(j
k)
a 2
a 2
(k
i)
a3
a 2
(i
j)
体心立方
a1
a 2
(i
j
k)
a2
a 2
(i
j
k)
a3
a 2
1) 晶胞基矢 a a i ,b a j,c a k
1 3布拉菲空间点阵原胞晶胞【精选】
简单晶格必须由同种原子组成；反之，由同种原子组成 的晶格却不一定是简单晶格。如金刚石和hcp晶格都是复 式晶格。
简单晶格
复式晶格
二 原胞
在晶格中取一个格点为顶点，以三个不共面的方向上的周 期为边长形成的平行六面体作为重复单元，这个平行六面体沿
三个不同的方向进行周期性平移，就可以充满整个晶格，形成 晶体，这个平行六面体即为原胞，代表原胞三个边的矢量称为
晶胞（即布喇菲原胞）的体积: V a3
属于立方晶系的晶胞有简立方、体心立方、面心立方
(a)简立方（sc）
a1 ai 每个晶胞包含1个格点。
c b
a2 a j 固体物理学原胞的体积 Ω a3
a3 ak
a
既是晶胞也是原胞
(b)面心立方（fcc）
ak
a1
a2
aj
a3
原胞
ai
平均每个晶胞（布喇菲原胞）包含4个格点。
基元，基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。
晶格+基元=晶体结构
1.1基元、结点（格点）和晶格
(a)
(1)基元
(b)
(c)
在晶体中适当选取某些原子作为一个基本结构单元，这个
基本结构单元称为基元，基元是晶体结构中最小的重复单元，
基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。 特点：任何两个基元中相应原子周围的情况是相同的，
cc
氯化钠结构由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/2的 长度套构而成。
Cl-和Na+分别组成面心立方子晶格。 其布喇菲晶格为面心立方。
氯化钠结构属面心立方。
氯化钠的固体物理学原胞选取方法
与面心立方简单格子的选取方法相同。
每个固体物理学原胞包含1个格点，每个晶胞包含4个格点。 基元由一个Cl-和一个Na+组成。
简单晶格
复式晶格
二 原胞
在晶格中取一个格点为顶点，以三个不共面的方向上的周 期为边长形成的平行六面体作为重复单元，这个平行六面体沿
三个不同的方向进行周期性平移，就可以充满整个晶格，形成 晶体，这个平行六面体即为原胞，代表原胞三个边的矢量称为
晶胞（即布喇菲原胞）的体积: V a3
属于立方晶系的晶胞有简立方、体心立方、面心立方
(a)简立方（sc）
a1 ai 每个晶胞包含1个格点。
c b
a2 a j 固体物理学原胞的体积 Ω a3
a3 ak
a
既是晶胞也是原胞
(b)面心立方（fcc）
ak
a1
a2
aj
a3
原胞
ai
平均每个晶胞（布喇菲原胞）包含4个格点。
基元，基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。
晶格+基元=晶体结构
1.1基元、结点（格点）和晶格
(a)
(1)基元
(b)
(c)
在晶体中适当选取某些原子作为一个基本结构单元，这个
基本结构单元称为基元，基元是晶体结构中最小的重复单元，
基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。 特点：任何两个基元中相应原子周围的情况是相同的，
cc
氯化钠结构由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/2的 长度套构而成。
Cl-和Na+分别组成面心立方子晶格。 其布喇菲晶格为面心立方。
氯化钠结构属面心立方。
氯化钠的固体物理学原胞选取方法
与面心立方简单格子的选取方法相同。
每个固体物理学原胞包含1个格点，每个晶胞包含4个格点。 基元由一个Cl-和一个Na+组成。
晶体学第一章晶胞与点阵
原胞体积
V
a1
(a2
a3)
a3
—— 原胞中只包含一个原子
2) 面心立方晶格
立方体的顶点到三个近邻的面心引三个基矢
基矢
a1
a 2
(
j
k)
a a2 2 (k i )
a3
a 2
(i
j)
原胞体积
V a1 (a2 a3)
1 a3 4
—— 原胞中只包含一个原子
3) 体心立方晶格
钛酸钡原胞可以取 作简单立方体 包含： 3个不等价的O原子 1个Ba原子 1个Ti原子 —— 共五个原子
六角密排晶格的原胞基矢选取
—— 一个原胞中包含A层 和B层原子各一个
—— 共两个原子
二、晶格周期性的描述 —— 布拉菲点阵，点阵平移矢量
1. 点阵（lattice），也叫空间点阵（space lattice）
以点（阵点或结点）代替晶体的基元（晶体的最小组成 单元，由原子、离子或分子构成），得到的描述晶体中质 点排列周期性的数学图形。
阵点（lattice point）—— 环境和性质完全相同； 基元（basis）—— 晶体的最小组成单元。
点阵 + 基元
晶体结构
简单晶格 —— 基元为单原子 复式晶格 —— 基元由多个原子、离子或分子组成
Rl ra l1a1 l2a2 l3a3, 1, 2, 3
原胞中各种等价原子之间的相对位移 例如： 金刚石晶格 —— 碳1位置 —— 碳2位置
对角线位移
B
可以用1，l2，l3的取值可以囊括所有的阵点
由
确定的晶体空间点阵 —— 布拉菲点阵
（布拉菲格子）
2）面网
晶面
， —— 基本平移矢量（基矢），l1， l2 取整数
第一章晶体结构
第一章晶体结构1 布喇菲点阵和初基矢量晶体结构的特点在于原子排列的周期性质。
布喇菲点阵是平移操作112233R n a n a n a =++所联系的诸点的列阵。
布喇菲点阵是晶体结构周期性的数学抽象。
点阵矢量112233R n a n a n a =++，其中，1n ，2n 和3n 均为整数，1a ，2a 和3a 是不在同一平面内的三个矢量，叫做布喇菲点阵的初基矢量，简称基矢。
初基矢量所构成的平行六面体是布喇菲点阵的最小重复单元。
布喇菲点阵是一个无限的分立点的列阵，无论从这个列阵中的哪个点去观察，周围点的分布和排列方位都是完全相同的。
对一个给定的布喇菲点阵，初级矢量可以有多种取法。
2 初基晶胞(原胞)初基晶胞是布喇菲点阵的最小重复单元。
初基晶胞必定正好包含布喇菲点阵的一个阵点。
对于一个给定的布喇菲点阵，初基晶胞的选取方式可以不只一种，但不论初基晶胞的形状如何，初基晶胞的体积是唯一的，()123c V a a a =⋅⨯。
3 惯用晶胞(单饱)惯用晶胞是为了反映点阵的对称性而选用的晶胞。
惯用晶胞可以是初基的或非初基的。
惯用晶胞的体积是初基晶胞体积的整数倍，c V nV =。
其中，n 是惯用晶胞所包含的阵点数。
确定惯用晶胞几何尺寸的数字叫做点阵常数。
4 维格纳—赛兹晶胞(W-S 晶胞)维格纳—赛兹晶胞是另一种能够反映晶体宏观对称性的晶胞，它是某一阵点与相邻阵点连线的中垂面(或中垂线)所围成的最小体积。
维格纳—赛兹晶胞是初基晶胞。
5 晶体结构当我们强调一个实际的晶体与布喇菲点阵的抽象几何图案的区别时，我们用“晶体结构”这个名词[1]。
