您的位置：360文档中心› 初二等腰三角形专题

初二等腰三角形专题

合集下载

专题强化训练01等腰(边)三角形的判定与性质(30题)(原卷版)

专题强化训练01等腰(边)三角形的判定与性质(30题)(原卷版)

专题第01讲等腰（边）三角形的判定与性质一．解答题（共30小题）1．（2022秋•韩城市期末）如图，已知点D，E分别是△ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）作∠ACE的平分线交AF于点G，若∠B＝40°，求∠AGC的度数．2．（2023春•修水县期末）在△ABC中，BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F．（1）若AB＝AC，请判断△AEF是否是等腰三角形，并说明理由；（2）若△ABC的周长为18，BC＝6，求△AEF的周长．3．（2023春•新泰市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC的平分线BE交AC于点D，AF⊥AB交BE于点F．（1）如图1，若∠BAC＝40°，求∠AFE的度数．（2）如图2，若BD⊥AC，垂足为D，BF＝8，求DF的长．4．（2023春•淄博期末）如图，△ABC中，AB＝AC，D是AB上一个动点，DF⊥BC于点F，交CA延长线于点E，（1）试判断AD、AE的大小关系，并说明理由；（2）当点D在BA的延长线上时，其他条件不变，（1）中的结论是否还成立？请说明理由．5．（2023春•郫都区期末）如图，AM∥BN，∠BCM和∠CBN的角平分线交于点D，DE∥BN交BC于点E．（解答过程要求写出每步推导的理由）（1）求∠BDC的度数；（2）若AB＝AC，求证：AE⊥BC．6．（2023春•皇姑区期末）按逻辑填写步骤和理由，将下面的求解过程补充完整如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠B＝2∠C，若AB＝6，BD＝2，求CD的长．解：在线段CD上取一点E，使ED＝BD，连接AE，∵ED＝BD，AD⊥BC，∴AB＝AE（）．∴＝∠AEB（）．∵∠B＝2∠C，∴∠AEB＝2∠C．∵∠AEB+∠AEC＝180°（），∠EAC+∠C+∠AEC＝180°（），∴∠AEB＝∠EAC+∠C．∴＝∠EAC．∴＝（）．∴AB＝CE（）．∵AB＝6，BD＝2，∴CE＝6，ED＝2．∴CD＝CE+ED＝6+2＝8．7．（2023春•杨浦区期末）已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A．（1）如图1，试说明CD＝CB的理由；（2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F．①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由；②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数．8．（2023春•高陵区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC．过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，连接CD．（1）求证：△ACD为等腰三角形．（2）若∠BAD＝140°，求∠BDC的度数．9．（2023春•宝山区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，点D在边BC延长线上，点E在边AC上，且DE ＝BE＝AE，延长线段DE交边AB于点F．（1）说明△AEF是等腰三角形的理由；（2）如果△BEF是等腰三角形，求∠A的度数．10．（2022秋•祁阳县期末）（1）操作实践：△ABC中，∠A＝90°，∠B＝22.5°，请画出一条直线把△ABC 分割成两个等腰三角形，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数；（要求用两种不同的分割方法）（2）分类探究：△ABC中，最小内角∠B＝24°，若△ABC被一直线分割成两个等腰三角形，请画出相应示意图并写出△ABC最大内角的所有可能值；（3）猜想发现：若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足什么条件？（请你至少写出两个条件，无需证明）11．（2022秋•阳谷县期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC，AC与AB边上的高BD、CE相交于点O．（1）求证：△OBC是等腰三角形．（2）判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．12．（2022秋•禹州市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA，交于点F．（1）求证：△ADF是等腰三角形；（2）若∠F＝30°，BD＝4，AD＝2，求EC的长．13．（2022秋•开福区校级期末）已知在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥BC．（1）如图1，求证：△CDE是等腰三角形；（2）如图2，若DE平分∠ADC交AC于E，∠ABC＝30°，在BC边上取点F使BF＝DF，若BC＝12，求DF的长．14．（2022秋•沙依巴克区校级期末）如图，△ABD中，AB＝AD，AC平分∠BAD，交BD于点E．（1）求证：△BCD是等腰三角形；（2）若∠ABD＝50°，∠BCD＝130°，求∠ABC的度数．15．（2023春•东港市期末）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．（1）求证：△OCD是等边三角形；（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．16．（2023春•榆阳区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，DE是AB的垂直平分线，交AB、BC于点D、E连接CD、AE．求证：（1）△ADC是等边三角形；（2）点E在线段CD的垂直平分线上．17．（2023春•渠县校级期末）如图，在△ADB中，∠ADB＝60°，DC平分∠ADB，交AB于点C，且DC ⊥AB，过C作CE∥DA交DB于点E，连接AE．（1）求证：△ADB是等边三角形．（2）求证：AE⊥DB．18．（2022秋•青秀区校级期末）已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．（1）求证：AD＝BE；（2）求∠DOE的度数；（3）求证：△MNC是等边三角形．19．（2022秋•离石区期末）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．（1）【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）【特例启发，解答题目】如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE DB （填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．（3）【拓展结论，设计新题】在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．20．（2023春•毕节市期末）已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN 交MC于点E，BM交CN于点F．（1）求证：AN＝BM；（2）求证：△CEF为等边三角形．21．（2022秋•南充期末）如图，在等边△ABC中，AC＝12cm，点M以2cm/s的速度从点B出发向点A运动（不与点A重合），点N以3cm/s的速度从点C出发向点B运动（不与点B重合），设点M，N同时运动，运动时间为ts．（1）在点M，N运动过程中，经过几秒时△BMN为等边三角形？（2）在点M，N运动过程中，△BMN的形状能否为直角三角形，若能，请计算运动时间t；若不能，请说明理由．22．（2022秋•长清区期末）如图，已知AE⊥BC，∠ADB＝120°，∠B＝40°，∠CAE＝30°．（1）求证：△ACD为等边三角形；（2）求∠BAC的度数．23．（2022春•林甸县期末）如图△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为直线BC上任一动点，将一60°角的顶点置于点D处，它的一边始终经过点A，另一边与直线a交于点E．（1）若D恰好在BC的中点上（如图1）求证：△ADE是等边三角形；（2）若D为直线BC上任一点（如图2），其他条件不变，上述（1）的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．24．（2021秋•随县期末）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF ＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．（1）求证：△ABD是等边三角形；（2）求证：BE＝AF．25．（2021秋•白水县期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，点E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB．（1）判断△DEF的形状，并说明理由；（2）若AD＝12，CE＝8，求CF的长．26．（2021秋•阎良区期末）如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC 于点M，PN⊥AC于点N．（1）求证：△PMN是等边三角形；（2）若AB＝12cm，求CM的长．27．（2022春•汝州市期末）数学课上，张老师举了下面的例题：例1：等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．（答案：35°）例2：等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．（答案：40°或70°或100°）张老师启发同学们进行变式，小敏编的题目如下：变式题：等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．（1）请你解答上面的变式题．（2）请继续探索，完成下面问题：等腰三角形ABC中，∠A＝60°，则∠B的度数为60°．（3）根据以上探索，我们发现，∠A的度数不同，得到的∠B度数的个数也可能不同．请你直接写出当∠A满足什么条件时，∠B能得到三个不同的度数．28．（2021秋•临河区期末）在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AE＝BD，（1）当点E为AB的中点时，如图1，求证：EC＝ED；（2）当点E不是AB的中点时，如图2，过点E作EF∥BC，求证：△AEF是等边三角形；（3）在第（2）小题的条件下，EC与ED还相等吗，请说明理由．29．（2023春•大竹县校级期末）（1）如图1，已知：在△ABC中，AB＝AC＝10，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则图中共有个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是，△AEF的周长是（2）如图2，若将（1）中“△ABC中，AB＝AC＝10”改为“若△ABC为不等边三角形，AB＝8，AC ＝10”其余条件不变，则图中共有2个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出△AEF的周长（3）已知：如图3，D在△ABC外，AB＞AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，过点D作DE∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则EF与BE、CF之间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明．30．（2021秋•大荔县期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．（1）如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；（2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG＝60°，MG交DE延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；（3）如图3，点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G．试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由．。

专题03 等腰(直角)三角形中动点问题(老师版)

专题03 等腰(直角)三角形中动点问题(老师版)

专题3等腰(直角)三角形中动点问题【典型例题】1．（2021·黑龙江集贤·八年级期末）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为3，面积是18，腰AC的垂直平分线分别交AC、AB边于点E、F．若点D为DC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CDM周长的最小值为___．【答案】13.5【解析】【分析】连接MA、AD，易得MA=MC，则△CMD的周长为：MC+MD+CD=MA+MD+CD≥AD+CD，当M点在线段AD上时，△CMD的周长最小，再由面积可求得AD的长，从而可求得周长的最小值．【详解】如图，连接MA、AD∵EF垂直平分线段AC∴MA=MC∴△CMD的周长=MC+MD+CD=MA+MD+CD≥AD+CD∵点D为DC边的中点，BC=3∴1 1.52CD BC==∵AB=AC ∴AD⊥BC∴118 2BC AD⨯=即1318 2AD⨯=∴AD=12∴AD+CD=12+1.5=13.5即△MCD的周长的最小值为13.5故答案为：13.5【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质定理，三角形的面积，两点之间线段最短等知识，关键是利用线段的垂直平分线的性质定理作辅助线MA，把MC+MD的最小值问题转化为两点间线段最短来解决．【专题训练】一、填空题1．（2022·江苏昆山·八年级期末）如图，∠ABC=30°，AB=6，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP是以AB为底的等腰三角形时，t的值为______秒．【答案】【解析】【分析】过点P作PD⊥AB于点D，根据等腰三角形有性质得到BD=3，再根据30度角的直角三角形的性质结合勾股定理即可求解．【详解】解：过点P作PD⊥AB于点D，∵△ABP是以AB为底的等腰三角形，即BP=PA，∴BD=DA=12AB=3，∵∠ABC=30°，∴BP=2PD，即12BP=PD，∵BP2-PD2=BD2，∴BP2-14BP2=32，解得：BP=∵点P的运动速度是每秒1个单位长度，∴t的值为故答案为：【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．2．（2021·浙江·诸暨市暨阳初级中学八年级期中）如图∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝6，动点C从点A出发，以每秒1个单位沿射线AN运动，当运动时间t是_______秒时，△ABC是直角三角形．【答案】3或12【解析】【分析】分∠ACB＝90°和∠ABC＝90°两种情况，根据含30°角的直角三角形的性质求出AC，再求出答案即可．【详解】解：如图：当△ABC是以∠ACB＝90°的直角三角形时，∵∠MAN＝60°，∴∠ABC＝30°，∴AC=13 2AB=，∴运动时间t=3311AC==秒，当△ABC是以∠ABC＝90°的直角三角形时，∵∠MAN＝60°，∴∠ACB＝30°，∴AC=212AB=，∴运动时间t=121211AC==秒，当运动时间t是3或12秒时，△ABC是直角三角形．故答案为：3或12【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和含30°角的直角三角形的性质，能熟记含30°角的直角三角形的性质是解此题的关键．3．（2022·新疆·乌鲁木齐市第四中学八年级期末）如图，在边长为6，面积为ABC中，N为线段AB上的任意一点，∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM、MN，则BM+MN的最小值是_______【答案】【解析】【分析】由等边三角形的对称性得到MC=BM，再利用垂线段最段解题．【详解】解：过点C 作CN AB ⊥于点N ，BD Q 平分∠BAC ，△ABC 为等边三角形，BM MC∴=∴BM +MN MC MN =+，当CN AB ⊥时，=MC MN CN +最小等边△ABC 面积为6，CN ∴故答案为：【点睛】本题考查轴对称—最短路径问题、等边三角形的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．4．（2021·福建省罗源第二中学八年级期中）如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，BC ＝30cm ，一动点P 从B 向C 以每秒2cm 的速度移动，当P 点移动____________秒时，PA 与△ABC 的腰垂直．【答案】5或10【解析】【分析】根据等腰三角形性质求出∠B =∠C =30°，分PA ⊥AC 和PA ⊥AB 两种情况分类讨论，得到BP =10cm 或BP =20cm ，即可求出点P 移动的时间．【详解】解：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠B =∠C =30°．如图①，当PA ⊥AC 时，∵∠C =30°．∴PC =2AP ，∠APC =60°，∴∠B =∠BAP =30°，∴AP =BP ，∴PC =2BP ，∴BP =13BC =13×30=10cm ，∴P 点移动了10÷2=5（秒）；如图②当PA⊥AB时，∵∠B=30°．∴PB=2BP，∠APB=60°，∴∠C=∠CAP=30°，∴AP=CP，∴BP=2CP，∴BP=23BC=23×30=20cm，∴P点移动了20÷2=10（秒）．故答案为：5或10【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形性质等知识，熟知相关定理，根据条件分类讨论是解题关键5．（2022·福建省泉州实验中学八年级期末）如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，BC＝4，点P、Q、R分别为边BC、AB、AC上(均不与端点重合)的动点，△PQR周长的最小值是______．【答案】423【解析】【分析】过BC的中点P作AB，AC的对称点M，N，连接MN交AB与Q，交AC于R，则此时△PQR周长最小，求出MQ，RQ，RN即可解决问题．【详解】过点P作AB，AC的对称点M，N，连接MN交AB于Q，交AC于R，设AP交MN于点D，则PQ MQ =，PR RN =，∴PQR 周长为PQ QR PR MQ QR EN MN ++=++≥，当,,,M Q R N 四点共线时，即当点P 是BC 的中点时，PQR 的周长最小，如图∵30BAC ∠=︒，∴75B C ∠=∠=︒，150MPN ∠=︒，∴15M N ∠=∠=︒，∴75MQB PQB B ∠=∠=∠=︒，∴MN BC ∥，2PQ PB ==，同理2PR PC ==，∵⊥AP BC ，∴AP MN ⊥．DP MN∴⊥PQ PR =DQ DR∴=∵180757530PQR ∠=︒-︒-︒=︒，∴Rt PDQ 中，112QD PQ ==∴==2QR DQ =⨯=，∴PQR 周长的最小值是22PQ QR PR ++=+=4+．故答案为：4+【点睛】本题是三角形综合题，考查了轴对称的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．6．（2022·辽宁铁西·八年级期末）同学们，我们在今后的学习中会学到这个定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，若∠ABC ＝30°，则12AC AB =．问题：在Rt △ABC ，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，AC D 是边BC 的中点，点E 是斜边AB 上的动点，连接DE ，把△BDE 沿直线DE 折叠，点B 的对应点为点F ．当直线DF ⊥AB 时，AE 的长为_____．【答案】2或2【解析】【分析】如图1所示，设DF 与AB 交点为G ，先求出AB ==3BC ，由D 是BC 的中点，可以得到1322BD BC ==，由折叠的性质可知∠F =∠B =30°，BE =EF ，即可得到1324DG BD ==，1122EG EF BE ==，BG ==，由此即可求出AE 的长；如图2所示，同理可得1324DG BD ==，4BG ==，1122EG EF BE ==，则32BE BG GE BG =+==，AE AB BE =-=【详解】解：如图1所示，设DF 与AB 交点为G ，∵∠ABC =30°，∠ACB =90°，∴2AB AC ==∴BC =，∵D 是BC 的中点，∴1322BD BC ==，由折叠的性质可知∠F =∠B =30°，BE =EF ，∵DF ⊥AB ，∴∠DGB =∠FGB =90°，∴1324DG BD ==，1122EG EF BE ==，∴4BG ==，∴2332BE BG ==，∴AE AB BE =-=如图2所示，延长FD 与AB 交于点G ，同理可求出1324DG BD ==，4BG ==，1122EG EF BE ==，∴22BE BG GE BG =+==，∴2AE AB BE =-=，故答案为：2【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．7．（2021·全国·八年级专题练习）如图，60BOC ∠=︒，点A 是BO 延长线上的一点，10cm OA =，动点P 从点A 出发沿AB 以3cm/s 的速度移动，动点Q 从点O 出发沿OC 以1cm/s 的速度移动，如果点P Q ，同时出发，用(s)t 表示移动的时间，当t =_________s 时，POQ △是等腰三角形；当t =_________s 时，POQ △是直角三角形．【答案】52或54或10【解析】【分析】根据POQ ∆是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点P 在AO 上，或点P 在BO 上；根据POQ ∆是直角三角形，分两种情况进行讨论：PQ AB ⊥，或PQ OC ⊥，据此进行计算即可．【详解】解：如图，当PO QO =时，POQ ∆是等腰三角形，103PO AO AP t =-=-，OQ t =，∴当PO QO =时，103t t -=，解得52t =；如图，当PO QO =时，POQ ∆是等腰三角形，310PO AP AO t =-=-，OQ t =，∴当PO QO =时，310t t -=，解得5t =；如图，当PQ AB ⊥时，POQ ∆是直角三角形，且2QO OP =，310PO AP AO t =-=-，OQ t =，∴当2QO OP =时，2(310)t t =⨯-，解得4t =；如图，当PQ OC ⊥时，POQ ∆是直角三角形，且2QO OP =，310PO AP AO t =-=-，OQ t =，∴当2QO OP =时，2310t t =-，解得：t =10．故答案为：52或5；4或10．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复．二、解答题8．（2021·浙江余杭·八年级期中）如图，已知在ABC 中，90B ∠=︒，10AC =，6BC =，若动点P 从点B 开始，按B A C B →→→的路径运动，且速度为每秒2个单位长度，设出发的时间为t 秒．(1)出发2秒后，求CP 的长．(2)出发几秒钟后，CP 恰好平分ABC 的周长．(3)当t 为何值时，BCP 为等腰三角形？【答案】(1)PC 52(2)出发3秒钟后，CP 恰好平分△ABC 的周长(3)t ＝3或5.4或6或6.5时，△BCP 为等腰三角形【解析】【分析】（1）勾股定理求得AB 的长，进而根据速度求得出发2秒后BP 的长，Rt BCP △中勾股定理求解即可；（2）由于CP 恰好平分ABC 的周长，则P 点不可能位于线段BC 和AC 上，即对P 点在线段AB 上进行探究，根据题意列出一元一次方程，解方程求解即可；（3）①当P 在AB 上时，若BP ＝BC 时，②当P 在AC 上时，若BP ＝BC 时，③当P 在AC 上时，若CB ＝CP 时，④当P 在AB 上时，若PC ＝PB 时，根据题意列出一元一次方程解方程求解即可(1)由∠B ＝90°，AC ＝10，BC ＝6，∴AB ＝8，∵P 从点B 开始，按B →A →C →B ，且速度为2，∴出发2秒后，则BP ＝4，AP ＝6，∵∠B ＝90°，∴在Rt BCP △中，由勾股定理得PC 22226452BP BC +=+=；(2)P 点不可能位于线段BC 和AC 上，即对P 点在线段AB 上进行探究，根据题意可得，6＋2t ＝10＋8－2t ；解得t ＝3∴出发3秒钟后，CP 恰好平分△ABC 的周长(3)①当P 在AB 上时，若BP ＝BC 时，得到2t ＝6；则t ＝3，②当P 在AC 上时，若BP ＝BC 时，过点B 作BD AC ⊥，则68 4.810AB BC BD AB ⨯⨯===在Rt BDP △中，22226 4.8 3.6PD PD BD =-=-=在Rt ADB 中，22228 4.8 6.4AD AB BD =-=-=8 6.4 3.610.8BA AP BA AD PD ∴+=+-=+-=即210.8t =解得 5.4t =③当P 在AC 上时，若CB ＝CP 时，810612BA PA BA AC PC +=+-=+-=即212t =解得6t =④当P 在AC 上时，若PC ＝PB 时，15PA AB ==8513BA AP ∴+=+=得到2t＝6；则t＝6.5．综上可得t＝3或5.4或6或6.5时，△BCP为等腰三角形．【点睛】本题考查了勾股定理，一元一次方程的应用，等腰三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．9．（2022·吉林·八年级期末）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB=6．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度在射线AB上运动．点P出发后，连接CP，以CP为直角边向右作等腰直角三角形CDP，使∠DCP=90°，连接PD，BD．设点P的运动时间为t秒．(1)△ABC的AB边上高为；(2)求BP的长（用含t的式子表示）；(3)就图中情形求证：△ACP≌△BCD；(4)当BP：BD=1：2时，直接写出t的值．【答案】(1)3(2)当0＜t≤3时，PB=6-2t；当t＞3时，PB=2t-6；(3)见解析(4)t的值为2或6．【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质解答即可；（2）根据两种情况，利用线段之间关系得出代数式即可；（3）根据SAS证明△ACP与△CBD全等即可；（4）利用全等三角形的性质解得即可．(1)解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB=6，∴△ABC的AB边上高=12AB=3，故答案为：3；(2)解：∵AB=6，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度在射线AB上运动，∴点P在线段AB上运动的时间为62=3（秒），当0＜t≤3时，PB=6-2t，当t＞3时，PB=2t-6；(3)证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AC=BC，∵∠PCD=90°，CP=CD，∴∠ACP+∠PCB=90°，∠PCB+∠BCD=90°，∴∠ACP=∠BCD，在△ACP与△CBD中，AC BC ACP BCD CP CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP ≌△CBD （SAS ）；(4)解：∵△ACP ≌△CBD ，∴AP =BD ，当BP ：BD =1：2，即BD =2BP 时，当0＜t ≤3时，2t =2(6-2t )，解得：t =2；当BP ：BD =1：2，即BD =2BP 时，当t ＞3时，2t =2(2t -6)，解得：t =6，综上所述，t 的值为2或6．【点睛】本题是三角形的综合题，关键是根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答．10．（2022·福建·厦门一中八年级期末）在锐角△ABC 中，∠B =45°，∠C =60°，AD ⊥BC 于点D．(1)如图1，过点B 作BG ⊥AC 于点G ，求证：AC =BF ；(2)动点P 从点D 出发，沿射线DB 运动，连接AP ，过点A 作AQ ⊥AP ，且满足AP AQ =．①如图2，当点P 在线线段BD 上时，连接PQ 分别交AD 、AC 于点M 、N ．请问是否存在某一时刻使得△APM 和△AQN 成轴对称，若有，求此刻∠APD 的大小；若没有，请说明理由．②如图3，连接BQ ，交直线AD 与点F ，当点P 在线段BD 上时，试猜想BP 和DF 的数量关系并证明；当点P 在DB 的延长线上时，若27AD FD =，请直接写出PB BD 的值．【答案】(1)证明过程见解析．(2)①存在某一时刻使得△APM 和△AQN 成轴对称，∠APD =30°，理由见解析．②BP =2DF ，47PB BD =【解析】【分析】（1）根据已知条件，证明△BDF 和△ADC 全等，即可得出AC =BF ．（2）①因为∠C =60°在Rt △ABC 中∠CAD =30°，∠PAQ =90°，由对称的性质可知∠PAD =∠QAC =30°，所以可以得出∠APD =60°；②过Q 作QE ⊥AD ，交AD 与点E ,可证△APD ≌△QAE ，得出AE =PD ，再证△APD ≌△QAE ，得出EF =DF ，再通过等量代换即可．(1)证明：∵AD ⊥BC∴∠ADB =∠ADC =90°又∵∠B =45°∴△ABD 是等腰直角三角形∴AD =BD∵BG ⊥AC∴∠BGC =90°又∵∠C =60°∴∠DAC =90°-∠C =90°-60°=30°∠FBD =90°-∠C =90°-60°=30°∴∠DAC =∠FBD在△BDF 和△ADC 中，FBD CDA BDF ADC BD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDF ≌△ADC ∴AC =BF(2)①存在某一时刻使得△APM 和△AQN 成轴对称∵AQ ⊥AP∴∠QAP =90°由(1)的证明知∠DAC =30°，根据对称的性质，得∠PAD =∠QAC =2QAP CAD ∠-∠=90︒︒－30２=30°∵∠ADP =90°∴∠APD =90°-∠PAD =90°-30°=60°②BP =2DF理由如下:如图4所示,过Q 作QE ⊥AD ，交AD 与点E ,那么∠AEQ =∠FEQ =90°∴∠AQE +∠QAE =90°又∵∠PAD +∠QAE =90°∴∠AQE =∠PAD在△APD 和△QAE 中，AQE PAD AEQ PDA AQ AP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APD ≌△QAE ∴AE =PD ；AD =QE∴DE =BP又∵AD =BD∴BD =QE在△QEF 和△BDF 中，QEF BDF EFQ DFB EQ DB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△QEF ≌△BDF∴EF =DF∴BP =2DF当点P 在DB 的延长线上时，如下图所示，由上述证明过程可知PB =2DF ，BD =AD又已知27AD FD∴DF =27AD∴PB =2×27BD =47BD ∴PB BD =47【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，解题的关键是通过适当的作辅助线找等量关系从而得出三角形全等，再由全等的性质找出线段的关系，本题是一道压轴题，比较难．11．（2022·北京顺义·八年级期末）我们定义：在等腰三角形中，腰与底的比值叫做等腰三角形的正度．如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，AB BC的值为△ABC 的正度．已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，若D 是△ABC 边上的动点（D 与A ，B ，C 不重合）．（1）若∠A ＝90°，则△ABC 的正度为；（2）在图1，当点D 在腰AB 上（D 与A 、B 不重合）时，请用尺规作出等腰△ACD ，保留作图痕迹；若△ACD的正度是2，求∠A 的度数．（3）若∠A 是钝角，如图2，△ABC 的正度为35，△ABC 的周长为22，是否存在点D ，使△ACD 具有正度？若存在，求出△ACD 的正度；若不存在，说明理由．【答案】（1）22（2）图见解析，∠A =45°（335．【解析】【分析】（1）当∠A＝90°，△ABC是等腰直角三角形，故可求解；（2）根据△ACD的正度是22，可得△ACD是以AC为底的等腰直角三角形，故可作图；（3）由△ABC的正度为35，周长为22，求出△ABC的三条边的长，然后分两种情况作图讨论即可求解．【详解】（1）∵∠A＝90°，则△ABC是等腰直角三角形∴AB=AC∵AB2+AC2=BC2∴BC∴△ABC2故答案为：2 2；（2）∵△ACD1）可得△ACD是以AC为底的等腰直角三角形故作CD⊥AB于D点，如图，△ACD即为所求；∵△ACD是以AC为底的等腰直角三角形∴∠A=45°；（3）存在∵△ABC的正度为3 5，∴ABBC＝35，设：AB＝3x，BC＝5x，则AC＝3x，∵△ABC的周长为22，∴AB＋BC＋AC＝22，即：3x+5x+3x＝22，∴x＝2，∴AB＝3x＝6，BC＝5x＝10，AC＝3x＝6，分两种情况：①当AC＝CD＝6时，如图过点A 作AE ⊥BC 于点E ，∵AB ＝AC ，∴BE ＝CE ＝12BC ＝5，∵CD ＝6，∴DE ＝CD −CE ＝1，在Rt △ACE 中，由勾股定理得：AE =在Rt △AED 中，由勾股定理得：AD =∴△ACD 的正度＝AC AD =②当AD ＝CD 时，如图由①可知：BE ＝5，AE ，∵AD ＝CD ，∴DE ＝CE −CD ＝5−AD ，在Rt △ADE 中，由勾股定理得：AD 2−DE 2＝AE 2，即：AD 2−（5−AD ）2＝11，解得：AD ＝185，∴△ACD 的正度＝185365AD AC ==．综上所述存在两个点D ，使△ABD 具有正度．△ABD 35．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是理解正度的含义、熟知勾股定理与等腰三角形的性质．12．（2022·北京西城·八年级期末）在ABC 中，120BAC ∠=︒，AB AC =，AD 为ABC 的中线，点E 是射线AD 上一动点，连接CE ，作60CEM ∠=︒，射线EM 与射线BA 交于点F ．（1）如图1，当点E 与点D 重合时，求证：2AB AF =；（2）如图2，当点E 在线段AD 上，且与点A ，D 不重合时，①依题意，补全图形；②用等式表示线段AB ，AF ，AE 之间的数量关系，并证明．（3）当点E 在线段AD 的延长线上，且ED AD ≠时，直接写出用等式表示的线段AB ，AF ，AE 之间的数量关系．【答案】（1）见解析；（2）AB AF AE =+，证明见解析；（3）当AD ED >时，AB AF AE =+,当AD ED <时，AB AE AF=-【解析】【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得60BAD CAD ∠=∠=︒，90ADC ∠=︒，从而可得在Rt ADB 中，30B ∠=︒，进而即可求解；（2）画出图形，在线段AB 上取点G ，使EG EA =，再证明()BGE FAE ASA ≅，进而即可得到结论；（3）分两种情况：当AD ED >时，当AD ED <时，分别画出图形，证明()BHE FAE ASA ≅或()NEF AEC ASA ≅，进而即可得到结论．【详解】（1）∵AB AC =，∴ABC 是等腰三角形，∵120BAC ∠=︒，∴30B C ∠=∠=︒,18012060FAC ∠=︒-︒=︒，∵AD 为ABC 的中线，∴60BAD CAD ∠=∠=︒，90ADC ∠=︒，∴6060120DAF CAD FAC ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∵60CEM ∠=︒，∴906030ADF ∠=︒-︒=︒，∴180(12030)30AFD ∠=︒-︒+︒=︒，∴AD AF =，在Rt ADB 中，30B ∠=︒，∴22AB AD AF ==；（2）AB AF AE =+，证明如下：如图2，在线段AB 上取点G ，使EG EA =，∵60BAC ∠=︒，∴AEG △是等边三角形，∴60AEG ∠=︒，120BGE FAE ∠=∠=︒，∵ABC 是等腰三角形，AD 为ABC 的中线，∴EB EC =，BED CED ∠=∠，∴AEB AEC ∠=∠，即AEG GEB CEF AEF ∠+∠=∠+∠，∵60CEF AEG ∠=∠=︒，∴GEB AEF ∠=∠，在BGE △与FAE 中，GEB AEF EG EA BGE FAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()BGE FAE ASA ≅，∴GB AF =，∴AB GB AG AF AE =+=+；（3）当AD ED >时，如图3所示：与（2）同理：在线段AB 上取点H ，使EH EA =，∵60BAD ∠=︒，∴AEH △是等边三角形，∴120BHE FAE ∠=∠=︒，60AEH ∠=︒，∵ABC 是等腰三角形，AD 为ABC 的中线，∴BED CED ∠=∠，∵60CEF AEH ∠=∠=︒，∴HEB AEF ∠=∠，∴()BHE FAE ASA ≅，∴HB AF =，∴AB HB AH AF AE =+=+，当AD ED <时，如图4所示：在线段AB 的延长线上取点N ，使EN EA =，∵60BAD ∠=︒，∴AEN △是等边三角形，∴60AEN FNE ∠=∠=︒，∵60CEF AEN ∠=∠=︒∴NEF AEC ∠=∠，在NEF 与AEC △中，60FNE CAE EN EA NEF AEC ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()NEF AEC ASA ≅，∴NF AC AB ==，=，∴BN AF=-=-，∴AB AN BN AE AF∴AB AE AF=-．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及等边三角形的判定与性质，根据题意做出辅助线找全等三角形是解题的关键．。

