2021届安徽省蚌埠市高三上学期9月第一次教学质量检查数学(理)试题Word版含解析

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高考大练兵——安徽省蚌埠市2021-2022学年高三上学期教学质量检查理科数学试题(含答案解析)

试卷第1页，共6页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………安徽省蚌埠市2021-2022学年高三上学期教学质量检查理科数学试题试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx 题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明评卷人得分一、单选题1．已知集合(){}lg 1A x y x ==+，集合{}220B x x x =+-<，则A B ⋃=（）A ．{}21x x -<<B ．{}11x x -<<C ．{}1x x >-D ．{}2x x >-2．设复数202212i 2i z +⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则z =（） A ．1B ．1-C ．iD ．i -3．《数书九章》是我国宋代数学家秦九韶的著作，其中给出了求多项式值的秦九韶算法，如图所示的程序框图给出了一个利用秦九韶算法求某多项式值的实例．若输入的1x =，则输出的y 值是（）A ．2B ．16C ．32D ．644．已知α，β为锐角，1tan 2α=，()tan 1αβ+=，则cos 2β=（）试卷第2页，共6页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A ．13B ．13-C ．45D ．355．已知双曲线2221x y a-=（0a >）的左､右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作一条渐近线的垂线，垂足为P 若12PF F △的面积为22，则该双曲线的离心率为（） A ．233B ．324C ．3D ．1436．某市有A 、B 、C 、D 、E 五所学校参加中学生体质抽测挑战赛，决出第一名到第五名的名次．A 校领导和B 校领导去询问成绩，回答者对A 校领导说：“很遗憾，你和B 校都没有得到第一名”，对B 校领导说“你也不是最后一名”．从这两个回答分析，这五个学校的名次排列的不同情况共有（）A ．27种B ．36种C ．54种D ．72种7．函数()πcos 21ln x f x x⎛⎫ ⎪⎝⎭=-的图象大致为（） A ． B ．C ．D ．8．将函数()23sin 22cos 1f x x x +-的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则函数()g x =（）A ．2sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．2sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．2cos 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2cos 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭9．若正实数x ，y 满足33x y x y +≥⎧⎨-≤⎩．则2z x y =+的值不可能是（）A ．12B ．9C ．6D ．310．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点Q 为11B C 的中点，点N 为1DD 的中点．有下列四个结论：①CQ ∥平面11ADD A ；②BN ⊥平面11ACC A ； ③CQ BN ⊥；④异面直线BN 与CD 所成角为45°．试卷第3页，共6页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………其中正确的结论有（）A ．①②B ．①③C ．②④D ．①④11．已知向量1OA OB ==，若2OA OB +=()cos ,sin OC αα=，则()OB OA AC -⋅的最大值为（） A ．33B ．332+C ．12D 212．已知函数()()3log 91xf x x =+-，设910a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，9101e b f -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11e ln 10c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c << B ．c b a <<C ．b a c <<D ．c a b <<第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明评卷人得分二、填空题13．设抛物线()220y px p =>上一点()2,P m 到y 轴的距离是到焦点距离的一半，则抛物线的标准方程为______．14．某单位为了制定节能减排的目标，先调查了用电量y （度）与气温x （℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据，得线性回归方程ˆ2=-+yx a ，当气温为－5℃时，预测用电量的度数约为______．15．已知定义域为R 的函数()f x 的图象关于y 轴对称，且满足()()30f x f x ---=．若曲线()y f x =在()6,2处切线的斜率为4，则曲线()y f x =在点()()2022,2022f 处的切线方程为______．16．我国无人机技术处于世界领先水平，并广泛民用于抢险救灾、视频拍摄、环保监测试卷第4页，共6页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………等领域．如图，有一个从地面A 处垂直上升的无人机P ，对地面B ，C 两受灾点的视角为BPC ∠，且1tan 3BPC ∠=，无人机对地面受灾点D 的俯角为30°．已知地面上三处受灾点B ，C ，D 共线，且90ADB ∠=︒，1km BC CD ==，则无人机P 到地面的距离PA =______km ．评卷人得分三、解答题17．已知等差数列{}n a 与正项等比数列{}n b 满足113a b ==，且335220b a a b -=+=．（1）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式；（2）设()111nn n n n c b a a +=+-⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S ．18．第24届冬奥会将于2022年2月4日至2月20日在北京举行，冬季两项是冬奥会的正式项目之一，冬季两项是把越野滑雪和射击两种特点不同的竞赛项目结合在一起进行的运动，要求运动员既要有由动转静的能力，又要有由静转动的能力.20km 男子个人赛是冬季两项中最古老的奥运项目，分成5个阶段：第1圈滑行后卧射，第2圈滑行后立射，第3圈滑行后卧射，第4圈滑行后立射，第5圈滑行直达终点．比赛时，运动员单个出发，随身携带枪支和20发子弹，每轮射击发射5发子弹，每脱靶一次加罚1分钟．成绩的计算是越野滑雪的全程时间加被罚的时间，比赛结束所耗总时间少者获胜．已知甲、乙两名参赛选手在射击时每发子弹命中目标的概率均为0.8．（1）试求甲选手在一轮射击中，被罚时间X 的分布列及期望；（2）若甲、乙两名选手在滑道上滑行所耗时间相同，在前三轮射击中甲选手比乙选手多罚了3分钟，试求在四轮射击结束后，甲选手所罚总时间比乙选手所罚总时间少的概率（保留小数点后4位）．（参考数据：50.80.32768=，40.80.4096=．）19．如图，在Rt ABC △中，tan 3ABC ∠4BC =，现将Rt ABC △绕AC 旋转一周得到一个圆锥，BD 为底面圆的直径，点P 为圆锥的内切球O 与CD 的切点，1B 为圆锥底面圆周上异于B ，D 的一点．试卷第5页，共6页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（1）求证：//PA 平面1CBB ；（2）当122BB =时，求二面角1A PB C --的正弦值．20．“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如下图1）步骤1：设圆心是E ，在圆内异于圆心处取一点，标记为F ；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F ；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕（如图2）．已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆．若取半径为4的圆形纸片，设定点F 到圆心E 的距离为2，按上述方法折纸．（1）以点F ，E 所在的直线为x 轴，线段EF 的中垂线为y 轴，建立坐标系，求折痕所围成的椭圆C （即图1中M 点的轨迹）的标准方程．（2）如图3，若直线m ：()102y x s s =-+>与椭圆C 相切于点P ，斜率为12的直线n与椭圆C 分别交于点A ，B （异于点P ），与直线m 交于点Q ．证明：AQ ，PQ ，BQ 成等比数列． 21．已知函数()ln e xxf x =，()g x ax a =-．（1）求证：()ln e xxf x =存在极大值点．（2）若函数()f x 与()g x 的图象有两个交点，求实数a 的取值范围．试卷第6页，共6页22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为sin cos sin cos x y αααα=+⎧⎨=-⎩，其中α为参数．以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 64πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设曲线C 上的点P 到直线l 的距离为d ，求d 的取值范围． 23．已知函数()1f x x a x =++-．（1）当1a =时，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若()3f x ≥成立，求实数a 的取值范围．答案第1页，共17页参考答案1．D 【分析】计算{}1A x x =>-，{}21B x x =-<<，再计算A B 得到答案. 【详解】∵(){}{}lg 11A x y x x x ==+=>-，{}{}22021B x x x x x =+-<=-<<，故{}2A B x x ⋃=>-. 故选：D. 2．B 【分析】利用复数的除法化简复数12i2i+-，再利用复数乘方的周期性可求得结果. 【详解】()()()()12i 2i 12i 5i i 2i 2i 2i 5+++===--+，因此()()1011101120222i i 11z ===-=-. 故选：B. 3．C 【分析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的,k y 的值，当6k =时，不满足5k ≤，结束循环，输出32y =. 【详解】模拟程序的运行过程如下，输入1x =，1k =，122y =⨯=，2k =，224y =⨯=；3k =，428y =⨯=；4k =，8216y =⨯=；5k =，16232y =⨯=；6k =，此时不满足循环条件输出32y =. 则输出的y 值是32. 故选：C. 4．C 【分析】先利用两角差的正切公式结合已知条件求出tan β的值，然后对cos 2β化简变形后用含tan β答案第2页，共17页的式子表示，再代值计算即可【详解】因为1tan 2α=，()tan 1αβ+=，所以tan tan[()]βαβα=+- tan()tan 1tan()tan αβααβα+-=++111213112-==+⨯，因为β为锐角所以22cos 2cos sin βββ=- 2222cos sin cos sin ββββ-=+ 221tan 1tan ββ-=+ 22113113⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭11491519-==+，故选：C 5．B 【分析】易知渐近线的垂线方程为()y a x c =--，求得垂足P 的坐标，然后由12PF F △的面积为1212P aF F y c c ⨯=⨯=. 【详解】解：设过右焦点()2,0F c 且与渐近线0x ay -=垂直的直线为l ，则直线l 的方程为()y a x c =--.答案第3页，共17页由1,()y x a y a x c ⎧=⎪⎨⎪=--⎩，得2a x c=，a y c =，即2,a a P c c ⎛⎫⎪⎝⎭.则12PF F △的面积为1212P aF F y c c⨯=⨯= ∴a =∴2221819c a =+=+=， ∴e ==故选：B 6．C 【分析】由题意可知，B 校为第二至第四某个名次，A 校在第二至第五名次中剩余三个名次种选一个名次，其余三个名次任意排列，利用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】由题意可知，B 校为第二至第四某个名次，A 校在第二至第五名次中剩余三个名次种选一个名次，其余三个名次任意排列，故这五个学校的名次排列的不同情况共有333?3?A 54=种.故选：C. 7．B 【分析】先求出函数()f x 的定义域，并判断其奇偶性，最后求出零点，找特殊值代入验证即可得到答案. 【详解】由已知条件得函数()f x 的定义域为0ln 1x x ≠⎧⎨≠⎩，即()()()(),e e,00,e e,-∞--+∞，答案第4页，共17页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………∵()()f x f x -=，∴()f x 为偶函数，则选项AC 错误；其中()10f =，则1x =为函数()f x 的一个零点，()120ln 21f =<-，则选项D 不正确, 故选：B . 8．A 【分析】化简函数，再利用图象变换即得. 【详解】∵()23sin 22cos 13sin 2cos 22sin 26f x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，∴()2sin 22sin 26666g x f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故选：A ． 9．D 【分析】先画出不等式组表示的可行域，然后由2z x y =+，得2y x z =-+，作出直线2y x =-，结合图形求出2z x y =+的取值范围，从而可得答案【详解】不等式组表示的可行域如图所示，由2z x y =+，得2y x z =-+，作出直线2y x =-，向上平移，由图可知2A A z x y >+，由03x x y =⎧⎨+=⎩，得03x y =⎧⎨=⎩，即(0,3)A ，答案第5页，共17页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………所以203z >⨯+，即3z >，即2z x y =+的取值范围为(3,)+∞，故选：D 10．B 【分析】以D 为原点建立空间直角坐标系，根据向量法对选项一一判断即可．【详解】以D 为原点建立空间直角坐标系如图所示：设正方体的边长为2 则()()()()()0,0,0,,0,2,0,1,2,2,2,2,0,0,0,1D C Q B N()()1,0,2,0,2,0CQ DC ==，有0CQ DC ⋅=，所以CQ DC ⊥，又因为DC ⊥平面11ADD A ，CQ ⊄平面11ADD A ，所以//CQ 平面11ADD A ，故①正确；因为()()12,2,10,0,22BN A A ⋅=--⋅-=-，所以②错误；由()()1,0,22,2,1220CQ BN ⋅=⋅--=-+=，得CQ BN ⊥，故③正确；由422cos ,3294BN CD BN CD BN CD⋅===≠⋅⋅，故④错误．故选：B11．C 【分析】由题可得0OA OB ⋅=，不妨设()()0,1,1,0OA OB ==，进而可得()2cos 14OB OA AC πα⎛⎫-⋅=++ ⎪⎝⎭，再利用余弦函数的性质即得.【详解】答案第6页，共17页∵向量1OA OB ==，2OA OB += ∴22222OA OB OA OA OB OB +=+⋅+=， ∴0OA OB ⋅=，不妨设()()0,1,1,0OA OB ==，又()cos ,sin OC αα=，∴()()()1,1cos ,sin 1cos sin 114OB OA AC πααααα⎛⎫-⋅=-⋅-=-+=++ ⎪⎝⎭，∴当cos 14πα⎛⎫ ⎪⎝⎭+=时，()OB OA AC -⋅有最大值1故选：C.12．D 【分析】判断出()f x 奇偶性和单调性，得991010e e b f f --⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，构造函数()e 1xg x x =--导数求最值得()e 10xx x >+≠判断b a 、的大小，构造()()=ln 10t x x x x -+>值得()ln 11x x x <-≠，判断c a 、的大小可得答案. 【详解】()()()()33log 91log 33R x x xf x x x -=+-=+∈，()()()3log 33x x f x f x -∴-=+=，()f x 为偶函数，令33x x y -=+，设120x x >>，则()121212121212333333331x x x x x x x x x x y y +--+-=⎛-+--⎫-= ⎪⎝⎭，因为120x x ->，120x x +>，1231x x +>，所以()121212103333x x x x x x ++⎛⎫⎝-->⎪⎭，所以12y y >，所以33x x y -=+在()0,∞+是增函数，又3log y x =为增函数，所以()()3log 33x xf x -=+在()0,∞+上为增函数，所以991010e e b f f --⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，答案第7页，共17页由()e 1x g x x =--，得()e 1xg x '=-，当0x >时()0g x '>；当0x <时()0g x '<，所以()()00g x g ≥=，当且仅当0x =时取等号，所以()e 10xx x >+≠，故91091e11010->-+=，即b a >，令()()=ln 10t x x x x -+>，()()11=10xt x x x x-'-=>，当1x >时()0t x '<；当01x <<时()0t x '>，所以()()10t x t ≤=，当且仅当1x =时取等号，()ln 11x x x ∴<-≠，11111ln1,101010a c ∴<-=∴>. 综上.b ac >> 故选：D 【点睛】本题考查了比较大小的问题，比较大小的方法有：（1）根据单调性比较大小；（2）作差法比较大小；（3）作商法比较大小；（4）中间量法比较大小. 13．28y x = 【分析】由抛物线的定义可得出关于p 的等式，求出p 的值，即可得出抛物线的标准方程. 【详解】由题意可得2222p+=⨯，解得4p =，故该抛物线的标准方程为28y x =. 故答案为：28y x =. 14．70答案第8页，共17页【分析】根据表格中的数据，求出数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，系数法求出a 的值，再将5-︒，代入线性回归方程，即可得到预测用电量的度数．【详解】由表格，可得18131012434386410,4044x y ++-+++====，即(,x y 为：(10,40)，又(,x y 在回归方程ˆ2=-+yx a 上， 4010(2)a ∴=⨯-+，解得：60a =， ∴ˆ260yx =-+．当5C x ︒=-时，2(5)6070y =-⨯-+=．故答案为：70． 15．48086y x =- 【分析】分析可知函数()f x 、()f x '均为周期函数，且周期为3，利用函数周期性求出()2022f 、()2022f '的值，利用导数的几何意义可求得结果.【详解】因为()()3f x f x -=-，且函数()f x 是R 上的偶函数，则()()3f x f x -=，故函数()f x 为周期函数，且周期为3，则()()3f x f x ''=-，故函数()f x '也为周期函数，且周期为3，由已知可得()()()20223366662f f f =⨯+==，()()()20223366664f f f '''=⨯+==，因此，曲线()y f x =在点()()2022,2022f 处的切线方程为()242022y x -=-，即48086y x =-.故答案为：48086y x =-. 16．0.5或1 【分析】答案第9页，共17页由已知条件得可证明BD PD ⊥，设PA x =，由已知得30PDA ︒∠=，则2PD x =，在Rt △PBD 中，利用两角差的正切公式求解即可. 【详解】由题意可知，∵PA ⊥面ABD ,BD ⊂面ABD ，∴PA BD ⊥, 又∵BD AD ⊥,∴BD ⊥面PAD ，∴BD PD ⊥, 设PA x =，由已知得30PDA ︒∠=，则2PD x =，在Rt △PBD 中，()tan tan tan tan 1tan tan BPD CPDBPC BPD CPD BPD CPD∠∠-∠=∠-∠=+∠⋅∠，由21tan 2BPD x x∠==，1tan 2CPD x ∠=得，211121312x x x -=+，整理得22310x x -+=，解得：1x =或0.5，故答案为：0.5或1. 17．（1）21n a n =+，3nn b =（2）()331694n nn S n ⎡⎤--⎣⎦=++ 【分析】（1）根据条件回到基本量计算，然后由等差、等比数列的通项公式写出结果；（2）根据结构分成裂项相消求和与用等比数列的前n 项和求和. （1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为()0q q >，由题意得()()23322034320q d d q ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩，解得2d =，3q =，所以21n a n =+，3nn b =．（2）因为()()()()111132123n nn n n n c b a a n n +=+-=+-⋅++答案第11页，共17页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………依题意，甲选手所罚总时间比乙选手所罚总时间少，在第四轮射击中，共有两种可能，第一种情况，甲5发子弹都击中，乙击中0发或1发；第二种情况，甲击中4发子弹，乙击中0发，所以甲选手所罚总时间比乙选手所罚总时间少的概率为()5514145550.80.2C 0.20.8C 0.20.80.20.0023P =⨯+⨯+⨯⨯=．19．（1）证明见解析；（2）427. 【分析】(1)根据给定条件探求点P 是母线CD 的中点即可推理作答.(2)由给定条件可得1AB AB ⊥，建立空间直角坐标系，借助空间向量计算作答. （1）依题意，由tan 3ABC ∠=得60ABC ∠=，则等腰CBD 是正三角形，由切线长定理知：1122DP DA DB DC ===，即P 为DC 中点，又A 为DB 中点，因此有//PA BC ，因PA ⊄平面1CBB ，BC ⊂平面1CBB ，所以//PA 平面1CBB . （2）因12==AB AB ，122BB =，则1AB AB ⊥，而AC ⊥平面1BB D ，以点A 为原点，射线1,,AB AB AC 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，答案第12页，共17页则()0,0,0A ，(C，(0,P-，()12,0,0B，设平面1AB P和平面1CB P的法向量分别为(),,m x yz=，()111,,n x y z=，因(0,AP=-，()12,0,0AB=，则20m AP ym AB x⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1z=，得()0,3,1m=，又(0,1,CP=-，(12,0,CB=-，则1111120n CP yn CB x⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令11z =，得()3,n=-，于是得cos,(m nm nm n⋅===，设二面角1A PB C--大小为θ，则42sin,7m nθ=〈〉=，所以二面角1A PB C--.20．（1）22143x y+=（2）证明见解析【分析】（1）以FE所在的直线为x轴，FE的中点O+==4=2MF ME AE a求出a的值，根据2EF c=求出c的值，再由2223b a c=-=求出b 值即可得椭圆的方程；（2）通过计算2PQ与AQ BQ⋅的表达式就可以证明结论.（1）如图，以FE所在的直线为x轴，FE的中点O为原点建立平面直角坐标系.设(),M x y为椭圆上一点，由题意可知+==42MF ME AE EF>=，所以M点轨迹是以,F E为左右焦点，长轴长24a=的椭圆，因为22c=，24a=，所以1c=，2a=，则2223b a c=-=，答案第13页，共17页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………所以椭圆的标准方程为22143x y +=；（2）由2214312x y y x s ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得2230x sx s -+-=，依题意()22430s s ∆=--=，又0s >，解得2s =．故直线m 的方程为240x y +-=，且31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭．设直线n 的方程为12y x t =+，则2Q x t =-，且1Q x ≠，则1t ≠，由2214312x y y x t⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得2230x tx t ++-=，所以23A B A B x x t x x t +=-⎧⎨=-⎩，所以()22221511024P QPQ x t ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+--=-> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．22111122Q A Q B AQ BQ x x ⎛⎫⎛⎫⋅=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()2225522344Q A B Q A B x x x x x x t t t t =-++=----+- ()()2255211044t t t =-+=-> 即2PQ AQ BQ =⋅，且各项均不为零，故AQ ，PQ ，BQ 成等比数列． 21．（1）证明见解析（2）0a >且1ea ≠ 【分析】答案第14页，共17页（1）求出()()1ln 0e -'=>x xx f x x 令1ln y x x=-利用其导数得到y 在()0,+∞上单调递减，由()10'>f ()e 0'<f 可得答案；（2）转化为()ln 1e xx a x =-有两解，记()()ln 1e xF x x a x =--，求出()()21e 0-'=>xax F x x x分0a ≤、1ea =、10e a <<、1e >a ，利用导数讨论()F x 的单调性可得答案.（1）因为()ln ex x f x =，所以()()1ln 0e -'=>xxx f x x 令1ln y x x =-，2110y x x'=--<，所以函数1ln y x x =-在()0,+∞上单调递减，当1x =时，1ln 10x x-=>，e x =时，11ln 10e x x -=-<，所以一定存在唯一()1,e m ∈，使得1ln 0m m-=，当()0,x m ∈时，()0f x '>，(),x m ∈+∞时()0f x '<，所以()ln e xxf x =在()0,m 上单调递增，在(),m +∞单调递减，所以()ln e xxf x =存在极大值点．（2）由题设，函数()f x 与()g x 的图象有两个交点，即方程ln ex xax a =-有两解，也即()ln 1e xx a x =-有两解，记()()ln 1e xF x x a x =--，易知()10F =，且()()211e e 0-'=-=>x xax F x ax x x x，当0a ≤时，()21e 0-'=>xax F x x恒成立，故()F x 在定义域上单调递增，不可能有2个不同零点，不合题意；当0a >时，令()()21e 0xh x ax x =->，则()h x 在()0,+∞上递减，当1ea =时，()211e x h x x -=-，且()10h =，所以()0,1x ∈时，()0h x >即()0F x '>，()F x 单调递增，()1,x ∈+∞时，()0h x <，即()0F x '<，()F x 单调递减，答案第15页，共17页所以()()ln 1e xF x x a x =--在1x =处取得极大值，且()10F =，此时函数()f x 与()g x 的图象只有一个交点，不合题意．当0a >且1e a ≠时，()010h =>，10h =-<，所以()h x 在()0,+∞上有唯一零点，不妨设为0x ，当()00,x x ∈时，()0h x >，()0F x '>，()()ln 1e x F x x a x =--在()00,x 上单调递增，当()0,x x ∈+∞时，()0h x <，()0F x '<，()()ln 1e xF x x a x =--在()0,x +∞上单调递减，且()020001e 0x ax F x x '-==，即0201e xax =，而()10F =，当10e a <<时，由0201e x ax =，令()21=e -xg x ax ， 0x >时，21=e ,=-xy y ax 都是单调递增函数，所以()21=e -xg x ax 为单调递增函数，且()11=e 0-<g a，因为10e a <<0>，10->g ，知01x >，且0001ln2ln 1x x x a=+>>，令1ln t a =，则()1ln ln 1F k t t t a ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，可得()11k t t '=-，即在()0,1上()0k t '>，()k t 递增，在()1,+∞上()0k t '<，()k t 递减，则()()10k t k ≤=，即ln 1t t ≤-．所以1ln 0F a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，从而在11,ln a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内()F x 必有另一零点，符合题意．当1e>a 时，易知01x <，此时()0,1x x ∈时，()0F x >，()1,x ∈+∞时()0F x <，设()e 0,1a m -=∈，可得()()1e mF m a a m =-+-⋅令()()e 1m H m m =-，()e 0mH m m '=-<，所以()H m 在()0,1m ∈上单调递减，答案第16页，共17页从而()()0,1H m ∈，故()()e 0aF m F -=<，从而0eax -<，且当1e>a 时，存在()0e ,a x x -∈，使得()0F x =，也即当1e>a ，函数()f x 与()g x 的图象有两个交点．综上，a 的取值范围是0a >且1ea ≠．【点睛】解题的关键点是构造函数，利用导数判断函数的单调性，明存在零点，考查了学生分析问题、解决问题的能力． 22．（1）222x y +=；60x y +-=（2）⎡⎣【分析】小问1：根据曲线C 的参数方程消去参数α可得曲线C 的普通方程，将直线l 展开再将cos sin x y ρρθ=⎧⎨=⎩代入可得l 的直角坐标方程；小问2：由圆心到直线l 的距离为l 与圆C 相离，则r d r ≤≤得结果．（1）由题意，()()2222sin cos sin cos x y αααα+=++-，所以曲线C 的普通方程为222x y +=．sin 6sin cos 64πθρθρθ⎛⎫+=⇒+= ⎪⎝⎭，直线l 的普通方程为60x y +-=．（2）根据题意，得曲线C 是圆心为()0,0答案第17页，共17页圆心到直线l =所以直线l 与圆C 相离，则r d r ≤≤，即d 的取值范围为⎡⎣．23．（1）33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（2）(][),42,-∞-+∞.【分析】（1）分1x ≤-、11x -<<、1≥x 三种情况解不等式()3f x ≥，综合可得出原不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式可得关于实数a 的不等式，由此可解得实数a 的取值范围. （1）解：因为1a =，所以()2,1112,112,1x x f x x x x x x -≤-⎧⎪=++-=-<<⎨⎪≥⎩.当1x ≤-时，23x -≥，解得32x ≤-，此时32x ≤-；当11x -<<时，23>，不成立；当1≥x 时，23x ≥，解得32x ≥，此时32x ≥. 综上可知，当1a =时，不等式()3f x ≥的解集为33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭．（2）解：()1111f x x a x x a x x a x a =++-=++-≥++-=+，当且仅当()()10x a x +-≥时，等号成立，所以13a +≥，解得4a ≤-或2a ≥，即实数a 的取值范围是(][),42,-∞-+∞．。

