高二新数学(1)

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高二数学抛物线及标准方程1

抛物线及其标准方程(1)
一、椭圆和双曲线的第二定义：
与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹.
y
N F M
y
N
M
F
o
F'
x
F'
o
x
当e＞1时，是双曲线。当0＜e ＜1时，是椭圆，当e=1时，它又是什么曲线？
二、抛物线的定义：
动点 M 与一个定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比是常数 e 1，则这个点的轨迹是抛物线 .
3、求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程 .
众人都是花团锦簇，只有她白白净净，而且平时她都是淡紫色、青藕色，今天这各壹反常态の月白色确实是让他想不注意她都困难。不过，他与十三小格壹样，也只是注意咯壹下就晃咯过去，转而跟他の十三弟热聊起来。第壹卷第442章失礼人员到齐，寿宴正式开始，各式菜品陆陆续续地端咯上来。水清原本就没有心情，胃口也不好，因此哪壹各菜她都不想吃。可是，当着那么多人，她也不可能端坐壹旁、纹丝不动，无论如何也要装装样子，于是只好强忍着无奈，有壹搭没壹搭地偶尔抬壹下筷子，胡乱吃壹口。反正也不用管是啥啊菜品，反正吃到嘴里都是壹各味，只要做出“吃”の姿态就可以咯。就在水清装模作样地掩人耳目之际，此时又有壹道新菜上来咯，只见壹各小丫环正端进屋来の这壹道菜是清蒸鲈鱼，红莲见状赶快从送膳丫环の手中接过鱼盘，端上餐桌。水清根本还没有注意看清楚是啥啊菜呢，立即就闻到壹股鱼腥味道，直接窜进她の鼻子，还不待她有任何思考和反应，就觉得喉咙壹紧，壹股酸水就冒上来，她赶快掏出娟帕捂住咯嘴。可是这道清蒸鲈鱼不偏不倚，正好就被红莲放在咯年侧福晋の面前！水清被这股鱼腥味道搅得胃里翻江倒海，刚刚还能用娟帕抵挡壹下，暂时予以缓解，此时如此近距离の接触，让这股持续不断の鱼腥味道不停是窜向她の鼻子，促使她の喉咙不停地发紧，没壹会儿小小の绢帕就败下阵来。她实在是无法继续坚持下去，只得赶快离席，连句话都说不出来。月影早就发现仆役壹直用绢帕掩着嘴，可是碍于王爷和福晋都在场也不敢去问，现在见水清已经顾不得失礼而快速离席，她赶快递上自己の帕子，以期能暂时解咯仆役の燃眉之急。但是月影の帕子今天用咯百合熏香，浓烈熏香の帕子适得其反，直接就让水清呕咯出来。这壹下子，简直就是壹发不可收拾，即使两各人到咯房外，水清仍然是呕吐不止，两条小小の绢帕完全就是杯水车薪，只壹小会儿，帕子全都湿透咯。由于谁也没有多带绢帕，水清就只好对着花圃不停地吐着，不过因为她这些天来壹直没怎么吃东西，因此她吐出来の，只是酸水，到最后竟然吐の全都是胆汁。眼看着天仙妹妹壹言不发地离席而去，所有人都面面相觑，不明所以。排字琦担心五爷又要追究水清の失礼行为，壹顿训斥和责罚肯定是少不咯。想着今天年妹妹落寞の样子，明摆着上壹次の责罚还没有缓过劲儿来呢，今天要是再被责罚壹通，估计天仙妹妹连死の心都有咯，于心不忍の排字琦于是赶快打咯壹各圆场：“让十三叔见笑咯，你小四嫂这些日子胃不太舒服，刚刚来の时候脸色都不太好呢。”“四嫂您真是客气咯，小四嫂身子不舒服，愚弟怎么会见笑呢。不晓得太医看过咯没有。”“这些天太医倒是经常来，不过我也没有仔细打听，不晓得这胃痛症到底看得怎么样咯。”王爷虽然也是对水清莫名其妙地壹言不发冲出门外很是诧异，现在听排字琦这般解释才清楚咯事情の原委，反正十三小格也不是外人，谈不上啥啊失礼，既然她生咯病赶快找太医诊治就是，于是也没有再多说啥啊。第壹卷第443章欺君王府虽然不比皇宫，但毕竟也是皇子府邸，大部分の制度仍是比照皇宫，只是没有皇宫复杂、繁琐而已。其中壹项制度就是侍寝记忆。皇子皇孙关系着皇家血脉，皇室子嗣记忆是壹项极为重要而严格の制度。因此，王府也有各位女眷の侍寝记忆和月信记忆。在皇宫，这项事务由敬事房负责管理，在王府，则由专门の太监负责记忆。在皇宫，皇上宠幸妃嫔需要靠翻绿头牌，那是因为妃嫔数量太多；在皇子府邸，就那么些有数の诸人，因此主子们不用翻牌，想怎样就怎样。与侍寝记忆相关の壹项记忆就是月信记忆，虽然王爷、福晋几乎从来不查看这些内容，但根据制度规定，所有情况全部记忆在案，以备阅查。在年氏の名档下面，侍寝记忆仍是空白，但是并不意味着她就可以免报月信情况，而且还是必须按时上报。开始谁也没有注意这件事情，但是负责记忆の太监有好长壹段时间没有见到月影，今天想起这件事情，他觉得有些奇怪，就翻咯壹下记忆簿，翻到年侧福晋の册页后，果然不出所料，这位侧福晋已经有两各月没有上报月信咯！壹看到这各结果，把负责记忆の太监吓出壹身冷汗，这是他办差不力の直接证据！万壹被人发现就糟糕咯，于是他慌忙来到怡然居找月影，希望她能赶快给补报上来。月影壹听小太监说明来意，这各气就不打壹处来：“陆公公，您这么说话，月影我可是不能认同。我家主子の月信情况，我当然是最清楚。我办差壹向仔细，从来没有耽误过事情，也没有办错过差事。我家主子没有月信，您让我报啥啊？”“月影姑娘，我这可是在好心提醒你。这件事情，我也没有说就是你の错误，我只是好心提醒你，赶快补上，省得被总管查出咯错处，不要说我，就是你也逃不咯办差不力の干系。”“陆公公，我办差壹向仔细，从没有出过岔子。我现在就明白无误地告诉你，有就是有，没有就是没有，您总不能让我胡编乱造吧，这可是欺君之罪！”“你，你，月影姑娘，我今天才算是认清咯你，我好心好意地提醒你，你居然是狗咬吕洞宾，不识好人心！这可是你说の，有就是有，没有就是没有，那咱们走着瞧，看看到底是谁犯咯欺君之罪！”陆公公被月影气得七窍生烟！他好心好意提醒月影，可能是前些日子太忙，忘记咯上报，结果，这各丫头居然反咬

高二数学精品课堂(新教材人教A版选择性必修第一册)1.1.1空间向量及其线性运算(课件)

(2)给出下列命题：
①若空间向量 a，b 满足 a＝b，则|a|＝|b|;
②平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，必有A→C＝A→1C1； ③若空间向量 m，n，p 满足 m＝n，n＝p，则 m＝p；
④空间中任意两个单位向量必相等.
