小波包分解算法-Read
小波分解和小波包分解
⼩波分解和⼩波包分解这篇⽂章介绍了⼩波分解和⼩波包分解。
⼩波分解（wavelet transform ）⼩波傅⾥叶变换的基本⽅程是sin 和cos ，⼩波变换的基本⽅程是⼩波函数(basic wavelet)，不同的⼩波在波形上有较⼤的差异，相似的⼩波构成⼀个⼩波族(family)。
⼩波具有这样的局部特性:只有在有限的区间内取值不为0。
这个特性可以很好地⽤于表⽰带有尖锐， 不连续的信号。
⼩波变换其中 表⽰变换得到的⼩波系数，W 是正交矩阵。
是输⼊信号。
正交矩阵构造特定的⼩波函数（basic wavelet ）由⼀组特定的⼩波滤波系数(wavelet filter coefficients)构成。
当选定了⼩波函数，其对应的那组⼩波滤波器系数就知道。
⽤⼩波滤波器系数构造不同维度的低通滤波器和⾼通滤波器（下⾯的例⼦中W 就是由这些系数构造出来的）。
低通滤波器可以看作为⼀个平滑滤波器(smoothing filter)。
这两个滤波器，低通和⾼通滤波器，⼜分别被称为尺度(scaling)和⼩波滤波器(wavelet filter)。
⼀旦定义好了这两个滤波器，通过递归分解算法(也称为⾦字塔算法(pyramid algorithm),树算法(tree algorithm)将得到⽔平多分辨率表⽰的信号。
树算法原始信号通过低通滤波器得到低频系数 (approximate coefficients), 通过⾼通滤波器得到⾼频系数（detail coefficients ）。
把第⼀层的低频系数作为信号输⼊，⼜得到⼀组approximate coefficients 和detail coefficients 。
再把得到的approximate coefficients 作为信号输⼊，得到第⼆层的approximate coefficients 和detail coefficients 。
以此类推，直到满⾜设定的分级等级。
小波包分解原理计算公式
小波包分解原理计算公式小波包分解是一种信号处理方法，它可以将信号分解成不同频率的子信号，从而更好地理解信号的特性和结构。
小波包分解的计算公式是其核心，下面我们将介绍小波包分解的原理和计算公式。
1. 小波包分解原理。
小波包分解是基于小波变换的一种信号分解方法。
小波变换是一种多尺度分析方法，它可以将信号分解成不同尺度的子信号，从而揭示信号的局部特征。
小波包分解是小波变换的一种推广，它可以更灵活地选择小波基函数，从而更好地适应信号的特性。
小波包分解的原理是将信号分解成不同频率的子信号。
在小波包分解中，我们首先选择一个小波基函数作为分解的基础，然后根据需要选择不同的尺度和频率，将信号分解成不同频率的子信号。
这样可以更好地理解信号的频率特性，从而更好地分析和处理信号。
2. 小波包分解计算公式。
小波包分解的计算公式是其核心。
在小波包分解中，我们首先需要选择一个小波基函数作为分解的基础。
常用的小波基函数包括Haar小波、Daubechies小波、Symlet小波等。
这些小波基函数具有不同的频率特性和尺度特性，可以根据需要选择合适的小波基函数。
假设我们选择了一个小波基函数ψ(t)，我们可以将信号f(t)进行小波包分解。
小波包分解的计算公式如下：\[D_{j,k} = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\psi_{j,k}(t)dt\]其中，\(D_{j,k}\)表示信号f(t)在尺度为j，频率为k的小波基函数ψ(t)上的分解系数。
ψj,k(t)表示小波基函数ψ(t)在尺度为j，频率为k时的尺度变换和平移变换。
通过计算分解系数\(D_{j,k}\)，我们可以得到信号f(t)在不同频率和尺度上的子信号。
3. 小波包分解的应用。
小波包分解在信号处理领域有着广泛的应用。
它可以用于信号的去噪、压缩、特征提取等方面。
通过小波包分解，我们可以更好地理解信号的频率特性和尺度特性，从而更好地处理信号。
在实际应用中，我们可以根据需要选择不同的小波基函数和尺度、频率，进行小波包分解。
小波包分解变换重组方法
小波包分解变换重组方法下载温馨提示：该文档是我店铺精心编制而成，希望大家下载以后，能够帮助大家解决实际的问题。
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小波的分解和重构算法
小波的分解和重构算法小波分解是将一个多频率组成的波通过小波分解将所有频率分解出来，重构就是将这些分频率加起来得到最后的重构结果。
小波变换的一级分解过程是，原始信号分别进行低通、高通滤波，再分别进行二元下采样，就得到低频、高频两部分系数；而多级分解则是对上一级分解得到的低频系数再进行小波分解，是一个递归过程。
