数学规划

2 2 2
x1i 2000
j 1
4
B
乙
x2i 1100 j 1
4
C x23 x14 x 24 D
x13
xij 0 ( i 1,2; j 1,2,3,4)
min f 21 x11 25 x12 7 x13 15 x14 51 x21 51 x22 37 x23 15 x24
MATLAB中有关求解线性规划问题的指令
• • • • • X=linprog(f,A,b,Aeq,beq) X=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) X=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) X=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) [x,fval,exitflag,output]= linprog(…)
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3、模型：min z=cX s.t. AX b Aeq X beq VLB≤X≤VUB
命令：[1] x=linprog（c，A，b，Aeq,beq, VLB，VUB） [2] x=linprog（c，A，b，Aeq,beq, VLB，VUB, X0） 注意：[1] 若没有等式约束: Aeq X beq , 则令Aeq=[ ], beq=[ ]. [2]其中X0表示初始点 4、命令：[x,fval]=linprog(…) 返回最优解ｘ及ｘ处的目标函数值fval.
解 首先根据食物数量及价格可写出食谱费用为 c1 x1 c2 x2 cn xn ,
其次食谱中第 i 种营养素的含量为 ai1 x1 ai 2 x2 ain xn .
因此上述问题可表述为： min c1 x1 c2 x2 cn xn
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 22 2 2n n 2 21 1 s .t . a x a x a x b m2 2 mn n m m1 1 x1 0, x2 0, xn 0
数学模型：
min s .t .
z cij xij
i 1 j 1
m
n
xij ai , i 1,2,, m j 1 xij b j , j 1,2,, n i 1
xij 0, i 1,2,, m; j 1,2,, n
数学建模专题----规划理论及模型
一、引言
二、线性规划模型 三、整数规划模型 四、0-1规划模型 五、几种常用的线性规划模型 回 六、非线性规划模型
七、多目标规划模型 八、LINGO入门
下
停
一、引言
我们从2005年“高教社杯”全国大学生数模
竞 赛的B题“DVD在线租赁”问题的第二问和第三问 谈起.
断该可行解是否为最优解（或问题无界），若不
是最优解，则根据相应规则，迭代到下一个更好
的可行解（极点），直到最优解（或问题无界）.
关于线性规划问题解的理论和单纯形法具体的求
解过程可参见相关文献. 然而在实际应用中，特别是数学建模过程中，
遇到线性规划问题的求解，我们一般都是利用现 有的软件进行求解，此时通常并不要求线性规划 问题是标准形式. 比较常用的求解线性规划模型 的软件包有LINGO、LINDO和MATLAB。
m
n
若其中各产地的总产量等于各销地的总销量， 即
ai b j ，则称该问题为平衡的运输问题. i 1 i 1
总产量>总销量和总产量<总销量. 类似与将一般的线性规划问题转化为其标准
m
n
否则，称为不平衡的运输问题，包括：
形式，我们总可以通过引入假想的销地或产地， 将不平衡的运输问题转化为平衡的运输问题. 从 而，我们的重点就是解决平衡运输问题的求解.
其中第二个问题是一个如何来分配有限资源， 从而达到人们期望目标的优化分配数学模型. 它 在数学建模中处于中心的地位. 这类问题一般可 以归结为 数学规划模型.
规划模型的应用极其广泛，其作用已为越来 越多的人所重视. 随着计算机的逐渐普及，它越
来越急速地渗透于工农业生产、商业活动、军事
行为核科学研究的各个方面，为社会节省的财富、 创造的价值无法估量. 在数模竞赛过程中，规划模型是最常见的一 类数学模型. 从92-08年全国大学生数模竞赛试题 的解题方法统计结果来看，规划模型共出现了16 次，占到了近50%，也就是说每两道竞赛题中就有
显然，运输问题是一个标准的线性规划问题， 因而当然可以运用单纯形方法求解. 但由于平衡的
运输问题的特殊性质，它还可以用其它的一些特殊
min z (7
3 4 0 2 x 6 1 x2 7
x 5) 1 x 2

s.t .
90 2 0 0 2 1 0
x 0 1 0 x 2
一道涉及到利用规划理论来分析、求解.
