基于CPLEX的原始—对偶嵌套分解算法

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对偶与对偶算法教学课件

0 YˆT b AXˆ CT Xˆ YˆT AXˆ CT YˆT A Xˆ 0
所以 YˆT b AXˆ 0, Xˆ T ATYˆ C 0
例原问题 max 2x1 4x2 x3 x4
1 3 0 1 8
s.t.
2 0
x1
1
1
x2
0
1
x3
0
YˆT b AXˆ 0, Xˆ T ATYˆ C 0
等价于
yˆi
bi
ai
Xˆ
0,i,
xˆ j PjTYˆ c j 0,j
含义：如果原（对偶）问题某不等式是松的（不等于0）
则其相应的对偶（原）变量必须是紧的（等于0）
证明充分性：
YˆT b AXˆ 0 bTYˆ YˆT AXˆ
Y 0
max bTY s.t. ATY C
Y 0
标准线性规划问题对偶问题的对偶问题
原问题
min
bT , bT
Y1
Y2
.t.
AT , AT
Y1 Y2
C
对偶问题
Y1 0, Y2 0
max CT X
A b
s.t.
A
X
b
X 0
max 2x1 x2 0x3 0x4 0x5
s.t. 0 1 1 5 0 0 3
1x1 0x2 1 15 x3 1 6 x4 0x5 3
0 0 2 15 1 6 1 1
x j 0, j 1,2,,5
将 x2, x1, x5 的表示式代入目标函数，原问题等价为
max
9
1 15
x3
1 3
x4
s.t. 0 1 1 5 0 0 3
1x1 0x2 1 15 x3 1 6 x4 0x5 3

cplex原理

cplex原理宝子！今天咱来唠唠Cplex这个超有趣的东西的原理呀。

Cplex呢，就像是一个超聪明的小管家，专门处理那些优化问题的。

你想啊，在生活里我们经常会碰到各种需要找到最佳方案的事儿，就像你要出门旅行，怎么安排行程能玩最多的景点还花最少的钱，这就是个优化问题，Cplex就擅长干这个。

它的原理呢，有点像在一个超级大的迷宫里找出口。

比如说，我们有好多的约束条件，这就好比迷宫里的墙壁啊、陷阱啥的。

这些约束条件规定了哪些路能走，哪些路不能走。

像在安排生产计划的时候，可能有机器的生产能力限制、原材料的数量限制这些约束，Cplex就得在这些限制里面去寻找那个最优解。

Cplex在这个大迷宫里开始探索的时候，它会运用一些超级厉害的算法。

这算法就像是它的小地图和指南针。

有一种算法就像是从一个点开始，然后慢慢向周围扩展，去看看哪个方向能让目标函数变得更好。

比如说目标是让利润最大化，那它就朝着利润可能增加的方向走。

这就好比你在找宝藏，你知道宝藏在一个方向能让你变得更富有，你就朝着那个方向走呗。

还有哦，Cplex在处理问题的时候，它会把那些复杂的数学模型转化成它能理解的形式。

这就像是把一篇超级难的文言文翻译成大白话一样。

那些数学公式、变量啥的，在它眼里就像是不同的小玩具，它要把这些小玩具按照规则摆弄好，找到那个最完美的组合。

比如说在物流配送问题里，货物的数量、车辆的载重、运输的距离这些变量，Cplex要把它们组合起来，让运输成本最低。

它还有一个很神奇的地方呢，就是它可以处理超级大规模的问题。

你想啊，要是有成千上万个变量和约束条件，这就像一个超级巨大的拼图，每个小块都得放在正确的位置。

Cplex就有这个本事，它不会被这么多的信息给搞晕，而是有条不紊地去分析、去计算。

这就像一个超级有耐心的小朋友在拼一个超级大的拼图，一块一块地试，直到拼出最完美的图案。

而且呀，Cplex在寻找最优解的过程中，它不是盲目地乱找。

它会根据之前的经验来调整自己的搜索策略。

3 LP问题的对偶理论

他/她——生产资料租用者的投入：租赁工厂的生产设备，支付工时费和材料费，考虑怎样的租赁价格可以接受？
我——生产资料所有者，如何为每种资源定价？
产品A 产品B 资源限量劳动力设备原材料利润元/kg 9 4 3 70 4 5 10 120 360 200 300
仅为理解“对偶规划”的意义而设，现实生活中不存在“不劳而获”的案例。如有发现“不劳而获”存在，纯属巧合！切勿认为“不劳而获”发生在别人身上，也会发生在自己身上。
对偶问题（或原问题）目标函数 MinW
对偶变量数：m个第i个变量≥0 第i个变量≤0 第i个变量是自由变量约束条件数：n 第i个约束条件类型为“≥” 第i个约束条件类型为“≤” 第i个约束条件类型为“=”
1、给每个原始约束条件定义一个非负对偶变量yi(i=1,2,…，n); 2、使原问题的目标函数系数cj变为其对偶问题约束条件的右端常数； 3、使原问题约束条件的右端常数bi变为其对偶问题目标函数的系数； 4、将原问题约束条件的系数矩阵转置，得到其对偶问题目标函数的系数； 5、改变约束条件不等号的方向，即将“≤”改为“≥”； 6、原问题“max”型，对偶问题为“min”型
思路
在考虑定价时，肯定要和生产A、B时的情况进行比较，起码应当使两种情况下的总利润相等。
产品A 产品B 资源限量
价格嘛…… 好商量，好商量。只是…... 王老板李老板
Hi：王老板，听说近来家具生意好惨了，也帮帮兄弟我哦!
劳动力设备原材料利润元/kg
9 4 3 70
m aij yi cj j 1,2,, n s.t. i 1 i 1,2,, m yi符号不限，

第四章线性规划的对偶问题

2 y1 2 y2 3 y3 4 y4 3000
因此得到的线性规划问题模型如下:
min w 600 y1 400 y2 300 y3 200 y4
3 y1 2 y2 y3 y4 2000 4 y y 3 y 2 y 4000 1 2 3 4 s.t. 2 y1 2 y2 3 y3 4 y4 3000 yi 0(i 1 ~ 4)
证明：
若（LP）有最优解，引进松弛变量y y1 ym 0，将
T
（LP）标准化得：
max cx 0T Y max cx x Ax Iy b，即 A, I b y x y 0 x, y 0
(LP)
(s.t.) u1 6u 2 28u3 5
2u1 3u 2 17 u3 6 u1 u 2 4u3 7 u 7u 2u 1 1 2 3 u1 , u 2 , u3 0
由于（LP） max cx 与（LD） min ub 形式上是等价的 Ax b uA c x 0 u 0 所以把它们称为一对对称的对偶规划。
表明（LP）极大化目标函数在可行域上有上界，不可能无界。而一个有可行解的线性规划又不可能为无界的情形，必然有最优解，从而（LP）必有最优解。同理：（LD）亦有最优解。
证明：显然，有最优解的（LP）（LD），必有可行解。
推论2
如果x 、u 分别是（ LP）（LD）的可行解，且 cx u b，则x 、u 分别是（ LP）（LD）的最优解。
现在工厂考虑不进行生产而把全部可利用的资源都让给其它企业单位,但又希望给这些资源订一个合理价格,既使别的单位愿意买, 又使工厂能得到生产这些产品时可以得到的最大效益. 这就需建立另一个线性规划模型,设y1 , y2 , y3 y4代表销售这四种资源的价格，买方希望总售价尽可能低,即：

