概率作业卷答案14

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九年级数学概率统计练习题及答案

九年级数学概率统计练习题及答案一、选择题1. 下列各项中，属于概率的是：A. 李明抽到红球的可能性是10%B. 今天下雨的可能性是80%C. 买彩票中奖的可能性是1/1000000D. 扔一次骰子掷出的点数是4的可能性是1/62. 某班级有30个学生，其中有18个男生和12个女生。

从班级中随机选取一个学生，男生和女生被选到的概率相等。

那么，被选到的学生是男生的概率是多少？A. 2/3B. 1/3C. 3/5D. 1/23. 一副扑克牌中有52张牌，其中红心牌有13张。

从扑克牌中随机抽一张牌，抽到红心牌的概率是多少？A. 1/4B. 1/2C. 1/13D. 1/52二、填空题1. 从数字1、2、3、4、5中任意抽取一个数，抽到奇数的概率是_________。

2. 一组数据：10、12、14、16、18中，大于15的数的概率是_________。

3. 一枚硬币抛掷，正面向上的概率是_________。

三、计算题1. 某班级有40个学生，其中有18个男生和22个女生。

从班级中随机选取两个学生，分别计算：a) 选出的两个学生都是男生的概率是多少？b) 选出的两个学生一个是男生一个是女生的概率是多少？2. 一副扑克牌中有52张牌，其中黑色牌有26张。

从扑克牌中随机抽取两张牌，并将它们放回，再抽取一张牌。

计算：a) 三次抽取都是黑色牌的概率是多少？b) 三次抽取中至少有一张黑色牌的概率是多少？四、解答题1. 一组数据：5、7、9、11、13，从中随机抽取一个数。

计算抽取奇数的概率。

答案解析：一、选择题1. D2. A3. A二、填空题1. 3/52. 3/53. 1/2三、计算题1.a) 18/40 × 17/39 = 9/20 × 17/39 = 153/780b) 18/40 × 22/39 + 22/40 × 18/39 = 396/780 = 2/5 2.a) 26/52 × 26/52 × 26/52 = 27/64b) 1 - (26/52 × 26/52 × 26/52) = 37/64四、解答题1. 3/5通过以上习题，希望能够帮助同学们加深对数学概率统计的理解和掌握。

概率论1.4习题答案

概率论1.4习题答案
概率论1.4习题答案：探索随机事件的可能性
在概率论中，我们经常面对各种随机事件，而对这些事件的可能性进行分析和
预测是概率论的核心内容之一。

通过学习1.4习题，我们可以更好地理解和应
用概率论的知识，从而更好地探索随机事件的可能性。

1.4习题涉及了多种随机事件的概率计算和分析，例如掷骰子、抽球和抛硬币等。

通过这些习题的练习，我们可以更好地理解概率的概念和计算方法，从而更好
地预测和分析各种随机事件的可能性。

在1.4习题中，我们不仅要计算单个随机事件的概率，还要考虑多个随机事件
的组合和相互影响。

这种综合考虑的方法可以更好地帮助我们理解复杂随机事
件的可能性，从而更好地应对各种概率问题。

通过学习和掌握1.4习题的答案，我们可以更好地应用概率论的知识来解决实
际生活中的问题。

无论是在工作、学习还是日常生活中，我们都会面对各种随
机事件，而概率论可以帮助我们更好地理解和预测这些事件的可能性，从而做
出更好的决策。

总之，通过学习概率论1.4习题的答案，我们可以更好地探索随机事件的可能性，提高自己的概率分析能力，从而更好地适应和应对各种概率问题。

希望大
家能够认真学习和应用概率论的知识，不断提高自己的概率分析能力，为更好
地解决各种随机事件问题做出贡献。

南开14春学期《概率论与统计原理》在线作业答案

南开14春学期《概率论与统计原理》在线作业答案
本答案是南开14春奥鹏的在线作业答案因为题目是图片的形式看不到内容只要按顺序抄写就可以100分答案的
一、单选题（共50 道试题，共100 分。

）
1. 某汽车轮胎厂欲估计轮胎的平均行驶里程，由于轮胎行驶里程受汽车型号、行驶的路面以及汽车前后轮胎位置等影响，因此使用了容量为400的样本进行随机检测，检测结果为平均行驶里程为20000公里，标准差为6000公里。

则总体平均行驶里程的0.95置信区间为
A. （19715，20285）
B. （19506.5，20493.5）
C. （19412，20588）
D. （19400，20600）
-----------------选择：C
2.
题面见图片：
A. A
B. B
C. C
D. D
-----------------选择：C
3. 在抽样方式与样本容量不变的情况下，要求提高置信时，就会
A. 缩小置信区间
B. 不影响置信区间
C. 可能缩小也可能增大置信区间
D. 增大置信区间
-----------------选择：D
4.
题面见图片：
A. A
B. B
C. C
D. D
-----------------选择：C
5.
题面见图片：。

东师2014春概率论与数理统计初步期末考核作业答案

解：因为随机变量在区间[0，1]上服从均匀分布，所以它的方差具有形式如下：
；
进而开根号可得它的标准差；
6、已知，试求。
解ห้องสมุดไป่ตู้利用均值的性质可得；
又因为，所以；
代入上式可以求得。
7、设，是取自正态总体的一个容量为2的样本。试判断下列三个估计量是否为的无偏估计量：，，并指出其中哪一个方差较小。
期末作业考核
东师2014春概率论与数理统计初步期末考核作业答案
《概率论与数理统计初步》
满分100分
一、计算题（每题10分，共70分）
1、已知随机事件的概率，事件的概率，条件概率，试求事件的概率。
解：因为，，所以
。
进而可得。
2、设随机变量，且，试求，。
解：因为随机变量，所以
，
由此可得，解得，；
3、已知连续型随机变量，试求它的密度函数。
解：因为随机变量服从正态分布，所以它的密度函数具有如下形式：
；
进而，将代入上述表达式可得所求的密度函数为：
；
4、已知随机变量的概率密度为，试求（1）常数；（2）。
解：（1）由于
即2A=1，A= ，所以；
（2）；
5、若随机变量在区间[0，1]上服从均匀分布，试求它的标准差。
答：解：因为，是取自正态总体的样本，所以。
又因为，
，
，
所以三个估计量都是的无偏估计；又因为
，
，
，
所以的方差最小。
二、证明题（共30分）
设二维连续型随机向量的联合密度函数为
证明: 与相互独立。
证明：由二维连续型随机向量的联合密度函数为

