2.1.4映射的概念

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映射的定义

一、数学名词在数学里，映射是个术语，指两个元素的集之间元素相互“对应”的关系，为名词。

映射，或者射影，在数学及相关的领域经常等同于函数。

基于此，部分映射就相当于部分函数，而完全映射相当于完全函数。

定义两个非空集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素a，B 中总有唯一的一个元素b与它对应，就这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B。

其中，b称为元素a在映射f下的像，记作：b=f(a)。

a称为b关于映射f的原像 [1] 。

集合A中所有元素的像的集合称为映射f的值域，记作f(A)。

或者说，设A,B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素a，在集合B中都有唯一的元素b与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。

映射，或者射影，在数学及相关的领域还用于定义函数。

函数是从非空数集到非空数集的映射，而且只能是一对一映射或多对一映射。

映射在不同的领域有很多的名称，它们的本质是相同的。

如函数，算子等等。

这里要说明，函数是两个数集之间的映射，其他的映射并非函数。

一一映射(双射)是映射中特殊的一种，即两集合元素间的唯一对应，通俗来讲就是一个对一个（一对一）。

注意：(1)对于A中不同的元素，在B中不一定有不同的像；（2）B中每个元素都有原像（即满射），且集合A中不同的元素在集合B中都有不同的像（即单射），则称映射f建立了集合A和集合B之间的一个一一对应关系，也称f是A 到B上的一一映射。

二、汉语词语映射是一个汉语词汇，读音为yìng shè，意思是映照、照射，也可以指反射反映。

出自瞿秋白《饿乡纪程》二：“只是那垂死的家族制之苦痛，在几度回光返照的时候，映射在我心里，影响于我生活。

”基本解释[cast light on;shine upon] 照射;映照(阳光映射在江面上)引证解释1. 映照；照射。

清·程麟《此中人语·阎王》：“﹝阎王﹞两眼碧光，与灯光相映射。

《映射的概念》课件

《映射的概念》ppt课件
CONTENTS
• 映射的定义 • 一一映射 • 连续映射 • 映射的应用
01
映射的定义
什么是映射
01
映射是指将一个集合的元素按照某种规则一一对应到另一个集合中的元素，建立元素之间的对应关系。
02
映射通常用函数来表示，函数是从一个集合到另一个集合的映射，表示输入和输出之间的对应关系。
机器学习
在机器学习中，输入数据与输出结果的聆听
THANKS
一一映射的例子
要点一
总结词
例如，将一组数或集合中的元素一一对应地映射到另一组数或集合中的元素。
要点二
详细描述
在实际应用中，一一映射的例子很多。例如，在数学中，可以将一组数或集合中的元素一一对应地映射到另一组数或集合中的元素。在计算机科学中，文件系统中的文件名到文件内容的映射、数据库中的记录到数据的映射等都是一一映射的例子。此外，在现实生活中，一对一的约会、一对一的商品交易等也可以看作是一一映射的实例。
详细描述
一一映射是一种特殊的映射关系，它要求每个原像都与一个唯一的像相对应，并且每个像也都有其唯一的原像。也就是说，在映射过程中，每一个元素都不被重复地映射到同一个像上，也不存在未被映射的原像。
一一映射的性质
总结词
一一映射具有可逆性、一一对应性和确定性等性质。
详细描述
一一映射是一种可逆的过程，即通过映射的反向操作可以找到原像。同时，一一映射确保了每个原像都与一个唯一的像相对应，并且每个像也都有其唯一的原像。此外，一一映射还具有确定性，即每个原像都映射到唯一的像上，没有歧义或不确定性。
拓扑学
在拓扑学中，映射用于研究空间之间的连续变换和不变性。