分解过程：function [cA,cD] = mydwt(x,lpd,hpd,dim)%函数[cA,cD]=MYDWT(X,LPD,HPD,DIM) 对输入序列x进行一维离散小波分解，输出分解序列[cA,cD] ；%输入参数：x——输入序列；% lpd——低通滤波器；% hpd——高通滤波器；% dim——小波分解级数；% 输出参数：cA——平均部分的小波分解系数；% cD——细节部分的小波分解系数；cA=x; % 初始化cA，cDcD=[ ];for i=1:dimcvl=conv(cA,lpd); % 低通滤波，为了提高运行速度，调用MATLAB 提供的卷积函数conv()dnl=downspl(cvl); % 通过下采样求出平均部分的分解系数cvh=conv(cA,hpd); % 高通滤波dnh=downspl(cvh); %通过下采样求出本层分解后的细节部分系数cA=dnl; % 下采样后的平均部分系数进入下一层分解cD=[cD,dnh]; % 将本层分解所得的细节部分系数存入序列cDendfunction y=downspl(x);% 函数Y=DOWMSPL(X) 对输入序列进行下采样，输出序列Y。
% 下采样是对输入序列取其偶数位，舍弃奇数位。
N=length(x); % 读取输入序列长度M=floor(N/2); % 输出序列的长度是输入序列长度的一半i=1:M;y(i)=x(2*i);而重构则是分解的逆过程，对低频系数、高频系数分别进行上采样和低通、高通滤波处理。
重构过程：function y = myidwt(cA,cD,lpr,hpr);% 函数MYIDWT() 对输入的小波分解系数进行逆离散小波变换，重构出信号序列y% 输入参数：cA ——平均部分的小波分解系数；% cD ——细节部分的小波分解系数；% lpr、hpr ——重构所用的低通、高通滤波器。
【精品模板】小波包分解
U
2n j
U
2 j
n1
U nj＋1的基可由{ 2n (2 j x k )}和{ 2n＋1(2 j x k )}
的线性组合表示。
（可参看《小波分析导论》第334页或《小波分析算法 与应用》第160页。）
推论：
对j 1,2,3,有
WWj＝j＝UU4j22j1 UU5j3j21 U
证明： 用数学归纳法。 1. n 0时，因为 0＝，结论成立。 2. 假设对0 n 2s 成立。
3. 对2s n 2s2n1
1
n (x
j), n (x k)
1
2
n () 2 ei(k j) d
1
2
P1
(ei
/
2
)
2
n1
( 2
)
2
ei
(k
j
)
d
1
2
4 (l 1) l 4l
P1
(ei
/
2
)
2
n1
(
2
)
2
ei
(
k
j
)
d
1
2
4 P1 (ei / 2 ) 2
0
l
n1 ( 2
l 4l
l(2
2l)
2
P0 (ei / 2 )P1(ei / 2 )ei(k j) d
1 4 ( 2l) 2 H (ei / 2 )G(ei / 2 )ei(k j) d
2 0 l
小波包算法
小波包算法1.1小波包变换在脑电信号处理中的应用小波包技术首先在脑电信号的预处理中有着滤波和去噪的功能，其次小波包变换在脑电信号处理中的一个主要应用就是提取特征。
其主要步骤如下:(1) 选择适当的小波滤波器，对给定的采样脑电信号进行小波包变换，获得树形结构的小波包系数。
(2) 选择信息代价函数，利用最佳小波包基选取算法选取最佳基。
(3) 对最佳正交小波包基对应的小波包系数进行处理。
(4) 对处理后的小波包系数采用小波包重构算法得到重构信号。
对于重构得到的信号我们可以计算其均值，方差和能量和也就是其特征值，然后利用支持向量机分类器根据所得特征值进行分类。
1.2 小波包变换的基本概念及算法研究小波变换是一种分析非平稳信号的有效方法，它能够把信号分解成不同尺度基小波的加权和，主要不足是在高频段的频率分辨率较低，导致在一些应用中，不能满足实际要求。
小波包的概念是在小波变换的基础上提出来的，它提供了一种更为精细的信号分析方法，将信号高频部分进行进一步分解，即对高频部分也用二分滤波器进行分解，所以能根据信号的特征选取相应频带与信号频谱匹配，进一步提高了时频分辨率，因此小波包分析具有更广泛的应用价值。
小波分解是基于尺度函数和小波函数为基函数进行分解的。
用ϕ(t)和ψ(t)分别表示小波变化的尺度函数和小波母函数，在小波包分解中，为了统一函数表示，令ψ0(t)= ϕ(t)，ψ1(t)= ψ(t)。
那么根据二尺度方程可以构造如下的小波基：)()()(,,t n h 2t k 221ni n k 21j jji 2i 2kj ∑--ψ=-ψ=ψ(1.1))()()(,,t n g 2t k 221nink 21j jj 1i 21i 2kj ∑--++ψ=-ψ=ψ(1.2)其中：i 为节点号，j 为分解级数，h(n)和g(n)=( −1)n h(1 – n)为一对正交镜像滤波器。