cplex 使用手册

。对于网络模型，Cplex 有一个非常有效的算法。网络限制包括以下属性：每个非零的系数不是 1 就是-1；这些约束的每一列都有两个非零项，一个系数为 1，另一个为-1。只要他们能转化为具有这些属性，Cplex 能自动提取那些不遵守上述规则的网络。障碍算法是用单纯方法解决线性规划的另一选择。它使用了产生一系列严格正的原始解和对偶解的原——对偶障碍算法。对于大型的稀疏问题，选择障碍算法可能是有优势的。 Cplex 提供了一种筛选算法，这种算法在变量多于约束的问题中会更有效。筛选算法解决了一类线性规划问题，这类线性规划的子问题的结果被用来从原始模型选择列，以列入下一子问题。 GAMS/Cplex 还提供了访问 Cplex 不可行搜索器的接口。不可行搜索器对于不可行的线性规划，产生不可简化的、不一致的约束集（IIS）。IIS 是这样的集合：约束和变量范围是不可行的，但是，当丢弃其中一个条件时，就会变成可行的集合。当 GAMS 方程式和变量命名和包括了 IIS 报告并把它作为正常解列表的一部分时，GAMS 和 Cplex 就会报告 IIS。IIS 只对线性规划问题有用。 3.2 二次约束规划 Cplex 可以求解带有二次约束的模型。它们在 GAMS 中用 QCP 模型表示。 QCP 模型用 Cplex 障碍方法求解。 QP 模型是一种特殊情形，它可转型为含有二次目标函数和线性约束。转型直接可以从 GAMS QCP 自动转化，并且可以用求解 Cplex QP 的方法（障碍算法、单纯形法和对偶单纯形法）求解。对于 QCP 模型，Cplex 只返回原始解，QP 模型还返回对偶解。 3.3 混合整数规划用来求解纯整数规划和混合整数规划的方法比求解同样规模的纯线性规划问题的方法需要更多的数学计算。许多相对小一点的整数规划模型都需要大量的时间来求解。对于整数变量的问题，Cplex 采用分支定界算法，解决了一系列的线性规划问题、子问题。由于一个混合整数规划问题产生了许多子问题，即使是小的混合整数问题，计算强度也是非常大的，并且需要大量的物理内存。

线性规划及其对偶问题

1 0
10
3X1+2X2 60
X1+2X2 30
2X2 24
B C
可行域
0
10
2D0
30
X2 0
(2)、求最优解
X2
Z=40X1+50X2
30
0=40X1+50X2
(0,0)， (10,-8) 20
C点： X1+2X2 =30
3X1+2X2 =60
A
10
可行解
Z=0
0
等值线
最优解：
令 XN 0
则
X

B 1b 0

定义在约束方程组(2) 中，对于一个选定的基B，令所有的非基变量为零得到的解，称为相应于基B 的基本解。
定义在基本解中，若该基本解满足非负约束，
即简称X 基B 可B行1解b ； 0对，应则的称基此B基称本为解可为行基基本。可行解，
基本解中最多有m个非零分量。
Min Z 0.1x1 0.3x2 0.9x3 0x4 1.1x5 0.2x6 0.8x7 1.4x8
2x1 x2 x3 x4 0x5 0x6 0x7 0x8 100
s.t.
0xx1102xx22xx3330xx4403xx5522xx6630xx7740xx88110000

bm

b1,b2,,bm 0
右端常数
(3) 线性规划模型矩阵形式
Max Z CX
s.t
AX b X 0
C c1 c2 cn
价值向量
x1
X

x2

xn

primal-dual method of multiplier -回复

primal-dual method of multiplier -回复这个问题要求我以“原始-对偶乘子法”为主题写一篇1500-2000字的文章，来逐步回答这个问题。