理想的晶体结构是由相同的物理单元放置在布喇菲点阵的阵点上构成的。
这些物理单元称为基元，它可以是原子、分子或分子团(有时也可以指一组抽象的几何点)。
将基元平移布喇菲点阵的所有点阵矢量，就得到晶体结构，或等价地表示为基元十点阵＝晶体结构[2]当选用非初基的惯用晶胞时,一个布喇菲点阵可以用带有基元的点阵去描写。
1.3 布喇菲空间点阵
基元
晶体微观结构的周期性结构单元
基元：随晶体
简称
不同，基元可以是单个原子，也可以是若干原子之集 团，如:Ca、Cu、Ag、Au、Al、Pb等元素晶体，基元为 单个原子；Mg、Ti、Zn、Cd等元素晶体，基元包括两个 原子 ； 结构较复杂的无机化合物晶体：基元所含原子数目可多 达十几或几十，甚至上百。 结构更复杂的有机化合物晶体：基元所含原子数目多达 一万多，如蛋白质晶体 。
a1 , a2 , a3
简单晶格，任一原子A的位置矢量：
Rl l1a1 l2 a2 l3a3
Rl 2a1 3a2
Rl 3a1 a2 a3
单胞 —— 为了反映晶格的对称性 常取最小重复单元的几倍作为重复单元 单胞的边在晶轴方向，边长等于该方向上的一个周期 单胞的基矢—— 单胞三个边的矢量
每个晶胞共含有4对离子，其原胞的基矢取法与fcc相同。
5 CsCl晶体的结构 CsCl结构 —— 两个简单立方子晶格彼此沿立方体空间 对角线位移1／2 的长度套构而成
6. 金刚石晶格结构
—— 碳原子构成的一个面心立方原胞内还有四个原子 分别位于四个空间对角线的 1／4处 —— 一个碳原子和其它四个碳 原子构成一个正四面体 —— 金刚石结构的半导体晶体 Ge、Si等
1.3 布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
19th cent.,Bravais：物质结构研究表明物质内部 有空隙 空间点阵学说：
晶体的内部结构可以概括为由大量相同的点子（格点） 在空间有规则地作周期性的无限分布构成的系统,即布 喇菲点阵。 空间点阵学说+物质微观结构的原子理论 晶体宏观特征起源于晶体独特的微观结构： 组成晶体的原子（或离子，或分子）在空间的规则排 列呈现出一种周期性。X射线衍射技术验证晶体微观结构 的周期性。
2、空间点阵、原胞 晶胞
§1.2 密堆积
配位数情况
如果晶体不是由同一种原子构成，那么相应小球的体积不 等，从而不可能形成密积结构，因此配位数一定小于12。 考虑到周期性和对称性的特点：晶体不可能具有配位数11、 10和9，所以，次一个配位数应该是8、6。
Page 9 第9页
§1.2 密堆积 晶体的配位数也不可能是5，则下一个配位数是4，为四 面体。 配位数是3的为层状结构，而配位数是2的则为链状结构。
显然，WS 原胞也只包含一个格点，因此它与固体物理学原胞的体积 一样，也是最小周期性重复单元。
Page 第 24 24 页
§1.3 布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
原胞常取以基矢为棱边的平行六面体，体积为：
上述取法只是原胞的习惯取法，但原则上原胞可以任意多种取法， 只要满足是晶体的最小重复单元这个条件。 无论如何选取，原胞均有相同的体积，每个原胞含有一个格点。对 有限大的晶体（非理想晶体），所含原胞和格点数相等。
但实际上各种晶格结构已有习惯的原胞选取方式。
Page 第 23 23 页
§1.3 布喇菲空间点胞并不能反映晶格的全部宏观对称性，为此，威格纳和
塞兹提出了另一种原胞，称为威格纳—塞兹原胞，简写为WS原胞。 如图所示，若选定某一格点，从 格点出发连接其它邻近的格点并作 这些连线的中垂面，则被这些中垂 面所围成的多面体就是WS原胞。
由于布喇菲格子中格点相互等价，每一格点有相同的最近邻数。
一个粒子周围最近邻的粒子数称为配位数。用以描写晶体中粒子排列 的紧密程度。
最大配位数: 密堆积所对应的配位数。
Page 2 第2页
§1.2 密堆积
Page 3
Page 3 第3页
§1.2 密堆积
Page 4
1.3原胞晶胞
面心立方
原胞 原胞（固体物理学原胞）：以一个结点为顶点，以三个不同
方向的周长为边长的平行六面体。
原胞特点？
原胞
特点: (1) 体积最小的重复单元 (2) 格点只出现在该平行六面体的顶角上。 (3) 每个原胞平均包含一个格点 (4) 原胞的选择方式有多种（形状），但原胞的体积相等。
基矢： 原胞的边长矢量
体心立方的致密度
4 3 r : 原子球半径 r 3 致密度 : n V : 晶胞体积（立方体的体积） V n : 一个晶胞内含有的原子球的个数
4 3 4 3 r r 23 1 3 3 V a
3a (4r ) 3a 2r
2 2
4 3 r 3 3 2 0.68 V 8
立方晶系原胞
简立方
体心立方
面心立方
简立方原胞与晶胞
1) 晶胞基矢 a ai , b aj , c ak 体积 V a (b c ) a3
2）原胞基矢
a1 ai , a2 aj , a3 ak 体积 a1 (a2 a3 ) a3
面心立方 fcc a3 4 a3/4 12
2a 2
体心立方的A层原子球的间隙
体心立方晶格中，A层中原子球的距离
0.31 r
面心立方的致密度？
4 3 r : 原子球半径 r 3 致密度 : n V : 晶胞体积（立方体的体积） V n : 一个晶胞内含有的原子球的个数
1.以刚性原子球堆积模型计算六角密积结构的致密度。 六角密排致密度？
原胞体积 节点数：?
原胞节点只能在顶点
基矢： a1, a2 , a3
1-3布拉菲空间点阵+原胞+晶胞
1 1 1 ， 2 2 2
Cs+的坐标为 (000)。 )
典型的晶体结构 结构型 单晶胞中 原子在单晶 最近邻 原子个数 胞中的位置 距离 配位数
(Cu) )
fcc
4 2
Cs+ 1 Cl- 1
bcc
11 ( 0) (000) 22 1 1 ( 0 ) (0 1 1) 2 2 22
2a 2 3a 2 3a 2
每个格点包含2个原子，属于复式晶格。 每个格点包含2个原子，属于复式晶格。
1 2 3 4
1 4
1 2
1 4 3 4 1 2
1 2
A类碳原子的 共价键方向
B类碳原子的 共价键方向
金刚石结构每个固体物理学原胞 包含1个格点 基元由两个碳原子组成, 个格点, 包含 个格点,基元由两个碳原子组成, 位于（ ） 位于（000）和 (b)氯化钠结构 b)氯化钠结构
a a1 = − i + j + k 2 a a2 = i − j + k 2 a a3 = i + j − k 2
( ( (
)
) )
平均每个布拉维原胞包含2个格点。 平均每个布拉维原胞包含 个格点。 固体物理学原胞的体积
1 3 = a1 ⋅ a2 ×a3 = a 2
(
)
立方晶系中几种实际晶体结构
§1.3 布喇菲空间点阵 原胞 晶胞 1.3
一. 布喇菲空间点阵
(a)
(b)
(c)
(a)、(b)、(c)为二维晶体结构示意图，它们有何异同 ) ) )为二维晶体结构示意图，它们有何异同?