2021届高三数学9月教育教学质量监测考试试题理【含答案】

2021届高三数学9月教育教学质量监测考试试题理注意事项：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。

3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.本试卷满分150分，测试时间120分钟。

5.考试范圃：必修1～5，选修2－1，2－2，2－3。

第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若z ＝2－i ，则|z 2－z|＝2.若集合A ＝{x|y ＝log 3(x 2－3x －18)}，B ＝{－5，－2，2，5，7}，则A∩B＝A.{－2，2，5}B.{－5，7}C.{－5，－2，7}D.{－5，5，7}3.我国古代的宫殿金碧辉煌，设计巧夺天工，下图(1)为北京某宫殿建筑，图(2)为该宫殿某一“柱脚”的三视图，其中小正方形的边长为1，则根据三视图可知，该“柱脚”的表面积为A.9π＋＋9B.18π＋＋9C.18π＋＋18D.18π＋＋184.已知抛物线C 1：y 2＝6x 上的点M 到焦点F 的距离为，若点N 在C 2：(x ＋2)2＋y 2＝1上，92则点M 到点N 距离的最小值为－－1 D.25.根据散点图可知，变量x ，y 呈现非线性关系。

为了进行线性回归分析，设u ＝2lny ，v ＝(2x －3)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程u ＝－v ＋2，则13A.变量y 的估计值的最大值为eB.变量y 的估计值的最小值为eC.变量y 的估计值的最大值为e 2D.变量y 的估计值的最小值为e 26.函数f(x)＝ln2x －x 3的图象在点(，f())处的切线方程为1212A. B. C. D.5344y x =-524y x =-+1144y x =-14y x =-7.已知函数f(x)＝3cos(ωx＋φ)(ω>0)，若f(－)＝3，f()＝0，则ω的最小值为3π3πA. B. C.2 D.312348.(3x －2)2(x －2)6的展开式中，x 4的系数为A.0B.4320C.480D.38409.已知圆C 过点(1，3)，(0，2)，(7，－5)，直线l ：12x －5y －1＝0与圆C 交于M ，N 两点，则|MN|＝A.3B.4C.6D.810.已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(1，m)，其中m>0；若tan2α＝－，则cos(2α＋mπ)＝125A.－ B.－ C. D.6131213613121311.已知三棱锥S －ABC 中，△SBC 为等腰直角三角形，∠BSC＝∠ABC＝90°，∠BAC＝2∠BCA，D ，E ，F 分别为线段AB ，BC ，AC 的中点，则直线SA ，SB ，AC ，SD 中，与平面SEF 所成角为定值的有A.1条B.2条C.3条D.4条12.已知函数f(x)＝－m(lnx ＋x ＋)恰有两个极值点，则实数m 的取值范围为x e x 2xA.(－∞，] B.(，＋∞) C.(，)∪(，＋∞) D.(－∞，]1212123e 3e 12∪(，＋∞)3e 第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

安徽省蚌埠市2021届上学期高三年级第一次教学质量检查数学试卷(理科)

安徽省蚌埠市2022届上学期高三年级第一次教学质量检查数学试卷（理科）本试卷满分150分，考试时间120分钟一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知i 为虚数单位，复数z 满足i 2i z =-+，则z =（） A 12i + B 12i -+ C 12i - D 12i --2已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}2N680,1,3,5M x x x N =∈-+=∣，则()UM N ⋂=（）A {}1,5B {}3C {}1,3D {}1,3,53若0a >且1a ≠，则“0MN >”是“()log log log a a a MN M N =+”的（） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件4，我国在2020年开展了第七次全国人口普查，并于2021年5月11日公布了结果，自新中国成立以来，我国共进行了七次全国人口普查，下图为我国历次全国人口普查人口性别构成及总人口性别比（以女性为100，男性对女性的比例）统计图，则下列说法错误的是（）A 近三次全国人口普查总人口性别比呈递减趋势B 我国历次全国人口普查总人口数呈逐次递增C 第五次全国人口普查时，我国总人口数已经突破12亿D 第七次人口普查时，我国总人口性别比最高 5为得到函数sin cos 33x x y =+的图象，只需将函数2sin 3xy =的图象上所有的点（） A 向右平移4π个单位 B 向右平移34π个单位C 向左平移4π个单位 D 向左平移34π个单位6勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形如图，在勒洛三角形ABC 内随机选取一点，则该点位于正三角形ABC 内的概率为（）()323π-33323π-37过点()1,1P 的直线与x 轴正半轴相交于点(),0A a ，与y 轴正半轴相交于点()0,B b ，则2OA OB +的最小值为（）B 322+2 D3228某中学为了发挥青年志原者的模范带头作用，利用周末开展青年志愿者进社区服务活动该校决定成立一个含有甲､乙两人的4人青年志愿者社区服务团队，现把4人分配到A 和B 两个社区去服务，若每个社区都有志愿者，每个志愿者只服务一个社区，且甲､乙两人不同在一个社区的分配方案种类有（）.8 C9若定义域为R 的奇函数()f x 满足()()11f x f x -=+，且()32f =，则()()42021f f +=（） .1 C D 2-10已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，坐标原点为O ，若椭圆上存在一点P 使得OAP 是等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为（）3226311正四面体P ABC -中，点M 是棱BC 上的动点（包含端点），记异面直线PM 与AB 所成角为α，直线PM 与平面ABC 所成角为β，则（）A αβ>B αβ<C αβ D αβ12实数12,x x 满足()1122228,log 232xx x x =-=，则12x x ⋅=（） .32 C二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13双曲线222:1(0)4x y C b b-=>的一条渐近线方程为320x y +=，则双曲线C 的焦距为__________14已知球面上三点,,A B C 满足3,4,5AB BC AC ===，且球心到平面ABC 的距离为6，15已知,,a b c 是三个不同的非零向量，若||||a c =且cos ,cos ,a b c b =，则称c 是a 关于b 的对称向量已知向量()()2,3,1,2a b ==，则a 关于b 的对称向量为__________（填坐标形式）16若二项式12nx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中第4项的系数最大，则n 的所有可能取值的个数为__________三､解答题：共70分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤17（10分）设ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()()(),c a c b a b a ABC +=-+的最大边的边长为3. （1）求角B ；（2）求a c +的取值范围 18（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足22n n S a =- （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记2log n n b a =，数列{}n n a b ⋅的前n 项和为n T ，求证:n nn nS T a b +为定值 19（12分）如图，多面体ABCPQ 中，QA ⊥平面,//ABC QA PC ，点M 为PB 的中点，22AB BC AC PC QA =====（1）求证：平面PBQ ⊥平面PBC ；（2）求二面角B QM A --的大小 20（12分）某校计划在秋季运动会期间开展“运动与健康”知识大赛，为此某班开展了10次模拟测试，以此选拔选手代表班级参赛，下表为甲，乙两名学生的历次模拟测试成绩场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 98 94 97 97 95 93 93 95 93 95 乙92949394959496979798甲，乙两名学生测试成绩的平均数分别记作x y ，方差分别记作12,s s（1）求2212,,,x y s s（2）若某班A ，B 两名学生模拟测试成绩的平均分并列第一，且每班只能派出一名学生参赛，则需要对他们进行加试，规则如下：设置5轮抢答，每轮抢到答题权并答对则该学生得1分，答错则对方得1分，当分差达到2分或答满5轮时，比赛结束，得分高者获胜，已知A ，B 每轮均抢答且抢到答题权的概率相同，A 答对的概率为，B 答对的概率为，且两人每轮是否回答正确均相互独立，设抢答了X 轮后比赛结束，求随机变量X 的分布列21（12分）已知函数()()212,2e 21x x f x x x g x x =+-=--- （1）求()f x 的单调区间；（2）当(),1x ∞∈-时，求证：()()g x f x 22（12分）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点O 为坐标原点，直线l 过定点(),0T t （其中0t >，1t ≠）与抛物线C 相交于,A B 两点（点A 位于第一象限)（1）当4t =时，求证：OA OB ⊥；（2）如图，连接,AF BF 并延长交抛物线C 于两点1A ，1B ，设ABF 和11A B F 的面积分别为1S 和2S ，则12S S 是否为定值若是，求出其值；若不是，请说明理由【试题答案】一､选择题：二､填空题：13169π 15617,55⎛⎫⎪⎝⎭三､解答题：17（10分）（1）由题意可得，()()()222222c a c b a b a ac c b a a c b ac +=-+⇒+=-⇒+-=-由余弦定理得2221cos 222a cb ac B ac ac +--===-，即23B π=（2）由（1）可知，ABC 中角B 为最大角，由大角对大边知3b =，由正弦定理知，sin sin sin c a bC A B===所以,a A c C ==，)sin sin sin sin 3a c A C A A π⎤⎛⎫+=+=+- ⎪⎥⎝⎭⎦而1sin sin cos sin sin 3223A A A A A ππ⎛⎫⎛⎫+-=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,333A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，可得sin 32A π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，所以(a c +∈ 18（12分）（1）当1n =时，11122a S a ==-，解得120a =≠ 当2n 时，1122n n S a --=-，从而1122n n n n S S a a ---=-，化简得()122n n a a n -=，所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，则122n n a -=⨯，即2nn a =（2）22log log 2,2n nn n n n b a n a b n ===⋅=⋅，所以1231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯，从而()23412122232122n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯，两式相减，得23122222n n n T n +-=++++-⋅即()1122n n T n +-=-⨯-，所以()1122n n T n +=-+，而12222n n n S a +=-=-，所以1112222222n n n n n nn n S T n a b n ++++⋅-++-==⋅为定值 19（12分）（1）取BC 中点H ，连接,AH MH ，则//MH PC 且12MH PC =，又//QA PC 且12QA PC =，所以//QA MH ，即四边形QAHM 为平行四边形，从而//QM AH ，而AB BC AC ==，所以AH BC ⊥，QA ⊥平面ABC ，所以MH ⊥平面ABC ，所以MH AH ⊥ 且MH BC H ⋂=，所以AH ⊥平面PBC ，所以QM ⊥平面,PBC QM ⊂平面PBQ ，所以平面PBQ ⊥平面.PBC（2）由（1）知，分别以,,HA HB HM 为,,x y z 轴建立空间坐标系，又22AB BC AC PC QA =====，所以()3,0,0A，()()()3,0,1,0,1,0,0,0,1QB M所以平面AQM 的一个法向量()0,1,0n =，设平面QBM 的法向量分别为(),,m x y z =，()()3,1,1,0,1,1QB MB =--=- 所以00QB m MB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即300x y z y z ⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩，可得平面QBM 的一个法向量为()0,1,1m = 所以二面角B QM A --为余弦值12221m n m n ⋅==⨯，沂以二面角B QM A --的大小为4π20（12分）（1）989497979593939593959510x +++++++++==929493949594969797989510y +++++++++==2222222213(1)220(2)(2)0(2)0310s +-++++-+-++-+==22222222222(3)(1)(2)(1)0(1)1223 3.410s -+-+-+-++-++++==（2）A 每轮得1分的概率为()110.510.70.422⨯+⨯-=， B 每轮得1分的概率为()110.710.50.622⨯+⨯-=，X 的所有可能取值为2,4,5，()2220.40.60.52P X ==+=()()33420.40.60.60.40.2496P X ==⨯⨯+⨯=()22540.40.60.2304P X ==⨯⨯=所以随机变量X 的分布列为21（12分）（1）因为()21e 2x x f x x x =+-，所以()()()21e 1e e 1e ex x x x x x x f x x +--=+-='，令()0f x '=，解得1x =，且当(),1x ∞∈-时，()()0,1,f x x ∞∈'>+时，()0f x '< 所以()f x 在(),1∞-单调递增，在()1,∞+上单调递减；（2）要证()()g x f x 即证22121e 2x x x x x--+--，即2211e 2xx x x x x -+--，设()21111e 2x F x x x =---+-，即证()0xF x 因为()2211(1)e 2x F x x =++-'所以当(),1x ∞∈-时，()0F x '>恒成立，()F x 单调递增故当0x =时，()0F x =；当01x <<时，()0F x >；当0x <时，()0F x < 所以当()(),1,0x xF x ∞∈- 即当(),1x ∞∈-时，()()g x f x 22（12分）（1）设直线l 方程为()()11224,,,,x my A x y B x y =+，联立直线l 与抛物线C 的方程，24,4,x my y x =+⎧⎨=⎩消去x ，得24160y my --=，所以()()22121122121212,,44y y OA OB x y x y x x y y y y ⋅=⋅=+=⋅+()212121616016y y y y =+=-=即OA OB ⊥（2）设直线l 方程为()()1122,,,,x my t A x y B x y =+，联立直线l 与抛物线C 的方程，2,4,x my t y x =+⎧⎨=⎩消去x ，得2440y my t --=，故124y y t =-设()()1331441,,,,A x y B x y A A 的方程为1x ny =+，联立直线1A A 与拋物线C 的方程214x ny y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得2440y ny --=，从而13134,4y y n y y +==-，则314y y =-，同理可得424y y =-， 1212113411111||||sin ||||21sin 2AF BF AFB y y S AF BF S A F B F y y A F B F A FB ∠∠∴=== 2221216y y t ==，即12S S 为定值。

