小波包、多小波及第二代小波
小波包变换的特点与使用方法
小波包变换的特点与使用方法引言：小波包变换是一种信号处理技术，它具有许多独特的特点和广泛的应用。
本文将介绍小波包变换的特点和使用方法，并探讨其在信号处理领域中的重要性。
一、小波包变换的特点小波包变换具有以下几个独特的特点：1. 多分辨率分析：小波包变换能够对信号进行多尺度分析，即可以同时观察信号的整体特征和局部细节。
这使得小波包变换在信号处理中具有优势，可以更好地捕捉信号的特征。
2. 频率可变性：小波包变换可以通过选择不同的小波基函数来适应不同频率范围的信号分析。
这种频率可变性使得小波包变换在不同应用场景下具有更好的适应性和灵活性。
3. 能量集中性：小波包变换能够将信号的能量集中在少量的小波系数中，这使得信号的重要特征更容易被提取和分析。
相比于其他信号处理方法，小波包变换在信号压缩和特征提取方面具有更好的性能。
4. 时间-频率局部化：小波包变换能够在时间和频率上对信号进行局部化分析，即可以确定信号在不同时间和频率上的特征。
这种局部化分析使得小波包变换在信号处理中能够更准确地捕捉信号的变化和特征。
二、小波包变换的使用方法小波包变换的使用方法可以分为以下几个步骤：1. 选择小波基函数：根据需要对信号进行分析的频率范围，选择合适的小波基函数。
常用的小波基函数有Haar小波、Daubechies小波等。
2. 分解信号：将待分析的信号进行小波包分解，得到信号在不同尺度和频率上的小波系数。
分解过程可以通过迭代地对信号进行低通滤波和高通滤波来实现。
3. 选择重要系数：根据信号的特征和需求，选择重要的小波系数进行保留，而将较小的系数进行舍弃。
这可以通过设定阈值来实现，保留大于阈值的系数，舍弃小于阈值的系数。
4. 重构信号：根据保留的小波系数，进行小波包重构，得到近似信号和细节信号。
近似信号反映了信号的整体特征，而细节信号反映了信号的局部细节。
5. 进一步分析：根据需要，可以对重构信号进行进一步分析，例如特征提取、信号压缩等。
Matlab中的小波变换与小波包分析方法详解
Matlab中的小波变换与小波包分析方法详解引言近年来，小波变换在信号处理领域中得到了广泛的应用。
小波变换是一种能够捕捉信号时频特性的有效工具，可以用来分析、压缩和去噪各种类型的信号。
本文将详细介绍Matlab中的小波变换和小波包分析方法，以帮助读者更好地理解和应用这一强大的信号处理技术。
一、小波变换（Wavelet Transform）小波变换是一种将信号分解成不同尺度的基函数的技术。
与传统的傅里叶变换相比，小波变换具有更好的时频局部化特性。
Matlab中提供了丰富的小波分析工具箱，可以方便地进行小波变换的计算。
1.1 小波基函数小波基函数是小波变换的基础。
不同类型的小波基函数适用于不同类型的信号。
在Matlab中，我们可以使用多种小波基函数，如Daubechies小波、Haar小波和Morlet小波等。
1.2 小波分解小波分解是指将信号分解成多个尺度的小波系数。
通过小波分解，我们可以获取信号在不同尺度上的时频特性。
Matlab中提供了方便的小波分解函数，例如'dwt'和'wavedec'。
1.3 小波重构小波重构是指根据小波系数重新构建原始信号。
通过小波重构，我们可以恢复原始信号的时域特性。
在Matlab中，可以使用'idwt'和'waverec'函数进行小波重构。
二、小波包分析（Wavelet Packet Analysis）小波包分析是对小波变换的进一步扩展，它允许对信号进行更精细的分解和重构。
小波包分析提供了一种更灵活的信号分析方法，能够获得更详细的时频特性。
2.1 小波包分解小波包分解是指将信号分解成具有不同频带的小波包系数。
与小波分解相比，小波包分解提供了更高的分辨率和更详细的频谱信息。
在Matlab中，可以使用'wavedec'函数进行小波包分解。
2.2 小波包重构小波包重构是根据小波包系数重新构建原始信号。
第二代小波变换及其在地震信号去噪中的应用
基于以上变换公式对含噪信号进行了 ２ 级可 逆变换， 并结合下面的去噪方法对地震信号的噪声 作了处理。
０ ３ 地震信号去噪 ９１ ［， ］
地震数据包括信号和噪声２部分， 噪声没有一 它代表了一条地震剖面中所不需要 个绝对的定义， 的那一部分。陆地地震资料经常含有不同类型的 噪声， 本文所讨论的是去除随机噪声， 假设随机噪 声为高斯白噪。 离散信号的小波变换去噪可分为３步： 小波分 解； 小波系数缩减 （ 切除噪声部分 ） ； 缩减小波系数 的合成。目前常用的小波去噪的方法有硬域值法 和软域值法。我们采用软域值法去噪， 其方程为 （ ） （ ） 犱 ｉ ｎ 犱（ 狀） 犱（ 狀） 狘 － 狘 τ ｇ τ ＝ｓ ， ０ 狓狘 狘 ≤τ 烄 （ ） ， 犱狀 － ＝烅 τ 狓 ＞τ ， 狓 ＜τ 烆 犱（ 狀） ＋ τ １ ２
）反变换。 ３
， ， 犮 １ 犽 ＝犮 １ 犽－ ＋ ＋ 犼 犼
， ， 犱 １ 犽 ＝犱 １ 犽 ＋ ＋ 犼 犼
１（ 犱 ［ ４ ９ 犮 ＋［ （ １ ６
， １ 犽 １ ＋ － 犼
， ＋犱 ＋ １ 犽） ＋ 犼
１ ２
， ２ 犽 犼
， 犮 ＋ － ２ 犽 ２） ＋ 犼
１（ １ ， ， 犮 犮 ＋ ２ 犽 ２＋ ２ 犽 ４） － ＋ 犼 犼 １ ６ ２
５ 结束语