(a)Leabharlann (b)(c)一个理想的晶体是由完全相同的结构单元在空间周期性重 复排列而成的。 复排列而成的。 所有晶体的结构可以用布喇菲格子 又称晶格）来描述， 布喇菲格子（ 所有晶体的结构可以用布喇菲格子（又称晶格）来描述， 这种晶格的每个格点上附有一群原子， 这种晶格的每个格点上附有一群原子，这样的一个原子群称为 基元，基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。 基元，基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。 晶体结构 晶格+基元= 晶格+基元=晶体结构
Cs+的坐标为 (000)。 )
典型的晶体结构 结构型 单晶胞中 原子在单晶 最近邻 原子个数 胞中的位置 距离 配位数
(Cu) )
fcc
4 2
Cs+ 1 Cl- 1
bcc
11 ( 0) (000) 22 1 1 ( 0 ) (0 1 1) 2 2 22
2a 2 3a 2 3a 2
每个格点包含2个原子，属于复式晶格。 每个格点包含2个原子，属于复式晶格。
1 2 3 4
1 4
1 2
1 4 3 4 1 2
1 2
A类碳原子的 共价键方向
B类碳原子的 共价键方向
金刚石结构每个固体物理学原胞 包含1个格点 基元由两个碳原子组成, 个格点, 包含 个格点,基元由两个碳原子组成, 位于（ ） 位于（000）和 (b)氯化钠结构 b)氯化钠结构
a a1 = − i + j + k 2 a a2 = i − j + k 2 a a3 = i + j − k 2
( ( (
)
) )
平均每个布拉维原胞包含2个格点。 平均每个布拉维原胞包含 个格点。 固体物理学原胞的体积
1 3 = a1 ⋅ a2 ×a3 = a 2
(
)
立方晶系中几种实际晶体结构
§1.3 布喇菲空间点阵 原胞 晶胞 1.3
一. 布喇菲空间点阵
(a)
(b)
(c)
(a)、(b)、(c)为二维晶体结构示意图，它们有何异同 ) ) )为二维晶体结构示意图，它们有何异同?
(a)Leabharlann (b)(c)一个理想的晶体是由完全相同的结构单元在空间周期性重 复排列而成的。 复排列而成的。 所有晶体的结构可以用布喇菲格子 又称晶格）来描述， 布喇菲格子（ 所有晶体的结构可以用布喇菲格子（又称晶格）来描述， 这种晶格的每个格点上附有一群原子， 这种晶格的每个格点上附有一群原子，这样的一个原子群称为 基元，基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。 基元，基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。 晶体结构 晶格+基元= 晶格+基元=晶体结构
1-3布拉菲空间点阵+原胞+晶胞
a
a1
固体物理学原胞的体2积
a2 a
jk
Ω a1 a2 a3
ik
1a3 4
2
a 3 a i j 2
(c)体心立方（bcc）
ak
a
a1 i j k 2
a
a2 i j k
a1
a2 aj
ai
2
aka3 a i j k
a3
2
a1 a2
平均每个布拉维原胞包含2个格点。
晶格+基元=晶体结构
1.1基元、结点（格点）和晶格
(a)
(1)基元
(b)
(c)
在晶体中适当选取某些原子作为一个基本结构单元，这个
基本结构单元称为基元，基元是晶体结构中最小的重复单元，
基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。 特点：任何两个基元中相应原子周围的情况是相同的，
而每一个基元中不同原子周围情况则不相同。
格为简立方，氯化铯结构属简立方。
每个固体物理学原胞包含1个格点，每个晶胞包含1个格点 。基元由一个Cl-和一个Cs+组成。
Cl-的坐标为 1 1 1 ， Cs+的坐标为 (000)。
2 2 2
典型的晶体结构
结构型
单晶胞中 原子在单晶 最近邻 原子个数 胞中的位置 距离
配位数
fcc
(Cu) 4
bcc
原胞的基本平移矢量，简称基矢。
2.1 原胞的分类 (1)固体物理学原胞(简称原胞) 构造：取一格点为顶点，由此点向近邻的三个格点作三个不共
面的矢量，以此三个矢量为边作平行六面体即为固体物理学原胞。
特点：格点只在平行六面体的顶角上，面上和内部均无格点， 平均每个固体物理学原胞包含1个格点。是最小的重复单元，它反
最新布拉菲点阵资料讲解
关于奥古斯特·布拉菲及布拉菲点阵浅析奥古斯特·布拉菲（August Bravais，1811—1863），法国物理学家，于1845年推导出了三维晶体原子排列的所有14种点阵结构，首次将群的概念应用到物理学，为固体物理学做出了重大贡献。
这是非常有意义的结论，为了纪念他，后人称这14种点阵为布拉菲点阵。
除此之外，布拉菲还对磁性、极光、气象、植物地理学、天文学和水文学等方面进行过研究。
图1 奥古斯特·布拉菲在几何学以及晶体学中，布拉菲晶格（又译布拉菲点阵）是为了纪念奥古斯特·布拉维在固态物理学的贡献命名的。
法国晶体学家布拉菲（A.Bravais）于1850年用数学群论的方法推导出空间点阵只能有十四种: 简单三斜、简单单斜、底心单斜、简单正交、底心正交、体心正交、面心正交、简单六方、简单菱方、简单四方、体心四方、简单立方、体心立方、面心立方。
根据其对称特点，它们分别属于七个晶系。
空间点阵到底有多少种排列形式？按照“每个阵点的周围环境相同”的要求，在这样一个限定条件下，法国晶体学家布拉菲（ A. Bravais）曾在1848年首先用数学方法证明，空间点阵只有14种类型。
这14种空间点阵以后就被称为布拉菲点阵。
空间点阵是一个三维空间的无限图形，为了研究方便，可以在空间点阵中取一个具有代表性的基本小单元，这个基本小单元通常是一个平行六面体，整个点阵可以看作是由这样一个平行六面体在空间堆砌而成，我们称此平行六面体为单胞。
当要研究某一类型的空间点阵时，只需选取其中一个单胞来研究即可。
在同一空间点阵中，可以选取多种不同形状和大小的平行六面体作为单胞，如下图所示：其选取方式有，1．固体物理选法：在固体物理学中，一般选取空间点阵中体积最小的平行六面体作为单胞，这样的单胞只能反映其空间点阵的周期性，但不能反映其对称性。
如面心立方点阵的固体物理单胞并不反映面心立方的特征。
2．晶体学选法：由于固体物理单胞只能反映晶体结构的周期性，不能反映其对称性，所以在晶体学中，规定了选取单胞要满足以下几点原则：①要能充分反映整个空间点阵的周期性和对称性；②在满足①的基础上，单胞要具有尽可能多的直角；③在满足①、②的基础上，所选取单胞的体积要最小。
1.2-布喇菲格子-原胞和晶胞-1.3-密堆积PPT优秀课件
这个平行六面体沿三个不同的方向进行周期性 平移，就可以充满整个晶格，形成晶体。
a3 a2 a1
9
a3 a2 a1
如图:对于三维晶格 R n n 1 a 1 n 2 a 2 n 3 a 3
