函数的奇偶性试讲教案

1.3.2 函数的奇偶性教材分析：函数的奇偶性选自人教版高中新课程教材必修1第一章第三节《函数的基本性质》的内容，本节安排为二课时，《函数的奇偶性》为本节中的第二课时。

从在教材中的地位与作用来看，函数是高中数学学习中的重点和难点，函数的思想贯穿整个高中数学。

而函数的奇偶性是函数的重要性质之一，它与现实生活中的对称性密切联系，为接下来学习指数函数、对数函数和幂函数的性质奠定了坚实的基础。

因此，本节课的内容是十分重要的。

学情分析：授课对象为xxxx中学高一（x）班的学生，从学生现有的学习能力来看，学生已具有一定的分析问题和解决问题的能力，能根据以前学习过的二次函数和反比例函数这两个特殊函数的图象观察出图象对称的思想，使本节通过观察图象学习函数奇偶性的定义成为可能。

教学目标：1、知识与技能目标：通过本节课，学生能理解函数奇偶性的概念及其几何意义，掌握判别函数奇偶性的方法。

2、过程与方法目标：通过实例观察、具体函数分析、图形结合、定性与定量的转换，让学生经历函数奇偶性概念建立的全过程，体验数学概念学习的方法，积累数学学习的经验。

3、情感态度与价值观目标：在经历概念形成的过程中，培养学生归纳、概括的能力，使学生养成善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。

教学重难点：重点：函数奇偶性概念的形成和函数奇偶性的判断。

难点：理解函数奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法。

教法分析：为了实现本节课的教学目标，在教法上，我通过大自然中对称的例子和学生已掌握的对称函数的图象来创设问题情境，启发学生自主思考，归纳共同点，从而调动学生主体参与的积极性。

在形成概念的过程中，紧扣概念中的关键语句，通过学生的主体参与，正确地形成概念，在给出偶函数的定义之后，让学生类比得出奇函数的定义。

教学过程：一、知识回顾平面直角坐标系中的任意一点Ｐ（a,b)关于Ｘ轴、Ｙ轴及原点对称的点的坐标各是什么？（1）点Ｐ（a, b)关于x轴的对称点的坐标为Ｐ（a,-b) .其坐标特征为：横坐标不变，纵坐标变为相反数；（2）点Ｐ（a, b)关于y轴的对称点的坐标为Ｐ（- a, b) ,其坐标特征为：纵坐标不变，横坐标变为相反数；（3）点Ｐ（a, b) 关于原点对称点的坐标为Ｐ（-a,-b) ,其坐标特征为：横坐标变为相反数，纵坐标也变为相反数．二、新课教学（一）偶函数1. 老师和学生一起画出函数 和 ，思考并讨论以下问题：（1）这两个函数图像有什么共同特征？（2）相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？xx f 2)(=xx f =)(-4 -3 -2 -10 2-1 -2 12 3 43 -3 1 -454 yx-4-3-2-10 2-1 -2 12 3 43-3 1 -45 4xyxx f 2)(=x可以看到两个函数的图像都关于y 轴对称．从函数值对应表可以看到，当自变量x 取一对相反数时，相应的两个函数值相同． 对于函数xx f 2)(=，有),1(1)1(),2(4)2(),3(9)3(f f f f f f ==-==-==-事实上，对于R 内任意的一个x ，都有)()(22)(x f x f xx ===--．此时，称函数xx f 2)(=为偶函数．学生通过观察表格，易发现这两个函数的自变量互为相反数时，函数值相等，从而引出偶函数的定义：如果对于)(x f 定义域中任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么)(x f 就叫做偶函数。

重点标注定义中的关键词：任意一个、都有。

（二）奇函数用同样的方法，让学生画出并观察函数x x f =)(和xx f 1)(=的图象，让学生类比学习偶函数的过程，得出结论，再让学生仿照偶函数的定义给出奇函数的定义。

奇函数：如果对于)(x f 定义域内的任意一个x ,都有)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就xx f =)(x-------------精选文档-----------------叫奇函数.奇函数的讲解过程：1、作出函数x x f =)(和xx f 1)(=的图像如下图。