二、线性规划模型
线性规划模型是所有规划模型中最基本、最 简单的一种. 2.1 线性规划模型的基本形式
例1.（食谱问题）设有 n 种食物，各含 m 种营养
素，第 j 种食物中第 i 种营养素的含量为 aij , n 种 食物价格分别为c1, c2, …, cn，请确定食谱中n 种食 物的数量x1, x2, …, xn，要求在食谱中 m 种营养素 的含量分别不低于b1, b2, …, bm 的情况下，使得总 总的费用最低.
线性规划、线性规划的可行解，最优解的概念 线性规划一般可写作 min(or max) f= 1 1 s.t.
c x c2 x2 cn xn
ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi ,
x j 0, j 1,2,, n
i 1,2,, m
线性规划问题还可以用矩阵表示21 25 7 15
乙
51
51
37
15
表 1.1
解
min f 21 x11 25 x12 7 x13 15 x14 51 x21 51 x22 37 x23 15 x24
2
甲
x11 x12
A
x21 x 22
xi1 1700 i 1 xi 2 1100 i 1 xi 3 200 i 1 xi 4 100 i 1
s .t . x11 x12 x13 x14 2000 x21 x22 x23 x24 1100 x11 x21 1700 s.t. x12 x22 1100 x13 x23 200 x14 x24 100 xij 0, i 1,2; j 1,2,3,4
0.02x1 0.05x 4 700
0.02 x 2 0.05 x 5 100 0.03 x 3 0.08 x 6 900 xj 0 j 1,2, 6
解 编写M文件如下： c=[-0.4 -0.28 -0.32 -0.72 -0.64 -0.6]; A=[0.01 0.01 0.01 0.03 0.03 0.03;0.02 0 0 0.05 0 0;0 0.02 0 0 0.05 0;0 0 0.03 0 0 0.08]; b=[850;700;100;900];
用MATLAB优化工具箱解线性规划
1、模型： min z=cX s.t. AX b 命令：x=linprog（c，A，b）
2、模型：min z=cX s.t. AX b Aeq X beq 命令：x=linprog（c，A，b，Aeq,beq）
AX 注意：若没有不等式： b 存在，则令A=[ ]，b=[ ].
一般的运输问题可以表述如下：
要把某种物资从 m 个发点 Ai , i 1,2,, m ， 调运给需要这种物资的 n 个收点 B j , j 1,2,, n . 已知 ai b j ，从 Ai 运一个单位的产品到 B j
i 1 i 1 m n
的运价为 cij . 现在需要确定一个调运方案，即确定由 Ai 到 B j 的运输量 xij , i 1,2,, m; j 1,2,, n，在满 足供需要求的条件下，使总运输费用最省.
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例 1 max
s.t.
z 0.4 x1 0.28 x 2 0.32 x 3 0.72 x 4 0.64 x 5 0.6 x 6 0.01 x1 0.01 x 2 0.01 x 3 0.03 x 4 0.03 x 5 0.03 x 6 850
解: 编写M文件如下： c=[-7 -5]; A=[3 2; 4 6; 0 7]; b=[90;200;210]; Aeq=[]; beq=[]; vlb=[0,0]; vub=[inf,inf]; [x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)
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min
f=
c x
x≥0
T
s.t
Ax ≥b,
其中f被称作目标函数，目标函数下的等式或不等 式被称作约束条件， T 1 2 n
( x , x ,, x )
(c1 , c2 ,, cn )T
A=
a11 a 21 a m1
a12 a 22 am2
a1n a2n a mn
b1 b 2 ,b= b m
一组满足约束条件的变量 x1 , x2 ,, xn 可行解。
的值称为一组
可行解的集合称为可行解域，或可行解空间。
线性规划问题也就是在可行解域上寻找使目标函数取得 极小（或极大）值的可行解，称之为最优解。
2.2 线性规划模型的求解 针对标准形式的线性规划问题，其解的理论 分析已经很完备，在此基础上也提出了很好的算 法——单纯形方法及其相应的变化形式（两阶段 法，对偶单纯形法等）. 单纯形方法是线性规划问题的最为基础、也 是最核心的算法。它是一个迭代算法，先从一个 特殊的可行解（极点）出发，通过判别条件去判