高一数学必修1教案：2-3映射的概念含解析精品

2.1.4 映射的概念整体设计教材分析映射与前面学习的集合和函数有着密切的关系，事实上，映射是两个集合中的一种特殊的对应关系，即如果按照某种对应法则，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素与它对应，那么这样的对应(包括对应法则)叫做集合A到集合B的映射.在刚开始学习映射时，为了能让学生看清映射的构成，可以选择用图形表示映射，并选择能用列举法表示的有限集，法则尽量用语言描述，这样的表示方法可以让学生比较直观地认识映射，而后再用抽象的数学符号表示映射.关于映射中象和原象的概念以及映射的分类和一一映射、单射、满射等概念，一般不要涉及，对于函数与映射的关系，只需强调若映射中的两个集合A和B均为非空数集时，这个映射就是函数.三维目标1.了解映射的概念，会借助图象帮助理解映射的概念.2.会根据定义判断映射.3.了解映射是函数概念的一般扩展(将数集扩展到任意元素组成的集合)，函数是一类特殊的映射(非空数集到非空数集的映射).4.采用“举例——观察——比较——讨论——总结”的形式，通过实例找共性，给出映射的定义，最后进行小结，教师起到点拨和深化的作用.重点难点教学重点：映射的概念及判断.教学难点：映射的概念.课时安排1课时教学过程导入新课设计思路一(情境导入)1.老师走进教室，只要环顾一下，不点名，就知道今天有没有同学缺课，缺课的同学有多少.大家知道老师是怎么做到的吗？(每个同学都有唯一的座位)2.为了解学生身体健康状况，现对高一年级全体学生的体重进行统计，设高一年级的全体同学组成集合A，正实数集为集合B，让集合A中任一同学与其体重对应，则得到一个从集合A到集合B的对应.(课本引例)用下图来表示这个对应：你还能举出一些类似的例子吗？(由同学们自由发挥)例如：1.中华人民共和国的任何一个公民都有唯一的身份证号码与之对应；2.数轴上的任何一个点都有唯一的实数与之对应；3.坐标平面内的任何一个点都有唯一的有序实数对与之对应；4.平面上任何一个三角形都有唯一的面积与之对应.这些都是从集合A到集合B的对应，这些对应有没有什么共同的特征？设计思路二(事例导入)在前一章集合的初步知识中，我们学习了元素与集合及集合与集合之间的关系，现在我们重点研究两个集合中元素之间的对应关系，这要先从我们熟悉的对应说起.出示下图(用投影仪打出一些对应关系，共5个)：1.这5个图中，它们有什么共同特点？应该能看出，各个图都反映了两个集合的元素之间的一种对应关系，即对于集合A中的任一个元素，按照某种法则在集合B中都有确定的(一个或几个)元素与它对应.2.进一步观察，(1)(2)(4)(5)这4个图中的对应有什么共同特点？设计思路三(复习导入)前面学习的集合的有关知识，包括元素与集合的关系，集合之间的包含关系等，两个集合之间的内在联系是通过两个集合中元素与元素的对应关系揭示的.而刚刚学过的函数y=f(x)实际上是定义域A上的元素x到值域B上的元素y之间的一种对应关系，这里定义域A和值域B都必须是非空数集，如果我们把集合A和集合B扩充为任意非空集合(未必是数集)，则这样的对应就未必是函数，那么这个对应又是什么呢？推进新课新知探究对于设计思路一，教师提出问题：这些对应有什么共同的特征？若学生无法归纳，则鼓励他们讨论，只要有人说出“任一”“都有”“唯一”等关键词，都给予热情鼓励.若经讨论仍然没有同学能够说出这些关键词，则可以提示学生从上面例子的句式结构上观察，它们都有同样的句子结构：“……任何一个……都有唯一的……与之对应”.这些例子都是在说明集合A和集合B的元素之间的对应关系，都有一个共同的特征，就是：(板书)集合A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应.这样的对应就是我们今天要学习的映射.然后教师和学生一起把刚才的板书修改完善：(板书)定义：设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应(包括集合A、B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作：f:A→B对于设计思路二，紧接上面问题，(1)(2)(4)(5)这4个图中的对应有什么共同特点？(用投影仪将这几个图集中在一起)类似思路一，老师鼓励学生自己得出结论：集合A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应.如果有困难，也采用思路一类似的办法，最后同样得到映射的定义.对于设计思路三，函数实际上是定义域A上的元素x到值域B上的元素y之间的一种对应关系，对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这里定义域A和值域B都必须是非空数集.如果我们把函数中定义域A和值域B扩充为任意非空集合，则这样的对应就未必是函数，我们把这样的对应称为映射(板书).然后老师和学生一起把映射的定义叙述并修改完善.记忆技巧：(学生思考、讨论、回答，教师整理、强调)①“任意性”：映射中的两个集合A、B可以是数集、点集或由图形等组成的任意集合，这是映射的“任意性”；②“A到B”：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射,例如A到B是求平方，B到A则是开平方，因此映射是“有序的”；③“任一”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都存在元素和它对应，这是映射的“存在性”；④“唯一”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都是唯一的元素和它对应，这是映射的“唯一性”；⑤“在集合B中”：也就是说A中元素的对应元素必在集合B中，这是映射的“封闭性”.(这一点可根据学生的具体学情有选择地教学)映射概念的核心就是“A中之任一对B中之唯一”，这是判断一个对应是不是映射的关键.从形式上看映射有“一对一”和“多对一”，另外，集合A中的元素必须一个不剩，集合B中元素允许剩余，而对应有“一对一”“多对一”“一对多”“多对多”四种情况.三句口诀：1.A中之任一对B中之唯一.2.对一是映射，对多非映射.3.A中一个不剩，B中可以多余.应用示例思路1请同学甲设计一个例题：例题下面给出的四个对应中，能构成映射的有哪些？要求：四个对应两个是映射，两个不是映射.两个映射必须分别是“一对一”和“多对一”，两个不是映射的对应必须分别体现没有符合“A中之任一”和“B中之唯一”.同学乙对同学甲编制的题目是否符合老师的要求作出回答，并分析原因，给出正确答案.思路2教师直接给出题目：(用投影仪打出一些对应关系，共4个)例1下面给出的四个对应中，能构成映射的有哪些？分析：一个对应是不是能够构成映射，就看它能不能满足映射定义的要求，即抓住关键：A中之任一对B中之唯一.既然“A中任一”，则A中不能有多余的元素，应该一个不剩，而B中元素没有这个要求，故B中元素可以允许有多余；既然“B中唯一”，则只能是“一对一”或“多对一”，而不能是“一对多”或“多对多”.解：因为(1)(3)的对应满足映射的定义，而(2)不满足“任意性”，(4)不满足“唯一性”，所以(2)(4)不能构成映射，能构成集合A到B的映射的有：(1)(3).错误解法：本题容易在(1)(2)的判断上出现错误.(1)有两个箭头指向同一元素，易判为“不是映射”，(2)中都是一个箭头在指，所以易判为“是映射”.这时要提醒学生：对于(1)，只要A 中的一个元素射出去的箭头只有一个就可以了，至于有多少个箭头指向B 中同一元素就无所谓了；对于(2)，A 中不能有多余的元素，应该一个不剩，而B 中元素没有这个要求，可以允许有多余.例2 (用投影仪打出)下列对应，哪些是A 到B 的映射？(1) A={x|x≥0}，B={1}，对应法则f:x→y=x 0.(2) A={x|0≤x≤2}，B={y|0≤y≤1}，对应法则f ：x→y=31x. (3) A={x|0≤x≤2}，B={y|0≤y≤1}，对应法则f:x→y=(x -2)2. (4) A={x|0≤x≤4}，B={y|0≤y≤2}，对应法则f ：x→y=81x 2. 解：因为(2)(4)的对应满足映射的定义，所以能构成集合A 到B 的映射；而(1)(3)不满足“任意性”，所以(1)(3)不能构成映射.错误解法分析：判断(1)时，学生容易忽视元素0，判断(2)时，由于C≠B ，也容易发生错误，判断(3)(4)时，由于都是二对一，在求Ａ中所有元素的对应元素组成的集合时容易出现错误，这些都要一一纠正.例3 (用投影仪打出)设集合A={x|0≤x≤1}，B={y|0≤y≤1}，则下图所示的各图象中，表示从集合Ａ到集合Ｂ的映射的是___________.分析：上图的五个图中，显然所有的x ∈A ，①③④⑤中都有y ∈B ，这一点都符合了“Ａ中任一元素都有Ｂ中元素与之对应”，只有②中当21＜x≤1时对应的，即Ｂ中没有元素与之对应，所以②不是映射.④中除了元素0，Ａ中每个元素都有两个元素与之对应，所以④也不是映射.①③⑤中每一个不同的x 都只有唯一的Ｂ中的元素ｙ与之对应，符合了映射的定义，所以①③⑤是映射.答案：①③⑤.点评：本题是由图象的形式给出映射，由于学生对映射的图象表示还不是太熟悉，所以往往会看不懂题目表示的意思，导致解题时无从下手.这时老师可结合前面学过的函数的图象来指导学生读题，指出图象上每一个点都可以用坐标来表示，其中横坐标ｘ就是映射中集合Ａ中的元素，纵坐标ｙ就是集合Ｂ中的元素，这时映射的定义就可以表示为“以集合Ａ中的数为横坐标的点都在图象上(Ａ中任一元素)，其对应的纵坐标都属于集合Ｂ(都有Ｂ中元素与之对应)，且横坐标不同时对应的纵坐标也不同(与ｘ对应的ｙ是唯一的).具体看图时可以看如下三个方面：①横坐标是否都在定义域内，定义域内的数是否都在图象上；②纵坐标是否都在值域内；③与ｘ轴垂直的直线与图象的公共点是否只有一个.例4 已知集合A={1,2,3,m},(m ∈N ),B={4,7,n 4,n 2+3n},(n ∈N ),设x ∈A,y ∈B,“f:x→y=3x+1”是集合A 到集合B 的映射，求m ，n 的值.分析：根据映射的定义，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，而对应法则是“f:x→y=3x+1”，所以1→4，2→7，3→10，m→3m+1.