概率论作业习题及答案

1 随机事件及其概率·样本空间·事件的关系及运算一、任意抛掷一颗骰子，观察出现的点数。

设事件A 表示“出现偶数点”，事件B 表示“出现的点数能被3整除”．（1）写出试验的样本点及样本空间；（2）把事件A 及B 分别表示为样本点的集合；（3）事件B A AB B A B A ,,,,分别表示什么事件？并把它们表示为样本点的集合．解：设i ω表示“出现i 点”)6,,2,1( =i ，则（1）样本点为654321,,,,,ωωωωωω；样本空间为}.,,,,,{654321ωωωωωω=Ω（2）},,{642ωωωA =； }.,{63ωωB =（3）},,{531ωωωA =，表示“出现奇数点”；},,,{5421ωωωωB =，表示“出现的点数不能被3整除”；},,,{6432ωωωωB A =⋃，表示“出现的点数能被2或3整除”；}{6ωAB =，表示“出现的点数能被2整除且能被3整除”；},{B A 51ωω= ，表示“出现的点数既不能被2整除也不能被3整除”二、写出下列随机试验的样本空间及各个事件中的样本点：（1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和．A —“点数之和大于10”，B —“点数之和小于15”．（2）一盒中有5只外形相同的电子元件，分别标有号码1，2，3，4，5．从中任取3只，A —“最小号码为1”．解：(1) 设i ω表示“点数之和等于i ”)18,,4,3( =i ，则},,,{1843ωωω =Ω；},,,{181211ωωωA =；}.,,,{1443ωωωB =(2) 设ijk ω表示“出现号码为k j i ,,”);5,,2,1,,(k j i k j i ≠≠= ，则},,,,,,,,,{345245235234145135134125124123ωωωωωωωωωω=Ω}.,,,,,{145135134125124123ωωωωωωA =三、设C B A ,,为三个事件，用事件之间的运算表示下列事件： (1) A 发生, B 与C 都不发生； (2) C B A ,,都发生；(3) C B A ,,中至少有两个发生； (4) C B A ,,中至多有两个发生．解：(1) C B A ；(2) ABC ；(3) ABC C AB C B A BC A ⋃⋃⋃或CA BC AB ⋃⋃(4) BC A C B A C AB C B A C B A C B A C B A ⋃⋃⋃⋃⋃⋃或C B A ⋃⋃或.ABC四、一个工人生产了n 个零件，以i A 表示他生产的第 i 个零件是合格品（n i ≤≤1）．用i A 表示下列事件：（1）没有一个零件是不合格品；（2）至少有一个零件是不合格品；（3）仅有一个零件是不合格品；（4）至少有一个零件不是不合格品．解：(1) n A A A 21；(2) n A A A 21或n A A A ⋃⋃⋃ 21； (3) n n n A A A A A A A A A 212121⋃⋃⋃ (4) n A A A ⋃⋃⋃ 21或.21n A A A2 概率的古典定义·概率加法定理一、电话号码由七个数字组成，每个数字可以是0，1，2，…，9中的任一个数（但第一个数字不能为0），求电话号码是由完全不同的数字组成的概率．解：基本事件总数为611011011011011011019109⨯=C C C C C C C 有利事件总数为456789214151617181919⨯⨯⨯⨯⨯=C C C C C C C 设A 表示“电话号码是由完全不同的数字组成”，则0605.0109456789)(62≈⨯⨯⨯⨯⨯⨯=A P 二、把十本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率．解：基本事件总数为!101010=A 指定的三本书按某确定顺序排在书架上的所有可能为!777=A 种；这三本书按确定的顺序放在书架上的所以可能的位置共818=C 种；这三本书的排列顺序数为!333=A ；故有利事件总数为!3!8!38!7⨯=⨯⨯(亦可理解为)3388P P 设A 表示“指定的三本书放在一起”，则067.0151!10!3!8)(≈=⨯=A P三、为了减少比赛场次，把二十个队任意分成两组（每组十队）进行比赛，求最强的两个队被分在不同组内的概率．解：20个队任意分成两组（每组10队）的所以排法，构成基本事件总数1020C ；两个最强的队不被分在一组的所有排法，构成有利事件总数91812C C 设A 表示“最强的两队被分在不同组”，则526.01910)(102091812≈==C C C A P四、某工厂生产的产品共有100个，其中有5个次品．从这批产品中任取一半来检查，求发现次品不多于1个的概率．解：设i A 表示“出现的次品为i 件”)5,4,3,2,1,0(=i ，A 表示“取出的产品中次品不多于 1个”，则 .10A A A ⋃=因为V A A =10，所以).()()(10A P A P A P +=而0281.0979942347)(5010050950≈⨯⨯⨯==C C A P1529.09799447255)(501004995151≈⨯⨯⨯⨯==C C C A P 故 181.01529.00281.0)(=+≈A P五、一批产品共有200件, 其中有6件废品．求 (1) 任取3件产品恰有1件是废品的概率; (2) 任取3件产品没有废品的概率; (3) 任取3件产品中废品不少于2件的概率．解：设A 表示“取出的3件产品中恰有1件废品”；B 表示“取出的3件产品中没有废品”；C 表示“取出的3件产品中废品不少于2件”，则 (1) 0855.019819920019319418)(3200219416≈⨯⨯⨯⨯==C C C A P (2) 912.0198199200192193194)(32003194≈⨯⨯⨯⨯==C C B P(3) 00223.019819920012019490)(3200019436119426≈⨯⨯⨯⨯=+=C C C C C C P六、设41)( ,0 ,31)()()(======BC P P(AC)P(AB)C P B P A P ．求A , B , C 至少有一事件发生的概率．解：因为0==P(AC)P(AB)，所以V AC V AB ==,，从而V C AB =)(可推出0)(=ABC P设D 表示“A , B , C 至少有一事件发生”，则C B A D ⋃⋃=，于是有)()()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P D P +---++=⋃⋃=75.04341313131==-++=3 条件概率与概率乘法定理·全概率公式与贝叶斯公式一、设,6.0)|(,4.0)(,5.0)(===B A P B P A P 求)|(,)(B A A P AB P ．解：因为B A AB B B A A +=+=)(，所以)()()(B A P AB P A P +=，即14.06.0)4.01(5.0)()()()()()(=⨯--=-=-=B A P B P A P B A P A P AB P68.074.05.036.0)4.01(5.05.0)()()()()()]([)|(≈=--+=-+==B A P B P A P A P B A P B A A P B A A P二、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过两次而接通所需电话的概率．若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？解：设A 表示“第一次拨通”，B 表示“第二次拨通”，C 表示“拨号不超过两次而拨通”（1）2.0101101)()()(19111101911011=+=⋅+=+=C C C C C C A B P A P C P（2）4.05151)()()(2511141511=+=+=+=A A A A A A B P A P C P三、两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．（1）求任意取出的零件是合格品的概率；（2）如果任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率．解：设i A 表示“第i 台机床加工的零件”)2,1(=i ；B 表示“出现废品”；C 表示“出现合格品”（1）)()()()()()()()(22112121A C P A P A C P A P C A P C A P C A C A P C P +=+=+= 973.0)02.01(31)03.01(32≈-⨯+-⨯= （2）25.002.03103.03202.031)()()()()()()()()(22112222=⨯+⨯⨯=+==A B P A P A B P A P A B P A P B P B A P B A P四、猎人在距离100米处射击一动物，击中的概率为0.6；如果第一次未击中，则进行第二次射击，但由于动物逃跑而使距离变为150米；如果第二次又未击中，则进行第三次射击，这时距离变为200米．假定击中的概率与距离成反比，求猎人三次之内击中动物的概率．解：设i A 表示“第i 次击中”)3,2,1(=i ，则由题设，有1006.0)(1kA P ==，得60=k ，从而有4.015060150)(2===k A P ，.3.020060200)(3===k A P设A 表示“三次之内击中”，则321211A A A A A A A ++=，故有)()()()()()()(321211A P A P A P A P A P A P A P ++=832.03.0)4.01()6.01(4.0)6.01(6.0=⨯-⨯-+⨯-+= （另解）设B 表示“猎人三次均未击中”，则168.0)3.01)(4.01)(6.01()(=---=B P故所求为 832.0)(1)(=-=B P B P五、盒中放有12个乒乓球，其中有9个是新的．第一次比赛时从其中任取3个来用，比赛后仍放回盒中．第二次比赛时再从盒中任取3个，求第二次取出的都是新球的概率．解：设i A 表示“第一次取得i 个新球”)3,2,1,0(=i ，则2201)(312330==C C A P 22027)(31219231==C C C A P 220108)(31229132==C C C A P 22084)(31239033==C C C A P 设B 表示“第二次取出的都是新球”，则312363123731238312393022084220108220272201)()()(C C C C C C C C A B P A P B P i i i ⋅+⋅+⋅+⋅==∑=146.0532400776161112208444722010855142202755212201≈=⋅+⋅+⋅+⋅=4 随机事件的独立性·独立试验序列一、一个工人看管三台车床，在一小时内车床不需要工人照管的概率：第一台等于0.9，第二台等于0.8，第三台等于0.7．求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管的概率．解：设i A 表示“第i 台机床不需要照管”)3,2,1(=i ，则9.0)(1=A P 8.0)(2=A P 7.0)(3=A P再设B 表示“在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管”，则321321321321A A A A A A A A A A A A B +++=于是有)()()()()()()()()()()()()(321321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P B P +++=)7.01(8.09.07.0)8.01(9.07.08.0)9.01(7.08.09.0-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-+⨯⨯=902.0=．（另解）设i B 表示“有i 台机床需要照管”)1,0(=i ，B 表示“在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管”，则10B B B +=且0B 、1B 互斥，另外有504.07.08.09.0)(0=⨯⨯=B P398.0)7.01(8.09.07.0)8.01(9.07.08.0)9.01()(1=-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-=B P故902.0398.0504.0)()()()(1010=+=+=+=B P B P B B P B P ．二、电路由电池a 与两个并联的电池b 及c 串联而成．设电池c b a ,,损坏的概率分别是0.3、0.2、0.2，求电路发生间断的概率．解：设1A 表示“a 损坏”；2A 表示“b 损坏”；3A 表示“c 损坏”；则3.0)(1=A P 2.0)()(32==A P A P又设B 表示“电路发生间断”，则321A A A B +=于是有)()()()()(321321321A A A P A A P A P A A A P B P -+=+=)()()()()()(321321A P A P A P A P A P A P -+=328.02.02.03.02.02.03.0=⨯⨯-⨯+=．三、三个人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为51、31、41，求能将此密码译出的概率．解：设A 表示“甲能译出”；B 表示“乙能译出”；C 表示“丙能译出”，则51)(=A P 31)(=B P 41)(=C P设D 表示“此密码能被译出”，则C B A D ⋃⋃=，从而有)()()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P D P +---++=⋃⋃=)()()()()()()()()()()()(C P B P A P A P C P C P B P B P A P C P B P A P +---++=6.0413151415141513151413151=⨯⨯+⨯-⨯-⨯-++=．（另解）52)411)(311)(511()()()()()(=---===C P B P A P C B A P D P ，从而有6.053521)(1)(==-=-=D P D P四、甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人的命中概率分别为7.0,5.0,4.0．飞机被一人击中而被击落的概率为2.0，被两人击中而被击落的概率为6.0，若三人都击中，则飞机必被击落．求飞机被击落的概率．解：设1A 表示“甲命中”；2A 表示“乙命中”；3A 表示“丙命中”；则4.0)(1=A P5.0)(2=A P 7.0)(3=A P设i B 表示“i 人击中飞机” )3,2,1,0(=i ，则09.0)7.01)(5.01)(4.01()())(()()(3213210=---===A P A P A P A A A P B P )()(3213213211A A A A A A A A A P B P ++=)()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++=)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=36.07.0)5.01)(4.01()7.01(5.0)4.01()7.01)(5.01(4.0=⨯--+-⨯⨯-+--⨯=)()(3213213212A A A A A A A A A P B P ++=)()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++=)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=41.07.0)5.01)(4.01()7.01(5.0)4.01()7.01)(5.01(4.0=⨯--+-⨯⨯-+--⨯=14.07.05.04.0)()()()()(3213213=⨯⨯===A P A P A P A A A P B P设A 表示“飞机被击落”，则由题设有0)(0=B A P 2.0)(1=B A P 6.0)(2=B A P 1)(3=B A P 故有458.0114.06.041.02.036.0009.0)()()(30=⨯+⨯+⨯+⨯==∑=i i i B A P B P A P ．五、某机构有一个9人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的概率都是0.7，现在该机构内就某事可行与否个别征求每个顾问的意见，并按多数人意见作出决策，求作出正确决策的概率．解：设i A 表示“第i 人贡献正确意见”，则7.0)(=i A P )9,,2,1( =i ．又设m 为作出正确意见的人数，A 表示“作出正确决策”，则)9()8()7()6()5()5()(99999P P P P P m P A P ++++=≥=+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=277936694559)3.0()7.0()3.0()7.0()3.0()7.0(C C C 9991889)7.0()3.0()7.0(⋅+⋅⋅+C C+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=273645)3.0()7.0(36)3.0()7.0(84)3.0()7.0(126918)7.0()3.0()7.0(9+⋅⋅+0403.01556.02668.02668.01715.0++++=901.0=．六、每次试验中事件A 发生的概率为p ，为了使事件A 在独立试验序列中至少发生一次的概率不小于p ，问至少需要进行多少次试验？解：设做n 次试验，则n p A P A P )1(1}{1}{--=-=一次都不发生至少发生一次要p p n ≥--)1(1，即要p p n -≤-1)1(，从而有.1)1(log )1(=-≥-p n p 答：至少需要进行一次试验．5 离散随机变量的概率分布·超几何分布·二项分布·泊松分布一、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取1个．如果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的概率分布．解：设X 表示“在取得合格品以前已取出的废品数”，则X 的概率分布为即亦即二、自动生产线在调整以后出现废品的概率为p ．生产过程中出现废品时立即进行调整．求在两次调整之间生产的合格品数的概率分布．解：设X 表示“在两次调整之间生产的合格品数”，且设p q -=1，则ξ的概率分布为三、已知一批产品共20个，其中有４个次品．（１）不放回抽样．抽取６个产品，求样品中次品数的概率分布；（２）放回抽样．抽取６个产品，求样品中次品数的概率分布．解：（1）设X 表示“取出的样本中的次品数”，则X 服从超几何分布，即X 的概率函数为)4,3,2,0()(6206164===-x C C C x X P xx从而X 的概率分布为（2）设X 表示“取出的样本中的次品数”，则X 服从超几何分布，即X 的概率函数为)6,5,4,3,2,0()2.01()2.0()(66=-==-x C x X P xx x从而X 的概率分布为四、电话总机为300个电话用户服务．在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于0.01，求在一小时内有4个用户使用电话的概率（先用二项分布计算，再用泊松分布近似计算，并求相对误差）．解：（1）用二项分布计算)01.0(=p168877.0)01.01()01.0()1()4(2964430029644300≈-=-==C p p C ξP（2）用泊松分布计算)301.0300(=⨯==np λ168031355.0!43)4(34≈==-e ξP相对误差为.5168877.0168031355.0168877.000≈-=δ五、设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生次数不少于3次时，指示灯发出信号．现进行了5次独立试验，求指示灯发出信号的概率．解：设X 表示“事件A 发生的次数”，则3.0)(==p A P ，5=n ，).3.0,5(~B X 于是有)5()4()3()3(=+=+==≥X P X P X P X P5554452335)1()1(p C p p C p p C +-+-=16308.000243.002835.01323.0≈++≈（另解） )2()1()0(1)3(1)3(=-=-=-=<-=≥X P X P X P X P X P322541155005)1()1()1(11p p C p p C p p C ------=16308.0≈ 设随机变量X 的概率分布为 2, 1, ,0 , !)(===k k ak X P kλ；其中λ>0为常数，试确定常数a ．解：因为∑∞===01)(k k X P ，即∑∞==01!k kk λa ，亦1=λae ，所以.λe a -=6 随机变量的分布函数·连续随机变量的概率密度一、函数211x+可否是连续随机变量X 的分布函数？为什么？如果X 的可能值充满区间：（1）（∞+∞- ,）；（2）（0,∞-）．解：（1）设211)(x x F +=，则1)(0<<x F因为0)(lim =-∞→x F x ，0)(lim =+∞→x F x ，所以)(x F 不能是X 的分布函数．（2）设211)(xx F +=，则1)(0<<x F 且0)(lim =-∞→x F x ，1)(lim 0=-→x F x 因为)0( 0)1(2)('22<>+-=x x xx F ，所以)(x F 在（0,∞-）上单增．综上述，故)(x F 可作为X 的分布函数．二、函数x x f sin )(=可否是连续随机变量X 的概率密度？为什么？如果X 的可能值充满区间：（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π；（2）[]π,0；（3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,0π．解：（1）因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，所以0sin )(≥=x x f ；又因为1cos )(2020=-=⎰ππx dx x f ，所以当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，函数x x f sin )(=可作为某随机变量X 的概率密度．（2）因为[]πx ,0∈，所以0sin )(≥=x x f ；但12cos )(00≠=-=⎰ππx dx x f ，所以当[]πx ,0∈时，函数x x f sin )(=不可能是某随机变量X 的概率密度．（3）因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,0πx ，所以x x f sin )(=不是非负函数，从而它不可能是随机变量X的概率密度．二、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取1个．如果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的分布函数，并作出分布函数的图形．解：设X 表示“取出的废品数”，则X 的分布律为于是，⎪⎩>3,1x四、（柯西分布）设连续随机变量X 的分布函数为+∞<<∞-+=x x B A x F ,arctan )(．求：（1）系数A 及B ；（2）随机变量X 落在区间)1 ,1(-内的概率；(3) X 的概率密度．解：(1) 由0)2()(lim =-⋅+=-∞→πB A x F x ，12)(lim =⋅+=-∞→πB A x F x ，解得.1,21πB A == 即)( ,arctan 121)(+∞<<-∞+=x x πx F ． (2) .21)]1arctan(121[]1arctan 121[)1()1()11(=-+-+=--=<<-ππF F ξP(3) X 的概率密度为)1(1)()(2x x F x f +='=π．五、（拉普拉斯分布）设随机变量X 的概率密度为+∞<<∞-=-x Aex f x,)(．求：（1）系数A ；（2）随机变量X 落在区间)1,0(内的概率；（3）随机变量X 的分布函数．解：(1) 由1)(⎰+∞∞-=dx x f ，得1220⎰⎰+∞∞-+∞--===A dx e A dx Aex x，解得21=A ，即有 ).( ,21)(+∞<<-∞=-x e x f x(2) ).11(21)(2121)()10(101010ee dx e dx xf X P x x -=-===<<--⎰⎰(3) 随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>-≤===-∞--∞-⎰⎰021102121)()(x e x e dx e dx x f x F x xx xx ．7 均匀分布·指数分布·随机变量函数的概率分布一、公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过．乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的．求乘客候车时间不超过3分钟的概率．解：设随机变量X 表示“乘客的候车时间”，则X 服从]5,0[上的均匀分布，其密度函数为⎩⎨⎧∉∈=]5,0[,0]5,0[,51)(x x x f 于是有.6.053)()30(3===≤≤⎰dx x f X P二、已知某种电子元件的使用寿命X (单位:h)服从指数分布，概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0;0,8001)(800x x e x f x任取３个这种电子元件，求至少有１个能使用1000h 以上的概率．解：设A 表示“至少有１个电子元件能使用1000h 以上”；321A 、A 、A 分别表示“元件甲、乙、丙能使用1000h 以上”．则287.08001)1000()()()(4510008001000800321≈=-==>===-∞+-∞+-⎰ee dx e X P A P A P A P xx)()()()()()()()()(321313221321321A A A P A A P A A P A A P A P A P A P A A A P A P +---++=⋃⋃=638.0287.0287.03287.0332≈+⨯-⨯=（另解）设A 表示“至少有１个电子元件能使用1000h 以上”．则287.08001)1000(4510008001000800≈=-==>-∞+-∞+-⎰ee dx e X P xx从而有713.01)1000(1)1000(45≈-=>-=≤-e X P X P ，进一步有638.0713.01)]1000([1)(33≈-≈≤-=X P A P三、(1) 设随机变量X 服从指数分布)(λe ．证明：对于任意非负实数s 及t ，有).()(t X P s X t s X P ≥=≥+≥这个性质叫做指数分布的无记忆性．(2) 设电视机的使用年数X 服从指数分布)10(．e ．某人买了一台旧电视机，求还能使用５年以上的概率．解：（１）因为)(~λe X ，所以R x ∈∀，有xex F λ--=1)(，其中)(x F 为X 的分布函数．设t s X A +≥=，t X B ≥=．因为s 及t 都是非负实数，所以B A ⊂，从而A AB =．根据条件概率公式，我们有)(1)(1)()()()()()()()(s X P t s X P s X P t s X P B P A P B P AB P B A P s X t s X P <-+<-=≥+≥====≥+≥tst s e e e λλλ--+-=----=]1[1]1[1)(．另一方面，我们有t t e e t F t X P t X P t X P λλ--=--=-=≤-=<-=≥)1(1)(1)(1)(1)(．综上所述，故有)()(t X P s X t s X P ≥=≥+≥．（２）由题设，知X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-．