误差理论与平差基础协方差传播率及权
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误差理论与测量平差基础
《误差理论与测量平差基础》授课教案2006～2007第一学期测绘工程系2006年9月课程名称:误差理论与测量平差基础英文名称:课程编号：??适用专业：测绘工程总学时数: 56学时其中理论课教学56学时，实验教学学时总学分：4学分◆内容简介《测量平差》是测绘工程等专业的技术基础课，测量平差的任务是利用含有观测误差的观测值求得观测量及其函数的平差值，并评定其精度。
本课程的主要内容包括误差理论﹑误差分布与精度指标﹑协方差传播律及权﹑平差数学模型与最小二乘原理﹑条件平差﹑附有参数的条件平差﹑间接平差﹑附有限制条件的间接平差﹑线性方程组解算方法﹑误差椭圆﹑平差系统的统计假设检验和近代平差概论等。
◆教学目的、课程性质任务，与其他课程的关系，所需先修课程本课程的教学目的是使学生掌握误差理论和测量平差的基本知识、基本方法和基本技能，为后续专业课程的学习和毕业后从事测绘生产打下专业基础。
课程性质为必修课、考试课。
本课程的内容将在测绘工程和地理信息系统专业的专业课程的测量数据处理内容讲授中得到应用，所需先修课程为《高等数学》、《概率与数理统计》、《线性代数》和《测量学》等。
◆主要内容重点及深度考虑到专业基础理论课教学应掌握“必须和够用”的原则，结合测绘专业建设的指导思想，教学内容以最小二乘理论为基础，误差理论及其应用、平差基本方法与计算方法，以及平差程序设计及其应用为主线。
测量误差理论，以分析解决工程测量中精度分析和工程设计的技术问题为着眼点，在掌握适当深度的前提下，有针对性的加强基本理论，并与实践结合，突出知识的应用。
平差方法，以条件平差和参数平差的介绍为主，以适应电算平差的参数平差为重点。
计算方法，以介绍适应电子计算机计算的理论、方法为主，建立新的手工计算与计算机求解线性方程组过程相对照的计算方法和计算格式。
平差程序设计及其应用，通过课程设计要求学生利用所学程序设计的知识和平差数学模型编制简单的平差程序，熟练掌握已有平差程序的使用方法。
误差理论与测量平差基础第三章 协方差传播律及权
X
0 1
,
X
0 2
,
,
X
0 n
也可写为：
dZ
f X1
dX1 0
f X
2
dX2 0
f X
n
0 dX n
KdX
因此只要对非线性函数求全微分，获得系数矩阵即 可应用协方差传播率
12
第三章 协方差传播率及权
6、多个观测向量非线性函数的方差—协方差矩阵
基本思想：a、利用泰勒级数展开，略去二次以上项，
为第l2ilj i组E观(li测 值E(l的i ))方(l j 差 E；(l j ))
为第i组观测值关于第j组观测值的协方差，协方差用 来描述第i个观测值与第j个观测值之间的相关程度。
3
第三章 协方差传播率及权
§3-2 协方差传播率
1、协方差传播律的作用 （图3－1示例）
计算观测向量函数的方差—协方差矩阵，从而评 定观测向量函数的精度。
20
第三章 协方差传播率及权
对上式求全微分，得
dZ1
f1 X 1
dX 1
f1 X 2
dX 2
f1 X n
dX n
dZ 2
f 2 X 1
dX 1
f 2 X 2
dX 2
f 2 X n
dX n
dZt
f t X 1
dX 1
f t X 2
dX 2
f t X n
dX n
21
第三章 协方差传播率及权
2、预备公式
E(C) C , E(CX ) CE(X ), E(X Y ) E(X ) E(Y )
E(X1 X 2 X n ) E(X1) E(X 2) E(X n )
《误差理论与测量平差》第二章 误差与协方差传播
方差
4. 水准测量的精度分析
. 支导线点位的精度
6. 水平角观测精度分析
§2-3 协方差传播律的应用
1. 独立观测值的线性函数的方差
现有独立观测向量
L
L1 L 2
n1
T
Ln
1
2
2
，其方差阵
2
D LL
nn
n
设X为的一个线性函数 X
k 1 L1
L2
k2
k
1
由协方差传播律可得：
kn
2
k
K DLL K T
DXX
1n
11
nn
k1
n1
k
2
L
2
2
n
2
k1
1
k2
2
2
kn
T
Ln
n
k2
kn
2
1
K L
0
系数平方与观测
值方差乘积和。
kn
2
k
k12
k0
k
1
k2
k
n
1
2
L2
1
k0
1n n1
1
2
X
k n L n
k2
2
+ k 22
2
2
2
n
2
+k
n
k i2
n
i
1
2
i
2. 独立同精度观测值的平均值的方差
现有独立同精度观测向量
2
2
评论：平均值的
方差为观测值方
差1/n，精度明
显高于观测值。
3. 独立同精度分段量距的累计距离的方差
1 d 2
4. 水准测量的精度分析
. 支导线点位的精度
6. 水平角观测精度分析
§2-3 协方差传播律的应用
1. 独立观测值的线性函数的方差
现有独立观测向量
L
L1 L 2
n1
T
Ln
1
2
2
，其方差阵
2
D LL
nn
n
设X为的一个线性函数 X
k 1 L1
L2
k2
k
1
由协方差传播律可得：
kn
2
k
K DLL K T
DXX
1n
11
nn
k1
n1
k
2
L
2
2
n
2
k1
1
k2
2
2
kn
T
Ln
n
k2
kn
2
1
K L
0
系数平方与观测
值方差乘积和。
kn
2
k
k12
k0
k
1
k2
k
n
1
2
L2
1
k0
1n n1
1
2
X
k n L n
k2
2
+ k 22
2
2
2
n
2
+k
n
k i2
n
i
1
2
i
2. 独立同精度观测值的平均值的方差
现有独立同精度观测向量
2
2
评论：平均值的
方差为观测值方
差1/n，精度明
显高于观测值。
3. 独立同精度分段量距的累计距离的方差
1 d 2
测绘工程系误差理论与测量平差权与定权的常用方法
若令Ckm观测高差中误差为单位权中误差，则 0 C km 根据权的定义式可知，水准测量中高差的权为 0 2 C 当Si=1时，Pi=C; Pi=1时，Si=C P
1
h Si km
i