由于对应法则是一次关系式，所以A 中不同元素对应的B 中元素也必须不同，不可能出现“多对一”的情况.而B={4,7,n 4,n 2+3n}，所以10和3m+1必然等于n 4和n 2+3n ，这里又有两种情况：10=n 4，3m+1=n 2+3n ，或者10=n 2+3n,3m+1=n 4，继续解出m 、n ，问题就解决了.解：∵3×1+1＝4 ，3×2+1＝7，3×3+1＝10，又∵对应法则是“f:x→y=3x+1”，∴3m+1不可能等于4、7、10，∴由⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+⨯=,133,1013324m n n n 又m,n ∈N ，∴方程组无解. 由⎪⎩⎪⎨⎧=+⨯=++=,101333,1324n n m n 又m,n ∈N ，解得⎩⎨⎧==.5,2m n 综上所述m=5,n=2.错误解法：一种错误是没有说明这个映射不可能是多对一.因为在1→4，2→7，3→10的情况下，如果不考虑对应法则，m 完全有可能再和4、7、10中的某一个对应，这样需讨论的情况就太多了.所以应该先考虑对应法则，得到这个映射只能是一对一，这时就仅仅剩下两种情况讨论了.另一种错误是不讨论，这时老师可以画图，用箭头来指出有两种情况.点评：本题中，学生非常容易忽略“多对一”，并且只解第一种情况而忘记解第二种情况.所以不论学生是不是出现错误，都要强调先说明“ 3m+1不可能等于4、7、10”，再对两种可能情况分别求解，解方程组的具体过程可以简略一些.知能训练课本第42页练习1、2、3、4.解答：1.(1)因为对应法则是f ：x→2x ＋1，所以1→3，2→5.(2)因为对应法则是g:x→21-x ，所以3→1，5→2. 两个映射f 和g 是互为逆映射.(见备课资料)2.(1)集合A 中一共有3个元素1，4，9，对应法则是“f ：x→x 的平方根”，所以1→±1，4→±2，9→±3，尽管±1，±2，±3都是集合B 中的元素，但这是“二对一”，因而这个对应不符合映射的定义，所以这个对应不是映射.(2)集合A 中存在元素0，由于对应法则是“f ：x→x 的倒数”，所以元素0在集合B 中没有元素与之对应，因而这个对应不符合映射的定义，所以这个对应不是映射.(3)是映射.(4)集合A 是平面内周长为5的所有三角形组成的集合，其中任意一个三角形都有唯一的外心，且外心都是这个平面内的点，由于对应法则为f ：三角形→三角形的外心，所以A 中任一元素都和B 中唯一元素对应，这就符合了映射的定义，因此这个对应是映射.3.(1)根据题目中的对应法则，m→n ，a→b ，t→u ，h→i ，e→f ，i→j ，c→d ，s→t ，所以明文“mathematics”的密文为“nbuifnbujdt”.(2)同上，i→j ，t→u ，s→t ，f→g ，u→v ，n→o ，y →z ，所以密文“ju jt gvooz”的明文是“it is funny”.课堂小结映射是由集合A ，集合B 和对应法则三部分组成的一个整体，判断一个对应是不是映射应该抓住关键：A 中之任一对B 中之唯一.A 中不能有多余的元素，应该一个不剩，而B 中元素没有这个要求，可以允许有剩余；映射只能是“一对一”或“多对一”，而不能是“一对多”或“多对多”，A 到B 的映射与B 到A 的映射往往不是同一个映射.作业1.若集合A ＝｛0，1，2，3，4，5，6｝，f ：x→y=x 2-4x 是从A 到B 的映射，则集合B 中至少有______________个元素.解答：因为集合A ＝｛0，1，2，3，4，5，6｝，对应法则为f ：x→y=x 2-4x ，所以0、4→0，1、3→-3，2→-4，5→5，6→12，而集合B 必须包含这些元素，因此B 中至少有5个元素.2.已知集合A ＝B ＝｛(x ，y)|x ∈R ，y ∈R ｝，A 到B 的映射f ：(x ，y)→(x+y ，xy).(1)A 中元素(2，-3)对应于B 中哪个元素？(2)B 中元素(2，-3)与A 中哪个元素对应？解答：(1)当x ＝2，y ＝-3时，x ＋y ＝-1，xy ＝-6，所以A 中元素(2，-3)对应于B 中元素(-1，-6).(2)当⎩⎨⎧-==+3,2xy y x 时,得⎩⎨⎧=-=3,1y x 或⎩⎨⎧-==,1,3y x 所以B 中元素(2，-3)与A 中元素(-1，3)和(3，-1)对应.3.阅读课本第44页第12题(阅读题)，找一些生活中与对应和映射有关的实例.设计感想原教材中映射这部分内容是安排在函数这一章的开始，现在苏教版教材安排在函数概念、图象、表示方法、单调性、奇偶性等内容之后.因为映射的概念如果单单从非数学的日常生活方面来看，并不难以理解，但是上升到严格的数学定义和抽象的数学概念就比较深奥.所以教材这样安排一方面是考虑到多数高中学生的认知特点.为了降低难度,教材先让学生对函数有了初步认识，接触了部分具体的函数，在有了一定的体会后，再学习映射，同时对函数的认识也得到进一步加强.另一方面是为了通过循环反复学习，加深了学生对函数概念的理解，有助于他们对函数概念本质的理解，像函数这样的核心概念需要多次接触、反复体会、螺旋上升，逐步加深理解，才能真正掌握，灵活应用.本课在教学设计时努力体现新课标的要求.在映射概念引入时，先从学生熟悉的对应入手，选择一些具体的生活例子，然后再举一些数学例子，先用图形表示映射，在集合的选择上先选择了能用列举法表示的有限集，对应法则用语言描述，对应形式上分为“一对多”“多对一”“多对一”“一对一”四种情况，让学生认真观察，比较，再引导学生发现其中“一对一”和“多对一”的对应是映射，逐步归纳概括出映射的基本特征，让学生的认识从感性认识到理性认识.这样的教学方法可以让学生比较直观地认识映射，而后再选择用抽象的数学符号表示映射.在教学方法上本课采用启发、讨论的形式，让学生在实例中去观察、比较，启发学生寻找共性，共同讨论映射的特点，共同举例、计算，最后进行小结，教师要起到点拨和深化的作用.为了使学生更加容易接受抽象的数学概念，也可以多采用一些日常生活的语言，列举一些学生感兴趣的例子.譬如为了让学生对映射可以“一对一”，也可以“多对一”，但不能“一对多”，也不能“多对多”有深刻印象，可以用“射雕”来比喻：可以“一箭一雕”“多箭一雕”但不能“一箭双雕”“一箭多雕”“多箭多雕”；为了让学生对“A 中任一元素在B 中均有唯一的一个元素与之对应，但允许B 中有一些元素没有A 中任何元素与之对应”有深刻印象，仍然可以用“射雕”来比喻：“鞘中的箭必须射完，而且箭箭中雕，但有些雕可以不是瞄准的目标”.习题详解课本第43页习题2.1(3)3.(1)单调增区间(-∞，0]，单调减区间[0，＋∞)，最大值是1，无最小值；(2)单调减区间[-1，1]，最大值是2，最小值是-2；(3)单调减区间[0，＋∞)，最大值是0，无最小值；(4)单调增区间(-∞，＋∞)，无最大值和最小值.(1) (2)(3) (4)4.因为a2+1-2a=(a-1)2≥0，所以a2+1≥2a，故f(a2+1)≤f(2a).5.(1)当a、b不全为0时，f(x)为偶函数；当a=b=0时，f(x)既是奇函数，又是偶函数；(2)奇函数；(3)f(x)既不是奇函数也不是偶函数.6.因为f(-x)=(-x)2-2|-x|-1=x2-2|x|-1=f(x)，所以f(x)是偶函数.图象如图所示.7.证明：(1)设x1＜x2≤0，则f(x1)-f(x2)=-2x12+3-(-2x22+3)=2(x1+x2)(x2-x1).因为x1+x2＜0且x2-x1＞0，所以f(x1)＜f(x2)，故f(x)在(-∞，0]上是单调增函数；(2)设x1＜x2≤0，则f(x1)-f(x2)=-x13+1-(-x23+1)=x23-x13=(x2-x1)(x12+x1x2+x22).因为x1＜x2≤0且x1x2≥0，x12＞0，x22≥0，x12+x1x2+x22＞0.而x2-x1＞0，所以f(x1)＞f(x2)，故f(x)在(-∞，0]上是单调减函数；(3)①设x 1＜x 2＜0，则f(x 1)-f(x 2)=213x --2+23x =3(21x 11x -)=2121)(3x x x x -. 因为x 1x 2＞0，x 1-x 2＜0，所以f(x 1)＜f(x 2)，故f(x)在(-∞，0)上是单调增函数； ②设0＜x 3＜x 4，则f(x 3)-f(x 4)=4343)(3x x x x -.由0＜x 3＜x 4，得x 3x 4＞0,x 3-x 4＜0，所以f(x 3)＜f(x 4)，故f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数.综上所述，f(x)在(-∞，0)和(0，＋∞)上是单调增函数；(4)①设0＜x 1＜x 2≤1，则f(x 1)-f(x 2)=x 1+11x -x 2-21x =x 1-x 2+2112x x x x -=(x 1-x 2)·21121x x x x x -. 因为0＜x 1＜x 2≤1，所以0＜x 1x 2＜1,x 1x 2-1＜0.而x 1-x 2＜0，所以f(x 1)＞f(x 2)，故f(x)在(0，1]上是单调减函数；②设1≤x 3＜x 4，则f(x 3)-f(x 4)=(x 3-x 4)·43431x x x x -.因为1≤x 3＜x 4，所以x 3x 4＞1，x 3x 4-1＞0.而x 3-x 4＜0，所以f(x 3)＜f(x 4)，故f(x)在[1，＋∞)上是单调增函数.综上所述，f(x)在(0，1]上是单调减函数，在[1，＋∞)上是单调增函数.8.因为B ＝｛-1，3，5｝，f ：x→2x -1，要组成A 到B 的映射，只要A 中的任一元素在对应法则f 下的对应元素都在B 中即可.而0→1，2→3，3→5，所以集合A 只要是｛0，2，3｝的非空子集就可以了.本题答案不唯一，共有7个.9.因为f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)，即x 2-mx+1=x 2+mx+1恒成立，所以m=0.10.因为f(x)是R 上的奇函数，所以f(0)=f(-0)=-f(0)，所以f(0)=0.又因为x ＞0时，f(x)=1，所以x ＜0时，-x ＞0，f(-x)=1，f(x)=-f(-x)=-1.综上所述，f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>.0,1,0,0,0,1x x x11.函数的单调增区间是(-∞，＋∞)，图象如图所示.13.略.。