2021年高三9月第一次教学质量检测数学理试题纯含答案

2021年高三9月第一次教学质量检测数学理试题纯含答案一、选择题（60分）1、已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，则＝A、{2，4，6}B、{1，3，5}C、{3，5，6}D、U2、函数f（x）＝lnx＋4x－13的零点一定位于区间A、（1,2）B、（2,3）C、（3,4）D、（4,5）3、已知是两夹角为120°的单位向量，等于A、4B、C、3D、4、下列命题中的假命题是5、要得到函数的图象，只要将函数y＝sin2x的图象A、向左平移个单位长度B、向右平移个单位长度C、向右平移个单位长度D、向左平移个单位长度6、如果执行下面的程序框图，那么输出的x＝A、121B、132D、1320D、118807、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的视图，则其体积为A、12＋B、24＋C、32＋D、24＋8、下列命题中，真命题是A、直线m、n都平行于平面，则m∥nB、设是真二面角，若直线C、设m、n是异面直线，若m∥平面，则n与相交D、若直线m、n在平面内的射影依次是一个点和一条直线，且则9、已知实数x，y满足则目标函数z＝x－y的最小值为A、－2B、5C、6D、710、已知A，B是双曲线的两个顶点，P为双曲线上（除顶点外）的一点，若直线PA，PB 的斜率乘积为，则双曲线的离心率e＝11、已知函数f（x）的定义域为R，对任意则f（x）＜3x＋6的解集为A、（－1,1）B、（－1，）C、（－，－1）D、（－，＋）12、抛物线y2＝4x的焦眯为F，点A，B在抛物线上，且弦AB中点M在准线l上的射影为，则的最大值为第II卷二、填空题（20分）13、的共轭复数为＿＿＿14、从8名女生，4名男生中，选出2名女生，1名男生组成课外小组，则不同的选取方案种数为＿＿＿＿（用数字作答）。

15、已知l是曲线的倾斜角最小的切线，则l的方程为＿＿＿＿16、在△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3，点M满足则三、解答题17、（本题小满分10分）已知在等差数列{}中，＝3，前7项和＝28。

2021年高三上学期9月质检考试数学试题含答案

2021年高三上学期9月质检考试数学试题含答案注意事项：1.本卷分第I卷和第II卷，满分150分，考试时间150分钟。

2.考生答题前注意答题要求（文理合卷），填写好自己的姓名、班级、考号等信息，条形码应贴在方框内，并将答案正确填写在答题卡上。

一、选择题：在每题所给的A、B、C、D四个选项中，只有一个选项最符合题意。

1、已知集合，，则＝( )A．B．C．D．2、已知函数y=f（2x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．2 B．3 C．4 D．53、已知函数f（x）的定义域为，且为偶函数，则实数a的值是( )A． B．2 C．4 D．6 4、已知函数若存在，使得关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.5、若正四面体ABCD的棱长为1，则它的外接球体积为（）A．π B．π C．π D．π6、两圆与的公共切线有( )A．1条B．2条C．3条 D．4条7、在一次案件中，公民D谋杀致死。

嫌疑犯A、B、C对簿公堂。

嫌疑犯A说：“我没有去D 家，我和C去了B家”；嫌疑犯B说：“C去了A家，也去了D家”；嫌疑犯C说：“我没去D 家”。

由此推断嫌疑最大的是（）A.AB.BC.CD.A和C8、函数的图象大致为（）9、已知函数满足，且当时，，则的大小关系是（）A． B．C． D．10、《九章算术》是我国古代最具影响力的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问积及委米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（米堆形状为圆锥的四分之一状），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出米堆的米约有（）斛.A.14B.22C.36D.6611、在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角B的值为（）A. B. C.或 D. 或12、过椭圆+y2=1的左焦点F作斜率为k（k≠0）的直线交椭圆于A，B两点，使得AB的中点M在直线x+2y=0上，则k的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2二、填空题：每题5分，共20分.13.设f是从集合A={1，2}到集合B={1，2，3，4}的映射，则满足f(1)+f(2)=4的所有映射的个数为 _____．14.用二分法求函数y=f(x)在区间上零点的近似解，经验证有f(2)•f(4)＜0．取区间的中点为x1=3，计算得f(2)•f(x1)＜0，则此时零点x0∈_____.(填区间)16. 平面直角坐标系中，过原点O的直线l与曲线y=e x-1交于不同的A，B两点，分别过点A，B作y轴的平行线，与曲线y=lnx交于点C，D，则直线CD的斜率是_____．三、解答题：70分，作答时应给出相关解题步骤、文字说明和公式过程。

安徽省蚌埠市2021届高三数学上学期第一次质量监测一模试题理

安徽省蚌埠市2021届高三数学上学期第一次质量监测（一模）试题理本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再涂选其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A ＝{x|0≤x－1≤1}，B ＝{x|x 1-＞0}，则A∩B＝ A.∅ B.(1，2] C.[1，2] D.(0，2)2.已知复数z ＝1－i ，则|z 2－1|＝ A.5 B.5 C.7 D.73.若单位向量a ，b 满足a ⊥b ，向量C 满足(a ＋c)·b ＝1，且向量b ，c 的夹角为60°，则|c|＝ A.12B.2C.23D.34.函数f(x)＝2lg 2xx x -的图象大致为5.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＜0，且S n ≥S 5，则下列结论一定正确的是 A.a 5·a 6≥0 B.a 5·a 6≤0 C.a 4·a 6＞0 D.a 4·a 6＜06.平面α的一条斜线AP 交平面α于P 点，过定点A 的直线l 与AP 垂直，且交平面α于M 点，则M 点的轨迹是A.一条直线B.一个圆C.两条平行直线D.两个同心圆7.防洪期间，要从6位志愿者中挑选5位去值班，每人值班一天，第一天1个人，第二天1个人，第三天1个人，第四天2个人，则满足要求的排法种数为A.90B.180C.360D.7208.二项式(x＋1)·(2x－1x)5的展开式中常数项为A.－40B.40C.－80D.809.干支是天干(甲、乙、…、癸)和地支(子、丑、…、亥)的合称，“干支纪年法”是我国传统的纪年法。

高三数学上学期9月第一次教学质量检查试题理含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学上学期9月第一次教学质量检查试题理〔含解析〕本卷须知：2.答复选择题时，选出每一小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答复非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在套本套试卷上无效。

一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的。

1.i 为虚数单位，复数z 满足(12i)2i z +=-+，那么z =〔〕B.1D.5【答案】B 【解析】【分析】令za bi =+，得出,ab ,再计算z =，即可求出答案．【详解】解：令z a bi =+，那么(12)(12)()2(2)2i z i a bi a b b a i i +=++=-++=-+，∴2221a b b a -=-⎧⎨+=⎩解得01a b =⎧⎨=⎩，∴1z ==，应选B.【点睛】此题考察复数模的运算，属于根底题．{}2|log (1)A x y x ==-，{|(1)(2)0}B x x x =+-，那么A B =〔〕A.(]0,2B.()0,1C.(]1,2D.[)+2,+∞【答案】C 【解析】【分析】分别化简集合A 和B ,再求交集即可．【详解】解：{}|1)A x x =>，{}|12B x x =-≤≤,∴{}|12A B x x ⋂=<≤,应选C.【点睛】此题考察集合的交集运算，属于根底题．3.01a b <<<，那么在a a ，b a ，a b ，b b 中，最大的是〔〕 A.a a B.b aC.a bD.b b【答案】C 【解析】【分析】用做商法，两两比较大小，最后得出最大值．【详解】解：∵01,0a a b <<-<，∴1a a b ba a a-=>，即a b a a >，同理可得，a b b b >，又∵1aa aa ab b ⎛⎫=< ⎪⎝⎭∴aa b a >，即a b 最大．应选C ．【点睛】考察了有理数大小比较，在比较较为复杂的式子时，对于选择题最好的方法是举出详细的数值，利用特殊值进展比较即准确又快捷．kx y ce =拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，其变换后得到线性回归方程0.32z x =+，那么c =〔〕A.2eB.4eC.2D.4【答案】A 【解析】【分析】通过对数函数的运算性质，求得ln 2c =，即可得出答案．【详解】解：2ln ln ln()ln ln 0.3kx kx ce c e z y kx c x =+====++，∴ln 2c =即2c e =应选A.【点睛】此题考察对数函数的运算性质，属于根底题． 5.,m n ∈R ，那么“10mn->〞是“0m n ->〞的〔〕 A.既不充分也不必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.充要条件【答案】A 【解析】【分析】此题只需解出条件和结论对应的,m n 的取值范围，再从集合的角度，即可得出答案．【详解】解：前者：1010m mm n n n->⇒>⇒>>或者0m n <<，后者：0m n m n ->⇒>；所以“10mn->〞是“0m n ->〞的既不充分也不必要条件【点睛】此题结合解不等式，考察充分必要条件，属于根底题．6.执行如程序框图所示的程序，假设输入的x 的值是2，那么输出的x 的值是〔〕A.3B.5C.7D.9【答案】D 【解析】【分析】直接利用程序框图的循环构造的应用求出结果．【详解】解：执行程序框图，输入x ，当i =1时，得到2x -1；当i =2时，得到2〔2x -1〕-1=4x -3，当i =3时，得到4〔2x -1〕-3=8x -7，当i =4时，退出循环，输出8x -7=82-7=9⨯，应选D ．【点睛】此题考察循环构造的程序框图的输出结果的计算问题，着重考察推理与运算才能，属于根底题．:21l y kx k =-+将不等式组2010220x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩表示平面区域的面积分为1：2两局部，那么实数k 的值是〔〕 A.1或者14B.14或者34C.13或者23D.14或者13【答案】A 【解析】【分析】根据线性约束条件，画出可行域，根据直线l 过定点，通过数形结合，即可求解．【详解】如下列图，∵直线l 恒过点()2,1B，故当直线l 过AB 的三等分点2241,,,3333D E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时,此时可行域的面积被分为1:2的两局部，此时1k =或者14. 应选A.【点睛】此题考察线性规划问题，属于根底题．)232sin x x dx -+⎰的值是〔〕A.πB.2πC.2π+2cos2D.π+2cos2【答案】B 【解析】【分析】根据定积分的性质，将定积分)232sin x x dx-+⎰可以展开为：222322(sin )x dx x dx ---+-+⎰⎰⎰，利用定积分的运算，分别求出定积分值．【详解】解：利用定积分的运算法那么，将定积分)232sin x x dx-+⎰展开为：222322(sin )x dx x dx ---+-+⎰⎰⎰，∴2-⎰表示以()0,0为圆心，2为半径12圆的面积，∴21422ππ-=⨯=⎰∴)232sin 2x x dx π-+=⎰应选B ．【点睛】此题考察定积分的性质，学生应纯熟掌握定积分的运算法那么和几何意义，属于中档题．P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，2AB AC ==，120BAC ∠=︒，假设三棱锥P ABC -O 的外表积为〔〕A.16πB.20πC.28πD.32π【答案】B【分析】一条棱垂直底面的三棱锥和与其同底等高的三棱柱的外接球是同一个，再结合正弦定理求出底面三角形外接圆半径r ，最后即可求出外接球半径R =h 为三棱柱垂直底面的棱长〕，再结合球的外表积公式2=4S R π球,即可求解．【详解】解：如下列图，三棱锥P ABC -的外接球就是三棱柱''PB C ABC -的外接球，∵三棱锥P ABC -的体积为11123sin1203323ABC S PA AB AC PA ∆==，∴2PA =由正弦定理得：ABC ∆外接圆的直径24sin sin 30AB crACB ===∠∴三棱锥P ABC -的外接球的半径R ==∴球O 的外表积为20π，应选B.【点睛】此题考察三棱锥的外接球外表积，确定三棱锥的外接球的半径是关键．2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为C 与圆22(16x y ++=交于M ，N 两点，且4MN =，那么椭圆C 的方程为〔〕A.2211512x y += B.221129x y += C.22163x y +=D.22196x y += 【答案】D 【解析】先画出草图，通过计算，便可得到MN 的中点即为椭圆的另一个焦点，再利用椭圆的几何性质，即可求出．【详解】解：如下列图： ∵2,4MD MC ==,∴CD ==,∴点D 就是椭圆的另一个焦点，∴26a MC MD =+=,即3a =,又∵c=，∴2226b a c =-=，∴椭圆的HY 方程为：22196x y +=，应选D ．【点睛】此题考察求椭圆的HY 方程和作图才能，充分利用题目所给条件，挖掘根本量,,a b c 的关系，即可求解．()sin cos f x a x x =+，0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，假设12x x ∃≠，使得()()12f x f x =，那么实数a 的取值范围是〔〕A.⎛ ⎝⎭B.(C.⎝D.⎛ ⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】此题可转化为函数()f x 在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭不单调，即对称轴要落在,6πϕϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上，即可求解．【详解】解：依题意得1()sin cos )(tan )f x a x x x a ϕϕ=++=在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，即2()62k k Z k πϕπππϕπ⎧<+⎪⎪∈⎨⎪+>+⎪⎩化简得：()32k k k Z πππϕπ+<<+∈，tan ϕ<1a <，解得0,3a ⎛∈ ⎝⎭，应选D. 【点睛】此题考察辅助角公式和正弦函数的根本性质，属于中档题．1111ABCD A B C D -，点P 是四边形11BB D D 内〔含边界〕任意一点，Q 是11B C 中点，有以下四个结论：①=0ACBP ；②当P 点为11B D 中点时，二面角P AD C --的余弦值12；③AQ 与BC 所成角的正切值为CQ AP ⊥时，点P 的轨迹长为32. 其中所有正确的结论序号是〔〕 A.①②③ B.①③④C.②③④D.①②④【答案】B 【解析】【分析】①利用线面平行，得到线线平行．②要求二面角的余弦值，转化为求二面角的平面角余弦值．③要求线线角，将其平移至一个三角形中，即可求解．④证明CQ ⊥平面AHB ，那么HB 即为点P 的运动途径，通过计算即可求解．【详解】解：如下列图， ①根据正方体的几何性质，易得AC ⊥平面11BB D D ,又因为BP ⊆平面11BB D D ,故AC BP ⊥，即=0AC BP ，故①对．②当P 点为11B D 中点时，PA PD=,且OA OD =,所以二面角P AD C --的平面角为OFP ∠,连接OP ,又90POF∠=，故所求二面角的余弦值为cos 5OF OFPFP∠==.故②错．③因为AD BC ∥,所以AQ 与BC 所成角即为AQ 与AD 所成角，即为DAC ∠,连接,QD QF ,在等腰三角形AQD 中，F 为底边中点，所以90AFQ ∠=，所以AQ 与BC 所成角的正切值为tan 12FQ DAC AF∠===故③对．④点H 为1DD 中点，所以CQ AH ⊥，又因为,CQ AB ⊥所以CQ ⊥平面AHB ,即点P 在线段HB上运动时，CQ AP ⊥，所以点P 的轨迹长为32HB =，故④对．应选B .【点睛】此题考察直线与平面位置关系的断定、二面角〔范围[]0,π〕以及异面直线的夹角〔范围0,2π⎛⎤⎥⎝⎦〕．属于中档题．二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分。

安徽省蚌埠市届高三第一次教学质量检查试题(数学理).pdf

第11课时┃ 考点聚集整合 6．本诗在艺术表达上注意了动静结合，试加以分析。

[答案] 诗中景物描写都是静态描写，而诗人忽上忽下地寻找伊人，伊人忽隐忽现、忽远忽近是动态描写。

7．诗歌采用重章叠句的表现手法，举一例说说这样写的好处。

[答案] 每章的后四句。

反复写道路的险阻，表达主人公执著的爱情追求。

第11课时┃ 考点聚集整合三十一、《雁门太守行》(李贺)(九年级下册) 黑云压城城欲摧，甲光向日金鳞开。

角声满天秋色里，塞上燕脂凝夜紫。

半卷红旗临易水，霜重鼓寒声不起。

报君黄金台上意，提携玉龙为君死。

1．请设想一下“半卷红旗”是怎样的景象？作者捕捉这个景象入诗要表现什么？ [答案] “半卷红旗”是侧面描写战况，一方面是风势很大，卷起红旗便于急行军，另一方面是高度戒备，不事张扬，把战事的紧张状态突现出来。