，；，0001.0)(1.0x x e x f x设某人购买的这台旧电视机已经使用了s 年，则根据上述证明的（１）的结论，该电视机还能使用5年以上的概率为6065.01.0)()5()5(5.051.051.05≈=-===≥=≥+≥-∞+-∞+-∞+⎰⎰e e dx e dx xf X P s X s X P xx ．答：该电视机还能使用5年以上的概率约为6065.0．四、设随机变量X 服从二项分布)4.0 ,3(B ，求下列随机变量函数的概率分布：（1）X Y 211-=；（2）2)3(2X X Y -=．解：X 的分布律为（1）X Y 211-=的分布律为（2）2)3(2X XY -=的分布律为即五、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=.0,0;0,)1(2)(2x x x x f π求随机变量函数X Y ln =的概率密度．解：因为)()()(ln )()(yX yY e F e X P y X P y Y P y F =<=<=<= 所以随机变量函数X Y ln =的概率密度为)( )1(2)()()()(2''+∞<<-∞+====y e e e e f e e F y F y f yyyyyyXYY π，即 )( )1(2)(2+∞<<-∞+=y e e y f yyY π．８二维随机变量的联合分布与边缘分布一、把一颗均匀的骰子随机地掷两次．设随机变量X 表示第一次出现的点数，随机变量Y 表示两次出现点数的最大值，求二维随机变量),(Y X 的联合概率分布及Y 的边缘概率分布．解：二维随机变量),(Y X 的联合概率分布为Y 的边缘概率分布为二、设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数)3arctan )(2arctan (),(yC x B A y x F ++=．求：（1）系数A 、B 及C ；（2）（X ，Y ）的联合概率密度：（3）边缘分布函数及边缘概率密度．解：（1）由0)0,(,0),0(,1),(=-∞=∞-=∞+-∞F F F ，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=--=++0)2(0)2)(0(1)2)(2(πB AC πC B A πC πB A 解得2πC B ==，.12πA =（2）因为)3arctan 2)(2arctan 2(1),(2yx y x F ++=πππ，所以（X ，Y ）的联合概率密度为.)9)(4(6),(),(222"y x y x F y x f xy ++==π （3）X 及Y 的边缘分布函数分别为 x xxX xdx x dy y x f dx x F ∞-∞-∞-+∞∞-=+==⎰⎰⎰2arctan1)4(2),()(2ππ2arctan 121xπ+=yxyY ydy y dx y x f dy x F ∞-∞-∞-+∞∞-=+==⎰⎰⎰3arctan1)9(3),()(2ππ3arctan 121y π+=X 及Y 的边缘概率密度分别为⎰⎰⎰+∞+∞∞-+∞∞-++⋅=++==0222222)9(1)4(112)9)(4(6),()(dy y x dy y x dy y x f x f X ππ)4(2)3arctan 31()4(1122022x y x +=+⋅=∞+ππ ⎰⎰⎰+∞+∞∞-+∞∞-++=++==022222241)9(12)9)(4(6),()(dx xy dx y x dx y x f y f Y ππ )9(3)2arctan 21()9(122022y x y +=+=∞+ππ三、设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧>>=+-.,00;0,,Ae ),(3y)(2x 其它y x y x f求：（1）系数A ；（2）),(Y X 的联合分布函数；（3）X 及Y 的边缘概率密度；（4）),(Y X 落在区域R ：632 ,0 ,0<+>>y x y x 内的概率．解：（1）由1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dy dx y x f ，有16132==⎰⎰∞+∞+--A dy e dx e A y x ，解得.6=A （2）),(Y X 的联合分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>>==⎰⎰⎰⎰--∞-∞-其它0,06),(),(0032y x dy e dx e dy y x f dx y x F x y y x xy⎩⎨⎧>>--=--其它00,0)1)(1(32y x e e y x （3）X 及Y 的边缘概率密度分别为⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞--∞+∞-⎰⎰00020006),()(2032x x ex x dy e e dy y x f x f x y x X⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞--∞+∞-⎰⎰30006),()(3032y y ex x dxe e dx y xf y f yy x Y （4）⎰⎰⎰⎰---==∈x y xR dy e dx edxdy y x f R Y X P 32203326),(}),{(6306271)(2---⎰-=-=e dx e e x四、设二维随机变量),(Y X 在抛物线2x y =与直线2+=x y 所围成的区域R 上服从均匀分布．求：(1) ),(Y X 的联合概率密度；(2) 概率)2(≥+Y X P ．解：(1) 设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧∉∈=.),(, 0;),(,),(R y x R y x C y x f 则由129)322()2(21322122212==-+=-+==--+-⎰⎰⎰⎰⎰Cx x x C dx x x C dy dx C Cdxdy x x R解得92=C ．故有 ⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=.),(, 0;),(,92),(R y x R y x y x f(2) ⎰⎰⎰⎰⎰⎰++-≥++==≥+x x x x y x dy dx dy dx dxdy y x f Y X P 2212210229292),()2(⎰⎰-++=21210)2(92292dx x x xdx2713)322(92922132102=-++=x x x x ．９随机变量的独立性·二维随机变量函数的分布一、设X 与Y 是两个相互独立的随机变量，X 在]1,0[上服从均匀分布，Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0;0,21)(2y y e y f yY 求 (1) ),(Y X 的联合概率密度; (2) 概率)(X Y P ≥．解: (1)X 的概率密度为⎩⎨⎧∉∈=)1,0(,0)1,0(,1)(x x x f X ，),(Y X 的联合概率密度为（注意YX ,相互独立）⎪⎩⎪⎨⎧><<==-其它,00,10,21)()(),(2y x e y f x f y x f yY X（2）dx edx edy e dx dxdy y x f X Y P x xyxyXY ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-∞+-∞+-≥=-===≥1021022102)(21),()(7869.0)1(2221122≈-=-=--e e x二、设随机变量X 与Y 独立，并且都服从二项分布：.,,2 ,1 ,0 ,)(; ,,2 ,1 ,0 ,)(212211n j qp C j p n i q p C i p jn jjn Y in i i n X ====--证明它们的和Y X Z +=也服从二项分布．证明: 设j i k +=, 则ik n i k i k n ki i n i i n ki Y X Z q p C q p C i k P i P k Z P k P +---=-=∑∑=-===22110)()()()( ∑=-+=ki k n n k i n in q p C C2121)( 由knm ki ik nk m C C C +=-=∑, 有k n n ki i n i n C C C21210+==∑. 于是有 ),,2,1,0( )(212121n n k q p Ck P k n n k i n n Z +==-++由此知Y X Z +=也服从二项分布.三、设随机变量X 与Y 独立，并且X 在区间[0，1]内服从均匀分布，Y 在区间[0，2]内服从辛普森分布：⎪⎩⎪⎨⎧><≤<-≤≤=.20 0,; 2 1 ,2;10 ,)(y y y y y y y f Y 或求随机变量Y X Z +=的概率密度．解: X 的概率密度为 ⎩⎨⎧∉∈=]1,0[,0]1,0[,1)(x x y f ξ . 于是),(Y X 的联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤-≤≤≤≤=. 0, 2 1,10 ,210,10,),(其它当当y x y y x y y x fY X Z +=的联合分布函数为}),{(}{}{)(D y x P z Y X P z Z P z F Z ∈=≤+=≤=，其中D 是z y x ≤+与),(y x f 的定义域的公共部分.故有 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<+-≤<-+-≤≤><=3229321212331023,00)(222z z z z z z z zz z z F Z 从而随机变量Y X Z +=的概率密度为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤<+-≤≤><=3232132103,00)(z z z z z z z z z f Z四、电子仪器由六个相互独立的部件ij L （3,2,1;2,1==j i组成，联接方式如右图所示．设各个部件的使用寿命ij X 服从相同的指数分布)(λe ，求仪器使用寿命的概率密度．解: 由题设，知ij X 的分布函数为⎩⎨⎧≤>-=-0,00,1x x e F x X ij λ 先求各个并联组的使用寿命)3,2,1( =i Y i 的分布函数.因为当并联的两个部件都损坏时,第i 个并联组才停止工作,所以有)3,2,1(),m ax (21==i Y i i i ξξ 从而有)3,2,1( =i i η的分布函数为⎩⎨⎧≤>-==-0,00,)1()(221y y e F F y F y X X Y i i i λ设Z "仪器使用寿命".因为当三个并联组中任一个损坏时,仪器停止工作.所以有),,min(321ηηη=Z .从而有Z 的分布函数为⎩⎨⎧≤>---=⎩⎨⎧≤>----=-0,00,])1(1[10,00)],(1)][(1)][(1[1)(32321z z e z z z F z F z F z F z Y Y Y Z λ故Z 的概率密度为⎩⎨⎧≤>--=---0,00,)2)(1(6)(23z z e e e z f z z z Z λλλλ10 随机变量的数学期望与方差一、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取一个．如果取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望、方差与标准差．解：设X 表示“在取得合格品以前已取出的废品数”，则X 的概率分布为于是有3.0004.03041.02205.0175.00≈⨯+⨯+⨯+⨯=EX2X 的分布为于是有4091.0004.09041.04205.0175.002≈⨯+⨯+⨯+⨯=EX从而有3191.09.04091.0)(22=-=-=EX EX DX565.03191.0≈==DX X σ二、对某一目标进行射击，直至击中为止．如果每次射击命中率为p ，求射击次数的数学期望及方差．解：设X 表示“第i 次击中”),2,1( =i ，则X 的分布为p q p q q p q p iqp ipqEX ni i ni i ni i 1)1()1()(211111=-='-='===∑∑∑==-=- 2X 的分布为p pp p q q p q p q q p pqi EX ni i n i i ni i 122)1()1()(])([223111122-=-=-+='=''==∑∑∑===- 进一步有p pp p p EX EX DX 11)1(12)(22222-=--=-=三、设离散型随机变量X 的概率函数为,,2,1,21]2)1([ ==-=k k X P k k k问X 的数学期望是否存在？若存在，请计算)(X E ；若不存在，请解释为什么．解：因为∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=-=⋅-=-=-==1111)1(212)1(]2)1([2)1()(k k k k k k k k k k ki i i k k k X P k x X P x 不绝对收敛，所以ξ没有数学期望．四、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=.1, 0;1,11)(2x x x x f π 求数学期望)(X E 及方差)(X D ．解：011)()(112=-⋅==⎰⎰-+∞∞-dx xx dx x xf X E πdx xx dx xx dx x f x X D ⎰⎰⎰-=-⋅==-∞+∞-122112221211)()(ππ21]arcsin 2112[2102=+--=x x x π五、（拉普拉斯分布）设随机变量X 的概率密度为 )( ,21)(+∞<<-∞=-x e x f x．求数学期望)(X E 及方差)(X D ．解：021)(===⎰⎰+∞∞--+∞∞-dx xe dx x xf EX x2!2)3(21)(0222==Γ====⎰⎰⎰+∞-+∞∞--+∞∞-dx e x dx e x dx x f x DX x x（分部积分亦可）11 随机变量函数的数学期望·关于数学期望与方差的定理一、设随机变量X 服从二项分布)4.0,3(B ，求2)3(X X Y -=的数学期望及方差．解：X 的概率分布为Y 的概率分布为2Y 的分布为72.072.0128.00=⨯+⨯=EY72.072.0128.002=⨯+⨯=EY 2016.0)72.0(72.0)(222=-=-=EY EY DY二、过半径为R 的圆周上一点任意作这圆的弦，求所有这些弦的平均长度．解：在圆周上任取一点O ，并通过该点作圆得直径OA ．建立平面直角坐标系，以O 为原点，且让OA 在x 轴的正半轴上．通过O 任作圆的一条弦OB ，使OB 与x 轴的夹角为θ，则θ服从]2,2[ππ-上的均匀分布，其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧-∉-∈=]2,2[,0]2,2[,1)(ππθππθπθf ．弦OB 的长为 ]2,2[cos 2)(ππθθθ-∈=R L ，故所有弦的平均长度为⎰⎰-∞+∞-⋅==22cos 21)()()]([ππθθπθθθθd R d L f L EπθπθθπππRRd R4sin 4cos 42020===⎰．三、一工厂生产的某种设备的寿命X （以年计）服从指数分布，概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-. 0,0 ;0 ,41)(4x x e x f x工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换．若工厂售出一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元．试求厂方出售一台设备的平均净赢利．解：由题设，有⎰⎰---∞--=-===<104110441141)()1(e e dx e dx x f X P x x 进而有 41)1(1)1(-=<-=≥eX P X P设Y 表示“厂方出售一台设备获得的净赢利”，则Y 的概率分布为从而有64.33200300100)1(200414141≈-⨯=⨯+-⨯-=---eee EY答：厂方出售一台设备获得的平均净赢利约为64.33元．四、设随机变量n X X X ,,21相互独立，并且服从同一分布，数学期望为μ，方差为2σ．求这些随机变量的算术平均值∑==ni i X n X 11的数学期望与方差．解：因为μ=)(i X E ，2)(σ=i X D ，且随机变量n X X X ,,21相互独立．所以有μμ=====∑∑∑∑====ni n i i ni i n i i n X E n X E n X n E X E 11111)(1)(1)1()(，nn X D n X D n X n D X D ni ni in i i n i i 2122121211)(1)(1)1()(σσ=====∑∑∑∑====．五、一民航送客车载有20位旅客自机场开出，沿途有10个车站可以下车，到达一个车站时如没有旅客下车就不停车．假设每位旅客在各车站下车是等可能的，且各旅客是否下车相互独立．求该车停车次数的数学期望．解: 设i X 表示"第i 站的停车次数" (10,,2,1 =i ). 则i X 服从"10-"分布. 其中⎩⎨⎧=站有人下车若在第站无人下车若在第i i X i ,1,0 于是i X 的概率分布为设∑==ni iXX 1, 则X 表示沿途停车次数, 故有]})10110(1[1)10110(0{10)(2020101101--⨯+-⨯===∑∑==i i i i EX X E EX748.8)9.01(1020≈-= 即停车次数的数学期望为748.8.12 二维随机变量的数字特征·切比雪夫不等式与大数定律一、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为()(). 1,222++=y xAy x f求：（1）系数A ；（2）数学期望)(X E 及)(Y E ，方差)(X D 及)(Y D ，协方差),cov(Y X ．解: (1) 由⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(dxdy y x f . 有()()⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+==+=++1112022222A dr rrd A dxdy y xAπθπ解得, π1=A .(2) ()011),()(222⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+∞-∞+∞-=++==dx y xxdy dxdy y x xf X E π.由对称性, 知 0)(=Y E .⎰⎰+∞∞-+∞∞-==-=dxdy y x f x EX EX X E X D ),(])[()(222()⎰⎰∞+∞-∞+∞-++=dx y xx dy 222211π()()+∞=+++=+-+=+=∞+∞+∞+⎰⎰⎰022022220223]11)1ln([1)1(211r r dr r rr r dr rr d πθπ同理, 有 +∞=)(Y D .)()])([(),cov(XY E EY Y Ex X E Y X =--=⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x xyf ),(()011),(222⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+∞-∞+∞-=++==dx y xxydy dxdy y x xyf π.二、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧<<<=其它．,0;10,,1),(x x y y x f 求(1) ),cov(Y X ；(2) X 与Y 是否独立，是否相关，为什么？解: (1) 因为 ⎰⎰⎰⎰⎰====-∞+∞-∞+∞-1210322),(dx x dy xdx dxdy y x xf EX x x 0),(1===⎰⎰⎰⎰-+∞∞-+∞∞-xx ydy dx dxdy y x yf EY0),()(1===⎰⎰⎰⎰-+∞∞-+∞∞-xxydy xdx dxdy y x xyf XY E所以有])32[()])([(),cov(Y X E EY Y EX X E Y X -=--=⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x xyf ),( 010==⎰⎰-xxydy xdx ．(2) 当)1,0(∈x 时,有 ⎰⎰+∞∞--===x dy dy y x f x f xxX 2),()(; 当)1,0(∉x 时, 有0)(=x f X .即⎩⎨⎧∉∈=)1,0(0)1,0(2)(X x x x x f 同理有 ⎩⎨⎧∉+∈-=⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=⎰⎰-)1,0(1)1,0(1)1,0()1,0()(11Y x y x y x dx x dx y f yy因为 ),()()(y x f y f x f Y X ≠, 所以X 与Y 不是独立的．又因为0),cov(=Y X , 所以X 与Y 是不相关的．三、利用切比雪夫不等式估计随机变量X 与其数学期望)(X E 的差的绝对值大于三倍标准差)(X σ的概率．解：91)3()3(2=≤>-ξξξξξD D D E P ．四、为了确定事件A 的概率，进行10000次重复独立试验．利用切比雪夫不等式估计：用事件A在10000次试验中发生的频率作为事件A 的概率的近似值时，误差小于0.01的概率．解：设ξ表示“在10000次试验中事件A 的次数”，则)5.0,10000(~B ξ且有50005.010000=⨯==np E ξ 2500)5.01(5.010000=-⨯⨯==npq D ξ于是有npqp npq p np m P p n m P 22)01.0(1)01.0(1)01.0()01.0(-=-≥<-=<- 75.025.011=-=-=pq五、样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则认为这批产品不能接受．应该检查多少个产品，可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9？解：设ξ表示“发现的次品件数”，则)1.0,(~n B ξ，现要求.nn ξE 1.0= n ξD 09.0=要使得9.0)10(=>ξP ，即9.0)10(=≤<n ξP ，因为9.0)10(=≤<n ξP ，所以)3.01.03.01.03.01.010()10(nn n n n ξn n P ξD ξE n ξD ξE ξξD ξE P -≤-<-=-≤-<-)3.01.010()3()33.01.03.01.010(1,01,0nn n n n n ξn n P --≈≤-<-=ΦΦ1)3.0101.0()3(1,01,0--+nn n ΦΦ （德莫威尔—Laplace 定理）因为10>n ，所以53>n ，从而有1)3(1,0≈n Φ，故9.0)3.0101.0(1,0≈-nn Φ．查表有8997.0)28.1(1,0=Φ，故有28.13.0101.0≈-nn ，解得.146≈n 答：应该检查约146个产品，方可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9．13 正态分布的概率密度、分布函数、数学期望与方差一、设随机变量X 服从正态分布)2,1(2N ，求（1）)8.56.1(<≤-X P ；（2）)56.4(≥X P ．解：(1) )4.2213.1()8.416.2()8.56.1(<-≤-=<-≤-=<≤-X P X P X P8950.09032.019918.0)]3.1(1[)4.2()3.1()4.2(1,01,01,01,0=+-=--=--=ΦΦΦΦ(2) )78.12178.2(1)56.4(1)56.4(<-<--=<-=≥X P X P X P)]78.2(1)78.1(1)]78.2()78.1([11,01,01,01,0ΦΦΦΦ-+-=---= .0402.09973.09625.02=--二、已知某种机械零件的直径X （mm ）服从正态分布)6.0,100(2N ．规定直径在2.1100±（mm ）之间为合格品，求这种机械零件的不合格品率．解：设p 表示这种机械零件的不合格品率，则)2.1100(1)2.1100(≤--=>-=X P X P p ．而)26.01002()6.02.16.01006.02.1()2.1100(≤-≤-=≤-≤-=≤-X P X P X P 1)2(2)]2(1[)2()2()2(-Φ=Φ--Φ=-Φ-Φ= 9544.019772.02=-⨯= 故0456.09544.01=-=p ．三、测量到某一目标的距离时发生的误差X (m)具有概率密度3200)20(22401)(--=x ex f π求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30m 的概率．解：三次测量中每次误差绝对值都超过30米可表为}30{}30{}30{>⋃>⋃>=ξξξD 第三次第二次第一次因为)40,20(~2N ξ，所以由事件的相互独立性，有31,01,033)]25.0(1)25.1([})3030{(})30{()(ΦΦ-+-=>+-<=>=ξξP ξP D P 13025.05069.0)8944.05987.02(33≈=--=于是有86975.013025.01)(1}30{=-=-=<D P P 米至少有一次绝对值三次测量中ξ．四、设随机变量),(~2σμN X ，求随机变量函数Xe Y =的概率密度（所得的概率分布称为对数正态分布）．解：由题设，知X 的概率密度为)(21)(222)(+∞<<-∞=--x ex f x X σμσπ从而可得随机变量Y 的分布函数为)()()(y e P y Y P y F X Y ≤=≤=．当0≤y 时，有0)(=y F Y ；此时亦有0)(='y F Y ．当0>y 时，有dx ey X P y F yx Y ⎰∞---=≤=ln 2)(2221)ln ()(σμσπ．此时亦有222)(ln 21)(σμσπ--='y Y eyy F ．从而可得随机变量Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>≤=--.0,21;0,0)(222)(ln y e yy y f y Y σμσπ五、设随机变量X 与Y 独立，),(~211σμN X ，),(~222σμN Y ，求： (1) 随机变量函数bY aX Z +=1的数学期望与方差，其中a 及b 为常数； (2) 随机变量函数XY Z=2的数学期望与方差．解：由题设，有211)(,)(σμ==X D X E ；222)(,)(σμ==Y D Y E ．从而有(1)211)()()()()()(μμb a Y bE X aE bY E aX E bY aX E Z E +=+=+=+=； 222212221)()()()()()(σσb a Y D b X D a bY D aX D bY aX D Z D +=+=+=+=． (2)212)()()()(μμ===Y E X E XY E Z E ；)()()()()()()()(22222222Y E X E Y E X E XY E Y X E XY D Z D -=-== )()()]()()][()([2222Y E X E Y E Y D X E X D -++= )()()()()()(22X E Y D Y E X D Y D X D ++= 212222212221μσμσσσ++=．1４二维正态分布·正态随机变量线性函数的分布·中心极限定理三、设二维随机变量),(Y X 服从二维正态分布，已知0)()(==Y E X E ，16)(=X D ，25)(=Y D ，并且12),cov(=Y X ，求),(Y X 的联合概率密度．解：已知0==y x μμ，416==x σ，525==y σ，。