高一数学映射知识点

高一数学映射知识点数学是一门综合性科学，映射是其中的重要概念之一。

在高一数学学习中，映射是一个需要深入理解和掌握的知识点。

本文将从映射的定义、映射的性质以及映射的应用等方面进行详细介绍。

一、映射的定义映射是一种对应关系，它将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素上。

映射常常用符号“f”表示，表示一个元素或者一组元素通过某种规则对应到另一个集合中。

对于集合A和集合B，如果存在一个映射f，使得对于A中的任意元素a，都有唯一的对应元素b在集合B中，即f(a)=b，那么我们可以说A中的元素通过映射f对应到B中的元素。

二、映射的性质1. 单射：如果映射f中不同的元素在B中有不同的对应元素，即对于任意的a1和a2，如果f(a1)=f(a2)，则a1=a2。

这种映射被称为单射或一一映射。

单射保证了映射的唯一性。

2. 满射：如果映射f中的所有元素都有对应的元素存在于B中，即对于任意的b∈B，都存在a∈A，使得f(a)=b。

这种映射被称为满射。

满射保证了映射的完备性。

3. 双射：既是单射又是满射的映射被称为双射。

双射保证了映射的一一对应关系，即A中的每一个元素都有唯一对应的元素在B中，B中的每一个元素也都有唯一对应的元素在A中。

4. 逆映射：如果映射f是一个双射，那么它存在一个逆映射g，使得g(f(a))=a对于任意的a∈A成立，同时f(g(b))=b对于任意的b∈B也成立。

逆映射可以实现映射的互逆。

三、映射的应用映射在数学中的应用非常广泛，尤其在解决实际问题时起到了重要的作用。

以下是映射在几个常见领域的应用示例：1. 函数关系：函数是一种特殊的映射关系，它将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素上。

函数在数学中有着广泛的应用，例如描述物理规律、经济关系以及建立模型等。

2. 图论：映射在图论中有重要作用。

图是由一系列的顶点和边组成的数学模型，而映射则常常用于描述顶点之间的关系，例如在社交网络中描述用户之间的关注关系。

映射概念

记为 f ◦g。
z ( f g)(x)
x
y f (x) g(y) z
由复合函数定义知，
( f g)(x) g( f (x))
15
注意：要保证复合映射有意义，必须：
f (A) dom(g)
例：设 R 到 R 有两个映射 f 和 g，定义如下： f (x) x2, g(x) x 2, 试分别计算复合映射 f g和g f . 解：对任意的 x R , 分别有
x1 f是
x2时f (x1) f (x2)），则称 A 到 B 的一对一映射。
f
是
2 满射
定义：f:AB, 若对任意y∈B，均存在x∈A，使得 y=f(x)，则称 f 是 A 到 B的满射，或称 f 是 A 到 B 的映上的映射。
3 双射
定义：f:AB, 若f既是单射又是满射，则称 f 是 A 到 B的双射，或称 f 是 A 到 B 的一一对应。
由此可见，复合函数g◦f是单射函数同理可证明(2)与(3) 。
18
定理设 f:AB, g:BC, (1)若 f ◦ g 是单射，则 f 是单射但 g不一定； (2)若 f ◦ g 是满射，则 g 是满射而 f 不一定。
f(x) = g(x), 则称映射f, g是相等的，或是同一映射。
4
3 几个相关的称谓假定 f:AB, y=f(x)，通常把 x称为自变量，自变量的取值范围称为定义域，记为 dom f。将 y 称为因变量，而把由所有因变量构成的集合称为值域，记为 ran f。对映射而言：
对映射 f:AB 而言, 必有 dom f = A, ran f ⊆B
等映射，记为 I A 。
定理若f:AB 是双射, 则有
f f 1 I A, f 1 f IB.