人教版八年级上册数学等腰三角形知识点及对应练习(附参考解析)

人教版八年级上册数学等腰三角形知识点及对应练习(附参考解析)

等腰三角形一、知识梳理：专题一：等腰三角形概念及性质；等腰三角形的判定.二、考点分类考点一：等腰三角形的概念有两边相等的三角形是等腰三角形。

【类型一】利用等腰三角形的概念求边长或周长【例1】如果等腰三角形两边长是6cm和3cm，那么它的周长是()A．9cm B．12cm C．15cm或12cm D．15cm解析：当腰为3cm时，3＋3＝6，不能构成三角形，因此这种情况不成立．当腰为6cm 时，6－3＜6＜6＋3，能构成三角形；此时等腰三角形的周长为6＋6＋3＝15(cm)．故选D.方法总结：在解决等腰三角形边长的问题时，如果不明确底和腰时，要进行分类讨论，同时要养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．考点二：等腰三角形的性质1、等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．（2）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．2、解题方法：设辅助未知数法与拼凑法．3、重要的数学思想方法：方程思想、整体思想和转化思想．【类型一】利用“等边对等角”求角度【例2】等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是()A ．65°或50° B．80°或40° C ．65°或80° D．50°或80°解析：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65°.故选A.方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．【类型二】 利用方程思想求等腰三角形角的度数【例3】 如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，且BD ＝BC ＝AD ，求△ABC 各角的度数．解析：设∠A ＝x ，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数．解：设∠A ＝x .∵AD ＝BD ，∴∠ABD ＝∠A ＝x .∵BD ＝BC ，∴∠BCD ＝∠BDC ＝∠ABD ＋∠A＝2x .∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠BCD ＝2x .在△ABC 中，∠A ＋∠ABC ＋∠ACB ＝180°，∴x ＋2x＋2x ＝180°，∴x ＝36°，∴∠A ＝36°，∠ABC ＝∠ACB ＝72°.方法总结：利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为x .① ②【类型三】 利用“等边对等角”的性质进行证明【例4】 如图②，已知△ABC 为等腰三角形，BD 、CE 为底角的平分线，且∠DBC ＝∠F ，求证：EC ∥DF .解析：先由等腰三角形的性质得出∠ABC ＝∠ACB ，根据角平分线定义得到∠DBC ＝12∠ABC ，∠ECB ＝12∠ACB ，那么∠DBC ＝∠ECB ，再由∠DBC ＝∠F ，等量代换得到∠ECB ＝∠F ，于是根据平行线的判定得出EC ∥DF .证明：∵△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB .又∵BD 、CE 为底角的平分线，∴∠DBC ＝12∠ABC ，∠ECB ＝12∠ACB ，∴∠DBC ＝∠ECB .∵∠DBC ＝∠F ，∴∠ECB ＝∠F ，∴EC ∥DF .方法总结：证明线段的平行关系，主要是通过证明角相等或互补．【类型四】 利用等腰三角形“三线合一”的性质进行证明【例5】 如图①，点D 、E 在△ABC 的边BC 上，AB ＝AC .(1)若AD ＝AE ，求证：BD ＝CE ；(2)若BD ＝CE ，F 为DE 的中点，如图②，求证：AF ⊥BC .解析：(1)过A 作AG ⊥BC 于G ，根据等腰三角形的性质得出BG ＝CG ，DG ＝EG 即可证明；(2)先证BF ＝CF ，再根据等腰三角形的性质证明．证明：(1)如图①，过A 作AG ⊥BC 于G .∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴BG ＝CG ，DG ＝EG ，∴BG－DG ＝CG －EG ，∴BD ＝CE ；(2)∵BD ＝CE ，F 为DE 的中点，∴BD ＋DF ＝CE ＋EF ，∴BF ＝CF .∵AB ＝AC ，∴AF ⊥BC .方法总结：在等腰三角形有关计算或证明中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．【类型五】 与等腰三角形的性质有关的探究性问题【例6】 如图①，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，BE 是∠ABC 的平分线，DE⊥BC ，垂足为D .(1)请你写出图中所有的等腰三角形；(2)请你判断AD 与BE 垂直吗？并说明理由．(3)如果BC ＝10，求AB ＋AE 的长．解析：(1)由△ABC 是等腰直角三角形，BE 为角平分线，可证得△ABE ≌△DBE ，即AB ＝BD ，AE ＝DE ，所以△ABD 和△ADE 均为等腰三角形；由∠C ＝45°，ED ⊥DC ，可知△EDC 也符合题意；(2)BE 是∠ABC 的平分线，DE ⊥BC ，根据角平分线定理可知△ABE 关于BE 与△DBE对称，可得出BE ⊥AD ；(3)根据(2)，可知△ABE 关于BE 与△DBE 对称，且△DEC 为等腰直角三角形，可推出AB ＋AE ＝BD ＋DC ＝BC ＝10.解：(1)△ABC ，△ABD ，△ADE ，△EDC .(2)AD 与BE 垂直．证明：由BE 为∠ABC 的平分线，知∠ABE ＝∠DBE ，∠BAE ＝∠BDE ＝90°，BE ＝BE ，∴△ABE ≌△DBE ，∴△ABE 沿BE 折叠，一定与△DBE 重合，∴A 、D 是对称点，∴AD ⊥BE .(3)∵BE 是∠ABC 的平分线，DE ⊥BC ，EA ⊥AB ，∴AE ＝DE .在Rt △ABE 和Rt △DBE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝DE ，BE ＝BE ，∴Rt △ABE ≌Rt △DBE (HL)，∴AB ＝BD .又∵△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，∴∠C ＝45°.又∵ED ⊥BC ，∴△DCE 为等腰直角三角形，∴DE ＝DC ，∴AB ＋AE ＝BD ＋DC ＝BC＝10.① ②考点三：等腰三角形的判定方法(1)根据定义判定；(2)两个角相等的三角形是等腰三角形．【类型一】 确定等腰三角形的个数 【例7】 如图②，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 、CE 分别是∠ABC 、∠BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个解析：共有5个．(1)∵AB ＝AC ，∴△ABC 是等腰三角形；(2)∵BD 、CE 分别是∠ABC 、∠BCD的角平分线，∴∠EBC ＝12∠ABC ，∠ECB ＝12∠BCD .∵△ABC 是等腰三角形，∴∠EBC ＝∠ECB ，∴△BCE 是等腰三角形；(3)∵∠A ＝36°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝12(180°－36°)＝72°.又∵BD 是∠ABC 的角平分线，∴∠ABD ＝12∠ABC ＝36°＝∠A ，∴△ABD 是等腰三角形；同理可证△CDE 和△BCD 也是等腰三角形．故选A.方法总结：确定等腰三角形的个数要先找出相等的边和相等的角，然后确定等腰三角形，再按顺序不重不漏地数出等腰三角形的个数．【类型二】 在坐标系中确定三角形的个数【例8】 已知平面直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，3)，在y 轴上确定点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6解析：因为△AOP 为等腰三角形，所以可分三类讨论：(1)AO ＝AP (有一个)．此时只要以A 为圆心AO 长为半径画圆，可知圆与y 轴交于O 点和另一个点，另一个点就是点P ；(2)AO＝OP (有两个)．此时只要以O 为圆心AO 长为半径画圆，可知圆与y 轴交于两个点，这两个点就是P 的两种选择；(3)AP ＝OP (一个)．作AO 的中垂线与y 轴有一个交点，该交点就是点P 的最后一种选择．综上所述，共有4个．故选B. 方法总结：解决此类问题的方法主要是线段垂直平分线与辅助圆的灵活运用以及分类讨论时做到不重不漏．【类型三】 判定一个三角形是等腰三角形【例9】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的角平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．解析：根据直角三角形两锐角互余求得∠ABE＝∠ACD，然后根据三角形外角的性质求得∠CEF＝∠CFE，根据等角对等边求得CE＝CF，从而求得△CEF是等腰三角形．证明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD.∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE＝∠EAC，∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．【类型四】等腰三角形性质和判定的综合运用【例10】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE.(1)求证：△DEF是等腰三角形；(2)当∠A＝50°时，求∠DEF的度数．解析：(1)根据等边对等角可得∠B＝∠C，利用“边角边”证明△BDE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝EF，再根据等腰三角形的定义证明即可；(2)根据全等三角形对应角相等可得∠BDE＝∠CEF，然后求出∠BED＋∠CEF＝∠BED＋∠BDE，再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出∠B＝∠DEF.(1)证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .在△BDE 和△CEF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝CE ，∠B ＝∠C ，BE ＝CF ，∴△BDE ≌△CEF (SAS)，∴DE ＝EF ，∴△DEF 是等腰三角形；(2)解：∵△BDE ≌△CEF ，∴∠BDE ＝∠CEF ，∴∠BED ＋∠CEF ＝∠BED ＋∠BDE .∵∠B ＋∠BDE ＝∠DEF ＋∠CEF ，∴∠B ＝∠DEF .∵∠A ＝50°，AB ＝AC ，∴∠B ＝12×(180°－50°)＝65°，∴∠DEF ＝65°.方法总结：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．经典例题考点一：等腰三角形的概念【例1】等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个三角形的周长为考点二：等腰三角形的性质【例3】已知等腰△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 边上一点，连接AD ，若△ACD 和△ABD 都是等腰三角形，求∠C 的度数。

八年级数学几何重难点知识及数学方法：专题09 等腰三角形重难点知识(解析版)

八年级数学几何重难点知识及数学方法：专题09 等腰三角形重难点知识(解析版)