原始-对偶乘子法是一种优化算法，它在解决线性规划问题时特别有效。

我将为您逐步介绍原始-对偶乘子法的定义、基本原理、解决步骤以及它的应用领域和优点。

一、定义原始-对偶乘子法是一种优化算法，用于解决线性规划问题。

其基本思想是通过对问题的原始变量和对偶变量引入乘子，转化成求解一对互相关联的对偶问题，从而实现对原始问题的求解。

二、基本原理原始-对偶乘子法的基本原理是将原始问题和对偶问题联系起来，通过不断迭代求解原始问题和对偶问题，最终达到收敛的目标。

这种方法通过引入乘子，建立原始问题和对偶问题之间的关系，从而实现一种相互促进的求解过程。

三、解决步骤原始-对偶乘子法的解决步骤如下：1.建立原始问题和对偶问题的数学模型。

2.定义原始问题和对偶问题的目标函数及约束条件。

3.通过求解对偶问题的拉格朗日函数局部最小化问题，得到对偶问题的解，并更新乘子。

4.通过求解原始问题的凸优化问题，得到原始问题的解，并更新原始变量。

5.检查算法是否达到收敛条件，若达到则停止迭代，否则继续重复步骤3和步骤4。

四、应用领域原始-对偶乘子法在多个领域都有广泛的应用，包括但不限于：1.物流和供应链管理：用于优化货物运输和仓储的规划问题。

2.电力系统：用于电力市场调度和能源管理问题。

3.运输和交通问题：用于交通网络和路线规划优化。

4.生产计划和调度：用于生产资源分配和调度问题。

5.金融投资组合：用于优化资产配置和风险控制。

五、优点原始-对偶乘子法相比传统的优化算法具有以下优点：1.可以优化线性规划问题，并且对于某些特殊的问题类型有较好的效果。

2.能够获得原始问题的最优解和对偶问题的最优解。

3.具有较高的收敛速度和稳定性，能够在较短的时间内得到解决方案。

4.适用于大规模和复杂的问题，能够处理具有多个变量和约束的优化问题。

连续系统优化的嵌套分割算法实现

2004年1月系统工程理论与实践第1期　文章编号:100026788(2004)0120126204连续系统优化的嵌套分割算法实现路晓伟,蒋　馥(上海交通大学安泰管理学院,上海200052)摘要:　首先介绍了嵌套分割算法(N P 算法)用于离散系统优化的思想和方法,然后提出了连续系统优化的N P 算法实现的思路和方法,并通过将其用于一个经典问题的解决,说明了N P 算法应用于连续系统优化的可行性,同时展示了N P 算法在连续系统优化中优越的全局寻优能力Λ关键词:　嵌套分割算法;连续系统;优化;仿真中图分类号:　N 945.15 文献标识码:　A R ealizati on of N ested Partiti on s A lgo rithm A pp lyingto Con tinuou s System Op ti m izati onLU X iao 2w ei ,J I AN G Fu(A etna Schoo l of M anagem en t ,Shanghai J iao tong U n iversity ,Shanghai 200052,Ch ina )Abstract :　F irst ,th is paper in troduces the idea and the m ethod of N ested Partiti on s A lgo rithm (N PA lgo rithm )app lying to discrete system op ti m izati on .T he p rinci p le of N P A lgo rithm app lying to con tin 2uou s system op ti m izati on is p ropo sed .F inally ,th is paper demon strates the feasib ility of N P A lgo rithmapp lying to con tinuou s system op ti m izati on and reveals its excellen t capab ility of global op ti m izati on byso lving a classical op ti m izati on p rob lem .Key words :　nested partiti on s algo rithm ;con tinuou s system ;op ti m izati on ;si m u lati on收稿日期:2002212206资助项目:国家自然科学基金(70271038) 作者简介:路晓伟(1976-),男,汉族,山东人,上海交通大学管理学院博士生,主要从事仿真优化方法、管理信息系统等方面的研究1　引言在管理实践中,经常遇到一些复杂的系统优化问题,它们的输入和参数受到随机因素的影响,输出不确定,系统的目标函数也不能够用解析形式的表达式表示出来Λ近几年来,这种随机优化问题越来越受到人们的重视,并提出了许多能够有效解决这类问题的启发式仿真优化方法Λ如常用的遗传算法(GeneticA lgo rithm )、模拟退火算法(Si m u lated A nnealing )、蚂蚁算法(A n t algo rithm )等ΛSh i ,O ′lafsson 等于1997年提出了嵌套分割算法(N ested Partiti on s algo rithm ,简称N P 算法)[1,2],并从理论上对该算法的收敛性作了证明Λ这种优化方法将全局搜索与局部寻优结合在一起,具有开放性、并行性和全局性等突出的优点,能够解决许多复杂系统的确定型和随机型优化问题,并且具有很高的计算效率Λ它可以与其他优化方法进行有机的融合,兼收其他方法的优点Λ如Sh i ,O ′lafsson ,Chen (1999)等将嵌套分割算法与遗传算法结合起来,得到了比遗传算法更好的结果[3]Λ嵌套分割算法还具有显著的并行计算的特征,可以使用并行方法来进一步提高优化效率ΛSh i ,O ′lafsson ,Sun ,Chen ,Y ücesan (1999,2001)等将嵌套分割算法应用于T SP 问题、供应链管理、产品设计、机器分配等领域,取得了显著的效果[4-6]Λ虽然该方法具有非常广阔的应用前景,但国内目前还没有见到有关N P 算法研究和应用的文献Λ而且,现有的文献主要是侧重N P 算法在离散系统优化中的应用,文献[1]也只是提及N P 算法可以延伸到连续系统优化领域,没有对该算法在连续系统优化中的实现进行详细阐述,更没有这方面的应用案例Λ本文将在对离散系统优化的N P 算法进行简要介绍的基础上,提出完整的连续系统优化的N P 算法实现思路,然后通过将其应用于一个经典难题的解决说明了其实现过程,同时也展示了N P 算法在连续系统优化中的全局寻优能力Λ2　NP 算法的思想和方法对于复杂系统的优化问题,我们设系统参数的有限可行域为(,目标是优化系统的目标函数f :(→R ,即m in Η∈(f (Η)其中 ( <∞Ζ为便于分析,假设该问题有唯一的最优解Ηop t ∈(,满足对所有的Η∈( Ηop t ,有f (Ηop t )<f (Η)Ζ在实践中,f (Η)经常是复杂系统性能指标的测度,而且没有解析式用以表达系统性能指标与参数的解析关系Ζ这种情况下,需要用仿真的方法,用系统性能指标的仿真结果L t (Η)来估计f (Η)Ζ目标函数的形式既可以是确定型的,也可以是随机型的Ζ定义1　一个通过固定的分割策略得到的区域称为该策略下的可行域(V alid R egi on )Λ只含有一个单解的细分区域称为单解域(Singleton R egi on )Λ所有可行域的集合表示为2Ζ单解域具有特别的意义,我们把单解域的集合表示为20ΖN P 算法的实质是着眼于可行解的集合,而不是着眼于单个可行点,在这点上它是与其他启发式算法不同的ΖN P 算法是对可行域进行反复细分的过程Ζ从整个可行域(开始,将整个可行域逐渐细分,直到分为单解域或达到精度要求为止Ζ定义2　由原有限可行域开始进行分割,到达一个可行域的分割层数成为该可行域的深度(D ep th ),表示为d :2→N 0Ζ原可行域的深度为0,即d (()=0Ζ单解域具有最大深度,因此也被称为最大深度域Ζ定义3　如果一个可行域Ρ∈2是通过分割可行域Γ∈2得来的,则称Ρ为Γ的子域(Sub regi on ),Γ称为Ρ的母域(Sup erregi on )Ζ我们定义母域函数映射s :2→2,若Ρ∈2 (,则s (Ρ)=Γ∈2,当且仅当Ρ<ΓΖ为使定义完整起见,定义s (()=(Ζ设定效果函数I :2→R ,用来选择最有希望包含最优解的区域(最可能域),因此称之为品质索引数(P rom ising Index )ΛN P 算法具有开放性,可以根据需要设定品质索引数的形式,唯一的要求就是它要与单解域上的效果函数相一致Ζ假设经过第k 次重复分割,得到了最可能域Ρ(k )Α(Ζ然后把该可行域分割成M Ρ(k )个子域,并把Ρ(k )以外的整个区域看成一个区域Ζ在每一次重复分割的时候,我们都只是考虑M Ρ(k )+1个不相交的可行域的子集(初次分割除外)Ζ然后在得到的每个区域上利用随机抽样方法计算该区域的品质索引数,用以比较确定哪个区域是最可能域Ζ然后依此重复进行分割,直到得到不再变化的单解域为止Ζ如果Ρ(k )以外的整个区域被认为是最可能域,则要回溯到包含当前最可能域的较大区域,并将其作为下一步继续分割的最可能域Ζ由于所得到的分割区域是一层一层嵌套的,所以该优化方法称为嵌套分割法(N ested Partiti on s M ethod )ΛN P 算法包括四个基本算子:分割(Partiti on ),抽样(Sam p ling ),选区(Selecti on ),回溯(B ack 2track )Ζ其寻优过程也是反复使用这四个算子的重复过程Ζ在对得到的可行域进行抽样时,可以采取多种多样的随机抽样方法,只要满足区域中的每一个点被选择的概率大于0即可Ζ3　连续系统优化的NP 算法实现对于可行域是有限的连续空间的系统优化问题,不管是确定型的还是随机型的,仍然可以使用N P 算法来实现Λ在这种情况下,要把可行域无限分解为单解域理论上需要无穷次嵌套分割,因此几乎是不可能的Λ我们可以设定一个精度指标Ε,当得到的最优解在精度要求的范围之内,就可以认为得到了连续系统优化问题的最优解(满意解)Λ利用N P 算法实现连续系统优化,需要设计优化方案,包括分割区域的形状、每层的分割区域数目、嵌套分割深度、精度要求等Ζ设该连续系统优化问题具有n 个系统参数:x 1,x 2,…,x n ,其取值范围分别为721第1期连续系统优化的嵌套分割算法实现[x ib,x if](i=1,2,…,n)Ζ最优解的精度要求为ΕΖ考虑到分割策略一经确定,就应保持不变Ζ为方便起见,我们设定每个系统参数都是平均分割的,每次分割将参数x i平均分割为N i等份,分割区域的形状为凸多面体形Ζ当系统参数为二维时,分割区域为矩形;系统参数为三维时,分割区域为长方体Ζ有时为方便起见,可以将各个参数的分割数目设为相等,即N1=N2=…=N n=NΖ当达到精度要求时,应使经分割得到的最可能域的边长小于精度ΕΖ经过一次分割,将得到7n i=1N i个子域,得到的子域Ρ(k)大小缩减为原来的17n i=1N iΖ经过一次分割,每一个参数的范围都变为原来的1 N i,因此满足不等式m axi x if-x ibN D iΦΕ(1)的最小正整数D就是所需分割的最大深度Ζ图1　连续系统优化N P算法的实现流程图对当前最可行域的每个分区进行抽样时,确定每个分区的抽样点数目为m,并使得分区内的每一个点被抽样的概率大于0Ζ为适当增加第MΡ(k)+1个分区(即当前最可能域之外的整个区域)的抽样密度,保证N P算法对连续系统优化的全局寻优能力,可以适当增加该区域的抽样点数目,如我们可以设该数目为m ・d,其中d为当前分区的深度Ζ因此,每进行一次嵌套分割,所需的抽样点数目为m 7n i=1N i+m d,则D层深度的嵌套分割所需的最少抽样点数目为m D7n i=1Ni+D+12Ζ在仿真优化中,每进行一次抽样,就是调用一次仿真程序Ζ尤其是当仿真模型非常复杂时,仿真程序的执行时间占用了仿真优化的大部分时间Ζ因此,仿真优化的计算效率在很大程度上取决于调用仿真程序的次数Ζ在保证满足精确度要求和全局寻优能力的前提下,尽量减少调用仿真程序的次数,是提高N P算法计算效率的主要途径Ζ如果系统参数每次分割的数目N i减少,则所需的分割层数D就要相应增加Ζ而减少每个区域上的抽样数目m,又会使得N P算法的全局寻优能力降低Ζ因此,确定连续系统的N P算法优化方案,就是要合理平衡分割数目N i、分割深度D和每个区域上的抽样数目m,使得调用仿真程序的次数尽可能少Ζ连续系统优化的N P算法实现框图如图1所示Ζ将分割得到的最可能域是否满足精度要求作为判断优化是否结束的准则Ζ如果没有达到精度要求,则继续对当前最可能域进行分割,并对分割得到的各个子域及其之外的整个区域进行抽样,并通过比较,找到品质索引数最大的区域Ζ如果该区域是当前最可能域的子域,则将其作为最可能域Ζ如果该区域是当前最可能域之外的整个区域,则进行回溯,将深度减1,并将当前最可能域的母域作为下一步的最可能域Ζ依此重复进行,直到达到精度要求为止,此时取最终分区的几何中点作为连续系统优化问题的最优解(满意821系统工程理论与实践2004年1月解)Ζ4　NP 算法解决连续系统优化问题的算例我们考虑用N P 算法解决连续系统优化的“大海捞针”问题:m ax Z =30.05+(x 21+x 22)2+(x 21+x 22)2,　x 1,x 2∈[-5.12,5.12]图2　连续系统算例的图象该问题具有唯一全局最优解,四个局部最优解,其图象如图2所示Ζ设定精确度要求Ε=0.001,两个系统参数的单次分割数目N 1=N 2=3,则经过一次分割,得到的子域为其母域大小的1 9Ζ根据式(1)可得:10.243DΦ0.001 取满足上式的最小正整数D ,得D =9Ζ因此,可以确定N P 算法的优化方案为:对最可能域每次将各个系统参数平均分割为3部分,最大分割深度为9,对每个区域随机抽样100个点,精度为0.001Ζ根据优化方案,编写C 语言程序,可以得到结果为:最优解(x 1,x 2)3=(0,0),最优值Z 3=0Ζ回溯次数为0,可见N P 算法用于解决该问题具有很强的收敛性Ζ5　结束语作为一种新的仿真优化方法,N P 算法从开始提出到付诸应用,主要都是针对离散系统的Λ而对于在管理实践中经常遇到的连续系统优化问题,N P 算法没有给出完整的规则和方法,也未见有该方面的应用实例Λ本文从N P 算法的理论基础出发,提出了将N P 算法用于解决连续系统优化的思路、方案和方法Λ通过将N P 算法用于一个经典难题的解决,我们可以看到,N P 算法经过适当的发展,完全可以应用于连续系统的优化问题,并且具有显著的全局寻优能力Λ参考文献:[1]　Sh i L .N ested partiti on s m ethod fo r global op ti m izati on [J ].Operati on s R esearch ,2000,48(3):390-407.[2]　O ′lafsson S ,Sh i L .A n in tegrated fram ew o rk fo r determ in istic and stochastic op ti m izati on [A ].P roceedings of the1997W in ter Si m u lati on Conference [C ].1997.358-365.[3]　Sh i L ,O ′lafsson S ,Chen Q .A new hyb rid op ti m izati on algo rithm [J ].Compu ters &Indu strial Engineering ,1999,(36):409-426.[4]　Sh i L ,O ′lafsson S ,Sun N .N ew parallel random ized algo rithm s fo r the traveling sales m an p rob lem [J ].Compu ters&Operati on s R esearch ,1999,(26):371-394.[5]　Sh i L ,Chen C H ,Y ücesan E .Si m u ltaneou s si m u lati on experi m en ts and nested partiti on fo r discrete resou rce alloca 2ti on in supp ly chain m anagem en t [A ].P roceedings of the 1999W in ter Si m u lati on Conference [C ].1999.395-401.[6]　Sh i L ,O ′lafsson S ,Chen Q .A n op ti m izati on fram ew o rk fo r p roduct design [J ].M anagem en t Science ,2001,47(12):1681-1692.921第1期连续系统优化的嵌套分割算法实现。