映射的概念分析

映射的概念分析映射是数学中的一个重要概念，它描述了一个集合中的每个元素与另一个集合中的元素之间的对应关系。

在数学中，我们可以将映射理解为函数，其中一个集合是定义域，另一个集合是值域。

映射可以用于描述数学模型、图论、集合论等各种数学领域中的概念与关系。

映射有很多种形式，可以分为单射、满射和双射三种类型。

首先，单射是指一个集合中的不同元素在映射的结果中有不同的映射元素。

换句话说，映射的结果中不存在重复的映射元素。

对于集合A到集合B的映射f：A →B，如果对于集合A中的任意两个不同的元素a1和a2，有f(a1)≠f(a2)，那么这个映射就是单射。

可以通过绘制函数图像来判断一个映射是否为单射，如果函数的图像没有任何两点在同一水平线上，那么这个函数是单射。

其次，满射是指映射的结果包含了值域中的每一个元素。

也就是说，对于集合A 到集合B的映射f：A→B，如果对于集合B中的任意一个元素b，存在集合A 中的元素a，使得f(a)=b，那么这个映射就是满射。

可以通过在值域上滑动水平线来判断一个映射是否为满射，如果水平线与函数的图像相交于每个y值上至少一个点，那么这个函数就是满射。

最后，双射是指一个集合中的每个元素与另一个集合中的元素存在唯一的对应关系。

也就是说，对于集合A到集合B的映射f：A→B，既是单射又是满射，那么这个映射就是双射。

可以通过绘制函数的图像并判断是否为一一映射来判断一个映射是否为双射。

映射还有一些衍生的概念。

首先是像、原像和逆映射。

对于映射f：A→B，如果b是集合B中的一个元素，a是集合A中满足f(a)=b的元素，那么b是元素a的像，元素a是元素b的原像。

逆映射是指如果映射f：A→B是双射，那么可以构造一个逆映射f^(-1)：B →A，满足f^(-1)(f(x))=x和f(f^(-1)(y))=y。

其次是复合映射。

如果映射f：A→B和映射g：B→C都存在，那么可以定义一个复合映射h：A→C，使得h(x)=g(f(x))。

映射的概念练习题

§2.1.4 映射的概念课后训练【感受理解】1、下列从A 到B 的对应是映射的是（）A 、A =R ，B =R +，f :取绝对值 B 、A = R +，B =R ，f :开平方C 、A = R +，B =R ，f :x →31+X D 、A =Q ，B ={偶数}，f :乘2 2、设集中A ={2，4，6，8，10}，B ={1，9，25，49，81，100}下面的对应关系f 能构成A 到B 的映射的是（）A 、f :x →(2x -1)2B 、f :x →(2x -3)2C 、f :x →-2x -1D 、f :x →(2x -1)23、已知集合A =N *，B ={整奇数}，映射f :A →B ，使A 中任一元素α与β中元素2α-1相对应，则与B 中元素17对应的A 中的元素为（）A 、3B 、5C 、17D 、9【思考应用】4、点（x ,y ）在映射f 下的对应元素为（23,23x x y x +-+），则点（2，0）在f 作用下的对应元素（x ,y ）为（）A 、（0，2）B 、（2，0）C 、（3，-1）D 、（3，1）5、设集合A 和B 都是坐标平面上的点集{（x ,y ）|x ∈R ，y ∈R },映射f :A →B ,把集合A 中的元素（x ,y ）映射成集合B 中的元素（x +y ,x -y ），则在映射f 下，象（2，1）的原象是（）A 、（3，1）B 、（21,23） C 、（21,23-） D 、（1，3） 6、已知集合A ={a ,b },B ={c ,d },则从A 到B 的不同的映射有个。

7、已知从A 到B 的映射是f 1:x →2x -1,从B 到C 的映射f 2:y →211y +,则从A 到C 的映射f :x →8、已知A ={a ,b ,c },B ={1,2},从A 到B 建立映射f ，使f (a )+f (b )+f (c )=4，则满足条件的映射共有个9、设集合A 和B 都是自然数集合N *，映射f :A →B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素2n +n ，则在映射下，象20的原象是（）A 、2B 、3C 、4D 、5【拓展提高】10、对于A ={x |a b x ≤≤}，B ={y |c d y ≤≤}(a ,b ≠且c ≠d )，有没有一个对应法则f ，使从A 到B 是一个映射，并且B 中每一个元素在A 中都有原象，若有，写出一个f ；若没有，说明理由。

映射概念教案

映射概念教案一、教学背景与目标映射是数学中的一个重要概念，也是理解和应用数学的基础。

通过本节课的教学，旨在使学生掌握映射的基本概念，并能够运用映射来解决实际问题。

具体目标如下：1. 了解映射的定义和表示方法；2. 掌握映射的基本性质；3. 能够通过映射进行数学计算和问题求解。

二、教学内容与步骤1. 引入（5分钟）利用一些日常生活中的例子引入映射的概念，如地图上的标记和路线规划、手机上的应用程序等。

引导学生思考映射的概念和作用，激发学生学习的兴趣。

2. 概念讲解（15分钟）2.1 映射的定义向学生解释映射的概念：映射是一种关系，它将某个集合中的每个元素都对应另一个集合中唯一确定的元素。

提供一些具体的例子来帮助学生理解映射的定义。

2.2 映射的表示方法介绍映射的表示方法，包括数表法、函数法和图像法。

以具体的例子演示每种表示方法的使用，并进行讲解。

3. 映射的性质（20分钟）3.1 定义域和值域解释映射的定义域和值域的概念，以及它们在映射中的作用。

提供一些例子来帮助学生理解这两个概念。

3.2 一一对应关系介绍一一对应关系的概念，即一个定义域元素只能对应一个值域元素，一个值域元素也只能被一个定义域元素对应。

通过例子让学生理解一一对应关系的特点。

3.3 逆映射解释逆映射的概念，即给定映射中的一个元素，可以找到对应的另一个元素。

通过例子帮助学生理解逆映射的概念和性质。

4. 运用映射解决问题（20分钟）4.1 计算映射提供一些实际问题，让学生通过计算映射的定义域和值域来解决问题。

例如，一个地图上的两个城市，计算两个城市之间的距离。

4.2 应用映射提供一些实际问题，让学生通过应用映射的概念和性质来解决问题。

例如，根据一个函数的定义域和值域，求解特定条件下的函数值。

5. 总结与拓展（10分钟）对本节课的内容进行总结，并对学生进行问题的拓展练习，巩固和扩展所学的知识。

鼓励学生思考映射在数学中的应用，以及继续深入学习映射的相关知识。

映射知识点总结

映射知识点总结一、概念及基本原理映射是数学中一个非常重要的概念，它指的是将某个集合中的元素通过一个函数对应到另一个集合中的元素的过程。

在数学中，映射通常被称为函数，而两个集合之间的映射关系则被称为函数的定义域和值域。

映射的基本原理是一一对应，即一个元素只能对应到另一个元素，不能对应到多个元素，也不能没有对应的元素。

二、映射的符号表示在数学中，映射一般用函数的符号表示，即f: A → B，其中f表示函数的名称，A表示函数的定义域，B表示函数的值域。

当我们说“f是从集合A到集合B的映射”时，就是指函数f将集合A中的元素映射到集合B中的元素。

三、映射的分类根据映射的函数特性和性质，可以将映射分为多种不同的类型。

常见的映射类型包括：1. 单射：如果函数f：A → B满足对任意的x1、x2∈A，当x1≠x2时，有f(x1)≠f(x2)，则称函数f是单射。

2. 满射：如果函数f：A → B满足对任意的y∈B，存在x∈A使得f(x)=y，即每一个B中的元素都有对应的A中的元素与之对应，则称函数f是满射。

3. 双射：如果函数f：A → B既是单射又是满射，则称函数f是双射。

四、映射的应用映射在实际生活和科学研究中有着广泛的应用。

例如，在工程技术领域，映射常用于描述物理量和控制系统之间的关系；在经济学和管理学领域，映射常用于描述市场供求关系和企业决策模型；在生物学和医学领域，映射常用于描述遗传规律和生理现象等。