专题09等腰三角形重难点知识典例解析【知识点1：与边相关基础概念】例题1．（2022·吉林桦甸期末）一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则此三角形的周长为（）A．17cm B．22cm C．22cm或17cm D．不确定【答案】B.【解析】解：当腰长为4cm时，则三边分别为4cm，4cm，9cm，因为4+4＜9，所以不能构成三角形；当腰长为9cm时，三边长分别为4cm，9cm，9cm，符合三角形三边关系，周长=4+9+9=22cm．故答案为：B．例题2．（2021·四川省德阳）在等腰△ABC中，AB＝AC，其周长为24cm，则AB边的取值范围是（）A．1cm＜AB＜12cm B．6cm＜AB＜8cmC．6cm＜AB＜12cm D．8cm＜AB＜12cm【答案】C.【解析】解：设AB=AC=x，则BC=24-2x，由三角形的三边关系得：x+x＞24-2x，解得：x＞6，∵24-2x＞0，解得：x＜12，∴6＜x＜12，故答案为：C．例题3．（2021·内蒙古呼和浩特期中）（1）等腰三角形一条腰上的中线将它的周长分成12和9两部分，则腰长为___．（2）若BD是等腰三角形ABC中一条腰上的高，且∠ABD＝50°，则等腰三角形ABC的顶角的度数为___．【答案】8或6；40°或100°或140°.【解析】解：（1）如图所示，设等腰三角形的腰长AB=AC=2x，∵BD是腰上的中线∴AD=DC=x①若AB+AD的长为12，则2x+x=12解得x=4∴AB=2x=8；②若AB+AD的长为9，则2x+x=9解得x=3∴AB=2x=6，故答案为：8或6．（2）∵∠ABD=50°，BD是腰上的高，∴∠BAD=90°-∠ABD=90°-50°=40°，①点A是顶角顶点时，顶角为∠A，是40°；②点A是底角顶点时，顶角∠BCA=180°-40°×2=100°，③点A是顶角顶点时，顶角∠BAC=180°-40°=140°，故答案为：40°或100°或140°．【知识点2：与角相关基础概念】例题4．（2021·天津期中）等腰三角形的一个外角为110°，则它的底角是（）A．70°或55°B．50°或70°C．40°或70°D．40°或50°【答案】A.【解析】解：①当110°外角是底角的外角时，底角为：180°-110°=70°，②当110°外角是顶角的外角时，顶角为：180°-110°=70°，则底角为：（180°-70°）×12=55°，∴底角为70°或55°．故答案为：A．例题5．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的一条角平分线，若∠BDC＝72°，则∠A的度数为_____．【答案】36°.【解析】解：∵BD是△ABC的一条角平分线，∴∠ABD=∠CBD，设∠ABD=∠CBD=x∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB=2x∵∠BDC=72°∴x+2x+72=180°∴x=36∴∠A=36°故答案为：36°.例题6．（吉林省长春市新区期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，边AB 的垂直平分线DE 交BC 于点E ，连结AE ，若∠BAC ＝120°，则∠AEC 的大小为_____度．【答案】60.【解析】解：如图：在△ACB 中，∵AB =AC ，∠BAC =100°，∴∠B =∠C =180120302°-°=°，∵DE 是线段AB 的垂直平分线，∴AE =EB ，∴∠1=∠B =30°，又∠AEC 是△ABE 的一个外角，∴∠AEC =∠B +∠1=60°．故答案为：60．例题7．（2021·江苏无锡市）如图，P 为△ABC 内一点，过点P 的直线MN 分别交AB 、BC 于点M 、N ．若M 在PA 的中垂线上，N 在PC 的中垂线上，若则∠APC 的度数记为 ，则∠ABC 的度数为（）A ．12B ．12 +45°C ．2135 °D ．2180 °【答案】D.【解析】解：∵M 在PA 的中垂线上，N 在PC 的中垂线上，∴AM=PM，PN=CN，∴∠MAP=∠APM，∠CPN=∠PCN，∵∠APC=α，∴∠MPA+∠NPC=180°-α，∵∠BMN=2∠MPA，∠BNM=2∠NPC，∴∠B=180°-(∠BMN+∠BNM)=180°-2(∠MPA+∠NPC)=180°-2(180°-α)=2α-180°，故答案为：D．例题8．（2021·江苏邳州期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝36°，D、E足BC上的点，∠BAD=∠DAE ＝∠EAC，图中等腰三角形的个数为（）A．4B．5C．6D．7【答案】C.【解析】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∵∠BAD＝∠DAE＝∠EAC＝（180°−36°−36°）÷3＝36°，∴△ABD、△ADE、△AEC是等腰三角形，∵∠BAE＝∠CAD＝36°＋36°＝72°，∠BEA＝∠CDA＝180°−72°−36°＝72°，∴∠BAE＝∠CAD＝∠BEA＝∠CDA＝72°，∴△BAE、△CAD是等腰三角形，一共有6个．故答案为：C．【知识点3：忽略分类讨论的易错点】例题9．（2021·甘肃凉州期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角为（）A．30°B．150°C．30°或150°D．120°或60°【答案】C.【解析】解：如图，AB =AC ，BD ⊥AC ，∵∠ABD =60°，∴顶角∠A =90°-60°=30°；如图，AB =AC ，CD ⊥AB 交BA 的延长线于点D ；∵∠DCA =60°，∴∠DAC =30°，∠BAC =150°，故答案为：C ．例题10．（2021·河南伊川期中）等腰三角形一边长为5cm ，另一边长为8cm ，则此等腰三角形的周长为（）A ．18cmB ．18cm 或21cmC ．21cmD ．13cm 【答案】B.【解析】解：（1）当腰是5时，三角形的三边是：5，5，8，能构成三角形，则等腰三角形的周长为18；（2）当腰是8时，三角形的三边是：5，8，8，能构成三角形，则等腰三角形的周长为21．故答案为：B ．例题11．（2021·广东广州）在ABC 中，若过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为ABC 的关于点B 的二分割线．例如：如图1，在Rt ABC 中，90A ，20C ，若过顶点B 的一条直线BD 交AC 于点D ，且20DBC ，则直线BD 是ABC 的关于点B 的二分割线．如图2，已知18C ，ABC 同时满足：①C 为最小角；②存在关于点B 的二分割线，则BAC 的度数为______．【答案】36°或45°或54°.【解析】解：如图所示：∠BAC=36°，或45°，或54°故答案为：36°或45°或54°．例题12．（2021·天津市西青区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是∠ABC的平分线．问在直线BC上是否存在点P，使△CDP是以CD为一腰的等腰三角形．___（用“存在”或“不存在”填空）．如果存在，请直接写出相应的∠CPD的度数；如果不存在，请说明理由．___【答案】存在；72°或36°或54°.【解析】解：存在3个点P，使得△CDP是等腰三角形．①当以∠CDP 为顶角，CD 为一腰时，∠CPD =72°；②当以∠DCP 为顶角，CD 为一腰时，存在两点P ，P 在线段BC 延长线上，∠CPD =36°；或P 在线段BC 上，此时∠CPD =218072 =54°．故答案为：存在；72°或36°或54°．【知识点4：等腰三角形存在性判断】例题13．（2021·江苏无锡市期中）已知直角三角形△ABC 的三条边长分别为3，4，5，在△ABC 所在平面内画一条直线，将△ABC 分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画___条．【答案】6.【解析】解：如图所示：当BC 2=CC 2，AC 1=AC ，BC =BC 3，BC =CC 4，BC =CC 5，C 6A =C 6B ，能得到等腰三角形．故答案为：6．例题14．（2021·广东深圳市）如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中，点A ，B 在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C ，连接AC 和BC ，使△ABC 是等腰三角形．则方格图中满足条件的点C 的个数有_______个．【答案】6.【解析】解：如图所示：故答案为：6.【知识点5：等腰三角形性质应用】例题15.（2021·江苏兴化市）在等腰三角形ABC中，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同．如果在等腰三角形ABC中，设∠A＝x°，当∠B有且只有一个度数时，x的取值范围是____．【答案】90≤x<180或x=60.【解析】解：当∠A为直角或钝角时，此时∠A必为顶角，则∠B的度数唯一即90≤x＜180当∠A为锐角时，无论∠A为顶角或底角时，∠B度数唯一，即90－0.5x=180-2x解得：x=60故答案为：90≤x<180或x=60．例题16．（2021·河南镇平）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．小明：如图1，（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）分别作线段CE，DF的垂直平分线l1，l2，交点为P，垂足分别为点G，H；（3）作射线OP，射线OP即为∠AOB的平分线．简述理由如下：由作图知，∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，则∠POG＝∠POH，即射线OP是∠AOB的平分线．小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2，（1）分别在射线OA，OB 上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）连接DE，CF，交点为P；（3）作射线OP．射线OP 即为∠AOB的平分线．……任务：（1）小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依据是_______（填序号）．①SSS；②SAS；③AAS；④ASA；⑤HL（2）如图2，连接EF．①求证：△CEF≌△DFE；②求证：△PEF是等腰三角形；③小军作图得到的射线OP是∠AOB的平分线吗？请判断并说明理由．【答案】（1）⑤；（2）见解析.【解析】解：（1）∵小明的证明条件为∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP为HL证明方法，故答案为⑤；（2）证明：①∵OC=OD，OE=OF∴∠OEF=∠OFE，CE=DF又EF=EF∴△CEF≌△DFE（HL）②△PEF是等腰三角形；③射线OP是∠AOB的平分线，理由如下：∵PE=PF ，OE=OF∴OP 垂直平分EF∴OP ⊥EF∵△OEF 是等腰三角形∴OP 平分∠AOB例题17．（2022·黑龙江期末）已知：在△ABC 中，∠ABC ＝45°，CD ⊥AB 于点D ，点E 为CD 上一点，且DE ＝AD ，连接BE 并延长交AC 于点F ，连接DF ．（1）求证：BE ＝AC ；（2）若AB ＝BC ，且BE ＝2cm ，则CF ＝cm．【答案】（1）见解析；（2）1.【解析】（1）证明：∵CD ⊥AB ，∴∠BDC ＝∠CDA ＝90°，∵∠ABC ＝45°，∴△BDC 是等腰直角三角形，∴BD ＝CD ，在△BDE 和△CDA 中，BD CD BDE CDA DE DA，∴△BDE ≌△CDA （SAS ），∴BE ＝AC ；（2）解：由（1）得：△BDE ≌△CDA ，∴BE ＝AC ，∠DBE ＝∠DCA ，∵∠CEF ＝∠BED ，∴∠DCA+∠CEF=90°，∴∠CFE＝∠BDE＝90°，∴BF⊥AC，∵AB＝BC，∴AC＝2CF，∴BE＝2CF，∴CF＝1cm．例题18．（2021·宁夏石嘴山期中）阅读理解：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出的一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形有两角对应相等，我们把这条线段叫做这个三角形的“优美分割线”．（1）如图，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的“优美分割线”．（2）在△ABC中，∠A＝46°，CD为△ABC的“优美分割线”且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．【答案】（1）见解析；（2）92°或113°．【解析】解：（1）∵∠A=40°，∠B=60°∴∠ACB=80°∴△ABC不是等腰三角形，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=40°∴∠A=∠ACD即△ACD是等腰三角形，又∠CBD=∠ABC∴CD是△ABC的完美分割线；（2）∵CD是△ABC的优美线，且△ACD是等腰三角形，分三种情况：如图，当AD=CD时，∴∠ACD=∠A=46°，，∵∠BCD=∠A ，∴∠ACB=92°；如图，当AD=AC 时，∵∠A ＝46°，∴∠ACD=∠ADC=67°∴∠ACB=113°；如图，当AC=CD 时，∴∠ADC=∠A=46°，∵∠BCD=∠A=46°，∵∠ADC>∠BCD ，∴矛盾，应舍去．综上所述，∠ACB 的度数为92°或113°．例题19．如图，在ABC 中，点D 是边AB 延长线上一点，点F 是边AC 上一点，DF 交BC 于点E ，并已知,,58BD CF DE EF A ，求C 值．【答案】61°.【解析】解：过点F作FG∥AB，∴∠D=∠EFG，又∠BED=∠FEG，DE=EF，∴△BDE≌△GFE，∴FG=BD，又BD=FC，∴FC=FG，即∠C=∠FGC=∠ABC，又∠A=58°，∴∠C=∠ABC=61°．【知识点6：等腰三角形综合应用】例题20．（2021·天津津南期末）（1）如图①，在△ABC中，∠B=60°，∠C=80°，AD平分∠BAC．求证：AD=AC；（2）如图②，在△ABC中，点E在BC边上，中线BD与AE相交于点P，AP=BC．求证：PE=BE．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵∠B=60°，∠C=80°，∴∠BAC=40°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=20°，∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°，∵∠C=80°，∴∠ADC=∠C，∴AD=AC．（2）过点C作CF∥AP，交BP的延长线于点F，∴∠DPA=∠DFC，∠DAP=∠DCF，∵AD=DC，∴△DPA≌△DFC，∴PA=FC，∵PA=BC，∴CB=CF，∴∠FBC=∠F，∵CF∥AP，∴∠BPE=∠F，∴∠FBC=∠BPE，∴PE=BE．例题21．（2021·湖北蕲春）如图，直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点，OC平分∠AOB交AB于点C，点D为线段AB上一点，过点D作DE∥OC交y轴于点E，已知AO＝m，BO＝n，且m、n满足n2－12n＋36＋|n－2m|＝0（1）求A、B两点的坐标；（2）若点D为AB中点，延长DE交x轴于点F，在ED的延长线上取点G，使DG＝DF，连接BG．①BG 与y 轴的位置关系怎样？说明理由；②求OF 的长.【答案】（1）A （3，0），B （0，6）；（2）①BG ⊥y 轴，见解析；②1.5.【解析】解：（1）由2123620n n n m 得：2(6)20n n m ，6020n n m，解得：m=3，n=6，即A （3,0），B （0,6）；（2）①在△BDG 与△ADF 中，BD DA BDG FDA DG DF，∴△BDG ≌△ADF∴BG=AF ，∠G=∠DAF∵OC 平分∠ABC∴∠COA=45°∵DE ∥OC∴∠DFA=45°，∠G=45°∵∠FOE=90°∴∠FEO=45°∵∠BEG=45°∴∠EBG=90°，BG ⊥y 轴.②由①可知，AF=BG ，△BDE 为等腰直角三角形，∴BG=BE ，设OF=x ，则OE=x ，∴3+x=6-x ，∴x=1.5，即：OF=1.5．例题22．（2021·山东阳谷县）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接CD、CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）度量得∠BDC＝130°，设∠ADB＝x°，当x°等于多少度时，△CDE是直角三角形？【答案】（1）见解析；（2）90°或135°.【解析】解：（1）证明，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC∴∠BAD=∠CAE∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴BA=AC，AE=AD∴△ABD≌△ACE.（2）∵△CDE是直角三角形，当∠EDC=90°时，∵∠ADE=45°，∠BDC=130°∴∠ADB=95°.当∠DEC=90°时，易知∠AEC=∠ADB=135°．故满足条件的∠ADB的值为95°或135°．例题23．（2021·安徽长丰）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE，BD与CE交于点O，BD与AC交于点F．（1）求证：BD＝CE．（2）若∠BAC＝48°，求∠COD的度数．（3）若G为CE上一点，GE＝OD，AG＝OC，且AG∥BD，求证：BD⊥AC．【答案】（1）见解析；（2）132°；（3）见解析.【解析】（1）证：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即：∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB AC BAD CAE AD AE∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD=CE；（2）解：∵∠COD=∠OBC+∠BCO，∠BCO=∠BCA+∠ACE，∴∠COD=∠OBC+∠BCA+∠ACE，∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∴∠COD=∠OBC+∠BCA+∠ABD=∠ABC+∠BCA，∵∠BAC＝48°，∴∠ABC+∠BCA=180°-48°=132°，∴∠COD=132°；（3）证：如图所示，连接AO，∵△BAD≌△CAE，∴∠ADO =∠AEG ，在△ADO 和△AEG 中，E A ADO A G E E D G D A O∴△ADO ≌△AEG (SAS )，∴∠OAD =∠GAE ，AO =AG ，∴∠AOG =∠AGO ，∴∠OAD +∠DAG =∠GAE +∠DAG ，即：∠OAG =∠DAE ，∵∠DAE =∠BAC ，∴∠BAC =∠OAG ，在△ABF 和△COF 中，∠BAC =180°-∠ABD -∠AFB ，∠BOC =180°-∠ACE -∠CFO ，由（2）知∠ABD =∠ACE ，∵∠AFB =∠CFO ，∴∠BAC =∠BOC ，∴∠BOC =∠OAG ，∵AG ∥BD ，∴∠BOA =∠OAG ，∴∠BOA =∠BOC ，∵AO =AG ，AG =CO ，∴AO =CO ，即：△AOC 为等腰三角形，∵∠BOA =∠BOC ，∴OF ⊥AC ，∴BD ⊥AC ．例题24．（2021·云南西山期中）阅读下面材料：（原题呈现）如图1，在 ABC 中，∠A ＝2∠B ，CD 平分∠ACB ，AD ＝2.2，AC ＝3.6，求BC 的长．（思考引导）因为CD 平分∠ACB ，所以可在BC 边上取点E ，使EC ＝AC ，连接DE ．这样很容易得到 DEC ≌ DAC ，经过推理能使问题得到解决（如图2）．（问题解答）（1）参考提示的方法，解答原题呈现中的问题；（2）拓展提升：如图3，已知 ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝20°，BD 平分∠ABC ，BD ＝2.3，BC ＝2．求AD的长．【答案】（1）5.8；（2）4.3.【解析】解：（1）如图2，在BC 边上取点E ，使EC ＝AC ，连接DE ．在△ACD 与△ECD 中，AC CE ACD ECD CD CD，∴△ACD ≌△ECD （SAS ），∴AD ＝DE ，∠A ＝∠DEC ，∵∠A ＝2∠B ，∴∠DEC ＝2∠B ，∴∠B ＝∠EDB ，∴△BDE 是等腰三角形；∴BE ＝DE ＝AD ＝2.2，AC ＝EC ＝3.6，∴BC 的长为5.8；（2）∵△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝20°，∴∠ABC ＝∠C ＝80°，∵BD 平分∠B ，∴∠1＝∠2＝40°，∠BDC ＝60°，在BA 边上取点E ，使BE ＝BC ＝2，连接DE ，在△DEB 和△DBC 中，12BE BC BD BD，∴△DEB ≌△DBC （SAS ），∴∠BED ＝∠C ＝80°，∴∠4＝60°，∴∠3＝60°，在DA 边上取点F ，使DF ＝DB ，连接FE ，同理可得△BDE ≌△FDE ，∴∠5＝∠1＝40°，BE ＝EF ＝2，∵∠A ＝20°，∴∠6＝20°，∴AF ＝EF ＝2，∵BD ＝DF ＝2.3，∴AD ＝BD +BC ＝4.3．。

初二数学上册第二单元等腰三角形专项练习题

初二数学上册第二单元等腰三角形专项练习题

初二数学上册第二单元等腰三角形专项练习题篇一：初二数学上册第二单元等腰三角形专项练习题初二数学上册第二单元等腰三角形专项练习题一、选择题1已知一个等腰三角形的底边长为5,这个等腰三形的腰长为_,则_的取值范围是() A .0_lt;__lt;52B ._≥52C _＞52D 0_lt;__lt;10 2.等腰三角形的底角为15°,腰长为a,则此三角形的面积为()A a2B1a22C 1 a2 D2 a2图543将一张长方形的纸片ABCD如图(4)那样折起,使顶点C落在F处.其中AB=4,若∠FED=30°,则折痕ED的长为( )A. 4 B 4C 8D 53 10.如图(5),在△ABC中,BC=8㎝,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E, △ABC的周长为18㎝,则AC的长等于( )A 6㎝B 8㎝C 10㎝D 12㎝4下列图形中，不是轴对称图形的是（） A有两个内角相等的三角形 B 有一个内角是45°直角三角形 C. 有一个内角是30°的直角三角形 D. 有两个角分别是30°和120°的三角形 5、下列图形中，轴对称图形有（）个A.1B.2C. 3D.4 6、等腰三角形周长是29，其中一边是7，则等腰三角形的底边长是（） A 15B15或7 C 7 D 11 7、在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，若∠BDC＝75°，则∠A的度数为（）A、30°B、40°C、45 °D、60°8、下列图形中，不是轴对称图形的是（） A 角 B 等边三角形 C 线段 D不等边三角形9、正△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BICAADFDBB为（） A．60 B．90 C．120 D．150° 10、下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；?③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；?④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）A①②③ B①②④ C①③ D①②③④ 11、如图1，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF?的形状是（）A形C．直角 D．不等边三角形 12Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠图5B=30°， AD=2cm，则AB的长度是（）A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm 13如图2，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1= 2，BE=CD，则对△ADE的形状判断准确的是（） A．等腰三角形B．等边三角形 C．不等边三角形 D．不能确定形状图（1) 图(2)二、填空题1、△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则∠B=_______．2、已知AD是等边△ABC的高，BE是AC边的中线，AD与BE交于点F，则∠AFE=______．3、△ABC中，∠B=∠C=15°，AB=2cm，CD⊥AB交BA的延长线于点D，?则CD?的长度是_______．4、如图（3），在ΔABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，则∠1=________, 图中有_______个等腰三角形。

八年级数学下册-第06讲 解题技巧专题：构造等腰三角形的解题技巧(3类热点题型讲练)(解析版)

八年级数学下册-第06讲 解题技巧专题：构造等腰三角形的解题技巧(3类热点题型讲练)(解析版)