上式表明：当每公里观测精度相同时，水准路线观测高差的权与其测站数成 反比；C是1公里的观测高差的权；C是单位权观测高差的公里数；
ˆ 10 A1 A2 302534.7 A 11
2 A ˆ
100 2 1 A1 A2 2 3.42 121 121
A ˆ 1.85
对比三种数据处理方法可知，第二种求得的最或是值最理 想，精度最高。由此说明，如果观测值的观测精度不同， 在做数据处理时，不能将观测值等同看待，而是精度高的 所占比例较大，精度低的所占比例较小，并且二者的比例 也必须适当。
(2)按照A1: A2=4:1的比例进行数据处理,则有：
4 A1 A2 ˆ A 302535.6 5
16 2 1 A1 A2 2 3.22 25 25 A ˆ 1.79
2 A ˆ
误差理论与测量平差
测绘工程系
权与定权的常用方法
一、权的概念
(3)按照A1:A2=10:1的比例进行数据处理,则有：
h 2
i
Si
误差理论与测量平差
测绘工程系
权与定权的常用方法
二、测量中定权的常用方法
【例7-1】 设某条水准网由三条水准路线，各条水准路线的高差分别 为h1、h2、h3，已知各条水准路线的测站数分别为n1=15 n2=30、n3=60站，试求 (1)若C=60站，求三条水准路线的权及比例； (2)若C=30站，求三条水准路线的权及比例。 解：(1)根据公式Pi=C/ni且C=60得 P1=60/15=4 P2=60/30=2 P3=60/60=1 P1: P2: P3= 4: 2: 1
误差理论与平差基础-第3章 协方差传播率及权
2 0 0 2 DLL 0 0 2 0 0
2 0 0 2 / 3 1 / 3 1 / 3 2 / 3 1 / 3 1 / 3 1 / 3 2 / 3 1 / 3 0 2 0 1 / 3 2 / 3 1 / 3 DL ˆL ˆ 2 1 / 3 1 / 3 2 / 3 0 0 1 / 3 1 / 3 2 / 3
106.1 7.8 121 2.6 6.8 244.3
二、协方差传播律
2、线性函数的方差——协方差
[例7] 求等精度观测的三角形三个内角按照闭合差分配后角 度的协方差阵。 三角形闭合差: w 180 L1 L2 L3
1 2 1 1 ˆ L1 L1 W L1 L2 L3 60 3 3 3 3 1 1 2 1 ˆ L2 L2 W L1 L2 L3 60 3 3 3 3 ˆ L 1 W 1 L 1 L 2 L 60 L 3 3 1 2 3 3 3 3 3
a1( X A X s ) b1 (YA YS ) c1 ( Z A Z S ) a3 ( X A X S ) b3 (YA YS ) c3 ( Z A Z S )
a 2 ( X A X s ) b2 (YA YS ) c2 ( Z A Z S ) a3 ( X A X S ) b3 (YA YS ) c3 ( Z A Z S )
XY
XY XY
表示X、Y 间互不相关，对于 正态分布而言，相互独立。
YX XY 0
YX XY 0
表示X、Y 间相关。
二、协方差传播律
第三章协方差传播律及权
= E K ( X − µ X )( X − µ X ) T K T
[
[
]
= KE ( X − µ X )( X − µ X ) T K T
[
]
]
]
协方差传播律
DZZ = σ = KDXX K
2 Z
T
DZZ
的纯量形式：
+ L + 2k1 k nσ 1n + L + 2k n −1 k nσ n −1, n
s = ab
先取对数然后再全微分能简化计算。 先取对数然后再全微分能简化计算。 对函数式取自然对数： 对函数式取自然对数：
σ S = 500σ d = 500 × (±0.2) = ±100mm = ±0.1m
最后写成: 最后写成
S = 11.7 ± 0.1 m
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二、多个观测值线性函数的协方差阵 推导过程： 推导过程：Z = K X + K 函数：
t ,1 t , n n ,1 0 t ,1
E ( Z ) = E ( KX + K 0 ) = Kµ x + K 0
X 0 = X 10
n ,1
[
0 X2
L
X
0 T n
]
0 0 Z = f ( X 10 , X 2 , L , X n ) + (
∂f 0 +( )0 ( X 2 − X 2 ) + L ∂X 2 ∂f 0 +( ) 0 ( X n − X n ) + (二次以上项） ∂X n
∂f ) 0 ( X 1 − X 10 ) dX = ( dX 1 dX 2 L dX n ) T ∂X 1 0 0 dZ = Z − Z 0 = Z − f (X 10 , X 2 , L , X n )
[
[
]
= KE ( X − µ X )( X − µ X ) T K T
[
]
]
]
协方差传播律
DZZ = σ = KDXX K
2 Z
T
DZZ
的纯量形式：
+ L + 2k1 k nσ 1n + L + 2k n −1 k nσ n −1, n
s = ab
先取对数然后再全微分能简化计算。 先取对数然后再全微分能简化计算。 对函数式取自然对数： 对函数式取自然对数：
σ S = 500σ d = 500 × (±0.2) = ±100mm = ±0.1m
最后写成: 最后写成
S = 11.7 ± 0.1 m
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二、多个观测值线性函数的协方差阵 推导过程： 推导过程：Z = K X + K 函数：
t ,1 t , n n ,1 0 t ,1
E ( Z ) = E ( KX + K 0 ) = Kµ x + K 0
X 0 = X 10
n ,1
[
0 X2
L
X
0 T n
]
0 0 Z = f ( X 10 , X 2 , L , X n ) + (
∂f 0 +( )0 ( X 2 − X 2 ) + L ∂X 2 ∂f 0 +( ) 0 ( X n − X n ) + (二次以上项） ∂X n