概率论与数理统计作业与解答

概率论与数理统计作业及解答第一次作业 ★ 1.甲.乙.丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹•设事件ABC 分别表示甲.乙.丙击中目标.则三门炮最多有一门炮击中目标如何表示• 事件E 丸事件A, B,C 最多有一个发生｝,则E 的表示为E =ABC ABC ABC ABC;或工 ABU AC U B C;或工 ABU ACU BC;或工 ABACBC ；或工 ABC_(AB C ABC A BC ).(和 A B 即并AU B,当代B 互斥即AB 二'时.AU B 常记为AB)2. 设M 件产品中含m 件次品.计算从中任取两件至少有一件次品的概率★ 3.从8双不同尺码鞋子中随机取6只.计算以下事件的概率A 二｛8只鞋子均不成双｝, B=｛恰有2只鞋子成双｝, C 珂恰有4只鞋子成双｝.C 6 (C 2 )6 32C 8C 4(C 2)4 800.2238, P(B) 8 皆 0.5594,P(A) 8/143★ 4.设某批产品共50件.其中有5件次品•现从中任取3件•求 (1) 其中无次品的概率-(2)其中恰有一件次品的概率‘ /八 C 5 1419 C ：C 5 99⑴冷0.724.⑵虫产0.2526. C 50 1960C 503925. 从1〜9九个数字中•任取3个排成一个三位数•求 (1) 所得三位数为偶数的概率-(2)所得三位数为奇数的概率•4(1) P ｛三位数为偶数｝ = P ｛尾数为偶数｝=-,9⑵P ｛三位数为奇数｝ = P ｛尾数为奇数｝ = 5,9或P ｛三位数为奇数｝ =1 -P ｛三位数为偶数｝ =1 -彳=5.9 96. 某办公室10名员工编号从1到10任选3人记录其号码求(1)最小号码为5的概率 ⑵ 最大号码为5的概率记事件A =｛最小号码为5｝, B=｛最大号码为5｝.1 12 C m C M m C mm(2M - m -1)M (M -1)6 —C 16143P(C)二 C 8CJC 2)300.2098.143C 16C 2 iC 2⑴ P(A)=# 詁;(2) P(B )X =C 10 12C 107. 袋中有红、黄、白色球各一个每次从袋中任取一球.记下颜色后放回共取球三次求下列事件的概率：A=｛全红｝ B =｛颜色全同｝ C =｛颜色全不同｝ D =｛颜色不全同｝ E =｛无黄色球｝ F =｛无红色且无黄色球｝ G =｛全红或全黄｝.1 11A 3!2 8P (A)=3^2?P (B )=3P (A )=9, P(C^#=?=9, P(DH ^P(BH?28 1 1 2P(E)亏方P(F)亏审 P(G r 2P(A)盲☆某班n 个男生m 个女生（m^n 1）随机排成一列•计算任意两女生均不相邻的概率☆ •在[0 ■ 1]线段上任取两点将线段截成三段•计算三段可组成三角形的概率14第二次作业1.设 A B 为随机事件 P(A)=0.92 ■ P(B)=0.93 P(B|Z)=0.85 求 ⑴ P(A|B) (2) P (AU B) ■ (1) 0.85 =P(B| A) =P(A B )P (AB ),P (A B )=0.85 0.08=0.068,P(A) 1-0.92P(AB)二 P(A) -P(AB)二 P(A) - P(B) P(AB) = 0.92 -0.93 0.068 = 0.058,P(A| B): = P(AB) = 0.。

春西南大学概率论作业答案全

精品文档判断题3：随机变量X 的方差DX 也称为X 的二阶原点矩。

错误4：掷硬币出现正面的概率为P , 掷了n 次，则至少出现一次正面的概率为1-(1-p)n. 正确 5：随机变量X 的取值为不可列无穷多，则X 必为连续型随机变量。

错误 6：设事件为A 、B ，已知P(AB)=0，则A 与B 必相互独立. 错误 7： “ABC ”表示三事件A 、B 、C 至少有一个发生。

错误8：设X 、Y 是随机变量，X 与Y 不相关的充分必要条件是X 与Y 的协方差等于0。

正确 9：设X 、Y 是随机变量，若X 与Y 相互独立，则E(XY)=EX •Ey. 正确 10：连续型随机变量均有方差存在。

错误11： A.B 为任意二随机事件，则P(A ∪B)=P(A)+P(B). 错误12：设A 、B 、C 为三事件，若满足：三事件两两独立,则三事件A 、B 、C 相互独立。