第二代小波变换是对传统小波理论的进一步 发展， 人们对它的研究还在起步阶段， 其理论研究 尚需进一步深入。 本文讨论了第二代小波变换的 基本原理和变换过程， 并利用 Ｄ ｅ ｓ ｌ ａ ｕ ｒ ｉ ｅ ｒ ｓ Ｄ ｕ ｂ ｕ ｃ （ ， ） 小波对模拟数据及实际资料做了去噪处理 ， ４２ 从处理结果可以看出， 用第二代小波变换去噪算法 效果明显， 证明它是一种切实可行的地震信 简单， 号去噪新方法。 参 考 文 献
小波分析及小波包分析
小波分析及小波包分析在利用matlab做小波分析时，小波分解函数和系数提取函数的结果都是分解系数。
我们知道，复杂的周期信号可以分解为一组正弦函数之和，及傅里叶级数，而傅里叶变换对应于傅里叶级数的系数；同样，信号也可以表示为一组小波基函数之和，小波变换系数对应于这组小波基函数的系数。
多尺度分解是按照多分辨分析理论，分解尺度越大，分解系数的长度越小（是上一个尺度的二分之一）。
我们会发现分解得到的小波低频系数的变化规律和原始信号相似，但要注意低频系数的数值和长度与原始信号以及后面重构得到的各层信号是不一样的。
小波分解：具体实现过程可以分别设计高通滤波器和低通滤波器，得到高频系数和低频系数，并且每分解一次数据的长度减半。
小波重构，为分分解的逆过程，先进行增采样，及在每两个数之间插入一个0，与共轭滤波器卷积，最后对卷积结果求和。
在应用程中，我们经常利用各层系数对信号进行重构（注意虽然系数数少于原信号点数，但是重构后的长度是一样的），从而可以有选择的观看每一频段的时域波形。
从而确定冲击成分所在频率范围。
便于更直观的理解，小波分解，利用各层系数进行信号重构过程我们可以认为是将信号通过一系列的不同类型的滤波器，从而得到不同频率范围内的信号，及将信号分解。
小波消噪:运用小波分析进行一维信号消噪处理和压缩处理，是小波分析的两个重要的应用。
使用小波分析可以将原始信号分解为一系列的近似分量和细节分量，信号的噪声主要集中表现在信号的细节分量上。
使用一定的阈值处理细节分量后，再经过小波重构就可以得到平滑的信号。
小波常用函数[C,L]=wavedec(s,3,'db1');%用小波函数db1对信号s进行3尺度分解其中C为分解后低频和高频系数，L存储低频和高频系数的长度。
X=wrcoef(‘type’,C,L,’wname’,N)%对一维小波系数进行单支重构，其中N表示对第几层的小波进行重构X=wrcoef(‘a’,C,L,’wname’,3)%对第三层的低频信号进行重构，如果a变为d的话，表示对低频分量进行重构。
小波变换发展史
小波变换发展史传统的信号理论，是建立在Fourier分析基础上的，而Fourier变换作为一种全局性的变化，其有一定的局限性。
在实际应用中人们开始对Fourier变换进行各种改进，小波分析由此产生了。
小波分析是一种新兴的数学分支，它是泛函数、Fourier分析、调和分析、数值分析的最完美的结晶；在应用领域，特别是在信号处理、图像处理、语音处理以及众多非线性科学领域，它被认为是继Fourier分析之后的又一有效的时频分析方法。
小波变换与Fourier变换相比，是一个时间和频域的局域变换因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺（Multiscale Analysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。
1.从傅立叶分析到小波分析1807年，法国学者Fourier指出任何周期函数都可以用一系列正弦波来表示，开创了傅立分析。
傅立叶分析揭示了时域与频域之间内在的联系，反映了“整个”时间范围内信号的“全部”频谱成分，是研究信号的周期现象不可缺少的工具。
建立在傅立叶分析基础上的采样定理和FFT技术奠定了现代数字化技术的理论基础。
尽管傅立叶变换具有很强的频域局域化能力，但是它明显的缺点，那就是无法反映非平稳信号在局部区域的频域特征及其对应关系，即FT在时域没有任何分辨率，无法确定信号奇异性的位置。
为了研究信号在局部时间范围内的频谱特征，1946年，Gabor提出了短时傅立叶变换（Short Time Fourier Transform，STFT），但是STFT的窗口宽度是固定的（和频率无关），这使得它无法同时兼顾信号的低频和高频特征，在分析时变信号时也有一定的局限性。
另外，STFT的窗口函数或核函数不能提供一组离散正交基，所以给数值计算带来了不便，这也是导致STFT 没有得到广泛应用的重要原因。
从傅立叶分析演变而来的小波分析的优点恰恰可以弥补傅立叶变换中存在的不足之处。
小波变换 5 矢量小波、双正交小波、小波包
双正交小波
• 定义： 假设 {Vj | j Z和{V%j | j Z}是两个多分辨分析，
和%分别是其尺度函数．如果
(t),~(t k) 0,k , k Z
则称和%是双正交尺度函数。
• 尺度函数的双尺度方程：
(t) hn(2t n), %(t) h%n%(2t n)
nZ
nZ
频域形式：
ˆ(2) H ()ˆ(), R ,
200
400
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
600
0
compressed signal
200
400
图
双 正 交 小 波 用 于 信 号 压 缩
600
5-1
结果表明，尽管压缩后的图像仅由约16%的小波系数重建而成，但却保 留了原图像几乎全部的能量，获得了很好的压缩效果。从视觉上看，压缩后 的图像与原图像几乎没有区别。
j,n(t),un(t k) j ,1,0;n 2,3, , k Z