基于对偶图正则化的多层概念分解算法

————————————————————————————————————————————————基于对偶图正则化的多层概念分解算法作者张显，叶军机构南京邮电大学理学院基金项目江苏省自然科学基金资助项目（BK20150867）；南京邮电大学国家自然科学基金孵化资助项目（NY215125）预排期卷《计算机应用研究》2019年第36卷第3期摘要为了进一步挖掘数据间的隐藏信息，在多层概念分解(MCF)算法的框架下，考虑每一层分解下的数据流形和特征流形，提出了一种基于对偶图正则化的多层概念分解(DGMCF)算法。

该算法通过对数据的逐层分解，以分层的方式学习，并在每一层分解数据中构建数据空间和特征属性空间的拉普拉斯图，用于反映数据流形和特征流形的多元几何结构信息，从而能够更好地从复杂数据中提取出更有效的特征。

采用交替迭代的方法求解算法的目标函数并证明了算法的收敛性。

通过在三个真实数据库(TDT2、PIE、COIL20) 上的实验表明，该方法在数据的聚类表示效果方面优于其他方法。

关键词概念分解；多层分解；对偶回归；流形学习；聚类作者简介张显（1994-），男，硕士研究生，主要研究方向为模式识别、人脸识别、机器学习、计算机视觉；叶军（1981-），男，副教授，博士，主要研究方向为模式识别、机器学习、图像处理（yj8422092@）．中图分类号TP391访问地址/article/02-2019-03-032.html发布日期2018年4月17日引用格式张显, 叶军. 基于对偶图正则化的多层概念分解算法[J/OL]. 2019, 36(3). [2018-04-17]./article/02-2019-03-032.html.第36卷第3期计算机应用研究V ol. 36 No. 3 优先出版Application Research of ComputersOnline Publication——————————基金项目：江苏省自然科学基金资助项目（BK20150867）；南京邮电大学国家自然科学基金孵化资助项目（NY215125）作者简介：张显（1994-），男，硕士研究生，主要研究方向为模式识别、人脸识别、机器学习、计算机视觉；叶军（1981-），男，副教授，博士，主要研究方向为模式识别、机器学习、图像处理（yj8422092@ ）．基于对偶图正则化的多层概念分解算法 *张显，叶军(南京邮电大学理学院, 南京 210023)摘要：摘要：为了进一步挖掘数据间的隐藏信息，在多层概念分解(MCF)算法的框架下，考虑每一层分解下的数据流形和特征流形，提出了一种基于对偶图正则化的多层概念分解(DGMCF)算法。