其中假命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
(1)A 解析： A 中，向量 a，b 平行，则 a，b 所在的直线平行或重合；B 中，|a|＝|b|只能说明 a，b 的长度相等而方向不确定；C 中，向量作为矢量不能比较大小；D 中，相等向量指的是两个向量长度相等、方向相同．故选 A.
所以A→1F1－E→F
＋D→F＋A→B＋C→C1＝A→F＋F→E＋E→D＋D→D1＋
→ D1F1
＝A→F1.(图略)
类型三：空间向量的数乘运算典例示范
【例 3】如图，已知正四棱锥 P ABCD，O 是正方形 ABCD 的中心，Q 是 CD 的中点.
求下列各式中 x，y，z 的值. (1)O→Q＝xP→Q＋yP→C＋zP→A； (2)P→A＝xP→O＋yP→Q＋zP→D.
(2)A 解析： ①为真命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，模一定相等；②为真命题，平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，A→C与 A→1C1的方向相同，模也相等，故A→C＝A→1C1；③为真命题，向量相等满足传递性；④为假命题，空间中任意两个单位向量的模均为 1，但方向不一定相同，故不一定相等．故选 A.
1．空间向量的运算仍然遵循三角形法则和平行四边形法则，在进行加法、减法运算时，要注意找准向量所在的三角形或平行四边形.
2．向量的加法和减法是互逆运算，在进行减法运算时，可将减去一个向量转化为加上这个向量的相反向量.

2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：直线与圆的位置关系(附答案解析)

2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：直线与圆的位置关系【考点梳理】考点一：直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判断方法几何法：设圆心到直线的距离为d ＝|Aa ＋Bb ＋C |A 2＋B 2d <r d ＝r d >r代数法：由Ax ＋By ＋C ＝0，(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，消元得到一元二次方程，可得方程的判别式ΔΔ>0Δ＝0Δ<0考点二：直线与圆的方程解决实际问题审题→建立数学模型→解答数学模型→检验，给出实际问题的答案．【题型归纳】题型一：判断直线与圆的位置关系1．（2021·全国高二单元测试）直线10mx y -+=与圆22(2)(1)5x y -+-=的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．与m 的值有关2．（2021·浙江高二期末）直线:1l y ax a =-+与圆224x y +=的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．与a 的大小有关3．（2021·北京房山·高二期末）已知直线10l kx y k -+-=：和圆C ：2240x y x +-=，则直线l 与圆C 的位置关系为（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定题型二：由直线与圆的位置关系求参数4．（2021·云南省云天化中学高二期末（文））直线30x y a ++=是圆22240x y x y ++-=的一条对称轴，则a =（）A ．1-B ．1C ．3-D ．35．（2021·内蒙古赤峰市·）若直线()200,0ax by a b --=>>被圆22 2210x y x y +-++=截得的弦长为2，则11a b+的最小值为（）A ．14B ．4C ．12D ．26．（2020·大连市红旗高级中学）若直线:1l y kx =-与圆()()22:212C x y -+-=相切，则直线l 与圆()22:23D x y -+=的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定题型三：圆的弦长问题7．（2021·汕头市澄海中学高二月考）若圆22:160C x x y m +++=被直线3440x y ++=截得的弦长为6，则m =（）A ．26B ．31C ．39D ．438．（2021·湖南长沙市·长郡中学高二期中）圆22:(2)4C x y -+=与直线40x y --=相交所得弦长为（）A ．1B ．2C ．2D ．229．（2021·湖北十堰市·高二期末）直线3410x y ++=被圆220x y x y +-+=所截得的弦长为（）A ．710B ．57C ．75D ．145题型四：圆的弦长求参数或者切线方程10．（2021·上海闵行中学高二期末）圆()()22134x y -+-=截直线10ax y +-=所得的弦长为23，则a =（）A ．43-B ．34-C ．3D ．211．（2021·广西河池市·高二期末（文））已知斜率为1-的直线l 被圆C ：222430x y x y ++-+=截得的弦长为6，则直线l 的方程为（）A ．2210x y ++=或2230x y +-=B ．0x y +=或20x y +-=C ．2220x y +-=或22320x y ++=D ．20x y +-=或220x y ++=12．（2021·长春市第二十九中学高二期末（理））直线220ax by -+=被222440x y x y ++--=截得弦长为6，则ab 的最大值是（）A ．9B ．4C ．12D ．14题型五：直线与圆的应用13．（2021·广东深圳市·高三月考）一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度最接近（）A ．13.1米B ．13.7米C ．13.2米D ．13.6米14．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学高一期中）如图，某个圆拱桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米；当水面下降1米后，桥在水面的跨度为（）A ．230米B ．202米C ．430米D ．125米15．（2020·重庆市万州沙河中学高二月考）一艘海监船上配有雷达，其监测范围是半径为26km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40km 的A 处出发径直驶向位于海监船正北30km 的B 处岛屿，船速为10km/h 这艘外籍轮船能被海监船监测到且持续时间长约为（）小时A ．1B ．2C ．3D ．4题型六：直线与圆的位置关系的综合应用16．（2021·贵州遵义市·高二期末（理））已知O 圆心在直线2y x =+上，且过点()1,0A 、()2,1B ．（1）求O 的标准方程；（2）已知过点()3,1的直线l 被所截得的弦长为4，求直线l 的方程．