错误 4：设事件为A 、B ，已知P(AB)=0,则A 与B 互不相容.错误5：随机向量（X,Y ）服从二元正态分布，则X 的边际分布为正态分布，Y 的边际分布也为正态分布. 正确 6：若X ～B(3,0.2),Y ～B(5,0.2),且X 与Y 相互独立，则X+Y ～B(8,0.2). 正确 7： X 为随机变量，a,b 是不为零的常数，则D(aX+b)=aDX+b. 错误8：设X 、Y 是随机变量，X 与Y 不相关的充分必要条件是D(X+Y)=DX+DY. 正确 2： C 为常数，则D(C)=0. 正确3：若X 服从二项分布B(5,0.2),则EX=2. 错误4： X 服从正态分布，Y 也服从正态分布, 则随机向量（X,Y ）服从二元正态分布。

错误5：若X 服从泊松分布P(10),Y 服从泊松分布P(10),且X 与Y 相互独立，则X+Y 服从泊松分布P(20). 正确 6：cov(X,Y)=0等价于D(X+Y)=DX+DY. 正确7：随机变量的分布函数与特征函数相互唯一确定。

线性代数与概率统计作业题答案

《线性代数与概率统计》作业题第一部分单项选择题 1．计算11221212x x x x ++=++？（A ）A ．12x x -B ．12x x +C ．21x x -D ．212x x -2．行列式111111111D =-=--(B)A ．3B ．4C ．5D ．63．设矩阵231123111,112011011A B -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，求AB =？(B) A ．-1B ．0C ．1D ．24．齐次线性方程组123123123000x x x x x x x x x λλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则λ=？（C ）A ．-1B ．0C ．1D ．25．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=50906791A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=67356300B ，求AB =？（D ） A ．1041106084⎛⎫⎪⎝⎭B ．1041116280⎛⎫⎪⎝⎭C ．1041116084⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1041116284⎛⎫⎪⎝⎭6．设A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，且A a =,B b =,00A C B⎛⎫=⎪⎝⎭,则C =？（ D ） A ．(1)mab - B ．(1)n ab - C ．(1)n m ab +-D ．(1)nmab -7．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=343122321A ，求1-A =？（D ）A ．13235322111⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭B ．132********-⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ C ．13235322111-⎛⎫ ⎪⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ D ．13235322111-⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭8．设,A B 均为n 阶可逆矩阵，则下列结论中不正确的是（B ）A ．111[()]()()T T T AB A B ---=B ．111()A B A B ---+=+C ．11()()k k A A --=（k 为正整数）D ．11()(0)n kA k A k ---=≠ （k 为正整数）9．设矩阵m n A ⨯的秩为r ，则下述结论正确的是（D ） A ．A 中有一个r+1阶子式不等于零B ．A 中任意一个r 阶子式不等于零C ．A 中任意一个r-1阶子式不等于零D ．A 中有一个r 阶子式不等于零10．初等变换下求下列矩阵的秩，321321317051A --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭的秩为？（D ）B ．1C ．2D ．311．写出下列随机试验的样本空间及下列事件的集合表示：掷一颗骰子，出现奇数点。

《概率统计》作业题参考答案

《概率统计》作业题参考答案《概率统计》作业题答案cy091017 王少玲1. 某工厂生产的产品以100个为一批.在进行抽样检查时,只从每批抽取3个来检查,如果发现其有次品,则认为这批产品不合格.假定每批产品求(1(2)在一批产品能通过检查的条件下,这批产品没有次品的概率.[解] (1)记A ={产品能通过检查},B i ={产品有i 个次品} (i =0,1,2),则3.0)(,4.0)(,3.0)(210===B P B P B P 941.0)|(,97.0)|(,1)|(31003982310039910=====C C B A P C C B A P B A P 由全概率公式,得所求概率为970.0)|()()(20∑=≈=i i i B A P B P A P(2)我们要求的概率是309.0970.03.01)()()|()()()|(0000≈⨯===A P B P B A P A P AB P A B P2. 发报台分别以概率0.6及0.4发出信号“·”及“-”。

由于通讯系统受到干扰,当发出信号“·”时,收报台以概率0.8及0.2收到信号“·”及“-”;又当发出信号“-”时,收报台以概率0.9及0.1收到信号“-”及“·”。

求: (1)收报台收到信号“·”的概率;(2)当收报台收到信号“-”时,发报台确系发出信号“-”的概率。

[解] (1)记 A ={收报台收到信号“·”},B ={发报台发出信号“·”},则4.0)(,6.0)(==B P B P 9.0)|(,1.0)|(,2.0)|(,8.0)|(====B A P B A P B A P B A P由全概率公式,收报台收到信号“·”的概率为52.0)|()()|()()(=+=B A P B P B A P B P A P(2)当收报台收到信号“-”时,发报台确系发出信号“-”的概率是75.048.04.09.0)(1)()|()()()|(=⨯=-==A P B P B A P A P B A P A B P3. 两台机床加工同样的零件 ,第一台出现废品的概率为 0.05,第二台出现废品的概率为0.02,加工的零件混放在一起。