则以 a1,a2,a3 为棱的平行六面体是晶格体积的最
小重复单元，即原胞
原胞的体积为 a 1•(a 2a 3)
a 2
a 2
i jk
a 3
a 2
i
jk
平均每个晶胞包含2个格点。
原胞的体积 Ωa1a2a312a3
晶胞的体积 V 2
18
复式格子(complex crystal lattice) (a)金刚石结构(diamond,简称：DIA)
cc
金刚石结构是由两个面心立方子晶格沿体对角线位移 1/4的长度套构而成,其晶胞为面心立方。由面心立方 晶胞的中心到顶角引8条连线，在互不相邻的4条连线 的中点各加一个原子就得到了金刚石晶格结构。
10
2.说明： 1). 对于同一晶格，原胞的取法不唯一，但无论如何 选取，原胞均有相同的体积，每个原胞平均只包含一 个格点。
2). 格点对应基元，如果基元由n个原子组成，则每 个原胞包含n个原子。 3). 原胞反映了晶格的周期性，如：平移对称性。
(rR n) (r)
4). 由于原胞取法的随意性，因而原胞通常只反映晶格 的周期性，而不能反映晶格的对称性。
第二节、布拉菲格子 原胞和晶胞
1
1. 晶体结构的周期性
(a)
(b)
(c)
(a)、(b)、(c)为二维晶体结构示意图
三者各自有相同的基本结构单元，且在平面内作周期 性分布
2
1).基元、布拉菲空间点阵、格点和晶格
a3 a2 a1
9
a3 a2 a1
如图:对于三维晶格 R n n 1 a 1 n 2 a 2 n 3 a 3
则以 a1,a2,a3 为棱的平行六面体是晶格体积的最
小重复单元，即原胞
原胞的体积为 a 1•(a 2a 3)
a 2
a 2
i jk
a 3
a 2
i
jk
平均每个晶胞包含2个格点。
原胞的体积 Ωa1a2a312a3
晶胞的体积 V 2
18
复式格子(complex crystal lattice) (a)金刚石结构(diamond,简称：DIA)
cc
金刚石结构是由两个面心立方子晶格沿体对角线位移 1/4的长度套构而成,其晶胞为面心立方。由面心立方 晶胞的中心到顶角引8条连线，在互不相邻的4条连线 的中点各加一个原子就得到了金刚石晶格结构。
10
2.说明： 1). 对于同一晶格，原胞的取法不唯一，但无论如何 选取，原胞均有相同的体积，每个原胞平均只包含一 个格点。
2). 格点对应基元，如果基元由n个原子组成，则每 个原胞包含n个原子。 3). 原胞反映了晶格的周期性，如：平移对称性。
(rR n) (r)
4). 由于原胞取法的随意性，因而原胞通常只反映晶格 的周期性，而不能反映晶格的对称性。
第二节、布拉菲格子 原胞和晶胞
1
1. 晶体结构的周期性
(a)
(b)
(c)
(a)、(b)、(c)为二维晶体结构示意图
三者各自有相同的基本结构单元，且在平面内作周期 性分布
2
1).基元、布拉菲空间点阵、格点和晶格
空间点阵、原胞 晶胞资料
1 r ( 2 3 R 2 R ) 0.73 R 2
此时 ，配位数最大，等于8。
Page 第 15 15 页
§1.2 密堆积 如果小球r 增大:大球将不再相切，但由于小球与大球仍 相切，故结构依然稳定，配位数仍为8。所以当
r 1 0 .73 R R
时 ，两种球为氯化铯型；
若小球r 变小:小球在中心的位置不固定，结构不稳定，
于是结构取配位数较小的堆积，即配位数位6的堆积，此时
就不是氯化铯结构型。
Page 第 16 16 页
氯化钠结构
若氯粒子在体心，它与处于面心位置的6个钠粒子构成
最近邻，如图所示。
当处在中央的小球 r与其左
右上下前后的 6个大球R 相切时，
无论大球R 是否相切，结构都是 稳定的，此时，配位数为6。 若增大6个大球的半径，直到大球R也相互相切时达到最 紧堆积。
§1.2 密堆积
Page 1
Page 1 第1页
§1.2 密堆积
密堆积:晶体中的原子（或离子）在没有其他因素（例如价键的方向性、 正负离子的相间排列等）的影响下，由于彼此之间的吸引力会尽可能地靠 近，以形成空间密堆积排列的稳定结构。 空间堆积的致密度用空间利用率（晶胞内原子总体积占晶胞体积的百分数） 表示。 配位数: 在布喇菲格子中，离某一格点最近的格点，称为该格点的最近邻，
§1.2 密堆积
配位数情况
如果晶体不是由同一种原子构成，那么相应小球的体积不 等，从而不可能形成密积结构，因此配位数一定小于12。 考虑到周期性和对称性的特点：晶体不可能具有配位数11、 10和9，所以，次一个配位数应该是8、6。
Page 9 第9页
§1.2 密堆积 晶体的配位数也不可能是5，则下一个配位数是4，为四 面体。 配位数是3的为层状结构，而配位数是2的则为链状结构。
布喇菲格子原胞和晶胞13密堆积
特性
晶胞13密堆积具有高度的对称性和规则性，其结构特点是每个原子或分子周围 都有13个最近邻的原子或分子，形成了一种紧密的堆积方式。
计算方法
几何计算
能量计算
通过几何计算可以确定晶胞13密堆积 中原子或分子的位置和排列方式，包 括计算最近邻距离、角度等参数。
通过能量计算可以评估晶胞13密堆积 的稳定性，了解其形成和存在的条件。
能源领域应用
高效储能材料
借鉴布喇菲格子原胞和晶胞13密堆积的结构优势，可以研发出高效储能材料，如锂离子电池、超级电容器等，提 高能源利用效率和缓解能源危机。
太阳能转换材料
利用布喇菲格子原胞和晶胞13密堆积的结构特点，可以设计出具有高光吸收系数和良好光散射效应的太阳能转换 材料，促进太阳能的高效利用。
化学活性差异
在化学反应中，这两种结构的稳定性及活性表现出明显的差异，影响其与其它物 质的反应行为。
Байду номын сангаас互影响与转化
结构调整与性质变化
在特定条件下，布喇菲格子原胞和晶胞13密堆积的结构会发 生调整或转变，从而引起性质的相应变化。
协同作用与相互制约
在某些物理或化学过程中，这两种结构可能相互促进或制约 ，影响整个体系的性能表现。
介电常数
这种材料的介电常数较高，有利于电场能量的存储和 传递。
磁导率
部分布喇菲格子原胞和晶胞13密堆积可能具有较高的 磁导率，表现出铁磁性或亚铁磁性。
05 布喇菲格子原胞和晶胞13 密堆积的制备与加工
制备方法
熔融铸造法
将原材料加热至熔融状态，然后倒入模具中冷却 凝固，形成所需形状的制品。
粉末冶金法
生物医学领域应用
生物医用材料
布喇菲格子原胞和晶胞13密堆积的结构特点使其在生物医用材料领域具有广阔的应用前景，如骨修复 材料、牙科陶瓷等，能够提高医疗效果和改善患者生活质量。
晶胞13密堆积具有高度的对称性和规则性，其结构特点是每个原子或分子周围 都有13个最近邻的原子或分子，形成了一种紧密的堆积方式。
计算方法
几何计算
能量计算
通过几何计算可以确定晶胞13密堆积 中原子或分子的位置和排列方式，包 括计算最近邻距离、角度等参数。
通过能量计算可以评估晶胞13密堆积 的稳定性，了解其形成和存在的条件。
能源领域应用
高效储能材料
借鉴布喇菲格子原胞和晶胞13密堆积的结构优势，可以研发出高效储能材料，如锂离子电池、超级电容器等，提 高能源利用效率和缓解能源危机。