第06讲解题技巧专题：构造等腰三角形的解题技巧(3类热点题型讲练)目录【考点一利用平行线+角平分线构造等腰三角形】 (1)【考点二过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形】 (6)【考点三利用倍角关系构造新等腰三角形】 (18)【考点一利用平行线+角平分线构造等腰三角形】例题：（2024上·北京西城·八年级校考期中）如图，在ABC 中，BD 平分ABC ∠，DE CB ∥，F 是BD 的中点．(1)求证：BDE 是等腰三角形(2)若50ABC ∠=︒，求DEF ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)65︒【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键．（1）由角平分线的定义得EBD CBD ∠=∠，由DE CB ∥得EDB CBD ∠=∠即可求证；（2）先求出EDB ∠，根据“三线合一”得EF BD ⊥，即可求解．【详解】（1）证明：∵BD 平分ABC ∠，∴EBD CBD ∠=∠，∵DE CB ∥，∴EDB CBD ∠=∠，∴EBD EDB ∠=∠，∴EB ED=是等腰三角形；(1)如图1，求证：CDE∠交AC于E，(2)如图2，若DE平分ADC的长．【答案】(1)见解析(2)4【分析】本题考查角平分线、平行线的性质以及直角三角形的边角关系，掌握角平分线的定义，平行线的性质是解决问题的关键．∠=∠（1）根据角平分线的定义得出BCD(1)当53BE CF ==，，则EF =___________；(2)当BE CF >时，若CO 是ACB ∠的外角平分线，如图2，它仍然和∠作EF BC ∥，交AB 于E ，交AC 于F ，试判断EF BE ，，CF 之间的关系，并说明理由．【答案】(1)8(2)EF BE CF =-，见解析∴∠EBO =∠EOB ,∠FCO =∠FOC ，∴53BE OE OF CF ====，，∴8EF EO FO =+=，故答案为：8；（2）EF BE CF =-，理由如下：∵BO 平分ABC ∠，∴ABO OBC ∠=∠，∵EO BC ∥，∴EOB OBC ∠=∠，∴ABO EOB ∠=∠，∴BE EO =，同理可得FO CF =，∴EF EO FO BE CF =-=-．3．（2023上·吉林松原·八年级校考期末）【问题背景】在学习了等腰三角形等有关知识后，数学活动小组发现：当角平分线遇上平行线时一般可得等腰三角形．如图1，P 为AOB ∠的角平分线OC 上一点，常过点P 作PD OB ∥交OA 于点D ，易得POD 为等腰三角形．(1)【基本运用】如图2，把长方形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在点B '处，则重合部分ACE △的形状是_______．(2)【类比探究】如图3，ABC 中，内角ABC ∠与外角ACG ∠的角平分线交于点O ，过点O 作DE BC ∥分别交AB AC 、于点D E 、，试探究线段BD DE CE 、、之间的数量关系并说明理由；(3)【拓展提升】如图4，四边形ABCD 中，,AD BC E ∥为CD 边的中点，AE 平分BAD ∠，连接BE ，求证：AE BE ⊥．【答案】(1)ACE 是等腰三角形(2)BD DE CE =+，理由见解析(3)见解析【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，掌握等腰三角形的性质，平行线的性质是解题的关键．（1）根据材料提示，平行线的性质，等腰三角形的性质即可求证；（2）根据（1）的结论可知，BDO △为等腰三角形，则BD OD =，且OCG ECO EOC ∠=∠=∠，可证CE OE =，由此即可求解；（3）如图所示，过点E 作EF AD ∥，E 为CD 边的中点，可知点F 是AB 的中点，得出BEF △为等腰三角关系，证明BE 平分ABC ∠，再根据两直线平行同旁内角互补，即可证明2590∠+∠=︒，即直角三角形AEB ，由此即可求证．【详解】（1）ACE △是等腰三角形；理由：在长方形ABCD 中， DC AB ∥，∴∠=∠ACD BAC ，由折叠性质可得BAC B AC '∠=∠，∴ACD B AC '∠=∠，AE CE ∴=，ACE ∴ 是等腰三角形；故答案为：等腰三角形；（2）解：BD DE CE =+，理由如下，∵BO 平分ABC ∠，OD BC ，∴ABC CBO DOB ∠=∠=∠，∴BDO △为等腰三角形，则BD OD =，CO 平分ACG ∠，DO ∥BC ，OCG ECO EOC ∴∠=∠=∠，COE ∴ 为等腰三角形，即CE OE =，BD DO DE EC ==+ ，BD DE CE ∴=+．（3）证明：如图所示，过点E 作EF AD ，AD 交AB 于点F ，E 为CD 边的中点，∴点F 是AB 的中点，即AF BF =，AD ∥BC ，AE 平分BAD ∠，123∴∠=∠=∠，AEF ∴ 是等腰三角形，即AF EF =，EF BF ∴=，∴∠=∠，45∥，EF AD∴∠=∠，46∴∠=∠，56∥BC，AD∠+∠=︒，1256180∴∠+∠+∠+∠=︒，即2225180∴∠+∠=︒，2590()∴∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，180251809090AEB∴⊥．AE BE【考点二过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形】是等边三角形，点D在AC上，点E在BC的延长例题：（2023上·吉林通化·八年级统考期末）如图，ABC=．线上，且BD DE(1)若点D是AC的中点，如图1，则线段AD与CE的数量关系是__________；(2)若点D不是AC的中点，如图2，试判断AD与CE的数量关系，并证明你的结论；(提示：过点D作DF BC∥，交AB于点F)(3)若点D在线段AC的延长线上，（2）中的结论是否仍成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．=，理由见解析【答案】(1)AD CE=，理由见解析(2)AD CE(3)成立，理由见解析【分析】本题考查全等三角形判定与性质，平行线性质，等腰三角形性质，等边三角形性质与判定．（1）求出E CDE ∠=∠，推出CD CE =，根据等腰三角形性质求出AD DC =，即可得出答案；（2）过D 作DF BC ∥，交AB 于F ，证明BFD DCE ≌，推出DF CE =，证ADF △是等边三角形，推出AD DF =，即可得出答案；（3）过点D 作DP BC ∥，交AB 的延长线于点P ，证明BPD DCE ≌，得到PD CE =，即可得到AD CE =．【详解】（1）解：AD CE =，理由如下：ABC 是等边三角形，60,ABC ACB AB AC BC ∴∠=∠=== ．∵点D 为AC 中点，30,DBC AD DC ∴∠== ，BD DE = ，30E DBC ∴∠=∠= ，ACB E CDE ∠=∠+∠ ，30CDE E ∴∠=∠= ，CD CE ∴=，又AD DC = ，AD CE ∴=．故答案为：AD CE =；（2）解：AD CE =，理由如下：如图，过点D 作DF BC ∥，交AB 于点F ，则60ADF ACB ∠=∠= ，60A ∠= ，AFD ∴ 是等边三角形，,60AD DF AF AFD ∴==∠= ，18060120BFD DCE ∴∠=∠=-= ，D F B C ∥ ，FDB DBE E ∴∠=∠=∠，在BFD △和DCE △中，FDB E BFD DCE BD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BFD DCE ∴ ≌()AAS ，DF CE ∴=，又AD DF = ，AD CE ∴=；（3）解：结论仍成立，理由如下：如图，过点D 作DP BC ∥，交AB 的延长线于点P ，则60,60ABC APD ACB ADP ∠=∠=∠=∠= ，60A ∠= ，APD ∴ 是等边三角形，AP PD AD ∴==，ACB DCE ∠=∠ ，DCE ACB P ∴∠=∠=∠，DP BC ∥ ，PDB CBD ∴∠=∠，DB DE = ，DBC DEC ∴∠=∠，PDB DEC ∴∠=∠，在BPD △和DCE △中，PDB CED P DCE BD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BPD DCE ∴ ≌()AAS ，PD CE ∴=，又AD PD = ，AD CE ∴=．【变式训练】(1)如图1，当点E运动到线段AB的中点，点D在线段(2)如图2，当点E在线段AB上运动，点D在线段说明理由．【答案】(1)1 2过点E 作EF BC ∥交AC 于点F ，如图，∵EF BC ∥，∴60AFE ACB ∠=∠=︒，120,EFC AFE A ∴∠=︒∠=∠，EF EA∴=∵60ABC ∠=︒，120EBD ∴∠=︒，EFC EBD ∴∠=∠，CE DE = ，∴EDB ECB ∠=∠，60EDB DEB ECB ECF ∠+∠=∠+∠=︒ ，DEB ECF ∴∠=∠，在EDB △和CEF △中，∵,,DEB ECF EBD EFC DE CE ∠=∠∠=∠=，∴()AAS EDB CEF ≌，BD EF ∴=，∵EF EA =，BD AE ∴=．2．（2023上·吉林长春·八年级校考期末）已知在等边三角形ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED EC =．(1)【感知】如图1，当点E 为AB 的中点时，则线段AE 与DB 的数量关系是______；(2)【类比】如图2，当点E 为AB 边上任意一点时，则线段AE 与DB 的数量关系是______，请说明理由；（提示如下：过点E 作EF BC ∥，交AC 于点F ．）(3)【拓展】在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED EC =，若ABC 的边长为2，3AE =，则CD 的长是______．∵ABC 是等边三角形，∴AB AC A =∠=∠，∴60120AEF AFE A DBE ∠=∠=∠=︒∠=︒，，∴AEF △为等边三角形，120EFC ∠=︒，∴AE EF =，∵ED EC =，∴D ECD ∠=∠，∴D FEC ∠=∠，在DBE 和EFC 中，DBE EFC D FEC ED EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS DBE EFC ≌，∴DB EF =，∴AE DB =；（3）过点E 作EF BC ∥，交AC 于点F ，如图3所示：同（2）得：AEF △是等边三角形，()AAS DBE EFC ≌，∴33AE EF DB EF ====，，∵2BC =，∴235CD BC DB =+=+=．故答案为：5．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．3．（2024上·广东中山·八年级统考期末）如图，ABC 中，AB AC =，10BC =，点P 从点B 出发沿线段BA 移动到点A 停止，同时点Q 从点C 出发沿AC 的延长线移动，并与点P 同时停止．已知点P ，Q 移动的速度相同，连接PQ 与线段BC 相交于点D (不考虑点P 与点A ，B 重合时的情况)．(1)求证:2AP AQ AB +=(2)求证:PD DQ =；(3)如图，过点P 作PE ⊥出这个长度；如果变化，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)ED 为定值5，理由见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，线段的和差，准确作出辅助线找出全等三角形是解题关键．（1）利用P 、Q 的移动速度相同，得到（2）如图，过点P 作PF AC ∥，交BC 于点F ，PF AC ∥，,PFB ACB DPF DQC ∴∠=∠∠=∠，AB AC = ，B ACB ∴∠=∠，B PFB ∴∠=∠，BP PF ∴=，由（1）得BP CQ =，PF CQ ∴=，在PFD 与QCD 中，PDF QDC DPF DQC PF CQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS PFD QCD ∴ ≌，PD DQ ∴=；（3）解：ED 为定值5，理由如下：如图，过点P 作PF AC ∥，交BC 于点F ，由（2）得：PB PF =，PBF ∴△为等腰三角形，PE BC ⊥ ，BE EF ∴=，【观察猜想】如图①：D 为线段AB 上一点，DE BC ∥，交AC 于点E ．可知ADE V 【实践发现】如图②：D 为线段AB 外一点，连接AD ，以AD 为一边作等边三角形想BD 与CE 数量关系为______，直线BD 与CE 相交所产生的交角中的锐角为______【深入探究】：D 为线段AB 上一点，F 为线段CB 延长线上一点，且DF DC =．（1）特殊感知：当点D 为AB 的中点时，如图③，猜想线段AD 与BF 的数量关系为ADE ∴V 是等边三角形．实践发现BD CE =，60︒理由：ABC ADE Q V V 、都是等边三角形，60,,BAC DAE AB AC AD AE ∴∠=∠=︒==，BAD CAE ∴∠=∠，()SAS BAD CAE ∴ ≌，,BD CE ABD ACE ∴=∠=∠，延长BD 交CE 于F ，BCF 中，180BCF CBF BFC ∠+∠+∠=︒，180ACB ACE CBF BFC ∴∠+∠+∠+∠=︒，即6060180BFC ︒+︒+∠=︒，60BFC ∴∠=︒，深入探究（1）特殊感知∶AD BF=理由：当点D 为AB 的中点时，AD BD =，ABC 是等边三角形，30ACD BCD ∴∠=∠=︒，DF DC =，30F BCD ∴∠=∠=︒，30BDF ABC F ∴∠=∠-∠=︒，30F BDF ∴∠=∠=︒，BD BF ∴=，AD BF ∴=．（2）特例启发：猜想AD BF =，证明：过点D 作DE BC ∥，交AC 于点E ．DE BC ∥，60ADE ABC ∴∠=∠=︒，60AED ACB ∠=∠=︒．ADE ∴V 是等边三角形，AD DE AE ∴==．.BD CE ∴=DF DC =，.DCF F ∴∠=∠又6060FDB DBC F F DCE DCF ︒︒∠=∠-∠=-∠∠=-∠ ，，.FDB DCE ∴∠∠=在BFD △和EDC 中，BD CE FDB DCE DF DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)BFD EDC ∴ ≌，.BF DE AD ∴==.AD BF ∴=（3）①如图：②如图，当点D 在BA 的延长线上时，作DE AC ⊥，交直线BC 90,DEB ∴∠=︒60B ∠=︒ ，30BDE ∴∠=︒，12BE BD ∴=，ABC 的边长为2，AD 【考点三利用倍角关系构造新等腰三角形】例题：（2023上·河南信阳·八年级统考期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在ABC 中，交BC 于点D ，AD 平分BAC ∠，且2B C ∠=∠．(1)为了证明结论“AB BD AC +=”，小亮在AC 上截取AE ，使得AE AB =，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；(2)如图2，在四边形ABCD 中，已知58BAD ∠=︒，109D ∠=︒，42ACD ∠=︒，80ACB ∠=︒，10AD =，CE AB ⊥3EB =，求AB 的长．【答案】(1)见解析(2)16【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定及性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．（1）在AC 上截取AE ，使得AE AB =，连接DE ，根据角平分线的定义可得BAD DAC ∠=∠，再利用SAS 证明ABD AED ≌，从而可得B AED ∠=∠，BD DE =，进而可得2AED C ∠=∠，然后利用三角形的外角性质可得AED C EDC ∠=∠+∠，从而可得C EDC ∠=∠，进而可得DE CE =，再根据等量代换可得BD EC =，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答；（2）在AE 上截取AF AD =，连接CD ，先利用三角形内角和定理可得29DAC ∠=︒，从而可得29DAC FAC ∠=∠=︒，再利用SAS 证明DAC FAC ≌，从而可得109AFC D ∠=∠=︒，进而可得71CFE ∠=︒，然后利用三角形内角和定理可得71B CFE ∠=∠=︒，从而可得CF BC =，再利用等腰三角形的三线合一性质可得26BF BE ==，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【详解】（1）解：证明：在AC 上截取AE ，使得AE AB =，∵AD 平分BAC ∠，∴BAD DAC ∠=∠，∵AD AD =，∴()SAS ABD AED ≌，∴B AED ∠=∠，BD DE =，∵2B C ∠=∠，∴2AED C ∠=∠，∵AED ∠是DEC 的一个外角，∴AED C EDC ∠=∠+∠，∴C EDC ∠=∠，∴DE CE =，∴BD EC =，∵AE EC AC +=，∴AB BD AC +=；（2）在AE 上截取AF AD =，连接CF ，∵109D ∠=︒，42ACD ∠=︒，∴18029DAC D ACD ∠=︒-∠-∠=︒，∵58BAD ∠=︒，∴29FAC BAD DAC ∠=∠-∠=︒，∴29DAC FAC ∠=∠=︒，∵AC AC =，∴()SAS DAC FAC ≌，∴109AFC D ∠=∠=︒，∴18071CFE AFC ∠=︒-∠=︒，∵80ACB ∠=︒，29FAC ∠=︒，∴18071B ACB FAC ∠=︒-∠-∠=︒，∴B CFE ∠=∠，∴CF BC =，∵CE AB ⊥，∴26BF BE ==，∴10616AB AF BF =+=+=，∴AB 的长为16．【变式训练】1．在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，点D 在边BC 上，AB AD =，点E 在线段BD 上，3BAE EAD ∠=∠．(1)如图1，若点D 与点C 重合，则AEB ∠=______︒；(2)如图2，若点D 与点C 不重合，试说明C ∠与EAD ∠的数量关系；(3)在（1）的情况下，试判断BE ，CD 与AC 的数量关系，并说明你的理由．【答案】(1)67.5(2)2C EAD∠=∠(3)BE CD AC +=，理由见解析【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到45D ∠=︒，根据题意求出EAD ∠，根据三角形的外角性质计算，得到答案；（2）根据直角三角形的两锐角互余得到90B C ∠=︒-∠，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到2BAD C ∠=∠，进而证明结论；（3）在BD 上截取BF DE =，连接AF ，证明ABF △≌ADE V ，根据求等三角形的性质得到BAF DAE ∠=∠，根据三角形的外角性质得到CAF CFA ∠=∠，得到AC CF =，进而得出结论．【详解】（1）解：在Rt BAD 中，90BAD ∠=︒，AB AD =，则45D ∠=︒，90BAD ∠=︒Q ，3BAE EAD ∠=∠，22.5EAD ∴∠=︒，67.5AEB EAD D ∴∠=∠+∠=︒，故答案为：67.5；（2）解：2C EAD ∠=∠，理由如下：90BAC ∠=︒ ，90B C ∴∠=︒-∠，AB AD = ，则BE BF EF DE EF DF =+=+=，BE CD DF CD CF ∴+=+=，在ABF △和ADE V 中，AB AD B ADE BF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()(1)写出图1中与BAC ∠相等的角，BAC ∠=______(2)如图1，若GFC FGE ∠=∠，在图中找出与AG (3)如图2，若2,3HC CE ==，求BC 的长度．【答案】(1)AGF∠(2)AG CE =，证明见解析(3)72MGN AGF BAC∠=∠=∠，∠=∠，则N BAC∴∠=∠，N MGNMG MN∴=，∠=∠=∠+∠FGE BEG BEG2∴∠=∠，BEG GME∴=，MG GE，=AC GE∴=，MN AC。

八年级等腰三角形的分类讨论专题

八年级等腰三角形的分类讨论专题

专题一：等腰三角形中的分类讨论（一）角分类：顶角和底角+ 三角形内角和；外角1.已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4，求顶角的度数。

2.一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30o，求这个三角形的三个内角的度数。

3.如果一个等腰三角形的一个外角等于100°，则该等腰三角形的底角的度数是．（二）边分类：底边和腰+ 三角形三边关系4.等腰三角形的两边分别是8,6，这个等腰三角形的周长为5.等腰三角形的两边分别是8,3，这个等腰三角形的周长为6.在等腰三角形ABC中，AB的长是AC的2倍，三角形的周长是40，则AB的长等于_______________.（三）中线分类7.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，求腰长和底长。

8.等腰三角形的底边长为6cm，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，这两部分之差是3cm，求这个等腰三角形的腰长（四）高、垂直平分线分类9.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，求底角的度数10.在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B=____________11.（2018·哈尔滨中考）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数12.（2019·白银中考）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值b 称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰三角形ABC中，∠A=80°，则它的特征值k=13.(2018·绍兴中考）数学课上，张老师举了下面的例题：例1等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数.（答案：35°）例2等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数.（答案：40°或70°或100°）张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度数.(1)请你解答以上的变式题。

专题01 等腰三角形三种压轴题型全攻略(解析版)

专题01 等腰三角形三种压轴题型全攻略(解析版)