第11课时┃ 考点聚集整合 2．这首诗的首句运用了什么修辞手法？ [答案] 以比喻和夸张的手法，渲染了敌军兵临城下的紧张气氛和危急形势。

3．对于“黑云压城城欲摧，甲光向日金鳞开”这两句诗，王安石曾批评说“方黑云压城岂有向日甲光”，杨慎却称自己确曾见到过此类景象，指责王安石不知诗。

对此，你有什么看法？ [答案] 艺术的真实和生活的真实不能等同起来，敌军围城，未必有黑云压城；守军到阵，也未必有日光前来映照助威。

诗中的黑云和日光是诗人用来营造意境的手段。

第11课时┃ 考点聚集整合 4．赏析“报君黄金台上意，提携玉龙为君死”。

[答案] 这两句诗活用战国时期燕昭王置千金于黄金台上以招贤才的典故，表现了将士们誓死杀敌、报效朝廷的决心。

5．李贺写诗，总是借助想象给事物涂上各种新奇浓重的色彩，试以这首诗为例作具体说明。

[答案] 这首诗几乎句句都有鲜明的色彩，其中如金色、胭脂色、紫红色，不但鲜明而且浓艳，它们跟黑色、秋色、白色等交织在一起，构成了色彩斑斓的画卷。

第11课时┃ 考点聚集整合 6．赏析“角声满天秋色里，塞上燕脂凝夜紫”。

高三数学上学期9月第一次质量检测试题文含解析试题

2021届高三数学上学期9月第一次质量检测试题文〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日本套试卷一共4页，22小题，满分是150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．{}{}21,20A x x B x x x =≥=--<，那么=A B 〔〕．A. {}1x x ≥B. {}12x x ≤<C. {}11x x -<≤D.{}1x x >-【答案】D 【解析】【分析】求解出集合B ，根据并集的定义求得结果. 【详解】{}()(){}{}22021012B x x x x x x x x =--<=-+<=-<<{}1A B x x ∴⋃=>-此题正确选项：D【点睛】此题考察集合运算中的并集运算，属于根底题.z 满足(3)3i z i +=-，那么||z =〔〕．A.12B. 1D. 2【答案】B 【解析】【分析】利用复数除法运算求得z，根据模长定义求得结果.【详解】由题意得：()()()23386433331055ii iz ii i i---====-++-1z∴==此题正确选项：B【点睛】此题考察复数模长的求解，关键是可以利用复数的除法运算整理出复数.3.为弘华民族传统文化，某中学学生会对本校高一年级1000名学生课余时间是参加传统文化活动的情况，随机抽取50名学生进展调查，将数据分组整理后，列表如下：估计该校高一学生参加传统文化活动情况正确的选项是〔〕．A. 参加活动次数是3场的学生约为360人B. 参加活动次数是2场或者4场的学生约为480人C. 参加活动次数不高于2场的学生约为280人D. 参加活动次数不低于4场的学生约为360人【答案】D【解析】【分析】根据样本中的百分比代替总体中的百分比，从而可计算求得各选项里面的学生数.【详解】参加活动场数为3场的学生约有：100026%260⨯=人，A错误参加活动场数为2场或者4场的学生约有：()100020%18%360⨯+=人，B 错误参加活动场数不高于2场的学生约有：()10008%10%20%380⨯++=人，C 错误参加活动场数不低于4场的学生约有：()100018%12%4%2%360⨯+++=人，D 正确此题正确选项：D【点睛】此题考察利用样本的数据特征估计总体的数据特征，属于根底题.2222:10,0)x y C a b a b-=>>（，直线y b =与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ，O 为坐标原点．假设OMN 为直角三角形，那么C 的离心率为〔〕．C. 2【答案】A 【解析】【分析】由双曲线的对称性可得渐近线方程，从而得到,a b 关系，进而求得,a c 关系，利用ce a=求得结果.【详解】OMN ∆为直角三角形，结合对称性可知，双曲线C 的渐近线为：y x =±即1ba= c ∴== c e a ∴==此题正确选项：A【点睛】此题考察双曲线离心率的求解，关键是可以根据双曲线的对称性得到渐近线方程.{}n a 中，3=2a ，7=1a ．假设数列1{}na 为等差数列，那么9=a ( ) A.12B.54C.45D. 45-【答案】C 【解析】【分析】由条件计算出等差数列的公差，然后再求出结果【详解】依题意得：732,1a a ==，因为数列1{}na 为等差数列，所以7311111273738--===--a a d ，所以()9711159784a a =+-⨯=，所以945=a ，应选C ．【点睛】此题考察了求等差数列根本量，只需结合题意先求出公差，然后再求出结果，较为根底6.1sin()62πθ-=，且02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，那么cos()3πθ-=( )A. 0B.12C. 1【答案】C 【解析】【分析】解法一：由题意求出θ的值，然后代入求出结果；解法二：由两角差的余弦公式求出结果【详解】解法一：由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，π3θ=，代入πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭得，πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭=cos01=，应选C ．解法二：由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，πcos 6θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以πππππππcos cos cos cos sin sin 13666666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，应选C ．【点睛】此题考察了运用两角差的余弦公式来求出三角函数值，较为根底7.如图，线段MN 是半径为2的圆O 的一条弦，且MNO 内，将线段MN 绕N 点按逆时针方向转动，使点M 挪动到圆O 上的新位置，继续将线段MN 绕M 点按逆时针方向转动，使点N 挪动到圆O 上的新位置，依此继续转动……点M O 内随机取一点，那么此点取自阴影局部内的概率为〔〕．A. 463π-B. 331-C. 33π-33【答案】B 【解析】【分析】求解出阴影局部的面积，根据几何概型中面积型问题的求解方法求得结果.【详解】由题意得：阴影局部的面积：213262246322S ππ=⨯-⨯⨯⨯⨯=-463331P π-∴== 此题正确选项：B【点睛】此题考察几何概型中面积型问题的求解，关键是可以准确求解出阴影局部的面积，属于常考题型.3的等边ABC ∆中，点M 满足BM 2=MA ，那么CM CA ⋅=( )B. C. 6D.152【答案】D 【解析】【分析】结合题意线性表示向量CM ，然后计算出结果【详解】依题意得：121211215)333333333232CM CA CB CA CA CB CA CA CA ⋅=+⋅=⋅+⋅=⨯⨯⨯+⨯⨯=（，应选D ．【点睛】此题考察了向量之间的线性表示，然后求向量点乘的结果，较为简单()314,025,0xx f x x x x ⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--+>⎩，，当[],1x m m ∈+时，不等式()()2-<+f m x f x m 恒成立，那么实数m 的取值范围是( ) A. (),4-∞-B. (),2-∞-C. ()2,2-D.(),0-∞【答案】B 【解析】【分析】先判断函数的单调性，然后解答不等式，在恒成立的条件下求出结果【详解】依题意得：函数()314,025,0xx f x x x x ⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--+>⎩，在x ∈R 上单调递减，因为()()2-<+f m x f x m ，所以2m x x m ->+，即2x m <，在[],1x m m ∈+上恒成立，所以2(1)m m +<，即2m <-，应选B ．【点睛】此题考察了函数的单调性的应用，结合函数的单调性求解不等式，需要掌握解题方法()f x 在R 上可导，其导函数为'()f x ，且函数()f x 在2x =-处获得极小值，那么函数'()y xf x =的图像可能是〔〕、A. B.C. D.【答案】C 【解析】试题分析：函数f 〔x 〕在x =﹣2处获得极小值，所以2x <-时，()0f x '<；2x >-时，()0f x '>.所以2x <-时，()0xf x '>；20x -<<时，()0xf x '<；0x >时，()0xf x '>.选C. 考点：导数及其应用.22y x =焦点F 的直线与抛物线交于点A ，B ，3AF FB =，抛物线的准线l 与x 轴交于点C ，AM l ⊥于点M ，那么四边形AMCF 的面积为〔〕 A. 123 B. 12C. 83D. 63【答案】A【分析】过B 作BN l ⊥于N ，作BK AM ⊥于K ，设BF m =，3AF m =，根据抛物线定义和长度关系可求得3222CF p m ===，进而得到m ，利用m 求得梯形的上下底边长和高，利用梯形面积公式求得结果.【详解】过B 作BN l ⊥于N ，过B 作BK AM ⊥于K设BF m =，3AF m =，那么4AB m =，2AK m =60BAM ︒∴∠= 3222CF p m ∴===423m ∴= 342AM m ∴==3sin 60326MC AF m === ()(1122422612322AMCF S CF AM MC ∴=+⋅=⨯⨯=此题正确选项：A【点睛】此题考察抛物线中四边形面积的求解问题，关键是可以灵敏运用抛物线的定义，得到图形中的等量关系，进而求得所需的线段长度.x 的方程0x e ax a +-=没有实数根，那么实数a 的取值范围是( )A. (2,0e ⎤-⎦ B. )20,e⎡⎣C. (],0e -D. [)0,e 【答案】A 【解析】方程化为1xe a x=-，令()1x e g x x =-，求出函数()g x 的值域，只需令a 属于所求值域的补集即可得结果.【详解】因为1x =不满足方程0x e ax a +-=，所以原方程化为化为()10xe a x +-=，1xe a x=-，令()1x e g x x =-， 1x <时，()()0,g x ∈+∞； 1x >时，()()()()()2212'11x xx e x e e x g x x x -+-==--，令()'0,2g x x ==，当()22g e =-，即1x >时，()(2,g x e ⎤∈-∞-⎦，综上可得，()g x 的值域为(()2,0,e ⎤-∞-⋃+∞⎦，要使1x e a x=-无解，那么20e a -<≤，即使关于x 的方程0x e ax a +-=没有实数根的实数a 的取值范围是(20e ⎤-⎦，，应选A.【点睛】此题主要考察利用导数研究方程的根，以及转化与划归思想的应用，属于难题. 函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：〔1〕直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；〔2〕别离参数法：先将参数别离，转化成求函数的值域问题加以解决；〔3〕数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二、填空题：本大题4小题，每一小题5分，一共20分．,x y 满足约束条件20220x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，那么3z x y =-的最小值等于_____．【答案】72- 【解析】【分析】先画出可行域，改写目的函数，然后求出最小值【详解】依题意，可行域为如下图的阴影局部的三角形区域，目的函数化为：3y x z =-，那么z 的最小值即为动直线在y 轴上的截距的最大值．通过平移可知在A 点处动直线在y 轴上的截距最大．因为20:220x y A x y +=⎧⎨-+=⎩解得11,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以3z x y =-的最小值()min 173122z =⋅--=-．【点睛】此题考察了线性规划的简单应用，一般步骤：画出可行域，改写目的函数，求出最值1111ABCD A B C D -的外接球体积为323π，且12AA BC ==，那么直线1A C 与平面11BB C C 所成的角为_____．【答案】4π 【解析】【分析】先求出外接球的半径，结合题意找出线面角的平面角，然后计算出结果【详解】设长方体1111ABCD A B C D -的外接球半径为R ，因为长方体1111ABCD A B C D -的外接球体积为343233R ππ=，所以2R =, 即1A C 24R ==，因为12AA BC ==，所以AB =因为11A B ⊥平面11BB C C ，所以1A C 与平面11BB C C 所成的角为11ACB ∠，在11Rt ACB △中，因为12AA BC ==，所以111B C A B =，所以11=4ACB π∠．【点睛】此题考察了求线面角的平面角，通常要先找出线面角的平面角，然后结合题意解三角形求出角的大小，需要掌握解题方法()sin cos (,R,0)f x a x b x a b a =+∈≠的图象向左平移6π个单位长度，得到一个偶函数图象，那么ba=________．【解析】【分析】根据平移后关于y 轴对称可知()f x 关于6x π=对称，进而利用特殊值()03f f π⎛⎫=⎪⎝⎭构造方程，从而求得结果. 【详解】()f x 向左平移6π个单位长度后得到偶函数图象，即关于y 轴对称()f x ∴关于6x π=对称 ()03f f π⎛⎫∴=⎪⎝⎭即：1sincos332a b b b ππ+=+= b a ∴=【点睛】此题考察根据三角函数的对称轴求解参数值的问题，关键是可以通过平移后的对称轴得到原函数的对称轴，进而利用特殊值的方式来进展求解.{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且1n n S a λ=-〔λ为常数〕．假设数列{}n b 满足2n n a b n =-920n +-，且1n n b b +<，那么满足条件的n 的取值集合为________．【答案】{5,6} 【解析】【分析】利用11a S =可求得2λ=；利用1n n n a S S -=-可证得数列{}n a 为等比数列，从而得到12n na ，进而得到nb ；利用10nnb b 可得到关于n 的不等式，解不等式求得n 的取值范围，根据n *∈N 求得结果.【详解】当1n =时，1111a S a λ==- 11λ∴-=，解得：2λ=21n n S a ∴=-当2n ≥且n *∈N 时，1121n n S a --=-1122nn nn n a S S a a ，即：12n n a a -=∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列12n na2920n n a b n n =-+- 219202n n n n b --+-∴= ()()222111912092011280222n n n n nn n n n n n b b +--+++--+--+∴-=-=< 20n > ()()21128470n n n n ∴-+=--<，解得：47n <<又n *∈N 5n ∴=或者6∴满足条件的n 的取值集合为5,6此题正确结果：5,6【点睛】此题考察数列知识的综合应用，涉及到利用n a 与n S 的关系求解通项公式、等比数列通项公式的求解、根据数列的单调性求解参数范围等知识；关键是可以得到n b 的通项公式，进而根据单调性可构造出关于n 的不等式，从而求得结果.三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .sin sin 03b C c B π⎛⎫--= ⎪⎝⎭. 〔Ⅰ〕求角C 的值；〔Ⅱ〕假设4a =，c =ABC ∆的面积.【答案】〔I 〕23C π=；〔II 〕S =【解析】【分析】〔Ⅰ〕由sin sin 03b C c B π⎛⎫--= ⎪⎝⎭，利用正弦定理以及两角和与差的正弦公式可得sin 03C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合角C 的范围可得结果；〔Ⅱ〕由余弦定理可得24120b b +-=，求出b 的值，利用三角形面积公式可得结果. 【详解】〔Ⅰ〕∵sin sin 03b C c B π⎛⎫--= ⎪⎝⎭， ∴由正弦定理可得，1sin sin sin sin 022B C C C B ⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭，因为sin 0B ≠，∴1sin 02C C +=，∴sin 03C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.∵()0,C π∈，∴23C π=. 〔Ⅱ〕∵2222cos c a b ab C =+-，∴24120b b +-=， ∵0b >，∴2b =，∴11sin 2422S ab C ==⨯⨯=【点睛】此题主要考察正弦定理、余弦定理及两角和与差的正弦公式，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：〔1〕2222cos a b c bc A =+-；〔2〕222cos 2b c a A bc+-=，同时还要纯熟掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60ooo等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.18.为了理解我特色的开展状况，某调查机构得到如下统计数据：〔Ⅰ〕根据上表数据，计算y 与x 的相关系数r ，并说明y 与x 的线性相关性强弱〔：0.751r ≤≤，那么认为y 与x 线性相关性很强；0.30.75r ≤≤，那么认为y 与x 线性相关性一般；0.25r ≤，那么认为y 与x 线性相关性较弱〕；〔Ⅱ〕求y 关于x 的线性回归方程，并预测我2021年特色的个数〔准确到个〕．参考公式： ()()niix x y y r --=∑()2110ni i x x =-=∑，()211.3ni i y y =-=∑，3.6056≈，()()()121ˆniii ni i x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-．【答案】〔I 〕相关性很强；〔II 〕ˆ0.36724.76yx =-，208个. 【解析】【分析】〔Ⅰ〕求得2016x =，1y =，利用nx x y y r --=求出r 的值，与临界值比拟即可得结论；〔Ⅱ〕结合〔Ⅰ〕根据所给的数据，利用公式求出线性回归方程的系数b ,再根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出a 的值，写出线性回归方程；2019x =代入线性回归方程求出对应的y 的值，可预测A 地区2021年足球特色的个数.【详解】〔Ⅰ〕2016x =，1y =，nx x y y r --=20.710.410.420.7 3.60.753.6056-⨯-+-⨯-+⨯+⨯==>，∴y 与x 线性相关性很强.〔Ⅱ〕()121(ˆ)()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑ ()()()()20.710.410.420.741014-⨯-+-⨯-+⨯+⨯=++++0.36=，ˆˆ120160.36724.76ay bx =-=-⨯=-， ∴y 关于x 的线性回归方程是ˆ0.36724.76yx =-. 当2019x =时，ˆ0.36724.76 2.08y x =-=〔百个〕，即A 地区2021年足球特色的个数为208个.【点睛】此题主要考察线性回归方程的求解与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：①根据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②求得公式中所需数据；③计算回归系数,a b ；④写出回归直线方程为ˆy bx a=+；回归直线过样本点中心(),x y 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.19.如图，三棱台ABC EFG -的底面是正三角形，平面ABC ⊥平面BCGF ，2CB GF =，BF CF =.(Ⅰ)求证：AB CG ⊥；(Ⅱ)假设ABC ∆和梯形BCGF 3G ABE -的体积. 【答案】〔I 〕证明见解析；〔II 〕13G ABE V -=. 【解析】【分析】〔Ⅰ〕取BC 的中点为D ，连结DF ，可证明四边形CDFG 为平行四边形，得//CG DF ，由等腰三角形的性质得DF BC ⊥，可得CG BC ⊥，由面面垂直的性质可得CG ⊥平面ABC ，从而可得结果；〔Ⅱ〕由三棱台ABC EFG -的底面是正三角形，且2CB GF =，可得2AC EG =，由此2ACG AEG S S ∆∆=，1122G ABE B AEG B ACG G ABC V V V V ----===.根据面积相等求得棱锥的高，利用棱锥的体积公式可得结果. 【详解】〔Ⅰ〕取BC 的中点为D ，连结DF .由ABC EFG -是三棱台得，平面//ABC 平面EFG ，∴//BC FG . ∵2CB GF =， ∴//CD GF ，∴四边形CDFG 为平行四边形，∴//CG DF . ∵BF CF =，D 为BC 的中点， ∴DF BC ⊥，∴CG BC ⊥.∵平面ABC ⊥平面BCGF ，且交线为BC ，CG ⊂平面BCGF ， ∴CG ⊥平面ABC ，而AB 平面ABC ，∴CG AB ⊥.〔Ⅱ〕∵三棱台ABC EFG -的底面是正三角形，且2CB GF =， ∴2AC EG =，∴2ACG AEG S S ∆∆=，∴1122G ABE B AEG B ACG G ABC V V V V ----===. 由〔Ⅰ〕知，CG ⊥平面ABC .∵正ABC ∆2BC =，1GF =.∵直角梯形BCGF∴()122CG+⋅=，∴CG =∴11112233G ABE G ABC ABC V V S CG --∆==⋅⋅⋅=.【点睛】此题主要考察面面垂直证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直以及棱锥的体积，属于中档题. 解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进展转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进展推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：〔1〕利用断定定理；〔2〕利用断定定理的推论；〔3〕利用面面平行的性质；〔4〕利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.:10l x y -+=与焦点为F 的抛物线2:2(0)C y px p =>相切.〔Ⅰ〕求抛物线C 的方程；〔Ⅱ〕过点F 的直线m 与抛物线C 交于A ，B 两点，求A ，B 两点到直线l 的间隔之和的最小值.【答案】〔Ⅰ〕24y x = 【解析】【分析】〔Ⅰ〕联立l 和C ，利用0∆=即可求得p ，从而得到抛物线方程；〔Ⅱ〕设直线m 为1x ty =+，与抛物线联立后可利用韦达定理求得124y y t +=，进而得到12x x +；由中点坐标公式可求得AB 中点()221,2M t t +；利用点,A B 到l 间隔之和等于点M 到l 的间隔的2倍，可将所求间隔变为关于t 的函数，求解函数的最小值即可得到所求间隔之和的最小值.【详解】〔Ⅰ〕将:10l x y -+=与抛物线2:2C y px =联立得：2220y py p -+=l 与C 相切 2480p p ∴∆=-=，解得：2p =∴抛物线C 的方程为：24y x =〔Ⅱ〕由题意知，直线m 斜率不为0，可设直线m 方程为：1x ty =+联立241y x x ty ⎧=⎨=+⎩得：2440y ty --=设()11,A x y ，()22,B x y ，那么124y y t += 212121142x x ty ty t ∴+=+++=+∴线段AB 中点()221,2M t t +设,,A B M 到直线l 间隔分别为,,A B M d d d那么221322124A B M d d d t t ⎫+===-+=-+⎪⎭2133244t ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭ ∴当12t =时，2min133244t ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ ,AB ∴两点到直线l 的间隔之和的最小值为：342= 【点睛】此题考察直线与抛物线的综合应用问题，涉及到根据直线与抛物线的位置关系求解抛物线方程、抛物线中的最值问题的求解等知识；求解最值的关键是可以将所求间隔之和转变为中点到直线的间隔，利用点到直线间隔公式得到函数关系，利用函数最值的求解方法求得结果.22()3ln ()f x x ax a x a R =-+∈.〔Ⅰ〕求()f x 的单调区间；〔Ⅱ〕假设对于任意的2x e ≥〔e 为自然对数的底数〕，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 【答案】〔I 〕当0a ≤时， ()f x 的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间；当0a >时，()f x 的单调递增区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和(),a +∞，单调递减区间是,2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；〔II 〕)22,,2e e ⎛⎤⎡-∞⋃+∞ ⎥⎣⎝⎦ 【解析】【分析】〔Ⅰ〕求出()'f x ，分两种情况讨论，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；〔Ⅱ〕对a 分四种情况讨论，分别利用导数求出函数()f x 最小值的表达式，令()f x 最小值不小于零，即可挑选出符合题意的a 的取值范围.【详解】〔Ⅰ〕()f x 的定义域为()0,∞+.()22223'23a x ax a f x x a x x -+=-+=()()2x a x a x--=. 〔1〕当0a ≤时，()'0f x >恒成立，()f x 的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间；〔2〕当0a >时，由()'0f x >解得()0,,2a x a ⎛⎫∈⋃+∞ ⎪⎝⎭，由()'0f x <解得,2a x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.∴()f x 的单调递增区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和(),a +∞，单调递减区间是,2a a ⎛⎫⎪⎝⎭. 〔Ⅱ〕①当0a ≤时，()'0f x >恒成立，()f x 在()0,∞+上单调递增， ∴()()2422320f x f eeae a ≥=-+≥恒成立，符合题意.②当0a >时，由〔Ⅰ〕知，()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭、(),a +∞上单调递增，在,2a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.〔i 〕假设202a e <≤，即22≥a e 时，()f x 在2,2a e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在,2a a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(),a +∞上单调递增.∴对任意的实数2x e ≥，()0f x ≥恒成立，只需()20f e ≥，且()0f a ≥.而当22≥a e 时，()()()2224222320f e a ae e a e a e =-+=--≥且()()22223ln ln 20f a a a a a a a =-+=-≥成立.∴22≥a e 符合题意.〔ii 〕假设22a e a <≤时，()f x 在)2,e a ⎡⎣上单调递减，在[),a +∞上单调递增. ∴对任意的实数2x e ≥，()0f x ≥恒成立，只需()0f a ≥即可，此时()()22223ln ln 20f a a a a a a a =-+=-≥成立，∴222e a e ≤<符合题意.〔iii 〕假设2e a >，()f x 在)2,e ⎡+∞⎣上单调递增. ∴对任意的实数2x e ≥，()0f x ≥恒成立，只需()2422320f e e ae a =-+≥，即()()()2422223220f e e ae a a e a e =-+=--≥， ∴202e a <≤符合题意. 综上所述，实数a 的取值范围是)22,,2e e ⎛⎤⎡-∞⋃+∞ ⎥⎣⎝⎦. 【点睛】此题主要考察利用导数研究函数的单调性、求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 别离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或者()a f x ≤恒成立〔()min a f x ≤即可〕；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或者()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，挑选出符合题意的参数范围.请考生在第22、23题中任选一题答题.注意：只能做所选定的题目，假如多做，那么按所做的第一个题目计分，答题时，请需要用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.xOy 中，直线l的参数方程为12x t y a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩〔t 为参数，a ∈R 〕.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，射线(0)3πθρ=≥与曲线C 交于,O P 两点，直线l 与曲线C 相交于,A B 两点.〔Ⅰ〕求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；〔Ⅱ〕当||||AB OP =时，求a 的值.【答案】〔Ⅰ〕0l y a +-=，()22:24C x y -+=；〔Ⅱ〕0或者【解析】【分析】〔Ⅰ〕将l 参数方程消去t 即可得到普通方程；由24cos ρρθ=，根据极坐标和直角坐标互化原那么可得C 的直角坐标方程；〔Ⅱ〕联立C 和射线的极坐标方程可得P 点极坐标，从而得到OP ；将l 参数方程代入圆C 的直角坐标方程，利用t 的几何意义，结合韦达定理构造关于a 的方程，解方程求得结果.【详解】〔1〕将直线l 的参数方程消去t0y a +-=由4cos ρθ=得：24cos ρρθ= 224x y x ∴+= 整理可得曲线C 的直角坐标方程为：()2224x y -+= 〔2〕由()4cos 03ρθπθρ=⎧⎪⎨=≥⎪⎩得：2,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 2OP ∴= 将直线l 的参数方程代入C得：()2220t t a ++=由()22240a ∆=->得：44a <<设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，那么：122AB t t =-===解得：0a =或者a =∴所求a 的值是0或者【点睛】此题考察极坐标与直角坐标的互化、参数方程化普通方程、极径的意义、直线参数方程中参数的几何意义的应用等知识，属于常考题型.23.选修4-5：不等式选讲()32f x x =+.〔1〕求()1f x ≤的解集；〔2〕假设()2f x a x ≥恒成立，务实数a 的最大值.【答案】(1) 113⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， (2) 【解析】【分析】〔1〕先由题意得321x +≤，进而可得1321x -≤+≤，求解，即可求出结果；〔2〕先由()2f x a x ≥恒成立，得到232x a x +≥恒成立，讨论0x =与0x ≠，分别求出a 的范围，即可得出结果.【详解】解：〔1〕由()1f x ≤得321x +≤，所以1321x -≤+≤，解得113x -≤≤-，所以，()1f x ≤的解集为113⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，〔2〕()2f x a x ≥恒成立，即232x a x +≥恒成立.当0x =时，a R ∈；当0x ≠时，23223x a x x x+≤=+.因为23x x +≥23x x =，即x =，所以a ≤a 的最大值是【点睛】此题主要考察含绝对值不等式，熟记含绝对值不等式的解法即可，属于常考题型. 制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。

