《协方差及相关系数》习题
概率论与数理统计-协方差和相关系数01
=
9
证： 对任意的 对任意的a,b,令 令
刻画了Y与 刻画了 与a+bX的偏离程度 的偏离程度 e=E{[Y-(a+bX)]2}=E(Y2)+b2E(X2)+a2 -2bE(XY)+2abE(X)-2aE(Y)
要使 与 的某个线性函数 最为接近 就是要找a,b使得误差 最为接近 就是要找 数 要使Y与X的某个线性函数a+bX最为接近,就是要找 使得误差 视为关于a,b的二元函数 视为关于 的二元函数，求驻点： 平方e值最 值最小 平方 值最小. 将e视为关于 的二元函数，求驻点： 字 特 征 解得
X与Y不相关 只说明 与Y之间没有线性关系，但可以有 与 不相关 只说明X与 之间没有线性关系 不相关,只说明 之间没有线性关系， 非线性关系； 非线性关系； 而X与Y独立是指 独立是指X,Y之间既无线性关系， 之间既无线性关系， 与 独立是指 之间既无线性关系 也无非线性关系， 也无非线性关系，故“独立”必然不相关，但反之不然。 独立”必然不相关，但反之不然。 不相关 但是，对于二维正态分布，独立与不相关等价。 但是，对于二维正态分布，独立与不相关等价。 与不相关等价 2 若二维r.v ( X , Y ) ~ N ( µ 1 , µ 2 ; σ 12 , σ 2 ; ρ ) 即：若二维 则X与Y相互独立 与 相互独立
D(X)=p (1-p ) D(X)=np(1-p) D(X)=
E(X) = µ
a +b E(X) = 2 1 E(X) =
D(X)= σ
λ
2
(b − a)2 D(X)= 12
(5) 切比雪夫不等式 =
协方差与相关系数
D( X + Y ) = ? D( X + Y ) = E ( X + Y )2 − [ E ( X + Y )]2
= D( X ) + D(Y ) + 2 E {[ X − E ( X )][Y − E (Y )]}.
协方差
(2) 定义
称 E{[ X − E ( X )][Y − E (Y )]} 为随机变量 X 与 Y 的协方差. 记为 Cov( X , Y ), 即 C ov( X , Y ) = E{[ X − E ( X )][Y − E (Y )]}. 称 ρXY = Cov( X , Y ) D( X ) ⋅ D(Y ) ( D( X ) ≠ 0, D(Y ) ≠ 0)
G
O
x
D(Y ) = D( X ) = 153 / 2800,
Cov( X , Y ) = E ( XY ) − E ( X ) E (Y ) = 19 / 400 = 0.0475,
Cov( ,Y ) X ρXY = = 0.87, D( X ) ⋅ D(Y )
D( X + Y ) = D( X ) + D(Y ) + 2Cov( X ,Y ) = 0.2043.
a ,b
2 = E {[Y − (a0 + b0 X )]2 } = (1 − ρXY ) D(Y )
⇒ ρXY = 1.
(4) 不相关与相互独立的关系 若随机变量X， 相互独立 相互独立， 定理 若随机变量 ，Y相互独立， 则 ρ xy = 0 ,即X，Y不相关。 不相关。 ， 不相关 不相关 注 1) 相互独立 如后面例２ 如后面例２． 2) 不相关的充要条件
2) D( X +Y ) = D( X ) + D(Y ) + 2Cov( X ,Y ).
随机变量的方差、协方差与相关系数4-2
Cov ( X , Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y )
从而, 作为协方差的特例，方差也应有
D ( X ) C o v ( X , X ) E ( X X ) E ( X ) E ( X ) E ( X ) [ E ( X )] .
2 2
又∵ X 与Y 相互独立时, 总有
D ( U ) 2 D ( X ) 3 D (Y ) 0
2 2
解 数学期望
E ( U ) 2 E ( X ) 3 E (Y ) 1
2 ( 5 ) 3 (1 1 ) 1 4 4 ;
E (V ) E (Y Z ) 4 E ( X ) E (Y ) E ( Z ) 4 E ( Z )
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2. 协方差的具体计算公式与实际计算步骤
⑴ 对离散型变量
E ( X ) xi pij (或 xi pi ) ,
i 1 j 1 i 1
E (Y ) E ( XY )
x
i 1 j 1
y
i 1 j 1
j
pij (或 y j p j ) ,
j 1
i
y j pij ,
Cov ( X , Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y ) .