自考作业答案概率论与数理统计

概率论与数理统计经管类综合试题一课程代码 4183一、单项选择题本大题共10小题,每小题2分,共20分在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内;错选、多选或未选均无分;1.下列选项正确的是 B .A. A B A B +=+B.()A B B A B +-=-C. A-B +B =AD. AB AB =2.设()0,()0P A P B >>,则下列各式中正确的是 D . A -B =PA -PB AB =PAPBC. PA +B =PA +PBD. PA +B =PA +PB -PAB3.同时抛掷3枚硬币,则至多有1枚硬币正面向上的概率是 D .A. 18B. 16C. 14D. 124.一套五卷选集随机地放到书架上,则从左到右或从右到左卷号恰为1,2,3,4,5顺序的概率为 B .A.1120 B. 160C. 15 D. 12 5.设随机事件A ,B 满足B A ⊂,则下列选项正确的是 A .A.()()()P A B P A P B -=-B. ()()P A B P B +=C.(|)()P B A P B =D.()()P AB P A =6.设随机变量X 的概率密度函数为f x ,则f x 一定满足 C . A. 0()1f x ≤≤ B. f x 连续C. ()1f x dx +∞-∞=⎰D. ()1f +∞=7.设离散型随机变量X 的分布律为(),1,2,...2kbP X k k ===,且0b >,则参数b 的值为 D .A. 12B. 13C. 15 D. 18.设随机变量X , Y 都服从0, 1上的均匀分布,则()E X Y += A .9.设总体X 服从正态分布,21,()2EX E X =-=,1210,,...,X X X 为样本,则样本均值101110i i X X ==∑~ D .A.(1,1)N -B.(10,1)NC.(10,2)N -D.1(1,)10N - 10.设总体2123(,),(,,)XN X X X μσ是来自X 的样本,又12311ˆ42X aX X μ=++ 是参数μ的无偏估计,则a = B .A. 1B.14 C. 12D. 13二、填空题本大题共15小题,每小题2分,共30分请在每小题的空格中填上正确答案;错填、不填均无分;11.已知121(),(),()433P A P B P C ===,且事件C ,B ,A 相互独立,则事件A ,B ,C 至少有12. 一个口袋中有2个白球和3个黑球,从中任取两个球,则这两个球恰有一个白球一个黑球的概率是.13.设随机变量X 的概率分布为)(x F 为X 的分布函数,则(2)F = .14. 设X 服从泊松分布,且3=EX ,则其概率分布律为33(),0,1,2,...!k P X k e k k -=== .15.设随机变量X 的密度函数为22,0()0,0x e x f x x -⎧>=⎨≤⎩,则E 2X +3 = 4 .16.设二维随机变量X , Y 的概率密度函数为2221(,),2x yfx y e π+-= (,)x y -∞<<+∞.则X , Y 关于X 的边缘密度函数()X f x =22()x x --∞<<+∞ .17.设随机变量X 与Y 相互独立,且1()0.5,(1)0.3,2P X P Y ≤=≤=则1(,1)2P X Y ≤≤= .18.已知,4,1,0.5X Y DX DY ρ===,则DX -Y = 3 . 19.设X 的期望EX 与方差DX 都存在,请写出切比晓夫不等式2(||)DX P X EX εε-≥≤ 2(||)1DXP X EX εε-<≥- .20. 对敌人的防御地段进行100次轰炸,每次轰炸命中目标的炮弹数是一个随机变量,其数学期望为2,方差为,则在100轰炸中有180颗到220颗炮弹命中目标的概率为 . 附：0(1.33)0.908Φ=21.设随机变量X 与Y 相互独立,且22(3),(5)XY χχ,则随机变量53XYF 3,5 .22.设总体X 服从泊松分布P 5,12,,,n X X X 为来自总体的样本,X 为样本均值,则E X = 5 .23.设总体X 服从0,θ上的均匀分布,1, 0, 1, 2, 1, 1是样本观测值,则θ的矩估计为_____2_____ .24.设总体),(~2σμN X ,其中202σσ=已知,样本12,,,n X X X 来自总体X ,X 和2S 分别是样本均值和样本方差,则参数μ的置信水平为1-α的置信区间为22[,]X X αα .25.在单边假设检验中,原假设为00:H μμ≤,则备择假设为H 1：10:H μμ> .三、计算题本大题共2小题,每小题8分,共16分26.设A ,B 为随机事件,()0.3,(|)0.4,(|)0.5P A P B A P A B ===,求()P AB 及()P A B +..解：()()(|)0.30.40.12P AB P A P B A ==⨯=；由(|)0.5P A B =得：(|)10.50.5P A B =-=,而()(|)()P AB P A B P B =,故 ()0.12()0.24(|)0.5P AB P B P A B ===.从而27.设总体0()0x e x X f x λλ-⎧>=⎨⎩～其它,其中参数0λ>未知,),,,(21n X X X是来自X 的样本,求参数λ的极大似然估计. 解：设样本观测值0,1,2,...,.i x i n >=则似然函数111()()niii nnx x ni i i L f x eeλλλλλ=--==∑===∏∏取对数ln 得：1ln ()ln ni i L n x λλλ==-⋅∑,令1ln ()0ni i d L n x d λλλ==-=∑,解得λ的极大似然估计为11ˆnii nxxλ===∑.或λ的极大似然估计量为1ˆX λ=. 四、综合题本大题共2小题,每小题12分,共24分28.设随机变量X 的密度函数为1,022()0,x x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它,求：1X 的分布函数Fx ；21(1)2P X -<≤；3 E 2X +1及DX .解：1当x <0时,Fx =0. 当02x ≤<时,2011()()24xxF x f t dt tdt x -∞===⎰⎰. 当2x ≥时,221()()012xx F x f t dt tdt dt -∞==+=⎰⎰⎰.所以,X 的分布函数为： 20,01(),0241,2x F x x x x <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩.21(1)2P X -<≤=111()(1)0.21616F F --=-=或1(1)2P X -<≤=11221011().216f t dt tdt -==⎰⎰3因为22014()23EX xf x dx x dx +∞-∞===⎰⎰222301()22EX x f x dx x dx +∞-∞===⎰⎰所以,11(21)213E X EX +=+=； 222()9DX EX EX =-=. 29.二维离散型随机变量X ,Y 的联合分布为1求X 与Y 的边缘分布；2判断X 与Y 是否独立 3求X 与Y 的协方差),(Y X Cov .1因为(0)0.3,(1)0.7P X P X ====,(0)0.4,(1)0.2,(2)0.4P Y P Y P Y ======,所以,边缘分布分别为：因为(0,0)0.2P X Y ===,2而(0)(0)0.30.40.12P X P Y ===⨯=,(0,0)(0)(0)P X Y P X P Y ==≠==,所以X 与Y 不独立；3计算得：0.7,1,()0.9EX EY E XY ===,所以(,)()Cov X Y E XY EXEY =-=五、应用题10分30. 已知某车间生产的钢丝的折断力X 服从正态分布N 570, 82.今换了一批材料,从性能上看,折断力的方差不变.现随机抽取了16根钢丝测其折断力,计算得平均折断力为,在检验水平0.05α=下,可否认为现在生产的钢丝折断力仍为5700.025 1.96u =解：一个正态总体,总体方差28σ=已知,检验01:570:570H H μμ=≠对检验统计量为~(01).X U N =，检验水平=0.05α临界值为0.0521.96u =得拒绝域：|u |>.计算统计量的值：575.2570575.2,|| 2.6 1.962x u -===>所以拒绝H 0,即认为现在生产的钢丝折断力不是570.概率论与数理统计经管类综合试题二课程代码 4183一、单项选择题本大题共10小题,每小题2分,共20分在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内;错选、多选或未选均无分;1.某射手向一目标射击3次,i A 表示“第i 次击中目标”,i =1,2,3,则事件“至少击中一次”的正确表示为 A . A. 123A A A B. 123A A A C. 123A A A D. 123A A A2. 抛一枚均匀的硬币两次,两次都是正面朝上的概率为 C . A.12 B. 13 C. 14D. 15 3. 设随机事件A 与B 相互对立,且0)(>A P ,0)(>B P ,则有 C . A. A 与B 独立 B. ()()P A P B > C. )()(B P A P = D. ()()P A P B =4. 设随机变量X 的概率分布为则(10)P X -≤≤= B . A. B. C. D. 15. 已知随机变量X 的概率密度函数为⎩⎨⎧≤≤=其他10)(2x ax x f ,则a = D .A. 0B. 1C. 2D. 36.已知随机变量X 服从二项分布,且44.14.2==DX EX ，,则二项分布中的参数n ,p 的值分别为 B .A.6.04==p n ，B.4.06==p n ，C.3.08==p n ，D.1.024==p n ，7. 设随机变量X 服从正态分布N 1,4,Y 服从0,4上的均匀分布,则E 2X+Y = D .A. 1B. 2C. 3D. 48. 设随机变量X 的概率分布为则DX +1= CA. 0B.C.D. 19. 设总体~(1,4)X N ,X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的样本(1)n >,221111()1n n i i i i X X S X X n n ====--∑∑，分别为样本均值和样本方差,则有 B 10. 对总体X 进行抽样,0,1,2,3,4是样本观测值,则样本均值x 为BA. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题本大题共15小题,每小题2分,共30分请在每小题的空格中填上正确答案;错填、不填均无分;11. 一个口袋中有10个产品,其中5个一等品,3个二等品,2个三等品.从中任取三个,则这三个产品中至少有两个产品等级相同的概率是.12. 已知PA =,PB =,PA ∪B =,则PAB =. 13. 设随机变量X 的分布律为)(x F 是X 的分布函数,则=)1(F .14.设连续型随机变量2,01~()0,x x X f x <<⎧=⎨⎩其它,则期望EX15.设102,01(,)(,)20x y X Y f x y ⎧<<<<⎪=⎨⎪⎩，，，其他，则PX +Y ≤1 = . 16.设~(04)X N ，,则=≤}2|{|X P . (1)0.8413Φ= 17.设DX =4,DY =9,相关系数0.25XY ρ=,则DX +Y = 16 .18.已知随机变量X 与Y 相互独立,其中X 服从泊松分布,且DX =3,Y 服从参数λ=1的指数分布,则EXY = 3 .19.设X 为随机变量,且EX =0,DX =,则由切比雪夫不等式得(||1)P X ≥= .20.设每颗炮弹击中飞机的概率为,X 表示500发炮弹中命中飞机的炮弹数目,由中心极限定理得,X 近似服从的分布是 N 5, .21.设总体1210~(0,1),,,...,X N X X X 是取自总体X 的样本,则1021~ii X=∑2(10)χ .22.设总体212~(,),,,...,n X N X X X μσ是取自总体X 的样本,记2211()nni i S X X n ==-∑,则2n ES =2. 23.设总体X 的密度函数是110()(0)00x e x f x x θθθ-⎧>⎪=>⎨⎪≤⎩,X 1,X 2,…,X n 是取自总体X的样本,则参数θ的极大似然估计为 ˆX θ= . 24.设总体),(~2σμN X ,其中2σ未知,样本12,,,n X X X 来自总体X ,X 和2S 分别是样本均值和样本方差,则参数μ的置信水平为1-α的置信区间为22[(1),(1)]X n X n αα-- . 25.已知一元线性回归方程为1ˆˆ3y x β=+,且2,5x y ==,则1ˆβ= 1 .三、计算题本大题共2小题,每小题8分,共16分26. 设随机变量X 服从正态分布N 2, 4,Y 服从二项分布B 10, ,X 与Y 相互独立,求DX+3Y .解：因为~(2,4),~(10,0.1)X N Y B ,所以4,100.10.90.9DX DY ==⨯⨯=. 又X 与Y 相互独立,故DX+3Y =DX +9DY =4+=.27. 有三个口袋,甲袋中装有2个白球1个黑球,乙袋中装有1个白球2个黑球,丙袋中装有2个白球2个黑球.现随机地选出一个袋子,再从中任取一球,求取到白球的概率是多少解：B 表示取到白球,A 1,A 2,A 3分别表示取到甲、乙、丙口袋.由题设知,1231()()()3P A P A P A ===. 由全概率公式：四、综合题本大题共2小题,每小题12分,共24分28.设连续型随机变量X 的分布函数为20,0()01,1,1x F x x kx x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩,求：1常数k ； 2P <X <； 3方差DX ..解：1由于连续型随机变量X 的分布函数Fx 是连续函数,所以11lim ()lim ()1x x F x F x -+→→==即k =1,故20,0()01,1,1x F x x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩(2)(0.30.7)(0.30.7)(0.7)(0.3)P X P X F F <<=<≤=-=；(3)因为对于()f x 的连续点,()()f x F x '=,所以2,01()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其它29. 已知二维离散型随机变量X ,Y 的联合分布为求：1 边缘分布；2判断 X 与Y 是否相互独立；3EXY .解：1因为(0)0.4,(1)0.6P X P X ====,(1)0.5,(2)0.2,(3)0.3P Y P Y P Y ======,所以,边缘分布分别为：2因为((P X Y =(0,2)(0)(2)P X Y P X P Y ==≠==所以,X 与Y 不独立；3()110.3120.1130.2 1.1E XY =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= 五、应用题本大题共1小题,共6分30.假设某班学生的考试成绩X 百分制服从正态分布2(72,)N σ,在某次的概率论与数理统计课程考试中,随机抽取了36名学生的成绩,计算得平均成绩为x =75分,标准差s = 10分.问在检验水平0.05α=下,是否可以认为本次考试全班学生的平均成绩仍为72分 0.025(35) 2.0301t =解：总体方差未知,检验H 0：72μ=对H 1：72μ≠,采用t 检验法. 选取检验统计量：~(35)X T t =由0.05α=,得到临界值0.025(35) 2.0301t =. 拒绝域为：|t |> . 因|| 1.8 2.0301t ==<,故接受H 0.即认为本次考试全班的平均成绩仍为72分.概率论与数理统计经管类综合试题三课程代码 4183一、单项选择题本大题共10小题,每小题2分,共20分在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内;错选、多选或未选均无分;1.设A ,B 为随机事件,由PA +B =PA +PB 一定得出 A .A. PAB =0B. A 与B 互不相容C.AB =ΦD. A 与B 相互独立2.同时抛掷3枚硬币,则恰有2枚硬币正面向上的概率是 B .A. 18B. 38C. 14D. 123.任何一个连续型随机变量X 的分布函数Fx 一定满足 A .A.0()1F x ≤≤B.在定义域内单调增加C.()1F x dx +∞-∞=⎰D.在定义域内连续4.设连续型随机变量23,01~()0,x x X f x ⎧<<=⎨⎩其它,则()P X EX <= C .5.若随机变量X 与Y 满足DX +Y =DX -Y ,则 B .A. X 与Y 相互独立B. X 与Y 不相关C. X 与Y 不独立D. X 与Y 不独立、不相关6.设~(1,4),~(10,0.1)X N Y B -,且X 与Y 相互独立,则DX +2Y 的值是 A .A. B. C. D.7.设样本1234(,,,)X X X X 来自总体~(0,1)X N ,则421i i X =∑~ B .A. (1,2)FB.2(4)χC. 2(3)χD.(0,1)N8.假设总体X 服从泊松分布()P λ,其中λ未知,2,1,2,3,0是一次样本观测值,则参数的矩估计值为 D .A. 2B. 5C. 8D.9.设α是检验水平,则下列选项正确的是 A . A.00(|)P H H α≤拒绝为真B.01(|)1-P H H α≥接受为真C.0000(|)(|)1P H H P H H +=拒绝为真接受为假D.1111(|)(|)1P H H P H H +=拒绝为真接受为假10.在一元线性回归模型01y x ββε=++中,ε是随机误差项,则E ε= C . A. 1 B. 2 C. 0 D. -1二、填空题本大题共15小题,每小题2分,共30分请在每小题的空格中填上正确答案;错填、不填均无分;11.一套4卷选集随机地放到书架上,则指定的一本放在指定位置上的概率为14. 12.已知PA +B =,PA =,且事件A 与B 相互独立,则PB = 56.13.设随机变量X ~U 1,5,Y =2X -1,则Y ~ Y ~ U1,9 . 14.已知随机变量X 的概率分布为令2Y X =,则Y 的概率分布为 .15.设随机变量X 与Y 相互独立,都服从参数为1的指数分布,则当x >0,y >0时,X ,Y 的概率密度fx , y =x y e -- .16.设随机变量X 的概率分布为X -1 0 1 2Pk则EX = 1 .17.设随机变量X ~,0()0,0x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩,已知2EX =,则λ= 12 .18.已知(,)0.15,4,9,Cov X Y DX DY ===则相关系数,X Y ρ= . 19.设的期望EX 、方差DX 都存在,则(||)P X EX ε-<≥ 21DXε-.20. 一袋面粉的重量是一个随机变量,其数学期望为2kg,方差为,一汽车装有这样的面粉100袋,则一车面粉的重量在180kg 到220kg 之间的概率为 .0(1.33)0.908Φ=21.设n X X X ,,,21 是来自正态总体),(2σμN 的简单随机样本,X是样本均值,2S 是样本方差,则~X T =______tn -1____. 22.评价点估计的优良性准则通常有无偏性、有效性、一致性或相合性 .23.设1, 0, 1, 2, 1, 1是取自总体X 的样本,则样本均值x = 1 . 24.设总体),(~2σμN X ,其中μ未知,样本12,,,n X X X 来自总体X ,X 和2S 分别是样本均值和样本方差,则参数2σ的置信水平为1-α的置信区间为2222122(1)(1)[,](1)(1)n S n S n n ααχχ----- . 25.设总体2~(4,)X N σ,其中2σ未知,若检验问题为01:4,:4H H μμ=≠, 则选取检验统计量为X T =三、计算题本大题共2小题,每小题8分,共16分 26.已知事件A 、B 满足：PA =,P B =,PB |A =,求PA|B . 解：PAB =PA PB |A = ×=.PA|B =()()0.20.5()10.61()P AB P AB P B P B ===--. 27.设二维随机变量X , Y 只取下列数组中的值：0,0, 0,-1, 1,0, 1,1,且取这些值的概率分别为,,,.求：X ,Y 的分布律及其边缘分布律. 解：由题设得,X , Y 的分布律为：从而求得边缘四、综合题本大题共2小题,每小题12分,共24分 28.设10件产品中有2件次品,现进行连续不放回抽检,直到取到正品为止.求：1抽检次数X 的分布律；2 X 的分布函数； 3Y =2X +1的分布律.解：1X 的所有可能取值为1,2,3.且84(1)105P X ===288(2)10945P X ==⨯=2181(3)109845P X ==⨯⨯=所以,X 的分布律为：时,()()0F x P X x =≤=； 2当1x <时,4()()(1)5F x P X x P X =≤===；当12x ≤<当23x ≤<时,44()()(1)(2)45F x P X x P X P X =≤==+==；当3x ≥时,()()(1)(2)(3)1F x P X x P X P X P X =≤==+=+==. 所以,X 的分布函数为：0,14,125()44,23451,3x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩.3因为Y =2X +1,故Y 的所有可能取值为：3,5,7.且得到Y 的分布律为：距离时产生的误差2~(0,10)X N 单位：29.设测量m,现作三次独立测量,记Y 为三次测量中误差绝对值大于的次数,已知(1.96)0.975Φ=.1求每次测量中误差绝对值大于的概率p ； 2问Y 服从何种分布,并写出其分布律； 3求期望EY .解：1 (|| 1.96)1(|| 1.96)p P X P X =>=-≤ 1[2(1.96)1]0.05=-Φ-=. 2Y 服从二项分布B 3,. 其分布律为： 3由二项分布知：30.050.15.EY np ==⨯= 五、应用题本大题共10分30.市场上供应的灯泡中,甲厂产品占60%,乙厂产品占40%；甲厂产品的合格品率为90%,乙厂的合格品率为95%,若在市场上买到一只不合格灯泡,求它是由甲厂生产的概率是多少解：设A 表示甲厂产品,A 表示乙厂产品,B 表示市场上买到不合格品. 由题设知：()0.6,()0.4,(|)10.90.1,(|)10.950.05.P A P A P B A P B A ===-==-= 由全概率公式得：由贝叶斯公式得,所求的概率为： ()(|)0.60.1(|)0.750.08()(|)()(|)P A P B A P A B P A P B A P A P B A ⨯===+.概率论与数理统计经管类综合试题四课程代码 4183一、单项选择题本大题共10小题,每小题2分,共20分在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内;错选、多选或未选均无分;1.设A ,B 为随机事件,且PA >0,PB >0,则由A 与B 相互独立不能推出A . A. PA +B =PA +PB B. PA |B =PAC.(|)()P B A P B =D.()()()P AB P A P B =把钥匙中有3把能打开门,现任取2把,则能打开门的概率为 C .A. 23B. 35C. 815 D.3.设X 的概率分布为1()(0,1,...,),0!kP X k ck k λλ-===>,则c = B .A. e λ-B. e λC. 1e λ--D. 1e λ-4.连续型随机变量X 的密度函数1,02()0,kx x f x +<<⎧=⎨⎩其它,则k = D .A. B. 1 C. 2 D.5.二维连续型随机变量X ,Y 的概率密度为22,0,0(,)0,x y e x y f x y --⎧>>=⎨⎩其它,则X ,Y 关于X的边缘密度()X f x = A .A.22,00,0x e x x -⎧>⎨≤⎩B.2,00,0x e x x -⎧>⎨≤⎩C.,00,0x e x x -⎧>⎨≤⎩D.,00,0y e y y -⎧>⎨≤⎩6.设随机变量X 的概率分布为X 0 1 2P则DX = D .A. B. 1 C. D.7.设~(1,4),~(1,1)X N Y N -,且X 与Y 相互独立,则EX -Y 与DX -Y 的值分别是 B .A. 0,3B. -2,5C. -2,3 ,58.设随机变量~(,),1,2,...,n X B n p n =其中01p <<,则lim }n P x →∞≤=B .A.22t xdt -⎰B.22t x dt -⎰C.202t dt -⎰D.22t dt +∞--∞⎰9.设样本1234(,,,)X X X X 来自总体2~(,)X N μσ,~ C .A.2(1)χB.(1,2)FC.(1)tD.(0,1)N10.设样本12(,,...,)n X X X 取自总体X ,且总体均值EX 与方差DX 都存在,则DX 的矩估计量为 C .A.11n i i X X n ==∑B.2211()1n i i S X X n ==--∑ C.2211()n n i i S X X n ==-∑ D.12211()1n i i S X X n -==--∑ 二、填空题本大题共15小题,每小题2分,共30分请在每小题的空格中填上正确答案;错填、不填均无分;11.设袋中有5个黑球,3个白球,现从中任取两球,则恰好一个黑球一个白球的概率为1528. 12.某人向同一目标重复独立射击,每次命中目标的概率为p 0<p <1,则此人第4次射击恰好第二次命中目标的概率是 223(1)p p - .13.设连续型随机变量X 的分布函数为11()arctan 2F x x π=+,则其概率密度为 21()(1)f x x π=+ . 14.设随机变量X 与Y 相互独立,且~(1,4),~(1,9)X N Y N -,则随机变量2X +Y ~ N 1,25； .15.设二维随机变量X ,Y 的概率分布为则协方差CovX ,Y = 0 .~(4)X P 泊松分布,1~()3Y E 指16.设布,,0.3X Y ρ=,则数分()D X Y -= .17.设二维随机变量X ,Y ~22(,,,,0)N μμσσ,则EXY 2= 22()μμσ+ .18.设随机变量X ~N 2,4,利用切比雪夫不等式估计(|2|3)P X -≥≤ 49. 19.设随机变量X 1,X 2,X 3相互独立,且同分布(1,1)(1,2,3)iX N i -=,则随机变量222123(1)(1)(1)~X X X +++++ 2(3)χ .20.设总体X 服从0,θ上的均匀分布,1, 0, 1, 0, 1, 1是样本观测值,则θ的矩估计为______43____ . 21.设总体2~(,)X N μσ,X 1,X 2,X 3,X 4是取自总体X 的样本,若1234111ˆ264X X X cX μ=+++是参数μ的无偏估计,则c =____112______ . 22.设总体~(,4)X N μ,样本12(,,...,)n X X X 来自总体X ,X 和2S 分别是样本均值和样本方差,则参数μ的置信水平为1α-的置信区间为22[,]X X αα+ . 23.设总体2~(,4)X N μ,其中μ未知,若检验问题222201:4,:4H H σσ=≠,样本12(,,...,)n X X X 来自总体X ,则选取检验统计量为 222(1)4n S χ-= . 24.在假设检验问题中,若原假设H 0是真命题,而由样本信息拒绝原假设H 0,则犯错误 .第一类错误 .25.在一元线性回归方程01y x ββ=+中,参数1β的最小二乘估计是1121()()ˆ()niixy i nxxii x x yy L L x x β==--==-∑∑ .三、计算题本大题共2小题,每小题8分,共16分26. 甲乙丙三人独立地向某一飞机射击,他们的射击水平相当,命中率都是.若三人中有一人击中,则飞机被击落的概率为；若三人中有两人同时击中,则飞机被击落的概率为；若三人都击中,则飞机必被击落.求飞机被击落的概率.解：设B 表示飞机被击中,A i 表示三人中恰有i 个人击中,i =1,2,3. 由题设知：312013()0.60.216,()0.40.60.432P A P A C ===⋅⋅=, 223233()0.40.60.288,()0.40.064P A C P A =⋅⋅===.0123(|)0,(|)0.2,(|)0.5,(|)1P B A P B A P B A P B A ====.由全概率公式,得27. 设总体X 的密度函数为(1),01(;),0,x x f x θθθ⎧+<<=⎨⎩其它其中1θ>-是未知参数,求：1θ的矩估计；2θ的极大似然估计.解：11101()(1)2EX xf x dx x dx θθθθ+∞+-∞+==+=+⎰⎰,令1,2X θθ+=+,解得θ的矩估计量为211X Xθ-=-. 2 设12,,...n X X X ，的一次观测值为12,,...,n x x x ，且01,1,2,...,i x i n <<=.则 111()()(1)(1)()nnnni i i i i i L f x x x θθθθθ=====+=+∏∏∏取对数：1ln ()ln(1)ln ni i L n x θθθ==++∑,令1ln ()ln 0,1ni i d L nx d θθθ==+=+∑ 解得：θ的极大似然估计值 11ln nii nxθ==--∑,θ的极大似然估计量11ln nii nXθ==--∑四、综合题本大题共2小题,每小题12分,共24分28.设随机变量X ～⎪⎩⎪⎨⎧-=02)(x xx f 其它2110≤<≤≤x x ,令Y =2X +1,求：1分布函数F )(x ；2 EY与DX .解：1当0x <时,()00xF x dt -∞==⎰,当01x ≤<时,201()()2xxF x f t dt tdt x -∞===⎰⎰, 当12x ≤<时,12011()()(2)212xxF x f t dt tdt t dt x x -∞==+-=-+-⎰⎰⎰,当2x ≥时,121()()(2)1x F x f t dt tdt t dt -∞==+-=⎰⎰⎰.所以,分布函数为：220,01,012()121,1221,2x x x F x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪-+-≤<⎪⎪≥⎩；2 1221()(2)1EX xf x dx x dt x x dx +∞-∞==+-=⎰⎰⎰,122232017()(2)6EX x f x dx x dt x x dx +∞-∞==+-=⎰⎰⎰, 所以,213EY EX =+=,221()6DX EX EX =-=. 29.在某公共汽车站,甲、乙、丙三人分别独立地等1,2,3路汽车,设每个人等车时间单位：分钟均服从0, 5上的均匀分布,求1一个人等车不超过2分钟的概率；2三人中至少有两个人等车不超过2分钟的概率.解： 1设X 表示一个人等车的时间,则X ~U 0,5,其概率密度为：1,05~()50,x X f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.一个人等车不超过2分钟的概率为：21(2)0.45p P X dx =≤==⎰； 2设Y 表示三个人中等车不超过2分钟的人数,则Y ~B 3,. 三人中至少有两个人等车不超过2分钟的概率为：(2)(2)(3)P Y P Y P Y ≥==+=2233330.40.60.40.352C C =⋅⋅+⋅=.五、应用题本大题共10分30.要测量A,B 两地的距离,限于测量工具,将其分成1200段进行测量,设每段测量产生的误差单位：千米相互独立,且都服从,上的均匀分布,试求测量A,B 两地时总误差的绝对值不超过20千米的概率.0(2)0.97725Φ=解：设X i “第i 段测量产生的误差”i =1.,2, (1200)X i i =1.,2,…,1200 独立同分布,且EX i =0, DX i =1/12.12001200111()0,()120010012i i i i E X D X ====⨯=∑∑ , 由中心极限定理得：12001~(0,100)ii XN =∑近似.所以,1200120011(||20)210i i i i X P X P ==⎛⎫- ⎪⎪≤=≤ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑02(2)10.9545=Φ-=.。