安徽省蚌埠一中2021届高三上学期期中考试数学(理)试卷 Word版含解析

2022-2021学年安徽省蚌埠一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每题5分）1．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合，则A∩B=（） A． [﹣1，1] B． [﹣1，2） C． [1，2） D． [﹣2，﹣1]3．已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则（）A．¬p：∃x∈R，sinx≥1 B．¬p：∀x∈R，sinx≥1C．¬p：∃x∈R，sinx＞1 D．¬p：∀x∈R，sinx＞14．已知=（1，n ），=（﹣1，n），若2﹣与垂直，则||=（）A． 1 B． C． 2 D． 45．设f（x）=，则f（f（2））的值为（）A． 0 B． 1 C． 2 D． 36．下列命题中真命题的个数是（）（1）若命题p，q中有一个是假命题，则￢（p∧q）是真命题．（2）在△ABC中，“cosA+sinA=cosB+sinB”是“C=90°”的必要不充分条件．（3）C表示复数集，则有∀x∈C，x2+1≥1．A． 0 B． 1 C． 2 D． 37．将函数y=sin2x﹣cos2x 的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数g（x）（） A．由最大值，最大值为B．对称轴方程是C．是周期函数，周期D．在区间上单调递增8．已知f（x）是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=lgx ．设，，则（）A． a＜b＜c B． b＜a＜c C． c＜b＜a D． c＜a＜b9．对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x﹣1）f′（x）≥0，则必有（） A． f（0）+f（2）＜2f（1） B． f（0）+f（2）≤2f（1） C． f（0）+f（2）≥2f（1） D． f（0）+f（2）＞2f（1）10．现有四个函数：①y=x•sinx②y=x•cosx③y=x•|cosx|④y=x•2x的图象（部分）如下，则依据从左到右图象对应的函数序号支配正确的一组是（）A．①④③② B．④①②③ C．①④②③ D．③④②①11．已知f（x）=若函数y=f（x）﹣k（x+1）有三个零点，则实数k的取值范围是（） A．（﹣，0） B．（0，） C．（，1） D．（1，+∞）二、填空题（每题5分）12．已知||=3，||=4，（+）（+3）=33，则与的夹角为．13．函数y=sin2x+4sin2x，x∈R的值域是．14．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a+b+c=20，三角形面积为10，A=60°，则a= ．15．曲线C的参数方程是（θ为参数，且θ∈（π，2π）），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D的方程为，取线C与曲线D的交点为P，则过交点P且与曲线C相切的极坐标方程是．16．设f（x）=log3（x+6）的反函数为f﹣1（x），若〔f﹣1（m）+6〕〔f﹣1（n）+6〕=27，则f（m+n）= ．三、解答题17．集合，B={y|y=asinθ，，a＞0}（1）求集合A和B；（2）若A∩B=∅，求a的取值范围．18．已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）求a，b的值；（2）证明：函数f（x）在R上是减函数；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．19．已知函数f（x）=Asin2（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜，且y=f（x）的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）．（1）求φ；（2）计算f（1）+f（2）+…+f（2022）的值．20．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，向量=（2a+c，b），=（cosB，cosC），且，垂直．（Ⅰ）确定角B的大小；（Ⅱ）若∠ABC的平分线BD交AC于点D，且BD=1，设BC=x，BA=y，试确定y关于x的函数式，并求边AC 长的取值范围．21．已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）若函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，求t的值；（Ⅲ）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，试求a的取值范围．2022-2021学年安徽省蚌埠一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分）1．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：化简复数为a+bi的形式，求出对应点的坐标，推断选项即可．解答：解：复数==1﹣i，复数对应点为（1，﹣1）在第四象限．故选：D．点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，考查计算力量．2．已知集合，则A∩B=（）A． [﹣1，1] B． [﹣1，2） C． [1，2） D． [﹣2，﹣1]考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合A，B的等价条件，即可得到结论．解答：解：集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}={x|x≤﹣1或x≥3}，B={x|﹣2≤x＜2}，利用集合的运算可得：A∩B={x|﹣2≤x≤﹣1}．故选D．点评：本题主要考查集合的基本运算，依据不等式的解法求出集合A，B是即可得到结论．3．已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则（）A．¬p：∃x∈R，sinx≥1 B．¬p：∀x∈R，sinx≥1C．¬p：∃x∈R，sinx＞1 D．¬p：∀x∈R，sinx＞1考点：命题的否定．分析：依据¬p是对p的否定，故有：∃x∈R，sinx＞1．从而得到答案．解答：解：∵¬p是对p的否定∴¬p：∃x∈R，sinx＞1故选C．点评：本题主要考查全称命题与特称命题的转化问题．4．已知=（1，n ），=（﹣1，n），若2﹣与垂直，则||=（）A． 1 B． C． 2 D． 4 考点：平面对量数量积的性质及其运算律．专题：计算题．分析： 2﹣=（3，n），由2﹣与垂直可得：，||=2 解答：解：∵=（1，n ），=（﹣1，n），∴2﹣=（3，n），∵2﹣与b 垂直∴∴||=2故选C．点评：本题主要考查向量的数量积的坐标表示．要留意两向量垂直时，二者点乘为0．5．设f（x）=，则f（f（2））的值为（）A． 0 B． 1 C． 2 D． 3考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：计算题．分析：考查对分段函数的理解程度，f（2）=log3（22﹣1）=1，所以f（f（2））=f（1）=2e1﹣1=2．解答：解：f（f（2））=f（log3（22﹣1））=f（1）=2e1﹣1=2，故选C．点评：此题是分段函数当中经常考查的求分段函数值的小题型，主要考查同学对“分段函数在定义域的不同区间上对应关系不同”这个本质含义的理解．6．下列命题中真命题的个数是（）（1）若命题p，q中有一个是假命题，则￢（p∧q）是真命题．（2）在△ABC中，“cosA+sinA=cosB+sinB”是“C=90°”的必要不充分条件．（3）C表示复数集，则有∀x∈C，x2+1≥1．A． 0 B． 1 C． 2 D． 3考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断．专题：简易规律．分析：依据p∧q，￢p的真假和p，q真假的关系，二倍角的正弦公式，复数的概念即可推断这几个命题的真假．解答：解：（1）真命题，若p，q中有一个为假命题，则p∧q为假命题，所以￢（p∧q）为真命题；（2）真命题，在△ABC中，若cosA+sinA=cosB+sinB，则（cosA+sinA）2=（cosB+sinB）2，∴1+2sinAcosA=1+2sinBcosB，∴sin2A=sin2B；∵A，B中必有一个是锐角，不妨设A是锐角，∴2A=2B，或2A=180°﹣2B，∴A=B，或A+B=90°；∴由cosA+sinA=cosB+sinB不肯定得出C=90°，而C=90°肯定得到cosA+sinA=cosB+sinB，所以“cosA+sinA=cosB+sinB”是“C=90°”的必要不充分条件；（3）假命题，x是复数，不妨设x=i，则i2=﹣1，∴x2+1=0＜1；∴为真命题的个数为：2．故选C．点评：考查p∧q，￢p的真假和p，q真假的关系，二倍角的正弦公式，以及复数的概念．7．将函数y=sin2x﹣cos2x 的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数g（x）（） A．由最大值，最大值为B．对称轴方程是C．是周期函数，周期D．在区间上单调递增考点：两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：由两角差的正弦公式化简函数，再由图象平移的规律得到，易得最大值是2，周期是π，故A，C 均错；由，求出x，即可推断B；再由正弦函数的增区间，即可得到g（x）的增区间，即可推断D．解答：解：化简函数得，所以将函数y=sin2x﹣cos2x 的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数g（x）=2sin[2（x ﹣）﹣]，即，易得最大值是2，周期是π，故A，C均错；由，得对称轴方程是，故B错；由，令k=0，故D正确．故选D．点评：本题考查三角函数的化简和图象变换，考查三角函数的最值和周期、以及对称性和单调性，属于中档题．8．已知f（x）是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=lgx ．设，，则（）A． a＜b＜c B． b＜a＜c C． c＜b＜a D． c＜a＜b考点：奇函数．专题：压轴题．分析：首先利用奇函数的性质与函数的周期性把f（x）的自变量转化到区间（0，1）内，然后由对数函数f （x）=lgx的单调性解决问题．解答：解：已知f（x）是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=lgx．则=﹣lg＞0，=﹣lg＞0，=lg＜0，又lg＞lg∴0＜﹣lg＜﹣lg∴c＜a＜b，故选D．点评：本题主要考查奇函数性质与函数的周期性，同时考查对数函数的单调性．9．对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x﹣1）f′（x）≥0，则必有（） A． f（0）+f（2）＜2f（1） B． f（0）+f（2）≤2f（1） C． f（0）+f（2）≥2f（1） D． f（0）+f（2）＞2f（1）考点：导数的运算．专题：分类争辩．分析：分x≥1和x＜1两种状况对（x﹣1）f′（x）≥0进行争辩，由极值的定义可得当x=1时f（x）取得微小值也为最小值，故问题得证．解答：解：依题意，当x≥1时，f′（x）≥0，函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；当x＜1时，f′（x）≤0，f（x）在（﹣∞，1）上是减函数，故当x=1时f（x）取得微小值也为最小值，即有f（0）≥f（1），f（2）≥f（1），∴f（0）+f（2）≥2f（1）．故选C．点评：本题以解不等式的形式，考查了利用导数求函数极值的方法，同时机敏应用了分类争辩的思想，是一道好题．10．现有四个函数：①y=x•sinx②y=x•cosx③y=x•|cosx|④y=x•2x的图象（部分）如下，则依据从左到右图象对应的函数序号支配正确的一组是（）A．①④③② B．④①②③ C．①④②③ D．③④②①考点：函数的图象与图象变化．专题：综合题．分析：从左到右依次分析四个图象可知，第一个图象关于Y轴对称，是一个偶函数，其次个图象不关于原点对称，也不关于Y轴对称，是一个非奇非偶函数；第三、四个图象关于原点对称，是奇函数，但第四个图象在Y轴左侧，函数值不大于0，分析四个函数的解析后，即可得到函数的性质，进而得到答案．解答：解：分析函数的解析式，可得：①y=x•sinx为偶函数；②y=x•cosx为奇函数；③y=x•|cosx|为奇函数，④y=x•2x为非奇非偶函数且当x＜0时，③y=x•|cosx|≤0恒成立；则从左到右图象对应的函数序号应为：①④②③故选：C．点评：本题考查的学问点是函数的图象与图象变化，其中函数的图象或解析式，分析出函数的性质，然后进行比照，是解答本题的关键．11．已知f（x）=若函数y=f（x）﹣k（x+1）有三个零点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣，0） B．（0，） C．（，1） D．（1，+∞）考点：根的存在性及根的个数推断．专题：函数的性质及应用．分析：由y=f（x）﹣k（x+1）=0得f（x）=k（x+1），设y=f（x），y=k（x+1），然后作出图象，利用数形结合的思想确定实数k的取值范围．解答：解：y=f（x）﹣k（x+1）=0得f（x）=k（x+1），设y=f（x），y=k（x+1），在同一坐标系中作出函数y=f（x）和y=k（x+1）的图象如图：由于当x＜0时，函数f（x）=e﹣x﹣e x单调递减，且f（x）＞0．由图象可以当直线y=k（x+1）与相切时，函数y=f（x）﹣k（x+1）有两个零点．下面求切线的斜率．由得k2x2+（2k2﹣1）x+k2=0，当k=0时，不成立．由△=0得△=（2k2﹣1）2﹣4k2⋅k2=1﹣4k2=0，解得，所以k=或k=（不合题意舍去）．所以要使函数y=f（x）﹣k（x+1）有三个零点，则0＜k．故选B．点评：本题综合考查了函数的零点问题，利用数形结合的思想是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．二、填空题（每题5分）12．已知||=3，||=4，（+）（+3）=33，则与的夹角为120°．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题．分析：欲求，依据题目条件（+）（+3）=33，同时依据向量积公式求出夹角的余弦值，即可求得两个向量的夹角．解答：解：由于（+）（+3）=33，即（+）（+3）=++，又由所以=．所以120°；故答案为120°．点评：本题考查数量积的夹角的计算公式，应娴熟把握．13．函数y=sin2x+4sin2x，x∈R的值域是[2﹣，2+] ．考点：三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：化简可得y=sin（2x﹣θ）+2，其中tanθ=4，由sin（2x﹣θ）的值域为[﹣1，1]和不等式的性质可得．解答：解：化简可得y=sin2x+4sin2x=sin2x+4•=sin2x﹣2cos2x+2=sin（2x﹣θ）+2，其中tanθ=4，∵sin（2x﹣θ）的值域为[﹣1，1]，∴y=sin（2x﹣θ）+2的值域为[2﹣，2+]故答案为：[2﹣，2+]点评：本题考查三角函数的最值，属基础题．14．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a+b+c=20，三角形面积为10，A=60°，则a= 7 ．考点：正弦定理；余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：由已知及三角形的面积公式可求bc，然后由a+b+c=20以及余弦定理，即可求a．解答：解：由题意可得，S△ABC=bcsinA=bcsin60°∴bcsin60°=10∴bc=40∵a+b+c=20∴20﹣a=b+c．由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccos60°=（b+c）2﹣3bc=（20﹣a）2﹣120解得a=7．故答案为：7．点评：本题综合考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式等学问的综合应用，解题的关键是机敏利用公式．考查计算力量，属于基本学问的考查．15．曲线C的参数方程是（θ为参数，且θ∈（π，2π）），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D的方程为，取线C与曲线D的交点为P，则过交点P且与曲线C相切的极坐标方程是ρsinθ=﹣2 ．考点：简洁曲线的极坐标方程；参数方程化成一般方程．专题：坐标系和参数方程．分析：利用把曲线D的方程，化为一般方程为x+y=0．利用sin2θ+cos2θ=1可把曲线C的参数方程，化为（x﹣2）2+y2=4，留意到θ∈（π，2π），可得y＜0，联马上可得出交点，进而得出切线方程．解答：解：曲线D的方程为，开放化为：=0，即直线D 的一般方程为x+y=0，又曲线C的参数方程是，化为（x﹣2）2+y2=4，曲线C是圆心为C（2，0），半径为2的半圆，留意到θ∈（π，2π），∴y＜0，联立方程组得，解之得，故交点P的坐标为（2，﹣2）．过交点P且与曲线C相切的直线的一般方程是y=﹣2，对应的极坐标方程为ρsinθ=﹣2．点评：本题考查了把极坐标方程、参数方程化为一般方程，考查了直线与圆相切，考查了计算力量，属于中档题．16．设f（x）=log3（x+6）的反函数为f﹣1（x），若〔f﹣1（m）+6〕〔f﹣1（n）+6〕=27，则f（m+n）= 2 ．考点：反函数；函数的值．专题：创新题型．分析：先求出f（x）=log3（x+6）的反函数为f﹣1（x），由〔f﹣1（m）+6〕〔f﹣1（n）+6〕=27，解出m+n，进而求出f（m+n）．解答：解：∵f﹣1（x）=3x﹣6故〔f﹣1（m）+6〕•〔f﹣1（x）+6〕=3m•3n =3m+n =27，∴m+n=3，∴f（m+n）=log3（3+6）=2．故答案为 2．点评：本题考查反函数的求法及求函数值．是基础题．三、解答题17．集合，B={y|y=asinθ，，a＞0}（1）求集合A和B；（2）若A∩B=∅，求a的取值范围．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：（1）将集合A中的不等式移项变形后，依据两数相乘积为正，得到两因式同号，求出不等式的解集得出x的范围，确定出集合A，由角的范围，利用正弦函数的图象与性质求出集合B中函数的值域，确定出B；（2）由两集合的交集为空集，列出关于m的不等式组，求出不等式组的解集即可得到a的范围．解答：解：（1）由集合A 中的不等式变形得：≥0，可化为（x﹣4）（x+3）≥0，且x+3≠0，解得：x≥4或x＜﹣3，∴A=（﹣∞，﹣3）∪[4，+∞）；由集合B中的函数y=asinθ（a＞0），θ∈[﹣，]，得到﹣≤sinθ≤1，∴﹣a≤y=asinθ≤a，∴B=[﹣a，a]；（2）∵A∩B=∅，∴，解得：a＜4，则a的范围为a＜4．点评：此题属于以其他不等式的解法、三角函数的值域为平台，考查了交集及其运算，娴熟把握交集的定义是解本题的关键．18．已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）求a，b的值；（2）证明：函数f（x）在R上是减函数；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．考点：奇偶性与单调性的综合；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用奇函数定义f（x）=﹣f（x）中的特殊值求a，b的值；（2）按按取点，作差，变形，推断的过程来即可．（3）首先确定函数f（x）的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0转化为关于t的一元二次不等式，最终由一元二次不等式学问求出k的取值范围．解答：解：（1）由于f（x）是奇函数，函数的定义域为R，∴f（x）=0，即=0，解得：b=1，f（﹣1）=﹣f（1），即=﹣，解得：a=2证明：（2）由（1）得：f（x）=，设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=﹣=，∵y=2x在实数集上是增函数且函数值恒大于0，故＞0，＞0，＞0．即f（x1）﹣f（x2）＞0．∴f（x）在R上是单调减函数；（3）由（2）知f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数．又由于f（x）是奇函数，所以f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0，等价于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），由于f（x）为减函数，由上式可得：t2﹣2t＞k﹣2t2．即对一切t∈R有：3t2﹣2t﹣k＞0，从而判别式△=4+12k＜0⇒k ＜﹣．所以k的取值范围是k ＜﹣．点评：本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用；同时考查一元二次不等式恒成立问题的解决策略．19．已知函数f（x）=Asin2（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜，且y=f（x）的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）．（1）求φ；（2）计算f（1）+f（2）+…+f（2022）的值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的化简求值．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）依据振幅、周期性、过定点确定其解析式；（2）利用周期性进行求解．解答：解：（1）y=Asin2（ωx+φ）=﹣cos（2ωx+2φ），∵y=f（x）的最大值为2，A＞0．∴A=2．又∵其图象相邻两对称轴间的距离为2，ω＞0，∴=2×2，ω=，∴f（x）=1﹣cos （x+2φ）=1﹣cos （x+2φ），∵y=f（x）过（1，2）点，∴cos （+2φ）=﹣1，∴+2φ=2kπ+π，k∈Z，∴2φ=2kπ+，k∈Z，∴φ=kπ+，k∈Z，又∵0＜φ＜，∴φ=．（2）依据（1）知，函数的周期为4，∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+1+0+1=4．又∵y=f（x）的周期为4，2022=4×503+2，∴f（1）+f（2）+…+f（2022）=4×503+f（1）+f（2）=2022+3=2021．点评：本题重点考查了三角恒等变换公式、三角公式、函数的周期性等学问，属于中档题，解题关键是把握三角函数值在各个象限内的符号：一全正，二正弦，三两切，四余弦．20．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C 所对的边，向量=（2a+c，b），=（cosB，cosC），且，垂直．（Ⅰ）确定角B的大小；（Ⅱ）若∠ABC的平分线BD交AC于点D，且BD=1，设BC=x，BA=y，试确定y关于x的函数式，并求边AC 长的取值范围．考点：平面对量数量积的运算；基本不等式．分析：（Ⅰ）⊥⇔，对此式进行化简得（2a+c）cosB+bcosC=0，再使用正弦定理即可求出角B；（Ⅱ）先由三角形的面积之间的关系S△ABC=S△ABD+S△BCD得出x+y=xy ，再使用余弦定理可得：=，对x+y=xy使用基本不等式，可求出x+y的取值范围，进而可求出AC2的取值范围．解答：解：（ I ）∵⊥，∴（2a+c）cosB+bcosC=0，在△ABC 中，由正弦定理得：，∴a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC，代入得k[（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC]=0，∴2sinAcosB+sin（B+C）=0，即sinA（2cosB+1）=0．∵A，B∈（0，π），∴sinA≠0，∴，解得B=．（ II）∵S△ABC=S△ABD+S△BCD ，，S△ABD ==，，∴xy=x+y，∴．在△ABC中，由余弦定理得：=x2+y2+xy=（x+y）2﹣xy=（x+y）2﹣（x+y）=．∵，x＞0，y＞0，∴x+y≥4，∴，∴．又AC＜x+y．∴AC的取值范围是：AC ∈．点评：理解数量积与向量垂直的关系，正确使用正、余弦定理及三角形的面积公式，基本不等式的性质是解决问题的关键．21．已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）若函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，求t的值；（Ⅲ）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，试求a的取值范围．考点：函数零点的判定定理；利用导数争辩函数的单调性；利用导数争辩函数的极值．专题：计算题；压轴题．分析：（Ⅰ）证明a＞1时函数的导数大于0．（Ⅱ）先推断函数f（x）的微小值，再由y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，所以方程f（x）=t±1有三个根，依据t﹣1应是f（x）的微小值，解出t．（Ⅲ）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，推断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna （3分）由于a＞1，故当x∈（0，+∞）时，lna＞0，a x﹣1＞0，所以f′（x）＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增（5分）（Ⅱ）当a＞0，a≠1时，由于f′（0）=0，且f（x）在（0，+∞）上单调递增，故f′（x）=0有唯一解x=0（7分）所以x，f′（x），f（x）的变化状况如下表所示：又函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，所以方程f（x）=t±1有三个根，而t+1＞t﹣1，所以t﹣1=（f（x））min=f（0）=1，解得t=2；（11分）（Ⅲ）由于存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|=（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，（12分）由（Ⅱ）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，而，记，由于（当t=1时取等号），所以在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）（14分）①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1⇒a﹣lna≥e﹣1⇒a≥e，②当0＜a＜1时，由，综上知，所求a的取值范围为．（16分）点评：本题考查函数的零点，用导数推断函数单调性，利用导数争辩函数极值，属于中档题．。