专题01 等腰三角形三种压轴题型全攻略【基础知识点】性质：等腰三角形两个底角相等（简称：等边等角）；推论：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）判定：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②有两个角相等的三角形是等腰三角形类型一、与等腰三角形有关最值问题例．如图，等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE的腰长分别为4和2，其中△BAC＝△DAE＝90°，点M为边DE的中点，若等腰Rt△ADE绕点A旋转，则点B到点M的距离最小值为__________．【答案】4【详解】解：连接AM，如下图所示：点M为边DE的中点，且Rt△ADE为等腰三角形，AM DE ∴⊥，12AM DE DM==，在Rt△ADE中，2AD=，由勾股定理可知：222AD AM DM=+，故有AM DM==当A、B、M三点不共线时，由三角形的三边关系可知：此时一定有BM AB AM>-，当三点共线且M点位于A、B之间时，此时有BM AB AM=-，∴4BM AB AM≥-=-4【变式训练1】如图，AD为等腰△ABC的高，其中△ACB=50°，AC=BC，E，F分别为线段AD，AC上的动点，且AE=CF，当BF＋CE取最小值时，△AFB的度数为（）A ．75°B ．90°C ．95°D ．105°【答案】C【详解】如图，作CH△BC ，且CH=BC ，连接HB ，交AC 于F ，此时△BCH 是等腰直角三角形且FH+BF 最小， △AC=BC ，△CH=AC ，△△HCB=90°，AD△BC ，△AD//CH ，△△ACB=50°，△△ACH=△CAE=40°，△△CFH△△AEC ，△FH=CE ，△FH+BF=CE+BF 最小， 此时△AFB=△ACB+△HBC=50°+45°=95°．故选：C ．【变式训练2】如图，C 是线段AB 上一动点，ACD △，CBE △都是等边三角形，M ，N 分别是CD ，BE 的中点，若6AB =，则线段MN 的最小值为______．【解析】连接CN ，△ACD △和BCE 为等边三角形，△AC CD =，BC CE =，60ACD BCE B ∠=∠=∠=︒ △18060DCE ACD BCE ∠=︒-∠-∠=︒， △N 是BE 的中点，△CN BE ⊥，302BCEECN BCN ∠∠=∠==∠︒，△90DCN DCE ECN ∠=∠+∠=∠︒， 设AC a =，△12CM a =△6AB =，△6BC a =- ，△cos )CN BCN BC a =∠⨯=-△MN==△当92a=时，MN的值最小为【变式训练3】在ABC中，90ACB∠=︒，60B∠=︒，4AB=，点D是直线BC上一动点，连接AD，在直线AD的右恻作等边ADE，连接CE，当线段CE的长度最小时，则线段CD 的长度为__________．【答案】3【详解】解：如图，以AC为边向左作等边三角形ACF，连接DF，△90ACB∠=︒，60B∠=︒，△30BAC∠=︒，△4AB=，△122BC AB==，△2223AC AB BC，△ACF是等边三角形，△CF AC AF===60FAC∠=︒，△ADE是等边三角形，△AD AE=，60DAE∠=︒，△FAC DAC DAE DAC∠-∠=∠-∠，△CAE FAD∠=∠，在ACE和AFD中，AC AFCAE FADAE AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()ACE AFD SAS≅，△CE DF=，当DF BC⊥时，DF的长是最小的，即CE的长最小，△906030FCD'∠=︒-︒=︒，Rt CFD'，△12D F CF'==3CD'=，△当线段CE的长度最小时，则线段CD的长度为3．故答案是：3．【变式训练4】如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝BD、CE为△ABC的两条中线，且BD△CE于点N，M为线段BD上的动点，则AM+EM+BC的最小值为_____．【答案】【详解】解：连接DE ．△AB ＝AC ，△△ABC ＝△ACB ，△BE ＝12AB ，DC ＝12AC ，△BE ＝CD ，△BC ＝CB ，△△EBC △△DCB （SAS ），△△ECB ＝△DBC ，EC ＝BD ，△BN ＝CN ，△EN ＝DN ， △BD △EC ，△△EDM ，△BCN 都是等腰直角三角形， △AE ＝EB ，AD ＝DC ，△DE //BC ，DE ＝12BC ，△EN NC＝DE BC ＝12，△CN ＝2EN ，△BN ＝2EN ，△AE ＝BE ＝△EN ＝3，BN ＝6，△BN ＝CN ＝6，△BC ＝作点A 关于直线BD 的对称点H ，连接EH 交BD 于M ，连接AM ，此时AM +EM 的值最小，最小值＝线段EH 的长，过点H 作HT △AB 于T ，延长BD 交AH 于J ． △AJ//EN ，AE ＝EB ，△BN ＝NJ ＝6，△AJ ＝JH ＝2EN ＝6，△S △ABH ＝12•AB •HT ＝12•AH •BJ ，△HT △AT=△ET ＝AE ﹣AT ＝，△EH△AM +EM +BC 的最小值为．故答案为 类型二、等腰三形存在性问题例1．（几何图形种）如图，在矩形ABCD 中，=8AB ，=5AD ，点E 是线段CD 上的一点（不与点D ，C 重合），将△BCE 沿BE 折叠，使得点C 落在'C 处，当△'C CD 为等腰三角形时，CE 的长为___________．【答案】52或203【详解】解：△四边形ABCD 是矩形 △90C ∠=︒，8,5CD AB BC AD ====△将△BCE 沿BE 折叠，使得点C 落在'C 处，△BCE BC E '≌,90C E CE BC E BCE ''∴=∠=∠=︒，BC BC '=， 设CE x =，则8DE CD x x =-=- ①当C D C C ''=时，如图过点C '作,C F CD C G BC ''⊥⊥，则四边形C GCF '为矩形C D C C ''=，142C G DF FC CD '∴====，4EF x =-在Rt BC G '中，3BG =，532C F CG '∴==-= 在Rt C FE '中222C E C F EF ''=+，即()22224x x =+-，解得52x =，52CE ∴= ②当CC CD '=时，如图，设,CC BE '交于点O ，设OE y =,BC BC EC EC ''==，BE ∴垂直平分CC '，11422OC OC CC CD ''∴====3OB =在Rt OCE 中222OE OC CE +=，即2224y x += 在Rt BCE 中，222BE BC CE =+，即()2223+5y x =+ 联立()22222243+5y x y x ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩，解得203163x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，203EC ∴= ③当DC DC '=时，如图，又BC BC '=，DB ∴垂直平分CC ',BC BC EC EC ''==，BE ∴垂直平分CC ' 此时,D E 重合，不符合题意 综上所述，203=EC 或52，故答案为：52或203例2．（坐标系中）在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A 、B 、C 的坐标分别为(0，3)、(4，0)、(0，0)，AB =5，点P 为x 轴上一点，若使得△ABP 为等腰三角形，那么点P 的坐标除点(78，0)外，还可以是_____．【答案】（1-，0）、（4-，0）、（9，0）【详解】设P （a ，0），△A （0，3），B （4，0），△PB =|a -4|，PA 2=a 2+9，AB =5，△△ABP 是等腰三角形，△①当PB =AB 时，△|a -4|=5，△a =-1或9，△P （-1，0）或（9，0）， ②当PA =PB 时，△（a -4）2=a 2+9，△a =78，P （78，0），③当PA =AB 时，△a 2+9=25，△a =4（舍）或a =-4，△P （-4，0）． 即：满足条件的点P 的坐标为（-1，0）、（-4，0）、（9，0）．【变式训练1】如图，正方形ABCO 的边OA 、OC 在坐标物上，点B 坐标为()3,3．将正方形ABCO 绕点A 顺时针旋转角度()090αα︒<<︒，得到正方形ADEF ，ED 交线段OC 于点G ，ED 的延长线交线段BC 于点P ．连AP 、AG ．（1）求证：AOG △ADG ；（2）求PAG ∠的度数；并判断线段OG 、PG 、BP 之间的数量关系，说明理由；（3）当12∠=∠时，求直线PE 的解析式（可能用到的数据：在Rt 中，30°内角对应的直角边等于斜边一半）．（4）在（3）的条件下，直线PE 上是否存在点M ，使以M 、A 、G 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出M 点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）45PAG ∠=︒，PG OG BP =+；（3）3y -；（4）(0,3)-或3)【详解】（1）证明：在Rt△AOG 和Rt△ADG 中，AO ADAG AG=⎧⎨=⎩，△AOG △ADG （HL ）．（2）在Rt △ADP 和Rt △ABP 中，AD ABAP AP =⎧⎨=⎩ΔΔADP ABP ∴≅（HL ），则DAP BAP ∠=∠；ΔΔAOG ADG ≅，1DAG ∴∠=∠； 又190DAG DAP BAP ∠+∠+∠+∠=︒，2290DAG DAP ∴∠+∠=︒，45DAG DAP ∴∠+∠=︒， PAG DAG DAP ∠=∠+∠，45∴∠=︒PAG ；ΔΔAOG ADG ≅，DG OG ∴=，ΔΔADP ABP ≅，DP BP ∴=，PG DG DP OG BP ∴=+=+． （3）解：ΔΔAOG ADG ≅，AGO AGD ∴∠=∠，又190AGO ∠+∠=︒，290PGC ∠+∠=︒，12∠=∠，AGO PGC ∴∠=∠， 又AGO AGD ∠=∠，AGO AGD PGC ∴∠=∠=∠，又180AGO AGD PGC ∠+∠+∠=︒，180360AGO AGD PGC ∴∠=∠=∠=︒÷=︒，12906030∴∠=∠=︒-︒=︒；△在Rt ΔAOG 中，2,3AG OG OA ==，222AG OG OA =+△222(2)3OG OG =+，解得OG =G ∴点坐标为0)，3CG = 在Rt ΔPCG 中，2PG CG =，222PG CG PC =+△222(2)CG CG PC =+，△3PC ==，P ∴点坐标为：(3，3)，设直线PE 的解析式为：y kx b =+，则033b k b +=+=⎪⎩，解得3k b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩∴直线PE 的解析式为3y =-．（4）①如图1，当点M 在x 轴的负半轴上时，AG MG =，点A 坐标为(0,3)，∴点M 坐标为(0,3)-．②如图2，当点M 在EP 的延长线上时，由（3），可得60AGO PGC ∠=∠=︒，EP ∴与AB 的交点M ，满足AG MG =，A 点的横坐标是0，G M ∴的横坐标是3，∴点M 坐标为3)．综上，可得点M 坐标为(0,3)-或3)．【变式训练2】如图，一次函数y ＝﹣34x +3的图象与x 轴和y 轴分别交于点A 和点B ，将△AOB沿直线CD 对折，使点A 与点B 重合，直线CD 与x 轴交于点C ，与AB 交于点D ． （1）点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ； （2）求OC 的长度；（3）在x 轴上有一点P ，且△PAB 是等腰三角形，不需计算过程，直接写出点P 的坐标．【答案】（1）(4,0)，(0,3)；（2）78；（3）(4,0)-或(1,0)-或(9,0)或7(,0)8．【详解】解：（1）对应一次函数334y x =-+， 当0y =时，3304x -+=，解得4x =，即(4,0)A ，当0x =时，3y =，即(0,3)B ， 故答案为：(4,0)，(0,3)； （2）(4,0),(0,3)A B ，4,3OA OB ∴==，由折叠的性质得：AC BC =，设OC a =，则4BC AC OA OC a ==-=-，在Rt BOC 中，222OB OC BC +=，即2223(4)a a +=-，解得78a ，即OC 的长度为78；（3）设点P 的坐标为(,0)P m ，则4PA m =-，PB 5AB ，根据等腰三角形的定义，分以下三种情况：①当PB AB =时，PAB △5=，解得4m =±， 此时点P 的坐标为(4,0)P -或(4,0)P （与点A 重合，不符题意，舍去）； ②当PA AB =时，PAB △是等腰三角形，则45m -=，解得9m =或1m =-， 此时点P 的坐标为(1,0)P -或(9,0)P ；③当PA PB =时，PAB △是等腰三角形，则4m -=解得78m =，此时点P 的坐标为7(,0)8P ；综上，点P 的坐标为(4,0)-或(1,0)-或(9,0)或7(,0)8．【变式训练3】如图，在直角坐标系中，直线l ：y ＝43x +8与x 轴、y 轴分别交于点B ，点A ，直线x ＝﹣2交AB 于点C ，D 是直线x ＝﹣2上一动点，且在点C 的上方，设D （﹣2，m ） （1）求点O 到直线AB 的距离；（2）当四边形AOBD 的面积为38时，求点D 的坐标，此时在x 轴上有一点E （8，0），在y 轴上找一点M ，使|ME ﹣MD |最大，请求出|ME ﹣MD |的最大值以及M 点的坐标；（3）在（2）的条件下，将直线l ：y ＝43x +8左右平移，平移的距离为t （t ＞0时，往右平移；t ＜0时，往左平移）平移后直线上点A ，点B 的对应点分别为点A ′、点B ′，当△A ′B ′D 为等腰三角形时，求t 的值．【答案】（1）4.8；（2）当点M 的坐标为（0，403）时，|ME ﹣MD |取最大值（3）t的值为﹣2﹣、4、﹣或9．【详解】（1）当x ＝0时，y ＝43x +8＝8，△A （0，8），△OA ＝8；当y ＝43x +8＝0时，y ＝﹣6，△B （﹣6，0），△OB ＝6．△AB10，△点O 到直线AB 的距离＝OA OBOA⋅＝4.8． （2）当x ＝﹣2时，y ＝43x +8＝163，△C （﹣2，163），△S 四边形AOBD ＝S △ABD +S △AOB ＝12CD •（x A ﹣x B ）+12OA •OB ＝3m +8＝38，解得：m ＝10， △当四边形AOBD 的面积为38时，点D 的坐标为（﹣2，10）．在x 轴负半轴上找出点E 关于y 轴对称的点E ′（﹣8，0），连接E ′D 并延长交y 轴于点M ，连接DM ，此时|ME ﹣MD |最大，最大值为线段DE ′的长度，如图1所示．DE ′= 设直线DE ′的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），将D （﹣2，10）、E ′（﹣8，0）代入y ＝kx +b ，21080k b k b -+=⎧⎨-+=⎩，解得：53403k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，△直线DE ′的解析式为y ＝53x +403，△点M 的坐标为（0，403）．故当点M 的坐标为（0，403）时，|ME ﹣MD |取最大值 （3）△A （0，8），B （﹣6，0），△点A ′的坐标为（t ，8），点B ′的坐标为（t ﹣6，0）， △点D （﹣2，10），△B ′D8116t -+，A ′B ′10，A ′D△A ′B ′D 为等腰三角形分三种情况：①当B ′D ＝A ′D8116t -+t ＝9； ②当B ′D ＝A ′B ′8116t -+＝10， 解得：t ＝4；③当A ′B ′＝A ′D 时，有10解得：t 1＝﹣2﹣，t 2＝﹣．综上所述：当△A ′B′D 为等腰三角形时，t 的值为﹣2﹣4、﹣或9．类型三、等腰三角形中的动点问题例1.如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，点P 沿射线AB运动，点Q沿折线BC−CA运动，且它们的速度都为1cm/s．当点Q到达点A时，点P随之停止运动连接PQ，PC，设点P的运动时间为t(s)．（1）当点Q在线段BC上运动时，BQ的长为_______（cm），BP的长为_______（cm）（用含t的式子表示）；（2）当PQ与△ABC的一条边垂直时，求t的值；（3）在运动过程中，当△CPQ是等腰三角形时，直接写出t的值．【答案】（1）t；(6−t)；（2）当t=2或t=4或t=8时，PQ与△ABC的一条边垂直；（3）当t=3或t=9时，∆CPQ为等腰三角形．【详解】解：（1）点Q从点B出发，速度为1cm/s，点P从点A出发，速度为1cm/s，△BQ=tcm，AP=tcm，△BP=(6−t)cm，故答案为：t；(6−t)；（2）根据题意分三种情况讨论：①如图所示：当PQ⊥CB时，∠PQB=90°，△三角形ABC为等边三角形，△∠A=∠ACB=∠ABC=60°，△∠QPB=30°，△QB=12PB，由（1）可得：t=12(6−t)，解得：t=2；②如图所示：当PQ⊥AB时，∠QPB=90°，△∠ABC=60°，△∠BQP=30°，△QB=2PB，由（1）可得：t=2(6−t)，解得：t=4；③如图所示：当PQ⊥AC时，∠AQP=90°，△∠A=60°，△∠APQ=30°，△AP=2QA，由（1）可得：t=2(12−t)，解得：t=8；综上可得：当t=2或t=4或t=8时，PQ与△ABC的一条边垂直；（3）根据题意，分情况讨论：①当点Q在BC边上时，CQ=PQ时，如图所示：过点Q作QE⊥AB，△∠ABC=60°，△∠BQE=30°，△BE=12BQ=12t，△QE=√32t，CQ=6−t，PE=6−t−1 2t=6−32t，△PQ=√PE2+QE2=√(6−32t)2+(√32t)2△CQ=PQ，△(6−t)2=(6−32t)2+(√32t)2，解得：t=3或t=0（舍去）；②当点Q在BC边上时，CP=CQ时，如图所示：过点P作PF⊥AC，△∠CAB=60°，△∠APF=30°，△AF=12AP=12t，△PF=√32t，CQ=6−t，CF=6−12t，△CP=√PF2+CF2=12(√3 2△CP=CQ，△(6−t)2=(6−12t)2+(√32t)2，解得：t=0（舍去）；③当点Q在BC边上时，CP=PQ时，如图所示：由图可得：∠CQP>60°，∠QCP<60°，∠CQP≠∠QCP，△这种情况不成立；④当点Q在AC边上时，只讨论CP=PQ情况，如图所示：过点Q作QE⊥AB，过点C作CF⊥AB，△∠CAB=60°，∆ABC为等边三角形，△∠AQE =30°，AF =BF =3，△CF =3√3，AQ =12−t ， △AE =6−12t ，△QE =√32(12−t)，△EP =t −(6−12t)=32t −6，△PQ =√QE 2+EP 2=√34(12−t)2+(32t −6)2，△CF =3√3，PF =t −3，△PC =√CF 2+FP 2=√(3√3)2+(t −3)2，△PC =PQ ，△34(12−t)2+(32t −6)2=(3√3)2+(t −3)2，解得：t 1=9或t 2=6（舍去）， 综上可得：当t =3或t =9时，∆CPQ 为等腰三角形．【变式训练1】如图1，ABC ∆中，CD AB ⊥于D ，且::2:3:4BD AD CD =； （1）试说明ABC ∆是等腰三角形；（2）已知Δ40ABC S =cm 2，如图2，动点M 从点B 出发以每秒1cm 的速度沿线段BA 向点A 运动，同时动点N 从点A 出发以相同速度沿线段AC 向点C 运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M 运动的时间为t (秒)． ①若DMN ∆的边与BC 平行，求t 的值；②在点N 运动的过程中，ADN ∆能否成为等腰三角形?若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）①t 值为5或6；②点N 运动的时间为6s ，365s ，或5s 时，ΔADN 为等腰三角形. 【详解】解：（1）设BD ＝2x ，AD ＝3x ，CD ＝4x ，则AB ＝5x ，在Rt △ACD 中，AC 5x ，△AB ＝AC ，△△ABC 是等腰三角形； （2）①S △ABC ＝12×5x ×4x ＝40cm 2，而x ＞0，△x ＝2cm ， 则BD ＝4cm ，AD ＝6cm ，CD ＝8cm ，AC ＝10cm ．当MN △BC 时，AM ＝AN ，即10−t ＝t ，此时t ＝5，当DN △BC 时，AD ＝AN ，此时t ＝6， 综上所述，若△DMN 的边与BC 平行时，t 值为5或6； ②ΔADN 能成为等腰三角形，分三种情况： （△）若AD =AN =6，如图：则t =61=6s ；（△）若DA =DN ，如图：过点D 作DH AC ⊥于点H ，则AH =NH ， 由1122ACDSAD CD AC DH =⋅=⋅，得11681022DH ⨯⨯=⨯⨯，解得245DH =，在Rt ADH 中，185AH ===， 3625AN AH ∴==，3615AN t s ∴==； （△）若ND =NA ，如图：过点N 作NQ AB ⊥于点Q ，则AQ =DQ =3，142NQ CD ==，5AN ∴==，51ANt s ∴==； 综上，点N 运动的时间为6s ，365s ，或5s 时，ΔADN 为等腰三角形. 【变式训练2】在平面直角坐标系中，A （a ，0），B （b ，0），C （c ，0），a ≠0且a ，b ，c 满足条件()20a b +=．（1）直接写出△ABC 的形状 ；（2）点D 为射线BC 上一动点，E 为射线CO 上一点，且△ACB =120°，△ADE =60° ① 如图1，当点E 与点C 重合时，求AD 的长；② 如图2，当点D 运动到线段BC 上且CD =2BD ，求点E 的坐标；【答案】（1）等腰三角形，证明见解析；（2）①6；②0,7.E【详解】解：（1） ()20a b +=，030a b c 解得：3a bc∴ A （b -，0），B （b ，0），C （3，0），,OA OB ∴= 而,OC AB ⊥ ,AC BC ∴=ABC ∴是等腰三角形.（2）① △ACB =120°，△ADE =60°，,ACBD DAC 60,DACACD ∴是等边三角形，,AD CD AC,AC BC =30,ABCCAB 90,DAB ∴∠=︒2BD BC CD AD,AD DC BC ∴==3,,CO COAB 6,BC6.AD②在CE 上取点F ，使CF =CD ，连接DF ，记,AD CE 的交点为K ，如图所示：△AC =BC ，△ACB =120°， △△ACO =△BCO =60°， △△CDF 是等边三角形， △△CFD =60°，CD =FD ， △△EFD =120°， △△ACO =△ADE =60°，,AKCFKD △△CAD =△CED ，又△△ACD =△EFD =120°， △△ACD △△EFD （AAS ）， △AC =EF ， 由（1）得：c =3， △OC =3， △△AOC =90°，△ACO =60°， △△OAC =30°， △BC =AC =2OC =6，EF =AC =6，△CD =2BD ， △BD =2，CF =CD =4， △CE =EF +CF =6+4=10， △OE =CE -OC =1037-=， △0,7.E 【变式训练3】如图，在等边△ABC 中，AB ＝AC ＝BC ＝6cm ，现有两点M 、N 分别从点A 、B 同时出发，沿三角形的边运动，已知点M 的速度为1cm/s ，点N 的速度为2cm/s ．当点N 第一次回到点B 时，点M 、N 同时停止运动，设运动时间为ts ． （1）当t 为何值时，M 、N 两点重合；（2）当点M 、N 分别在AC 、BA 边上运动，△AMN 的形状会不断发生变化． ①当t 为何值时，△AMN 是等边三角形； ②当t 为何值时，△AMN 是直角三角形；（3）若点M 、N 都在BC 边上运动，当存在以MN 为底边的等腰△AMN 时，求t 的值．【答案】（1）当M 、N 运动6秒时，点N 追上点M ；（2）①2t =，△AMN 是等边三角形；②当32t =或125时，△AMN 是直角三角形；（3）8t =【详解】解：（1）设点M 、N 运动x 秒后，M 、N 两点重合，x ×1+6＝2x ，解得：x ＝6， 即当M 、N 运动6秒时，点N 追上点M ；（2）①设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图1，AM＝t，AN＝6﹣2t，△AB＝AC＝BC＝6cm，△△A＝60°，当AM＝AN时，△AMN是等边三角形，△t＝6﹣2t，解得t＝2，△点M、N运动2秒后，可得到等边三角形△AMN．②当点N在AB上运动时，如图2，若△AMN＝90°，△BN＝2t，AM＝t，△AN＝6﹣2t，△△A＝60°，△2AM＝AN，即2t＝6﹣2t，解得32t=；如图3，若△ANM＝90°，由2AN＝AM得2（6﹣2t）＝t，解得125t=．综上所述，当t为32或125s时，△AMN是直角三角形；（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，由（1）知6秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图4，假设△AMN是等腰三角形，△AN＝AM，△△AMN＝△ANM，△△AMC＝△ANB，△AB＝BC＝AC，△△ACB是等边三角形，△△C＝△B，在△ACM和△ABN中，△△AMC＝△ANB，△C＝△B，AC＝AB，△△ACM△△ABN（AAS），△CM＝BN，△t﹣6＝18﹣2t，解得t＝8，符合题意．所以假设成立，当M、N运动8秒时，能得到以MN为底的等腰三角形．。

专题八 等腰三角形.doc(学生版)

专题八 等腰三角形.doc(学生版)

专题八 等腰三角形(学生版）教学目标1、掌握等腰三角形的性质与应用。

2、掌握等边三角形的性质与应用。

一、 知识回顾 课前热身知识点1、等腰三角形有两边相等；等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

热身 如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD 求∠A 的度数AD1 BM CE知识点2、等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

(三线合一)热身 如图，已知在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M 。

求证：M 是BE 的中点。

知识点3、等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。

等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；知识点4、如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。

）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

热身 若△ABC 的三边ａ、ｂ、ｃ满足()()()0a b b c c a ---=那么△ABC 的形状是（ ） A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、等边三角形 D 、锐角三角形例题辨析 推陈出新F E A DBC例1、如图，已知：ABC ∆中，AC AB =，D 是BC 上一点，且CA DC DB AD ==，，求BAC ∠的度数。

ABCD(例1）A 1 2DBCE3 （例2）变式练习 如图，已知△ABC 中，AB=AC ，AD=AE ，∠BAE=30°，则∠DEC等于（）．A ．7．5° B ．10° C ．12.5° D ．18°例2、 已知：如图，ABC ∆中，AB CD AC AB ⊥=，于D 。

专题08 等腰三角形(考点串讲)(解析版)

专题08 等腰三角形(考点串讲)(解析版)