信号f(t)=00d 在第j 级和k 点处的小波包分解系数可以用下述递推公式表示：∑⎰-=ψ=-ni 1j i 2k j i2j n k 2d n h dt t t f k d )()()()()(, (1.3)∑⎰-=ψ=-++nij i k j i jn k dn g dt t t f k d )2()()()()(112,12 (1.4)假设原始信号长度为m·2N 点，则f(t)信号的完全重构可以表示为：∑∑∑∑----⋅=-⋅=++-⋅=-⋅=ψ+ψ=112012012,121201202,2)()()()()(j j N j j N m i m k i k j i j m i m k i k j i jt k dt k dt f (1.5)其中，i k j 2,ψ(t)和12,+i k j ψ(t)为根据二尺度方程构造出的小波包基函数，i j d 2(k)和12+i jd （k ）是信号f(t)=在第j 级,k 点处的小波包分解系数。
小波包分解
一、首先，小波包的一些基本的基本要弄懂，就是小波包是从原始信号，分级向下分解。
如下图所示。
这就是小波包树，其中节点的命名规则是从（1，0）开始，叫1号，（1，1）是2号，，，，依此类推，（3，0）是7号，（3，7）是14号。
每个节点都有对应的小波包系数，这个系数决定了频率的大小，也就是说频率信息已经有了，但是时域信息在哪里呢？那就是 order。
这个order就是这些节点的顺序，也就是频率的顺序。
比如，节点的排序是 1，2，3，，，，14，那么频率就按先1号的频率变化，后2号的，再3号的，，，然后14号的。
图1来看一个实例：采样频率为1024Hz，采样时间是1秒，有一个信号s是由频率100和200Hz的正弦波混合的，我们用小波包来分解。
clear allclcfs=1024; %采样频率f1=100; %信号的第一个频率f2=300; %信号第二个频率t=0:1/fs:1;s=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t); %生成混合信号[tt]=wpdec(s,3,'dmey'); %小波包分解，3代表分解3层，像图1那样，'dmey'使用meyr小波plot(tt) %这个就是画出图1那个图，可以用鼠标在上面点wpviewcf(tt,1); %画出时间频率图，如图2图2现在开始解释：x轴很简单，就是1024个点，对应1秒，每个点就代表1/1024秒，x轴诡异一下，最后一个数就是1. y轴上显示的数字对应于图1 中的节点，从下面开始，顺序是7号节点，8号，10号，9号，，，，11号节点，这个顺序是这么排列的，这是小波包自动排列的，不用管。
只要知道怎么查看这个order就可以了。
然后，y轴是频率啊，怎么不是100Hz和300Hz呢？原因就是MATLAB这里没有显示频率，显示的是order，频率我们要自己算，怎么算呢。
我们的采样频率是1024Hz，根据采样定理，奈奎斯特采样频率是512Hz，我们分解了3层，最后一层就是 2^3=8个频率段，每个频率段的频率区间是512/8=64Hz,对吧，那看图2，颜色重的地方一个是在8那里，一个在13那里，8是第二段，也就是 65-128Hz之间，13是第五段，也就是257-320Hz之间。
小波包分解的详细原理与公式推导
小波包分解的详细原理与公式推导
小波包分解的详细原理和公式推导可以参考信号处理相关教材或者研究论文。
在这里，我简单介绍一下小波包分解的基本概念和原理。
小波包分解是一种信号处理方法，其基本原理是将信号通过一系列的小波基函数进行展开，从而得到信号在不同频率和时间分辨率下的表示。
与传统的傅里叶变换不同，小波包分解能够提供更加灵活和精细的信号分析方法，因为它能够同时考虑时间和频率的局部化特性。
小波包分解的基本步骤如下：
1.选择一个小波基函数，并将其平移和伸缩以适应不同的频率和
时间分辨率。
2.将信号通过所选的小波基函数进行展开，得到信号在不同尺度
下的表示。
3.对展开后的信号进行滤波处理，将信号的不同部分分别通过不
同频率的滤波器，得到不同频率成分的信号。
4.重复步骤2和3，直到达到所需的分解层次。
小波包分解的公式推导可以根据具体的小波基函数和展开方式进行推导。
具体来说，假设我们选择一个小波基函数为φ(t)，那么对于一个给定的信号x(t)，我们可以将其表示为：
x(t) = ∑ c(n) φ(2t-n)
其中c(n) 是展开系数，可以通过对信号进行小波变换得到。
通过选择不同的小波基函数和变换方式，可以得到不同的小波包分解公式。
需要注意的是，小波包分解在实际应用中需要选择合适的小波基函数
和分解层次，以获得最佳的信号分析效果。
同时，小波包分解也存在一些挑战和限制，例如计算复杂度较高、稳定性问题等。
因此，在实际应用中需要根据具体情况进行选择和应用。
信号的小波包分解程序
信号的小波包分解程序1.引言1.1 概述概述部分的内容:信号的小波包分解程序是一种用于信号处理的重要工具。
随着数字信号处理技术的不断发展，小波包分解在信号处理领域中得到了广泛的应用。
小波包分解是一种多尺度分析的方法，通过将信号分解成多个子频带信号，并对每个子频带信号进行进一步的分解，最终得到信号的频谱特征。