《概率论》判断题作业答案

判断题1：A.B为任意二随机事件，则P(A-B)=P(A)-P(B). (错误)2：对二项分布b ( k ; n , p ) = C n k p k ( 1 - p )n- k , k = 0 , 1 ,…, n，当k = [n p]时，概率值b ( k ; n , p ) 达到最大。

(错误)3：X、Y相互独立，则X、Y必不相关. (正确)4：设两个相互独立的随机变量ξ、η的方差分别是4和2，则D( 3ξ- 2η) = 44。

(正确)5：cov(X,Y)=0等价于D(X+Y)=DX+DY. (正确)6：(ξ,η)～（μ1，μ2 ；σ12，σ22 ；ρ），则ξ与η是相互独立的充分必要条件为ρ= 0。

(正确)7：设{ξk}为两两不相关的随机变量序列，Dξk < +∞，且存在常数C，使得Dξk < C,k=1,2,…，则{ξk}服从大数定律。

(正确)8：随机变量X服从二项分布b (n,p),当n充分大时，由中心极限定理，X近似服从正态分布N(np,np(1-p)). (正确)9：相互独立的随机变量序列，如果具有有限的数学期望，则该序列服从大数定律。

(错误)10： n个相互独立的随机变量之积的特征函数等于他们的特征函数之积. (错误)11：设随机变量ξ的特征函数为f ( t )，且它有n阶矩存在，则当k≤n时，有i k f (k)(0) = Eξk。

(错误) 12：A∪B∪C”表示三事件A、B、C至少有一个发生。

(正确)13：从一堆产品中任意抽出三件进行检查，事件A表示"抽到的三个产品中合格品不少于2个”，事件B 表示"抽到的三个产品中废品不多于2个”，则事件A与B是互为对立的事件。

(错误)14：已知：P(A)=0.2, P(B)=0.5, P(AB)=0.1,则P(A∪B)=0.6.(正确)15：设A、B、C为三事件，若满足：P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),则三事件A、B、C 必然相互独立。

上海工程技术大学概率论作业答案

习题一1．设C B A ,,是三个事件，且41)()()(===C P B P A P ，0)()(==BC P AB P ，81)(=AC P ，求C B A ,,中至少有一个发生的概率．解：()0P AB =Q ()0P ABC ∴=()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ∴⋃⋃=++---+1111500044488=++---+= 2．设事件B A ,及B A ⋃的概率分别为q p ,及r ，求：)(AB P ，)(B A P ，)(B A P 及)(B A P ．解：()()()()P AB P A P B P A B p q r =+-⋃=+- ()()()P AB P A P AB r q =-=- ()()()P AB P B P AB r p =-=- ()1()1P AB P A B r =-⋃=- 3．设31)(=A P ，21)(=B P ，试分别在下列三种情况下求)(B A P )的值： (1) B A ,互不相容； (2) B A ⊂； (3) 81)(=AB P ．解：（１）1()()2P AB P B ==（２）111()()()236P AB P B P A =-=-= （３）113()()()288P AB P B P AB =-=-=4．盒子中装有同型号的电子元件100个，其中有4个是次品．从盒子中任取4个，求： (1) 4个全是正品的概率； (2) 恰有一个是次品的概率； (3) 至少有两个是次品的概率．解：4964100(2)0.8472C p C == 319644100(2)0.1458C C p C == (3)10.84720.14580.0070p =--=或22314496496441000.0071C C C C C p C ++==5．从45件正品5件次品的产品中任取3件产品，求其中有次品的概率．解：34535010.2760C p C =-=6．从一副扑克牌（52张）中任取4张，求4张牌的花色各不相同的概率．解：4452130.1055p C ==7．某城市的电话号码由８个数字组成，第一位为5或6．求 (1) 随机抽取的一个电话号码为不重复的八位数的概率； (2) 随机抽取的一个电话号码末位数是8的概率．解：7972(1)0.0181210P p ⋅==⋅ 67210(2)0.1210p ⋅==⋅8．房间里有4人，求：(1) 这4人的生日不在同一个月的概率； (2) 至少有2人的生日在同一个月的概率．解：412(1)10.999412p =-= 4124(2)10.427112A p =-=9．已知41)(=A P ，31)|(=A B P ，21)|(=B A P ，求)(B A P ⋃．解：1()()(|)12P AB P A P B A ==()1()(|)6P AB P B P A B == 1111()()()()46123P A B P A P B P AB ∴⋃=+-=+-=10．掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7，求其中有一颗为1点的概率．解：设Ａ：其中一颗为１点，Ｂ：点数之和为７，则6121(),(),6666618P B P AB ====⋅⋅()1(|)()3P AB P A B P B ∴== 或{(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)}B =，则21(|)63P A B ==11．某个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，试问另一个也是女孩的概率是多少?解：其中一个是女孩的样本空间为：{（男，女），（女，男），（女，女）}故所求概率为1312．一盒子中装有7只晶体管，其中5只是正品，2只是次品，从中抽取两次，每次任取一只不放回，求：(1) 两次都取得正品的概率； (2) 第一次取得正品，第二次取得次品的概率； (3) 一次取得正品，另一次取得次品的概率； (4) 第二次取得正品的概率．解：（1）54107621p =⋅= （2）5257621p =⋅=（3）522510767621p =⋅+⋅=（4）5425576767p =⋅+⋅=13．袋中有红球和白球共100个，其中白球有10个．每次从袋中任取一球不放回，求第三次才取到红球的概率．解：设i A 表示事件“第i 次取到白球”，1,2,3i =则所求概率为：31212131210990()()(|)(|)0.00831009998P A A A P A P A A P A A A ==⋅⋅=14．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拔号不超过三次而拨对所需电话的概率．若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少? 解：（1）310p =或191981310109109810p =+⋅+⋅⋅= （2）35p =15．两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的概率为0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，求任意取出的一件产品是合格品的概率．解：设事件A ：取得的产品是合格品，事件i B ：取得的产品由第i 台车床加工，1,2i = 则所求概率为：112221()()(|)()(|)0.970.980.973333P A P B P A B P B P A B =+=⋅+⋅=16．设有甲、乙两个口袋，甲袋中装有n 只白球，m 只红球，乙袋中装有N 只白球，M 只红球．现从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任意取一球，问： (1) 取到白球的概率是多少?(2) 若已知取到白球，则原先是从甲袋中取得白球放入乙袋的概率是多少? 解：设事件A ：从乙袋取到白球，事件B ：从甲袋取到白球（1）所求概率为：()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+111()(1)n N m N nN n mNm n M N m n M N m n M N +++=⋅+⋅=+++++++++ （2）所求概率为：()(|)()P AB P B A P A =11()(1)n N nN nm n M N nN n mN nN n mN m n M N +⋅++++==+++++++17．设8支枪中有3支未经试射校正，5只已经试射校正．一射手用校正的枪射击时，中靶的概率为0.8，而用未校正过的枪射击时，中靶的概率为0.3．现假定从8支枪中任取一支进行射击，结果中靶，求所用的枪是己校正过的概率．解：设事件A ：射击中靶，事件B ：所用的枪是已校正过的则所求概率为：()(|)(|)()(|)()(|)P B P A B P B A P B P A B P B P A B =+50.84080.816353490.80.388⋅===⋅+⋅18．盒子中放有12个乒乓球，其中有9个是新的．第一次比赛时从中任取3个来使用，比赛后仍放回盒中，第二次比赛时再从盒中任取3个，求第二次取出的球都是新球的概率．解：设事件A ：第二次取出的球全是新球事件i B ：第一次取出的球当中有i 个新球，0,1,2,3i = 则所求概率为：3()()(|)iii P A P B P A B ==∑0331232133039399389379363333333312121212121212120.1458C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C =⋅+⋅+⋅+⋅=19．设事件A 与B 相互独立，且q B P p A P ==)(,)(．求下列事件的概率： (1) )(B A P ⋃； (2) )(B A P ⋃； (3) )(B A P ⋃．解：（1）()()()()()()()()P A B P A P B P AB P A P B P A P B p q pq =+-=+-=+-U （2）()()()()()(1)(1)1P A B P A P B P A P B p q p q q pq =+-=+---=-+U （3）()()1()1()()1P A B P AB P AB P A P B pq ⋃==-=-=-20．甲、乙两人独立地向同一目标射击，甲击中目标的概率是0.9，乙击中目标的概率是0.8．甲、乙两人各射击一次，求此目标被击中的概率．解：设事件A ：甲击中目标，事件B ：乙击中目标则所求概率为：()()()()()0.90.80.90.80.98P A B P A P B P A P B =+-=+-⋅=U 21．设每一门高射炮（发射一发）击中飞机的概率为0.6，现若干门炮同时发射（每炮射一发），若欲以99%的把握击中来犯的一架飞机，问至少需配备几门高射炮? 解：事件i A ：第i 门炮击中飞机，1i n ≤≤，则111()1()1()1[()]10.40.99n n nn n i i i i i i i P A P A P A P A ====-=-=-=->U U I0.4log 0.01 5.026n ∴>=所以至少配备6门高射炮。