2021年高三上学期第一次质检数学(理)试卷含解析

2021年高三上学期第一次质检数学（理）试卷含解析一、填空题：（本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案写在答题卡相应位置上）1．已知集合A={x|1≤x≤2}，B={1，2，3，4}，则A∩B=．2．函数f（x）=（x﹣1）2﹣2的递增区间是．3．已知复数z=，则复数z的虚部是．4．函数y=lg（3x+1）+的定义域是．5．若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的取值范围是．6．已知f（x）=+sinx，则f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）= ．7．已知函数f（x）=在区间（﹣∞，a]上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是．8．若函数f（x）=ax3﹣ax2+（2a﹣3）x+1在R上存在极值，则实数a的取值范围是．9．在△ABC中，已知BC=2，AC=，，那么△ABC的面积是．10．“a＞1”是“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”的条件．（空格处请填写“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）11．已知向量=（x﹣1，2），=（4，y），若⊥，则16x+4y的最小值为．12．若函数y=sinx+mcosx图象的一条对称轴方程为，则实数m的值为．13．已知AD是△ABC的中线，若∠A=120°，，则的最小值是．14．一般地，如果函数y=f（x）的定义域为[a，b]，值域也是[a，b]，则称函数f（x）为“保域函数”，下列函数中是“保域函数”的有．（填上所有正确答案的序号）（x）=x2﹣1，x∈[﹣1，1]；①f1②f2（x）=sinx，x∈[，π]；③f3（x）=x3﹣3x，x∈[﹣2，2]；④f4（x）=x﹣lnx，x∈[1，e2]；⑤f5（x）=，x∈[0，2]．二、解答题：（本大题共9小题，共130分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（12分）已知集合A={x|（x﹣3）（x﹣3a﹣5）＜0}，函数y=lg（﹣x2+5x+14）的定义域为集合B．（1）若a=4，求集合A∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围．16．（12分）已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），=（﹣1，0）．（1）求向量的长度的最大值；（2）设α=，且⊥（），求cosβ的值．17．（14分）已知f（x）=是奇函数，g（x）=x2+nx+1为偶函数．（1）求m，n的值；（2）不等式3f（sinx）•g（sinx）＞g（cosx）﹣λ对任意x∈R恒成立，求实数λ的取值范围．18．（14分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=bcosC﹣csinB．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若点D为边AC的中点，BD=1，求△ABC面积的最大值．19．（14分）已知函数f（x）=|x﹣2|（Ⅰ）解不等式；f（x）+f（2x+1）≥6；（Ⅱ）已知a+b=1（a，b＞0）．且对于∀x∈R，f（x﹣m）﹣f（﹣x）≤恒成立，求实数m 的取值范围．20．（16分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足=+．（Ⅰ）求证：A、B、C三点共线；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）已知A（1，cosx）、B（1+cosx，cosx），x∈[0，]，f（x）=•﹣（2m+）||的最小值为﹣，求实数m的值．21．（16分）一房产商竞标得一块扇形OPQ地皮，其圆心角∠POQ=，半径为R=200m，房产商欲在此地皮上修建一栋平面图为矩形的商住楼，为使得地皮的使用率最大，准备了两种设计方案如图，方案一：矩形ABCD的一边AB在半径OP上，C在圆弧上，D在半径OQ；方案二：矩形EFGH的顶点在圆弧上，顶点G，H分别在两条半径上．请你通过计算，为房产商提供决策建议．22．（16分）已知函数f（x）=ax++c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x ﹣1．（1）用a表示出b，c；（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．23．（16分）已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx（a∈R）．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=﹣．若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数a的取值范围．xx学年江苏省徐州市沛县中学高三（上）第一次质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案写在答题卡相应位置上）1．已知集合A={x|1≤x≤2}，B={1，2，3，4}，则A∩B={1，2} ．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】由A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|1≤x≤2}，B={1，2，3，4}，∴A∩B={1，2}．故答案为：{1，2}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（xx秋•普宁市校级期中）函数f（x）=（x﹣1）2﹣2的递增区间是[1，+∞）．【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】首先求出函数f（x）=（x﹣1）2﹣2的导数，然后令f′（x）＞0，求出函数的递增区间即可．【解答】解：f′（x）=2（x﹣1），令f′（x）＞0，解得x＞1，所以f（x）在[1，+∞）递增，即函数f（x）=（x﹣1）2﹣2的递增区间是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．【点评】本题主要考查了函数的单调性，以及导数的应用，属于基础题．3．已知复数z=，则复数z的虚部是．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．【解答】解：z==，则复数z的虚部是：．故答案为：．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．4．函数y=lg（3x+1）+的定义域是{} ．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题．【分析】由题意可得，解之可得函数的定义域，注意写成集合的形式即可．【解答】解：由题意可得，解之可得故函数的定义域是{}．故答案为：{}【点评】本题考查函数的定义域及其求法，属基础题．5．若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的取值范围是（﹣4，0] ．【考点】简单线性规划．【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；不等式．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z的几何意义，进行平移，结合图象得到z=2x﹣y的取值范围．【解答】解：由z=2x﹣y得y=2x﹣z，作出不等式对应的平面区域（阴影部分）如图：平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点A（﹣2，0）时，直线y=2x﹣z的截距最大，此时z最小．当直线y=2x﹣z经过点O（0，0）时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．所以z的最大值为z=﹣2×2=4，最小值z=0﹣0=0．即﹣4＜z≤0．故答案为：（﹣4，0]【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法．6．（xx•长春三模）已知f（x）=+sinx，则f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）=5．【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据条件求解f（x）+f（﹣x）=2，然后即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=+sinx，∴f（x）+f（x）=+sinx++sin（﹣x）=，则f（0）=1，f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）=2+2+1=5，故答案为：5．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用条件得到f（x）+f（﹣x）=2是解决本题的关键．7．（xx•通州区一模）已知函数f（x）=在区间（﹣∞，a]上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是[﹣1，0] ．【考点】函数单调性的性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据二次函数的性质以及对数函数的性质求出a的范围即可．【解答】解：由y=x2在（﹣∞，0）递减，故a≤0，由x+1＞0，解得：x＞﹣1，故a≥﹣1，故答案为：[﹣1，0]．【点评】本题考查了二次函数以及对数函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题．8．若函数f（x）=ax3﹣ax2+（2a﹣3）x+1在R上存在极值，则实数a的取值范围是（0，3）．【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】导数的综合应用．【分析】根据函数f（x）=+（2a﹣3）x+1存在极值点，可得f′（x）=0有两不等实根，其判别式△＞0，即可求得a的取值范围．【解答】解：求导函数，可得f′（x）=ax2﹣2ax+2a﹣3∵函数f（x）=+（2a﹣3）x+1存在极值点，∴f′（x）=0有两不等实根，其判别式△=4a2﹣4a（2a﹣3）＞0∴0＜a＜3．∴a的取值范围是（0，3）．故答案为：（0，3）．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查学生分析转化问题的能力，属于中档题．9．（xx•通州区一模）在△ABC中，已知BC=2，AC=，，那么△ABC的面积是．【考点】正弦定理．【专题】对应思想；综合法；解三角形．【分析】利用正弦定理解出sinA，cosA，根据两角和的正弦公式计算sinC，代入三角形的面积公式求得面积．【解答】解：在△ABC中，由正弦定理得，即，解得sinA=，∴cosA=．∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB==．===．∴S△ABC故答案为．【点评】本题考查了正弦定理，两角和的正弦公式，三角形的面积计算，属于中档题．10．“a＞1”是“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”的充分不必要条件条件．（空格处请填写“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】由条件利用充分条件、必要条件、充要条件的定义进行判断，可得结论．【解答】解：由“a＞1”，可得f′（x）=1﹣sinx＞0，故“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”，故充分性成立．由“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”，可得f′（x）=1﹣sinx≥0，a≥1，不能得到“a ＞1”，故必要性不成立，故答案为：充分不必要条件．【点评】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的判定，属于基础题．11．（xx•万州区模拟）已知向量=（x﹣1，2），=（4，y），若⊥，则16x+4y的最小值为8．【考点】基本不等式；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量垂直的充要条件：数量积为0，得到x，y满足的等式；利用幂的运算法则将待求的式子变形；利用基本不等式求出式子的最小值，注意检验等号何时取得．【解答】解：∵∴4（x﹣1）+2y=0即4x+2y=4∵=当且仅当24x=22y即4x=2y=2取等号故答案为8【点评】本题考查向量垂直的充要条件：数量积为0；考查利用基本不等式求函数的最值需注意满足的条件：一正、二定、三相等．12．（2011秋•雁塔区校级期末）若函数y=sinx+mcosx图象的一条对称轴方程为，则实数m 的值为．【考点】正弦函数的对称性；两角和与差的正弦函数．【专题】计算题．【分析】化简函数y=sinx+mcosx为一个角的一个三角函数的形式，利用图象关于直线对称，就是时，函数取得最值，求出m即可．【解答】解：函数y=sinx+mcosx=sin（x+θ），其中tanθ=m，，其图象关于直线对称，所以θ+=±，θ=，或θ=（舍去）所以tanθ=m=，故答案为：．【点评】本题考查正弦函数的对称性，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．13．（xx•韶关模拟）已知AD是△ABC的中线，若∠A=120°，，则的最小值是1．【考点】向量在几何中的应用．【专题】压轴题；平面向量及应用．【分析】利用向量的数量积公式，及三角形中线向量的表示，利用基本不等式，即可求的最小值．【解答】解：∵=||||cosA，∠A=120°，∴||||=4∵=（+），∴||2=（||2+||2+2 •）=（||2+||2﹣4）≥（2||||﹣4）=1∴min=1故答案为：1．【点评】本题考查向量的数量积，基本不等式，考查学生的计算能力，属于中档题．14．（xx•安庆二模）一般地，如果函数y=f（x）的定义域为[a，b]，值域也是[a，b]，则称函数f（x）为“保域函数”，下列函数中是“保域函数”的有②③⑤．（填上所有正确答案的序号）①f1（x）=x2﹣1，x∈[﹣1，1]；②f2（x）=sinx，x∈[，π]；③f3（x）=x3﹣3x，x∈[﹣2，2]；④f4（x）=x﹣lnx，x∈[1，e2]；⑤f5（x）=，x∈[0，2]．【考点】进行简单的合情推理．【专题】函数的性质及应用．【分析】求出题目中所给5个函数的值域，根据已知中“保域函数”的定义逐一进行判断，即可得到答案．【解答】解：对于①，f1（x）=x2﹣1，x∈[﹣1，1]的值域为[﹣1，0]，不符合，故①舍去；对于②，f2（x）=sinx，x∈[，π]的值域为，故②正确；对于③，，于是f3（x）在（﹣2，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，其值域为[﹣2，2]，故③正确；对于④，，单调递增，其值域为[1，e2﹣2]，不符合题意，故④舍去；对于⑤，f5（0）=0，当x＞0时，（当且仅当x=1时，等号成立），其值域为[0，2]，故⑤正确．故答案为：②③⑤．【点评】本题考查的知识点是函数的值域，其中熟练掌握求函数值域的方法，并正确理解保域函数”的定义是解答的关键．二、解答题：（本大题共9小题，共130分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（12分）（xx秋•苏州期中）已知集合A={x|（x﹣3）（x﹣3a﹣5）＜0}，函数y=lg（﹣x2+5x+14）的定义域为集合B．（1）若a=4，求集合A∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围．【考点】交集及其运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题；分类讨论．【分析】（1）利用a=4，求出集合A，对数函数的定义域求出集合B，即可求解集合A∩B．（2）通过“x∈A”是“x∈B”的充分条件，推出关于a的表达式，求出a的范围．【解答】解：（1）因为集合A={x|（x﹣3）（x﹣3a﹣5）＜0}，a=4，所以（x﹣3）（x﹣3a﹣5）＜0⇒（x﹣3）（x﹣17）＜0，解得3＜x＜17，所以A={x|3＜x＜17}，由函数y=lg（﹣x2+5x+14）可知﹣x2+5x+14＞0，解得：﹣2＜x＜7，所以函数的定义域为集合B={x|﹣2＜x＜7}，集合A∩B={x|3＜x＜7}；（2）“x∈A”是“x∈B”的充分条件，即x∈A，则x∈B，集合B={x|﹣2＜x＜7}，当3a+5＞3即a＞﹣时，3a+5≤7，解得﹣＜a≤．当3a+5≤3即a≤﹣时，3a+5≥﹣2，解得﹣≥a≥﹣．综上实数a的取值范围：．【点评】本题考查二次不等式的解法，对数函数的定义域的求法，集合的交集与充要条件的应用，考查计算能力．16．（12分）（xx•湖北）已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），=（﹣1，0）．（1）求向量的长度的最大值；（2）设α=，且⊥（），求cosβ的值．【考点】平面向量数量积的运算；向量的模；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】计算题．【分析】（1）利用向量的运算法则求出，利用向量模的平方等于向量的平方求出的平方，利用三角函数的平方关系将其化简，利用三角函数的有界性求出最值．（2）利用向量垂直的充要条件列出方程，利用两角差的余弦公式化简得到的等式，求出值．【解答】解：（1）=（cosβ﹣1，sinβ），则||2=（cosβ﹣1）2+sin2β=2（1﹣cosβ）．∵﹣1≤cosβ≤1，∴0≤||2≤4，即0≤||≤2．当cosβ=﹣1时，有|b+c|=2，所以向量的长度的最大值为2．（2）由（1）可得=（cosβ﹣1，sinβ），•（）=cosαcosβ+sinαsinβ﹣cosα=cos（α﹣β）﹣cosα．∵⊥（），∴•（）=0，即cos（α﹣β）=cosα．由α=，得cos（﹣β）=cos，即β﹣=2kπ±（k∈Z），∴β=2kπ+或β=2kπ，k∈Z，于是cosβ=0或cosβ=1．【点评】本题考查向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方、向量垂直的充要条件；三角函数的平方关系、三角函数的有界性、两角差的余弦公式．17．（14分）（xx春•洛阳期末）已知f（x）=是奇函数，g（x）=x2+nx+1为偶函数．（1）求m，n的值；（2）不等式3f（sinx）•g（sinx）＞g（cosx）﹣λ对任意x∈R恒成立，求实数λ的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．【专题】方程思想；转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数奇偶性的性质建立方程关系进行求解即可．（2）将不等式进行化简，利用参数分离法把不等式恒成立问题进行转化，求最值即可．【解答】解：（1）∵f（x）=是奇函数，∴f（0）=0，即f（0）=﹣m=0，则m=0，∵g（x）=x2+nx+1为偶函数．∴对称轴x=﹣=0，即n=0．（2）由（1）知f（x）=，g（x）=x2+1，则3f（sinx）•g（sinx）=（sin2x+1）=3sinx，则不等式3f（sinx）•g（sinx）＞g（cosx）﹣λ对任意x∈R恒成立，等价为不等式3sinx＞g（cosx）﹣λ=cos2x+1﹣λ对任意x∈R恒成立，即λ＞cos2x﹣3sinx+1恒成立，∵cos2x﹣3sinx+1=﹣（sinx+）2+∈[﹣2，4]，∴λ＞4，即实数λ的取值范围是（4，+∞）．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用以及不等式恒成立问题，利用参数分离法是解决不等式恒成立问题的常方法．18．（14分）（xx•玉溪三模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=bcosC ﹣csinB．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若点D为边AC的中点，BD=1，求△ABC面积的最大值．【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；转化法；解三角形；平面向量及应用．【分析】（Ⅰ）由正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换化简已知可得cosBsinC=﹣sinCsinB，又sinC≠0，从而可求tanB=﹣，结合B为三角形内角，即可得解B的值．（Ⅱ）由D为边AC的中点，可得2=+，两边平方，设||=c，||=a，可得4=a2+c2﹣ac，结合基本不等式的应用可得ac的最大值，利用三角形面积公式即可得解．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵a=bcosC﹣csinB，∴由正弦定理可得：sinA=sinBcosC﹣sinCsinB，∴sin（B+C）=sinBcosC﹣sinCsinB，∴sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC﹣sinCsinB，∴cosBsinC=﹣sinCsinB，又∵C为三角形内角，可得sinC≠0，∴tanB=﹣，又∵B为三角形内角，可得B=…（6分）（Ⅱ）如图，∵点D为边AC的中点，∴2=+，∴两边平方可得：4||2=||2+2||•||•cos∠ABC+||2，…（9分）又∵由（Ⅰ）知B=，设||=c，||=a，即：4=a2+c2﹣ac≥ac，（当且仅当a=c=2时等号成立），=acsin∠ABC=ac≤．∴S△ABC∴当且仅当a=c=2时，△ABC面积的最大值为．…（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，考查了平面向量及其应用，考查了基本不等式，三角形面积公式等知识在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．19．（14分）（xx•江西二模）已知函数f（x）=|x﹣2|（Ⅰ）解不等式；f（x）+f（2x+1）≥6；（Ⅱ）已知a+b=1（a，b＞0）．且对于∀x∈R，f（x﹣m）﹣f（﹣x）≤恒成立，求实数m 的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【专题】选作题；转化思想；综合法；不等式．【分析】（Ⅰ）根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论进行求解即可．（Ⅱ）利用1的代换，结合基本不等式先求出的最小值是9，然后利用绝对值不等式的性质进行转化求解即可．【解答】解：（Ⅰ），（2分）当时，由3﹣3x≥6，解得x≤﹣1；当时，x+1≥6不成立；当x＞2时，由3x﹣3≥6，解得x≥3．所以不等式f（x）≥6的解集为（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．…（Ⅱ）∵a+b=1（a，b＞0），∴（6分）∴对于∀x∈R，恒成立等价于：对∀x∈R，|x﹣2﹣m|﹣|﹣x﹣2|≤9，即[|x﹣2﹣m|﹣|﹣x﹣2|]max≤9（7分）∵|x﹣2﹣m|﹣|﹣x﹣2|≤|（x﹣2﹣m）﹣（x+2）|=|﹣4﹣m|∴﹣9≤m+4≤9，（9分）∴﹣13≤m≤5（10分）【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题，利用1的代换结合基本不等式，将不等式恒成立进行转化求解是解决本题的关键．20．（16分）（xx•宝山区校级模拟）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足=+．（Ⅰ）求证：A、B、C三点共线；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）已知A（1，cosx）、B（1+cosx，cosx），x∈[0，]，f（x）=•﹣（2m+）||的最小值为﹣，求实数m的值．【考点】三点共线；三角函数的最值．【专题】综合题；分类讨论．【分析】（Ⅰ）求证：A、B、C三点共线，可证由三点组成的两个向量共线，由题设条件不难得到；（II）由（Ⅰ）变形即可得到两向量模的比值；（Ⅲ）求出的解析式，判断其最值取到的位置，令其最小值为，由参数即可，【解答】解：（Ⅰ）由已知，即，∴∥．又∵、有公共点A，∴A，B，C三点共线．（3分）（Ⅱ）∵，∴=∴，∴．（6分）（Ⅲ）∵C为的定比分点，λ=2，∴，∴∵，∴cosx∈[0，1]（8分）当m＜0时，当cosx=0时，f（x）取最小值1与已知相矛盾；（9分）当0≤m≤1时，当cosx=m时，f（x）取最小值1﹣m2，得（舍）（10分）当m＞1时，当cosx=1时，f（x）取得最小值2﹣2m，得（11分）综上所述，为所求．（12分）【点评】本题考查三点共线的证明方法及三角函数的最值的运用向量与三角相结合，综合性较强，尤其本题中在判定最值时需要分类讨论的，对思考问题的严密性一个挑战．21．（16分）（xx春•成都校级期中）一房产商竞标得一块扇形OPQ地皮，其圆心角∠POQ=，半径为R=200m，房产商欲在此地皮上修建一栋平面图为矩形的商住楼，为使得地皮的使用率最大，准备了两种设计方案如图，方案一：矩形ABCD的一边AB在半径OP上，C在圆弧上，D在半径OQ；方案二：矩形EFGH的顶点在圆弧上，顶点G，H分别在两条半径上．请你通过计算，为房产商提供决策建议．【考点】在实际问题中建立三角函数模型．【专题】应用题；方程思想；综合法；三角函数的求值．【分析】分类讨论，按照方案一，二的要求进行讨论．方案一：连OC，设，设矩形ABCD的面积为y，则y=AB•BC，通过代入化简，由三角函数的最值确定的条件，可以得出答案；方案二：作∠POQ的平分线分别交EF，GH于点M，N，连OE．设，设矩形EFGH的面积为S，求出S的式子，由三角函数的性质求出最值．最后，比较二者最大值的大小，选出最大值即可得出答案．【解答】解：按方案一：如图，连OC，设，在Rt△OBC中，BC=Rsinx，OB=Rcosx，则DA=Rsinx在Rt△OAD中，，得，则，设矩形ABCD的面积为y，则y=AB•BC==sin（2x+）﹣，由得．所以当，即时．按方案二：如图作∠POQ的平分线分别交EF，GH于点M，N，连OE．设，在Rt△MOE中，ME=Rsinα，OM=Rcosα在Rt△ONH中，，得，则，设矩形EFGH的面积为S，则S=2ME•MN=2R2sinα（cosα﹣sinα）=R2（sin2α+cos2α﹣）=由，则，所以当，即时∵，即y max＞S max答：给房产商提出决策建议：选用方案一更好．【点评】本题考查学生的计算能力，考查学生的转化能力，以及运用三角知识进行求解实际问题的能力，属于中档题．22．（16分）（xx•湖北）已知函数f（x）=ax++c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1．（1）用a表示出b，c；（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求得切线的斜率，以及切点在函数f（x）的图象上，建立方程组，解之即可；（Ⅱ）先构造函数g（x）=f（x）﹣lnx=ax++1﹣2a﹣lnx，x∈[1，+∞），利用导数研究g（x）的最小值，讨论a的范围，分别进行求解即可求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ），则有，解得．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令g（x）=f（x）﹣lnx=ax++1﹣2a﹣lnx，x∈[1，+∞）则g（1）=0，（i）当，若，则g′（x）＜0，g（x）是减函数，所以g（x）＜g（1）=0，f（x）＞lnx，故f（x）≤lnx在[1，+∞）上恒不成立．（ii）时，若f（x）＞lnx，故当x≥1时，f（x）≥lnx综上所述，所求a的取值范围为【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数恒成立问题等基础题知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，分类讨论思想，属于基础题．23．（16分）（xx•桂林模拟）已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx（a∈R）．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=﹣．若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的最值及其几何意义；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）当a=2时求出f（1），切线斜率k=f′（1），利用点斜式即可求得切线方程；（2）求出函数定义域，分①当a≤0，②当a＞0两种情况讨论解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0即可；（3）存在一个x0∈[1，e]使得f（x0）＞g（x0），则ax0＞2lnx0，等价于，令，等价于“当x∈[1，e]时，a＞F（x）min”．利用导数易求其最小值．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），．（1）当a=2时，函数，f′（x）=，因为f（1）=0，f'（1）=2．所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0．（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．①当a≤0时，h（x）=ax2﹣2x+a＜0在（0，+∞）上恒成立，则f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递减．②当a＞0时，△=4﹣4a2，（ⅰ）若0＜a＜1，由f'（x）＞0，即h（x）＞0，得或；由f'（x）＜0，即h（x）＜0，得．所以函数f（x）的单调递增区间为和，单调递减区间为．（ⅱ）若a≥1，h（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，则f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递增．（3））因为存在一个x0∈[1，e]使得f（x0）＞g（x0），则ax0＞2lnx0，等价于．令，等价于“当x∈[1，e]时，a＞F（x）min”．对F（x）求导，得．因为当x∈[1，e]时，F'（x）≥0，所以F（x）在[1，e]上单调递增．所以F（x）min=F（1）=0，因此a＞0．【点评】本题考查导数的几何意义、导数研究函数单调性及求函数的最值问题，考查学生分析问题解决问题的能力，对于“能成立”问题及“恒成立”问题往往转化为函数最值解决．39179 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2021届安徽省蚌埠市高三上学期第一次质量监测数学(理)试题(解析版)