∂f ) 0 ( X 1 − X 10 ) dX = ( dX 1 dX 2 L dX n ) T ∂X 1 0 0 dZ = Z − Z 0 = Z − f (X 10 , X 2 , L , X n )
误差理论与测量平差基础1
第一讲 协方差传播律及权
侧方交会中，A、B两点的坐标以及两点之间的距离已知， 坐标 方位角为 0 ，由交会的观测角 L , L ，求交会点的坐标。
1 2
S AC S 0
S in L1 S in L 2
0
A C 0 (1 8 0 L1 L 2 )
x C x A S A C c o s A C y C y A S A C sin A C
由协方差传播律可知：
F D F F (3, 0, 2 ) D L L (3, 0, 2 )
2 T
3 22, 0, 10 0 2
86
side4
在测站A上， BAC 例2：
的中误差 的中误差。 解：
1
2
1 . 4
t ,1 t ,n n ,1 t ,r r ,1
DYY
DXY
求 DZZ
DZX
DZY
X F2 ) Y X O) Y
解：
Z ( F1
X (E
例5：已知函数， L, DLL , X AL, Y BX
求 DXX
DYY
DXY DXL DYL
side8
3、非线性函数的情况 设有观测值X的非线性函数：
则 p1 2, p2 1, p3
side21
说明：
1)权的大小随 0 而变化，但权比不会发生变化。
2
2)
选定了 0 ，即对应一组权。
2
3）权是衡量精度的相对指标，为了使权起到比较精 度的作用，一个问题只选一个0。 4）只要事先给定一定的条件，就可以定权。 5）权可能有量纲，也可能无量纲，视0和ｉ的单位而定。
侧方交会中，A、B两点的坐标以及两点之间的距离已知， 坐标 方位角为 0 ，由交会的观测角 L , L ，求交会点的坐标。
1 2
S AC S 0
S in L1 S in L 2
0
A C 0 (1 8 0 L1 L 2 )
x C x A S A C c o s A C y C y A S A C sin A C
由协方差传播律可知：
F D F F (3, 0, 2 ) D L L (3, 0, 2 )
2 T
3 22, 0, 10 0 2
86
side4
在测站A上， BAC 例2：
的中误差 的中误差。 解：
1
2
1 . 4
t ,1 t ,n n ,1 t ,r r ,1
DYY
DXY
求 DZZ
DZX
DZY
X F2 ) Y X O) Y
解：
Z ( F1
X (E
例5：已知函数， L, DLL , X AL, Y BX
求 DXX
DYY
DXY DXL DYL
side8
3、非线性函数的情况 设有观测值X的非线性函数：
则 p1 2, p2 1, p3
side21
说明：
1)权的大小随 0 而变化，但权比不会发生变化。
2
2)
选定了 0 ，即对应一组权。
2
3）权是衡量精度的相对指标，为了使权起到比较精 度的作用，一个问题只选一个0。 4）只要事先给定一定的条件，就可以定权。 5）权可能有量纲，也可能无量纲，视0和ｉ的单位而定。
测量平差 第三章 误差传播律与权
1 2 n
1
σX X 2 σX
1 2
2
σX X ⎤ ⎥ σX X ⎥
1 n 2 n
1
σX
nX2
2 σX
n
⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎡ μY1 ⎤ ⎡ E (Y1 ) ⎤ ⎡Y1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢Y ⎥ ⎢ μY2 ⎥ = ⎢ E (Y2 )⎥ Y = ⎢ 2 ⎥ μY = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ μYr ⎥ ⎣ E (Yr ) ⎦ ⎣ ⎦ ⎣Yr ⎦
误差理论与测量平差基础
北京建筑工程学院 测绘工程系
把观测值函数表示为矩阵形式
⎡L ⎤ 1 2 1 1⎤ ⎢ ⎥ ˆ ⎡ L = ⎢ − − ⎥ ⎢L2 ⎥ +60 1 ⎣3 3 3⎦ ⎢L3 ⎥ ⎣ ⎦
⎡2 ˆ ⎡L ⎤ ⎢ 3 1 ⎢ ⎥ ⎢ 1 ˆ ˆ L = ⎢L2 ⎥ = ⎢− ⎢ˆ ⎥ ⎢ 3 ⎢L3 ⎥ ⎢ 1 ⎣ ⎦ ⎢ − ⎢ 3 ⎣
β ，其中误差 β 2
B
A
β1 β2 x
α
C
误差理论与测量平差基础
北京建筑工程学院 测绘工程系
1. 把已知条件写成矩阵、向量形式
⎡ β1 ⎤ β =⎢ ⎥ ⎣ β2 ⎦
⎡ σ 12 σ 12 ⎤ ⎡1.96 −1 ⎤ =⎢ = 2⎥ σ 21 σ 2 ⎦ ⎢ −1 1.96 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣
观测量
方差
DXX
⎡1 = σ = KDLL K = ⎢ ⎣7
2 X T
2 7
σ X = 0.84 = 0.9mm
误差理论与测量平差基础
北京建筑工程学院 测绘工程系
协方差计算步骤：
D X X
希望同学们把它记下来
1
σX X 2 σX
1 2
2
σX X ⎤ ⎥ σX X ⎥
1 n 2 n
1
σX
nX2
2 σX
n
⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎡ μY1 ⎤ ⎡ E (Y1 ) ⎤ ⎡Y1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢Y ⎥ ⎢ μY2 ⎥ = ⎢ E (Y2 )⎥ Y = ⎢ 2 ⎥ μY = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ μYr ⎥ ⎣ E (Yr ) ⎦ ⎣ ⎦ ⎣Yr ⎦
误差理论与测量平差基础
北京建筑工程学院 测绘工程系
把观测值函数表示为矩阵形式
⎡L ⎤ 1 2 1 1⎤ ⎢ ⎥ ˆ ⎡ L = ⎢ − − ⎥ ⎢L2 ⎥ +60 1 ⎣3 3 3⎦ ⎢L3 ⎥ ⎣ ⎦