课时作业14：3．1.3 频率与概率

3.1.3频率与概率基础过关一、基础达标1.给出下列三个命题，其中正确命题的个数是()①设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，出现正面的概率是3 7；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.A.0B.1C.2D.3 答案 A解析①概率指的是可能性，错误；②频率为37，而不是概率，故错误；③频率不是概率，错误.2.经过市场抽检，质检部门得知市场上食用油合格率为80%，经调查，某市市场上的食用油大约有80个品牌，则不合格的食用油品牌大约有()A.64个B.640个C.16个D.160个答案 C解析80×(1－80%)＝16.3.每道选择题有4个选择支，其中只有1个选择支是正确的.某次考试共有12道选择题，某人说：“每个选择支正确的概率是14，我每题都选择第一个选择支，则一定有3个题选择结果正确”这句话()A.正确B.错误C.不一定D.无法解释答案 B解析解答一个选择题作为一次试验，每次选择的正确与否都是随机的.经过大量的试验，其结果呈随机性，即选择正确的概率是14.做12道选择题，即进行了12次试验，每个结果都是随机的，不能保证每题的选择结果都正确，但有3题选择结果正确的可能性比较大.同时也有可能都选错，或有2题，4题，甚至12个题都选择正确.4.先后抛掷两枚均匀的五角、一元的硬币，观察落地后硬币的正反面情况，则下列哪个事件的概率最大()A.至少一枚硬币正面向上B.只有一枚硬币正面向上C.两枚硬币都是正面向上D.两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上答案 A解析抛掷两枚硬币，其结果有“正正”“正反”“反正”“反反”四种情况.至少有一枚硬币正面向上包括三种情况，其概率最大.5.在下列各事件中，发生的可能性最大的为()A.任意买1张电影票，座位号是奇数B.掷1枚骰子，点数小于等于2C.有10 000张彩票，其中100张是获奖彩票，从中随机买1张是获奖彩票D.一袋中装有8个红球，2个白球，从中随机摸出1个球是红球答案 D解析概率分别是P A＝12，P B＝13，P C＝1100，P D＝45，故选D.6.利用简单抽样法抽查某校150名男学生，其中身高为1.65米的有32人，若在此校随机抽查一名男学生，则他身高为1.65米的概率大约为________(保留两位小数).答案0.21解析所求概率为32150≈0.21.7.(1)某厂产品的次品率为0.02，问“从该厂产品中任意地抽取100件，其中一定有2件次品”这一说法对不对？为什么？(2)一次抽奖活动中，中奖的概率为0.3.解释该概率的含义.解(1)这种说法不对.因为“产品的次品率为0.02”是指产品为次品的可能性为2%，所以从该厂产品中任意地抽取100件，其中可能有2件次品，而不是一定有2件次品.(2)该概率说明参加抽奖的人中有30%的人可能中奖，也就是说，若有100人参加抽奖，大约有30人中奖.能力提升8.某市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而该市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆桑塔纳出租车，3 000辆帕萨特出租车，乙公司有3 000辆桑塔纳出租车，100辆帕萨特出租车，交警部门应先调查哪个公司的车辆较合理()A.甲公司B.乙公司C.甲与乙公司D.以上都对答案 B解析由于甲公司桑塔纳的比例为100100＋3 000＝131，乙公司桑塔纳的比例为3 0003 000＋100＝3031，根据极大似然法可知应选B.9.甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是()A.抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜B.同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜C.从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜D.甲，乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜答案 B解析对于A，C，D甲胜、乙胜的概率都是12，游戏是公平的；对于B，点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等，但点数等于7时乙胜，所以甲胜的概率小，游戏不公平.10.将一枚质地均匀的硬币连掷两次，则至少出现一次正面与两次均出现反面的概率比为________.答案3∶1解析将一枚质地均匀的硬币连掷两次有以下情形：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反).至少出现一次正面有3种情形，两次均出现反面有1种情形，故答案为3∶1. 11.某家具厂为游泳比赛场馆生产观众座椅，质检人员对该厂所产2 500套座椅进行抽检，共抽检了100套，发现有5套次品，试问该厂所产2 500套座椅中大约有多少套次品？解设有n 套次品，由概率的统计定义可知n 2 500＝5100，解得n ＝125.所以该厂所产2 500套座椅中大约有125套次品.创新突破12.设人的某一特征(眼睛的大小)是由他的一对基因所决定的，以d 表示显性基因，r 表示隐性基因，则具有dd 基因的人为纯显性，具有rr 基因的人为纯隐性，具有rd 基因的人为混合性，纯显性与混合性的人都显露显性基因决定的某一特征，孩子从父母身上各得到一个基因，假定父母都是混合性，问：(1)1个孩子由显性决定特征的概率是多少？(2)“该父母生的2个孩子中至少有1个由显性决定特征”，这种说法正确吗？解父、母的基因分别为rd ，rd ，则这孩子从父母身上各得一个基因的所有可能性为rr ，rd ，rd ，dd ，共4种，故具有dd 基因的可能性为14，具有rr 基因的可能性也为14，具有rd 的基因的可能性为12.(1)1个孩子由显性决定特征的概率是34.(2)这种说法不正确，2个孩子中每个由显性决定特征的概率均相等，为34.13.从标有1，2，3，…，7的7个小球中取出一球，记下它上面的数字，放回后再取出一球，记下它上面的数字，然后把两数相加得和，求取出的两球上的数字之和大于11或者能被4整除的概率.解如图，以横坐标表示第一次摸球后的数字，纵坐标表示第二次摸球后的数字，从图中可以看出，基本事件与所描点一一对应，共7×7＝49种，记“取出的两球上的数字之和大于11或者能被4整除”为事件A ，则事件A 包含的基本事件个数为3＋7＋6＝16，故P (A )＝1649.。

西大2014《概率论》作业答案(6次作业-已整理)

西大2014《概率论》作业答案(6次作业-已整理)西南大学2014年秋季学期《概率论》作业答案（6次作业,已整理）第一次作业1：[判断题]"A∪B∪C”表示三事件A、B、C至少有一个发生。

参考答案：正确2：[判断题]从一堆产品中任意抽出三件进行检查，事件A 表示"抽到的三个产品中合格品不少于2个”，事件B表示"抽到的三个产品中废品不多于2个”，则事件A与B是互为对立的事件。

参考答案：错误3：[判断题]已知：P(A)=0.2, P(B)=0.5, P(AB)=0.1,则P(A∪B)=0.6参考答案：正确4：[判断题]设A、B、C为三事件，若满足：P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P (C),则三事件A、B、C必然相互独立。

参考答案：错误5：[判断题]每一个连续型随机变量均有方差存在。

参考答案：错误6：[判断题]设X、Y是随机变量，若E(XY)=EX•EY,则X 与Y相互独立.参考答案：错误7：[判断题]X为随机变量，a,b是不为零的常数，则E(aX+b)=aEX+b.参考答案：正确8：[判断题]X～N(3,4),则P(X<3)= P(X>3).参考答案：正确9：[判断题]任意随机变量均存在数学期望。

参考答案：错误10：[判断题]一批产品有10件正品，3件次品，现有放回的抽取，每次取一件，直到取得正品为止，假定每件产品被取到的机会相同，用随机变量ξ表示取到正品时的抽取次数，则ξ服从几何分布。

参考答案：正确11：[单选题]设X是随机变量，且EX=DX,则X 服从（）分布。

A：二项B：泊松C：正态D：指数参考答案：B12：[单选题]（）是离散型随机变量的分布。

A：正态分布B：指数分布C：均匀分布D：二项分布参考答案：D13：[填空题]一部五卷的文集，按任意次序放到书架上，则（1）"第一卷及第五卷出现在旁边”的概率为；（2）"第一卷出现在旁边”的概率为。

《概率论与数理统计》作业

《概率论与数量统计》作业补充作业与复习题一、单项选择题，从下面各题的备选答案A 、B 、C 、D 中选择一个你认为正确的填入括内。

1、设当事件A 与B 同时发生时C 也发生, 则 ( ).(A) B A 是C 的子事件; (B) C 是B A 的子事件;(C) AB 是C 的子事件; (D) C 是AB 的子事件.2、设 8.0/,7.0,8.0 B A P B P A P 则下列结论正确的是（）.A 事件A 与B 互相独立 B 事件A 与B 互斥C B AD P （A+B ）=P （A ）+P （B ）3、设事件 A {甲种产品畅销或乙种产品滞销}, 则A 的对立事件为 ( ).(A) 甲种产品滞销,乙种产品畅销; (B) 甲种产品滞销;(C) 甲、乙两种产品均畅销; (D) 甲种产品滞销或者乙种产品畅销.4、一名射手连续向某个目标射击三次，事件i A 表示第i 次射击时击中目标（)3,2,1 i ，用i A （)3,2,1 i 表示三次射击中至少有一次没有命中目标是（）。

A 321A A AB 321A A AC 321A A AD 321A A A5、一名射手连续向某个目标射击三次，事件i A 表示第i 次（)3,2,1 i 击中目标，用i A （)3,2,1 i 表示三次中至多有一次击中目标是（）。

A 321A A AB 321A A AC 323121A A A A A A D.321A A A6、从一批产品中每次取一个进行检验（每次取出的产品不放回去），事件i A 表示第i 次取到合格品，用i A （)3,2,1 i 表示三中至少有两次取到合格品是（）。

A 321A A AB 321A A AC 323121A A A A A AD 321A A A7、假定甲、乙两人各自考上大学的概率分别是70%、80%，则甲、乙两人同时考上大学的概率是( )A. 75% B 56% C 50% D 94%8、已知某型号电子管，其寿命（小时）为一随机变量，它的概率密度为100 0100 1002x x x x 求4个这样的电子管使用150小时都不需要更换的概率是( )。

《线性代数与概率统计》作业题(答案)

《线性代数与概率统计》作业题(答案)第一部分单项选择题 1．计算11221212x x xx ++=++？（A ）A ．12x x - B ．12x x + C ．21x x - D ．212xx -2．行列式111111111D =-=--（B ）A ．3B ．4C ．5D ．63．设矩阵231123111,112011011A B -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，求AB =？（B ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2 4．齐次线性方程组123123123000x x x x x x x x x λλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则λ=？（A ）A ．-1B ．0C ．1D ．2 5．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=50906791A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=67356300B ，求AB =？（ D ）A ．1041106084⎛⎫⎪⎝⎭B ．1041116280⎛⎫⎪⎝⎭C ．1041116084⎛⎫⎪⎝⎭D ．1041116284⎛⎫⎪⎝⎭6．设A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，且A a =,B b =,0A C B⎛⎫=⎪⎝⎭,则C =？（ D ）A ．(1)mab-B ．(1)nab - C ．(1)n mab+- D ．(1)nmab-7．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=343122321A ，求1-A =？（D ）A ．13235322111⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭B ．132********-⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭C ．13235322111-⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭D ．13235322111-⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭8．设,A B 均为n 阶可逆矩阵，则下列结论中不正确的是（ B ） A ．111[()]()()T T TAB A B ---=B ．111()A B A B ---+=+C ．11()()k kA A --=（k 为正整数）D ．11()(0)n kA k A k ---=≠ （k 为正整数）9．设矩阵m nA ⨯的秩为r ，则下述结论正确的是（D ）A ．A 中有一个r+1阶子式不等于零B ．A 中任意一个r 阶子式不等于零C ．A 中任意一个r-1阶子式不等于零D ．A 中有一个r 阶子式不等于零 10．初等变换下求下列矩阵的秩，321321317051A --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭的秩为？（C ） A ．0B ．1 C ．2D ．311．写出下列随机试验的样本空间及下列事件的集合表示：掷一颗骰子，出现奇数点。