其实，映射在数学上的应用是最为丰富和广泛的，几乎贯穿于整个数学领域。

五、映射的相关定理映射作为数学中的一个重要概念，有着许多重要的定理和性质。

其中，最为著名的定理之一就是庞加莱-齐帕多定理。

该定理是解析函数论领域中的一个重要结果，它表明了圆盘上的解析映射具有特殊的性质，可以通过保角映射将圆盘上的问题转化为单位圆上的问题。

六、映射的发展与研究自底加莱-齐帕多定理被提出以来，映射的研究领域得到了很大的发展。

在此基础上，许多数学家提出了各种不同类型的映射和函数，并研究了它们的性质与应用。

北师大版高中数学必修一课件2.1.4+映射的概念_

(x,y)与之对应；
都有惟一确定的与之对应
3°对于任意一个三角形，都有惟一确定的面积与之对应；
4°我们班的每一位同学，都有惟一确定的学号与之对应．
二、映射的概念 (P32)
两个非空集合A，B存在着对应关系f，而且对
于A中的每一个元素 x ,B中都有惟一的元素 y 与
之对应，这样的对应称为集合A到集合B的映射，
多箭一雕型
√
判断
A
B
例如图所示的对应中，哪些是A到B的映射？（4如图所示的对应是否为A到B的映射？
a
1
c
2
A
B
练习2 下列对应关系中，哪些是A到B的映函射数？
1．A={1,4,9},B={-3,-2,-1,1,2,3}, × f:x→x的平方根；
2．A=R，B=R，f:x→x的倒数；
×
3．A=R，B=R，f:x→x2-2；
√
4．A={平面内周长为5的三角形}，
B={平面内点}，
√×
f:三角形→三角形的外心．
三、想一想
映射与函数有什么区别与联系？区别
联系
映射：一般地，设AA，，BB是是两两个个非非空空集集合合，如果按某种对应法则f，对于A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应，那么，这样的单值对应叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B．
1.A中的每一个元素在B中都有唯一的像与之对应； 2 .A中的不同元素的像也不同； 3.B中的每一个元素都有原像.
五、试一试
1.若B={-1,3,5}，试找出一个集合A，使得f:x→2x-1是A到B的映射？
五、试一试
2.已知映射f:A→B,A=B={(x,y)|x∈R,y∈R}, A中的元素(x,y)对应B中的元素为(3x-2y+1, 4x+3y-1),问：

高中数学映射的概念练习题(有答案)

高中数学映射的概念练习题（有答案）数学必修1(苏教版)2．1函数的概念和图象2.1.4映射的概念函数实质上是定义域A(非空数集)到其值域B(非空数集)，按照某个对应法则f的一个对应，能否将函数的概念拓展为不是数集的对应？基础巩固1．设A＝{x|02}，B＝{y|12}，如图，能表示集合A到集合B的映射的是()解析：因为象集为{y|12}，故A，B错，又根据映射的定义知C错．答案：D2．已知f：AB是集合A到B的映射，又A＝B＝R，对应法则f：xy＝x2＋2x－3，kB且k在A中没有原象，则k的取值范围是()A．(－，－4) B．(－1,3)C．[－4，＋) D．(－，－1)(3，＋)解析：∵y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4－4，即象集为[－4，＋)当k－4时，k就没有原象．答案：A3．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝1}，映射f：MN，在f作用下(x，y)的象是(2x,2y)，则集合N为()A．{(x，y)|x＋y＝2，x0，y0}B．{(x，y)|xy＝1，x0，y0}C．{(x，y)|xy＝2，x0，y0}D．{(x，y)|xy＝2，x0，y0}解析：2x2y＝2x＋y＝21＝2.答案：D4．给出以下对应：(1)集合A＝{P|P是数轴上的点}，集合B＝R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；(2)集合A＝{P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B＝{(x，y)|xR，yR}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；(3)集合A＝{x|x是三角形}，集合B＝{x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；(4)集合A＝{x|x是新华中学的班级}，集合B＝{x|x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．其中是从集合A到B的映射的是________(填序号)．答案：(1)(2)(3)5．已知A＝B＝R，xA，yB，f：xy＝ax＋b，若55，且711，则当x20时，x＝________.解析：由5a＋b＝5，7a＋b＝11a＝3，b＝－10，即y＝3x－10.当y＝20时，易得x＝10.答案：106．从集合A＝{1,2,3,4}到B＝{5,6,7}可建立________个不同的映射．解析：1选象有3种选法，同样的，2,3,4都有3种选象的方法且互不影响．共有3333＝81个不同映射．答案：817．已知M＝{正整数}，P＝{正奇数}，映射f：a(aM)b＝2a －1，则在映射f下，M中的元素11对应着P中的元素________，P中的元素11对应着M中的元素________．解析：由题知a＝11，b＝21，即M中的元素11对应着P中的元素21；又b＝11，代入b＝2a－1，a＝6，即P中的元素11对应着M中的元素6.答案：21 68．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文(加密)，接收方由密文明文(解密)，已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b,2b＋c，2c＋3d,4d.例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为________．解析：由题目的条件可以得到a＋2b＝14,2b＋c＝9，2c＋3d ＝23,4d＝28，a＝6，b＝4，c＝1，d＝7.答案：6,4,1,79．某次数学考试中，学号为i(14，且iN)的四位同学的考试成绩f(i){91,93,95,97,99}，且满足f(1)f(3)f(4)，则这四位同学考试成绩的所有可能情况有________种．解析：若f(1)f(3)f(4)，则有5种可能，若f(1)f(2)＝f(3)f(4)，则有10种可能，故成绩可能状况为5＋10＝15种．答案：1510．设A＝{1,2,3，m}，B＝{4,7，n4，n2＋3n}，f：xy＝px ＋q是从集合A到集合B的一个映射，已知m，nN*,1的象是4,7的原象是2，试求p，m，q，n的值．解析：由题知p＋q＝4，2p＋q＝7，p＝3，q＝1，y＝3x＋1，33＋1＝n4，3m＋1＝n2＋3n或33＋1＝n2＋3n，3m＋1＝n4，∵m，nN*，n4＝10，3m＋1＝n2＋3n(舍去)或10＝n2＋3n，3m＋1＝n4. m＝5，n＝2.p＝3，q＝1，n＝2，m＝5.能力提升11．函数f(x)的定义域为A，若x1，x2A，且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数，例如函数f(x)＝2x＋1(xR)就是单函数．下列命题：①函数f(x)＝x2(xR)就是单函数；②若f(x)为单函数，x1，x2A且x1x2，则f(x1)f(x2)；③若f：AB为单函数，则对任意bB，它至多有一个原象．其中正确命题是__________(写出所有正确命题序号)．答案：②③12．已知集合A为实数集R，集合B＝{y|y2}，xA，yB，对应法则f：xy＝x2－2x＋2，那么f：AB是A到B的映射吗？如果不是，可以如何变换集合A或B(f不变)使之成为映射．解析：由于x2－2x＋2＝(x－1)2＋11，即在f下，A中的元素变换成集合{y|y1}中的元素，现在已知的集合B＝{y|y2}，所以A中的部分元素x(0,2)在B中无对应元素．所以f：AB不是A到B的映射．xKb 1. Com将B改为{y|y1}，A与f不变，则f：AB成为A到B的一个映射．要练说，得练看。