⎡2 ˆ ⎡L ⎤ ⎢ 3 1 ⎢ ⎥ ⎢ 1 ˆ ˆ L = ⎢L2 ⎥ = ⎢− ⎢ˆ ⎥ ⎢ 3 ⎢L3 ⎥ ⎢ 1 ⎣ ⎦ ⎢ − ⎢ 3 ⎣
β ，其中误差 β 2
B
A
β1 β2 x
α
C
误差理论与测量平差基础
北京建筑工程学院 测绘工程系
1. 把已知条件写成矩阵、向量形式
⎡ β1 ⎤ β =⎢ ⎥ ⎣ β2 ⎦
⎡ σ 12 σ 12 ⎤ ⎡1.96 −1 ⎤ =⎢ = 2⎥ σ 21 σ 2 ⎦ ⎢ −1 1.96 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣
观测量
方差
DXX
⎡1 = σ = KDLL K = ⎢ ⎣7
2 X T
2 7
σ X = 0.84 = 0.9mm
误差理论与测量平差基础
北京建筑工程学院 测绘工程系
协方差计算步骤：
D X X
希望同学们把它记下来
《误差理论与测量平差基础》第三章
1n 2n 2 n
§3.1 协方差传播律
设有t个 X 的线性函数： n ,1 Z1 k11 X 1 k12 X 2 k1n X n k10 Z 2 k 21 X 1 k 22 X 2 k 2 n X n k 20 Z t k t1 X 1 k t 2 X 2 k tn X n k t 0
E ( Z ) E ( KX k0 ) KE( X ) k0 K X k0
Z的方差为： DZZ E Z E ( Z )Z E ( Z )
E ( KX k 0 K X k 0 )( KX k 0 K X k 0 )
E K ( X X )( X X )T K T
Z K X K0
t ,1 t , n n ,1 t ,1
E ( Z ) E ( KX K 0 ) K x K 0
D ZZ E[( Z E ( Z ))( Z E ( Z )) T ]
t ,t
E[( KX K x )( KX K x ) T ]
KE[( X x )( X x ) T ]K T
T
§3.1 协方差传播律
例3-4 在一个三角形中，同精度独立观测得到
三个内角L1、L2、L3，其中误差均为，将
闭合差平均分配后各角的协方差阵。 例3-5 设有函数： 已知:
Z F1 X F1 Y
t ,1 t , n n ,1
t , r r ,1
DXX、DYY 和DXY DZZ、DZX 和DZY
DYZ E[(Y E (Y ))( Z E (Z )) ]
T r ,t
第3章 协方差传播律及权
协方差传播律及权
误差理论与测量平差
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
介绍协方差传播律公式及 其应用，权的定义，定权的常用 方法 ，协因数(阵)、权阵的计算 ，协因数传播律公式的应用 ， 利用真误差计算中误差的方法， 需重点掌握。
1 /63
主页
协方差传播律及权
误差理论与测量平差
本章主要内容
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2) X、Y表达为同一向量的函数
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
X IX 0Y I
Y 0 X IY 0
X 0 Y
X I Y
由协方差传播律得：
DZX A1 DZY A1 DX A2 DYX DX A2 DYX D XY I A1 D X A2 DYX DY 0 D XY 0 A1 D XY A2 DY DY I
10
解: 1) 将函数式改写为:
Z A 1X A 2Y A 0 A 1 X A2 A0 KU A0 Y
式中
K A 1
X A2 , U Y
由方差阵的定义，即可写出U的方差阵为: 由协方差传播律得：
DX DU DYX DXY DY
10
例 1 设有函数Y=4x1-3x2-60, 已知X(= x1 的方差阵为： 7 2 2
x2
T
)
D
X
2 3
cm
试求Y的方差 。
2 Y
解: 将函数写成矩阵形式，即
Y 4x1 3x2 60 4 3x1 x2 60
T
误差理论与测量平差
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
介绍协方差传播律公式及 其应用，权的定义，定权的常用 方法 ，协因数(阵)、权阵的计算 ，协因数传播律公式的应用 ， 利用真误差计算中误差的方法， 需重点掌握。
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协方差传播律及权
误差理论与测量平差
本章主要内容
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2) X、Y表达为同一向量的函数
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
X IX 0Y I
Y 0 X IY 0
X 0 Y
X I Y
由协方差传播律得：
DZX A1 DZY A1 DX A2 DYX DX A2 DYX D XY I A1 D X A2 DYX DY 0 D XY 0 A1 D XY A2 DY DY I
10
解: 1) 将函数式改写为:
Z A 1X A 2Y A 0 A 1 X A2 A0 KU A0 Y
式中
K A 1
X A2 , U Y
由方差阵的定义，即可写出U的方差阵为: 由协方差传播律得：
DX DU DYX DXY DY
10
例 1 设有函数Y=4x1-3x2-60, 已知X(= x1 的方差阵为： 7 2 2
x2
T
)
D
X
2 3
cm
试求Y的方差 。
2 Y
解: 将函数写成矩阵形式，即
Y 4x1 3x2 60 4 3x1 x2 60
T
误差理论与测量平差基础第三章协方差传播律及权
参数估计
参数估计可采用最小二乘法或加权最小二乘法。在选择方 法时，需根据实际问题的特点和需求进行权衡。
算法性能评估指标选取
精度指标
精度指标是衡量算法性能的重要指标之一。常用的精度指标包括均方误差、均方根误差、 中误差等，可用于评估算法的估计精度和稳定性。
可靠性指标