与传统的傅里叶变换相比，小波包分解具有更好的局部性和时频分辨能力，能够有效地提取信号的局部特征。
本篇文章将介绍信号的小波包分解原理，并详细讲解小波包分解程序的设计与实现。
在小波包分解原理部分，将介绍小波包分解的基本原理，包括小波基函数的选择、分解层数的确定等。
在小波包分解程序的设计与实现部分，将介绍如何编写一个小波包分解程序，包括程序的输入输出、算法的实现过程等。
在本文的结论部分，将分析小波包分解程序的优缺点。
虽然小波包分解具有较好的局部性和时频分辨能力，但在处理非平稳信号时可能存在一定的局限性。
同时，本文将对小波包分解程序进行总结，并展望其在信号处理领域的应用前景。
通过本文的研究，我们可以更深入地了解信号的小波包分解原理和其在信号处理中的应用。
希望本文对读者在设计和实现小波包分解程序的过程中能够提供一定的参考和帮助。
1.2文章结构文章结构部分的内容如下：1.2 文章结构本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
以下是各部分的内容概述：1. 引言1.1 概述：介绍信号处理领域中小波包分解的应用背景和意义。
1.2 文章结构：简要介绍本文的结构和各部分内容安排。
1.3 目的：明确本文的目标和研究内容。
2. 正文2.1 信号的小波包分解原理：详细介绍小波包分解的基本概念、原理和数学模型。
2.2 小波包分解程序的设计与实现：阐述小波包分解算法实现的步骤和关键技术，包括信号的预处理、小波基函数的选取、小波包分解的计算过程以及结果的分析与展示。
3. 结论3.1 分析小波包分解程序的优缺点：评估小波包分解程序在实际应用中的优势和局限性，并提出改进的可能方向。
小波包分解算法-Read
小波空间的精细分割
小波空间的分解：
Vj1 Vj Wj , j Z
U0 j 1
U
0 j
U1j ,
jZ
Un j 1
U
2n j
U
, 2n1
j
j
Z
对于每个 j 1, 2,L ,
Wj
U
2 j 1
U
3 j 1
=U
4 j 1
U
5 j 1
U
6 j 1
U
7 j 1
=LL
=U
2k jk
U 2k 1 jk
L
U 2k11 jk
如果原信号的长度为 N ，则最佳基算法的计算复杂度为 O N log N
小波包变换的应用
几种不同变换对应的时频平面铺砌
小波包变换的应用
信号小波包分析的基本实现步骤如下：
1）选择适当的小波滤波器，对给定的采样信号进行小波包变换， 获得树形结构的小波包系数。 2）选择信息代价函数，利用最佳小波包基选取算法选取最佳基。 3）对最佳正交小波包基对应的小波包系数进行处理。 4）对处理后的小波包系数采用小波包重构算法得到重构信号。
log 0 0
H u pk log pk kZ
u k 2
pk u k 2 kZ
M u uk 2 log uk 2,log 0 0 kZ
0 log 0 0
最佳小波包基的选取
在一般情况下，具有最小代价函数值的序列不易计算出来。所幸的是， 正如10.3节所谈到的，在实际应用中我们通常考虑的是 L2(R)的一个 子空间的小波包分解,这种分解可以用一个小波包二叉树表示.我们可 以采取自底向顶的快速搜索法发现最佳小波包基。
2
3g
区间上四重多小波包的分解与重构算法
ｌ
＝ — ＋ ＋互 Ｇ １ Ｇ １ ＋ ＋ ． 。 Ｉ，
ｌ
（ ８ ）
一１ ９ ．（ ）
Ｇ ＋ ｌ＋ ２ｋ ， Ｉ ｌ ｉ ，， ， ｝ ＝２ ３ …
，
又把低频部分分解为两个 同样宽的频带 ． 而在实 际中 ， 时需 要将 高频部 分进行 分解 ， 有 这就需 要用 到多小波包 ． 最初多小波包都是在无穷 区间研究
矾 ｌ， ：ｏ 。 ｈ
●
∑ ２
Ｌ ｚ０ 凡
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，
（ｇ ，ｇ ，ｇ ，ｇ） ｈ， ｈ， ｈ， ｈ， 。 ，
多小波是 一 种 新 的小 波 ． 由于 多小 波 可 以 同 时拥 有许 多 良好 的性 质 ， 得 多 小 波 比单 一 小 波 使 具 有更大 的优势 ． 在信 号处理 中 ， 小波把 信号分 多 解 成低频 和高频 两部分 ， 再一 次用多 小波分 解 时 ，
， ，
（ｉ，：，：，１） ＋１ｉ ０ （） ， ＇ １，＝ ，， ７ ｇ ０ｇ， 。 ’ １ｇ， ｇ。 ， ２ ， ，３ ， １ ／
维普资讯
Ｊ Ｕ Ｎ Ｌ Ｏ Ａ Ｉ Ｎ ＮＡ １ Ｎ Ⅲ １ Ｓ Ｉ Ｅ Ｓ ０ Ｒ Ａ ＦＤ ＩＡ １０ Ａ Ｅ ＩＩ Ｒ ⅡＹ ｒＶ
基于 matlab 实现的二维小波分解算法-概述说明以及解释
基于matlab 实现的二维小波分解算法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以包括一些关于小波分解算法的基本介绍，可以简要介绍小波分解算法的原理和应用领域，同时提及该算法在信号处理、图像压缩以及特征提取等方面的重要性。