是L2 (R) 的一个正交基
正交小波包
小波包的分解算法与重构算法
分解算法：
alj,2n
k
1 2
hk
2l
a j1,n k
alj,2n1
k
1 2
g a j1,n k2l k
重构算法：
a j1,n l
[hl2k akj,2n gl2k akj,2n1 ]
WjΒιβλιοθήκη U2 j 1U
3 j 1
U
4 j2
U
5 j2
U
6 j2
U
7 j2
L
U
2k j
k
U 2k 1 jk
小波分析简述
第一篇：小波分析发展历史简述1910年，Haar提出了L2(R)中第一个小波规范正交基，即Haar正交基。
1936年，Littlewood和Paley对傅立叶级数建立了二进制频率分量分组理论，（即L-P理论：按二进制频率成分分组，其傅立叶变换的相位并不影响函数的大小和形状），这是多尺度分析思想的最早起源。
1952年～1962年，Calderon等人将L-P理论推广到高维，建立了奇异积分算子理论。
1965年，Calderon发现了著名的再生公式，给出了抛物型空间上H1的原子分解。
1974年，Coifman实现了对一维空间和高维空间的原子分解。
1976年，Peetre在用L-P理论对Besov空间进行统一描述的同时，给出了Besov空间的一组基。
1981年，Stromberg引入了Sobolev空间Hp的正交基，对Haar正交基进行了改造，证明了小波函数的存在性。
1981年，法国地球物理学家Morlet提出了小波的正式概念。
1985年，法国数学家Meyer提出了连续小波的容许性条件及其重构公式。
1984年～1988年，Meyer、Battle和Lemarie分别给出了具有快速衰减特性的小波基函数：Meyer小波、Battle-Lemarie样条小波。
1987年，Mallat将计算机视觉领域中的多尺度分析思想引入到小波分析中，提出了多分辨率分析的概念，统一了在此前的所有具体正交小波的构造，给出了构造正交小波基的一般方法，提出了快速小波变换（即Mallat算法）。
1988年，Daubechies基于多项式方式构造出具有有限支集的光滑正交小波基（即Daubechies基）。
Chui和中国学者王建忠基于样条函数构造出单正交小波函数，并提出了具有最优局部化性能的尺度函数和小波函数的一般性构造方法。
1988年，Daubechies在美国NSF/CBMS 主办的小波专题研讨会上进行了10次演讲，引起了广大数学家、物理学家、工程师以及企业家的重视，将小波理论发展与实际应用推向了一个高潮。
小波包算法
小波包算法1.1小波包变换在脑电信号处理中的应用小波包技术首先在脑电信号的预处理中有着滤波和去噪的功能，其次小波包变换在脑电信号处理中的一个主要应用就是提取特征。
其主要步骤如下:(1) 选择适当的小波滤波器，对给定的采样脑电信号进行小波包变换，获得树形结构的小波包系数。
(2) 选择信息代价函数，利用最佳小波包基选取算法选取最佳基。
(3) 对最佳正交小波包基对应的小波包系数进行处理。
(4) 对处理后的小波包系数采用小波包重构算法得到重构信号。
对于重构得到的信号我们可以计算其均值，方差和能量和也就是其特征值，然后利用支持向量机分类器根据所得特征值进行分类。
1.2 小波包变换的基本概念及算法研究小波变换是一种分析非平稳信号的有效方法，它能够把信号分解成不同尺度基小波的加权和，主要不足是在高频段的频率分辨率较低，导致在一些应用中，不能满足实际要求。
小波包的概念是在小波变换的基础上提出来的，它提供了一种更为精细的信号分析方法，将信号高频部分进行进一步分解，即对高频部分也用二分滤波器进行分解，所以能根据信号的特征选取相应频带与信号频谱匹配，进一步提高了时频分辨率，因此小波包分析具有更广泛的应用价值。
小波分解是基于尺度函数和小波函数为基函数进行分解的。
用ϕ(t)和ψ(t)分别表示小波变化的尺度函数和小波母函数，在小波包分解中，为了统一函数表示，令ψ0(t)= ϕ(t)，ψ1(t)= ψ(t)。
那么根据二尺度方程可以构造如下的小波基：)()()(,,t n h 2t k 221ni n k 21j jji 2i 2kj ∑--ψ=-ψ=ψ(1.1))()()(,,t n g 2t k 221nink 21j jj 1i 21i 2kj ∑--++ψ=-ψ=ψ(1.2)其中：i 为节点号，j 为分解级数，h(n)和g(n)=( −1)n h(1 – n)为一对正交镜像滤波器。
信号f(t)=00d 在第j 级和k 点处的小波包分解系数可以用下述递推公式表示：∑⎰-=ψ=-ni 1j i 2k j i2j n k 2d n h dt t t f k d )()()()()(, (1.3)∑⎰-=ψ=-++nij i k j i jn k dn g dt t t f k d )2()()()()(112,12 (1.4)假设原始信号长度为m·2N 点，则f(t)信号的完全重构可以表示为：∑∑∑∑----⋅=-⋅=++-⋅=-⋅=ψ+ψ=112012012,121201202,2)()()()()(j j N j j N m i m k i k j i j m i m k i k j i jt k dt k dt f (1.5)其中，i k j 2,ψ(t)和12,+i k j ψ(t)为根据二尺度方程构造出的小波包基函数，i j d 2(k)和12+i jd （k ）是信号f(t)=在第j 级,k 点处的小波包分解系数。
小波包变换（WaveletPacketTransform）的学习笔记