可靠性指标用于评估算法在复杂环境和噪声干扰下的性能表现。常用的可靠性指标包括失 败率、误警率、漏警率等。
误差传递规律探讨
误差传递概念
在测量过程中，由于各种因素的影响，观测值会存在一定 的误差。这些误差在传播过程中会遵循一定的规律，即误 差传递规律。
线性函数误差传递
对于线性函数Z=aX+bY（其中a、b为常数），其误差传 递公式为D(Z)=a^2D(X)+b^2D(Y)+2abcov(X,Y)。可以 看出，误差传递与观测值的方差和协方差有关。
的线性相关程度。
对称性
Cov(X,Y) = Cov(Y,X)
加法性
Cov(aX+b, cY+d) = acCov(X,Y)
独立性
若X与Y独立，则Cov(X,Y) = 0
传播律意义与作用
传播律意义
协方差传播律描述了随机变量经过线 性变换后，其协方差矩阵如何变化。 这对于理解和分析复杂系统的误差传 递机制具有重要意义。
权重因子的选择应根据实际情况和测量任务的要求进行，要综合考虑观测值的 精度、稳定性、可靠性等因素。
使用方法
在平差计算中，应根据所选权重因子对观测值进行加权处理，以充分利用观测 值的信息并提高平差结果的精度和可靠性。同时，要注意避免过度加权或欠加 权的情况，以免对结果产生不良影响。
04
基于协方差传播律和权的平差算法设
参数估计可采用最小二乘法或加权最小二乘法。在选择方 法时，需根据实际问题的特点和需求进行权衡。
算法性能评估指标选取
精度指标
精度指标是衡量算法性能的重要指标之一。常用的精度指标包括均方误差、均方根误差、 中误差等，可用于评估算法的估计精度和稳定性。
可靠性指标
可靠性指标用于评估算法在复杂环境和噪声干扰下的性能表现。常用的可靠性指标包括失 败率、误警率、漏警率等。
误差传递规律探讨
误差传递概念
在测量过程中，由于各种因素的影响，观测值会存在一定 的误差。这些误差在传播过程中会遵循一定的规律，即误 差传递规律。
线性函数误差传递
对于线性函数Z=aX+bY（其中a、b为常数），其误差传 递公式为D(Z)=a^2D(X)+b^2D(Y)+2abcov(X,Y)。可以 看出，误差传递与观测值的方差和协方差有关。
的线性相关程度。
对称性
Cov(X,Y) = Cov(Y,X)
加法性
Cov(aX+b, cY+d) = acCov(X,Y)
独立性
若X与Y独立，则Cov(X,Y) = 0
传播律意义与作用
传播律意义
协方差传播律描述了随机变量经过线 性变换后，其协方差矩阵如何变化。 这对于理解和分析复杂系统的误差传 递机制具有重要意义。
权重因子的选择应根据实际情况和测量任务的要求进行，要综合考虑观测值的 精度、稳定性、可靠性等因素。
使用方法
在平差计算中，应根据所选权重因子对观测值进行加权处理，以充分利用观测 值的信息并提高平差结果的精度和可靠性。同时，要注意避免过度加权或欠加 权的情况，以免对结果产生不良影响。
04
基于协方差传播律和权的平差算法设
误差平差：协方差传播定律及权
非线性函数的线性化
如果函数 f ( x) 在 x 0的某一邻域内具有直到n+1阶的导数，则 在该邻域内 f ( x) 的泰勒公式为
f ′′(x0 ) f (x) = f (x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 ) + (x − x0 )2 +L 2! f (n) (x0 ) + (x − x0 )n +L +L n!
故：
D = [ F 0] DXX [ 0 K] YZ = FD KT 12
T
协方差传播律小节 求函数（也可是向量）的方差（方差阵）； 求函数（也可是向量）的方差（方差阵）； 适用于各观测为相关观测情况； 适用于各观测为相关观测情况； 定律的通式为： 定律的通式为：
若 则
F = KX + K 0 DFF = KDXX K
L
1
ˆ
L2
ˆ
L3
1 8 00 3（ L1 + L2 + L3 − = L− ） 1 1 8 00 3 ） = L2 − （ L1 + L2 + L3 − 1 1 8 00 3 − （ L + L2 + L3 − 1 3 = L ）
1
试求各函数的方差
ˆ σ L，σ Lˆ ，σ
1 2
ˆ
L 3
DLˆ Lˆ
误差理论与测量平差基础
—协方差传播定律及权
第三章 协方差传播律及权
本章内容包括： 本章内容包括：
§3-1 §3-2 §3-3 §3-4 §3-5 §3-6 数学期望的传播 协方差传播律 协方差传播律的应用 权与定权的常用方法 协因数和协因数传播律 由真误差计算中误差及其实际应用
误差理论与测量平差基础CH03
误差理论与测量平差基础 第三章 协防差传播律及权 3-1 协防差传播律
2、多个观测值线性函数的方差阵
t×1
Z 和 Y 为多个观测值线性函数：
r×1 t ×1
Z = K X + K0
t×nn×1
t×1
r ×1
Y = F X + F0
r×nn×1
r×1
数学期望分别为： E (Z ) = K µ X + K 0
1×1
Z = f ( X ) = f ([X1 , X2 , · · · , Xn ]T )
n×1
在近似值X 0 按泰勒(台劳)级数展开(乎略二次以上项)
1×1
Z = k1 X1 + k2 X2 + · · · + kn Xn + k0 = K X + k0
1×nn×1
1×1
∂f ki = ( ∂ Xi )0
20
0 1 0.8 0.6 C 0.4 0.2 0
误差理论与测量平差基础 第三章 协防差传播律及权 3-2 协防差传播律的应用
三、若干独立误差的联合影响
一个观测结果同时受到许多独立误差的联合影响，如测角受 到照准、读数、目标偏心仪器偏心等误差的影响，观测结果真误 差是各独立误差的代数和 ∆Z = ∆1 + ∆2 + · · · + ∆n 它们的方差之间的关系为
2 2 2 2 σZ = σ1 + σ2 + · · · + σn
2 DZZ = σZ = KDXX K = K 2 DXX
变成上一章中所讲的方差的运算规则。
误差理论与测量平差基础 第三章 协防差传播律及权 3-1 协防差传播律
第三章 协方差传播率及权
离散型：
E( X ) =