以下是一个示例：在当今信息时代，信号处理和图像处理一直是计算机科学和工程学中的研究热点。
为了更好地理解和处理信号和图像中的信息，及时去除噪声、压缩图像以及提取出关键特征，人们不断寻求更有效的处理方法。
而小波分解算法作为一种新兴的信号处理方法，在近年来得到了广泛的应用和研究。
小波分解算法是一种将信号或图像分解为时频域或时空域的工具，它可以分解出不同尺度和频率的子信号或子图像，这为信号处理和图像处理提供了一种有效途径。
与传统的傅里叶变换相比，小波分解算法具有更好的局部性质和多尺度分析能力，因此被广泛运用于信号处理、图像压缩、图像恢复、特征提取等领域。
在信号处理中，小波分解算法可以用于去噪、压缩、去除偶尔的干扰等。
在图像处理方面，小波分解算法具备较好的多分辨率特性，可以在不同分辨率上进行图像处理，对于边缘检测、纹理分析、目标识别等具备独特的优势。
此外，小波分解算法对于非平稳信号和非线性系统等具备突出的应用优势。
本文将介绍基于Matlab 的二维小波分解算法的实现，通过对该算法的深入剖析和实验验证，展示它在图像处理方面的应用前景以及算法效果的评估。
通过本文的研究，读者将了解到小波分解算法的实际应用场景和优势，进一步提高信号处理和图像处理的能力。
在文章的后续部分中，我们将重点介绍小波分解算法的原理，并详细阐述如何在Matlab 环境下实现二维小波分解算法。
1.2 文章结构本文将按照以下结构展开对基于Matlab 实现的二维小波分解算法的介绍和分析：1. 引言：首先对文章的主题和目的进行概述，介绍小波分解算法在图像处理领域的重要性，并总结文章结构。
2. 正文：2.1 小波分解算法概述：详细介绍小波分解算法的基本原理和应用领域，包括信号分析，压缩，去噪等方面。
小波用于编码―――零树编码方案-Read
小波用于编码 ――― 零树编码方案1 小波变换应用于图像压缩编码用小波变换的方法进行图像数据的压缩编码是变换编码的一种，将时域信号变换到小波域后会得到一个多分辨率、能量集中的系数空间。
能量越集中，系数被压缩的程度就越大。
早在小波分析出现之前，人们就试图用多分辨率分析的思想对信号进行处理，以突破傅立叶变换的局限性，最著名的是Burt 和Adelson 的Laplace 金字塔编码；后来，Mallat[11]提出了小波多分辨率分析算法；Daubechies 用基于离散滤波器迭代的方法构造了紧支集的规范正交小波基，使小波分解可以用信号和离散滤波器的卷积运算来实现，从而使小波分解被广泛应用于图像分解。
正交小波对应一个正交镜像滤波器，就是说低通滤波器h 和高通滤波器g 正交。
双正交小波有两个小波，即小波Ψ和它的对偶小波ψ~，它们对应的滤波器分别为｛h,g ｝和{g h ~,~}。
其中，h 与g ~正交，g 与h ~正交，即满足：1n n n h )1(g ~+--=；1n n n h ~)1(g +--=；)5.3(h ~h 0,k n k 2n n δ=∑+进行图像的压缩编码时，用一个小波分解，用另一个重构。
母波选择的合适与否直接影响着图像编码的结果，正交小波的变换明显的不如双正交小波。
本文采用的均是附录二中介绍的双正交小波。
小波变换是变换编码的一种，也要经过变换、量化和压缩三个步骤。
将原始图像进行离散小波变换（DWT ）后，如果立即进行相应的逆变换，会得到精确的原始图像，当然这要忽略在计算时带来的误差。
对于一幅图像所得到的小波系数的能量要比在时域时集中的多，这样就很有利于将其量化为字符流。
现代的量化方法有很多：如：标量量化、向量量化和零树编码量化等都是非常有效的。
最后要对得到的字符流进行无损压缩，这要用到一些经典的方法，如：Huffman 、ADPCM 、RLE 等。
下面将讨论一种零树编码量化的方法。
利用小波包进行图像消噪处理-Read
利用小波包进行图像消噪处理一、分析图像消噪在信号处理中是一个经典的问题，传统的消噪方法多采用平均或线性方法进行，常用的是维纳滤波，但是消噪效果不够好。
随着小波理论的日益完善，它以自身良好的时频特性在图像消噪领域受到越来越多的关注，开辟了用非线性方法消噪的先河。
小波能够用于图像消噪主要是由于小波变换具有如下特点：1)低熵性：小波系数的稀疏分布，使图像变换后的熵降低；2)多分辨率特性：由于采用了多分辨率的方法，可以非常好地刻画信号的非平稳性，如突变等，可以在不同分辨率下根据信号和噪声的分布来去除噪声；3)去相关性：小波变换可对信号去相关，且噪声在变换后有白化趋势，小波域比时域更利于去噪；4)基函数选择灵活：小波变换可以灵活选择函数，也可以根据信号特点和降噪要求选择多带小波、小波包等，对不同的场合，可以选择不同的小波母函数。
在小波包标架中，其信号消噪的算法思想与在小波标架中的基本一样，唯一不同的是小波包分析提供了一种更为复杂、更为灵活的分析手段，因为小波包分析对上一层的低频部分和高频部分同时进行进一步的细分，具有更为精确的局部分析能力。
对一个信号进行一次小波包分解，可以采用很多种小波包基，根据分析信号的要求，从中选择最好的一种小波包基，即最优基。