⼩波包变换（WaveletPacketTransform）的学习笔记对于⼀个连续的周期信号，可以将其分解为⼀组频率不同的三⾓函数信号的线性组合，这就是傅⾥叶级数的本质，将信号从时域投影到频域中的不同频段上来完成分解。
当这个周期信号的周期趋近于⽆穷⼤时，傅⾥叶级数就变成了傅⾥叶变换。
此时的信号本质上是⼀个连续⾮周期信号，傅⾥叶变换的意义就在于对其进⾏分解，同样也是以⼀组三⾓函数作为正交基，并通过这组三⾓函数基的线性组合来表⽰原信号。
数学表达为：由于三⾓函数是⼀个⽆限长的信号，在时域上不具有局部性，因此以其作为正交基对信号进⾏拟合时，具有以下两个不⾜：第⼀，对于突变信号，如阶跃信号或尖峰信号，其需要⼤量的三⾓函数基进⾏组合才能完成较好的信号拟合；第⼆，由于三⾓函数不具备在时域上的局部性，因此在对信号进⾏傅⾥叶变换时，仅仅只能获取到信号在频域上的分布信息，并不能获取到这些不同频率的信号分量在时域上出现的位置。
因此傅⾥叶变换对于⾮平稳信号的分解会遗失其在时域上的变化信息。
⼩波变换就是为了解决对⾮平稳信号的分解问题⽽产⽣的数学⽅法。
相⽐于傅⾥叶变换使⽤⼀组⽆限长的三⾓函数基进⾏信号拟合，⼩波变换使⽤的是⼀组正交的、迅速衰减的⼩波函数基进⾏信号拟合。
这种⼩波函数基可通过其尺度变量和平移变量，获得不同的频率和时间位置。
因此在利⽤这种⼩波函数基对信号进⾏分解时，可以⽤较少的⼩波函数基就拟合出突变信号（稀疏编码特性），同时也能获得不同频率的信号分量在时域上的出现位置。
⽤于⽣成⼀组不同频率和时移的⼩波函数的⼩波函数，称为基本⼩波（Basic Wavelet），由其⽣成的⼀组⼩波函数，是该基本⼩波的⼀个⼩波族（Wavelet Family），表⽰为：，其中为尺度参数，通过伸缩控制⼩波的尺度（频率），为平移参数，通过移位控制⼩波在时域中的出现位置。
这两个参数的作⽤顺序是先作平移，再作伸缩。
对这⼀族⼩波函数进⾏归⼀化，即得到⼀组⼩波函数基。
不同小波函数分解
文档：不同小波函数分解一、引言小波变换是一种在信号处理、图像处理、数值分析等领域广泛应用的工具。
它具有多尺度、多方向性和自适应性等优点，可以对信号或数据进行多尺度的分析。
本文档将详细介绍不同类型的小波函数分解，包括一维小波分解、二维小波分解、多维小波分解、连续小波变换、离散小波变换、小波包变换、双小波变换、基于复数的小波变换、基于样条的小波变换和基于多小波的小波变换。
二、一维小波分解一维小波分解是将一维信号分解成不同尺度的小波系数的过程。
通过递归地将信号分解成更小的部分，可以得到信号在不同尺度上的表示。
一维小波分解在信号处理、图像压缩等领域有广泛应用。
三、二维小波分解二维小波分解是将二维信号（如图像）分解成不同尺度的小波系数的过程。
它将二维信号表示为一组一维信号的嵌套，可以得到图像在不同尺度上的表示。
二维小波分解在图像压缩、图像处理等领域有广泛应用。
四、多维小波分解多维小波分解是将多维信号分解成不同尺度的小波系数的过程。
它将多维信号表示为一组低维信号的嵌套，可以得到多维信号在不同尺度上的表示。
多维小波分解在多维数据分析和处理等领域有广泛应用。
五、连续小波变换连续小波变换是将时间连续变化的参数的小波应用到信号上，从而得到信号在不同时间和频率上的表示。
它具有时间和频率的连续性，可以提供更丰富的信息。
连续小波变换在信号处理、图像处理等领域有广泛应用。
六、离散小波变换离散小波变换是将时间离散变化的参数的小波应用到信号上，从而得到信号在不同尺度和位置上的表示。
它具有时间和频率的离散性，便于计算机实现。
离散小波变换在信号处理、图像处理等领域有广泛应用。
七、小波包变换小波包变换是在小波变换的基础上发展起来的一种新的变换方法。
它将信号分解成不同尺度的小波包，可以得到信号在不同尺度和方向上的表示。
小波包变换在信号处理、图像处理等领域有广泛应用。
八、双小波变换双小波变换是将两个不同的小波应用到信号上，从而得到信号在不同尺度和方向上的表示。
小波分析知识点总结
小波分析知识点总结小波分析的基本思想是利用小波函数对信号进行分解，得到不同尺度和频率的成分，然后对这些成分进行分析。
小波函数通常具有局部化特性，能够反映信号的局部特征，在时域和频域上都具有一定的分辨率，因此可以更准确地描述信号的时频特性。
小波分析主要包括小波变换、小波系数的选择、小波包分析、小波域滤波等内容。
下面将从这些方面对小波分析进行介绍。
1. 小波变换小波变换是小波分析的核心内容，它将信号分解成不同尺度和频率的成分。
小波变换包括连续小波变换和离散小波变换两种形式。
连续小波变换将信号分解成不同尺度和频率的成分，并且可以实现任意精细程度的分解。
但是由于小波函数是连续的，计算复杂度较高，因此应用较为有限。
离散小波变换是将连续小波变换进行离散化处理，从而降低计算复杂度。
离散小波变换可以通过小波分解和小波重构过程来实现信号的分解和重构，具有较好的实用性和计算效率。
小波变换具有多重分辨率分析的特点，可以在不同尺度和频率上对信号进行分析，具有较好的时频局部化特性。
2. 小波系数的选择小波系数对信号的分解和重构效果具有重要影响。
通常情况下，小波系数是由小波函数的形状和尺度决定的，不同的小波函数对信号的分解和重构效果有一定的影响。
常用的小波函数包括哈尔小波、Daubechies小波、Meyer小波、Gabor小波等。
这些小波函数具有不同的形状和尺度特性，可以适用于不同类型的信号。