⑵ 对连续型变量
E( X ) E (Y ) E ( XY )
xf ( x , y )dxdy (或 yf ( x , y )dxdy (或
是 X 的方差. 是 X 与Y 的协方差.
返回
E[( X E ( X )(Y E (Y )]
概率论习题4.2解答修改后
1 3
8 5 5 1 cov( X , Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y ) 3 3 3 ( XY ) ( X ) (Y ) ( X ) (Y ) 2 2 2 9 9
1 1 x
1 1 x 1 1 1 1 1 2 xdy , E ( X 2 ) dx 2 x 2 dy , D( X ) ， 0 0 0 0 3 6 6 9 18 1 1 x 1 1 x 1 1 1 1 1 E (Y ) dx 2 ydy , E (Y 2 ) dx 2 y 2 dy , D(Y ) ， 0 0 0 0 3 6 6 9 18 1 1 x 1 1 1 1 1 E ( XY ) dx 2 xydy , cov( X , Y ) 0 0 12 12 3 3 36
2
1 1 0 P{ X 1, Y 0} P{ X 1}P{Y 0} . 3 3
3.设 B 0 ，验证 Y A BX 时， X 与 Y 的相关系数为 1 或-1. 证明： ( XY )
cov( X , Y )
D( X ) D(Y )
E ( XY ) E ( X ) E (Y ) D( X ) D(Y )
同理得 D ( X 2 X 3 ) 2 ，则
2
2
(X1 X 2 , X 2 X 3 )
cov( X 1 X 2 , X 2 X 3 ) D( X 1 X 2 ) D( X 2 X 3 )
1 0 2 2
1 . 2
7.已知某箱装有 10 件产品，其中一等品 8 件，二等品 1 件，三等品 1 件，如果从中任取一 件，记 X i
第四章协方差+习题课
第四章随机变量的数字特征
第四章随机变量的数字特征
第四章随机变量的数字特征
例一民航送客载有20位旅客自机场开出，旅客第四章随机变量的数字特征
第四章随机变量的数字特征
例，且相互独立。
设)1,0(~,U Y X 第四章
随机变量的数字特征
（续）
第四章随机变量的数字特征
第四章随机变量的数字特征∞∞
第四章随机变量的数字特征
第四章随机变量的数字特征第四章随机变量的数字特征
第四章随机变量的数字特征
1
∞
第四章随机变量的数字特征
第一章随机事件与概率。
协方差和相关系数的计算
P(Y E(Y ) t0 ( X E( X ))) 1
时，等式成立—Cauchy-Schwarz不等式．
证明 令
g(t) E[(Y E(Y )) t( X E( X ))]2 D(Y ) 2t cov( X ,Y ) t 2D( X )
若D (X) > 0， D (Y) > 0 ，称
E ( X E( X ))(Y E(Y ) cov( X ,Y ) D( X ) D(Y ) D( X ) D(Y )
为X，Y 的相关系数，记为
XY
cov( X ,Y ) D( X ) D(Y )
事实上， XY cov( X ,Y )．
D[(Y E(Y )) t0 ( X E( X ))] 0 P[(Y E(Y )) t0 ( X E( X )) 0] 1 P[(Y E(Y )) t0 ( X E( X )) 0] 1 即 P[(Y E(Y )) t0 ( X E( X ))] 1
即Y 与X 有线性关系的概率等于1，这种线性关 系为
对任何实数 t ，g (t) 0
4 cov 2 ( X ,Y ) 4D( X )D(Y ) 0
即 | cov( X ,Y ) |2 D( X )D(Y )