在MATLAB中可以通过函数besttree来完成，即计算最优树。
利用小波包分析进行图像消噪处理一般按如下四步进行：(1)信号的小波包分解。
选择一个小波并确定一个小波分解的层次N，然后对信号S进行N次层小波分解。
(2)计算最优树，确定最优小波包基。
(3)小波包分解系数的阈值量化。
对于每一个小波包分解系数，选择一个适当的阈值并对其系数进行量化。
(4)小波包重构。
根据第N层的小波包分解系数和经过量化处理系数，进行小波包重构。
在这四个步骤之中，最关键的就是如何选取阈值和如何进行阈值的量化，从某种程度上说，它直接关系到信号消噪的质量。
实际应用中，可采用ddencmp 函数和wpdencmp函数进行默认阈值消噪，由于这两个函数都是基于小波包分析的函数，内部调用了二维小波包分解函数wpdec2以及二维小波包重构函数wprec2，使用起来十分方便，代码相当简练。
小波包分解算法研究及其在机械故障诊断中的应用
小波包分解算法研究及其在机械故障诊断中的应用徐 红(燕山大学电子实验中心 秦皇岛 066004)摘要 基于小波包的多分辨率特性,研究了B 样条小波的小波包分解算法。
小波包分析能够为信号提供一种更加精细的分析方法,它将频带进行多层次划分,对多分辨分析没有细分的高频部分进一步分解,从而提高了频率分辨率。
并且基于上述算法,对齿轮传动系统的振动加速度信号进行了小波分解,建立了一套基于小波包能量分布的机器运行特征和诊断特征参数,并给出了实验数据及分析结果。
关键词 小波包分析 故障特征提取 故障诊断Study of W avelet Packet D ecompose and It ’s Appl ica tion on M ach i nery Fault D etectionXu Hong(Y anshan U niversity ,Q inhuang d ao 066004,Ch ina )Abstract It studied w avelet packet decompo se algo rithm of B 2sp line w avelet based on it’s good ti m e 2frequency localizati on .W avelet packet analysis offers a k ind of mo re delicate m ethod fo r signal p rocess .It takes a m ultilay 2er divisi on to frequency band ,and it take a further divisi on to h igh frequency secti on that is no t subdivide by m ul 2tireso luti on analysis .So it i m p roved the frequency reso luti on .T he vibrati on accelerati on signal of gear trans m is 2si on system of is decompo sed based on above algo rithm ,and a set of m ach inery operati on character and diagno sis character param eters is establised .T he data and analysis results of experi m ent are given .Key words W avelet transfo rm P redicti on of fault characteristic M echanical fault diagno sis1 引 言小波包变换将信号分解到独立的频带里,这些频带的信号能量对机器状态监测是很有用的。
小波包系数分解
小波包系数分解1. 介绍小波包系数分解是一种信号处理技术，用于将信号分解成不同尺度和频率的成分。
它是小波变换的一种扩展形式，可以提供更详细的频域和时域信息。
小波包系数分解广泛应用于信号处理、图像处理、数据压缩等领域。
2. 原理小波包系数分解通过将信号分解成多个子带，每个子带代表不同的频率和尺度成分。
这种分解是通过滤波器组和下采样操作实现的。
首先，选择一个小波基函数作为分析滤波器，然后通过低通和高通滤波器将信号分解成两个子带。
接着，对每个子带再次进行分解，重复这个过程直到达到所需的分解层数。
每次分解都会将信号的频率范围分为两部分，低频部分和高频部分。
低频部分代表信号的平滑成分，而高频部分代表信号的细节成分。
通过不断分解，可以得到更详细的频域和时域信息。
3. 算法步骤小波包系数分解的算法步骤如下：1.选择一个小波基函数，如Daubechies小波函数。
2.对信号进行第一层分解，得到低频部分和高频部分。
3.对低频部分和高频部分分别进行下一层分解，得到四个子带。
4.重复步骤3，直到达到所需的分解层数。