17．（2020·永丰县永丰中学高二期中（文））已知圆C 经过点()()1,0,2,1A B ，且圆心在直线:l y x =上．（1）求圆C 的方程；（2）若(,)P x y 为圆C 上的动点，求22y x +-的取值范围．18．（2020·黑龙江哈尔滨·哈九中高二期中（文））已知线段AB 的端点B 的坐标是()6,8，端点A 在圆2216x y +=上运动，M 是线段AB 的中点，且直线l 过定点()1,0.（1）求点M 的轨迹方程；（2）记（1）中求得的图形的圆心为C ，（i ）若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；（ii ）若直线l 与圆C 交于,P Q 两点，求CPQ 面积的最大值，并求此时直线l 的方程.【双基达标】一、单选题19．（2021·嘉兴市第五高级中学高二期中）直线:1l y x =-截圆22:1O x y +=所得的弦长是（）A ．2B ．3C ．2D ．120．（2021·陆良县中枢镇第二中学高二月考）经过点()2,3P -作圆22:224C x y x ++=的弦AB ，使得点P 平分弦AB ，则弦AB 所在直线的方程为（）A ．50x y --=B ．50x y +-=C ．50x y -+=D ．50x y ++=21．（2021·云南保山市·高二期末（文））若直线m ：0kx y +=被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则点()0,23A 与直线m 上任意一点P 的距离的最小值为（）A ．1B ．3C ．2D ．2322．（2021·四川省乐至中学高二期末）圆222410x y x y ++-+=关于直线220ax by -+=(),a b R ∈对称，则ab 的取值范围是（）A ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．10,4⎛⎤⎥⎝⎦C ．1,04⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭23．（2021·全国高二专题练习）直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于M ，N 两点，若23MN =，则k 的值是（）A ．34-B ．0C ．0或34-D ．3424．（2021·广西桂林市·（理））圆222420x x y y -+++=到直线2220x y -+=的距离为1的点有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个25．（2021·全国）已知圆C 的方程为22(3)(4)1x y -+-=，过直线:350l x ay +-=上任意一点作圆C 的切线．若切线长的最小值为15，则直线l 的斜率为（）A ．4B ．-4C ．34-D ．43-26．（2021·全国高二期中）在平面直角坐标系中，动圆222:(1)(1)C x y r -+-=与直线1(2)()y m x m R +=-∈相切，则面积最大的圆的标准方程为（）A ．22(1)(1)4x y -+-=B ．22(1)(1)5x y -+-=C ．22(1)(1)6x y -+-=D ．22(1)(1)8x y -+-=27．（2021·山西晋中·高二期末（理））已知圆22:20C x y x +-=，直线:10l x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作圆C 的两条切线PA 、PB ，切点分别A 、B ，当·PC AB 最小时，直线AB 的方程为（）A ．0x y +=B ．0x y -=C ．2210x y -+=D ．2210x y ++=28．（2021·克拉玛依市第一中学高二月考）已知圆22:4210C x y x y +--+=及直线():2l y kx k k R =-+∈，设直线l 与圆C 相交所得的最长弦长为MN ，最短弦为PQ ，则四边形PMQN 的面积为（）A ．42B ．22C ．8D ．82【高分突破】一：单选题29．（2021·全国高二专题练习）已知圆()()22224244100x y mx m y m m m +--++++=≠的圆心在直线70x y +-=上，则该圆的面积为（）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π30．（2021·南昌市豫章中学（文））若圆22224120x y ax y a +-++-=上存在到直线4320x y --=的距离等于1的点，则实数a 的取值范围是（）A ．2921,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．91,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．91,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D ．2921,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭31．（2021·浙江丽水·高二期中）已知圆22:1O x y +=，直线:20l x y ++=，点P 为l 上一动点，过点P 作圆O 的切线PA ，PB （切点为A ，B ），当四边形PAOB 的面积最小时，直线AB的方程为（）A ．10x y -+=B ．20x y -+=C ．10x y ++=D ．20x y +-=32．（2021·云南师大附中（理））已知在圆()2222x y r ++=上到直线40x y +-=的距离为2的点恰有三个，则r =（）A ．23B ．26C ．42D ．833．（2021·四川（理））已知圆221x y +=与直线310ax by ++=（a ，b 为非零实数）相切，则2213a b+的最小值为（）A ．10B ．12C ．13D ．1634．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高二其他模拟（理））若过点()4,3A 的直线l 与曲线()()22231x y -+-=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A ．3,3⎡⎤-⎣⎦B ．()3,3-C ．33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．33,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭35．（2021·全国高二专题练习）已知三条直线1:0l mx ny +=，2:30l nx my m n -+-=，3:0l ax by c ++=，其中m ，n ，a ，b ，c 为实数，m ，n 不同时为零，a ，b ，c 不同时为零，且2a c b +=．