用对偶单纯形法求对偶问题的最优解

用对偶纯真形法求对偶问题的最优解之迟辟智美创作摘要：在线性规划的应用中，人们发现一个线性规划问题往往陪伴着与之配对的另一个线性规划问题.将其中一个称为原问题，另一个称为对偶问题.对偶理论深刻揭示了原问题与对偶问题的内在联系.由对偶问题引申出来的对偶解有着重要的经济意义.本文主要介绍了对偶问题的基本形式以及用对偶纯真形法求解对偶问题的最优解.关键词：线性规划；对偶问题；对偶纯真形UsingDual Simplex MethodToGetThe Optimal SolutionOfTheDualProblemAbstract：In the application of the linear programming，people find thata linear programming problem is often accompanied by another paired linear programming problem.One is called original problem. Another is calledthe dual problem.Duality theory reveals the internal relations between the dual problem and the original problem.The solution ofthe dual problem is of a great economic significance.In this paper，we mainly discuss the basic form of the dual problem and how to use dual simplex method toget the optimal solution of the dual problem.Keywords:linear programming；dual problem；dual simplex method1 引言(对偶问题)与它密切相关，对偶理论揭示了原问题与对偶问题的内在联系.下面将讨论线性规划的对偶问题的基本形式以及用对偶纯真形法求最优解.在一定条件下，对偶纯真形法与原始纯真形法相比有着显著的优点.2 对偶问题的形式偶问题.对称形对偶问题设原线性规划问题为2.1）则称下列线性规划问题2.2）（2.1）和（2.2）式为一对对称型对偶问题.原始对偶问题（2.1）和对偶问题（2.2）之间的对应关系可以用表2-1暗示.表2-1原始约束Min WMax Z这个表从横向看是原始问题，从纵向看使对偶问题.用矩阵符号暗示原始问题（2.1）和对偶问题（2.2）为2.3） 2.4）. 2.2 非对称对偶问题线性规划有时以非对称形式呈现，那么如何从原始问题写出它的对偶问题，我们从一个具体的例子来说明这种非对称形式的线性规划问题的对偶问题的建立方法. 例1写出下列原始问题的对偶问题解：第一约束不等式等价与下面两个不等式约束第二个约束不等式照写第三个不等式酿成对偶问题为非负限制，则对偶问题中的相应约束为等式. 3 对偶纯真形法对偶问题求解具有重要的意义，有多种方法解决对偶问题.下面介绍用对偶纯真形法来解决线性规划的对偶问题.基：规划问题中的一个基..B 基向量.. 非基变量：与非基向量相应的变量叫非基变量，非基.由线性代数的知识知道，如果我们在约束方程组系数矩阵中找到一个基，令这个基的非基变量为零，再求解这线性规划的基本解.首先重新回顾一下纯真形法的基本思想，其迭代的基本思路是：先找出一个基可行解，判断其是否为最优解，如果不是，则转换到另一更优的基可行解，并使目标函数值不竭优化，直到找到最优解为止.我们可以用另一种思路，使在纯真形法每次迭代的基本解都满足最优检验，但纷歧定满足非负约束，迭代时使不满足非负约束的变量个数逐步减少.当全部基变量都满足非负约束条件时，就获得了最优解，这种算法就是对偶纯真形法.因此，纯真形法是从一个可行解通过迭代转到另一个可行解，直到检验数满足最优条件为止.对偶纯真形法是从满足对偶可行性条件动身通过迭代逐步搜索出最优解.在迭代过程中始终坚持基解的对偶可行性，而使不成行性逐步消失.第一，把所给的线性规划问题转化为标准型；于是，已求得最优解，计算终止.否则转为第四步；最小比值呈现在末列，则该列的行和进基变量列交点处的元素为主元进行纯真形迭代，再转入第三步.下面用一个例子具体说明用对偶纯真形法求线性规划问题最优解的步伐：例1 求解线性规划问题添加松弛变量以后的标准型将每个等式两边乘以-1，则上述问题转化为（表）表3-1右边0 -50 -5 -1 -2 0 1 -4-15 -5 -11 0 0的基本解不是基可行解，从而也就不能用纯真形法求解.下面我们用一种新的方法对偶纯真形法求解此题，并通过例题来说明方法步伐.对偶纯真形法的基本思想：是保证检验数行全部非正的条件下，逐步使得“右边”“右边”一列各数均满足了非负条件（即可行性条件），则就获得最优解.的实现，可按下面的方法确定出基变量和进基变量.出基变量简直定可以取任意一个具有负值的基变量（一般可取最小的）为出基变量..3.1）为-3，-2，-2.它们对应的检验数分别为-15，-5，-11. 于是2-1进行一次迭代便得表2-2，在表2-2的（1对（1）再作纯真形变换，得表3-1之（2）.由于它的“右边”已列出全部非负，故它就是最优表.最优解为：，，表3-1右边（1）（2）然而在有些问题中，我们很容易找到初始基本解，因此使用对偶纯真形法求解线性规划问题是有一定条件的，其条件是：(1)纯真形表的b 列中至少有一个负数. (2)纯真形表中的基本解都满足最优性检验.对偶纯真形法与原始纯真形法相比有两个显著的优点：(1)初始解可以是不成行解，当检验数都非正时，即可进行基的变换，这时不需要引入人工变量，因此简化了计算. (2)对变量个数多于约束方程个数的线性规划问题，采纳对偶纯真形法计算量较少.因此对变量较少、约束较多的线性规划问题，可以先将其转化为对偶问题，然后用对偶纯真形法求解.对变量多于约束条件的线性规划问题，用对偶纯真形法进行计算可以减少计算的工作量.因此对变量较少，而约束条件很多的线性规划问题，可先将此问题转化为对偶问题，然后用对偶纯真形法求解.用对偶纯真形法求解线性规划问题的标准型，要求初始纯真形表检验数行的检验数必需全部非正，若不能满足这一条件，则不能运用对偶纯真形法求解.对偶纯真形法的局限性主要是，对年夜大都线性规划问题来说，很难找到一个初始可行基，因此这种方法在求解线性规划问题时，很少独自应用.参考文献：[1] 吴祈宗．运筹学学习指导及习题集[M]．北京：机械工业出书社，2006．[2] 孙君曼，冯巧玲，孙慧君，等．线性规划中原问题与对偶问题转化方法探讨[J]．郑州:工业学院学报（自然科学版），2001，16(2):44~46．[3] 何坚勇．运筹学基础．北京：清华年夜学出书社，2000．[4] 周汉良，范玉妹. 数学规划及其应用．北京：冶金工业出书社．[5] 陈宝林．最优化理论与算法(第二版)．北京：清华年夜学出书社，2005．[6] 张建中，许绍吉. 线性规划. 北京：科学出书社，1999.[7] 姚恩瑜，何勇，陈仕平．数学规划与组合优化．杭州：浙江年夜学出书社，2001．[8] 卢开澄．组合数学算法与分析．清华年夜学出书社，1982．[9] Even．Shimon．Algzithmic Combinatorial．TheMacmillan Company， New York， 1973．[10] J．P．Tremblay，R．Manohar．Discrete Mathematical Structures with Applications to Computer Science， 1980．[11] 李修睦．图论．华中工学院出书社， 1982．[12] Pranava R G．Essays on optimization and incentive contracts [C]．Massachusetts Institute of Technology，Sloan School of Management: Operations Research Center，2007: 57- 65．[13] Schechter，M．A Subgradient Duality Theorem，J．Math Anal Appl．，61(1977)，850-855．[14] Maxims S A．Note on maximizing a submodular set function subject to knap sack constraint[J]．Operations Research Letters， 2004， 32 (5) : 41 - 43．[15] Schechter，M．More on Subgradient Duality，J．Math.Anal.Appl．，71(1979)，251-262．[16] Nemhauser GL， Wolsey L A， Fisher M L．An analysis of approximations formaximizing submodular set functions II[J]．Math．Prog．Study， 1978， 8: 73 - 87．[17] SviridenkoM．A note on maximizing a submodular set function subject to knap sack contraint[J]．Operations Research Letters， 2004， 32: 41 - 43．[18] 卢开澄．图论及其应用．北京：清华年夜学出书社，1981．[19] 张干宗．线性规划（第二版）．武汉：武汉年夜学出书社，2007．[20] 周维，杨鹏飞．运筹学．北京：科学出书社，2008．[21] 宁宣熙．运筹学实用教程（第二版）．北京：科学出书社发行处，2009．。

对偶分解法

对偶分解法对偶分解法（Dualdecomposition）是一种将原始问题优化变量和目标函数分解成多个子问题的求解方法，是一种迭代型优化方法，属于优化理论中解析法（analytical method）的一种，它把原始问题分解为若干子问题，把复杂的问题简化，以期能够更快、更有效地获得最优解。