5.得到每个子带的小波包系数。
4. 应用小波包系数分解在信号处理、图像处理和数据压缩等领域有广泛的应用。
在信号处理中，小波包系数分解可以提供更详细的频域和时域信息，有助于信号的分析和特征提取。
例如，在音频处理中，可以利用小波包系数分解对音频信号进行降噪和特征提取。
在图像处理中，小波包系数分解可以用于图像的分解和重构。
通过对图像进行小波包系数分解，可以得到不同频率和尺度的图像成分，有助于图像的特征提取和压缩。
在数据压缩中，小波包系数分解可以用于提取信号的重要信息，并且可以根据需要进行不同程度的压缩。
通过选择适当的小波基函数和分解层数，可以实现高效的数据压缩。
5. 总结小波包系数分解是一种将信号分解成不同尺度和频率成分的信号处理技术。
它通过滤波器组和下采样操作实现信号的分解，可以提供更详细的频域和时域信息。
小波包系数分解在信号处理、图像处理和数据压缩等领域有广泛的应用，可以用于信号的分析、特征提取和压缩。
图像边缘检测的小波包分解算法
图像边缘检测的小波包分解算法
黄雪菊;郭举修;武颖静
【期刊名称】《山东大学学报：工学版》
【年(卷),期】2007(37)5
【摘要】提出用于图像边缘检测的小波包分解算法.首先对图像的高频子空间进行多层次小波包分解,接着求出各层同一子空间不同方向上系数的差值,然后分层对差值进行阈值化处理,最后依据每层阈值化后的系数,得到不同分辨率下图像的边缘.该算法不需预先对图像进行去噪处理,却能很好地抑制噪声.实验结果表明,该算法既能根据需要分别求出不同尺度下图像的边缘,又能保持图像边缘的完整性和清晰性.【总页数】4页(P123-126)
【关键词】小波包分解;边缘检测;子空间;阈值;噪声抑制
【作者】黄雪菊;郭举修;武颖静
【作者单位】济宁职业技术学院科研处;山东大学离退休工作处;威海职业学院【正文语种】中文
【中图分类】TP391
【相关文献】
1.基于小波包分解的边缘检测算法 [J], 张亚飞;张勤学;冯小华
2.基于小波包非对称分解的钢丝绳图像边缘检测 [J], 兰添才;赖文奎
3.小波包理论与图像小波包分解 [J], 彭弘婧
4.一种基于边缘检测的小波包非对称分解在图像编码中的应用 [J], 陈志高;叶吉祥
5.基于小波包分解的多尺度图象边缘检测算法及实现 [J], 胡晓东;曹立明;施鸿宝因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
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小波包的定义
正交小波包 的一般解释:
本章仅考虑实系数滤波器. hn nZ gn nZ
gn 1n h1n
t
2 hk 2t k kZ
t 2 gk 2t k
kZ
为便于表示小波包函数，本章引入以下新的记号：
10
t : t :
t t
0
t
2 hk 0 2t k
kZ
1 t 2 gk 0 2t k
小波空间的精细分割
小波空间的分解：
Vj1 Vj Wj , j Z
U0 j 1
U
0 j
U1j ,
jZ
Un j 1
U
2n j
U
, 2n1
j
j
Z
对于每个 j 1, 2,L ,
Wj
U
2 j 1
U
3 j 1
=U
4 j 1
U
5 j 1
U
6 j 1
U
7 j 1
=LL
=U
2k jk
U 2k 1 jk
L
U 2k11 jk
小波分析及其工程应用----清华大学计算机系---孙延奎---2005春
第10章 小波包变换及其应用
•简介 •小波包的定义与性质 •小波空间的精细分割 • 小波包滤波器组 • 最佳小波包基的选取 •小波包变换的应用
简介
• 由于正交小波变换只对信号的低频部分做进一步 分解，而对高频部分也即信号的细节部分不再继 续分解，所以小波变换能够很好地表征一大类以 低频信息为主要成分的信号，但它不能很好地分 解和表示包含大量细节信息（细小边缘或纹理） 的信号，如非平稳机械振动信号、遥感图象、地 震信号和生物医学信号等。与之不同的是，小波 包变换可以对高频部分提供更精细的分解，而且 这种分解既无冗余，也无疏漏，所以对包含大量 中、高频信息的信号能够进行更好的时频局部化 分析。
l
lZ
d n j 1
k
hk
2l
d
2 j
n
l
g d 2n1 k2l j
l
lZ
lZ
小波包多级分解与多级重构：
最佳小波包基的选取
称函数族 2 j/2 n 2 j t k , n Z , j, k Z 为正交
尺度函数 导出的小波库。
1. Mallat正交小波基
2 j/2 1 2 j t k , j, k Z
分辨率越高，而其频谱的局部性变得越差即频谱分辨率越粗。
应对措施：对小波空间Wj做进一步分解．
小波空间的分解：
令
U
n j
表示由小波包
n 的二进伸缩和平移 2 j/2 n 2 j t k , k Z
的线性组合生成的 L2 (R) 的闭子空间，则
U U
0 j
1 j
Vj , Wj ,
jZ jZ
如果原信号的长度为 N ，则最佳基算法的计算复杂度为 O N log N