E( X ) =
∑x
i =1
∞
i
pi
连续型：
∫
+∞
−∞
xf ( x ) dx
误差理论与测量平差基础
§3-1 数学期望的传播
2.数学期望的传播规律
1
设C为一常数，则
E (C ) = C
2
设C为一常数，X为一随机变量，则
E (CX ) = CE ( X )
3
设有随机变量X和Y，则
⎣ ⎦
（1）. 令W=(Y Z)T，求W的协方差阵。 （2）. F的方差
σ
2 F
D ZW = E [( Z − E ( Z ))( W − E (W )) T ]
= E [( KX + K 0 − Kμ x − K 0 )( FY + F0 − FμY − F0 ) T ]
= KE [( X − μ x )(Y − μY ) T ]F T
:
1
σ n2
误差理论与测量平差基础
§3-4 权与常用定权的方法
课堂练习
pi
σ = σ
2 0 2 i
§3-4 权与常用定权的方法
1.权的定义（续）
2 (一) 权的大小随σ 0 而变化，但权比不会发生变化。
2 (二) 选定了σ 0 ，即对应一组权。
（三）权是衡量精度的相对指标，为了使权起到比较 精度的作用，一个问题只选一个σ0。 （四）只要事先给定一定的条件，就可以定权。
第三章 协方差传播率及权
第一节 数学期望的传播 第二节 协方差传播率 第三节 权与定权的常用方法 第四节 协因数与协因数传播率 第五节 由真误差计算中误差及其应用 第六节 系统误差的传播
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1/3 1/3 2/3
闭合差平均分配后 角度平差值的中误差 小于原始观测值
二、协方差传播律
线性函数的方差总结
函数名称 倍数函数
函数式
z kx
函数的中误差 mz kmx
和差函数 z x1 x2 xn
mz m12 m22 mn2
线性函数
z k 1 x 1 k 2 x 2 k n x n mz
求AC两点的高差及中误差
hAC hAB hBC
ki 1,i 1,2,n
z x1 x2 xn 形式
二、协方差传播律
2、线性函数的方差——协方差
[例4] 用30m的钢尺往返丈量一段距离，得 D往 269.95m, D 返 269.99m 如果一整尺段丈量的中误差为：1.0cm ,
问往返测结果的中误差、往返均值的中误差以及相对误差。
z x 1 x 2 x n
mz m12 m22 mn2
（4）
二、协方差传播律
2、线性函数的方差——协方差
[例1] 量得圆的半径为R = 50.03m,观测中误差 mR 2.7mm 求圆周长的中误差和相对误差？
C = 2p R
z kx 形式
二、协方差传播律
2、线性函数的方差——协方差
二、协方差传播律
矩阵形式的协方差传播
设随机向量 X ，其自协方差阵分别是 DXX
Y FX F0 Z KX K0
求 DZZ
DYY
DYZ
D Y E Y Y ( Y ) T F ( X X T ) F E T F X F T X D D Z E Z Z ( Z ) T K ( X 、 X T ) K T E K X K T X D
DXTX
1n
2n
2 n
二、协方差传播律
1、协方差
➢ 相关系数
XY
XY XY
YX XY 0
表示X、Y 间互不相关，对于
正态分布而言，相互独立。
YX XY 0
表示X、Y 间相关。
二、协方差传播律
1、协方差
Dxx
2121
12
2 2
1n 2n
n1
n2
2 n
ij 0 表示观测量相互独立。
二、协方差传播律
矩阵形式的协方差传播
设随机向量 X n1
Y ，其自协方差阵分别是
m1
D XX
DYY ，互协方差阵
是 ， ，求 DXY
Z
t1
F1
tn
X
n1
F2
tm
Y
m1
DZZ DZX
DZY
D ZZ [F 1 F 2] D D Y XX XD D Y X Y Y F F 1 2 T T
1、协方差
➢ 观测值线性函数的方差：设观测向量 X 及其期望和方差为：
X ( X1 X 2 X n )T , E( X ) ( E( X1 ) E( X 2 ) E( X n ))T
2 1
12
1n
DXX E ( X E( X ))(X E( X ))T
12
2 2
2n
n
nn
mz2
ki 2mi2 2
ki k j mij
i 1
i1 j 1
n
向量各分量相互独立，则：z2
k2 2 ii
i1
二、协方差传播律
2、线性函数的方差——协方差
n
nn
mz2
ki 2mi2 2
ki k j mij
i 1
i1 j 1
线性函数：z k 1 x 1 k 2 x 2 k n x n k 0
x2
和差函数
二、协方差传播律
4、非线性函数的方差——协方差
[例9] 如图三角形，测得
C
b
a
A
c
B
40010'30"10" 50005'50"20"
c 150 0.05m
求 b 边的长度及相对中误差
二、协方差传播律
4、非线性函数的方差——协方差
[例10] 已知X=L1+L2 Y=(L1+L2)/2 Z=XY，设L1，L2 中误差均为m，求X,Y,Z的中误差。
第三章 协方差传播率及权
一．间接观测值的精度评定 二．协方差传播律 三．协方差传播律的应用 四. 权及定权的方法 五. 协因数和协因数传播率 六. 非等精度观测精度评定
一、间接观测精度评定问题
问题的提出
在实际工作中，一些未知量的求得，常常不是依靠直接测定 或不可能直接测定，而是要通过由观测值所组成的函数计算解
➢ 协方差：用来描述两个随机变量 X 、Y 之间的相关程度，定
义为： X Y E [X ( E ( X )Y ) E ( ( Y ))]
二、协方差传播律
独立 & 相关
1、协方差
➢ 协方差：用来描述两个随机变量 X 、Y 之间的相关程度
三角形三个内角观测值 经闭合差改正后的内角
三角形闭合差: w 1 8 L 1 0 L 2 L 3
D ZZ [F 1 F 2] D D Y XX XD D Y X Y Y F F 1 2 T T
XI
0 Y X
X Z[F 1 F 2] Y 、