对偶分解法的发展对偶分解法的研究兴起于20世纪50年代，不过最初它只被用于几何优化和投影优化问题。

到20世纪80年代，半步克隆程序（half-step program）在最优化理论中引起了关注，并在技术市场被广泛使用。

到了21世纪，随着统计学、进化计算等新的思想的涌现，几乎所有的优化技术都被发展出新的解决方案。

例如非线性规划、粒子群优化、优化算法等，都能够实现对复杂问题的有效解决。

而对偶分解法则依然是优化算法的基础之构成。

对偶分解法的原理对偶分解法的原理即是将原来的问题分解为多个子问题，以期能够更有效地解决复杂优化问题。

具体来说，该方法通过将优化变量分解成多个不同的子集，并分别求解每个子集中的变量，最终以求得多个子集变量的最优解来达到求解原始问题的目的。

原始问题为：min f(x)s.t g1(x) = 0g2(x) = 0........gn(x) = 0对偶分解法的处理方法为：1、将优化变量分成多个子集：x1, x2…xm2、求解每个子集的变量：在这里，我们将第一个子集的子集变量x1求解，问题为： min f1(x1)s.t g1(x1) = 0g2(x1) = 0........gn(x1) = 0求解完第一子集变量x1后，剩余如下：min f2(x2, x3,xm)s.t g1(x2, x3,xm) = 0g2(x2, x3,xm) = 0........gn(x2, x3,xm) = 03、将求解的变量再次合并：min f(x1, x2,xm)s.t g1(x1, x2,xm) = 0g2(x1, x2,xm) = 0........gn(x1, x2,xm) = 0这样整个问题就可以解决。

《对偶解的经济解释》课件

《对偶解的经济解释》ppt课件
目录
• 对偶解的基本概念 • 对偶解在经济学中的应用 • 对偶解的求解方法 • 对偶解的经济学意义 • 对偶解的发展前景
01
对偶解的基本概念
Chapter
对偶问题的定义
01
对偶问题：在优化问题中，原问题与对偶问题具有密切的关系，对偶问题通过对原问题的约束条件和目标函数进行变换，形成与原问题等价或近似等价的问题。
02
对偶问题在形式上与原问题相反，通常将原问题的约束条件变为目标函数，同时调整其他参数和约束条件。
对偶问题的特点
对偶性
对偶问题与原问题存在着最优解的对偶关系，即当原问题达到最优解时，对偶问题也达到最优解
，反之亦然。
互补性
对偶问题的目标函数与原问题的约束条件在数学上具有互补性，即它们的和等于某个常数。
非线性规划的对偶解法具有许多优点，如能够处理非线性问题和多约束问题等。同时，它也有一些局限性，如对于某些非凸问题可能存在局部最优解而非全局最优解的问题。
04
对偶解的经济学意义
Chapter
对偶解与资源配置效率
总结词
资源配置效率的提高是经济学追求的重要目标之一，对偶解在资源配置效率方面有着重要的应用。
Chapter
对偶解在经济学中的新应用
01
02
03
金融市场分析
利用对偶解方法分析金融市场的复杂系统，预测市场趋势和风险。
产业组织理论
研究产业内企业间的竞争与合作，分析市场结构、企业策略和绩效。
劳动经济学
探讨劳动力市场供需关系、工资决定机制和就业问题，分析劳动力市场的对偶性。
对偶解在其他领域的应用
详细描述

第四章、对偶(DP)问题

性质7：原问题的检验数行对应其对偶问题的一个基解
四、对偶问题的经济意义 ——影子价格
在问题的提出中，我们得到原问题的最优解是（75，15），最优值是570。并可求得在此最优方案下的资源耗用：原料甲耗用：1*75+1*15=90 原料乙耗用：5*75+2*15=405 原料丙耗用：2*75+6*15=240 该问题的对偶问题的最优解为（5，0，.5），最优值为570。
可以看出原问题和对偶问题的最优值相等。事实上这可以由对偶问题的性质 5 得到。从对偶问题的最优解中可以看出：如果原料甲由 90 变成 89，由于 y1 =5，则目标函数值将减少 5，即总利润将减少 5。可见 y1 =5 描述了在此最优生产计划下，原料甲的变动给总利
y 润带来的影响。在此意义下，称 1 =5 为资源甲在此最优生产
m 个约束方程第 i 个约束方程
m 个变量
变
a x
j 1 yi 0 量第 i 个变量 yi 0
第 i 个约束方程 aij x j bi
j 1 n
第 i 个约束方程约束条件右端项目标函数中变量的系数
a x
j 1 ij
j
bi
第 i 个变量i
x1 x X 2 x n b1 b b 2 b m
C (c1, c2 ,, cn )
Y ( y1, y2 ,, ym )
⑵非对称形式的线性规划问题的对偶问题
原问题（或对偶问题）目标函数 max z 变 n 个变量第 j 个变量， x j 0 量第 j 个变量，对偶问题（或原问题）
五、对偶单纯形法的原理及其求解步骤

线性规划初始对偶可行基本解的一种求法

线性规划初始对偶可行基本解的一种求法
李蕊;王艳红
【期刊名称】《西安工业大学学报》
【年(卷),期】2014(000)003
【摘要】运用对偶单纯形法求解线性规划问题时，需要先给定一个初始对偶可行的基本解。

然而在线性规划问题的约束条件Ax＝ b中，矩阵A一般不含m阶单位矩阵，此时初始对偶可行的基本解不易求得。

文中通过对线性规划问题增加人工变量和一个约束条件，给出一步便能求出其初始对偶可行基本解的简便方法，进而通过对偶单纯形法进行迭代解决线性规划问题。

【总页数】4页(P173-176)
【作者】李蕊;王艳红
【作者单位】西安工业大学理学院，西安710021;西安工业大学理学院，西安710021
【正文语种】中文
【中图分类】O221
【相关文献】
1.一种求线性规划问题初始基可行解的方法 [J], 范国兵
2.一种求线性规划问题初始基可行解的方法 [J], 范国兵
3.一种求线性规划问题的初始基本可行解的新方法 [J], 张卫国
4.求线性规划初始基可行解的一种直接方法 [J], 杨富贵;梁邦助
5.线性规划初始基本可行解的新算法 [J], 安中华;周树民;安琼
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c++中cplex调用固定求解算法

《深入探讨C++中CPLEX调用固定求解算法》1. 简介在C++编程中，CPLEX是一个非常强大的数学优化工具，它可以帮助程序员解决复杂的线性规划、整数规划、混合整数规划等问题。

其中，调用固定求解算法是CPLEX的重要部分，本文将深入探讨C++中CPLEX调用固定求解算法的相关内容。

2. 固定求解算法概述固定求解算法是一种针对离散优化问题的一种特殊算法，它能够有效地解决诸如装箱问题、分配问题、旅行商问题等组合优化问题。

在C++中，我们可以通过调用CPLEX库来使用固定求解算法，实现对这些问题的求解。

3. CPLEX库的使用在C++中，要使用CPLEX库进行固定求解算法的调用，首先需要引入CPLEX相关的头文件，并信息对应的库文件。

在代码中，可以使用CPLEX提供的类和函数来创建数学模型、定义变量、添加约束、设置目标函数等。

通过调用CPLEX的求解器来求解模型，得到最优解或最优值。

4. 调用固定求解算法的参数设置在调用固定求解算法时，需要设置一些参数来指导求解过程。

可以设置求解时间限制、最大迭代次数、目标函数的类型（最大化或最小化）、输出的详细程度等。

这些参数的设置会直接影响算法的求解效果和速度。

5. 案例分析为了更加直观地理解C++中CPLEX调用固定求解算法的过程，下面以一个具体的案例来进行分析。

假设有一个装箱问题，需要将不同重量和体积的物品装入不同容量的箱子中，使得每个箱子的重量和体积尽可能接近箱子的容量。

通过使用CPLEX库调用固定求解算法，可以很方便地实现对这个问题的求解。

6. 个人观点和理解作为一名C++编程者，通过学习和掌握CPLEX库的使用，我深刻理解了固定求解算法在离散优化问题中的重要作用。

在实际项目中，使用CPLEX库进行固定求解算法的调用，可以大大提高问题的求解效率和准确性，为解决实际问题提供了有力的支持。

7. 总结通过本文的深入探讨，我们对C++中CPLEX调用固定求解算法有了更加深刻的理解。

基于CPLEX和C++语言求解优化问题的过程

基于CPLEX和C++语言求解优化问题的过程作者：蒋争明关青苗来源：《电脑知识与技术》2015年第23期摘要：CPLEX 是目前世界上顶尖的求解线性规划、整数规划和某些非线性规划的软件包。