在选择小波系数时，需要考虑信号的特点和分析的目的，选择合适的小波函数和尺度参数，以实现更好的分解效果。
3. 小波包分析小波包分析是小波变换的一种扩展形式，它能够对信号进行更为细致的分解。
小波包分析将信号进行逐层分解，得到更为丰富的频率成分，能够更准确地描述信号的时频特性。
小波包分析通常采用二叉树结构进行信号分解，在每层分解中都能够获得更为细致的频率分量。
小波包分析可以实现任意精细程度的频率分解，能够更充分地利用小波函数的局部化特性，对信号进行更为全面的时频分析。
第二代小波及压缩算法在数据处理中的应用
以进 行 整 数 集 到 整 数 集 的 小 波 变 换 ．这 是 提 升 小 波 实
式 中， 为原始信号 ； 为噪声信 号。 ｓ ｊ 对测量信号去噪过程如下 ：
现不失真压缩的理论 基础 。其压缩过程如下 ：
差值 ｄ 需引入更新算子 ， 更新 过程 为 ：
『＝ ｊ＋ 一） １ （ １ ＿ ｅ＿ Ｕ（ １＝ 『＋ ） ｌ ｌ ． （ ３）
对更新后 的数据子集 ， 进行相 同的分裂 、 预测 和
更 新 ， ｓ 解 成 ｓ 和 。 过 ，次分 解后 ， 即 Ｈ分 经 ｚ 原始 信 号
。
③ 将低频系数 和处理后 的高频 系数进 行合并 ， 形
成 去 噪 后 的信 号 阈 值 的选 择 和 处 理 方 法 对 去 噪 的 结 果 影 响 较 大 。
（ ０ １）
ＳＪ
＿
Ｓ ｊ ＝－ｓ ；＝， ｎｊ ＋－ ｓ （１ １ ｉ ｓ ／一～ ｉ …， ） － ， ２
（） １分解
①对原测量信号进行二代小波变换 ， 并分解 ； ②用 阈值处理方法对分 解得 到的高频 系数进行处
理：
去噪后数据序列为 ： Ａ ， Ａ 将 序列分为若 干 Ａ ， ：…， 个两元组 ， 并求两数之和与差 。 表达式为 ：
Ｓ＝ ｉ Ａ¨ ¨ － ； ｉｌ， ，／ ） Ａ （ － … ｎ２ ．Fra bibliotek（４ １）
种方法综 合运用 ，可 以提 高数据 精度 和工作效 率 ， 及 时、 准确 地对装 备做出鉴定 。
二
可 以获 得 不 失 真 压 缩 的原 序列 Ａ。 … ， ， ， Ａ。 Ａ
该压缩算法 简单 、 易行 ， 较强的适用性 。从 以上 有 算式可 以看 出 ． 该算法在对数据 进行压缩 的同时 ． 以 可 保 留原始数据序列 的特 征 ． 到不失 真压缩 对 于具有 做 数据量大 、精 确性和及 时性要 求高等特点 的测 量系统 来说 。 在保 证数据特征和精 度的 同时 。 以降低 数据处 可
小波包小波提升方案
对图像的尺寸有要求，不能对所有尺寸的图像进行变换；
对内存需求量较大，用通用和专用芯片实时实现时有困难； 当所分析的数据为不规则抽样数据，或对曲线、曲面等进 行变换时，第一代小波不能满足要求。
V33
↓2
d1 (n)
H1
H0
W33
↓2
↓2
H1
V34
↓2
↓2
H0 H1
W34
↓2
5
2013-8-7
2013-8-7
6
2013-8-7
7
2013-8-7
8
2013-8-7
9
2013-8-7
10
2p
2
( j 1)
t 2
2 p 1 2 ( j 1) t 2 h1 (k ) p 2 j t k
的母小波作伸缩与平移而得到的。称这一类小波为第一代 小波。不论是从二尺度差分方程的频域关系，还是从正交 小波或双正交小波的构造方法都可以看出，第一代小波的 构造实际上还是以Fourier变换为工具的。
2013-8-7 41
对某些不满足Fourier变换的函数，或者不允许伸缩和平
移的non-Euclidean空间，第一代小波就显得无能为力了。另
5w0051021012w1051021012w2051021012w3201331519051021012w4051021012w5051021012w6051021012w7201331520000111021222320313233343536373时的二进制树结构图3j201331521201331522小波包系数的快速计算方法20133152320133152400nd02d12d32d22d11d2h0z2h1z2h0z2h0z2h1z2h1z01d基于滤波器组的小波包分解与重建小波包分解20133152522d02d32d00nd12d01d11d2h1z2h0z2h0z2h0z2h1z2h1z小波包重建201331526201331527050010001050510signalxt0200400600201001020d10020040060042024d112013315280100200300201001020d20010020030042024d21010020030042024d22010020030042024d2320133152905010015030201001020d300501001501050510d3105010015042024d32050100150642024d3320133153005010015042024d3405010015042024d3505010015064202d3605010015042024d372013315312013315322013315332013315342013315352013315362022111214131234567803w13w23w33w43w53w63w73w00w5001w11w02w12w22w32w最佳小波包选择图中阴影部分为最后所选择的小波包20133153720133153820133153920133154000010203111213w03w13w02w12w01w11最佳树结构分解的区间20133154112