小波包变换的应用
几种不同变换对应的时频平面铺砌
小波包变换的应用
信号小波包分析的基本实现步骤如下：
1）选择适当的小波滤波器，对给定的采样信号进行小波包变换， 获得树形结构的小波包系数。 2）选择信息代价函数，利用最佳小波包基选取算法选取最佳基。 3）对最佳正交小波包基对应的小波包系数进行处理。 4）对处理后的小波包系数采用小波包重构算法得到重构信号。
2
3g
小波包的性质(习题10.1)
性质10.1 性质10.2 性质10.3
n 的傅立叶变换可以由m0 , m1 表示。
m0
m1
1 2 1 2
k k
hk eik gk eik
n 具有平移正交性，即
n t j, n t k j,k , j, k Z
2n 与 2n1 之间具有正交性，即
一个逼近空间的小波分解及小波包分解
VL
U
0 L
L3
V3
V2
W2
V1
W1
V0 W 0
小波分解
U0 3
U0 2
U1 2
U0 1
U1 1
U2 1
U3 1
U U U U U U U U 0
1
2
3
4
5
6
7
0
0
0
0
0
0
0
0
小波包分解
小波包正交基: 在图10.2b的二分树上取一组子空间集合，如果其直和 恰能将 V3空间覆盖，相互间又不重叠，则这组空间集合的正交规范基 便组成一个小波包正交基。
把信号 f t 在一个正交小波包基下展开，使得它与一个小波包系数
序列 u uk 对应, 我们在该序列上定义一个信息代价函数 M,它满足
如下两个条件：
（1）可加性条件
M uk M uk , M 0 0
kZ
（2）代价函数M的取值应该反映系数的集中程度.
最佳小波包基 对于一个给定信息代价函数M,小波包基 B称为信号f(t)相对于该代价函数
的最佳基，如果在 L2 (R) 的所有小波包基中，f(t)在小波包基 B下对应的
小波包系数序列具有最小的信息代价值
最佳小波包基的选取
常用的一些信息代价函数：
（1）幅值大于某阈值的系数个数
（2） l p 范数的集中度（concentration）
（3）对数熵
M u log uk 2 ，约定 kZ
（4）信息熵
小波包变换的应用
小波包在信号去噪、滤波等方面的应用原理和方法 （1）滤波与去噪 （2）非平稳机械振动信号的故障诊断
（3）特征提取
注意:习题10.1与10.2可以作为作业题选做.
1
2
3
4
5
0
0
0
0
0
0
6
7
0
0
U0 3
U0 2
U1 2
U0 1
U1 1
U2 1
U3 1
U U U U U U U U 0
1
2
3
4
5
6
7
0
0
0
0
0
0
0
0
V U 0
3
3
U1 2
U1 1
U0 0
U1 0
V U 0
3
3
U U U U U U U U 0
1
2
3
4
5
6
7
0
0
0
0
0
0
0
0
V U 0
3
3
U1 1
7
8
最佳小波包基的选取
50
20
22
11
12
13
14
1
2
3
4
5
6
7
8
(1)
32(50)
10(20)
22
3(11)
7(12)
11(13)
14
1
2
3
4
5
6
7
8
(2)(3)
32(50)
10(20)
22
3(11)
7(12)
11(13)
14
1
2
3
4
5
6
7
8
(4)
U0 0
U U 1
2
0
0
U0 3 U1 2
U3 0
=LL
=U
2 0
j
U
2 0
j
1
L
U 2 j11 0
且对给定的 m 0,L , 2k 1, k 1,L , j ，及 j 1, 2,L , 函数系
jk
2
2
2k m
2 jk t l
,l Z
是空间
U 2k m jk
的一个规范正交基。
频带划分性质:小波包具有划分较高频率频带的能力，可得到比较好 的频率局部化。
U U U U 0
1
2
3
0
0
0
0
满足： bk N1/2aL k f N 1k
U U 2L2 0
2 L 1
0
问题:已知f(t)在子空间
U
0 L
的子空间
Un j 1
上的小波包系数，计算出
f
t
在
U
n j 1
的两个子空间
U
2n j
和
U 2n1 j
上的小波包系数.
dn j 1
k
f
t , 2 j1/ 2 n 2 j1t k
Un j 1
dn j 1
d 2n j
d 2n1 j
?
U
2n j
U d 2n1 j
2n j
d 2n1 j
小波包滤波器组
Un j 1
dn j 1
U
2 j
n
U 2n1 j
d
2 j
n
d 2n1 j
小波包分解算法： 小波包重构：
d
d
2n j
k
2n1 j
k
lZ
h dn l 2k j1
l
g dn l 2k j1
2. j,k , n t k , j L , 1,0;n 2,3,L ; k Z
L2 (R)
jZ
Wj
L
W1
W0
U02
U
3 0
U04
L
U
7 0
L
3. ……………
结论:小波库中包含许多规范正交基即小波包基. 问题:什么是最佳小波包基?如何从小波库中快速选取?
最佳小波包基的选取
信息代价函数