设直线1l ，2l 交于点P ，则点P 到直线3l 的距离的最大值是（）A ．52102+B ．105822+C ．58102+D ．105222+二、多选题36．（2021·全国高二专题练习）已知直线:20l kx y k -+=和圆22:16O x y +=，则（）A ．直线l 恒过定点()2,0B ．存在k 使得直线l 与直线0:220l x y -+=垂直C ．直线l 与圆O 相交D ．若1k =-，直线l 被圆O 截得的弦长为437．（2020·河北武强中学高二月考）直线l 经过点()5,5P ，且与圆22:25C x y +=相交，截得弦长为45，则直线l 的方程为（）A ．250x y --=B ．250x y -+=C ．250x y -+=D ．250x y --=38．（2021·全国高二专题练习）设直线():1l y kx k =+∈R 与圆22:5C x y +=，则下列结论正确的为（）A ．l 与C 可能相离B ．l 不可能将C 的周长平分C ．当1k =时，l 被C 截得的弦长为322D ．l 被C 截得的最短弦长为439．（2021·山东菏泽·高二期末）已知直线:(2)10l mx m y m --+-=，圆22:20C x y x +-=，则下列结论正确的是（）A ．直线l 与圆C 恒有两个公共点B ．圆心C 到直线l 的最大距离是2C ．存在一个m 值，使直线l 经过圆心CD ．当1m =时，圆C 与圆22(1)1y x +-=关于直线l 对称三、填空题40．（2021·合肥百花中学高二期末（理））设直线1y x =+与圆22(1)4x y ++=交于,A B 两点，则AB =__________．41．（2021·绵阳市·四川省绵阳江油中学（文））已知点(),x y 在圆22(2)(3)1x y -++=上，则x y +的最大值是________．42．（2021·上海高二期中）在平面直角坐标系中，过点()2,2M 且与圆2220x y x +-=相切的直线方程为__________．43．（2021·江苏南京市·南京一中高二期末）已知直线1l ：()0kx y k R +=∈与直线2l ：220x ky k -+-=相交于点A ，点B 是圆()()22232x y +++=上的动点，则AB 的最大值为___________.四、解答题44．（2021·合肥百花中学高二期末（理））已知圆22:20C x y x my +-+=，其圆心C 在直线y x =上．（1）求m 的值；（2）若过点(1,1)-的直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程．45．（2021·荆州市沙市第五中学高二期中）已知圆C 经过()2,4，()1,3两点，圆心C 在直线10x y -+=上，过点()0,1A 且斜率为k 的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点.（1）求圆C 的方程；（2）若12OM ON ⋅=（O 为坐标原点），求直线l 的方程.46．（2021·台州市书生中学高二期中）已知圆()22:15C x y +-=，直线:10l mx y m -+-=．（1）求证：对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同交点；（2）设l 与圆C 交与不同两点,A B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程；（3）若直线过点()1,1P ，且P 点分弦AB 为12AP PB =，求此时直线l 的方程．47．（2020·安徽六安市·立人中学高二期中（理））已知圆C 经过两点(1,3),(3,1)P Q ---，且圆心C 在直线240x y +-=上，直线l 的方程为(1)2530k x y k -++-=．（1）求圆C 的方程；（2）证明：直线l 与圆C 一定相交；（3）求直线l 被圆C 截得的弦长的取值范围．48．（2020·吉安县立中学（文））已知两个定点(0,4)A ，(0,1)B ，动点P 满足||2||PA PB =，设动点P 的轨迹为曲线E ，直线l ：4y kx =-.（1）求曲线E 的轨迹方程；（2）若l 与曲线E 交于不同的C 、D 两点，且120COD ∠=︒(O 为坐标原点)，求直线l 的斜率；（3）若1k =，Q 是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线QM 、QN ，切点为M 、N ，探究：直线MN 是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由.2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：直线与圆的位置关系【答案详解】1．A 【详解】10mx y -+=过定点()0,1，且()22(214501)+-=<-，故()0,1在圆内，故直线和圆相交.故选：A 2．A 【详解】直线l ：1=-+y ax a ，即()11y a x =-+恒过()1,1，而221124+=<，故()1,1点在圆内，故直线与圆必然相交．故选：A ．3．A 【详解】直线方程整理为(1)10k x y --+=，即直线过定点(1,1)P ，而22114120+-⨯=-<，P 在圆C 内，∴直线l 与圆C 相交．故选：A ．4．B 【详解】由22240x y x y ++-=，得22(1)(2)5x y ++-=，则圆心坐标为(12)-，，又直线30x y a ++=是圆22240x y x y ++-=的一条对称轴，由圆的对称性可知，该圆的圆心(12)-，在直线30x y a ++=上，则3(1)121a =-⨯--⨯=，故选：B ．5．D 【详解】由圆的方程22 2210x y x y +-++=，可得圆心坐标为(1,1)-，半径为1r =，因为直线20ax by --=被圆截得的弦长为2，可直线20ax by --=必过圆心(1,1)-，代入可得2a b +=，又因为0,0a b >>，则1111111()()(2)(22)2222b a b aa b a b a b a b a b+=⋅++=⋅++≥⋅+⋅=，当且仅当b aab=时，即1a b ==时，等号成立，所以11a b+的最小值为2.故选：D.6．A 【详解】由圆C 方程知其圆心()2,1C ，半径为2，直线l 与圆C 相切，221121k k --∴=+，解得：23k =±，由圆D 方程知其圆心()2,0D ，半径3r =，∴圆心D 到直线l 距离2211k d k -=+；当23k =+时，()()2222323330843231d r +-=-=-<+++，即d r <，此时圆D 与直线l 相交；当23k =-时，()()2222323330843231d r --=-=-<--+，即d r <，此时圆D 与直线l 相交；综上所述：圆D 与直线l 相交.故选：A.7．