小波变换的发展简史
从时频分析方法发展的角度出发（对比每种方法的优缺点），简述了小波变换的发展历史。
小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet 在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。
幸运的是，1986年著名数学家Y.Meyer 偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat 合作建立了构造小波基的同一方法枣多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来。
与Fourier 变换、窗口Fourier 变换相比，它是一个时间和频率的局域变换，因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析，解决了Fourier 变换不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展，势必取代傅立叶分析的位置。
1．小波分析的3个特点：• 小波变换，既具有频率分析的性质，又能表示发生的时间。
有利于分析确定时间发生的现象。
（傅里叶变换只具有频率分析的性质）• 小波变换的多分辨度的变换，有利于各分辨度不同特征的提取（图象压缩，边缘抽取，噪声过滤等）• 小波变换比快速Fourier 变换还要快一个数量级。
信号长度为M 时， Fourier 变换（左）和小波变换（右）计算复杂性分别如下公式：M O M M O w f ==,log 2 小波基表示发生的时间和频率：4.信号的时频分析：• 信号时频分析的重要性：- 时间和频率是描述信号的两个最重要的物理量。
- 信号的时域和频域之间具有紧密的联系。
• 信号时频分析的主要方法：t d e (t)f )(F -t j -⎰+∞∞=ωω傅里叶变换（Fourier ）基小波基时间采样基ωωπωd e )(F 21(t)f -t j ⎰+∞∞= 3. 傅里叶变换（一）傅里叶变换伟大贡献及其局限性：傅立叶变换的理论是人类数学发展史上的一个里程碑，从1807年开始，直到1966年整整用了一个半世纪多才发展成熟，她在各个领域产生了深刻的影响得到了广泛的应用，推动了人类文明的发展。
小波变换的提升实现 第二代小波提升相位矩阵
则
0 1/ K 1 pi z 1 1 P z 1 u z 1 i 1 0 1 i 0
m
0 K
2. 尚未完全解决的问题 多相位矩阵分解存在极大的不唯一性，到底存在多少种分解方法？ 如何求出所有的分解？如何根据具体的应用，选择一种‘好’的 分解方法?
qz az bz
r z bz 或
r z 0
两个Laurent多项式的欧几里德算法如下：
a0 z az b0 z bz
从 i 0 开始进行如下的递归运算：
ai 1 z bi z
bi 1 z ai z %bi z
Step 2. 提升与对偶提升 For i = m to 1
dli 1 dli pki slik k i 1 i i i 1 sl sl uk dl k k
l 0,1,, N / 2 1
Step 3. 逆懒小波变换
x2l sl0 ,
x2l 1 dl0
n az qi z 1 an z bz 1 0 0 i 1
如果an(z)是一个单项式，则a(z)和b(z)是互素的。 注意与多项式带余除法和欧几里德算法的异同之处.
多相位矩阵的因子分解
若 det P( z ) 1 ，则总存在Laurent多项式 ui ( z ) 和 pi ( z ) (1 i m)
（5-3）小波变换的提升实现
h {
，
~
1
4 2 2 2 2 2 2 2
,
1
,
3
,
1
,
1 4 2
}
，
小波包
重构算法为：
p (t ) 2[ h(t 2k ) p
i j k 2i 1 j 1
(t ) g (t 2k ) p (t )]
2i j 1 k
式中，j J 1, J 2,,1， i 2 j ,2 j 1 ,,2,1; 0； J log , h, g为小波重构滤波器， 与尺度函数 h
小波包原理
小波包定义
给定正交尺度函数和小波函数，其而尺度关 系为：
(t ) 2 h0k (2t k )
k
(t ) 2 h1k (2t k )
k
式中，h0k 、h1k 是多分辨率分析中的滤波器系数。
小波包原理
为了进一步推广二尺 wn (2t k )
w2n1 (t ) 2 h1k wn (2t k )
kZ
kZ
h 式中 h0k ， 1k 仍是多分辨率分析中的滤波器系数
当n=0时， 0 (t ) (t )，w1 (t ) (t ) 。 w 以上定义的函数集合 {wn (t )}nZ 为由 w0 (t ) (t ) 所确定的小波包。
N 2
有关，g与小波函数有关。
小波包分解与重构实验
选用Meyer小波
Meyer小波尺度函数
Meyer小波小波函数
小波包分解与重构实验
原始信号----蓝色
小波包分解后重构信号----红色
小波包分解与重构实验
原始信号振幅谱----蓝色 小波包分解后重构信号振幅谱----红色
小波包分解与重构实验
图上----原始地震信号
小波包分频与重构
目录 引言 小波包原理 小波包分解与重构实验 讨论
引言
(整理)小波变换与JPEG2000编码.