专题08 等腰三角形【考点剖析】1.等腰三角形的性质（1）等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） （2）等腰三角形性质2：文字：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一） 图形：如下所示；21DCBA符号：在ABC ∆中，AB ＝AC ，1212,,;,,;,12.BD CD AD BC AD B BD CD AD BC C BD CD ∠=∠⎧⎪=⊥∠=∠⊥∠=∠⎨⎪⊥⎩==若则若则若，则2.等腰三角形的判定（1）等腰三角形的判定方法1：（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形；（2） 等腰三角形的判定方法2：有两个角相等的三角形是等腰三角形；(简称：等角对等边)3.等边三角形的性质（1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等； （2） 等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于60︒； （3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.4.等边三角形的判定（1）等边三角形的判定方法1：（定义法：从边看）有三条边相等的三角形是等边三角形； （2）等边三角形的判定方法2：（从角看）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（3）等边三角形的判定方法3：（从边、角看）有一个内角等于60︒的等腰三角形是等边三角形. 【典例分析】例1 （杨浦2019期末14）在ABC ∆中，AB=AC ，把ABC ∆折叠，使点B 与点A 重合，折痕交AB 于点M ，交BC 于点N. 如果CAN ∆是等腰三角形，则B ∠的度数为 . 【答案】4536︒︒或；【解析】因为把ABC ∆折叠，使点B 与点A 重合，折痕交AB 于点M ，交BC 于点N.所以MN 是AB 的中垂线，∴NB=BA ，B BAN ∴∠=∠，AB AC B C =∴∠=∠Q ，设B x ∠=，则C BAN x ∠=∠=. （1）当AN=NC 时，CAN C x ∠=∠=，在ABC ∆中，根据三角形内角和定理得4180x =︒，得45x =︒，故45B ∠=︒；（2）当AN=AC 时，ANC C x ∠=∠=，而ANC B BAN ∠=∠+∠，故此时不成立；（3）当CA=CN 时，1802x NAC ANC ︒-∠=∠=，于是得1801802xx x x ︒-+++=︒，解得36x =︒. 综上所述：4536B ∠=︒︒或.NM CBA例2 （浦东2018期末18）如图，在ABC ∆中，A=120,=40B ∠︒∠︒，如果过点A 的一条直线把ABC ∆分割成两个等腰三角形，直线l 与BC 交于点D ，那么ADC ∠的度数是 .CBA【答案】14080︒︒或；【解析】如图所示，把BAC ∠分为1000︒︒和2或者4080︒︒和，可得ADC=14080∠︒︒或.ABCDC BA20°80°80°40°40°20°20°40°40°100°例3 （闵行2018期末17）有下列三个等式①AB ＝DC ；②BE ＝CE ；②∠B ＝∠C ．如果从这三个等式中选出两个作为条件，能推出Rt △AED 是等腰三角形，你认为这两个条件可以是 （写出一种即可）EDCBA【答案】①②或①③或②③．（答案不唯一）【解析】解：当AB ＝DC ，BE ＝CE ，∠AEB ＝∠DEC 时，Rt △ABE ≌Rt △DCE （HL ），故AE ＝DE ，即Rt △AED 是等腰三角形；当AB ＝DC ，∠B ＝∠C ，∠AEB ＝∠DEC 时，△ABE ≌△DCE （AAS ），故AE ＝DE ，即Rt △AED 是等腰三角形；当BE ＝CE ，∠B ＝∠C ，∠AEB ＝∠DEC 时，△ABE ≌△DCE （ASA ），故AE ＝DE ，即Rt △AED 是等腰三角形．故答案为：①②或①③或②③．（答案不唯一）例4 （黄浦2018期末27）如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥,垂足为点D ，AD 平分BAC ∠，点O 是线段AD 上一点，线段的延长线交边AC 于点F ，线段CO 的延长线交边AB 于点E ． （1）说明ABC ∆是等腰三角形的理由； （2）说明BF=CE 的理由.O FE DC BA【答案与解析】（1）AD BC ADB=ADC ⊥∴∠∠Q ，Q AD 平分BAC ∠，BAD=CAD ∴∠∠.ADB=DAC+ACD ADC=BAD+ABD ∠∠∠∠∠∠Q ，，ABD=ACD ∴∠∠，AB=AC ∴即ABC ∆是等腰三角形；（2）ABC ∆Q 是等腰三角形，AD BC ⊥,BD=CD ∴.在BDO CDO ∆∆与中，DO DO ADB ADC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BDO CDO ∴∆∆≌OBD OCD ∴∠=∠.在BEC CFB ∆∆与中ECB FBCBC CBABC ACB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩BEC CFB ∴∆∆≌，BF CE ∴=. 【真题训练】 一、选择题1.（宝山2018期末18）如图7，在ABC ∆中，AB=AC ，30A ∠=︒，以B 为圆心，BC 的长为半径作弧，交AC 于点D ，联结BD ，则ABD ∠等于（ ）A. 45︒；B. 50︒；C. 60︒；D. 75︒.DABC【答案】A ；【解析】因为在ABC ∆中，AB=AC ，30A ∠=︒，所以18030752ABC ACB ︒-︒∠=∠==︒，又因为以B为圆心，BC 的长为半径作弧，交AC 于点D ，所以,75BD BC BCA BDC =∴∠=∠=︒，30CBD ∴∠=︒，故753045ABD ABC CBD ∠=∠-∠=︒-︒=︒. 故答案选A.2．（长宁2019期末20）在平面直角坐标系，O 为坐标原点，点A的坐标为，M 为坐标轴上一点，且使得MOA ∆为等腰三角形，那么满足条件的点M 的个数为（ ） A. 4； B.5； C.6； D.8 【答案】C ；【解析】分三种情况：（1）当OA=OM 时，可得M 点坐标可以为：（0，2）、（0，-2）、（2，0）、（-2，0）；当AO=AM 时，M 点坐标可以为（2，0）、(0,；当MO=MA 时，（2，0）、(0,3；故一共有6个不同的点. 故选C. 二、填空题3.（浦东2018期末13）已知一个等腰三角形两边长分别为2和4，那么这个等腰三角形的周长是 . 【答案】10；【解析】依题，（1）若腰长为2、底为4，不可能构成等腰三角形，舍去；（2）若腰长为4、底为2，符合题意，周长为4+4+2=10；由上可知，这个等腰三角形的周长为10. 4.（宝山2018期末7）已知实数x 、y满足|3|0x -=，那么以x 、y 的值为两边长的等腰三角形的周长是 . 【答案】15；【解析】因为实数x 、y满足|3|0x -=，所以x=3，y=6，故符合题意的等腰三角形三边长分别为6、6、3，故此等腰三角形的周长为6+6+3=15.5．（闵行2018期末15）如图，直线l 1∥l 2∥l 3，等边△ABC 的顶点B 、C 分别在直线l 2、l 3上，若边BC 与直线l 3的夹角∠1＝25°，则边AB 与直线l 1的夹角∠2＝ ．l 3l 2l 1【答案】35°．【解析】解：∵直线l 1∥l 2∥l 3，∠1＝25°，∴∠1＝∠3＝25°．∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC ＝60°，∴∠4＝60°﹣25°＝35°，∴∠2＝∠4＝35°．故答案为：35°．1l 2l 36．（普陀2018期末17）如图，已知△ABC 中，∠ABC 的角平分线BE 交AC 于点E ，DE ∥BC ，如果点D 是边AB 的中点，AB=8，那么DE 的长是 ．E D CBA【答案】4；【解析】解：连接BE ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠CBE ，∵DE ∥BC ，∴∠DEB=∠ABE ， ∴∠ABE=∠DEB ，∴BD=DE ，∵D 是AB 的中点，∴AB=BD ，∴DE=12AB=4，故答案为：4 AD BCE7.（宝山2018期末13）如图，已知Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC=AE ，BC=BD ，则ACD BCE ∠+∠= ______-︒.ECBA【答案】45；【解析】过点C 作CH AB ⊥于点H ，因为AC ＝AE ，所以ACE AEC ∠=∠，因为CH AB ⊥，所以90AEC HCE ∠+∠=︒， 又90ACE BCE ∠+∠=︒，所以=BCE HCE ∠∠；同理可得：ACD HCD ∠=∠； 故+=+BCE ACD HCE HCD ∠∠∠∠即+=45BCE ACD ∠∠︒．HED CBA8.（黄浦2018期末19）已知等腰三角形的一个内角为50度，则这个等腰三角形的顶角为 ︒. 【答案】50︒或80︒；【解析】（1）当顶角为50︒时，这个等腰三角形的顶角为50︒；（2）当底角为50︒时，则顶角为180-250=80︒⨯︒︒；综上述，这个等腰三角形的顶角为50︒或80︒.9.（长宁2018期末14）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40︒，那么这个等腰三角形的顶角为____度.【答案】50130︒︒或.【解析】（1）如下图1，4050ABD A ∠=︒∴∠=︒，（2）如图2，40130ABD BAC ∠=︒∴∠=︒，故这个等腰三角形的顶角为50130︒︒或（图2）(图1）10.（黄浦2018期末14）等腰三角形底边上的中线垂直于底边且平分顶角，用符号来表示为：如图，如果在ABC ∆中，AB=AC ，且 ，那么AD BC ⊥且 .DCBA【答案】BD=CD ；BAD CAD ∠=∠；【解析】等腰三角形底边上的中线垂直于底边且平分顶角，用符号来表示为：如图，如果在ABC ∆中，AB=AC ，且BD=CD ，那么AD BC ⊥且BAD CAD ∠=∠.故答案为：BD=CD ；BAD CAD ∠=∠. 11.（杨浦2019期末13）如图，已知在ABC ∆中，AB=AC ，点D 在边BC 上，要使BD=CD ，还需添加一个条件，这个条件是 .（只需填上一个正确的条件）D B A【答案】BAD CAD ∠=∠或者AD BC ⊥（只填一个）【解析】解：在ABC ∆中，AB=AC ，BAD CAD ∠=∠，BD CD ∴=；或者 在ABC ∆中，AB=AC ，AD BC ⊥，BD CD ∴=；故答案为：BAD CAD ∠=∠或者AD BC ⊥. 考查等腰三角形的三线合一。

2023年暑假新八年级数学预习专题7：等腰三角形(精讲教师版)

2023年暑假新八年级数学预习专题7：等腰三角形(精讲教师版)
四、等边三角形的判定 等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形．
五、含 30°的直角三角形的性质定理 在直角三角形中，如果有一个锐角是 30°，那么它所对的直角边等于斜边 的一半．
攻略 1 判定等腰三角形的方法： 1．定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形；
第 1页（共 15页）
三、等边三角形的性质 1．三边都相等的三角形叫等边三角形． 2．等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于 60°． 注意：①每条边上的中线、高线、所对角的角平分线互相重合（三线合一） ②等边三角形也是轴对称图形，它有三条对称轴，三线合一所在的直线即 为等边三角形的对称轴，对称轴的交点是等边三角形的中心点． 3．常见有关等边三角形的旋转题图形
第 2页（共 15页）
2．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写 成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC 中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 【注意】1．“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等， 那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底 角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”． 2．“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相 等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是 等腰三角形的判定． 攻略 2 判定等边三角形的方法： 1．定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． 2．三个角都相等的三角形是等边三角形． 3．有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形． 攻略 3 一在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边 等于斜边的一半． 【注意】1．该性质是含 30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角 形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． 2．这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． 3．该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． 4．在有些题目中，若给出的角是 15°时，往往运用一个外角等于和它不相 邻的两个内角的和将 15°的角转化后，再利用这个性质解决问题．

部编数学八年级上册专题09等腰等边三角形问题(解析版)含答案

部编数学八年级上册专题09等腰等边三角形问题(解析版)含答案

2023--2024学年度人教版数学八年级上册期末复习核心考点三种题型精炼专题09 等腰等边三角形问题选择题一、选择题1. （2023贵州省）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长为12m ，则底边上的高是（ ）A. 4mB. 6mC. 10mD. 12m【答案】B 【解析】作AD BC ^于点D ，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得()1180302B C BAC Ð=Ð=°-Ð=°，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案．如图，作AD BC ^于点D ，Q ABC V 中,120BAC Ð=°，AB AC =，\()1180302B C BAC Ð=Ð=°-Ð=°，Q AD BC ^，\11126m 22AD AB ==´=，故选B ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等，解题的关键是掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半．2.如图，点F 在正五边形ABCDE 的内部，ABF V 为等边三角形，则AFC Ð等于（ ）A. 108°B. 120°C. 126°D. 132°【答案】C【解析】根据多边形内角和公式可求出∠ABC的度数，根据正五边形的性质可得AB=BC，根据等边三角形的性质可得∠ABF=∠AFB=60°，AB=BF，可得BF=BC，根据角的和差关系可得出∠FBC的度数，根据等腰三角形的性质可求出∠BFC的度数，根据角的和差关系即可得答案．∵ABCDE是正五边形，∴∠ABC=(52)1805-´°=108°，AB=BC，∵ABFV为等边三角形，∴∠ABF=∠AFB=60°，AB=BF，∴BF=BC，∠FBC=∠ABC-∠ABF=48°，∴∠BFC=1(180)2FBC°-Ð=66°，∴AFCÐ=∠AFB+∠BFC=126°，【点睛】本题考查多边形内角和、等腰三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌握多边形内角和公式是解题关键．3. 如图所示，点D是△ABC的边AC上一点（不含端点），AD=BD，则下列结论正确的是（　）A．AC＞BC B．AC=BC C．∠A＞∠ABC D．∠A=∠ABC【答案】A【解析】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．根据等腰三角形的两个底角相等，由AD=BD 得到∠A=∠ABD ，所以∠ABC ＞∠A ，则对各C 、D 选项进行判断；根据大边对大角可对A 、B 进行判断．∵AD=BD ，∴∠A=∠ABD ，∴∠ABC ＞∠A ，所以C 选项和D 选项错误；∴AC ＞BC ，所以A 选项正确；B 选项错误．4. 如图所示，直线a ∥b ，点A 在直线a 上，点B 在直线b 上，AC =BC ，∠C =120°，∠1=43°，则∠2的度数为（ ）A. 57°B. 63°C. 67°D. 73°【答案】D 【解析】根据等腰三角形的性质可求出30ABC Ð=°，可得出+173ABC ÐÐ=°，再根据平行线的性质可得结论．∵AC =BC ，∴ABC D 是等腰三角形，∵=120C а ∴11(180)(180120)3022ABC C Ð=°-Ð=°-°=° ∴1304373ABC Ð+Ð=°+°=°∵a ∥b ，∴2173ABC Ð=Ð+Ð=°故选：D【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质，求出173ABC Ð+Ð=°是解答本题的关键．二、填空题1. 如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB AC =，立柱AD BC ^，且顶角120BAC Ð=°，则C Ð大小为 ．【答案】30°##30度【解析】先由等边对等角得到B C Ð=Ð，再根据三角形的内角和进行求解即可．AB AC =Q ，B C \Ð=Ð，120BAC Ð=°Q ，180BAC B C Ð+Ð+Ð=°，180120302C °-°\Ð==°，故答案为：30°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．2. 如图，在ABC V 中，40ABC Ð=°，80BAC Ð=°，以点A 为圆心，AC 长为半径作弧，交射线BA 于点D ，连接CD ，则BCD Ð的度数是 ．【答案】10°或100°【解析】分两种情况画图，由作图可知得AC AD =，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可．如图，点D 即为所求；的在ABC D 中，40ABC Ð=°，80BAC Ð=°，180408060ACB \Ð=°-°-°=°，由作图可知：AC AD =，1(18080)502ACD ADC \Ð=Ð=°-°=°，605010BCD ACB ACD \Ð=Ð-Ð=°-°=°；由作图可知：AC AD =¢，ACD AD C \Т=Т，80ACD AD C BAC Т+Т=Ð=°Q ，40AD C \Т=°，1801804040100BCD ABC AD C \Т=°-Ð-Т=°-°-°=°．综上所述：BCD Ð度数是10°或100°．故答案为：10°或100°．【点睛】本题考查了作图-复杂作图，三角形内角和定理，等腰三角形判定与性质，解题的关键是掌握基本作图方法．3.如图，在△ABC 中，AB=AC=2a ，∠ABC=∠ACB=15°，CD 是腰AB 上的高．则CD 的长为 ．【答案】a【解析】观察图形可以发现，在Rt △ADC 中，AC=2a ，而∠DAC 是△ABC 的一个外角， 则∠DAC=15°×2=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半， 可求出CD ．∵∠ABC=∠ACB=15°，∴∠DAC=∠ABC+∠BAC=30°．的的∴CD=AC=a（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）．4.在等腰ABC D 中，AD BC ^交直线BC 于点D ，若12AD BC =，则ABC D 的顶角的度数为 ．【答案】30°或150°或90°．.【解析】①BC 为腰，∵AD ⊥BC 于点D ，AD=12BC ，∴∠ACD=30°，如图1，AD 在△ABC 内部时，顶角∠C=30°，如图2，AD 在△ABC 外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°，②BC 为底，如图3，∵AD ⊥BC 于点D ，AD=12BC ，∴AD=BD=CD ，∴∠B=∠BAD ，∠C=∠CAD ，∴∠BAD+∠CAD=12×180°=90°，∴顶角∠BAC=90°，综上所述，等腰三角形ABC 的顶角度数为30°或150°或90°．5.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的 _．【答案】一半。

人教版八年级下册数学专题复习及练习(含解析)：等腰三角形

人教版八年级下册数学专题复习及练习(含解析)：等腰三角形

专题13.3 等腰三角形知识点1：等腰三角形1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．2.等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．（2）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、 底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．3.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．知识点2：等边三角形1.定义：三条边相等的三角形叫做等边三角形．2.等边三角形的性质和判定：（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。

（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

知识点3：直角三角形的一个定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．【例题1】如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求：△ABC各角的度数．【例题2】证明：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC=AB ．【例题7】已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为（ ）A ．B ．C ．D ．不能确定【例题3】如图，已知AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，AC 与BD 交于点O ，AC=BD.求证：(1)BC=AD ；(2)△OAB 是等腰三角形.一、选择题1.已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为（ ）12C AA．B．C．D．不能确定2.如图所示，点D是△ABC的边AC上一点（不含端点），AD=BD，则下列结论正确的是（）A．AC＞BC B．AC=BC C．∠A＞∠ABC D．∠A=∠ABC3．如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN 为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（）A．1个B．2个C．3个D．3个以上4.如图所示，底边BC为2，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为（）A．2+2B．2+C．4 D．3二、解答题5.已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求证：△ABC是等边三角形．6.如图，在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB交AC于E．求证：AE=CE．7.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1=∠2，AD ∥BC （如图）．求证：AB=AC ．8.已知：如图，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ．求证：AB=AD ．9.证明：等腰三角形两底角的平分线相等．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 、CE 是△ABC 的平分线．求证：BD=CE ．10.证明：等腰三角形两腰上的高相等．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BE 、CF 分别是△ABC 的高．E DCAB11.证明：等腰三角形两腰上的中线相等．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 、CE 分别是两腰上的中线．求证：BD=CE ．12.已知：如图，在△ABC 中，AB=AC=2a ，∠ABC=∠ACB=15°，CD 是腰AB 上的高．求：CD 的长．13．已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°．求证：BD=AB ．14.已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍，这个角的平分线把对边分成两条线段．求证：其中一条是另一条的2倍．已知：在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠ABC=2∠C ，BD 是∠ABC 的平分线．1415.已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=AB ．求证：∠BAC=30°．16.已知，如图，点C 为线段AB 上一点，△ACM 、△CBN 是等边三角形．求证：AN=BM ．17．一个直角三角形房梁如图所示，其中BC ⊥AC ，∠BAC=30°，AB=10cm ， CB 1⊥AB ，B 1C ⊥AC 1，垂足分别是B 1、C 1，那么BC 的长是多少？18.如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，AC 的垂直平分线交AB 于E ，D 为垂足，连接EC ．（1）求∠ECD 的度数；（2）若CE=5，求BC 长．12专题13.3 等腰三角形知识点1：等腰三角形1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．2.等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．（2）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、 底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．3.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．知识点2：等边三角形1.定义：三条边相等的三角形叫做等边三角形．2.等边三角形的性质和判定：（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。

等腰三角形压轴题初二

等腰三角形压轴题初二

等腰三角形压轴题初二
摘要：
一、等腰三角形的性质和判定
1.等腰三角形的定义
2.等腰三角形的性质
3.等腰三角形的判定
二、等腰三角形压轴题初二的特点
1.题目类型
2.难度等级
3.解题技巧
三、解决等腰三角形压轴题初二的方法
1.熟悉等腰三角形的性质和判定
2.掌握解题技巧
3.举例说明解题过程
四、总结与建议
1.巩固等腰三角形的基本知识
2.多做练习题提高解题能力
3.培养良好的学习习惯和思维方式
正文：
一、等腰三角形的性质和判定
等腰三角形是指有两边长度相等的三角形。

根据这个定义，我们可以知道
等腰三角形的性质：两边相等，两角相等。

而判定一个三角形是否为等腰三角形，可以根据以下三种情况：有两边相等、有两角相等、有一条边和两个角分别相等。

二、等腰三角形压轴题初二的特点
等腰三角形压轴题初二主要考察学生对等腰三角形性质和判定的掌握程度，以及运用这些知识解决问题的能力。

题目通常以选择题、填空题或解答题的形式出现，难度在中等偏上。

三、解决等腰三角形压轴题初二的方法
要解决等腰三角形压轴题初二，首先要熟悉等腰三角形的性质和判定，这样才能快速准确地判断出题目的条件。

其次，掌握解题技巧，例如分类讨论、数形结合等方法，可以提高解题效率。

最后，通过具体的题目实例，加深对等腰三角形压轴题的理解和掌握。

四、总结与建议
在学习等腰三角形压轴题初二时，要重视基本知识的巩固，加强对等腰三角形的理解和记忆。

2023学年八年级数学上册高分突破必练专题(人教版)-等腰三角形分类讨论问题综合应用(解析版)

2023学年八年级数学上册高分突破必练专题(人教版)-等腰三角形分类讨论问题综合应用(解析版)