等号成立
g (t) 0 有两个相等的实零点
t0
cov( X ,Y D(X )
)
g(t0 ) 0 即
D(Y ) D(X )
E[(Y E(Y )) t0 ( X E( X ))]2 0 又显然 E[(Y E(Y )) t0 ( X E( X ))] 0
解 cov(U ,V ) E(UV ) E(U )E(V ) a2E( X 2 ) b2E(Y 2 )
§4.3 协方差、相关系数与矩
第4章
§4.3 协方差、相关系数与矩
第10页
4.3.2 独立性与不相关性
定义4.3.2 当 XY = 0 时，称 X 和 Y不相关. 不相关 独立 但也有例外 例如二维正态分布,独立与不相关等价
“独立” 必然导致 “不相关”, 而“不相关”不一定导致 “独立”
第4章
§4.3 协方差、相关系数与矩
（3）Cov(X1+X2, Y) = Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y)
第4章 §4.3 协方差、相关系数与矩 例1 设二维随机变量的联合分布律为 X 0 1 Y 0 q 0 1 0 p 其中p+q=1，求相关系数XY． 解 由(X,Y)的联合分布律，可得X与Y的边缘分布律为
X P 0 q 1 p Y P 0 q
注 （1）若 X与Y独立,则Cov(X, Y)=0 （2）D(X±Y) = D(X) + D(Y)±2Cov(X, Y)
第4章
§4.3 协方差、相关系数与矩
第5页
4. 协方差的性质 （1）Cov(X, Y) = Cov(Y, X) （2）Cov(aX, bY) = abCov(X, Y), a,b 为常数
第4章
§4.3 协方差、相关系数与矩
第7页
例2 设二维（X，Y）随机变量的密度函数为
1 cos( x y )， 0 x , y 0 f ( x, y ) 2 2 2 0， 其它 求 cov( X , Y )
1 2 0 解 因为 E ( X ) x cos( x y)dxdy 0.7854, 2 0 -2 4
E (Y ) / 4,
0 1 2 E ( XY ) xy cos( x y)dxdy 1 0.5708, 2 0 2 2
4-3协方差及相关函数
2. 相关系数的意义
当 ρXY 较大时 e 较小, 表明 X ,Y 的线性关系联 系较紧密. 当 ρXY 较小时, X ,Y 线性相关的程度较差.
当 ρXY 0 时, 称 X 和 Y 不相关.
Xi’an University of Post and Telecommunications
例3 设 服从 [0, 2π] 的均匀分布, cos , cos( a ), 这里 a 是定数, 求 和 的相关系数?
( x μ1 )2 2 2 σ1
( x μ1 )( y μ2 )
2
eLeabharlann y μ2 1 x μ1 ρ σ1 2 ( 1 ρ 2 ) σ 2
d yd x
x μ1 1 y μ2 x μ1 , , u 令t ρ 2 σ1 σ1 1 ρ σ2
存在线性关系. 当 a π时, 1, ,
Xi’an University of Post and Telecommunications
Cov( X ,Y ) 1 2 2 ( σ σ 1 ρ tu ρσ σ u )e 1 2 1 2 2 2 2 u t ρσ1σ 2 2 u e 2 d u e 2 d t 2
Xi’an University of Post and Telecommunications
e E[(Y (a bX ))2 ]
E (Y 2 ) b 2 E ( X 2 ) a 2 2bE ( XY ) 2abE ( X ) 2aE (Y ).