太阳能转换材料
利用布喇菲格子原胞和晶胞13密堆积的结构特点，可以设计出具有高光吸收系数和良好光散射效应的太阳能转换 材料，促进太阳能的高效利用。
化学活性差异
在化学反应中，这两种结构的稳定性及活性表现出明显的差异，影响其与其它物 质的反应行为。
Байду номын сангаас互影响与转化
结构调整与性质变化
在特定条件下，布喇菲格子原胞和晶胞13密堆积的结构会发 生调整或转变，从而引起性质的相应变化。
协同作用与相互制约
在某些物理或化学过程中，这两种结构可能相互促进或制约 ，影响整个体系的性能表现。
介电常数
这种材料的介电常数较高，有利于电场能量的存储和 传递。
磁导率
部分布喇菲格子原胞和晶胞13密堆积可能具有较高的 磁导率，表现出铁磁性或亚铁磁性。
05 布喇菲格子原胞和晶胞13 密堆积的制备与加工
制备方法
熔融铸造法
将原材料加热至熔融状态，然后倒入模具中冷却 凝固，形成所需形状的制品。
粉末冶金法
生物医学领域应用
生物医用材料
布喇菲格子原胞和晶胞13密堆积的结构特点使其在生物医用材料领域具有广阔的应用前景，如骨修复 材料、牙科陶瓷等，能够提高医疗效果和改善患者生活质量。
1.3布喇菲空间点阵、原胞、晶胞
5、 纤维锌矿结构（六角硫化锌结构） ➢ 两种原子各自构成六角密 排结构， ➢ 一种原子在与另 一种原子形成四面体中心位置上 ➢ ß-ZnS. Ⅲ族元素的氮化物，如BN,AlN,GaN,InN等具 有纤维锌矿结构，是近年引人注目的材料
10:04
五、简单格子与复式格子
如果晶体由一种原子组成，且基元中仅包含一个 原子，则形成的晶格为简单格子或称为布拉菲格子。
10:04
原胞基矢通常用 a1 , a2 , a3 表示。
体积为： Ω a1 a2 a3
基矢：晶胞的基矢一般用 a, b, c 表示。
体积为： v a b c n Ω
10:04
三、 立方晶系晶格原胞、基矢选取实例
简立方、体心立方和面心立方三种晶格 ab bc ca
➢ 原胞的选择方式有多种，但原胞的体积都是相同的。
原胞往往反映不出对称性，为了表现对称性结晶学中取的重复单 元不是最小的重复单元，称为晶胞（或单胞、布喇菲原胞）。
晶胞的特点 ➢ 反映晶体的对称性；
➢ 晶胞中的格点不只出现在顶角上，还会出现在体心或面心上；
➢ 晶胞的体积是原胞体积的整数倍；
➢晶胞中平均包含不止一个格点。（晶格常数a通常指单胞的边长）
金刚石型结构
10:04
c c 晶胞示意图 金刚石结构是由两个面心立方晶格沿体对角线位移1/4的 长度套构而成,其布喇菲格子为面心立方。
金刚石结构属面心立方，每个晶胞包含8个原子。
10:04
金刚石是典型的原子晶体， 原子以共价键结合。图中所 示的连线代表共价键。
每个原子有四个最近邻，这 四个最近邻原子处在正四面 体的顶角上。
晶格，形成晶体，代表原胞三个边的矢量称为原胞的基本平移 矢量，简称基矢。
10:04
五、简单格子与复式格子
如果晶体由一种原子组成，且基元中仅包含一个 原子，则形成的晶格为简单格子或称为布拉菲格子。
10:04
原胞基矢通常用 a1 , a2 , a3 表示。
体积为： Ω a1 a2 a3
基矢：晶胞的基矢一般用 a, b, c 表示。
体积为： v a b c n Ω
10:04
三、 立方晶系晶格原胞、基矢选取实例
简立方、体心立方和面心立方三种晶格 ab bc ca
➢ 原胞的选择方式有多种，但原胞的体积都是相同的。
原胞往往反映不出对称性，为了表现对称性结晶学中取的重复单 元不是最小的重复单元，称为晶胞（或单胞、布喇菲原胞）。
晶胞的特点 ➢ 反映晶体的对称性；
➢ 晶胞中的格点不只出现在顶角上，还会出现在体心或面心上；
➢ 晶胞的体积是原胞体积的整数倍；
➢晶胞中平均包含不止一个格点。（晶格常数a通常指单胞的边长）
金刚石型结构
10:04
c c 晶胞示意图 金刚石结构是由两个面心立方晶格沿体对角线位移1/4的 长度套构而成,其布喇菲格子为面心立方。
金刚石结构属面心立方，每个晶胞包含8个原子。
10:04
金刚石是典型的原子晶体， 原子以共价键结合。图中所 示的连线代表共价键。
每个原子有四个最近邻，这 四个最近邻原子处在正四面 体的顶角上。
晶格，形成晶体，代表原胞三个边的矢量称为原胞的基本平移 矢量，简称基矢。
1.3布喇菲空间点阵汇总
硫化锌（ZnS）
UESTC
（b）氯化钠结构
氯化钠结构由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/2的
长度套构而成。 Cl-和Na+分别组成面心立方子晶格。 其布喇菲晶格为面心立方。 氯化钠结构属面心立方。
UESTC
氯化钠结构的原胞特点
氯化钠的固体物理学原胞选取方法与面心立方简单格子的选 取方法相同。
每个固体物理学原胞包含1个格点，每个结晶学原胞包含4个格 点。
a2 a i j k 2
a3 a i j k 2
平均每个布喇菲原胞包含2个格点。
固体物理学原胞的体积 Ω a1 a2 a3 1 a3 2
UESTC
简单晶格和复式晶格
简单晶格：如果晶体由完全相同的一种原子组成，且每 个原子周围的情况完全相同，则这种原子所组成的网格称为 简单晶格。
UESTC
1.3.2 原胞的分类
1. 原胞（固体物理学原胞，初基原胞）
周期：晶格中某一方向上两相邻结点的距离称为该方向上的 周期。
原胞：以一结点为顶点，以三个不同方向的周期为边长的平 行六面体可作为晶格的一个重复单元，其中体积最小的重复 单元称为原胞。
特点： ① 体积最小的重复单元； ② 格点只出现在该平行六面体
1.3 布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
UESTC
(a)
(b)
(c)
如何描述晶体中原子排列的有序性？？
布喇菲点阵学说
UESTC
1.3.1 布喇菲空间点阵
晶体内部结构可以看成是一些相同的点子在空间 做规则的周期性无限分布
相关概念：结点，点阵 基元：晶体的基本结构单元
(a)
(b)
(c)
UESTC
点阵的特点
一个晶胞包含1个钡原子、1个钛原子和3个氧原子。
UESTC
（b）氯化钠结构
氯化钠结构由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/2的
长度套构而成。 Cl-和Na+分别组成面心立方子晶格。 其布喇菲晶格为面心立方。 氯化钠结构属面心立方。
UESTC
氯化钠结构的原胞特点
氯化钠的固体物理学原胞选取方法与面心立方简单格子的选 取方法相同。
每个固体物理学原胞包含1个格点，每个结晶学原胞包含4个格 点。
a2 a i j k 2
a3 a i j k 2
平均每个布喇菲原胞包含2个格点。
固体物理学原胞的体积 Ω a1 a2 a3 1 a3 2
UESTC
简单晶格和复式晶格
简单晶格：如果晶体由完全相同的一种原子组成，且每 个原子周围的情况完全相同，则这种原子所组成的网格称为 简单晶格。
UESTC