等腰三角形分类讨论问题综合应用类型一：腰和底不明时需讨论类型二：顶角和底角不明时需讨论类型三：涉及中线高位置的讨论类型四：等腰三角形个数的讨论类型五：动点引起的分类讨论【考点1 腰和底不明时需分类】【典例1】等腰三角形的两边长分别为4和8 则这个等腰三角形的周长是（）A．20或16B．20C．16D．以上答案均不对【答案】B【解答】解：①若4是腰则另一腰也是4 底是8 但是4+4＝8 故不构成三角形舍去．②若4是底则腰是8 8．4+8＞8 符合条件．成立．故周长为：4+8+8＝20．故选：B【变式1-1】等腰三角形的一条边长为4cm另一条边长为6cm则它的周长是．【答案】14cm或16cm【解答】解：当4cm为腰时三边为4cm4cm6cm可以构成三角形∴周长为：4+4+6＝14（cm）；当6cm为腰时三边为为6cm6cm4cm可以构成三角形∴周长为：6+6+4＝16（cm）；综上周长为14cm或16cm．故答案为：14cm或16cm．【考点2 顶角和底角不明时需讨论】【典例2】等腰三角形的一个角是50°则它的底角是（）A．50°B．50°或65°C．80°D．65°【答案】B【解答】解：当底角为50°时则底角为50°当顶角为50°时由三角形内角和定理可求得底角为：65°所以底角为50°或65°故选：B．【变式2-1】等腰三角形的一个角是100°则其底角是（）A．40°B．100°C．80°D．100°或40°【答案】A【解答】解：当100°为顶角时其他两角都为40°40°当100°为底角时等腰三角形的两底角相等由三角形的内角和定理可知底角应小于90°故底角不能为100°所以等腰三角形的底角为40°40°．故选A（2020秋•慈溪市期中）已知在等腰△ABC中一个外角的度数为100°则【变式2-2】∠A的度数不能取的是（）A．20°B．50°C．60°D．80°【答案】C【解答】解：当100°的角是顶角的外角时顶角的度数为180°﹣100°＝80°另外两个角的度数都为50°；当100°的角是底角的外角时两个底角的度数都为180°﹣100°＝80°顶角的度数为180°﹣2×80°＝20°；故∠A的度数不能取的是60°．故选：C．【考点3 涉及中线高位置的讨论】【典例3】（2020秋•鄞州区期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°则顶角的度数为（）A．65°B．105°C．55°或105°D．65°或115°【答案】D【解答】解：①如图1 当等腰三角形的顶角是钝角时腰上的高在外部．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求得顶角是90°+25°＝115°；②如图2 当等腰三角形的顶角是锐角时腰上的高在其内部故顶角是90°﹣25°＝65°．故选：D．【变式3-1】（2021春•南海区校级月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角等于30°则这个等腰三角形的顶角等于（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°【答案】D【解答】解：当高在三角形内部时如图1∵∠ABD＝30°BD⊥AC∴∠A＝60°；∴顶角是60°；当高在三角形外部时如图2∵∠ABD＝30°BD⊥AC于D∴∠BAD＝60°∴∠BAC＝180°﹣60°＝120°∴顶角是120°．故选：D．【变式3-2】（2021春•浦东新区期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°那么这个等腰三角形的底角为．【答案】75°或15°【解答】解：根据题意得：AB＝AC BD⊥AC如图（1）∠ABD＝60°则∠A＝30°∴∠ABC＝∠C＝75°；如图（2）∠ABD＝60°∴∠BAD＝30°∴∠ABC＝∠C＝∠BAD＝15°．故这个等腰三角形的底角是：75°或15°．故答案为：75°或15°．【典例4】如图在△ABC中AB＝AC AC边上的中线BD把△ABC的周长分成12cm和15cm两部分求△ABC各边的长．【解答】解：∵BD是AC边上的中线∴AD＝CD＝AC∵AB＝AC∴AD＝CD＝AB设AD＝CD＝xcm BC＝ycm分两种情况：当时即解得：∴△ABC的各边长为8cm8cm11cm；当时即解得：∴△ABC的各边长为10cm10cm7cm；综上所述：△ABC各边的长为8cm8cm11cm或10cm10cm7cm．【变式4】（2021春•浦东新区期中）已知等腰三角形的底边长为6 一条腰上的中线把三角形的周长分为两部分其中一部分比另外一部分长2 则三角形的腰长是．【答案】8或4【解答】解：等腰三角形一条腰上的中线把三角形的周长分为两部分这两部分的差即是腰与底的差的绝对值∵其中一部分比另外一部分长2∴腰比底大2或底比腰大2∴腰为8或4．故答案为：8或4．【考点4 等腰三角形个数的讨论】【典例5】如图网格中的每个小正方形的顶点称作格点图中A B在格点上则图中满足△ABC为等腰三角形的格点C的个数为（）A．7B．8C．9D．10【答案】B【解答】解：如图所示：分三种情况：①以A为圆心AB长为半径画弧则圆弧经过的格点C1C2C3即为点C的位置；②以B为圆心AB长为半径画弧则圆弧经过的格点C3C4C5C6C7C8即为点C的位置；③作AB的垂直平分线垂直平分线没有经过格点；∴△ABC为等腰三角形的格点C的个数为：8故选：B．【变式5-1】如图△ABC中直线l是边AB的垂直平分线若直线l上存在点P使得△P AC△P AB均为等腰三角形则满足条件的点P的个数共有（）A．1B．3C．5D．7【答案】C【解答】解：分三种情况：如图：当AP＝AC时以A为圆心AC长为半径画圆交直线l于点P1P2当CA＝CP时以C为圆心CA长为半径画圆交直线l于点P3P4当P A＝PC时作AC的垂直平分线交直线l于点P5∵直线l是边AB的垂直平分线∴直线l上任意一点（与AB的交点除外）与AB构成的三角形均为等腰三角形∴满足条件的点P的个数共有5个故选：C．【变式5-2】如图已知Rt△ABC中∠C＝90°∠A＝30°在直线BC上取一点P使得△P AB是等腰三角形则符合条件的点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解答】解：分三种情况如图：∵∠ACB＝90°∠BAC＝30°∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝60°当BA＝BP时以B为圆形BA长为半径画圆交直线BC于P1P2两个点∵BA＝BP2∠ABC＝60°∴△ABP2是等边三角形∴AB＝BP2＝AP2当AB＝AP时以A为圆形AB长为半径画圆交直线BC于P2当P A＝PB时作AB的垂直平分线交直线BC于P2综上所述在直线BC上取一点P使得△P AB是等腰三角形则符合条件的点P有2个故选：B．【考点5 动点引起的分类】【典例6】如图所示在△ABC中AB＝AC＝2 ∠B＝40°点D在线段BC上运动（D 不与B C重合）连结AD作∠ADE＝40°DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA＝115°时∠BAD＝；点D从B向C运动时∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）．（2）当DC的长为多少时△ABD与△DCE全等？请说明理由．（3）在点D的运动过程中△ADE的形状也在改变请判断当∠BDA等于多少度时△ADE是等腰三角形．（直接写出结论不说明理由．）【解答】解：（1）∵∠B＝40°∠BDA＝115°∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝180°﹣115°﹣40°＝25°由图形可知∠BDA逐渐变小故答案为：25°；小；（2）当DC＝2时△ABD≌△DCE理由如下：∵AB＝2∴AB＝DC∵AB＝AC∴∠C＝∠B＝40°∴∠DEC+∠EDC＝140°∵∠ADE＝40°∴∠ADB+∠EDC＝140°∴∠ADB＝∠DEC在△ABD和△DCE中∴△ABD≌△DCE（AAS）；（3）当∠BDA的度数为110°或80°时△ADE是等腰三角形当DA＝DE时∠DAE＝∠DEA＝70°∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝70°+40°＝110°；当AD＝AE时∠AED＝∠ADE＝40°∴∠DAE＝100°此时点D与点B重合不合题意；当EA＝ED时∠EAD＝∠ADE＝40°∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝40°+40°＝80°综上所述当∠BDA的度数为110°或80°时△ADE是等腰三角形．【变式6】如图在△ABC中AB＝AC＝2 ∠B＝∠C＝40°点D在线段BC上运动（点D不与点B C重合）连接AD作∠ADE＝40°DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA＝110°时∠EDC＝°∠DEC＝°；点D从B向C的运动过程中∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时△ABD≌△DCE请说明理由；（3）在点D的运动过程中求∠BDA的度数为多少时△ADE是等腰三角形．【解答】解：（1）当∠BDA＝110°时∠EDC＝180°﹣110°﹣40°＝30°∴∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣C＝180°﹣30°﹣40°＝110°∵点D从B向C的运动过程中∠BAD逐渐变大∴∠BDA逐渐变小故答案为：30 110 小；（2）当DC＝2时△ABD≌△DCE理由如下∵∠ADC＝∠B+∠BAD∠ADC＝∠ADE+∠CDE∠B＝∠ADE＝40°∴∠BAD＝∠CDE∵AB＝CD＝2 ∠B＝∠C＝40°∴△ABD≌△DCE（ASA）；（3）若AD＝DE时∵AD＝DE∠ADE＝40°∴∠DEA＝∠DAE＝70°∵∠DEA＝∠C+∠EDC∴∠EDC＝30°∴∠BDA＝180°﹣∠ADE﹣∠EDC＝180°﹣40°﹣30°＝110°若AE＝DE时∵AE＝DE∠ADE＝40°∴∠ADE＝∠DAE＝40°∴∠AED＝100°∵∠DEA＝∠C+∠EDC∴∠EDC＝60°∴∠BDA＝180°﹣∠ADE﹣∠EDC＝180°﹣40°﹣60°＝80°由题意知AD＝AE不可能综上所述：当∠BDA＝80°或110°时△ADE的形状可以是等腰三角形．1．（2019秋•海安市期中）用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形若其中有一边的长为5cm则该等腰三角形的腰长为（）cm．A．5B．6.5C．5或6.5D．6.5或8【答案】C【解答】解：5cm是腰长时底边为18﹣5×2＝8∵5+5＞8∴5cm5cm8cm能组成三角形；5cm是底边时腰长为（18﹣5）＝6.5cm5cm 6.5cm 6.5cm能够组成三角形；综上所述它的腰长为6.5或5cm．故选：C．2．（2021•碑林区校级开学）若等腰三角形的一个内角比另一个内角大30°则这个等腰三角形的底角度数是（）A．50°B．80°C．50°或70°D．80°或40°【答案】C【解答】解：在△ABC中设∠A＝x∠B＝x+30°分情况讨论：当∠A＝∠C为底角时2x+（x+30°）＝180°解得x＝50°底角∠A＝50°；当∠B＝∠C为底角时2（x+30°）+x＝180°解得x＝40°底角∠B＝70°．故这个等腰三角形的底角的度数为50°或70°．故选：C．3．（2020秋•渝北区校级月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°则其底角为（）A．65°B．32.5°C．32.5°或57.5°D．32.5°或65°【答案】C【解答】解：①如图1 当等腰三角形的顶角是钝角时腰上的高在外部根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得顶角是90°+25°＝115°则其底角为（180°﹣115°）÷2＝32.5°；②如图2 当等腰三角形的顶角是锐角时腰上的高在其内部故顶角是90°﹣25°＝65°则其底角为（180°﹣65°）÷2＝57.5°．故选：C．4.（2021春•淮阳区校级期末）某等腰三角形的周长是21cm一条腰上的中线把其周长分成两部分的差为3cm该三角形的腰长是cm．【答案】8或6【解答】解：设等腰三角形的腰长是xcm底边长是ycm根据题意得或解得或∵8 8 5与6 6 9都能组成三角形∴该三角形的腰长为8cm或6cm．故答案是8或6．5．若△ABC中刚好有∠B＝2∠C则称此三角形为“可爱三角形”并且∠A称作“可爱角”．现有一个“可爱且等腰的三角形”那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是（）A．45°或36°B．72°或36°C．45°或72°D．45°或36°或72°【答案】C【解答】解：①设三角形底角为α顶角为2α则α+α+2α＝180°解得：α＝45°②设三角形的底角为2α顶角为α则2α+2α+α＝180°解得：α＝36°∴2α＝72°∴三角形的“可爱角”应该是45°或72°故选：C．6．如图所示的正方形网格中网格的交点称为格点已知A B是两格点如果C也是图中的格点且使得△ABC为等腰三角形则符合条件的点C的个数是（）A．9B．8C．7D．6【答案】B【解答】解：如图：分三种情况：当AB＝AC时以点A为圆心以AB长为半径作圆则点C1C2C3即为所求；当BA＝BC时以点B为圆心以BA长为半径作圆则点C4C5C6即为所求；当CA＝CB时作AB的垂直平分线则点C7C8即为所求；综上所述：符合条件的点C的个数是8故选：B．7．如图在△ABC中AB＝AC＝2 ∠B＝∠C＝40°点D在线段BC上运动（点D 不与点B C重合）连接AD作∠ADE＝40°DE交线段AC于点E．（1）点D从B向C的运动过程中∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）在点D的运动过程中当∠BDA的度数是时△ADE是等腰三角形．【解答】解：（1）点D从B向C的运动过程中∠BDA逐渐变小故答案为：小；（2）分三种情况：当AD＝AE时∴∠ADE＝∠AED＝40°∵∠AED是△DEC的外角∴∠AED＞∠C此种情况不存在当DA＝DE时∵∠ADE＝40°∴∠DAE＝∠DEA＝70°∵∠C＝40°∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝110°当EA＝ED时∴∠EAD＝∠ADE＝40°∵∠C＝40°∴∠BDA＝∠EAD+∠C＝80°综上所述：∠BDA的度数是110°或80°故答案为：110°或80°．8.（秋•宝应县期末）如图△ABC中AB＝AC＝2 ∠B＝∠C＝40°．点D在线段BC上运动（点D不与B C重合）连接AD作∠ADE＝40°DE交线段AC于E．（1）当∠BAD＝20°时∠EDC＝°；（2）当DC等于多少时△ABD≌△DCE？试说明理由；（3）△ADE能成为等腰三角形吗？若能请直接写出此时∠BAD的度数；若不能请说明理由．【答案】（1）20 （2）当DC＝2时△ABD≌△DCE（3）当∠BAD＝30°或60°时△ADE能成为等腰三角形【解答】解：（1）∵∠BAD＝20°∠B＝40°∴∠ADC＝60°∵∠ADE＝40°∴∠EDC＝60°﹣40°＝20°故答案为：20；（2）当DC＝2时△ABD≌△DCE；理由：∵∠ADE＝40°∠B＝40°又∵∠ADC＝∠B+∠BAD∠ADC＝∠ADE+∠EDC．∴∠BAD＝∠EDC．在△ABD和△DCE中．∴△ABD≌△DCE（ASA）；（3）能当∠BAD＝30°或60°时△ADE能成为等腰三角形．理由：①当∠BAD＝30°时∵∠B＝∠C＝40°∴∠BAC＝100°∵∠ADE＝40°∠BAD＝30°∴∠DAE＝70°∴∠AED＝180°﹣40°﹣70°＝70°∴DA＝DE∴△ADE为等腰三角形；②当∠BAD＝60°时∵∠B＝∠C＝40°∴∠BAC＝100°∵∠ADE＝40°∠BAD＝60°∠DAE＝40°∴EA＝ED∴△ADE为等腰三角形．综上所述当∠BAD＝30°或60°时△ADE能成为等腰三角形。

专题等腰三角形(含答案)

专题等腰三角形(含答案)