C 【详解】将圆化为22(8)64(64)x y m m ++=-<，所以圆心到直线3440x y ++=的距离d =24445-+=，该距离与弦长的一半及半径组成直角三角形，所以224364m +=-，解得39.m =8．D 【详解】圆22:(2)4C x y -+=的圆心坐标为()20，，半径为2，圆心到直线40x y --=的距离为204211d --==+，故弦长为：24222-=，故选：D.9．C 【详解】由220x y x y +-+=可得22111222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则圆心坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径22r =，所以圆心到直线3410x y ++=的距离为22113412211034d ⎛⎫⨯+⨯-+ ⎪⎝⎭==+，所以所求弦长为22725r d -=.故选：C.10．B 【详解】由题意圆心到直线的距离为()()2222222222232241111a a a d r d a a a a +++=∴=-=-∴=∴=+++34-故选：B 11．B 【详解】圆C 的标准方程为22(1)(2)2x y ++-=，设直线l 的方程为0x y m ++=，可知圆心到直线l 的距离为2262(2)22⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，有|1|222m +=，有0m =或2-，直线l 的方程为0x y +=或20x y +-=．故选：B【详解】将222440x y x y ++--=化为标准形式：22(1)(2)9x y ++-=，故该圆圆心为(1,2)-，半径为3.因为直线截圆所得弦长为6，故直线过圆心，所以2220a b --+=，即1a b +=，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭（当且仅当12a b ==时取等号），故选：D.13．C 【详解】如图建立平面直角坐标系，则圆心在y 轴上，设圆的半径为r ，则圆的方程为222(+)x y r r +=，∵拱顶离水面3米，水面宽12米，∴圆过点(6,3)-,∴2236(3+)r r +-=，∴152r =∴圆的方程为2215225(+)24x y +=，当水面下降1米后，可设水面的端点坐标为(,4)t -，则244t =，∴211t =±，∴当水面下降1米后，水面宽度为411，约为13.2，故选：C.14．C 【详解】以圆拱桥的顶点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则圆拱所在圆的圆心位于y 轴负半轴上，设该圆的圆心为()0,a -，0a >，则该圆的方程为()222x y a a ++=，记水面下降前与圆的两交点为A ，B ；记水面下降1米后与圆的两交点为C ，D ；由题意可得，()10,4A --，则()()222104a a -+-+=，解得292a =，所以圆的方程为222292922x y ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，水面位下降1米后，可知C 点纵坐标为5y =-，所以2222929522x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2120x =，则此时的桥在水面的跨度为22120430CD x ===米.故选：C.15．B根据题意以海监船的位置为坐标原点，其正东方向为x 轴，正北方向为y 轴，所以()()40,0,0,30A B ，圆22:676O x y +=，记从N 处开始被监测，到M 处监测结束，所以:14030AB x y l +=，即:341200AB l x y +-=，因为O 到:341200AB l x y +-=的距离为221202434OO -'==+，所以22220MN MO OO '=-=，所以监测时间持续2010=2小时，故选：B.16．（1）()2225x y +-=；（2）1y =或34130x y +-=.由点()1,0A 、()2,1B 可得AB 中点坐标为31,22⎛⎫⎪⎝⎭，10121AB k -==-，所以直线AB 的垂直平分线的斜率为1-，可得直线AB 的垂直平分线的方程为：1322y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭即20x y +-=，由202x y y x +-=⎧⎨=+⎩可得：02x y =⎧⎨=⎩，所以圆心为()0,2O ，()()2210025r OA ==-+-=，所以O 的标准方程为()2225x y +-=，（2）设直线的方程为()13y k x -=-即310kx y k --+=，圆心()0,2O 到直线的距离2131k d k --=+，则()2222134521k k ⎛⎫--⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭可得()222135211k k +=-=+，即2430k k +=，解得：0k =或34k =-，所以直线l 的方程为10y -=或()3134y x -=--，即1y =或34130x y +-=17．（1）22(1)(1)1x y -+-=；（2）4,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【详解】（1）设所求圆的方程为222()()x a y b r -+-=由题意得222222(1)(0)(2)(1)a b r a b r b a ⎧-+-=⎪-+-=⎨⎪=⎩，解得1a b r ===所以，圆的方程为22(1)(1)1x y -+-=（2）由（1）得()()22111x y -+-=，则圆心为()1,1，半径为1；而22y x +-表示圆上的点(,)P x y 与定点()2,2M -连线的斜率，当过点()2,2M -的直线与圆相切时，不妨设直线方程为：()22y k x +=-，即220kx y k ---=，则圆心()1,1到直线220kx y k ---=的距离为212211k k k ---=+，解得43k =-，因此22y x +-的取值范围是4,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；18．【详解】（1）设(),M x y ，()00,A x y ，M 是线段AB 中点，006282x x y y+⎧=⎪⎪∴⎨+⎪=⎪⎩，整理可得：002628x x y y =-⎧⎨=-⎩，A 在圆2216x y +=上，()()22262816x y ∴-+-=，整理可得M 点轨迹方程为：()()22344x y -+-=.