将 e 分别关于 a , b 求偏导数, 并令它们等于零, 得
协方差矩阵,相关系数矩阵
协⽅差矩阵,相关系数矩阵变量说明：设为⼀组随机变量，这些随机变量构成随机向量，每⼀个随机变量有m个样本，则有样本矩阵（1）当中相应着每⼀个随机向量X的样本向量，相应着第i个随机单变量的全部样本值构成的向量。
单随机变量间的协⽅差：随机变量之间的协⽅差能够表⽰为（2）依据已知的样本值能够得到协⽅差的预计值例如以下：（3）能够进⼀步地简化为：（4）协⽅差矩阵：（5）当中，从⽽得到了协⽅差矩阵表达式。
假设全部样本的均值为⼀个零向量，则式（5）能够表达成：（6）补充说明：1、协⽅差矩阵中的每个元素是表⽰的随机向量X的不同分量之间的协⽅差，⽽不是不相同本之间的协⽅差，如元素C ij就是反映的随机变量X i, X j的协⽅差。
2、协⽅差是反映的变量之间的⼆阶统计特性，假设随机向量的不同分量之间的相关性⾮常⼩，则所得的协⽅差矩阵差点⼉是⼀个对⾓矩阵。
对于⼀些特殊的应⽤场合，为了使随机向量的长度较⼩，能够採⽤主成分分析的⽅法，使变换之后的变量的协⽅差矩阵全然是⼀个对⾓矩阵，之后就能够舍弃⼀些能量较⼩的分量了（对⾓线上的元素反映的是⽅差，也就是交流能量）。
特别是在模式识别领域，当模式向量的维数过⾼时会影响识别系统的泛化性能，常常须要做这种处理。
3、必须注意的是，这⾥所得到的式（5）和式（6）给出的仅仅是随机向量协⽅差矩阵真实值的⼀个预计（即由所測的样本的值来表⽰的，随着样本取值的不同会发⽣变化），故⽽所得的协⽅差矩阵是依赖于採样样本的，⽽且样本的数⽬越多，样本在整体中的覆盖⾯越⼴，则所得的协⽅差矩阵越可靠。
4、如同协⽅差和相关系数的关系⼀样，我们有时为了可以更直观地知道随机向量的不同分量之间的相关性到底有多⼤，还会引⼊相关系数矩阵。
相关系数或关联系数关联系数，显⽰两个之间线性关系的强度和⽅向。
在统计学中，相关的意义是⽤来衡量两个变量相对于其相在和中，相关相关或称相关系数互独⽴的距离。
在这个⼴义的定义下，有很多依据数据特点⽽定义的⽤来衡量数据相关的系数。
《概率论》第4章_协方差及相关系数
12/14 12/14
指 X ,Y之间没有线 性关系, 性关系,但可能有 其它关系
2 设 ( X ,Y) ~ N(µ1, µ2,σ12 ,σ2 , ρ), 则 ρ =0 相互独立 X ,Y相互独立 ρXY = 0
X ,Y互不相关
第四章 随机变量的数字特征
§3 协方差及相关系数 设 X 的概率密度为： 的概率密度为：
相关
第四章 随机变量的数字特征
§3 协方差及相关系数
Y
8/14
Y
Y = a0+b0 X ( b0 < 0 )
Y
Y= a0 +b0 X ( b0 > 0 )
O
ρXY = 1
Y
X
O
Y
ρXY = − 1
y = a0 +b0 x ( b0 < 0 )
X
O
y = a0 +b0 x ( b0 > 0 )
ρσ1σ2p{− −t /1 [∞x − µ−u / 2 ( 2 ) ∞ 2 f (x, y) = ex = e dt ⋅ u e du 2π σ 1− ρ π ∫−∞ 2(1− ρ )∫−∞ σ σ 2 (x − µ )( y − µ 2) ( y − µ ) − 2ρ σ1σ2σ − ρ + −t / 2 ]}∞ −u / 2 1 ∞ + σ te σ dt ⋅ ∫−∞ ue du ∫−∞ − µ x − µ 1 = ex − π 1 p{ 2 [( yσ − ρ σ ) + (1− ρ ) (x − µ ) ]} （ σ 2πσ σ 1− ρρσ1σ 2 2 1− ρ ） = −µ 2π µ2π = ρσ1− µ σ y 2π x− 1 x 21 2 令 t = 1 2( −ρ ), u = , J =1 σ σ1 σ1 1− ρ ρσ1σ2 Cov( X2Y ) , = =ρ ∴ ρXY = D( X ) D(Y) σ1σ2
协方差及相关系数
=0
ρX X
所以 X 与 X 不相关
( 3 ) 独立性由其定义来判断
对于任意的常数 a > 0 , 事件 ( X < a ) ( X < a ), 且 P ( X < a ) > 0 , P ( X < a ) < 1,因此有 P( X < a, X < a) = P( X < a) P ( X < a)P( X < a) < P( X < a) 所以 P ( X < a , X < a ) ≠ P ( X < a ) P ( X < a ) 故 X 与 X 不独立