它可以用 C、C++、JAVA、.NET 等多种计算机语言进行建模，考虑到C++语言的灵活性及其可扩展性，该文首先介绍CPLEX及其求解优化问题的原理，然后重点阐述如何利用CPLEX软件包编写C++程序来求解优化问题，对该问题进行讨论，具有重要的理论和实际价值。

关键词：CPLEX；优化问题中图分类号：TP311 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2015）23-0049-021 概述CPLEX是一种用于GAMS （一般代数建模系统）的求解器，用户可以将CPLEX 的优化求解器能与GAMS的高水平建模功能结合起来，CPLEX设计的理念是在最小的用户介入下快速的求解大型复杂问题。

它可用于求解线性规划（Linear programming）问题、二次规划（quadratic programming）问题、二次约束规划（quadratically constrained programming）问题与混合整数规划（mixed integer programming）问题。

可以处理数以百万计的约束（constraint）和变量（variable）的问题，并且由于其灵活性、高性能型和稳定性，一直备受业界人士的青睐。

开发人员只需要通过应用组件调用ILOG CPLEX算法就能实现交互式工作，从而完成数据的读写和优化问题的求解，ILOG CPLEX性能经调整后，我们就可以解决特定的问题。

同时ILOG CPLEX算法在PRESOLVE算法的基础上，与它紧密集成，不需要用户整合，将大规模的问题可以转换为小规模的问题，从而缩短求解时间。

而且ILOG CPLEX中每个优化器都有许多性能调整的选项，可以根据具体优化问题的需要，对相关性能进行调整。

对偶问题——精选推荐

对偶问题对偶理论 - 对偶理论(from 互动百科) 发展简史　在线性规划早期发展中最重要的发现就是对偶问题，即每⼀个线性规划问题(称为原始问题)都有⼀个与它对应的对偶线性规划问题（称为对偶问题）。

1928年美籍匈⽛利数学家在研究对策论时已发现线性规划与之间存在着密切的联系。

两⼈可表达成线性规划的原始问题和对偶问题。

他于1947年提出对偶理论。

1951年引⽤对偶理论求解线性规划的运输问题，研究出确定检验数的位势法原理。

1954年C.莱姆基提出对偶单纯形法，成为管理决策中进⾏的重要⼯具。

对偶理论有许多重要应⽤：在原始的和对偶的两个线性规划中求解任何⼀个规划时，会⾃动地给出另⼀个规划的最优解；当对偶问题⽐原始问题有较少约束时，求解⽐求解原始规划要⽅便得多；对偶规划中的变量就是。

对偶问题　每⼀个线性规划问题都伴随有另⼀个线性规划问题，称为对偶问题。

原来的线性规划问题则称为原始线性规划问题，简称原始问题。

对偶问题有许多重要的特征，它的变量能提供关于原始问题最优解的许多重要资料，有助于原始问题的求解和分析。

对偶问题与原始问题之间存在着下列关系：①⽬标函数对原始问题是极⼤化，对对偶问题则是极⼩化。

②原始问题⽬标函数中的收益系数是对偶问题约束不等式中的右端常数，⽽原始问题约束不等式中的右端常数则是对偶问题中⽬标函数的收益系数。

③原始问题和对偶问题的约束不等式的符号⽅向相反。

④原始问题约束不等式系数矩阵转置后即为对偶问题的约束不等式的系数矩阵。

⑤原始问题的约束⽅程数对应于对偶问题的变量数，⽽原始问题的变量数对应于对偶问题的约束⽅程数。

⑥对偶问题的对偶问题是原始问题，这⼀性质被称为原始和对偶问题的对称性。

基本定理　原始问题和对偶问题的标准形式如下：原始问题对偶问题max z＝c x min ＝ybs.t. Ax≤b s.t. yA≥cx≥0 y≥0式中max表⽰求极⼤值,min表⽰求极⼩值,s.t.表⽰“约束条件为”；z为原始问题的⽬标函数，w为对偶问题的⽬标函数；x为原始问题的决策变量列向量（n×1），y为对偶问题的决策变量⾏向量(1×m);A为原始问题的系数矩阵(m×n),b为原始问题的右端向量（m×1），c为原始问题的⽬标函数系数⾏向量（1×n）。

Cplex学习笔记

Cplex学习笔记The dual simplex method is the first choice for optimizing a linear programming problem, especially for primal-degenerate problems with little variability in the righthand side coefficients but significant variability in the cost coefficients.Primal Simplex Optimizerwill sometimes work better on problems where the number of variables exceeds the number of constraints significantly, or on problems that exhibit little variability in the costcoefficients.654Network Optimizer may have a positive impact on performance of network structureThe barrier optimizer offers an approach particularly efficient on large, sparse（稀疏的）problemsSifting was developed to exploit the characteristics of models with large aspect ratios (that is, a large ratio of the number of columns to the number of rows).The concurrent optimizer（并行优化）多线程计算机平台简言之：原始变量多于约束对偶右停左变，边界大型稀疏阵筛选行列数差大。