（2）（i ）由（1）知：圆心()3,4C ，半径2r =，当直线l 斜率不存在时，方程为1x =，是圆的切线，满足题意；当直线l 斜率存在时，设其方程为()1y k x =-，即kx y k 0--=，∴圆心到直线l 距离23421k k d k --==+，解得：34k =，:3430l x y ∴--=；综上所述：直线l 的方程为1x =或3430x y --=；（ii ）由直线l 与圆C 交于,P Q 两点知：直线l 斜率存在且不为0，设其方程为：()1y k x =-，即kx y k 0--=，∴圆心到直线l 距离22342411k k k d k k ---==++，()2222222144222CPQd d S PQ d d r d d d⎡⎤-+=⋅=-=-≤=⎢⎥⎣⎦（当且仅当224d d -=，即22d =时取等号），由22d=得：()222421k k -=+，解得：1k =或7k =，∴CPQ 面积的最大值为2，此时l 方程为：10x y --=或770x y --=.19．C圆心（0,0）到直线10x y --=的距离|1|122d -==，因为圆的半径为1，则弦长为2212122⎛⎫-= ⎪⎝⎭.故选：C.20．A 【详解】由题意，圆22:224C x y x ++=，可得圆心坐标为(1,0)C -，点()2,3P -在圆C 内，则过点P 且被点P 平分的弦所在的直线和圆心与P 的连线垂直，又由3012(1)CP k --==---，所以所求直线的斜率为1，且过点()2,3P -，可得所求直线方程为(3)1(2)y x --=-⨯-，即50x y --=．故选：A 21．B 【详解】根据题意，圆()2224x y -+=的圆心为()2,0，半径为2，设圆心到直线0kx y +=的距离为d ，则221k d k =+，若直线0kx y +=被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则2222r d =-，所以214d +=，又0d >，解得3d =，所以2321k d k==+，解得3k =±，点()0,23A 与直线m 上任意一点P 的最小值为点到直线的距离122331d k ==+，故选:B ．22．A 【详解】解：把圆的方程化为标准方程得：22(1)(2)4x y ++-=，∴圆心坐标为(1,2)-，半径2r =，根据题意可知：圆心在已知直线220ax by -+=上，把圆心坐标代入直线方程得：2220a b --+=，即1b a =-，则设2211(1)24m ab a a a a a ⎛⎫==-=-+=--+ ⎪⎝⎭，∴当12a =时，m 有最大值，最大值为14，即ab 的最大值为14，则ab 的取值范围是(-∞，1]4．故选：A ．23．C由题意，知23MN =，圆心为(3，2).设圆的半径为r ，则2r =，所以圆心到直线的距离224312MN d r ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭.由点到直线的距高公式，得232311k k -+=+，解得0k =或34k =-.故选：C.24．B 【详解】由222420x x y y -+++=，得22(1)(2)3x y -++=，则圆心为(1,2)-，半径3r =，因为圆心(1,2)-到直线2220x y -+=的距离为22222243381d +++==>+，且2242243333133d ++--=-=<，所以圆222420x x y y -+++=到直线2220x y -+=的距离为1的点有2个，故选：B25．C 【详解】解：由22(3)(4)1x y -+-=，得圆心(3,4)C ，过直线:350l x ay +-=上任意一点作圆C 的切线，要使切线长最小，即要使圆心到直线l 的距离最小，根据题意作图，如图所示：圆的半径为1，切线长为15，∴圆心到直线l 的距离等于221(15)4+=，∴由点到直线的距离公式得2|3345|49a a ⨯+-=+，解得4a =，此时直线l 的斜率为34-．故选：C ．26．B 【详解】解：根据题意，直线1(2)y m x +=-，恒过定点(2,1)-，动圆222:(1)(1)C x y r -+-=，其圆心为(1,1)，半径为r ，若圆的面积最大，即圆心到直线l 的距离最大，且其最大值22(12)(11)5CP =-++=，即圆的面积最大时，圆的半径5r =，此时圆的方程为：22(1)(1)5x y -+-=，故选：B ．27．A 【详解】圆C 的标准方程为()2211x y -+=，圆心为()1,0，半径为1r =.依圆的知识可知，四点P ，A ，B ，C 四点共圆，且AB ⊥PC ，所以14422PAC PC AB S PA AC PA ⋅==⨯⨯⋅=△，而21PA PC =-，当直线PC ⊥l 时，PA 最小，此时PC AB ⋅最小.结合图象可知，此时切点为()()0,0,1,1-，所以直线AB 的方程为y x =-，即0x y +=.故选：A28．A 【详解】将圆C 方程整理为：()()22214x y -+-=，则圆心()2,1C ，半径2r =；将直线l 方程整理为：()12y k x =-+，则直线l 恒过定点()1,2，且()1,2在圆C 内；最长弦MN 为过()1,2的圆的直径，则4MN =；最短弦PQ 为过()1,2，且与最长弦MN 垂直的弦，21112MN k -==-- ，1PQ k ∴=，∴直线PQ 方程为21y x -=-，即10x y -+=，∴圆心C 到直线PQ 的距离为21122-+==d ，22224222PQ r d ∴=-=-=；∴四边形PMQN 的面积114224222S MN PQ =⋅=⨯⨯=.故选：A.29．A 【详解】圆的方程可化为()()()222210x m y m m m -+--=≠，其圆心为(),21m m +.依题意得，2170m m ++-=，解得2m =，∴圆的半径为2，面积为4π，故选：A 30．A 【详解】解:将圆的方程化为标准形式得圆()()22216x a y -++=,所以圆心坐标为(),2a -,半径为4r =因为圆22224120x y ax y a +-++-=上存在到直线4320x y --=的距离等于1的点，所以圆心到直线的距离d 满足15d r ≤+=,即4455a d +=≤,解得:2921,44a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故选:A31．C 【详解】设四边形PAOB 的面积为S ，2||||||PAO S S AO AP AP === ，222||||||||1AP OP OA OP =-=-，所以，当||OP 最小时，||AP 就最小，|002|||22min o l OP d -++===，所以||211min min S AP ==-=．此时OP l ⊥.所以||||||||1OA AP PB OB ====，四边形PAOB 是正方形，由题得直线OP 的方程为y x =，联立20y x x y =⎧⎨++=⎩得(1,1)--P ，所以线段OP 的中点坐标为11(,)22--，由题得直线AB 的斜率为1,-所以直线AB 的方程为11()[()]22y x --=---，化简得直线AB 的方程为10x y ++=.故选：C 32．