-3-2-10 2-1 -2 1 2 3 3-31xx f =)(yxxxx f =)(-3 -2-1 0 2-1 -2 12 3 3-31xx f 1)(=xy通过类比偶函数的学习过程，我们可以得到，当自变量ｘ取一对相反数时，相应的函数值f （x ）也是一对相反数，即对任一x ∈R 都有f （－x ）＝－f （x ）．此时，称函数y ＝f （x ）为奇函数．即奇函数：如果对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-，那么函数)(x f 就叫作奇函数．思考：由于对于任意一个x ，都有一个-x 与之对应，因此奇偶函数的定义域有什么特征呢？通过这个思考，引导学生发现对于定义域内的任一个x ，x -也在这个定义域中，从而引导学生得出奇偶函数的定义域关于数原点对称。

（三）对奇函数、偶函数定义的说明xxx f 1)(=1.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。

2.奇、偶函数定义的逆命题也成立，即： 若)(x f 为偶函数, 则)()(x f x f =-成立。

若)(x f 为奇函数, 则)()(x f x f -=-成立。

3.如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x) 具有奇偶性。

\（四）判断函数的奇偶性1.通过例题讲解判断函数奇偶性的方法：先求定义域，后化简，再判断 例1：（1）xx f 4)(=； （2）xx x f 1)(+=; （3）0)(=x f ; （4）].2,1[,75)(-∈+=x x x f （1）xx f 4)(=解：为偶函数）所以函数所以）（所以）（因为的定义域为由题意有函数x xx xx x f x f x f x f x f R x f 44444()()(-)()(==-====-(2)xx x f 1)(+= 解：为奇函数所以函数所以）（所以因为），（），的定义域为（函数xx x f x f x f xx x x x x x f xx x f x x x f 1)()()()1(11-1)(00-1)(+=-=-+-=--=-+-=+=∞+∞+=Y 让学生按照前来那个例题的求解过程完成（3）和（4）。

例2. 已知：定义在R 上的函数)(x f 是奇函数，当0>x 时，)1()(x x x f +=，求)(x f 的表达式． 解：=-=-=---=->-<==--=-=)()1()()()()()1()(,00)2(;0)0()0()0()0()0(0)1(x f x x x f x f x f x f x x x f x x f f f f f x 综上所述：所以所以为奇函数又知函数则时，有当则且时，当由题意得例3. 已知：函数)(x f 是偶函数，且在)0,(-∞上是减函数，判断)(x f 在),0(+∞上是增函数，还是减函数，并证明你的结论．解：先结合图像特征：偶函数的图像关于y 轴对称，猜想)(x f 在),0(+∞上是增函数，证明如下：任取021>>xx ，则021<-<-x x∵)(x f 在)0,(-∞上是减函数，∴)()(21x x f f ->-又)(x f 是偶函数，∴)()(),()(2211x x x x f f f f =-=-所以)()(21x x f f >∴)(x f 在),0(+∞上是增函数．思考：奇函数或偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性有何关系？ 小结：根据函数的奇偶性，函数可以分为奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既奇又偶函数。

（五）奇偶函数图象的性质1.偶函数图象关于y 轴对称，反过来，若图像关于y 轴对称，那么这个函数为偶函数。

2.奇函数图象关于原点对称，反过来，如图像关于原点对称，那么这个函数为奇函数。

（六）应用：1）简化函数图象的画法 2）根据图象判断奇偶性请学生完成课本p36根据函数奇偶性补全函数的图象。

三、课堂小结1、奇函数和偶函数的概念如果对于函数f （x ）的定义域内任意一个x ，都有f （－x ）＝－f （x ），那么函数f （x ）就叫作奇函数．如果对于函数f （x ）的定义域内任意一个x ，都有f （－x ）＝f （x ），那么函数f （x ）就叫作偶函数．2、判断函数奇偶性的一般步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ②确定)(x f -与)(x f 的关系； ③作出相应结论：若)()(x f x f =-或0)()(=--x f x f ，则)(x f 是偶函数; 若)()(x f x f -=-或0)()(=+-x f x f ，则)(x f 是偶函数;3.函数的四种情况：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，非奇非偶函数; 四、作业布置完成数学课本上函数奇偶性的练习。

试讲人：赵全能 2012年12月xx 日。