1.3.2 原胞的分类
1. 原胞（固体物理学原胞，初基原胞）
周期：晶格中某一方向上两相邻结点的距离称为该方向上的 周期。
原胞：以一结点为顶点，以三个不同方向的周期为边长的平 行六面体可作为晶格的一个重复单元，其中体积最小的重复 单元称为原胞。
特点： ① 体积最小的重复单元； ② 格点只出现在该平行六面体
1.3 布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
UESTC
(a)
(b)
(c)
如何描述晶体中原子排列的有序性？？
布喇菲点阵学说
UESTC
1.3.1 布喇菲空间点阵
晶体内部结构可以看成是一些相同的点子在空间 做规则的周期性无限分布
相关概念：结点，点阵 基元：晶体的基本结构单元
(a)
(b)
(c)
UESTC
点阵的特点
一个晶胞包含1个钡原子、1个钛原子和3个氧原子。
第一章 晶体的结构v
简单格子：晶体只有一种原子组成，且基元中只含有一 个原子，原子中心与格点重合，这种晶格位简单格子。 复式格子：晶体只有一种原子组成，且基元中含有两个 或两个以上原子，或晶体由多种原子构成晶体的基元包括 两种或两种以上的原子。 复式格子中，各单元中相应的同种原子组成与阵点相同 的网络构成简单格子；基元中不同原子构成的简单格子是 相同的，相互之间有一定的位移。
68.0% 52.4
18
1．3布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
晶体的微观结构包括 （1）组成晶体的原子的成分； （2）粒子在空间规则排列的方式。 为描述晶体内部结构的空间规则排列（长程有序） 的方式，布拉菲提出空间点阵学说。 晶体可以看成由一些相同的点子（格点）在三维空间做 周期性分布所构成的系统，所有的点子是等价的，这些 点子的总体称为布喇菲点阵；这些点子称为格点。 与晶体结合特征相同，无任何物理实质的，仅有格点之 间相互连接形成的网络为晶格，又称点阵。
30
1．3布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
布喇菲晶胞的选取原则： （1）选取的平行六面体代表整个晶体点阵的对称性 （2）平行六面体中应有尽可能多的相等的棱边和顶角； （3）平行六面体中应有尽可能多的直角；
（4）在上述条件下选择体积最小的平行六面体。
31
1．3布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
简立方（sc）
原胞基矢与晶胞基矢的关系：
a1 ai, a2 aj, a3 ak
简立方晶胞仅含有一个原子；
是最小的重复单元，与原胞相 同
简立方晶胞
32
体心立方
（1）顶角的原子和体心的原子是等同的，体心立方晶 格属于布喇菲格子；
胞 晶胞
体心立方
原胞基矢
体积：
1 a1 (a b c) 2 1 a2 (a b c) 2 1 a3 (a b c) 2
68.0% 52.4
18
1．3布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
晶体的微观结构包括 （1）组成晶体的原子的成分； （2）粒子在空间规则排列的方式。 为描述晶体内部结构的空间规则排列（长程有序） 的方式，布拉菲提出空间点阵学说。 晶体可以看成由一些相同的点子（格点）在三维空间做 周期性分布所构成的系统，所有的点子是等价的，这些 点子的总体称为布喇菲点阵；这些点子称为格点。 与晶体结合特征相同，无任何物理实质的，仅有格点之 间相互连接形成的网络为晶格，又称点阵。
30
1．3布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
布喇菲晶胞的选取原则： （1）选取的平行六面体代表整个晶体点阵的对称性 （2）平行六面体中应有尽可能多的相等的棱边和顶角； （3）平行六面体中应有尽可能多的直角；
（4）在上述条件下选择体积最小的平行六面体。
31
1．3布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
简立方（sc）
原胞基矢与晶胞基矢的关系：
a1 ai, a2 aj, a3 ak
简立方晶胞仅含有一个原子；
是最小的重复单元，与原胞相 同
简立方晶胞
32
体心立方
（1）顶角的原子和体心的原子是等同的，体心立方晶 格属于布喇菲格子；
胞 晶胞
体心立方
原胞基矢
体积：
1 a1 (a b c) 2 1 a2 (a b c) 2 1 a3 (a b c) 2
晶体学基础第二章-晶体的对称分类与布拉菲点阵
2.晶系（crystal system）：7个晶系
三斜晶系：只有 1 或 1
单斜晶系：2 和 m 均不多于一个 正交晶系（斜方晶系）：2 和 m 的总数不少于3个
三方晶系：唯一的一个高次轴是 3 或 3 四方晶系：唯一的一个高次轴是 4 或 4 六方晶系：唯一的一个高次轴是 6 或 6
立方晶系（等轴晶系）：有4个 3
32种点群描述的晶体对称性对应的只有14种布拉菲点阵分为7个晶系沿晶体的对称轴或对称面的法向在一般情况下它们构成斜坐标系三个晶轴之间的夹角二晶体的14种布拉菲点阵布拉菲格子
2.4 晶体的对称分类与布拉菲点阵
一、晶体的对称分类
按晶体的对称性特征晶体分类
1.晶族（crystal category）：3个晶族 低级晶族：无高次轴 中级晶族：只有一个高次轴 高级晶族：高次轴多于一个
3.晶类: 属于同一点群的晶体。32个晶类。
二、晶体的14种布拉菲点阵（布拉菲格子）
—— 32种点群描述的晶体对称性 —— 对应的只有14种布拉菲点阵 —— 分为7个晶系
Байду номын сангаас
—— 单胞的三个基矢
沿晶体的对称轴或对称面
的法向，在一般情况下，它们构成斜坐标系
三个晶轴之间的夹角
7大晶系的形成
相关主题
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维格纳--塞茨单胞
引入Wigner-Seitz原胞的原因
优点： （1）Wigner-Seitz原胞本身保持了布拉伐格子的
对称性； （2）该取法今后要用到。 缺点： （1）Wigner-Seitz原胞的体积等计算不方便； （2）平移对称性反而不直观。
2.2 几种晶格的实例 (1)一维原子链 一维单原子链
a
a1
固体物理学原胞的体2积
a2 a
jk
Ω a1 a2 a3
ik
1a3 4
2
a 3 a i j 2
(c)体心立方（bcc）
ak
a
a1 i j k 2
a
a2 i j k
a1
a2 aj
ai
2
aka3 a i j k
a3
2
a1 a2
平均每个布拉维原胞包含2个格点。
§1.3 布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
一. 布喇菲空间点阵
(a)
(b)
(c)
(a)、(b)、(c)为二维晶体结构示意图，它们有何异同?