Cov ( X , Y ) = E ( XY ) EXEY = pq Cov ( X , Y ) ρ XY = =1 DX DY
例2 设 ( X ,Y ) ~ N ( μ1, σ12,μ2,σ22,ρ), 求 ρXY 解
令 x μ1
Cov ( X ,Y ) = ∫
σ1 y μ2 =t σ2
=s
ξ ,η 为 X , Y的线性组合
所以 ξ ,η 都服从正态分布 N ( 0, + b )σ ) (a
2 2 2
在正态分布中 , 不相关与独立是等价的
所以当 a = b 时, ξ ,η 独立 当 a ≠ b 时, ξ ,η 不独立
( 3) 当ξ ,η 相互独立时 , 即a 2 = b 2 , ξ ,η 都服从
例1 已知 X ,Y 的联合分布为 X Y 1 0 p 0 0 q 1 0 0 < p <1 p+q=1
求 Cov (X ,Y ), ρXY 解 X P 1 p 0 q Y P 1 p 0 q XY P 1 p 0 q
协方差与相关系数
3 E ( X ) x 3 xdydx 3x xdx . 0 0 0 4 1 x 1 x2 3 E (Y ) y 3xdydx 3x dx . 0 0 0 2 8
Cov( X , Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y )
1
1 x
0 0
xy 3xdxdy
2 3 x 2 3x dx 0 10 2
2019/4/14
11
二维随机变量的协方差 例3 设( X ,Y)是二维离散型随机变量，其概率密度为
试求( X ,Y)的协方差。
1 x
3x,0 y x 1, f ( x, y ) 0, 其它.
2019/4/14
17
协方差的定义 设 n 维随机变量( X1 , X 2 ,..., X n )的二阶混合中心矩
cij Cov( X i , Yj ) E{[ X i E( X i )][ X j E( X j )]}
c11 c 21 都存在，则称矩阵 C ... c1n c12 c22 ... c2 n ... c1n ... c2 n ... ... ... cnn
2019/4/14
7
二维随机变量的协方差 例2 设( X ,Y)是二维离散型随机变量，其概率密度为 3 2 xy , 0 x 1, 0 y 2, f ( x, y ) 4 0, 其它. 试求( X ,Y)的协方差。 1 2 2 3 2 1 1 2 3 2 E ( X ) x xy dydx 3x dx 3 y dy . 0 0 0 4 12 0 4 1 2 2 3 2 3 1 3 3 E (Y ) y xy dydx 2 xdx 4 y dy . 0 0 0 0 4 32 2
《协方差及相关系数》习题
协方差及相关系数一、判断题1.)()()(Y E X E XY E =是随机变量X 和Y 相互独立的必要而非充分条件。
（ ）2.对二维正态随机变量),(Y X 来说，X 和Y 不相关的充分必要条件是X 和Y 相互独立。
（ ）3.若随机变量X 和Y 相互独立，它们取1和-1的概率均为0.5，则Y X =。
（ ）4.若随机变量X 和Y 不相关，则)()()(Y E X E XY E =。
（ ）二、填空题1. 若随机变量X 和Y 相互独立，则=),(Y X Cov ,XY ρ= 。
2. 若)5.0,,,,(~),(222121σσμμN Y X ，则XY ρ= 。
3. ),(Y X 的分布律为：则=),(Y X Cov ,XY ρ= 。
4. 已知,36)(,25)(==Y D X D XY ρ=0.4，则=+)(Y X D ，=-)(Y X D 。
三、设),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤--=，其它。
0,10,10,2),(y x y x y x f 1.求),(Y X Cov ,XY ρ和)32(Y X D -；2.X 与Y 是否独立？是否相关？四、设变量),(Y X 服从单位圆上的均匀分布，验证：X 和Y 不相关，且X 和Y 也不独立。
五、设X 和Y 相互独立，且均服从),(2σμN 分布。
设bY aX Z bY aX Z -=+=21,，其中a,b 为不全为零的常数，求21Z Z ρ。
