10,4线段垂直平分线(2)
高中数学中的平分线与垂直平分线
高中数学中的平分线与垂直平分线在高中数学中，平分线和垂直平分线是两个重要的概念。
它们在几何学中起着至关重要的作用，帮助我们解决各种问题。
本文将深入探讨平分线和垂直平分线的定义、性质和应用。
1. 平分线的定义和性质平分线是指将一条线段分成两个相等部分的线。
具体来说，如果一条线段AB上存在一条线段CD，使得AC=CB，则CD就是线段AB的平分线。
平分线还有以下性质：（1）平分线垂直于线段：如果一条线段有一条平分线，那么这条平分线一定垂直于该线段。
这是平分线的基本性质之一，也是我们常用的判断方法。
（2）平分线上的点到两个端点的距离相等：对于线段AB上的平分线CD，点C和点D到端点A和B的距离相等，即AC=BC。
（3）平分线上的点到线段的距离相等：对于线段AB上的平分线CD，点C和点D到线段AB的距离相等。
这个性质在解决一些几何问题时非常有用。
2. 垂直平分线的定义和性质垂直平分线是指将一条线段垂直分成两个相等部分的线。
具体来说，如果一条线段AB上存在一条线段CD，使得CD垂直于线段AB，并且AC=CB，则CD就是线段AB的垂直平分线。
垂直平分线还有以下性质：（1）垂直平分线上的点到两个端点的距离相等：对于线段AB上的垂直平分线CD，点C和点D到端点A和B的距离相等，即AC=BC。
（2）垂直平分线上的点到线段的距离相等：对于线段AB上的垂直平分线CD，点C和点D到线段AB的距离相等。
这个性质同样在解决几何问题时非常有用。
3. 平分线和垂直平分线的应用平分线和垂直平分线在几何学中有着广泛的应用。
它们可以用来解决线段的等分问题、角的平分问题以及证明几何定理等。
（1）线段的等分问题：当我们需要将一条线段等分成若干个相等的部分时，可以利用平分线来实现。
通过在线段上找到适当的点，连接这些点并构造平分线，就可以将线段等分。
（2）角的平分问题：平分线和垂直平分线也可以用来解决角的平分问题。
如果我们需要将一个角等分成两个相等的角，可以通过构造平分线或垂直平分线来实现。
线段的垂直平分线(二)
02 垂直平分线的作法
利用直角三角形的性质作垂直平分线
直角三角形斜边的中线等于斜 边的一半。
直角三角形斜边的中线也是斜 边上的高。
直角三角形斜边的中线将直角 三角形分为两个等腰三角形。
利用等腰三角形的性质作垂直平分线
等腰三角形底边上的中点到两腰的距 离相等。
垂直平分线上的任意 一点到线段两端点的 距离相等。
垂直平分线是唯一的， 即一条线段只有一条 垂直平分线。
垂直平分线与线段垂 直，且与线段相交于 中点。
垂直平分线的判定
如果一条直线通过线段的中点，并且与线段垂直，那么这条直线就是线段的垂直平 分线。
如果一条直线上的任意一点到线段两端点的距离相等，那么这条直线就是线段的垂 直平分线。
1 2
确定点与线段的位置关系
通过垂直平分线，可以确定一个点是否在线段的 中垂线上，从而确定该点与线段的位置关系。
证明三角形等腰
如果一个三角形两边上的中点在同一条垂直平分 线上，则这个三角形是等腰三角形。
3
计算线段长度
利用垂直平分线性质，可以计算线段的长度。
在日常生活中的应用
01
02
03
确定物体位置
在几何证明和作图中有重要应用， 如利用角的平分线作平行线。
平行线的性质与判定
性质
平行线具有同位角相等、内错角 相等、同旁内角互补等性质。
判定
平行线的判定包括同位角相等、 内错角相等、同旁内角互补等条
件。
应用
在几何证明和作图中有重要应用， 如利用平行线的性质证明线段的
比例关系。
三角形的高、中线与角平分线
青岛版数学八年级上册《线段的垂直平分线的性质和判定定理》说课稿2
青岛版数学八年级上册《线段的垂直平分线的性质和判定定理》说课稿2一. 教材分析《线段的垂直平分线的性质和判定定理》是青岛版数学八年级上册的一章内容。
本节课的主要内容是让学生掌握线段的垂直平分线的性质和判定定理。
教材通过引入线段的垂直平分线，让学生了解其在几何中的应用，进一步培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了线段的基本概念，如线段的性质、线段的和差等。
同时，学生也学习了几何图形的对称性，对轴对称有一定的了解。
因此，学生在学习本节课的内容时，可以借助已有的知识体系，更好地理解和掌握线段的垂直平分线的性质和判定定理。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握线段的垂直平分线的性质和判定定理，能够运用这些性质和定理解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、推理等方法，让学生体验几何推理的过程，培养学生的逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，使学生在学习过程中获得成就感。
四. 说教学重难点1.教学重点：线段的垂直平分线的性质和判定定理。
2.教学难点：如何引导学生理解和运用线段的垂直平分线的性质和判定定理。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、小组讨论法等，引导学生主动探究、合作学习。
2.教学手段：利用多媒体课件、几何画板等软件，直观展示线段的垂直平分线的性质和判定定理。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引发学生对线段的垂直平分线的思考，激发学生的学习兴趣。