(a)
(b)
(c)
一个理想的晶体是由完全相同的结构单元在空间周期性重
复排列而成的。 所有晶体的结构可以用布喇菲格子（又称晶格）来描述，
这种晶格的每个格点上附有一群原子，这样的一个原子群称为
a
j
ai
固体物理学原胞的体积
Ω a1
a3
a2 a3
1 a3
2
立方晶系中几种实际晶体结构
(a)金刚石结构
实际原子排布结 构（包括基元）
cc 金刚石结构是由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/4 的长度套构而成,其晶胞即布拉维晶格为面心立方。
金刚石结构属面心立方，每个晶胞包含4个格点。
每个格点包含2个原子，属于复式晶格。
原胞的基本平移矢量，简称基矢。
2.1 原胞的分类 (1)固体物理学原胞(简称原胞) 构造：取一格点为顶点，由此点向近邻的三个格点作三个不共
面的矢量，以此三个矢量为边作平行六面体即为固体物理学原胞。
特点：格点只在平行六面体的顶角上，面上和内部均无格点， 平均每个固体物理学原胞包含1个格点。是最小的重复单元，它反
氯化钠结构属面心立方。
氯化钠的固体物理学原胞选取方法
与面心立方简单格子的选取方法相同。
每个固体物理学原胞包含1个格点，每个晶胞包含4个格点。 基元由一个Cl-和一个Na+组成。
Cl-的坐标为 1 1 1 ， Na+的坐标为 (000)。
2 2 2
(c)氯化铯结构
Cl
Cs
氯化铯结构是由两个简立方子晶格沿体对角线位移1/2的 长度套构而成。 Cl-和Cs+分别组成简立方格子，其布拉维晶
2
1 (00 )
2
a 2
6
(W) 2
(000)( 1 1 0)
22
(10 2
1) 2
(0
1 2
1) 2
(000)
(11 1) 22 2
2a 12 2
3a 8 2
CsCl
Cs+ 1 Cl- 1
(000)
(11 1) 22 2
3a 8 2
典型的晶体结构
结构型 单晶胞中 原子个数
原子在单晶 胞中的位置
最近邻 距离
配位数
金刚石
8
(000)
1 2
3
1
1
4
41
2
1
32
4
4
1 2
A类碳原子的 共价键方向
B类碳原子的 共价键方向
金刚石结构每个固体物理学原胞
包含1个格点,基元由两个碳原子组成,
位于（000）和
1 1 1 4 4 4
处。
(b)氯化钠结构
cc
氯化钠结构由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/2的 长度套构而成。
Cl-和Na+分别组成面心立方子晶格。 其布喇菲晶格为面心立方。
简单晶格必须由同种原子组成；反之，由同种原子组成 的晶格却不一定是简单晶格。如金刚石和hcp晶格都是复 式晶格。
简单晶格
复式晶格
二 原胞
在晶格中取一个格点为顶点，以三个不共面的方向上的周 期为边长形成的平行六面体作为重复单元，这个平行六面体沿
三个不同的方向进行周期性平移，就可以充满整个晶格，形成 晶体，这个平行六面体即为原胞，代表原胞三个边的矢量称为
晶胞（即布喇菲原胞）的体积: V a3
属于立方晶系的晶胞有简立方、体心立方、面心立方
(a)简立方（sc）
a1 ai 每个晶胞包含1个格点。
c b
a2 a j 固体物理学原胞的体积 Ω a3
a3 ak
a
既是晶胞也是原胞
(b)面心立方（fcc）
ak
a1
a2
aj
a3
原胞
ai
平均每个晶胞（布喇菲原胞）包含4个格点。
格为简立方，氯化铯结构属简立方。
每个固体物理学原胞包含1个格点，每个晶胞包含1个格点 。基元由一个Cl-和一个Cs+组成。
Cl-的坐标为 1 1 1 ， Cs+的坐标为 (000)。
2 2 2
典型的晶体结构
结构型
单晶胞中 原子在单晶 最近邻 原子个数 胞中的位置 距离
配位数
fcc
(Cu) 4
bcc
基元，基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。
晶格+基元=晶体结构
1.1基元、结点（格点）和晶格
(a)
(1)基元
(b)
(c)
在晶体中适当选取某些原子作为一个基本结构单元，这个
基本结构单元称为基元，基元是晶体结构中最小的重复单元，
基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。 特点：任何两个基元中相应原子周围的情况是相同的，
a
一维双原子链
b
a
(2)二维
(a)
(b)
a2 a1
a4 a3
a6
a5
固体物理学原胞
a8 a7
维格纳--塞茨单胞
(3)三维
立方晶系 ab bc ca a b c
取 i , j ,k为坐标轴的单位矢量,
设晶格常量(晶胞棱边的长度)为a,
c b
a
即立方体边长为a, a ai ,b a j,c ak
映了晶体结构的周期性。
基矢：固体物理学原胞基矢通常用 a1 , a2 , a3 表示。
体积为： Ω a1 a2 a3
(2)晶胞、惯用晶胞或布喇菲原胞 构造：使三个基矢的方向尽可能地沿着空间对称轴的方 向，它具有明显的对称性和周期性。 特点：结晶学原胞不仅在平行六面体顶角上有格点，面上 及内部亦可有格点。其体积是固体物理学原胞体积的整数倍。
而每一个基元中不同原子周围情况则不相同。
(2)结点（格点）
一个基元用一个格点（或结点、点子）表示，它可以代
表基元重心的位置，也可以代表基元中任意的位置。
(a)
(b)
(3)晶格
(a)
(
(c)
晶体的内部结构可以概括
b)
为是由一些相同的结点在空间
有规则地做周期性无限分布，
通过这些点做三组不共面的平
行直线族，形成一些网格，称 为晶格(或者说这些点在空间周 期性排列形成的骨架称为晶格, 又称为布喇菲格子)。
基矢：晶胞的基矢一般用 a, b, c 表示。
体积为： v a b c n Ω
(3)维格纳--塞茨原胞 构造：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面
(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面 积)即为W--S原胞。
特点：它是晶体体积的最小重复单元，每个原胞只包含1个 格点。其体积与固体物理学原胞体积相同。
(
1 2
1 2
0)
(0 1 2
1) 2
(101) 22
3a
(
1 4
1 4
1 4
)(
3 4
3 4
1 4
)(
3 4
1 4
3 4
)(
1 4
3 4
3 4
)
4
4
NaCl
Na+ 4 Cl- 4
(000)
(
1 2
1 2
0)
(0 1 1) 22
(101) 22
( 1 1 1 ) ( 1 00) 222 2
1 (0 0)
晶格是晶体结构周期性的数学 抽象，它忽略了晶体结构的具体内 容，保留了晶体结构的周期性。
1.2 简单晶格和复式晶格
若格点上的基元只包含一个原子，那么晶格为简单晶格。 简单晶格中所有原子在化学、物理和几何环境上都是 完全等同的。
若格点上的基元包含两个或两个以上的原子（或离子）， 那么晶格为复式晶格。
引入Wigner-Seitz原胞的原因
优点： （1）Wigner-Seitz原胞本身保持了布拉伐格子的
对称性； （2）该取法今后要用到。 缺点： （1）Wigner-Seitz原胞的体积等计算不方便； （2）平移对称性反而不直观。
2.2 几种晶格的实例 (1)一维原子链 一维单原子链
a
a1
固体物理学原胞的体2积
a2 a
jk
Ω a1 a2 a3
ik
1a3 4
2
a 3 a i j 2
(c)体心立方（bcc）
ak
a
a1 i j k 2
a
a2 i j k
a1
a2 aj
ai
2
aka3 a i j k
a3
2
a1 a2
平均每个布拉维原胞包含2个格点。
§1.3 布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
一. 布喇菲空间点阵
(a)
(b)
(c)
(a)、(b)、(c)为二维晶体结构示意图，它们有何异同?