1．2．3．4．5．6．．选择题（共21 小题）如果一个等腰三角形的两边长为A．17 B．22一个等腰三角形的两边长分别是A．10 B．8在等腰三角形ABC 中，AB＝4，A．8 B．104、2、专题等腰三角形9，则它的周长为（C ．17 或224，那么它的周长是C ．10 或8BC＝2，则△ ABC 的周长为C ．8 或10如图，在△ ABC 中，AB＝AC，在边AB 上取点D，使得BD＝BC，等于（）A．36°B．54°C．72°A ．2cmB ． 3.5cmC．5cm8．若等腰三角形有两条边的长度为 5 和8，则此等腰三角形的周长为（A ．18 或21B．21 C．24 或18D．7cmD．18D．无法计算D．不能确定D ．6 或8连结CD，若∠ A＝36°，则∠BDCD．126°如图，在Rt△ABC 中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD＝BC，AE＝AC，则∠ DCE的度数为（）A．30°B．36°C．45°D．48°如图，在△ ABC 中，AB＝AC，AD、CE 分别是△ ABC 的中线和角平分线，当∠ ACE＝35°时，∠ BAD的度数是（A．55°B．40°C．35°D．20°7．等腰三角形的周长为9cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（9．如图，在△ ABC 中，点 D 在BC 上，AB＝AD ＝DC，∠B＝72B．36°C．18°，那么∠ DAC 的大小是（）D．40°10．等腰三角形两边长分别为2、5，则这个等腰三角形的周长为（A．9 B．12C．9或12 D．上述答案都不对11．若等腰三角形的两边长分别是3、5，则第三边长是（A．3或5 B．5 C．3 D． 4 或612．已知一个等腰三角形一内角的度数为80°，则这个等腰三角形顶角的度数为（A ．100°B．80°C．50°或80°D．20°或80°13．如图，已知度数为（A ．18°14．如图，在△A ．70°AD，ABCBE 分别是△ ABC 中线和高，且AB＝AC，∠ EBC ＝20°，则∠ BAD 的B．20°C．22.5°中，AD＝BD＝AC，∠ B＝25°D．25°85°D．，则∠B．75°C．80°15．等腰三角形的顶角比每个底角大30°，则这个等腰三角形的顶角是（A．40°B．50°C．80°D．85°16．如果等腰三角形的一个角是80°，那么它的底角是（A ．80°或50°B．50°或20° C ．80°或20°D．50°17．等腰三角形ABC 中，∠ A＝80°，则∠24．如图，P，Q 是△ ABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，求∠ABC 的度数．A．50 B．80 或50C ．20 或80D．20 或50或8018．若等腰三角形的一边长是4，则它的周长可能是（A．7 B．8 C． D ．8 或919．如图，在△ ABC 中，AC＝AD＝DB，∠ C＝70°A．75°B．70°C．20．已知等腰三角形的周长是A ．6 和821．等腰三角形周长为A．4，10，则∠ CAB 的度数为（40°D．35°20，其中一边长为6，则其它两边的长度分别是（B．7 和718，其中一边长为B．7，725．已知△ ABC中，AB＝AC，过边AB上一点N作AB的垂线交BC于点M．（1）如图1，若∠ A＝40°，则∠ NMB 的度数是．（2）如图2，若∠ A＝70°，则∠ NMB 的度数是．（3）你可以再分别给出几个∠ A（∠ A 为锐角）的度数，你发现规律了吗？写出当∠ A 为4，则其它两边长分别为（C．4，10或7，7D ．3 和11D ．无法确定二．解答题（共22 小题）22．如图，在△ ABC 中，AB＝AC，∠ BAC＝80°， D 是AC 上一点，E是BC延长线上一点，连接BD，锐角时，你猜想出的规律，并进行证明．3）中的结论（直接写出答案）DE，若∠ABD＝20°，BD＝DE，求∠ CDE 的度数．23．如图，AB∥ CD ，△ EFG 的顶点F，G 分别落在直线AB，CD 上，GE 交AB 于点H，HE ＝HF ．若∠E＝25°，∠ FGC＝62°，求∠ FGH 的度数．4）当∠ A 为直角、钝角时，是否还有（26．如图，已知△ ABC 中，AB＝AC ，∠ C＝30°，AB⊥AD．1）求∠ BDA 的度数；2）若AD ＝2，求BC 的长．27．如图，在△ ABC 中，点 D 在BC 边上，BD ＝AD＝AC，E为CD 的中点．若∠B＝35°，求∠CAE 度数．31．如图所示，在△ ABC 中，BC＝BD＝AD，∠ CBD＝36°，求∠ A 和∠ C 的度数．28．如图，在△ ABC 中，D、E为BC 上的点，AD 平分∠BAE，CA＝CD．29．30．1）求证：∠ CAE＝∠B；2）若∠ B＝50 °，∠ C＝3∠DAB，求∠ C 的大小．如图，△ ABC 中，AB＝AC，AD 是BC 边上的中线，如图，在△ ABC 中，已知AB ＝AC，BD 平分∠ABC，∠ADB ＝125°，求∠ BAC 的度数．EH 平分∠ AEG，且∠ GEH ＝30°，求∠ CFH 的度数．33．已知：如图，在△ ABC 中，点D，E 是边BC 上的两点，且AB＝BE，AC＝CD．CE⊥ AB 于点E．求证：∠ CAD＝∠BCE．1）若∠ BAC＝90°，求∠ DAE 的度数；AE 为BC 边的中线，AE、2）若∠ BAC＝120°，直接写出∠ DAE 的度数；3）设∠ BAC＝α，∠DAE ＝β，猜想α与β的之间数量关系（不需证明）34．已知：如图，在等腰△ ABC中，AB＝AC，∠ BAC＝80°，AD 平分∠ BAC，且AD＝AE；求∠EDC 的度数．， AB ＝ AC ，∠ BAD ＝ 20°， AD ＝ AE ，求∠ EDC 的度数．36．如图，在△ ABC 中， AB ＝ BC ，∠ B ＝40°， AD 平分∠ BAC ，AE ⊥BC 于 E ，EF ⊥AD 于 F ，求∠ AEF 的度数．42．在△ ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∠BAD ＝40°，AD ＝AE ，求∠ CDE 的度数．37．已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分为 12cm 和 21cm 两部分， 求这个等腰三角形的底边和腰的长度．38．等腰三角形一腰上的中线，分别将该三角形周长分成 30cm 和 33cm ，试求该等腰三角形的底边长． 39．如图，在△ ABC 中， AB ＝AC ，AD ＝DE ＝EB ，BC ＝BD ，求∠ A 的度数．40．如图，在等腰三角形△ ABC 中， AB ＝AC ，BD 平分∠ ABC ，在 BC 的延长线上取一点 E ，使 CE ＝CD ， 连接 DE ，求证： BD ＝ DE．41．如图，在△ ABC 中，∠ C ＝∠ABC ，BE ⊥AC ，△BDE 是等边三角形．求∠ C 的度数．43．如图 1，在等腰△ ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝45°， BD ⊥AC ，点 P 为边 AB 上一点（不 与点 A 、点 B 重合），PM ⊥BC ，垂足为 M ，交 BD 于点 N ． （1）请猜想 PN 与 BM 之间的数量关系，并证明；（2）若点 P 为边 AB 延长线上一点， PM ⊥ BC ，垂足为 M ，交 DB 延长线于点 N ，请在图2 中画出图形，并判断（ 1 ）中的结论是否成立若成立，请证明；若不成立，请写出你的 猜∠ ABC ＝65∴∠ ACE＝∠ AEC＝x+y，专题等腰三角形参考答案与试题解析一．选择题（共21 小题）1．【解答】解：（1）若 4 为腰长，9 为底边长，由于4+4< 9，则三角形不存在；（2）若9 为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．所以这个三角形的周长为9+9+4＝22．故选：B．2．【解答】解：2 是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，∵2+2＝4，∴不能组成三角形，2 是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，能组成三角形，周长＝2+4+4＝10．故选：A．3．【解答】解：当AC＝BC＝2 时，2+2＝4，不符合三角形三边关系，故舍去；当AC＝AB＝4 时，符合三边关系，其周长为4+4+2＝10．故选：B．4．【解答】解：∵ AB＝AC，∠ A＝36°，∴∠ B＝＝72°，∵BD＝BC，∴∠ BDC ＝∠ BCD ＝＝54°，故选：B．5．【解答】解：设∠ DCE ＝x，∠ ACD＝y，则∠ ACE＝x+y，∠ BCE＝90°﹣∠ ACE＝90°﹣x﹣y．∵AE＝AC，∵BD＝BC，∴∠ BDC＝∠ BCD＝∠ BCE+∠DCE＝90°﹣x﹣y+x＝90°﹣y．在△ DCE 中，∵∠ DCE +∠CDE +∠DEC ＝180°，∴x+（90°﹣y）+（x+y）＝180°，解得x＝45°，∴∠ DCE＝45°．故选：C．6．【解答】解：∵ CE 是∠ ACB 的平分线，∠ ACE＝35°，∴∠ ACB＝2∠ACE＝70°，∵AB＝AC，∴∠ B＝∠ ACB ＝70 °，∵AD⊥ BC，∴∠ ADB＝90°，∴∠ BAD＝90°﹣∠ B＝20°，故选： D ．7．【解答】解：若2cm 为等腰三角形的腰长，则底边长为9﹣2﹣2＝5（cm），2+2<5，不符合三角形的三边关系；若2cm 为等腰三角形的底边，则腰长为（9﹣2）÷2＝3.5（cm），此时三角形的三边长分别为2cm，3.5，cm，3.5cm，符合三角形的三边关系；故选：A．8．【解答】解：根据题意，① 当腰长为 5 时，周长＝5+5+8＝18；② 当腰长为8 时，周长＝8+8+5＝21．故选：A．9．【解答】解：∵△ ABD 中，AB＝AD，∠ B＝72°，∴∠ B＝∠ ADB ＝72°，∴∠ ADC ＝180°﹣∠ ADB ＝108∵AD＝CD，∴∠ C＝∠ DAC ＝（180°﹣∠ ADC ）÷ 2＝（180°﹣108°）÷ 2＝36°．故选：B．10．【解答】解：当 2 为底时，其它两边都为5，2、5、5 可以构成三角形，周长为12；当 2 为腰时，其它两边为 2 和5，因为2+2< 5，所以不能构成三角形，故舍去．∴答案只有12．故选：B．11．【解答】解：由题意得，当腰为 3 时，则第三边也为腰，为3，此时3+3> 5．故以3，3，5 可构成三角形；当腰为 5 时，则第三边也为腰，此时3+5>5，故以3，5，5 可构成三角形．故第三边长是 3 或5．故选：A．12．【解答】解：（1）若等腰三角形一个底角为80°，顶角为180°﹣80°﹣80°＝20°；（2）等腰三角形的顶角为80°．因此这个等腰三角形的顶角的度数为20°或80°．故选： D ．13．【解答】解：∵ AD，BE 分别是△ ABC 中线和高，且AB＝AC，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠ CAD，∴∠ CAD +∠C＝90°，∠ CBE+∠C＝90°，∴∠ EBC＝∠ CAD ＝20°，∴∠ BAD ＝20°，故选：B．14．【解答】解：∵△ ABD 中，AD＝BD，∠ B＝25°，∴∠ BAD ＝25°，∴∠ ADC ＝25°× 2＝50°，∵AD＝AC，∴∠ C＝50∴∠ DAC＝180°﹣50°×2＝80°．故选：C．15．【解答】解：设顶角的度数为x，则底角的度数为（x﹣30°）．根据题意，得x+2（x﹣30°）＝180°，解得x＝80°．故选：C．16．【解答】解：根据题意，一个等腰三角形的一个角等于80°，① 当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是80°，② 当这个角80 °是顶角，设等腰三角形的底角是x°，则2x+80°＝180 °，解可得，x＝50°，即该等腰三角形的底角的度数是50°；故选：A．17．【解答】解：已知等腰△ ABC 中，∠ A＝80°，若∠ A是顶角，则∠ B＝∠ C，所以∠ B＝（180°﹣80°）＝50°；若∠ B是顶角，则∠ A＝∠ C＝80°，所以∠ B＝180°﹣80°﹣80°＝20°；若∠C 是顶角，则∠ B＝∠A＝80°．故∠ B 为50 °或20°或80°．故选： D ．18．【解答】解：当 4 是等腰三角形的腰时，周长大于8，当 4 是等腰三角形的底时，腰大于2，周长大于8，所以这个等腰三角形的周长可能是9，故选：C．19．【解答】解：∵ AC＝AD ＝DB ，∴∠ C＝∠ ADC ＝70°，∠ B＝∠ DAB，∴∠ CAD ＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∵∠ ADC＝∠ B+∠DAB，∴∠ DAB＝∠ B＝35°，∴∠ CAB＝∠CAD+∠DAB ＝75°，故选：A．20．【解答】解：当腰为 6 时，另一腰也为6，则底为20﹣2×6＝8，∵6+6＝12>8，∴三边能构成三角形．当底为 6 时，腰为（20﹣6）÷ 2＝7，∵7+7> 6，∴三边能构成三角形．故选：C．21．【解答】解：当腰为 4 时，另一腰也为4，则底为18﹣2×4＝10，∵4+4＝8<10，∴这样的三边不能构成三角形．当底为 4 时，腰为（18﹣4）÷ 2＝7，∵0<7<7+4＝11，∴以4，7，7 为边能构成三角形∴其它两边长分别为7，7．故选：B．二．解答题（共22 小题）22．【解答】解：∵在△ ABC 中，AB＝AC，∠ BAC ＝80 °，∴∠ ABC＝∠ ACB＝（180°﹣80°）＝50°，∵∠ ABD ＝20°，∴∠ E＝∠ DBC＝30°，∴∠ CDE＝∠ ACB﹣∠ E＝20°．23．【解答】解：∵ HE ＝HF，∠ E＝25°，∴∠ EFH ＝∠ E＝25°，∴∠ FHG＝∠ E+ ∠ EFH ＝50°，∵AB∥CD，∴∠ HFG ＝∠ FGC＝62°，∴∠ FGH ＝180°﹣∠ FHG﹣∠ HFG，＝180°﹣50°﹣62°＝68°24．【解答】解：∵ BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，∴∠ PAQ＝∠ APQ＝∠ AQP＝60°，∠ B＝∠ BAP，∠ C＝∠ CAQ．又∵∠ BAP+∠ABP＝∠ APQ ，∠ C+∠ CAQ＝∠ AQP，∴∠ ABC＝∠ BAP＝∠ CAQ＝30°．25．【解答】解：( 1)∵ AB＝AC，∠ A＝40°，∴∠ B＝∠ C＝×( 180°﹣40°)＝70°，∵MN ⊥AB，∴∠ MNB＝90°，∴∠ NMB＝90°﹣∠ B＝20°，故答案为：20°；(2)∵AB＝AC，∠ A＝70°，∴∠ B＝∠ C＝×( 180°﹣70°)＝55°，∵MN ⊥AB，∴∠ MNB＝90°，∴∠ NMB＝90°﹣∠ B＝35°，∴∠ DBC ＝∠ ABC﹣∠ ABD＝30∵BD＝DE，故答案为：35°；（3）∠A＝40°时，∠ NMB ＝20°，∠ NMB＝∠A，∠A＝70°时，∠ NMB ＝35°，∠ NMB＝∠A，∴∠ NMB ＝∠A，理由如下：∵ AB＝AC，∴∠ B＝∠ C＝×（180°﹣∠ A）＝90°﹣∠ A，∵MN⊥AB，∴∠ MNB＝90°，∴∠ NMB＝90°﹣∠ B＝90°﹣（90°﹣∠ A）＝∠A；（4）当∠ A＝90 °时，∠ B＝∠ C＝45°，∴∠ NMB＝90°﹣45°＝∠ A，当∠ A＝100°时，∠ B＝∠ C＝40°，∴∠ NMB＝90°﹣50°＝∠ A，则当∠ A 为直角、钝角时，（3）中的结论仍然成立．26．【解答】解：（1）∵ AB＝AC∴∠ B＝∠ C＝30°∵AD⊥AB∴∠ BDA + ∠B＝90°∴∠ BDA ＝60°（2）∵∠ BDA＝60°，∠ C＝30°，且∠ BDA＝∠ C+∠DAC ∴∠ DAC ＝60°﹣30°＝30°＝∠ C∴AD＝CD＝2∵AB⊥AD，∠ B＝30°∴BD＝2AD＝4∵ BC＝BD +CD 27．【解答】解：∵ BD ＝AD，∠ B＝35°，∴∠ B＝∠ BAD ＝35°，∴∠ ADC＝2∠B＝70°，∵ AD＝AC，点 E 是CD 中点，∴AE⊥CD，∠C＝∠ADC ＝70°，∴∠ AEC＝90 °，∴∠ CAE＝90 °﹣70°＝20°．28．【解答】解：（1）∵ CA＝CD，∴∠ CAD ＝∠ CDA ，∵ AD 平分∠ BAE，∴∠ EAD＝∠ BAD ，∵∠ B＝∠ CDA﹣∠ BAD ，∠ CAE＝∠ CAD ﹣∠ DAE ，∴∠ CAE＝∠ B；（2）设∠ DAB ＝x，∵∠ C＝∠ 3∠DAB ，∴∠ C＝3x，∵∠ CAE＝∠ B，∠ B＝50 °，∴∠ CAE＝50 °，∵ AD 平分∠ BAE，∴∠ EAB＝2∠DAB ＝2x，∴∠ CAB＝∠ CAE+∠EAB＝50°+2x，∵∠ CAB+∠ B+∠C＝180°，∴50°+2x+50°+3x＝180°，∴x＝16°，∴∠ C＝3×16°＝48°．29．【解答】证明：∵ AB＝AC，BD＝CD （已知），∴BC＝2+4＝6∴∠ CAD + ∠ACB＝90°，∠ BCE+∠B＝90°（直角三角形的两个锐角互余）∴∠ CAD ＝∠ BCE(等角的余角相等) ．30．【解答】解：∵ AB＝AC，AE 为BC 边的中线，∴AE⊥BC，∴∠ AEB＝90°，又∵∠ ADB ＝125°，∴∠ DBE ＝∠ ADB ﹣∠ AEB＝35°，∵ BD 平分∠ ABC，∴∠ ABC＝2∠DBE ＝70°，∵AB＝AC，∴∠ C＝∠ ABC＝70°，∴∠ BAC＝180°﹣∠ ABC﹣∠ C＝40°．31．【解答】解：∵ BD＝BC，∠ DBC ＝36∵AD＝BD，∴∠ A＝∠ ABD ，∵∠ BDC＝∠ A+∠ABD，∴∠ A＝∠BDC＝36°∴∠ ABC＝∠ C＝72°．32．【解答】解：∵ EF＝EH∴∠ EFH ＝∠H又∵∠ GEH＝∠ EFH +∠ H，∠ GEH＝30°∴∠ EFH ＝15°∵EH 平分∠ AEG，∠ GEH ＝30°∵AB∥CD，∴∠ CFG＝∠ AEG＝60°∴∠ CFH ＝∠ CFG﹣∠ EFH＝60°﹣15°＝45°．33．【解答】解：(1)∵ BE＝BA，∴∠ BAE＝∠ BEA，∴∠ B＝180°﹣2∠ BAE，①∵CD＝CA，∴∠ CAD ＝∠ CDA ，∴∠ C＝180°﹣2∠CAD，②① +② 得：∠ B+∠C＝360°﹣2(∠BAE+∠CAD)∴180°﹣∠ BAC＝360°﹣2[(∠ BAD+∠DAE)+(∠DAE+∠CAE)]，∴﹣∠ BAC＝180°﹣2[(∠ BAD+∠DAE+∠CAD)+∠DAE]，∴﹣∠ BAC＝180°﹣2(∠ BAC+∠ DAE )，∴2∠ DAE＝180°﹣∠ BAC．∵∠ BAC＝90 °，∴2∠DAE＝180°﹣90°＝90°，∴∠ DAE＝45°；(2)由(1)知，∠ DAE＝ ( 180°﹣∠ BAC)＝ ( 180°﹣120°)＝30°；(3)由( 1)知，β＝(180°﹣α)，∴α+2β＝180°．34．【解答】解：∵ AB＝AC，AD 平分∠ BAC，∴ AD⊥ BC，∠ ADC ＝90°，∵∠ BAC＝80 °，∴∠ DAE＝∠ BAC＝40°，∵AD＝AE，∴∠B＝∠ ACB（等边对等角），AD⊥BC（等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合）又∵ CE⊥ AB（已知），∴∠BDC＝∠C＝＝72∴∠ AEG＝2∠GEH ＝60°∴∠ ADE ＝70°，∴∠ EDC ＝90°﹣70°＝20°．35．【解答】解：∵∠ ABC＝65°，AB＝AC，∴∠B＝∠ C＝65°（等边对等角），∴∠ BAC＝180°﹣65°﹣65°＝50°（三角形内角和180°），又∵∠ BAD ＝20°，∴∠ DAE ＝∠ BAC﹣∠ BAD＝30°，又∵ AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED（等边对等角），∴∠ ADE ＝∠ AED ＝（180°﹣∠ DAE ）＝75°（三角形内角和180°），∵∠ AED ＝∠ EDC +∠C（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）∴∠ EDC ＝75°﹣65°＝10°．解得或当，等腰三角形的三边为时，等腰三角形的三边为所以，这个等腰三角形的底边长是综上所述，这个等腰三角形的底边长8，8，17，显然不符合三角形的三边关系；14，14，5，5，5．腰长是14．38．【解答】解：如图，AB＝AC，BD或，，根据题意得到为腰AC 上的中线，设AD＝DC ＝x，，，或当x＝10，y＝23 时，等腰三角形的三边为20，20，23；解得当x＝11，y＝19 时，等腰三角形的三边为22，22，19，答：这个等腰三角形的底边长是23 或19．BC＝y，36．【解答】解：∵ AB＝BC，∠ B＝40∴∠ BAC＝∠ C＝70°，∵AD 平分∠ BAC 交BC 于D，∴∠ BAD ＝∠BAC ＝35°°，∴∠ ADE＝∠ B+∠BAD＝75°．39．【解答】解：∵ DE ＝EB∵AE⊥BC，EF⊥AD，∴∠ AEF＝∠ ADE＝75 ∴设∠ BDE＝∠ ABD＝x，∴∠ DAE ＝90°﹣∠ AEF＝1537．【解答】解：如图所示，设AD＝DC＝x，BC＝y，由题意得∴∠ AED＝∠ BDE+∠ ABD ＝2x，∵AD＝DE，∴∠ AED ＝∠ A＝2x，∴∠ BDC＝∠ A+∠ABD＝3x，第 11 页（共 12页）∵BD ＝BC ，∴∠ C ＝∠ BDC ＝3x ， ∵AB ＝AC ，∴∠ ABC ＝∠ C ＝ 3x ， 在△ ABC 中， 3x+3x+2x ＝180解得 x ＝ 22.5°，∴∠ A ＝ 2x ＝22.5°× 2＝45°解得∠ C ＝ 75°．42．【解答】 解：∵ AB ＝ AC ，AD ⊥BC ，∴∠ CAD ＝∠ BAD ＝ 40°， ∠ ADC ＝90 °， 又∵ AD ＝ AE ， ∴∠ ADE ＝＝ 70°，∴∠ CDE ＝ 90°﹣ 70°＝ 20°．43．【解答】 解：（ 1）结论： PN ＝ 2BM ．理由：如图 1 中，作 PF ∥AC 交 BC 于 F ，交 BD 于 E ．40．【解答】 证明：∵ AB ＝ AC ∴∠ ABC ＝∠ ACB ， ∵ BD 平分∠ ABC ， ∴∠ DBC ＝ ∠ABC ， ∵CD ＝CE ， ∴∠ E ＝∠ CDE ， ∵∠ ACB ＝∠ E+∠CDE ，∴∠ E ＝ ∠ ACB ， ∴∠ E ＝∠ DBE ， ∴BD ＝DE ． 41．【解答】 解：∵△ BDE 是正三角形， ∴∠ DBE ＝ 60°； ∵在△ ABC 中，∠ C ＝∠ ABC ，BE ⊥AC ，∴∠C ＝∠ABC ＝∠ABE+∠EBC ，则∠ EBC ＝∠ABC ﹣60°＝∠ C ﹣60°，∠ BEC ＝ 90°； ∴∠ EBC+∠C ＝ 90°，即∠ C ﹣60°+∠C ＝90°，∵BD ⊥ AC ，PF ∥AC ， ∴PF ⊥BD ，∠BPE ＝∠ A ＝45 ∴∠ BEP ＝ 90°，∴∠ BPE ＝∠ PBE ＝45°， ∴BE ＝PE ， ∵PM ⊥BC ，∴∠ PMB ＝∠ PEN ＝90°，∵∠ BNM ＝∠ PNE ， ∴∠ NPE ＝∠ EBF ， ∵∠ PEN ＝∠ BEF ＝ 90°， ∴△ PEN ≌△ BEF （ ASA ）， ∴PN ＝ BF ，∵AB＝AC，∴∠ ABC＝∠ C，∵∠ PFB＝∠C，∴PB＝PF，∵PM⊥BF，∴BM＝MF，∴PN＝2BM．（2）结论不变．理由：如图2中，作PF∥AC交CB的延长线于E，交DB 的延长线于F．∵∠ ABD ＝∠ PBF＝∠ BPF＝45°，∴BF＝PF，∵∠ EBF＝∠ EPM，∠EFB＝∠EMP，BF＝PF，∴△ BFE≌△ PFN（ASA），∴PN＝BE，∵∠ E＝∠ C＝∠ABC＝∠ PBE，∴PE＝PB，∵PM⊥EB，∴EM＝BM，∴PN＝2BM．第12 页（共12页）。

中考数学等腰三角形专题

中考数学等腰三角形专题

1、已知等腰三角形的一个内角为50°，则另外两个角的度数分别为：A. 65°，65°B. 50°，80°C. 65°，65°或50°，80°D. 50°，50°（答案：C）2、在△ABC中，AB=AC，∠B=70°，则∠A的度数为：A. 35°B. 40°C. 55°D. 70°（答案：B）3、若等腰三角形的两边长分别为3和7，则周长为：A. 13B. 17C. 13或17D. 无法确定（答案：B）4、下列哪组线段能构成等腰三角形？A. 2cm，2cm，5cmB. 2cm，3cm，4cmC. 3cm，3cm，6cmD. 4cm，4cm，8cm（答案：B）5、已知等腰三角形底边上的高是底边的一半，则底角的大小为：A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°（答案：B）6、在等腰三角形ABC中，若∠A=40°，则∠B的度数为：A. 40°B. 70°C. 100°D. 40°或70°（答案：D）7、一个等腰三角形的顶角与一个底角的度数比为1:4，则这个等腰三角形的顶角度数为：A. 20°B. 36°C. 180°/7D. 36°或108°（答案：A）8、若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为：A. 15°B. 30°C. 60°D. 15°或75°（答案：D）9、在△ABC中，若AB=BC，且∠B=50°，则∠A的大小为：A. 65°B. 80°C. 50°D. 不能确定（答案：B）10、已知等腰三角形的一个外角为80°，则等腰三角形的底角为：A. 40°B. 50°C. 65°D. 40°或50°（答案：A）。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

等腰三角形专题复习
一、等腰三角形中的分类讨论
1、等腰三角形的周长为50, —条边长是12,则另两边分别是____________________
4
、如图，在RT^ABC中，/ ACBW ,AB=2BC 在直线BC或AC上取一点P
使得△ PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有____________ 个。

5、已知0为等边△ ABD边BD的中点，AB=4, E、F分别为射线AB DA上一动点，且/ EOF=^ ,若AF=1,求BE的长 _________________ 。

二、构造等腰三角形解题一一截长补短法
6、如图，在△ ABC中，AD为角平分线，且AC=AB+BD求证丁代 2 ＜：.
7、如图，已知W.W 1 2V,AC平分/ MA N MEC-A N C
&如图，△ ABC为等腰三角形，EC=ED, P为BD的中点，求证：AE=2PE.
三、构造等腰三角形解题一一引平行线
9、如图，已知△ ABC是等边三角形，延长BC到D,延长BA到E,使AE=BD求证：EC=ED.
10、已知△ ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC延长BE交AC于F,求证：AF=EF.
B
11、△ ABC为等边三角形，D为BC上任意一点，/ ADE=60,边ED与/ ACB外角的平分线交于点E.
(1) 求证：AD=DE.
(2) 若点D在CB的延长线上，(1)的结论是否依然成立？请画出图形，若成立，请给出证明, 若不成立，请说明理由。

12、如图，BD平分/ ABC交AC于点D, E为CD上一点，且AD=DE,EF// BC交BD于F,求证:
AB=EF.
四、等腰三角形中的“三线合一”
(一)利用等腰三角形的“三线合一”证题
AE=AC,EF// BC交AC于点F,求证:EC 平分/ DEF.
13、如图，AD是厶ABC的角平分线，且
14、如图所示，/ BACN ABD AC=BD
点0
是AD BC 的交点，点 E 是AB 的中点，试判断 OE 和AB 的位置关系并给出证明。

16、如图，点 D 、E 分别在 BA 、AC 的延长线上，且 AB=AC, AD=AE 求证：DE 丄BC.
17、已知△ ABC 中，/ A=900, AB=AC,D 为BC 的中点，如图，E , F 分别是AB,AC 上的点，且 BE=AF 试判断△ DEF 的形状，并说明理由。

EB 丄 AB.
（二）、利用“三线合一”添加辅助线
EA=EC 求证:
五、利用马"角构造直角三角形
18、如图，△ ABC 中，AB=AC,/ BAC=120, D 为 BC 的中点，DE L AC 于 E , AE=2,求 CE 的长。

19、如图，四边形 ABCD 中，AD=4, BC=1,Z A=30°, / B=90°, / ADC=120,求 CD 的长。

20、如图，在厶 ABC 中，/ A=90°, DABC 内一点，且 AB=AC=BD /ABD=30,求证：
AD=CD.
六、共顶点的等腰三角形
方法技巧：共顶点的等腰(边)三角形中隐含全等三角形(即旋转变换得到的全等三角形)
21. 如图，点C为线段AB上一点，△CBN都是等边三角形，直线AN MC交于点E,
直线BM CN交于点F.
(1)求证：AN= BM ;
(2)求证：ACEF为等边三角形；
(3)将AACM绕点C按逆时针方向旋转90°其他条件不变，在图中补出符合要求的图形，并判断第
(1 )、(2)两小题的结论是否仍然成立(不要求证明)。

相关文档
最新文档