2021届安徽省蚌埠市高三上学期第一次质量监测数学（理）试题一、单选题1．设集合{}011A x x =≤-≤，{}0B =>，则A B =（）.A ．∅B ．(]1,2C ．[]1,2D ．()0,2【答案】B【解析】化简集合,A B ，再求A B 得到答案.【详解】[1,2]A =，(1,)B =+∞，则A B =(]1,2.故选：B. 【点睛】本题考查了解不等式，集合的交集运算，属于基础题. 2．已知复数1z i =-，则21z -=（）.A ．B ．5CD ．7【答案】A【解析】先利用复数代数形式的运算法则求出21z -，再根据复数的模的公式即可求出．【详解】因为1z i =-，所以()2211112z i i -=--=--，即21z -==故选：A ．【点睛】本题主要考查复数代数形式的运算法则的应用和复数的模的公式的应用，属于基础题． 3．若单位向量,a b 满足a b ⊥，向量c 满足()1a c b +⋅=，且向量,b c 的夹角为60︒，则c =（）.A ．12B ．2C D【答案】B【解析】由a b ⊥可得=0a b ⋅，利用向量数量积的运算律可求得c b ⋅，再由数量积的定义可得c ．【详解】a b ⊥，=0a b ∴⋅.()+==1a c b a b c b c b +⋅=⋅⋅⋅，1=cos6012c b c b c ︒∴⋅⋅⋅==，2c ∴=. 故选：B. 【点睛】本题考查向量的数量积，考查数量积的运算律，数量积与垂直的关系，掌握数量积的定义是解题关键． 4．函数()2lg 2xf x x x=-的图象大致为（）. A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数为偶函数，可排除A,D 选项，然后再求出函数在1x >上的单调性可选出答案. 【详解】由()2lg 2x f x x x =-，可得()()2lg 2xf x x f x x--=--= 所以函数()f x 为偶函数，可排除A,D 选项当1x >时，()()2lg 2x f x x x =-()()()()()32433112lg 22lg 2lg 22lg 2ln10ln1011x x x x x x x f x x x x '-+-⋅-⎡⎤⎣⎦'=-=-=当1x >时，()312lg 20ln10x x +->，所以()0f x '> 所以函数()f x 在()1+∞，上单调递增，故选：C 【点睛】本题考查根据函数的解析式选择图像，考查偶函数的应用，利用导函数判断函数的单调性，属于中档题.5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <，且5n S S ≥，则下列结论一定正确的是（）. A ．560a a ⋅≥ B ．560a a ⋅≤C ．460a a ⋅>D ．460a a ⋅<【答案】B【解析】根据5n S S ≥得到4565S S S S ≥⎧⎨≥⎩再逐项排除选项.【详解】根据已知可得4565S S S S ≥⎧⎨≥⎩，得5600a a ≤⎧⎨≥⎩，故B 正确，A 错误；若50a <,60a =，则C ，D 错误. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了等差数列前n 项和与n a 的关系，要有很好的推理能力.6．平面α的一条斜线AP 交平面α于P 点，过定点A 的直线l 与AP 垂直，且交平面α于M 点，则M 点的轨迹是（）. A ．一条直线 B ．一个圆C ．两条平行直线D ．两个同心圆【答案】A【解析】由过定点A 的直线l 与AP 垂直可知，直线l 绕点A 旋转形成一个平面，由此可知两平面的交线即为所求．【详解】解：如图，设直线l 与l '是其中两条任意的直线，则这两条相交直线确定一个平面β，且斜线AP β⊥，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知，过定点定点A 且与AP 垂直的直线都在平面β内， ∴M 点都在平面α与平面β的交线上，故选：A ．【点睛】本题主要考查空间中点、线、面的位置关系，考查空间想象能力，属于基础题． 7．防洪期间，要从6位志愿者中挑选5位去值班，每人值班一天，第一天1个人，第二天1个人，第三天1个人，第四天2个人，则满足要求的排法种数为（）. A ．90 B ．180 C ．360 D ．720【答案】C【解析】根据分步计数原理，可得11126543C C C C ,从而可得答案. 【详解】根据题意可得：11126543360C C C C =故选：C 【点睛】本题考查分步计数原理，考查组合数公式，关键是弄清楚选择的步骤，属于基础题.8．51(1)2x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为（） A ．-40 B ．40C ．-80D ．80【答案】A【解析】利用通项公式即可得出【详解】解：∵（2x ﹣1x）5的的展开式的通项公式： 55521551(2)(1)2rrr r r r r r C x T C x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,令5﹣2r ＝﹣1，或5﹣2r ＝0，解得r ＝3，r ＝52（舍去）． ∴（x +1）（2x ﹣1x）5的展开式中常数项：（﹣1）3×2235C ⨯＝﹣40．故选：A ．【点睛】本题考查了二项式定理的展开式的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 9．干支是天干（甲、乙、…、癸）和地支（子、丑、…、亥）的合称，“干支纪年法”是我国传统的纪年法.如图是查找公历某年所对应干支的程序框图.例如公元2041年，即输入2041N =，执行该程序框图，运行相应的程序，输出58x =，从干支表中查出对应的干支为辛酉.我国古代杰出数学家秦九韶出生于公元1208年，则该年所对应的干支为（）六十干支表（部分）567 89戊辰己巳庚午辛未壬申5657585960己未庚申辛酉壬戌癸亥A ．戊辰B ．辛未C ．已巳D ．庚申【答案】A【解析】输出1208N =，计算输出结果，查表可得结果.【详解】输入1208N =，1i =，第一次循环，120836011145x =--⨯=，2i =，60x ≤不成立；第二次循环，120836021085x =--⨯=，3i =，60x ≤不成立；第三次循环，120836031025x =--⨯=，4i =，60x ≤不成立；由上可知，每执行一次循环后，x 的值对应地在上一次循环后x 的值中减去60，则输出的x 的值为1205除60后的余数，120620605=⨯+，则输出的x 的值为5，因此，公元1208年对应的干支为戊辰.故选：A. 【点睛】本题考查数学文化中的“干支纪年法”，考查程序框图的应用，考查计算能力，属于中等题.10．设()1ln ,1x f x x x <<=≥，若()()e af a f =，则1()f a =（）.A ．1 BCD ．e【答案】C【解析】当01a <<时，由()()af a f e =，求得1a e =，得到1()f a=1a >时，由()()eaf a f =，得到ln a a =，设()ln ,(1)g x x x x =->，结合导数，得到方程ln a a =无解，即可求解.【详解】由题意，函数()1ln ,1x f x x x <<=≥，当01a <<时，可得11a>，1a e >，所以()()ln a af a f e e ====1a e =，所以1()f e a ==当1a >时，可得101a<<，1a e >，所以()(),ln a af a a f e e ===a =ln a a =，设()ln ,(1)g x x x x =->，则()110g x x'=-<，()g x 单调递减，且()110g =-<，方程()0g x =无实根，即方程ln a a =无解，综上可得，1()f a=故选：C. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及导数在函数中的应用，其中解答中根据函数的解析式，列出相应的方程，结合导数求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.11．将函数πcos 26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭图象上的点π,4G n ⎛⎫⎪⎝⎭向右平移m （0m >）个单位长度得到点G '，若G '位于函数sin 2y x =的图象上，则（）.A ．n =m的最小值为π3B ．12n =，m 的最小值为π3C ．n =m的最小值为π6D ．12n =，m 的最小值为π6【答案】D【解析】先将点G 的坐标直接代入函数πcos 26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，求得n ，再求得G '，再将G '的坐标直接代入函数sin 2y x =，再由0m >，求得m 的最小值，得到答案.【详解】将π,4G n ⎛⎫⎪⎝⎭代入πcos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭可得1cos()cos 2623n πππ=-==，即1(,)42G π， 1(,)42G π向右平移m （0m >个单位长度得到点G '1(,)42m π-在sin 2y x =的图象上，则1sin 2()42m π-=，得1cos 22m =，得223m k ππ=±，k Z ∈，得6m k ππ=±， k Z ∈，又0m >，故m 的最小值为6π.故选：D. 【点睛】本题考查了平移变换，诱导公式，三角函数性质的应用，属于中档题.12．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）上存在点M ，过点M 向圆222x y b +=做两条切线MA ，MB .若MA MB ⊥，则双曲线C 的离心率最小值为（）.A ．13B ．12C ．6 D ．62【答案】D【解析】根据题意可知四边形AOBM 是正方形，可求出2OM b =，根据OM a≥可得出22b a ≥，即可求出离心率范围. 【详解】如图，,MA MB 是圆的切线，,OA MA OB MB ∴⊥⊥，,MA MB OA OB b ⊥==，∴四边形AOBM 是正方形，2OM b ∴=，M 在双曲线上，2OM b a ∴=≥，即22b a ≥， 222216112c a b b e a a a +⎛⎫∴===+≥+= ⎪⎝⎭，双曲线C 6故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率范围的求解，属于中档题.二、填空题13．若实数x，y满足302301x yx yy++≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y=+的最小值为______.【答案】-2【解析】在坐标平面中画出不等式组对应的可行域，平移动直线20x y z+-=可得z的最小值.【详解】不等式组对应的可行域如图所示：由130yx y=⎧⎨++=⎩可得()4,1A-，当动直线过A点时，z最小且最小值为4212z=-+⨯=-，故答案为：2-.【点睛】本题考查利用线性规划求最值，注意平面区域的正确刻画，注意寻找目标函数的几何意义，本题属于基础题.14．数列{}n a的前N项和31nnS=-，若59ka a=，则k=______.【答案】7【解析】先由n S求出n a，再解方程59ka a=，得到答案.【详解】当1n=时，112a S==，当2n≥时，11(31)(31)n nn n na S S--=-=---123n-=⋅，当1n=时，01232a=⨯=，也符合式子，故123nna-=⋅，由59ka a=，则1423923k-⨯=⨯⨯，得1633k-=，得16k-=，得7k=.故答案为：7 【点睛】本题考查了n a 与n S 的关系，由n S 求n a ，属于基础题.15．已知椭圆C ：22221x y a b-=（0a b >>）的右焦点为()1,0F ，A ，B 为椭圆C 的左右顶点，且3AF FB =，则椭圆C 的方程为______.【答案】22143x y +=【解析】根据题意可知AF a c =+，FB a c =-，即可得到()3a c a c +=-，而1c =，即可解出2a =，再根据2223b a c =-=，进而写出椭圆C 的方程．【详解】因为AF a c =+，FB a c =-，所以()3a c a c +=-，而1c =，解得2a =，又2223b a c =-=，故椭圆C 的方程为22143x y +=．故答案为：22143x y +=．【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质的应用以及椭圆方程的求法，属于基础题． 16．如图，E ，F 分别是正方形ABCD 的边AB ，AD 的中点，把AEF ，CBE △，CFD △折起构成一个三棱锥P CEF -（A ，B ，D 重合于P 点），则三棱锥P CEF-的外接球与内切球的半径之比是______.【答案】6【解析】根据,,PC PE PF 两两垂直可知，三棱锥P CEF -的外接球也是以,,PC PE PF 为长，宽，高的长方体的外接球，即可求出其外接球半径，再根据等积法可求出其内切球的半径，从而得解．【详解】因为,,PC PE PF 两两垂直，所以三棱锥P CEF -的外接球也是以,,PC PE PF 为长，宽，高的长方体的外接球，设其外接球半径为R ，正方形边长为2，所以2PC =，1PE PF ==，即2R =R =．因为三棱锥P CEF -的表面积S 即为正方形的面积，22=4S =⨯，设其内切球的半径为r ，所以1111111232323P CEF V PE PF PC -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=，141333P CEF V Sr r -===，即14r =．因此，214Rr==故答案为：【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球和内切球的半径的求法，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．三、解答题17．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .且()()()sin sin sin b a B A c a C +-=-.（1）求B ；（2）若2b =，ABCABC 的周长. 【答案】（1）π3；（2）6. 【解析】（1）根据正弦定理角化边可得222a c b ac +-=，根据余弦定理可得1cos 2B =，可得π3B =；（2）利用三角形的面积公式可得4ac =，根据余弦定理可得228a c +=，配方可得4a c +=，进而可求得三角形的周长.【详解】（1）由正弦定理得：()()()b a b a c a c +-=-，即222a c b ac +-=，由余弦定理可得：1cos 2B = ∵()0,πB ∈，∴π3B =. （2）∵11sin 22ABC S ac B ac ===△4ac =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得2222cos a c ac B b +=+，得228a c +=，即()228a c ac +-=，∴4a c +=， ∴ABC 的周长为6. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，属于基础题.18．中国网络教育快速发展以来，中学生的学习方式发生了巨大转变.近年来，网络在线学习已成为重要的学习方式之一.为了解某学校上个月K ，L 两种网络学习方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人进行调查，发现K ，L 两种学习方式都不使用的有15人，仅使用K 和仅使用L 的学生的学习时间分布情况如下：（1）用这100人使用K ，L 两种学习方式的频率来代替概率，从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月K ，L 两种学习方式都使用的概率；（2）以频率代替概率从全校仅使用K 和仅使用L 的学生中各随机抽取2人，以X 表示这4人当中上个月学习时间大于10小时的人数，求X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）15；（2）分布列见解析，() 1.8E X =. 【解析】（1）由题意可知，两种学习方式都使用的人数为：10030351520---=人，利用古典概率的公式可求出答案.（2）先求出学习时间在各个时段的人数的比例，由X 可能的取值为0，1，2，3，4，再求出对应的概率，列出分布列，求出期望.【详解】（1）记：该学生上个月K ，L 两种学习方式都使用为事件A .由题意可知，两种学习方式都使用的人数为：10030351520---=人，该学生上个月K ，L 两种学习方式都使用的概率()2011005P A ==. （2）由题意可知，仅使用K 学习方式的学生中，学习时间不大于10小时的人数占12，时间大于10小时的人数占12，仅使用L 学习方式的学生中，学习时间不大于10小时的人数占35，时间大于10小时的人数占25，X 可能的取值为0，1，2，3，4. ()22139025100P X ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()222131323031222525510010P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅+⋅⋅⋅== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()222221313212372222525525100P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅+⋅⋅⋅⨯+⋅=⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()222132122001322255251005P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅+⋅⋅== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()22124142510025P X ⎛⎫⎛⎫==⋅==⎪⎪⎝⎭⎝⎭. ∴X 的分布列：数学期望()93371101234 1.810010100525E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查古典概率的求法和离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题. 19．如图，在棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，60ABC ∠=︒，2AD =，14AB AA ==，F 是AD 的中点，且1C 在底面上的投影E 恰为CD 的中点.（1）求证：AD ⊥平面1C EF ；（2）若点M 满足111C M C D λ=，试求λ的值，使二面角M EF C --为135︒. 【答案】（1）证明见解析；（2）3λ=【解析】（1）分别连结FE ，1FC ，根据题意可知1C E ⊥平面ABCD ，可得1C E AD ⊥，根据勾股定理可证得EF AD ⊥，再根据线面垂直的判定定理即可证出AD ⊥平面1C EF ；（2）根据题意可证得EA EB ⊥，因此分别以EA ，EB ，1EC 的方向为x ，y ，z ，轴的正方向建立空间直角坐标系E xyz -，分别求出平面CEF 和平面MEF 的一个法向量，再根据二面角的向量公式即可列出等式，解出λ的值．【详解】（1）分别连结FE ，1FC .在△FED 中，1,2,60DF DE ADC ==∠=，于是222cos603EF DF DE DE DF +-⋅⋅︒，∴222DF EF DE +=，因此90EFD ∠=︒，即EF AD ⊥，∵1C 在底面上的投影E 恰为CD 的中点，∴1C E ⊥平面ABCD ，又AD ⊂平面ABCD ，∴1C E AD ⊥，又EF AD ⊥，1EF C E E =，EF ，1C E ⊂平面1C EF ，∴AD ⊥平面1C EF .（2）连结EA ，EB ，在平行四边形ABCD 中，∵2AD DE EC BC ====，60EDA ∠=︒，120BCE ∠=︒， ∴30CEB ∠=︒，60DEA ∠=︒，故90AEB =︒∠，即EA EB ⊥，分别以EA ，EB ，1EC 的方向为x ，y ，z ，轴的正方向建立空间直角坐标系E xyz -，如图所示：()0,0,0E ，(10,0,23C ，()3,0C -，()1,3,0D -，(12,23,23D -，33,2F ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，33,2EF ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭， ()()1112,23,02,23,0C M C D λλλλ==-=， (112,233EM EC C M λλ=+=-，易得平面CEF 的一个法向量为()0,0,1m =，设(),,n x y z =为平面MEF 的一个法向量，则：00n EF n EM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即30223230x y x y z λλ-=-+=⎪⎩，令3x =()3,3,2n λ=，∵二面角M EF C --为135︒，∴cos ,cos135m n <=︒，即22m nm n⋅=-⋅2222124λλ=+，即23λ=，又∵二面角M EF C --的大小为钝角，∴3λ=【点睛】本题主要考查线面垂直判定定理的应用，以及利用向量法解决和二面角有关的问题，意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题．20．已知抛物线()2:20C y px p =>，过抛物线C 的焦点F 且垂直于x 轴的直线交抛物线C 于,P Q 两点，4PQ =.（1）求抛物线C 的方程，并求其焦点F 的坐标和准线l 的方程；（2）过抛物线C 的焦点F 的直线与抛物线C 交于不同的两点,A B ，直线OA 与准线l 交于点M .连接MF ，过点F 作MF 的垂线与准线l 交于点N .求证：,,O B N 三点共线.【答案】（1）抛物线C 的方程为24y x =，焦点F 坐标为()1,0，准线l 方程为1x =-（2）证明见解析【解析】（1）根据抛物线通径的性质，得出2p =，即可求出抛物线的标准方程，即可得出焦点坐标和准线方程；（2）根据题意，设直线:1AB x ty =+，与抛物线方程联立，求出则124y y t +=，124y y =-，通过直线相交分别求出141,M y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭和()11,N y -，从而求出1ON k y =-和24OB k y =，通过化简求出0OB ON k k -=，即可证出,,O B N 三点共线. 【详解】解：（1）24PQ p ==，则2p =，故抛物线C 的方程为：24y x =，其焦点F 坐标为()1,0，准线l 方程为：1x =- （2）设直线:1AB x ty =+，联立214x ty y x=+⎧⎨=⎩，得2440y ty --=，则216160t =+>△，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y t +=，124y y =-. 法1：直线11:y OA y x x =，由2114y x =得14y x y =，故点141,M y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，直线MF 的斜率1140211MFy k y --==--，则直线FN 的斜率12FN y k =-，直线()1:12y FN y x =--，则点()11,N y - 直线ON 的斜率1ON k y =-. 直线OB 的斜率22OB y k x =，由2224y x =得24OBk y =，则()12122244440OB ON y y k k y y y y +--=--===，所以,,O B N 三点共线. 法2：直线11:y OA y x x =，由2114y x =得14y x y =，故点141,M y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由124y y =-，得()21,M y -. 直线MF 的斜率220112MF y yk -==---，直线()22:1FN y x y =-，得点241,N y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由124y y =-，得()11,N y -. 直线ON 的斜率1ON k y =-.直线OB 的斜率22OB y k x =，由2224y x =得24OBk y =，由124y y =-，得1OB k y =-，则有OB ON k k =.所以,,O B N 三点共线.法3：（1）∵4PQ =，∴2PF =，∴22OF =，∴1OF =，2p =， ∴抛物线C 的标准方程为：24y x =，则焦点坐标为：()1,0F ，准线方程为：:1l x =-. （2）设直线:1AB x ty =+，联立得：2440y ty --=，212121616044t y y ty y ⎧∆=+>⎪+=⎨⎪=-⎩，设()11,A x y ，()22,B x y ， ∴直线11:y AO y x x =，当1x =-时，11y y x =-，∴111,y M x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∴112MF y k x =，∴1121FN MF x k k y =-=-，∴直线()112:1x FN y x y =--，当1x =-时，114x y y =，∴1141,x N y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴114NO x k y =-，22BO y k x =， ∴21214BO NO y x k k x y -=+ ()()1212121221214114y y y y y y x x x y x y ++++++==()()12122142144y y y y x y ++++++=()22442116240x y -+++++==，∴BO NO k k =， ∴,,B O N 共线. 【点睛】本题考查抛物线的标准方程和简单几何性质，以及直线与抛物线的位置关系，通过联立方程组，韦达定理，利用直线斜率的关系证明三点共线，考查转化思想和计算能力. 21．已知函数()()tan f x x ax x =-，ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. （1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）若0x =是函数()f x 的极大值点，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）递增区间为π,02⎛⎫-⎪⎝⎭，递减区间为π0,2⎛⎫⎪⎝⎭；（2）1a ≤.【解析】（1）求出()f x 的导数，根据导数的正负即可判断单调性；（2）令()tan g x ax x =-，求出()g x 的导数，讨论()g x 的单调性，即可判断出极大值点，从而求出a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =时，()2sin cos x xf x x x=-， ∴()()2212tan 1tan cos cos x f x x x x x x x x ⎛⎫'=--=-+- ⎪⎝⎭，令()tan u x x x =-，则()2110cos u x x '=-≤，()u x 在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减， ∵()00u =，∴π,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0u x >，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0u x <.当π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2110cos x x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，tan 0x x ->，∴()0f x '>，()f x 单调递增，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2110cos x x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，tan 0x x -<，∴()0f x '<，()f x 单调递减，综上，()f x 的单调递增区间为π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间为π0,2⎛⎫⎪⎝⎭.（2）令()tan g x ax x =-，则()()f x xg x =，()21cos g x a x'=-，()()()f x xg x g x ''=+，当1a ≤，ππ,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0g x '≤，()g x 单调递减， ∴π,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()00g x g >=，()0xg x '≥，∴()0f x '>，即()f x 在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()00g x g x <=，()0xg x '≤，∴()0f x '<，即()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故0x =是函数()f x 的极大值点，1a ≤满足题意；当1a >时，存在π0,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得cos t ，即()0g t '=，又()21cos g x a x '=-在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，∴()0,x t ∈时，()()00g x g >=， ∴()()0f x xg x =>，这与0x =是函数()f x 的极大值点矛盾. 综上，1a ≤. 【点睛】本题考查利用导数讨论函数的单调性，考查已知极值点求参数范围，属于较难题. 22．在极坐标系中，已知15π,6A ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线l ：sin 2ρθ⋅=上，点2π,3B ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭在圆C ：4cos ρθ=上（其中0ρ≥，[)0,2πθ∈）.（1）求AB ；（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标.【答案】（1）AB =（2）π4⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】（1）直接把15π,6A ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2π,3B ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭点坐标代入相应表达式可得1ρ，2ρ，由5πππ632-=可得OA OB ⊥，利用勾股定理即可得；（2）联立方程组可直接求出公共点坐标.【详解】（1）∵15π,6A ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线l ：sin 2ρθ⋅=上，∴15πsin 26ρ⋅=，解得14ρ=， ∵点2π,3B ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭在圆C ：4cos ρθ=上，∴2π4cos 3ρ=，解得22ρ=， ∵5πππ632-=，∴OA OB ⊥，∴AB == （2）由直线l 与圆C 的方程联立得，得sin 24cos ρθρθ⋅=⎧⎨=⎩，故sin 21θ=， 0ρ≥，[)0,2πθ∈， ∴π22θ=，∴π4θ=，∴π4cos 4ρ=⨯=∴公共点的极坐标为π4⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点晴】此题考极坐标的应用，关键是弄清楚极坐标两个坐标的几何意义.23．已知函数()21f x x a x a =-+-+. （1）当1a =时，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若()3f x ≥，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{1x x ≤-或}2x ≥；（2）{1a a ≤-或}2a ≥. 【解析】（1）由1a =时，()21,011,0121,1x x f x x x x x x -+≤⎧⎪=-+=<<⎨⎪-≥⎩，然后分0x ≤，01x <<，1≥x 三种情况讨论求解.（2）利用绝对值三解不等式得到()f x ≥21a a -+，再根据()3f x ≥恒成立求解.【详解】（1）当1a =时，()21,011,0121,1x x f x x x x x x -+≤⎧⎪=-+=<<⎨⎪-≥⎩，∴当0x ≤时，不等式()3f x ≥化为213x -+≥，即1x ≤-，当01x <<时，不等式()3f x ≥化为13≥，此时无解，当1≥x 时，不等式()3f x ≥化为213x -≥，即2x ≥，综上，当1a =时，不等式()3f x ≥的解集为{1x x ≤-或}2x ≥.（2）()()()2211f x x a x a x a x a =-+-+≥---+2211a a a a =-+=-+. 当212a a x +-=时，()2min 1f x a a =-+，又()3f x ≥，213a a -+≥，即220a a --≥，解得2a ≥或1a ≤-.综上，若()3f x ≥，则a 的取值范围是{1a a ≤-或}2a ≥.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三解不等式的应用以及不等式恒成立问题，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.。