(a)
(b)
(c)
一个理想的晶体是由完全相同的结构单元在空间周期性重
复排列而成的。 所有晶体的结构可以用布喇菲格子（又称晶格）来描述，
这种晶格的每个格点上附有一群原子，这样的一个原子群称为
a
j
ai
固体物理学原胞的体积
Ω a1
a3
a2 a3
1 a3
2
立方晶系中几种实际晶体结构
(a)金刚石结构
实际原子排布结 构（包括基元）
cc 金刚石结构是由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/4 的长度套构而成,其晶胞即布拉维晶格为面心立方。
金刚石结构属面心立方，每个晶胞包含4个格点。
每个格点包含2个原子，属于复式晶格。
原胞的基本平移矢量，简称基矢。
2.1 原胞的分类 (1)固体物理学原胞(简称原胞) 构造：取一格点为顶点，由此点向近邻的三个格点作三个不共
面的矢量，以此三个矢量为边作平行六面体即为固体物理学原胞。
特点：格点只在平行六面体的顶角上，面上和内部均无格点， 平均每个固体物理学原胞包含1个格点。是最小的重复单元，它反
氯化钠结构属面心立方。
氯化钠的固体物理学原胞选取方法
与面心立方简单格子的选取方法相同。
每个固体物理学原胞包含1个格点，每个晶胞包含4个格点。 基元由一个Cl-和一个Na+组成。
Cl-的坐标为 1 1 1 ， Na+的坐标为 (000)。
2 2 2
(c)氯化铯结构
Cl
Cs
氯化铯结构是由两个简立方子晶格沿体对角线位移1/2的 长度套构而成。 Cl-和Cs+分别组成简立方格子，其布拉维晶
2
1 (00 )
2
a 2
6
(W) 2
(000)( 1 1 0)
22
(10 2
1) 2
(0
1 2
1) 2
(000)
(11 1) 22 2
2a 12 2
3a 8 2
CsCl
Cs+ 1 Cl- 1
(000)
(11 1) 22 2
3a 8 2
典型的晶体结构
结构型 单晶胞中 原子个数
原子在单晶 胞中的位置
最近邻 距离
配位数
金刚石
8
(000)
1 2
3
1
1
4
41
2
1
32
4
4
1 2
A类碳原子的 共价键方向
B类碳原子的 共价键方向
金刚石结构每个固体物理学原胞
包含1个格点,基元由两个碳原子组成,
位于（000）和
1 1 1 4 4 4
处。
(b)氯化钠结构
cc
氯化钠结构由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/2的 长度套构而成。
Cl-和Na+分别组成面心立方子晶格。 其布喇菲晶格为面心立方。
简单晶格必须由同种原子组成；反之，由同种原子组成 的晶格却不一定是简单晶格。如金刚石和hcp晶格都是复 式晶格。
简单晶格
复式晶格
二 原胞
在晶格中取一个格点为顶点，以三个不共面的方向上的周 期为边长形成的平行六面体作为重复单元，这个平行六面体沿
三个不同的方向进行周期性平移，就可以充满整个晶格，形成 晶体，这个平行六面体即为原胞，代表原胞三个边的矢量称为
晶胞（即布喇菲原胞）的体积: V a3
属于立方晶系的晶胞有简立方、体心立方、面心立方
(a)简立方（sc）
a1 ai 每个晶胞包含1个格点。
c b
a2 a j 固体物理学原胞的体积 Ω a3
a3 ak
a
既是晶胞也是原胞
(b)面心立方（fcc）
ak
a1
a2
aj
a3
原胞
ai
平均每个晶胞（布喇菲原胞）包含4个格点。
格为简立方，氯化铯结构属简立方。
每个固体物理学原胞包含1个格点，每个晶胞包含1个格点 。基元由一个Cl-和一个Cs+组成。
Cl-的坐标为 1 1 1 ， Cs+的坐标为 (000)。
2 2 2
典型的晶体结构
结构型
单晶胞中 原子在单晶 最近邻 原子个数 胞中的位置 距离
配位数
fcc
(Cu) 4
bcc
基元，基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。
晶格+基元=晶体结构
1.1基元、结点（格点）和晶格
(a)
(1)基元
(b)
(c)
在晶体中适当选取某些原子作为一个基本结构单元，这个
基本结构单元称为基元，基元是晶体结构中最小的重复单元，
基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。 特点：任何两个基元中相应原子周围的情况是相同的，
a
一维双原子链
b
a
(2)二维
(a)
(b)
a2 a1
a4 a3
a6
a5
固体物理学原胞
a8 a7
维格纳--塞茨单胞
(3)三维
立方晶系 ab bc ca a b c
取 i , j ,k为坐标轴的单位矢量,
设晶格常量(晶胞棱边的长度)为a,
c b
a
即立方体边长为a, a ai ,b a j,c ak
映了晶体结构的周期性。
基矢：固体物理学原胞基矢通常用 a1 , a2 , a3 表示。
体积为： Ω a1 a2 a3
(2)晶胞、惯用晶胞或布喇菲原胞 构造：使三个基矢的方向尽可能地沿着空间对称轴的方 向，它具有明显的对称性和周期性。 特点：结晶学原胞不仅在平行六面体顶角上有格点，面上 及内部亦可有格点。其体积是固体物理学原胞体积的整数倍。
而每一个基元中不同原子周围情况则不相同。
(2)结点（格点）
一个基元用一个格点（或结点、点子）表示，它可以代
表基元重心的位置，也可以代表基元中任意的位置。
(a)
(b)
(3)晶格
(a)
(
(c)
晶体的内部结构可以概括
b)
为是由一些相同的结点在空间
有规则地做周期性无限分布，
通过这些点做三组不共面的平
行直线族，形成一些网格，称 为晶格(或者说这些点在空间周 期性排列形成的骨架称为晶格, 又称为布喇菲格子)。
基矢：晶胞的基矢一般用 a, b, c 表示。
体积为： v a b c n Ω
(3)维格纳--塞茨原胞 构造：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面
(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面 积)即为W--S原胞。
特点：它是晶体体积的最小重复单元，每个原胞只包含1个 格点。其体积与固体物理学原胞体积相同。
(
1 2
1 2
0)
(0 1 2
1) 2
(101) 22
3a
(
1 4
1 4
1 4
)(
3 4
3 4
1 4
)(
3 4
1 4
3 4
)(
1 4
3 4
3 4
)
4
4
NaCl
Na+ 4 Cl- 4
(000)
(
1 2
1 2
0)
(0 1 1) 22
(101) 22
( 1 1 1 ) ( 1 00) 222 2
1 (0 0)
晶格是晶体结构周期性的数学 抽象，它忽略了晶体结构的具体内 容，保留了晶体结构的周期性。
1.2 简单晶格和复式晶格
若格点上的基元只包含一个原子，那么晶格为简单晶格。 简单晶格中所有原子在化学、物理和几何环境上都是 完全等同的。
若格点上的基元包含两个或两个以上的原子（或离子）， 那么晶格为复式晶格。