第10章小波变换与JPEG 2000编码虽然基于DCT的JPEG标准的压缩效果已经很不错，但在较高压缩比时会出现明显的马赛克现象，且不能渐进传输。
为了适应网络发展的需要，JPEG于2000年底推出了采用DWT (Discrete Wavelet Transform离散小波变换)的JPEG 2000标准。
小波变换是1980年代中期发展起来的一种时频分析方法，比DCT这样的傅立叶变换的性能更优越，被广泛应用于调和分析、语音处理、图像分割、石油勘探和雷达探测等等方面，也被应用于音频、图像和视频的压缩编码。
本章先介绍小波变换的来龙去脉，然后分别介绍连续小波变换、离散小波变换、Haar 小波变换和整数小波变换，最后介绍JPEG 2000的编码算法和标准。
10.1 小波变换小波变换(wavelet transform)是傅立叶变换的发展，中间经历了窗口傅立叶变换。
原始数据一般是时间或空间信号，在时空上有最大分辨率。
时空信号经傅立叶变换后得到频率信号，在频域上有最大分辨率，但其本身并不包含时空定位信息。
窗口傅立叶变换通过对时空信号进行分段或分块进行时空-频谱分析，但由于其窗口的大小是固定的，不适用于频率波动大的非平稳信号。
而小波变换可以根据频率的高低自动调节窗口大小，是一种自适应的时频分析方法，具有多分辨分析功能。
本节先讨论小波变换与（窗口）傅立叶变换的关系，然后依次介绍连续小波变换、离散小波变换、Haar小波变换和第二代小波变换（整数小波变换）。
10.1.1 傅立叶变换与小波变换1822年的他在用无穷三角级数求解热传导偏微分方程时所提出的一种数学方法，它可将时空信号变换成频率信号。
鉴于傅立叶变换不含时空定位信息，（1971年的诺贝尔物理学奖获得者）匈牙利人Dennis Gabor于1946年提出窗口傅立叶变换（windowFourier transform）。
可以用于时频分析，但是窗口大小是固定的。
Joseph Fourier1984年法国的物理学家Jean Morlet和A. Grossman，在进行石油勘探的地震数据处理分析时，又提出了具有可变窗口的自适应时频分析方法——小波变换（wavelet transform ）。
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M
因此，很容易得到小波子空间的各种分解如下： jW
3121++⊕=jjjUUW
72625242++++⊕⊕⊕=jjjjjUUUUW
M
121221.
+
+
++
+⊕⊕⊕=lllljljljjUUUWL 4.14
M
文本框:
jW空间分解的子空间序列可以写作，；mljlU+
+
212,,1,0.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱlmLjl,,2,1L=；。子空间
序列的标准正交基为：
L,2,1=jmljlU+
+
2
{}Znntwljmljl∈.+.
+
+.:)2(2)(
22/)( 4.15
当和时，子空间序列简化为，相应的正交基简化为0=l0=mmljlU+
+
2jjWU=1{})2(2)2(22/
在感兴趣的频率点上尽可能地提高频域分辨率，在感兴趣的时间点上尽可能地提高时间分辨率，这样当用
滤波器组对信号进行分解时，短时Fourier变换的等带宽或小波变换的恒-Q带宽都不一定合适，应该按信
号特性选择相应组合的滤波器组，这就是小波包(Wave1et Packet)。
小波包的概念是由M.V.WickerhaMser，R.R.Coifman等人在小波变换的基础上，根据实际应用的需求
()()0,122=.+ktWtwll
4.1.2 小波包分解
现在令、L,2,1=lL,2,1=j，并对式(4.11)进行迭代分解，有
31211++⊕==jjjjUUWU 4.12
而
524221+++⊕=jjjUUU， 4.13 726231+++⊕=jjjUUU
的Shannon-Weaver熵定义为： )(nx
4.24 [Σ..=
iipipx)(log)()(η
其中
22)(
)(
xixip=，而当时，0)(=ip[]0)(log)(=.ipip。
式（4.24）可以表示为：
()22log)()(xxxx+.=.λη 4.25
[]Trtftftf)(,),(),((t)21L=frRL)((t)2∈frRL)((t)2∈g(t)f(t)g
∫+∞
∞.
=dtT(t)(t)(t),(t)gfgf 4.27
是一个rr×矩阵。
4.2.1多尺度函数
设是一个矢量函数，，[]Trttt)(,),(),((t)21φφφL=φrRL)((t)2∈φNr∈，对于，定义 Zj∈
进一步提出来的，并且从数学上作了比较严密的推导。从工程技术的角度，小波包可以看成是函数空间逐
级正交分解的扩展。
图4.1是我们介绍过的Mallat多分辨率分析中函数空间的分解和相应二分树滤波器组的示意图。首先
可以想到这种二分解不只可对各空间进行，也可以类似地对各空间进行。这样便将得到图4.2所示
(5) (){}Zkriki∈≤≤..,1:φ是的Riesz基。 0V
此时，我们称多尺度函数生成的乘数为(t)φ)(2RLr的多分辨率分析。
对于1021)(,),(),(..∈VVtttrφφφL，序列矩阵存在，这样 (n)h
传统的小波(也称第一代小波)也可以由第二代小波构造生成，因此研究第二代小波更有实际意义。
由于小波包、多小波及第二代小波都是在传统小波基础上，根据实际的不同应用要求发展而提出来的，
具有许多相近要求，所以我们本章对它们一起讨论。
4.1 小波包
在某些信号分析中，人们往往只对某些特定时间段(点)或频域段(点)的信号感兴趣，因此人们自然希望
图4.2 小波包分解示意图
4.1.1 小波包的基本原理
设正交小波基的滤波器系数分别为和，并将尺度函数)(nh)(ng)(tφ改写为，小波函数)(0tw)(tψ改
写为，于是关于尺度函数)(1tw)(tφ和小波函数)(tψ的双尺度方程为：
Σ∈
.=
Znntwnhtw)2()(2)(00 4.1
Σ∈
.=
Znntwngtw)2()(2)(01 4.2
令)(ωH和)(ωG分别是滤波器和的Fourier变换，即 )(nh)(ng
Σ∈
.=
ZnjnenhHωω)(
21)( 4.3
Σ∈
.=
ZnjnengGωω)(
21)( 4.4
文本框: V3(LLL)
文本框: W2(HL)
文本框: V2(LL)
文本框: W1(H)
文本框: V1(L)
文本框: V0
..