§2.1.4映射的概念(学生版)

§2.1.4映射的概念主备人：庄正宇教学目标：（1）了解映射的概念及表示方法；（2）结合简单的对应图表，理解一一映射的概念；（3）帮助学生体验数学学习活动中的成功与快乐，培养学生对数学的良好情感，引导学生提出问题，激发学生学习数学的热情。

教学重点：映射的概念．教学难点：映射的判断．教学过程：一.引入课题我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，其实对应在生活中随处可见，比如：同学和他的学号是一种对应；每一种商品和它的条形码也是一种对应。

请同学们想一想生活中还有那些对应？二．新课教学函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射.一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某种对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应f：AB 为从集合A到集合B的一个映射．记作“f：AB”三.例题讲解：例1.下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？（1）A={P | P是数轴上的点}，B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）A={ P | P是平面直角体系中的点}，B={（x，y）| x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角体系中的点与它的坐标对应；（3）A={三角形}，B={x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）A={x | x是新华中学的班级}，B={x | x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．思考1：将（3）中的对应关系f改为：每一个圆对应它的内接三角形；将（4）中的对应关系f改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应是集合B到集合A的映射吗？思考2：成语“一箭双雕”是不是映射?练习:书上42页.43页的8例2.《课课练》32页第8，9题。

四．课堂小结五．课后作业：《课课练》第10 课时。

§2.1.4映射的概念

§2.1.4映射的概念【学习目标】了解映射的概念及表示方法，会利用映射的概念来判断“对应关系”是否为映射，感受对应关系到刻画到函数概念中的作用，提高对数学应用性的认识重点、难点：映射的概念．【学习过程】：一、复习回顾：1．函数的概念：2．下列对应关系是否是从M 到N 的函数：（1）M={1，2，3}，N={3，4，5，6，7，8，9}，法则：乘2加1；（2）M=N *，N={0，1}，法则：除以2得的余数；（3）M=}0{>∈x R x ，N=R ，法则：x y x ±=→（4） A ＝{中国，日本，美国，英国}，B ＝{北京，东京，华盛顿，伦敦}，f ：国家a 对应于它的首都b ，二、新课讲授：1② ③④A ＝{中国，日本，美国，英国}，B ＝{北京，东京，华盛顿，伦敦}，对应关系f ：国家a 对应于它的首都b ，问题：观察上述四个对应，它们有什么共同的特点是2．映射：（1）定义：一般地，设,A B 是两个_____集合，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的________元素x ，在集合B 中都有_______的元素y 与之对应，这样的对应叫做从集合A 到集合B 的的映射，记为 _______．(包括集合A 、B 及A 到B 的对应法则)思考1：映射与函数的概念有什么联系和区别？思考2：对于A 中的“任一元素”B 中会不会出现多个元素与之对应吗？比如右侧的对应是不是映射思考3：集合B 中的元素是不是在集合A 中都有元素和它对应？下列集合A 到集合B 的对应中，不能构成映射的是________．(填序号)说明：允许集合B 中有剩留元素；允许多对一，不允许一对多.集合A ，B 可以是数集，也可以是点集或其它类型的集合.思考4：“从集合A 到集合B 的的映射”与“从集合B 到集合A 的的映射”相同吗？说明：:f A B →与:f B A →是不同的，即A 与B 上有序的.或者说：映射是有方向的，三、典例欣赏：例1．下列对应是否是从A 到B 的映射：（1）A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，f ：A →B “乘2加1”；（2）A=N *，B={0，1}，f ：A →B “除以2得的余数”；（3）A=R ，B={直线上的点}，f ：A →B “建立数轴的方法，使A 中的数与B 中的点对应”；（4）A={x|x 是三角形}，B={y|y >0}，f ：A →B “计算面积”；（5）A=R ，B=（0，+∞），f ：x →y=|x|；（6）A=Z ，B=Z ，f ：A →B “求平方”；（“求平方根”）（7）A=B=N ，f ：x →|x-3|。