C 【详解】解：因为圆()2222x y r ++=的圆心为()2,0-，半径为r ，圆心()2,0-到直线40x y +-=的距离22432d --==，因为在圆()2222x y r ++=上到直线40x y +-=的距离为2的点恰有三个，所以32242r =+=．故选：C ．33．D 【详解】因为圆221x y +=与直线310ax by ++=相切，所以2200113a b++=+，所以2231a b +=，所以()2222222222222213133310616310a b a b a b ab b a b b a a ⎛⎫+=+=++≥+⋅= ⎪⎭+⎝，取等号时2214a b ==，所以2213a b +的最小值为16.故选：D.34．C 【详解】由题意，易知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()34y k x -=-，即340kx y k -+-=曲线()()22231x y -+-=表示圆心()2,3，半径为1的圆，圆心()2,3到直线340kx y k -+-=的距离应小于等于半径1，2233411k kk-+-∴≤+，即221k k -≤+，解得3333k -≤≤.故选：C.35．D 【详解】由于1:0l mx ny +=，2:30l nx my m n -+-=，且()0mn n m +⋅-=，12l l ∴⊥，易知直线1l 过原点，将直线2l 的方程化为()()130n x m y ---=，由1030x y -=⎧⎨-=⎩，解得13x y =⎧⎨=⎩，所以，直线2l 过定点()1,3M ，所以10OM =，因为2a c b +=，则2a cb +=，直线3l 的方程为02a c ax y c +++=，直线3l 的方程可化为1022y y a x c ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由02102y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，所以，直线3l 过定点()1,2N -，如下图所示：设线段OM 的中点为点E ，则13,22E ⎛⎫⎪⎝⎭，若点P 不与O 或M 重合，由于OP PM ⊥，由直角三角形的性质可得EP EO EM ==；若点P 与O 或M 重合，满足12l l ⊥.由上可知，点P 的轨迹是以OM 为直径的圆E ，该圆圆心为13,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为102.设点E 到直线3l 的距离为d ，当3EN l ⊥时，d EN =；当EN 不与3l 垂直时，d EN <.综上，22135212222d EN ⎛⎫⎛⎫≤=-+--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以，点P 到直线3l 的距离的最大值为521022OM EN ++=.故选：D.36．BC 【详解】解：对于A 、C ，由:20l kx y k -+=，得(2)0k x y +-=，令200x y +=⎧⎨-=⎩，解得20x y =-⎧⎨=⎩，所以直线l 恒过定点(2,0)-，故A 错误；因为直线l 恒过定点(2,0)-，而()2220416-+=<，即(2,0)-在圆22:16O x y +=内，所以直线l 与圆O 相交，故C 正确；对于B ，直线0:220l x y -+=的斜率为12，则当2k =-时，满足直线l 与直线0:220l x y -+=垂直，故B 正确；对于D ，1k =-时，直线:20l x y ++=，圆心到直线的距离为22002211d ++==+，所以直线l 被圆O 截得的弦长为()22222242214r d -=-=，故D 错误.故选：BC.37．BD 【详解】圆心为原点，半径为5，依题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()55y k x -=-，即550kx y k -+-=，所以()2225552521k k k -=-⇒=+或12k =.所以直线l 的方程为25520x y -+-⨯=或1155022x y -+-⨯=，即250x y --=或250x y -+=.故选：BD38．BD 【详解】对于A 选项，直线l 过定点()0,1，且点()0,1在圆C 内，则直线l 与圆C 必相交，A 选项错误；对于B 选项，若直线l 将圆C 平分，则直线l 过原点，此时直线l 的斜率不存在，B 选项正确；对于C 选项，当1k =时，直线l 的方程为10x y -+=，圆心C 到直线l 的距离为22d =，所以，直线l 被C 截得的弦长为2225322⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，C 选项错误；对于D 选项，圆心C 到直线l 的距离为2111d k =≤+，所以，直线l 被C 截得的弦长为2254d -≥，D 选项正确.故选：BD.39．AD 【详解】解：由直线:(2)10l mx m y m --+-=，即(1)210m x y y +--+=，得10210x y y +-=⎧⎨-+=⎩，解得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则直线l 过定点1(2P ，1)2，圆22:20C x y x +-=化为22(1)1x y -+=，圆心坐标为(1,0)C ，22112||(1)(0)1222PC =-+-=< ，点P 在圆C 内部，∴直线l 与圆C 恒有两个公共点，故A正确；圆心C 到直线l 的最大距离为2||2PC =，故B 错误；直线系方程(2)10mx m y m --+-=不包含直线10x y +-=（无论m 取何值），而经过1(2P ，1)2的直线只有10x y +-=过(1,0)C ，故C 错误；当1m =时，直线l 为0x y -=，圆C 的圆心坐标为(1,0)，半径为1，圆22(1)1y x +-=的圆心坐标为(0,1)，半径为1，两圆的圆心关于直线0x y -=对称，半径相等，则当1m =时，圆C 与圆22(1)1y x +-=关于直线l 对称，故D 正确．故选：AD ．40．22【详解】圆22(1)4x y ++=的圆心为()0,1-，半径为2，则圆心()0,1-到直线的距离为()22011211++=+-，所以()2222222AB =-=，故答案为：2241．21-【详解】令t x y =+，则y x t =-+，t 表示直线在y 轴上的截距，所以x y +的最大值是直线在y 轴上截距的最大值，此时直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，即2312td --==，解得21t =-.故答案为：21-42．x =2或3420x y +=-.【详解】圆2220x y x +-=的标准式为：()2211x y -+=，容易验证x =2与圆相切，若切线的斜率存在，则设其方程为：()22220y k x kx y k -=-⇒-+-=，于是圆心到直线的距离2|2|3141k d k k -+==⇒=+，则切线：310342042x y x y -+=⇒-+=.