...
=
=
jjjjWUVU10
4.7
则多分辨率空间的正交分解jjjWVV⊕=.1即可用的分解统一起来： ljU
1001jjjUUU⊕=. 4.8
(){ZkrikspanVjijj∈≤≤..∈..,1:222/φ 4.28
如果空间满足下列特性，则称为多尺度函数 jV(t)φ
(1) LL.....101VVV
(2) )(2RLVZjj=
∈U
(3) {}0=
∈IZjjV
(4) 1(2t)(t).∈.∈jjVVff
而变时，其最优小波包也会改变。如何随着时间的推移切换所选用的最优小波包，并减小切换期间过渡过
程的影响也是一个值得研究的问题。
最佳小波包选择方法可根据实现需要定义一个可接受的代价函数，这样可以把“最佳”选择问题转换
成代价函数最小化过程。最广泛应用的最佳小波包选择的代价函数是Shannon-Weaver熵准则。离散序列
文本框:
4.1.4最佳小波包的选择方法
对于一个具体信号究竟如何选择最佳的小波包来分解信号，是和分解的目的密切相关的。例如，对数
据压缩而言，其优选目标是使得变换后数据压缩比即大、信息损失又较小。但对信号分析、检测而言，这
些选择却未必是优选标准。因此小波包的优化选择是需要重点讨论的一个问题。当信号的时-频结构随时间
频率指示
np的小波包。
与研究的小波基)(,tnjψ相比，小波库是小波包内的每一个函数经尺度平移后的所有函数组成的新集
合。在小波包)(,,tpnjψ中，除了离散尺度j和平移位置两个参数外，还增加了频率参数。正
是这个新的频率参数，使得小波包克服了小波时间分辨率高时，频率分辨率低的缺陷。于是，参数
的空间分解和对应的二分树滤波器组示意图。图中各框内括号中的符号代表划分出该空间的分解次序，其
次序是先右后左。代表低通滤波，
jVjWLH代表高通滤波。
图4.1 Mallat多分辨率分析示意图
文本框: W32(HLL)
文本框: V32(LLL)
文本框: W22(HL)
文本框: V22(LL)
文本框: W31(HLL)
文本框: V31(LLL)
文本框: W21(HL)
文本框: V21(LL)
文本框: W1(H)
文本框: V1(L)
文本框: V0
文本框: W3(HLL)
小波包{定义为包括尺度函数)(twl)()(0ttwφ=和小波函数)()(1ttwψ=在内的一个具有一定联系
的函数集合。小波包具有下列主要性质：
(1) 每个本身都是整数移位正交的，即 ()twl
()()Zkktwtwkll∈=.,,δ
(2) 同一尺度级下的小波包基奇偶序号之间是正交的(包括作整数位移)。即
定义子空间是函数的闭包空间，而是函数的闭包空间，则满足下列双尺度
方程：
ljU)(twlljU2)(2twl)(twl
Σ∈
.=
Znllntwnhtw)2()(2)(2 4.9
Σ∈
+.=
Znllntwngtw)2()(2)(12 4.10
此时
1221+
.⊕=ljljljUUU 4.11
的要求选择不同的子空间组合空间，使分析或处理信号达到最佳，这将是最优基选择要讨论的问题。
jWjWjW
(a) (b) 72625242++++⊕⊕⊕=jjjjjUUUUW3143041431331235242+++++++⊕⊕⊕⊕⊕⊕=jjjjjjjjUUUUUUUW
图4.3 空间分解示意图 jW
4.1.3 小波库及小波包基
小波库是小波包的进一步推广。若p是一个倍频程细划分的参数，即令，则小波包记为
，其中。我们称
mpl+=2)2(2)(2/
,,nttjpjpnj.=..ψψ)2(2)(22/twtlmlpl+=ψ)(,,tpnjψ为具有尺度j、位置和
起。与此同时，在信号处理领域，人们将传统的滤波器组推广至矢量滤波器组、块滤波器组，初步形成了
矢量滤波器组的理论体系，并建立了它和多小波变换的关系。
多小波可以看作矢量小波。实多小波理论与实矢量值函数相联，它是把函数由R映射成rR。设
是一个
(t)fr维矢量函数，对于及，则及
的内积定义为
此来获得更大的自由。多小波具有多个尺度函数和多个小波函数，在信号分析中，它能够兼顾小波基的多
种特性，更有利于信号分析。
提升方案(Lifting Scheme)是关于小波构造的一种新方法，也是所谓“第二代小波”的核心技术。在第