线性规划原问题与对偶问题的转化及其应用解析

线性规划原问题与对偶问题的转化及其应用摘要线性规划对偶问题是运筹学中应用较广泛的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.线性规划对偶问题能从不同角度为管理者提供更多的科学理论依据，使管理者的决定更加合理准确.本文主要探讨了线性规划原问题与对偶问题之间的关系、线性规划原问题与对偶问题的转化以及对偶理论的应用.本文的研究主要是将复杂的线性规划原问题转化成对偶问题进行解决，简化了线性规划问题，使人们能够快速的找出线性规划问题的最优解.关键词：线性规划；原问题；对偶问题；转化Linear Programming is the Original Problem and the Transformation ofthe Dual Problem and ApplicationsAbstract: Linear programming in operational research is research earlier, rapid development and wide application, the method is an important branch of mature, it is one of the scientific management of auxiliary people mathematical method. Can from different angles to linear programming dual problem for policy makers to provide more scientific theory basis. This article mainly probes into the linear programming problem and the relationship between the dual problem, linear programming problem and the transformation of the dual problem, the application of linear programming dual problem. This article is the complex of the original problem into its dual problem to be solved, simplifies the linear programming problem, enables us to rapidly find the optimal solution of linear programming problem.Keywords: linear programming; the original problem; the dual problem; conversion目录1 引言 (1)2 文献综述 (1)2.1国内外研究现状 (1)2.2国内外研究现状评价 (2)2.3提出问题 (2)3 预备知识 (2)3.1对称形式的原问题 (2)3.2非对称形式的原问题 (3)3.3对偶问题的定义 (3)3.4原问题转化为对偶问题的理论依据 (4)4 原问题与对偶问题的转化 (5)4.1原问题与对偶问题的关系 (5)4.2对称型原问题化为对偶问题 (6)4.3对称型对偶问题转换为原问题 (9)4.4非对称型原问题转化为对偶问题 (10)4.5对偶问题的应用 (13)5 结论 (15)5.1主要发现 (15)5.2启示 (15)5.3局限性 (15)5.4努力方向 (15)参考文献 (15)1 引言线性规划问题是运筹学里的一个重要的分支，它的应用比较广泛，因而是辅助人们进行现代科学管理的一种数学方法.随着线性规划理论的逐步深入，人们发现线性规划问题具有对偶性，即每一个线性问题都伴有另外一个线性问题的产生，两者相互配对，密切联系，反之亦然.我们把线性规划的这个特性称为对偶性.于是，我们将其中的一个问题称为原问题，另一个问题则称为它的对偶问题.对偶性不仅仅是数学上的理论问题，而且也是线性规划中实际问题的内在经济联系的必然反映.我们通过对对偶问题的深入研究，发现对偶问题能从不同角度对生产计划进行分析，从而使管理者能够间接地获得更多比较有用的信息.2 文献综述2.1 国内外研究现状在所查阅到的国内外参考文献[1-15]中，有不少文章是探讨了原问题转化为对偶问题的方法以及对偶性质的证明，并在对偶理论的应用方面有所研究.如郝英奇，胡运权在[1]、[10]中主要介绍了线性规划中原问题与对偶问题中的一些基本概念，探究了实际问题中的数学模型以及解.孙君曼，冯巧玲，孙慧君，李淑君等在[2]中探讨了对偶理论中互补松弛定理在各种情况下的使用方法,使学生更好地掌握互补松弛定理的含义和应用方法.胡运权，郭耀煌，殷志祥等在[3]、[5]中系统的介绍了线性规划中原始问题与对偶问题的两种形式.郭鹏，徐玖平等在[6]、[8]中用不同例子来说明了原问题转化为对偶问题的必要性. 崔永新等在[9]、[15]中探讨了对偶问题的相关定理以及对偶问题的可行解和最优解之间的若干性质.李师正，王德胜在[11]中探讨了如何用计算机计算对偶问题的最优解.岳宏志，蔺小林，孙文喻等在[12]、[14]中探讨了对偶理论的证明过程，并用常见的例子来说明对偶理论的基本思想和解题方法. 曾波，叶宗文在[13]中主要从经济管理的实际问题中阐述了线性规划的基本概念，基本原理，对偶理论，灵敏度分析等.2.2 国内外研究现状评价文献[1-15]分别探讨了线性规划问题中原问题转化为对偶问题的理论依据以及如何利用对偶理论去解决实际生产问题.文献中主要探讨了对称型的原问题转化为对偶问题的方法.没有全面介绍非对称型的原问题与对偶问题之间转化的具体步骤，而且文献中对原问题转化为对偶问题的步骤提及甚少，大都一带而过，对应用中存在的问题也未给出详细深入的说明.2.3 提出问题在线性规划问题中,根据实际生产中具体情况的需要,我们常常要把原问题与它的对偶问题进行转换,以解决一些复杂的线性规划问题,因而对偶问题的应用较为广泛.但大部分书籍都只介绍了线性规划问题的基础知识，并没有给出原问题与对偶问题转换的具体步骤.因此本文主要探讨了线性规划原问题与对偶问题之间转化的具体步骤，体会不同类型原问题的转化过程.3 预备知识首先我先简单的介绍一些关于线性规划问题中的原问题和对偶问题的一些基本的知识.3.1对称形式的原问题我们将满足下列条件的线性规划问题称之为具有对称形式的线性规划问题.这类问题的变量都具有非负约束，当目标函数求极大值时，它的约束条件都取“≤”号，当目标函数求极小值时它的约束条件均取“≥”号. 因而，这类数学模型的特点是：（1）所有的决策变量都是非负的；（2）所有的约束条件都是“≤”型；（3）目标函数是最大化类型.线性规划原问题的对称形式的]1[一般形式为：n n x c x c x c z +++= 2211m ax⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤+++≤+++≤+++),,2,1(0.22112222212111212111n j x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a t s j m n mn m m n n n n (3.1)3.2 非对称形式的原问题不是所有的线性规划问题都具有对称的形式，我们将没有对称形式的线性规划问题称之为非对称形式的线性规划问题.非对称形式的线性规划问题指的是一般情况下的线性规划问题，即是目标函数值求极小或者求极大；约束条件；，或是无限制的随意的组合.例如：332211m ax x c x c x c z ++= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥≤++=++≤++无约束321333323213123232221211313212111,0,0.x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a t s (3.2)3.3 对偶问题的定义在运筹学中，关于对线性规划的对偶规划给出的]2[定义如下.设给定的线性规划为：CX z =max⎩⎨⎧≥≤0.X b AX t s (3.2) 其中()T n x x x X ,,,21 =，()nm ij a A ⨯=，()T m b b b b ,,,21 =，()n c c c C ,,,21 = 因此，定义它的对偶问题为：Yb w =min⎩⎨⎧≥≥0.Y C YA t s (3.4) 其中()m y y y Y ,,,21 =是行向量. (3.4)是对偶问题，(3.3)是原问题，(3.3)与(3.4)合在一起我们就称为是一对对称形式的对偶规划问题.3.4原问题转化为对偶问题的理论依据我们根据线性规划问题中约束条件和变量的对应关系，统一归纳为下]3[1表所示：表14 原问题与对偶问题的转化一对对偶的线性规划问题表示了同一个问题的两个侧面，是从两个角度对同一个研究对象提出的极值问题，两类极值的问题都具有相同的目标函数值.我们发现在很多时候求解对偶问题比原问题更加容易，为决策者提供更多的科学理论依据，因此我们常常需要把原问题转化为对偶问题.4.1原问题与对偶问题的关系一对对偶的线性规划问题具有相互对应的关系：（1）原问题中的目标函数值是max ，约束条件是“≤”的形式；对偶问题的min 目标函数值为，”约束条件是“≥的形式.（2）原问题的价值系数和对偶问题的右端项对应，原始问题的右端项和对偶问题的价值系数对应.（3）原问题的变量和对偶问题的约束条件对应，即，原问题中有个n 变量，那么对偶问题就有个n 约束条件；原问题有个m 约束条件，那么对偶问题就有个m 变量.（4）对偶问题的系数矩阵就是原问题的系数矩阵的转置.用矩阵表示，原问题为：CX z =max⎩⎨⎧≥≤0..X b AX t s 则对偶问题为：Yb w =min⎩⎨⎧≥≥0..Y C YA t s 需要注意的是，我们所讨论的对偶问题一定是指一对问题，而原问题和对偶问题是相对的，它们互为对偶问题，一个问题可以是原问题也可以是对偶问题.4.2 对称型原问题转化为对偶问题当线性规划问题为一般形式（3.1）时，我们将根据下面的四条规则转换为它的对偶问题：（1）原问题和它的对偶问题之间的系数矩阵互为转置.（2）原问题中变量的个数等于它的对偶问题的约束条件的个数.（3）原问题的右端常数就是对偶问题的目标函数的系数.（4）原问题的目标函数求极大时，约束条件是“≤”类型，而它的对偶问题的目标函数求极小，约束条件则为“≥”类型.因此，它的对偶问题可以转变为如下的]4[形式：m m y b y b y b w +++= 2211m in⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥≥+++≥+++≥+++),,1(0..22112222211211221111n i y c y a y a y a c y a y a y a c y a y a y a t s i n m mn n n m m m m例1 生产计划问题云南一公司加工生产甲，乙两种产品，它的市场前景非常的好，销路也不成问题，各种制约因素主要有技术工人、设备台时和原材料供应.已知制造每吨产品的资源消耗系数、每天的资源限量和售价等参数如表2所示.问题：云南的这家公司应该怎样制定每天的生产计划，才能使它的产量得到最大？表2 分析：为了建立此问题的数学模型，第一，要选定决策变量.第二，要确定问题的目标，即用来评价不同方案优劣的标准，这种目标总是决策变量的函数，称为目标函数.第三，我们把要确定达到目标时所受的限制条件，称之为约束条件.这里要决策的问题是，在现有人力、设备、矿石的限制下，如何确定产量使得产值自大？设1x 和2x 分别表示该公司A ，B 产品的数量，用z 表示产值，则每天的产值表示为2115090x x z +=，使其最大化，即2115090m ax x x z +=，称为目标函数.将制约因素表达出来，即有：人力不超过320工时，为3206821≤+x x ；设备不超过260台时有，2608621≤+x x ；原材料不超过300公斤有，30010421≤+x x 。