2.探究线段的垂直平分线的性质：引导学生观察、分析几何图形，发现线段的垂直平分线的性质。
3.推理判定定理：让学生通过小组讨论，共同探索线段的垂直平分线的判定定理。
4.巩固练习：设计一些具有针对性的练习题，让学生运用所学知识解决问题。
5.课堂小结：对本节课的内容进行总结，强调线段的垂直平分线的性质和判定定理。
北师大版八年级下册线段的垂直平分线(第2课时)课件
第一章 三角形的证明
1.3线段的垂直平分线（第2课时）
学习目标
1.掌握和证明三角形的三条边的垂直平分线的性 质定理。（重点） 2.已知底边和底边上的高，能用尺规作等腰三角 形。（难点）
知识回顾
用尺规作线段的垂直平分线.
已知:线段AB,（如图）. 求作:线段AB的垂直平分线.
作法： 1.分别以点A和B为圆心,以大于 AB 长为半径作弧,两弧交于点C和D. 2
6.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形
的外部，那么，这个三角形是（ C ）
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形
7.底边AB=a的等腰三角形有___无__数____个，符合条件 的顶点C在线段AB的__垂__直__平__分__线____上．
8.①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相
如图,在△ABC中,
∵c,a,b分别是AB,BC,AC的垂直平分线
c
∴c,a,b相交于一点P,且PA=PB=PC
B
aA b
P C
合作探究
分别作出直角三角形、锐角三角形、钝 角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在 什么位置.
锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内； 直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上； 钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外。
等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；
③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB
外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平
分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.
正确的有（ A ）
A.1个 B.2个
C.3个
D.4个
9.在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与边AC所 在的直线相交所成锐角为50°，△ABC的底角∠B 的大小为___2_0°_或__7_0_°__
1.3.2 线段的垂直平分线 教案 2021—2022学年北师大版八年级数学下册
课题 1.3线段的垂直平分线（二）学习目标1.能够证明三角形三边垂直平分线交于一点2.经历猜想、探索，能够作出符合条件的三角形．3.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．体验解决问题的方法，发展实践能力和创新意识．重点难点重点：用尺规作已知线段垂直平分线难点：已知底边及底边上的高求作等腰三角形教法选择分组讨论法、讲练结合法课型新授课前准备课件是否采用多媒体是教学时数2课时教学时数第 2 课时备课总数第课时教学设计思路及其意图本课时运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题，主要内容包括：证明“三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离等”；已知底边及底边上的高，用尺规作等腰三角形；用尺规过一点作已知直线的垂线。
这些内容都是重要的几何知识，让学生经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明的意识和能力，让学生收货解决问题的方法和意识。
课堂教学过程设计教学内容教师活动学生活动一、情境引入：1.剪一个三角形纸片通过折叠找出每条边的垂直平分线.2.观察这三条垂直平分线,你发现了什么?二、知识点链接：1、已知线段AB及一点P，PA=PB=3cm，则点P在_______上.2、如果P是线段AB的垂直平分线上一点，且PB=6cm，则PA=__________cm.3、如图（1），P是线段AB垂直平分线上一点，M为线段AB 上异于A，B的点，则PA，PB，PM的大小关系是PA__________PB__________PM.4、如图（2），在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC交BC于D，则点D在____（1）（2）三、自学导读1、先把课本P24____P26通读一遍。