D ZX [F 1 F 2] D D Y XX XD D Y XY Y 0 I D ZY [F 1 F 2] D D Y XX XD D Y XY Y 0 I
-10.3 +2.8 +11.0 -1.5 -2.6 -1.6
106.1 7.8 121 2.6 6.8
244.3
二、协方差传播律
2、线性函数的方差——协方差
[例7] 求等精度观测的三角形三个内角按照闭合差分配后角 度的协方差阵。
三角形闭合差: w 1 8 L 1 0 L 2 L 3
ห้องสมุดไป่ตู้
Lˆ1 L113W32L113L2 13L3 60
如 x1, x2 , xn 相互独立，则：
mz
k12 m12
k 22 m22
k
2 n
mn2
二、协方差传播律
2、线性函数的方差——协方差
n
nn
mz2
ki 2mi2 2
ki k j mij
i 1
i1 j 1
➢ 设n =1,即：z kx ，则：
mz km （3）
➢ 设 ki 1,i 1,2,n
[例2] 在1:1000地图上，量得两点间的距离d=23.4mm,图上 量距量测中误差为0.2mm，求两点实地距离及其中误差
S 1000d z kx 形式
二、协方差传播律
2、线性函数的方差——协方差
[例3] 水准测量从A到B到C的高差和相应中误差分别为：
hAB1.5 47m6 0.01m2 hBC 5.74m7 0.00m9
出。 如何评定间接观测值的精度？
i= i +i+ i-180
如何计算直接观测值按照一定的函数关系得到的间接观测值的精度？
x f a1( X A X s ) b1(YA YS ) c1(Z A ZS ) a3( X A X S ) b3(YA YS ) c3(Z A ZS )
y f a2( X A X s ) b2 (YA YS ) c2 (Z A ZS ) a3( X A X S ) b3(YA YS ) c3(Z A ZS )
Lˆ2
L2
1
1
3W3L1
2 3L2
1 3L3
60
Lˆ3 L3 13W13L113L2 32L3 60
二、协方差传播律
2、线性函数的方差——协方差
[例7] 求等精度观测的三角形三个内角按照闭合差分配后角 度的协方差阵。
LˆL L Lˆˆˆ132 21 1///33 3
1/3 2/3 1/3
1/3L1 1/3L2 2/3L3
Lˆ1 L113W32L113L2 13L3 60 Lˆ2 L2 13W13L132L2 13L3 60 Lˆ3 L3 13W13L113L2 32L3 60
二、协方差传播律
1、协方差
➢ 协方差的估值
X YE ( X Y) n l i [ m X n Y]
XY ˆXY [X nY]
二、协方差传播律
2
DLL 0 0
0
2
0
0
0
2
2 /3 1 /3 1 /3 2 0 0 2 /3 1 /3 1 /3 D L ˆL ˆ 1 /32 /3 1 /3 0 2 0 1 /32 /3 1 /3
1 /3 1 /32 /3 0 0 2 1 /3 1 /32 /3
等价于
z
f x1
x1
f x2
x2
f xn
xn )
x1
z
Kx
f x1
f x2
f xn
x2 xn
2 z
DZZ
KDxx K T
二、协方差传播律
4、非线性函数的方差——协方差
[例8] 已知Z = 4X1X2+X1/2,如果X1，X2的中误差为m1，m2，求Z 的中误差。
z
f x1
x1
f x2
一、间接观测精度评定问题
间接观测值精度评定的问题
➢ 观测值函数的中误差与观测值中误差的关系
l 1 1
1
L n n l1 n l2 n ln
➢ 由观测值计算所得函数值的精确与否，主要取决于 作为自变量的观测值的质量好坏。
➢ 如何计算？
二、协方差传播律
1、协方差
➢ 误差传播律：在间接观测中，待观测量由一个或多个其它直 接观测值通过一定的函数关系间接计算出来，阐述观测值函 数的中误差和观测值中误差的关系的公式称为误差传播律。
闭合差平均分配后 角度平差值的中误差 小于原始观测值
二、协方差传播律
线性函数的方差总结
函数名称 倍数函数
函数式
z kx
函数的中误差 mz kmx
和差函数 z x1 x2 xn
mz m12 m22 mn2
线性函数
z k 1 x 1 k 2 x 2 k n x n mz
求AC两点的高差及中误差
hAC hAB hBC
ki 1,i 1,2,n
z x1 x2 xn 形式
二、协方差传播律
2、线性函数的方差——协方差
[例4] 用30m的钢尺往返丈量一段距离，得 D往 269.95m, D 返 269.99m 如果一整尺段丈量的中误差为：1.0cm ,
问往返测结果的中误差、往返均值的中误差以及相对误差。
z x 1 x 2 x n
mz m12 m22 mn2
（4）
二、协方差传播律
2、线性函数的方差——协方差
[例1] 量得圆的半径为R = 50.03m,观测中误差 mR 2.7mm 求圆周长的中误差和相对误差？
C = 2p R
z kx 形式
二、协方差传播律
2、线性函数的方差——协方差
二、协方差传播律
矩阵形式的协方差传播
设随机向量 X ，其自协方差阵分别是 DXX
Y FX F0 Z KX K0
求 DZZ
DYY
DYZ
D Y E Y Y ( Y ) T F ( X X T ) F E T F X F T X D D Z E Z Z ( Z ) T K ( X 、 X T ) K T E K X K T X D
DXTX
1n
2n
2 n
二、协方差传播律
1、协方差
➢ 相关系数
XY
XY XY
YX XY 0
表示X、Y 间互不相关，对于
正态分布而言，相互独立。
YX XY 0
表示X、Y 间相关。
二、协方差传播律
1、协方差
Dxx
2121
12
2 2
1n 2n
n1
n2
2 n
ij 0 表示观测量相互独立。
二、协方差传播律
矩阵形式的协方差传播
设随机向量 X n1
Y ，其自协方差阵分别是
m1
D XX
DYY ，互协方差阵
是 ， ，求 DXY
Z
t1
F1
tn
X
n1
F2
tm
Y
m1
DZZ DZX
DZY
D ZZ [F 1 F 2] D D Y XX XD D Y X Y Y F F 1 2 T T