映射的简单理解

映射的简单理解
x
《映射的简单理解》
映射（mapping）是一种数学概念，指的是两个集合之间的对应关系。

一个集合代表输入，另一个集合代表输出，它们之间有一个确定的规则将输入和输出关联起来。

简单来说，映射就是一种工具，可以将一组输入值转换为另一组输出值。

它在数学中有着广泛的应用，可以把抽象的概念转换为可视化的形式，节省空间和时间，提高效率。

映射的规则有很多种，比如函数映射，它指的是一种特殊的映射，将一组输入值转换为一组确定的输出值，即函数值。

它可以用示意图来展示，将复杂的问题转化为表格和图形，便于理解。

映射也可以在图论中应用。

它是一种有向图，可以表示两个不同的集合之间的关系。

它能用来描述两组项之间的联系，还可以用于制定道路，求解任务之间的关系等。

总之，映射是一种强大的数学工具，它可以用于把复杂的概念转化为可视化的表现形式，以便于理解和表达。

它不仅可以用于数学，还可以用于计算机科学，生物学等其他领域。

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苏教版高中数学必修一2.1.4 映射的概念.docx

2．1.4 映射的概念课时目标 1.了解映射的概念.2.了解函数与映射的区别与联系．1．一般地，设A 、B 是两个非空集合，如果按某种对应法则f ，对于A 中的________元素，在B 中都有______的元素与之对应，那么，这样的__________叫做集合A 到集合B 的映射，记作________． 2．映射与函数由映射的定义可以看出，映射是______概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A ，B 必须是__________．一、填空题1．设f ：A →B 是从集合A 到集合B 的映射，则下面说法正确的是________．(填序号) ①A 中的每一个元素在B 中必有元素与之对应； ②B 中每一个元素在A 中必有元素与之对应；③A 中的一个元素在B 中可以有多个元素与之对应； ④A 中不同元素在B 中对应的元素必不同．2．已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列能表示从P 到Q 的映射的是________．(填序号)①f ：x →y ＝12x ；②f ：x →y ＝13x ；③f ：x →y ＝23x ；④f ：x →y ＝x .3．下列集合A 到集合B 的对应中，不能构成映射的是________．(填序号)4．下列集合A ，B 及对应法则能构成函数的是________．(填序号) ①A ＝B ＝R ，f (x )＝|x |；②A ＝B ＝R ，f (x )＝1x；③A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5,6,7}，f (x )＝x ＋3； ④A ＝{x |x >0}，B ＝{1}，f (x )＝x 0.5．给出下列两个集合之间的对应法则，回答问题：①A ＝{你们班的同学}，B ＝{体重}，f ：每个同学对应自己的体重； ②M ＝{1,2,3,4}，N ＝{2,4,6,8}，f ：n ＝2m ，n ∈N ，m ∈M ； ③M ＝R ，N ＝{x |x ≥0}，f ：y ＝x 4；④A ＝{中国，日本，美国，英国}，B ＝{北京，东京，华盛顿，伦敦}，f ：对于集合A 中的每一个国家，在集合B 中都有一个首都与它对应．上述四个对应中映射的个数为______，函数的个数为______． 6．集合A ＝{1,2,3}，B ＝{3,4}，从A 到B 的映射f 满足f (3)＝3，则这样的映射共有________个．7．设A ＝Z ，B ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈Z }，C ＝R ，且从A 到B 的映射是x →2x －1，从B到C 的映射是y →12y ＋1，则经过两次映射，A 中元素1在C 中的对应的元素为________．8．设f ，g 都是由A 到A 的映射，其对应法则如下表：映射f 的对应法则如下：A 中元素1 2 3 4 对应元素3 4 2 1 映射g 的对应法则如下：A 中元素1 2 3 4 对应元素4 3 1 2 则f [g (1)]的值为________．9．已知f 是从集合M 到N 的映射，其中M ＝{a ，b ，c }，N ＝{－3,0,3}，则满足f (a )＋f (b )＋f (c )＝0的映射f 的个数是________．二、解答题10．设f ：A →B 是集合A 到集合B 的映射，其中A ＝{正实数}，B ＝R ，f ：x →x 2－2x －1，求A 中元素1＋2在B 中的对应元素和B 中元素－1在A 中的对应元素．11．已知A ＝{1,2,3，m }，B ＝{4,7，n 4，n 2＋3n }，其中m ，n ∈N *.若x ∈A ，y ∈B ，有对应法则f ：x →y ＝px ＋q 是从集合A 到集合B 的一个映射，且f (1)＝4，f (2)＝7，试求p ，q ，m ，n 的值．能力提升12．已知集合A ＝R ，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，f ：A →B 是从A 到B 的映射，f ：x →(x ＋1，x 2＋1)，求A 中元素2在B 中的对应元素和B 中元素⎝⎛⎭⎫32，54在A 中的对应元素．13．在下列对应法则中，哪些对应法则是集合A 到集合B 的映射？哪些不是． (1)A ＝{0,1,2,3}，B ＝{1,2,3,4}，对应法则f ：“加1”； (2)A ＝(0，＋∞)，B ＝R ，对应法则f ：“求平方根”； (3)A ＝N ，B ＝N ，对应法则f ：“3倍”；(4)A ＝R ，B ＝R ，对应法则f ：“求绝对值”； (5)A ＝R ，B ＝R ，对应法则f ：“求倒数”．1．映射中的两个集合A 和B 可以是数集、点集或由图形组成的集合等，映射是有方向的，A 到B 的映射与B 到A 的映射往往是不一样的．2．对应、映射、函数三个概念既有区别又有联系，在了解映射概念的基础上，深刻理解函数是一种特殊的映射，而映射又是一种特殊的对应．3．判断一个对应是否是映射，主要看第一个集合A 中的每一个元素在对应法则下是否都有对应元素，若有，再看对应元素是否唯一，若惟一则这个对应就是映射．2．1.4 映射的概念知识梳理1．每一个惟一单值对应 f ：A →B 2.函数非空数集作业设计 1．① 2．①②④解析如果从P 到Q 能表示一个映射，根据映射的定义，对P 中的任一元素，按照对应法则f 在Q 中有惟一元素和它对应，选项③中，当x ＝4时，y ＝23×4＝83∉Q .3．①②③解析 ①、②中的元素2没有对应的元素；③中1的对应有两个；只有④满足映射的定义．4．①③④解析在②中f (0)无意义，即A 中的数0在B 中找不到和它对应的数． 5．4 2解析 ①、②、③、④都是映射；②、③是函数． 6．4解析由于要求f (3)＝3，因此只需考虑剩下两个元素的对应元素的问题，总共有如图所示的4种可能．7.13解析 A 中元素1在B 中对应的元素为2×1－1＝1，而1在C 中对应的元素为12×1＋1＝13.8．1解析 ∵g (1)＝4，∴f [g (1)]＝f (4)＝1. 9．7解析 ⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝3，f (b )＝0，f (c )＝－3， ⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝－3，f (b )＝0，f (c )＝3，⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝3，f (b )＝－3，f (c )＝0，⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝－3，f (b )＝3，f (c )＝0，⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝0，f (b )＝3，f (c )＝－3，⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝0，f (b )＝－3，f (c )＝3，f (a )＝f (b )＝f (c )＝0.10．解当x ＝1＋2时，x 2－2x －1＝(1＋2)2－2×(1＋2)－1＝0，所以1＋2的对应元素是0.当x 2－2x －1＝－1时，x ＝0或x ＝2. 因为0∉A ，所以－1的对应元素是2.11．解由f (1)＝4，f (2)＝7，列方程组： ⎩⎪⎨⎪⎧ p ＋q ＝42p ＋q ＝7⇒⎩⎪⎨⎪⎧p ＝3q ＝1. 故对应法则为f ：x →y ＝3x ＋1.由此判断出A 中元素3的对应值是n 4或n 2＋3n .若n 4＝10，因为n ∈N *，不可能成立，所以n 2＋3n ＝10，解得n ＝2(舍去不满足要求的负值)．又当集合A 中的元素m 的对应元素是n 4时，即3m ＋1＝16，解得m ＝5.当集合A 中的元素m 的对应元素是n 2＋3n 时，即3m ＋1＝10，解得m ＝3.由元素互异性知，舍去m ＝3.故p ＝3，q ＝1，m ＝5，n ＝2.12．解将x ＝2代入对应法则，可求出其在B 中的对应元素(2＋1,3)．由⎩⎨⎧x ＋1＝32，x 2＋1＝54，得x ＝12.所以2在B 中的对应元素为(2＋1,3)，⎝⎛⎭⎫32，54在A 中对应元素为12. 13．解 (1)中集合A 中的每一个元素通过对应法则f 作用后，在集合B 中都有唯一的一个元素与之对应，显然，对应法则f 是A 到B 的映射．(2)中集合A 中的每一个元素通过对应法则f 作用后，在集合B 中都有两个元素与之对应，显然对应法则f 不是A 到B 的映射．(3)中集合A 中的每一个元素通过对应法则f 作用后，在集合B 中都有唯一的元素与之对应，故对应法则f 是从A 到B 的映射．(4)中集合A 中的每一个元素通过对应法则f 作用后，在集合B 中都有唯一的元素与之对应，故对应法则f 是从A 到B 的映射．(5)当x ＝0∈A ，1x无意义，故对应法则f 不是从A 到B 的映射．。