2、已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点O，连接AO，BO，CO．求证：O点在AC的垂直平分线上且OA=OB=OC．学生亲历知识的发生和发展过程.学生进行折纸活动，并思考和发现结论.结论:三角形三条边的垂直平分线相交于一点.学生思考问题，并积极讨论.主备人：备课组长签字：四、议一议： 1、已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能作几个？所作的三角形都全等吗？（这样的三角形能作出无数多个，它们不都全等） 2、已知等腰三角形底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？（满足条件的等腰三角形可和出两个，分加位于已知边的两侧，它们全等）。
八年级数学上人教版《线段垂直平分线的性质》教案
《线段垂直平分线的性质》教案
一、教学目标
1.理解线段垂直平分线的性质及其逆定理，并能用其进行相关命题的判断。
2.能掌握尺规作图法作线段垂直平分线的基本步骤。
3.培养学生对几何问题的推理论证和探究能力。
4.培养学生良好的学习习惯和合作意识。
二、教学重点
线段垂直平分线的性质及其逆定理的理解与应用。
三、教学难点
对线段垂直平分线性质的理解以及应用其进行尺规作图。
四、教学准备
1.教师准备：教学PPT，黑板，直尺，圆规。
2.学生准备：直尺，圆规，铅笔，纸。
五、教学过程
1.导入新课：复习上节课所学的线段垂直平分线的定义和性质。
2.新课学习：
（1）给出线段垂直平分线的性质及其逆定理，让学生通过小组讨论理解并掌握。
（2）通过实例让学生掌握如何用尺规作图法作线段垂直平分线。
（3）让学生自主完成课本上的例题和练习题，并小组讨论解答。
3.课堂小结：让学生总结本节课所学内容，教师进行补充和总结。
4.布置作业：课后练习题及补充题。
5.教学反思：根据学生的掌握情况，对教学方法和进度进行调整。
北师大版八年级数学下册 线段的垂直平分线---知识讲解(基础) 含答案解析
线段的垂直平分线----知识讲解(基础)责编：杜少波【学习目标】1.掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．2.会证明三角形的三条中垂线必交于一点.掌握三角形的外心性质定理.3.已知底边和底边上的高，求作等腰三角形.4.能运用线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题及实际问题．【要点梳理】要点一、线段的垂直平分线1.定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．2.线段垂直平分线的做法求作线段AB 的垂直平分线.作法：（1）分别以点A ，B 为圆心，以大于21AB 的长为半径作弧，两弧相交于C ，D 两点； （2）作直线CD ，CD 即为所求直线．要点诠释：(1)作弧时的半径必须大于21AB 的长，否则就不能得到两弧的交点了． (2)线段的垂直平分线的实质是一条直线.要点二、线段的垂直平分线定理线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 要点诠释：线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件．要点三、线段的垂直平分线逆定理线段的垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 要点诠释：到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合．要点四、三角形的外心三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.要点诠释:1.三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点），该点即为三角形外接圆的圆心.2.锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合.3.外心到三顶点的距离相等.要点五、尺规作图作图题是初中数学中不可缺少的一类试题，它要求写出“已知，求作，作法和画图”，画图必须保留痕迹，在现行的教材里，一般不要求写出作法，但是必须保留痕迹.证明过程一般不用写出来.最后要点题即“xxx即为所求”.【典型例题】类型一、线段的垂直平分线定理1、如图，△ABC中AC＞BC，边AB的垂直平分线与AC交于点D，已知AC=5，BC=4，则△BCD的周长是（）A．9 B．8 C．7 D．6【思路点拨】先根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，即AD+CD=BD+CD=AC，再根据△BCD 的周长=BC+BD+CD即可进行解答．【答案】A；【解析】因为BD=AD,所以△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=5+4=9.【总结升华】此题正是应用了线段垂直平分线的性质定理，也就是已知直线是线段垂直平分线，那么垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，从而把三角形的边进行转移，进而求得三角形的周长．举一反三：【变式1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论错误的是（）A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB+BCC．AD=BD=BC D．点D是线段AC的中点【答案】D；提示:根据等边对等角、三角形内角和定理及线段垂直平分线的性质定理即可推得选项A、B、C正确；所以选D,另外，注意排除法在解选择题中的应用．【变式2】（2015秋•江阴市校级月考）如图，△ABC中，BC=7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．求△AEG的周长．【答案】解：∵DE为AB的中垂线，∴AE=BE，∵FG是AC的中垂线，∴AG=GC，△AEG的周长等于AE+EG+GA，分别将AE和AG用BE和GC代替得：△AEG的周长等于BE+EG+GC=BC，所以△AEG的周长为BC的长度即7．类型二、线段的垂直平分线的逆定理2、如图，已知AB=AC,∠ABD=∠ACD，求证：AD是线段BC的垂直平分线．A【答案与解析】证明：∵ AB=AC（已知）∴∠ABC=∠ACB (等边对等角)又∵∠ABD=∠ACD (已知)∴∠ABD-∠ABC =∠ACD-∠ACB (等式性质)即∠DBC=∠DCB∴DB=DC （等角对等边）∵AB=AC（已知）DB=DC（已证）∴点A和点D都在线段BC的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）∴AD是线段BC的垂直平分线。
线段的垂直平分线二
第二课时
育才寄宿制学校
方丽生
线段垂直平分线定理：
线段垂直平分线上的 点与这条线段两个端 点的 距离相等
反过来，如果PA＝PB，
那么点P是否在线段AB的垂 P 直平分线上？ A
B
通过探究我们可以得到 定理： 与一条线段两个端点距 离相等的点，在这条线 段的垂直平分线上
数学语言：
B D
E
O C
A
如下图△ABC中， AC=16cm，AB的垂直平 A 分线交AB于D,交AC于E， △BCE的周长为26cm，D 求BC的长。 B
E
C
已知：P为MON内一点。P与A关于ON对称， P与B关于OM对称。若AB长为15cm 求：PCD的周长.
N
解: P与A关于ON对称 ON为PA的中垂线（
A M
O
B
N
如图：请找出一点P，使点P到A， B两点的距离相等，并且点P在 ∠ACB的平分线上。
A
B C
4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90， DE是AB的垂直平分线，连接AE， ∠CAE：∠DAE=1：2，求∠B的度数。 E
C
B
D
A
• 如图，E为∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足 分别为C，D。求证：OE为CD的垂直平分线。
（1）分别以A、B为圆心，
C
以大于 AB的长为半径 做弧，两弧相交于C、D 1 两点。 2
B
A
（2）作直线CD，CD即 为所求的直线
D
（1）分别以A、B为圆心，以大于 1 2 AB的长为半径做弧，两弧相交于C点。 （2）分别以A、B为圆心，以大于 1 2 AB且不等于AC的长为半径做弧，两 弧相交于D点。
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东平县初中数学
精讲点拨
例2 求证：三角形三条边的垂直平分线相 交于一点，并且这一点到三个顶点△ABC中，边AB,BC的垂直
平分线相交于点P. 求证:点P在边AC的垂直平分线上， 且PA=PB=PC.
东平县初中数学
议一议
（1）已知三角形的一条边及这条边上的高， 你能作出三角形吗？如果能，能作几个？ 所作出的三角形都全等吗？ （2）已知等腰三角形的底边及底边上的高， 你能用尺规作出等腰三角形吗？ 如果能，能作几个？
东平县初中数学
当堂达标
• 请完成导学案中当堂达标题目.
东平县初中数学
第十章 三角形的有关证明
10.4线段的垂直平分线（2）
东平县初中数学
知识回顾
1.什么叫线段的垂直平分线？ 2.线段的垂直平分线的性质定理是什么？ 3.线段的垂直平分线的性质定理的逆定理是什么？ 4.在三角形内部，到三角形三个顶点距离相等 的点是 的交点.
东平县初中数学
教学目标
1.掌握线段垂直平分线的性质定理 与判定定理； 2.能运用线段的垂直平分线的性质 定理与判定定理证明简单问题； 3.会用尺规作图作等腰三角形.
东平县初中数学
随堂练习
2.课本123页1、2题
a
h
东平县初中数学
系统总结
1.线段垂直平分线的性质定理： ① 线段垂直平分线上的点到线段两端的 距离相等. ② 作用：证明两条线段相等 2.线段垂直平分线性质定理的逆定理： ① 到一条线段两个端点的距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上 ② 作用：证明点在线段的垂直平分线上.
东平县初中数学
做一做
已知底边及底边上的高，求作等腰三角形.
已知：线段a , h
a h
求作： △ABC，使AB=AC,且BC=a, 高AD=h.
东平县初中数学
议一议
已知点P是直线l外一点，那么怎样用尺规作l 的垂线，是它经过点P呢？ 说说你的作法，并与同伴交流.
.P
l
东平县初中数学
随堂练习
1.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC 于E，交BC于D，△ABD的周长为12cm, AC=5cm,则△ABC的周长为_______.