1、协方差
➢ 观测值线性函数的方差：设观测向量 X 及其期望和方差为：
X ( X1 X 2 X n )T , E( X ) ( E( X1 ) E( X 2 ) E( X n ))T
2 1
12
1n
DXX E ( X E( X ))(X E( X ))T
12
2 2
2n
n
nn
mz2
ki 2mi2 2
ki k j mij
i 1
i1 j 1
n
向量各分量相互独立，则：z2
k2 2 ii
i1
二、协方差传播律
2、线性函数的方差——协方差
n
nn
mz2
ki 2mi2 2
ki k j mij
i 1
i1 j 1
线性函数：z k 1 x 1 k 2 x 2 k n x n k 0
x2
和差函数
二、协方差传播律
4、非线性函数的方差——协方差
[例9] 如图三角形，测得
C
b
a
A
c
B
40010'30"10" 50005'50"20"
c 150 0.05m
求 b 边的长度及相对中误差
二、协方差传播律
4、非线性函数的方差——协方差
[例10] 已知X=L1+L2 Y=(L1+L2)/2 Z=XY，设L1，L2 中误差均为m，求X,Y,Z的中误差。
第三章 协方差传播率及权
一．间接观测值的精度评定 二．协方差传播律 三．协方差传播律的应用 四. 权及定权的方法 五. 协因数和协因数传播率 六. 非等精度观测精度评定
一、间接观测精度评定问题
问题的提出
在实际工作中，一些未知量的求得，常常不是依靠直接测定 或不可能直接测定，而是要通过由观测值所组成的函数计算解
➢ 协方差：用来描述两个随机变量 X 、Y 之间的相关程度，定
义为： X Y E [X ( E ( X )Y ) E ( ( Y ))]
二、协方差传播律
独立 & 相关
1、协方差
➢ 协方差：用来描述两个随机变量 X 、Y 之间的相关程度
三角形三个内角观测值 经闭合差改正后的内角
三角形闭合差: w 1 8 L 1 0 L 2 L 3
D ZZ [F 1 F 2] D D Y XX XD D Y X Y Y F F 1 2 T T
XI
0 Y X
X Z[F 1 F 2] Y 、
D ZX [F 1 F 2] D D Y XX XD D Y XY Y 0 I D ZY [F 1 F 2] D D Y XX XD D Y XY Y 0 I
-10.3 +2.8 +11.0 -1.5 -2.6 -1.6
106.1 7.8 121 2.6 6.8
244.3
二、协方差传播律
2、线性函数的方差——协方差
[例7] 求等精度观测的三角形三个内角按照闭合差分配后角 度的协方差阵。
三角形闭合差: w 1 8 L 1 0 L 2 L 3
ห้องสมุดไป่ตู้
Lˆ1 L113W32L113L2 13L3 60
如 x1, x2 , xn 相互独立，则：
mz
k12 m12
k 22 m22
k
2 n
mn2
二、协方差传播律
2、线性函数的方差——协方差
n
nn
mz2
ki 2mi2 2
ki k j mij
i 1
i1 j 1
➢ 设n =1,即：z kx ，则：
mz km （3）
➢ 设 ki 1,i 1,2,n
[例2] 在1:1000地图上，量得两点间的距离d=23.4mm,图上 量距量测中误差为0.2mm，求两点实地距离及其中误差
S 1000d z kx 形式
二、协方差传播律
2、线性函数的方差——协方差
[例3] 水准测量从A到B到C的高差和相应中误差分别为：
hAB1.5 47m6 0.01m2 hBC 5.74m7 0.00m9
出。 如何评定间接观测值的精度？
i= i +i+ i-180
如何计算直接观测值按照一定的函数关系得到的间接观测值的精度？
x f a1( X A X s ) b1(YA YS ) c1(Z A ZS ) a3( X A X S ) b3(YA YS ) c3(Z A ZS )
y f a2( X A X s ) b2 (YA YS ) c2 (Z A ZS ) a3( X A X S ) b3(YA YS ) c3(Z A ZS )
Lˆ2
L2
1
1
3W3L1
2 3L2
1 3L3
60
Lˆ3 L3 13W13L113L2 32L3 60
二、协方差传播律
2、线性函数的方差——协方差
[例7] 求等精度观测的三角形三个内角按照闭合差分配后角 度的协方差阵。
LˆL L Lˆˆˆ132 21 1///33 3
1/3 2/3 1/3
1/3L1 1/3L2 2/3L3
Lˆ1 L113W32L113L2 13L3 60 Lˆ2 L2 13W13L132L2 13L3 60 Lˆ3 L3 13W13L113L2 32L3 60
二、协方差传播律
1、协方差
➢ 协方差的估值
X YE ( X Y) n l i [ m X n Y]
XY ˆXY [X nY]
二、协方差传播律
2
DLL 0 0
0
2
0
0
0
2
2 /3 1 /3 1 /3 2 0 0 2 /3 1 /3 1 /3 D L ˆL ˆ 1 /32 /3 1 /3 0 2 0 1 /32 /3 1 /3
1 /3 1 /32 /3 0 0 2 1 /3 1 /32 /3
等价于
z
f x1
x1
f x2
x2
f xn
xn )
x1
z
Kx
f x1
f x2
f xn
x2 xn
2 z
DZZ
KDxx K T
二、协方差传播律
4、非线性函数的方差——协方差
[例8] 已知Z = 4X1X2+X1/2,如果X1，X2的中误差为m1，m2，求Z 的中误差。
z
f x1
x1
f x2
一、间接观测精度评定问题
间接观测值精度评定的问题
➢ 观测值函数的中误差与观测值中误差的关系
l 1 1
1
L n n l1 n l2 n ln
➢ 由观测值计算所得函数值的精确与否，主要取决于 作为自变量的观测值的质量好坏。
➢ 如何计算？
二、协方差传播律
1、协方差
➢ 误差传播律：在间接观测中，待观测量由一个或多个其它直 接观测值通过一定的函数关系间接计算出来，阐述观测值函 数的中误差和观测值中误差的关系的公式称为误差传播律。