安徽省蚌埠市2021届高三数学上学期第一次教学质量检查考试试题理（含解析）

又，所以，解得．
故而可得椭圆的标准方程为：．
〔2〕假设直线的斜率不存在，那么直线的方程为，
此时直线与椭圆相切，不符合题意．
设直线的方程为，即，
联立，得．
设，，那么
所以为定值，且定值为-1．
【点睛】此题主要考察椭圆标准方程的求法，考察直线与圆锥曲线位置关系，考察一元二次方程根与系数关系.椭圆标准方程的参数有两个，要肯定这两个参数，需要有两个条件，结合恒等式，列方程组来求的椭圆的标准方程.考察直线和圆锥曲线位置关系，要注意直线斜率不存在的情况.
21. 函数，〔其中为自然对数的底数，〕.
〔1〕假设函数的图象与函数的图象相切于处，求的值；
〔2〕当时，假设不等式恒成立，求的最小值.
【答案】(1) ，〔2〕
【解析】【试题分析】〔1〕依题意求得切点为，斜率为，由此列方程组可求得的值.〔2〕将原不等式等价变形为，构造函数，利用导数求得的最大值为，由此求得的最小值.
【答案】
【解析】由于三角形为直角三角形，而，即为中点，设，而，故，代入抛物线方程得，即点的纵坐标为 .
【点睛】此题主要考察直线和抛物线的位置关系，考察直角三角形斜边的中线等于斜边一半这一几何性质.首先按照题目所给的条件画出图像，冲破口就在题目所给条件，这就联想到直角三角形斜边中线等于斜边一半这一几何性质，可得是的中点，设出坐标，代入抛物线方程即可取得所求的结果.
A. 充分没必要要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也没必要要条件
【答案】B
5. 等差数列的前项和为，且知足，，那么〔〕
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

安徽省蚌埠市高三上学期第一次教学质量检查考试数学(理)试题Word版含答案

蚌埠市2018届高三年级第一次教学质量检查考试数学（理工类）第Ⅰ卷（共60一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1）A2）A．3 B．5 C3）A．-3 B．0 C．-4 D．14．）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5）A．4 B．5 C．6 D．76）A7 ） A ．18 B ．24 C ．36 D ．568．在“ ”中应填的执行语句是（）A ．2018n i =-B 9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积可能为（）A ．43π+B ．π10．）A11）A12.）A．4 B．3 C．2 D．1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）1314．.的值为．15点的纵坐标为．16三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（1（2.18．（1（260.19．为监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10件零件，度量其内径尺寸（单位：.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生（110（2）某天正常工作的一条生产线数据记录的茎叶图如下图所示：②一家公司引进了一条这种生产线，为了检查这条生产线是否正常，用这条生产线试生产了5：85,95,103,109,119，试问此条生产线是否需要进一步调试，为什么？20．（1（2.21．. （1（2.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程数）.（1（223．选修4-5：不等式选讲（1（2.蚌埠市2018届高三年级第一次教学质量检查考试数学（理工类）参考答案及评分标准一、选择题1-5:ADABB 6-10:ABAAC 11、12：BD二、填空题13三、解答题17．解：（1（218．解：（1（2令1AP AB AD ===60°，所以，90°．19．解：（1）由题意知：（2②结论：需要进一步调试．0.0026 生产线异常，需要进一步调试．20．解：（1（2此时直线与椭圆相切，不符合题意．-1．21．解：（1（过程略）（2（△）22．解：（1（223．解：（1（2。

2021年高三上学期9月质量检测考试数学(理)试题含答案

2021年高三上学期9月质量检测考试数学（理）试题含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.5．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为（）A ．B ．C ．D ．6、若正数满足,则的最小值是（）A ．B ．5C ．D ．67．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．8－2πB ．8－π2C ．8－πD ．8－π48、将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1,2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有( ) A ．52种 B ．36种 C ． 20种 D ．10种 9、在△ABC 中，内角的对边分别是，若，，则（）A ．B ．C ．D ．10．执行如右图的程序框图，若输出的，则输入的值可以为( ) A ． B ． C ． D ．11．二项式展开式中含有项，则可能的取值是（）A ．8B ．7C ．6D ．512．设函数在上存在导数，，有，在上，若，则实数的取值范围为（） A ． B ． C ． D ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题～第21题为必考题，每个考生都必须做答。

第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13. 若函数f (x )=为偶函数，则=14. 一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 . 15.若满足约束条件：；则的取值范围为16. 是定义在R 上的函数，且，，，则．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）已知数列满足，，．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求．.18.（本小题满分１2分）如图，在长方体中，==1，，点E 是线段AB 的中点．(1)求证：;(2)求二面角的大小的余弦值．19．名同学的语文、英语成绩如下表所示：（第10题图）BA 1CD B 1C 1D 1E（1）根据表中数据，求英语分y 对语文分x 的线性回归方程；（2）要从4名语文成绩在90分（含90分）以上的同学中选出2名参加一项活动，以表示选中的同学的英语成绩高于90分的人数，求随机变量的分布列及数学期望．（线性回归方程中，，，其中为样本平均值，，的值的结果保留二位小数.）20．(本小题满分12分) 已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1()a >b >0的右焦点与抛物线C 2：y 2＝4x 的焦点F 重合，椭圆C 1与抛物线C 2在第一象限的交点为P ，||PF ＝53．(1)求椭圆C 1的方程；(2)过点A ()－1，0的直线与椭圆C 1相交于M 、N 两点，求使FM →＋FN →＝FR →成立的动点R 的轨迹方程．21. （本小题满分12分）已知函数，其中a 为常数，且．（1）当时，求的单调区间；（2）若在处取得极值，且在上的最大值为，求a 的值.选做题：请考生从第22、23、24题中任选一题做答，并按要求在答题卷上注明题号．多答按所答的首题进行评分．22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲。