材料力学 截面的几何性质

2 I y1 z1 dA ( z cos y sin )2 dA A A
cos2 z 2dA sin 2 y 2dA 2 sin cos yzdA
1 D 4 I y Iz I p 2 64
同理，空心圆截面 I y I z
D 4
64
1
4
27
平行移轴定理
以形心C为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴 zC , yC则某微元dA在两坐标系的位置关系为： z a zC 2 y b yC I y d A y z yC A z a d A y z
8
I z [16 283 12 16 28 (14 13)2 ] [8 103 12 8 10 (19 13)2 ]
14
28 z C
yC
16 z'
26200 cm 4
计算最大正应力 单位：cm M max ymax 1.2 105 0.15 max 68.65MPa 8 Iz 26200 10
b2
b2
很容易得到下列结果
z1
zc dy z 2
I zc y dA
2 A
b 2 b 2
3 b h 2 y hdy 12
h2 h2
dA C
yc
I z1 I z2 y 2 dA
A

b
0
3 b h 2 y hdy 3
b2
b2
圆形
z
直径为d的圆形，选取图示圆环形积分 微元，
由于yc是过形心的轴，所以
I y I yc a A
2
同理可得
z
y
b C
zc
yc dA zc yc
I z I zc b A
2
a o
z
y
I yz I yc zc abA
小结 移轴公式中的两根平行轴中必须至少有一根轴过形心； 在所有平行的轴中，图形对过形心的轴的惯性矩最小。
例题 试求图示图形对形心轴的惯性矩和 惯性积。
3
z 100
I
C
CI
a1 a2
I y I yI I yII 443 10 768 10
4
4
y
1211 104 mm 4
由于z轴是对称轴 ，故图形对两轴的惯性积为
140 103.3
CII
II
y
I yz 0
20
I z y 2 dA 2h y 2 bdy
则
z
y
dA
A
I p 2dA y 2dA z 2d A
A A A
Iz I y
此式说明了极惯性矩与轴惯性矩之间的关系。

o
z
y
惯性积
定义
z
y
dA
A
I yz yzdA
A

为图形对y、z轴的惯性积 。
z
y 惯性积的数值可正，可负，也可为零。惯性积的量纲是[长 度]4 ，常用单位为m4和mm4。
2
I zy I zC yC abA
注意： 1、 C点必须为形心，即：zC、yC必须是形心轴。 2、式中的a、b是代数值。（可能取负值。）
29
例：已知 M max 1.2 10 N m ，求最大弯曲正应力。
5
解： 确定中性轴的位置
4 28 16 14 8 10 (14 5) 13cm yC 28 16 8 10
C H/2
X
1 h 1 h yc 1 y1 ( y1 ) ( y1 ) 2 2 2 2
h 1 h S x Ayc 1 b( y 1 ) ( y 1 ) 2 2 2
b
b 2 2 (h 4y1 ) 8
例2、图形对 x 轴的静矩为
y
b( h y ) 1 2 s x A y dA 0 y h dy 6 bh
I y1 z12dA, I z1 y12dA, I y1z1 y1z1 dA
A A A
从图中任意一点取微面积dA，它在新旧坐 标(y1,z1)和(y,z)有如下关系
y1 y cos z sin z1 z cos y sin
将此关系代入Iy1、Iz1和Iy1z1中，得
dS
y
zdA
A
z
① 平面图形的静矩是对某一坐标轴而言 dA 的，同一图形对不同坐标轴，其静矩也 就不同；
y
② 静矩的数值可正、可负、也可等于零；
z
③ 静矩的量纲是长度的三次方。
2
二、静矩与形心的关系 由力矩的等效关系得到静矩的 另一公式： 形心坐标
zC yC
zd A S
A
y
A
A
o
D
d
y
I p dA 2 d
2 3 A
D 2 0
D
32
4
1 D 4 I y Iz Ip 2 64
圆环形
I P 2 3d
D 2 d 2
D
4
32

d
4
z
y
4
32

32
( D4 d 4 )
D 4
32
1
Sz A yc
y
S y A zc

A
y dA A
Sz A
z
dA
C
zC
y
yC
z
(1)若z、y轴通过形心C，则 yC=zC=0，因此Sz=Sy=0。 即：截面对其形心轴的静矩等 于零。反之，若截面对某轴的 静矩为零，则该轴必过其形心。 (2) 对于有对称轴的截面, 对称轴必然是形心轴.
z
y
dA
A

o
z
y
惯性半径
定义
2 I y A iy , I z A iz2
或
iy
Iy A
, iz
Iz A
iy和iz分别称为图形对于y
轴和z 轴的惯性半径。惯性半径为 正值，它的大小反映了图形面积对坐标轴的聚集程度。惯 性半径的量纲是长度，常用单位为mm或m。
由于
2 y2 z2
z 100
20
I
C
CI
a1 a2
解：将图形看作是两个矩形的结合。 形心坐标为
y
140
CII
yc 0 A1z1 A2 z2 zc 103.3mm A1 A2
103.3
II
y
20
求图形对y、z轴的惯性矩
z 100
20
I z I z I I z II 20 1003 140 203 12 12 176 104 mm 4
2 2
90 20
II
20 y
100
9000 45 4000 45 225000mm 3
i 1
i 1
Sz 210000mm 3
极惯性矩 惯性矩 惯性积
极惯性矩
定义
z
A y
dA
I p dA
2 A
为图形对坐标原点o的极惯性矩。 极惯性矩恒为正值，它的量纲为[长 度]4，常用单位为m4和mm4。
A
*典型截面惯性矩的计算 1、矩形截面 h
h 2
b

dy y h z
2
1 3 b 3 bh y 3 h 12
2
同理
y
1 3 I y z dA hb A 12
2
26
2、实心圆截面
y
已知
I P dA A
2
A A
D 4
32
A
D
z
则 I P 2 dA y 2 dA z 2 dA I z I y 由对称性知 I y I z 所以
100 20 I yI (150 103.3)2 12 100 20
3
I
C
CI
a1 a2
y
140 103.3
CII
II
y
443 104 mm 4
20
20 140 I yII (103.3 70)2 20 140 12 20 768 104 mm 4
90 20 100 20 y
90 20
II
20 y
100
对图形I和图形II,有
I
z
100 20
yI c 50mm yII c 60mm zI c 45mm zII c 45mm 2 2 A 9000 mm A 4000 mm I II
S y S yi Ai zci AI zcI AII zcII
2 ( yC 2byC b2 )dA A

C
zC
I zC 2bSzC b2 A
轴zC为形心轴 SzC AyC 0
b
I z I zC b A
2
28
平行移轴公式：
I z I zC b A
2
b为轴z与zC的轴距
a为轴y与yC的轴距
同理可得
I y I yC a A
h
h
b( y )
dy
y
形心坐标yc为
1 2 bh y 1 6 h 1 A 3 bh 2
o
b
x
yc

s
例3、求左图示组合图形的静矩。
解：将原图在右端补满，其中内部兰色的矩形和外部黑色的矩形均为规则图形， 要注意的是图形I事实上是不存在的，我们在这里使用负面积法。
z
100 20
I
z
100 20
4.1 转轴公式
图示平面图形对任意一对新坐标轴y轴z 轴的惯性矩和惯性积为：
I y z 2dA, I z y 2dA, I yz yzdA
A A A
平面任意图形及新旧坐标系统
若将坐标轴绕坐标原点旋转角(规定角逆时针旋转为正，顺时针旋转为负 )。得到一对新坐标轴y1轴和z1轴。图形对y1轴z1轴的惯性矩和惯性积为：
圆环形对y(或z)轴的惯性矩为
1 D 4 4 I y I z Ip 1 2 64


d D
由于y轴为对称轴，故
I yz 0
平行移轴定理
对于平面图形，建立坐标系Oyz和基于 形心C的坐标系Cyczc，由定义
z
y
b C
zc
yc dA zc yc
I yc z dA, I zc y dA
A 2 c A 2 c
及坐标变换公式
a o
z
y
y yc b z zc a
将图形对y轴的惯性矩用关于形心坐 标系的坐标来表达
z
y
b C
zc
yc dA zc yc
I y z dA zc a dA
2 2 A A
a
z
y
zc2 dA a 2 A 2a zc dA o A A I yc a 2 A 2aS yc
n i
组合截面对某一轴的静矩应等 于其各组成部分对该轴静矩的 代数和。
xc
Ax
i
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ci
A
i
n
yc
A y
i i
n
ci
i
A
i
n
i
附 例题
录
一矩形截面如图所示，图中的b、h和y1均为已知值。试
求有阴影线部分的面积对于对称轴X的静矩。
Y
解：
H/2
y1
h A b( y 1 ) 2
yc1

o
z
y
惯性矩
z
2 2
A y
dA
I y z dA, I z y dA
A A
分别称Iy、Iz为图形对y轴和z轴的惯 性矩。惯性矩的量纲是[长度]4，惯性 矩是恒正的量。

o
z
y
惯性矩的国际单位是m4，常用单位是cm4,mm4。
惯性矩的大小不仅与图 形面积有关，而且与图形面 积相对于坐标轴的分布有关。 面积离坐标轴越远，惯性矩 越大；反之，面积离坐标轴 越近，惯性矩越小。
附
录
附录Ⅰ
§Ⅰ-1 §Ⅰ-2 §Ⅰ-3 §Ⅰ-4
截面的几何性质
截面的静矩和形心位置 惯性矩、惯性积和惯性半径 平行移轴公式 转轴公式 主惯性矩
静矩与形心
一、静矩的定义(与力矩类似)（也称面积矩或一次矩） 截面对z轴的静矩： y 截面对y轴的静矩：
Sz Sy
dS
A A
z

ydA
A
3
附
录
组合截面形心
组合截面：如果截面的图形是由几个简单图形(如矩形、圆形 等）组成的，这种截面称为组合截面。 组合截面对X、Y轴静矩的计算：
S x Ai yci Ayc
i
n
S y Ai xci Axc
i
n
Ai——任一简单图形的面积； xci，yci——任一简单图形的形心坐标； n——全部简单图形的个数。 确定组合截面形心位置的公式：
30
§转轴公式及主惯性轴
基本概念
图形对某一对坐标轴y和z取得极值时，图形对该坐标轴 的惯性积为零。 y和z轴称作主惯性轴。图形对主惯性轴的惯 性矩称为主惯性矩。主惯性矩的值是图形对通过同一点的所有 坐标轴的惯性矩的极值。 若主惯性轴通过形心，则该轴称为形心主惯性轴。图形 对形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。
o
定理：若有一个轴是图形的对称轴，则图形对这对轴 的惯性积必然为零。
z
I yz yzdA 0
A
y
dA
y
dA
z
y
o
2.5 常见图形的惯性矩、惯性积
1. 均质矩形板
z1
zc
z2
dz
质量为m，长度为l的均质杆，建 立图示坐标系，则有
h2 h2
dA C
z
yc
3 bh I yc z 2dA z 2bdz A h 2 12 h2