六、设甲、乙两盒中都装有红球2个、白球3个，先从甲盒中任取1球放入乙盒中，再从乙盒中任取1球。
记X,Y 分别表示从甲、乙盒中取出的红球数。
1.求),(Y X Cov ,XY ρ；2.证明X 与Y 相关性和独立性；3.写出),(Y X 的协方差矩阵。
协方差相关系数例题
协方差相关系数例题协方差相关系数，听起来是不是有点像那种神秘的魔法咒语？其实啊，没那么玄乎。
咱们先来讲个小故事，就好比你和你的小伙伴一起去摘苹果。
你摘的苹果数量和你小伙伴摘的苹果数量之间就可能存在某种关系，协方差和相关系数呢，就是来衡量这种关系的小能手。
就说协方差吧。
假如你每次摘苹果的时候，如果你的小伙伴也摘得多，那这个协方差可能就是正的。
这就像你们俩心有灵犀一点通似的，你多他也多。
要是你摘得多的时候，他摘得少，那协方差可能就是负的啦，就好像你们俩在唱反调。
不过这里面有个小问题，协方差的数值大小呢，有时候不太好直接比较。
为啥呢？因为它还受到变量本身的大小影响呢。
这就好比两个人赛跑，一个人跑100米，另一个人跑1000米，只看他们跑的距离差不太公平，得考虑到他们跑的总路程。
这时候啊，相关系数就闪亮登场了。
相关系数就像是把协方差标准化了一样。
它的值总是在 - 1到1之间。
如果相关系数是1，那就表示两个变量之间完全正相关，就像你和你的影子一样，你动它也动，完全同步。
要是相关系数是 - 1呢，就完全负相关，就像白天和黑夜，一个出现另一个就消失。
要是相关系数是0呢，那就表示两个变量之间没什么关系，就像你在这边吃饭，远处的小鸟在天上飞，你们俩谁也不影响谁。
咱们来个例题看看吧。
假设有两组数据，一组是学生的学习时间，另一组是他们的考试成绩。
咱们先求协方差。
先算出每一个学习时间和平均学习时间的差值，再算出每个考试成绩和平均考试成绩的差值，然后把这两个差值相乘，再求平均。
这一套流程下来，就得到协方差了。
要是这个协方差是个正数，那说明啥？说明学习时间长的学生啊，考试成绩可能就高，就像你付出努力学习，就会有好的回报一样。
再求相关系数呢。
这个计算稍微复杂一点，但是原理就是把协方差除以学习时间的标准差和考试成绩的标准差的乘积。
这样得到的相关系数就能更直观地反映学习时间和考试成绩之间的关系啦。
如果这个相关系数接近1，那就说明学习时间和考试成绩之间的关系很紧密，就像齿轮之间的咬合一样，一个动另一个也跟着动。
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协方差及相关系数
一、判断题
1.)()()(Y E X E XY E =是随机变量X 和Y 相互独立的必要而非充分条件。
（ ）
2.对二维正态随机变量),(Y X 来说，X 和Y 不相关的充分必要条件是X 和Y 相互独立。
（ ）
3.若随机变量X 和Y 相互独立，它们取1和-1的概率均为0.5，则Y X =。
（ ）
4.若随机变量X 和Y 不相关，则)()()(Y E X E XY E =。
（ ）
二、填空题
1. 若随机变量X 和Y 相互独立，则=),(Y X Cov ,XY ρ= 。
2. 若)5.0,,,,(~),(2
22121σσμμN Y X ，则XY ρ= 。
3. ),(Y X 的分布律为：
则=),(Y X Cov ,XY ρ= 。
4. 已知,36)(,25)(==Y D X D XY ρ=0.4，则=+)(Y X D ，=-)(Y X D 。
三、设),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤--=，其它。
0,10,10,2),(y x y x y x f 1.求),(Y X Cov ,XY ρ和)32(Y X D -；
2.X 与Y 是否独立？是否相关？
四、设变量),(Y X 服从单位圆上的均匀分布，验证：X 和Y 不相关，且X 和Y 也不独立。
五、设X 和Y 相互独立，且均服从),(2
σμN 分布。
设bY aX Z bY aX Z -=+=21,，其中a,b 为不全为零的常数，求21Z Z ρ。
六、设甲、乙两盒中都装有红球2个、白球3个，先从甲盒中任取1球放入乙盒中，再从乙盒中任取1球。
记X,Y 分别表示从甲、乙盒中取出的红球数。
1.求),(Y X Cov ,XY ρ；
2.证明X 与Y 相关性和独立性；
3.写出),(Y X 的协方差矩阵。