八年级上册数学知识点复习

第1章 分式

一、分式的概念及基本性质

1.分式的定义:

类似地，一个整式 f 除以一个非零整式g （g 中含有字母），所得的商记作 ,把代数式 叫作分式，其中f 是分式的分子，g 是分式的分母，g ≠0.

2.分式有意义的条件: g ≠0

分式无意义的条件: g = 0

分式值为 0 的条件: f =0且 g ≠0

3.分式的基本性质

分式的分子与分母都乘同一个非零整式，所得分式与原分式相等.

即对于分式 ，有 = ﹒ ﹒ (h ≠0)

分式的符号法则: = = =- 二、分式的运算

1.分式的乘除法法则

分式的乘法 分式的除法 分式的乘方

· = ÷ =

· ( )n = 2.分式的加减 （1）同分母分式相加减 =

（2）异分母分式加减时需通分化为同分母分式加减.这个相同的

分母叫公分母.

(确定公分母的方法:一般取各分母系数的最小公倍数与各分母各个因式的最高次幂的积为公分母)

三、整数指数幂

1.同底数幂除法：

=a m-n (a ≠0，m ，n 为正整数且m>n)

2.0次幂、负整数指数幂：a 0＝1（a ≠0） a -n ＝ n ＝

3. 用科学记数法表示绝对值小于1的数： 四、分式方程及其应用

1.解分式方程的思路：

运用转化思想把分式方程去分母转化成整式方程求解.

2.解分式方程的一般步骤：

（1）化：方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式

方程；

（2）解：解这个整式方程；

（3）验：把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的

10n -=

值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，

这个解不是原分式方程的解，而是其增根，舍去；

（4）写根：写出原方程的根.

3.列分式方程解应用题的一般步骤：

（1）审：审清题意，弄清楚已知量和未知量的关系；

（2）找：找出题目中的等量关系；

（3）设：根据题意设出未知数；

（4）列：列出分式方程；

（5）解：解这个分式方程；

（6）验：检验，既要检验所求的解是否为所列分式方程

的解，又要检验所求得的解是否符合实际意义；

（7）答：写出答案.

考点一分式的值为0，有、无意义

例1如果分式的值为0，那么x的值为 1 .

【解析】根据分式值为0的条件：分子为0而分母不为0，列出关于x的方程，求出x的值，并检验当x的取值时分式的分母的对应值是否为零.由题意可得：x2-1=0, 解得x=±1.当x=-1时，x+1=0;当x=1时，x+1 ≠0.

【答案】1

方法总结

分式有意义的条件是分母不为0；分式无意义的条件是分母的值为0；分式的值为0的条件是：分子为0而分母不为0

针对训练

1.若分式无意义，则a的值为-3 .

2.如果分式的值为零，则a的值为 4 .

考点二分式的有关计算

例2 已知分式x=2,y= 1，求(+)÷值

【解析】本题中给出字母的具体取值，因此要先化简分式再代入求值.

解:原式=() =

把x= 2 ,y=1代入得原式==

方法总结

对于一个分式，如果给出其中字母的取值，我们可以先将分式进行化简，再把字母取值代入，即可求出分式的值.但对于某些分式的求值问题，却没有直接给出字母的取值，而只是给出字母满足的条件，这样的问题较复杂，需要根据具体情况选择适当的方法.

针对训练

3.已知x2-5x+1=0,求出的值.

解：因为x2-5x+1=0，得x-5+=0，即x+=5

又因为＝（）2－2＝[（x+）2－2]2－2＝（25－2）2－2＝527

考点三分式方程的解法

例3 解下列分式方程：

（1）+=0 (2)=2-

【解析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可确定出分式方程的解．

解：（1）去分母得x+1+x﹣1=0，解得x=0，

经检验x=0是分式方程的解；

（2）去分母得x﹣4=2x+2﹣3，解得x=﹣3，

经检验x=﹣3是分式方程的解．

方法总结

解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

针对训练

4.解方程：=

解：最简公分母为（x+2）（x﹣2），

去分母得（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）=16，

整理得﹣4x+8=16，解得x=﹣2，

经检验x=﹣2是增根，故原分式方程无解．

考点四分式方程的增根

例4 若分式方程+=0有增根x=2,求a的值.

【解析】增根是分式方程化成整式方程的根，是使最简公分母为0的未知数的值.分式方程去分母得a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0，若原分式方程有增根x=2,即可求出a.

解：原分式方程去分母，得a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0，

把x=2代入所得方程，得4a+1=0, a=,

∴当a=时，x=2.

方法总结

分式方程的增根必须满足两个条件：第一能使原分式方程的最简公分母的值为0；第二是原分式方程去掉分母后得到的整式方程的解.

5.关于x的方程=有增根，求m的值.

解：若分式方程有增根,则增根必须使2x-6=0,

所以增根为x=3.原方程可化为2（x-1)=m2,

把x=3代入得m=±2.

考点五分式方程的实际应用

例5某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次