故答案为：x =2或3420x y +=-.43．522+解：因为直线1l ：()0kx y k R +=∈恒过定点(0,0)O ，直线2l ：220x ky k -+-=恒过定点(2,2)C ，且12l l ⊥，所以两直线的交点A 在以OC 为直径的圆D 上，且圆的方程为22:(1)(1)2D x y -+-=，要求AB 的最大值，转化为在22:(1)(1)2D x y -+-=上找上一点A ，在()()22232x y +++=上找一点B ，使AB 最大，根据题意可知两圆的圆心距为22(12)(13)5+++=，所以AB 的最大值为522+，故答案为：522+44．（1）2m =-；（2）20x y -+=或0x y +=．【详解】解：（1）圆C 的标准方程为：222(1)()124m m x y -++=+，所以，圆心为(1,)2m -由圆心C 在直线y x =上，得2m =-．所以，圆C 的方程为：22(1)(1)2x y -+-=．（2）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：1(1)y k x -=+，即10kx y k -++=，由于直线l 和圆C 相切，得2|2|21k k =+解得：1k =±所以，直线方程为：20x y -+=或0x y +=．45．（1）()()22231x y -+-=；（2）1y x =+.【详解】解：（1）设圆C 的方程为()()222x a y b r -+-=，则依题意，得()()()()22222224,13,10,a b r a b r a b ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+=⎪⎩解得2,3,1,a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴圆C 的方程为()()22231x y -+-=（2）设直线l 的方程为1y kx =+，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，将1y kx =+，代入22(2)(3)1x y -+-=并整理，得22(1)4(1)70k x k x +-++=，∴1224(1)1k x x k++=+，12271x x k =+∴()()()212121212241118121k k OM ON x x y y k x x k x x k +⋅=+=++++=+=+ ，即()24141k k k +=+，解得1k =，又当1k =时0∆>，∴1k =，∴直线l 的方程为1y x =+46．（1）圆()22:15C x y +-=的圆心()0,1C ，半径为5，所以圆心()0,1C 到直线l 的距离为22151m m d m m --=<=<+，所以直线l 与圆C 相交，故对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同交点；（2）当M 与P 不重合时，连接,CM CP ，则CM MP ⊥，所以222CM MP CP +=，设()(),1M x y x ≠，则()()()22221111x y x y +-+-+-=，整理得()222101x y x y x +--+=≠，当M 与P 重合时，1x y ==也满足22210x y x y +--+=，故弦AB 的中点M 的轨迹方程为22210x y x y +--+=;（3）设()()1122,,,A x y B x y ，由12AP PB =，得12AP PB = ，所以()121112x x -=-，即2132x x =-，又()221015mx y m x y -+-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，消去y 得()22221250m x m x m +-+-=，所以212221m x x m +=+，()()4222441516200m m m m ∆=-+-=+>，由2121223221x x m x x m =-⎧⎪⎨+=⎪+⎩得21231m x m +=+，将21231m x m+=+带入()22221250m x m x m +-+-=得1m =±，所以此时直线l 的方程为0x y -=或20x y +-=.47．（1）因为(1,3),(3,1)P Q ---，所以PQ 的中垂线为11(2)2y x +=+上，由24011(2)2x y y x +-=⎧⎪⎨+=+⎪⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，所以圆心为()2,1C ，又半径||5r PC ==，∴圆C 的方程为22(2)(1)25x y -+-=．（2）直线l 的方程可化为(3)(25)0k x x y ----=，令30250x x y -=⎧⎨--=⎩可得3x =，1y =-，∴直线l 过定点(3,1)M -，由22(32)(11)25-+--<可知M 在圆内，∴直线l 与圆C 一定相交．（3）设圆心C 到直线l 的距离为d ，弦长为L ，则2222225L r d d =-=-，∵0||d CM ≤≤，即05d ≤≤，∴4510L ≤≤，即弦长的取值范围是[45,10]．48．（1）224x y +=；（2）15±；（3）存在，(1,1)-.（1）由题，设点P 的坐标为(,)x y ，因为||2||PA PB =，即2222(4)2(1)x y x y +-=+-，整理得224x y +=，所以所求曲线E 的轨迹方程为224x y +=．（2）依题意，2OC OD ==，且120COD ∠= ，由圆的性质，可得点O 到边CD 的距离为1，即点(0,0)O 到直线:40l kx y --=的距离为2411k =+，解得15k =±，所以所求直线l 的斜率为15±．（3）依题意，,ON QN OM QM ⊥⊥，则,M N 都在以OQ 为直径的圆F 上，Q 是直线:4l y x =-上的动点，设(,4)Q t t -，则圆F 的圆心为4(,)22t t -，且经过坐标原点，即圆的方程为22(4)0x y tx t y +---=，又因为,M N 在曲线22:4E x y +=上，由22224(4)0x y x y tx t y ⎧+=⎨+---=⎩，可得(4)40tx t y +--=，即直线MN 的方程为(4)40tx t y +--=，由t R ∈且()440t x y y +--=，可得0440x y y +=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，所以直线MN 过定点(1,1)-．。

数学高二新教材上学期知识点

数学高二新教材上学期知识点一、函数与方程1. 二次函数二次函数是高中数学中的重要内容，在高二上学期的新教材中，这一知识点得到了更加深入的讲解和扩展。

学生需要理解二次函数的定义、性质以及图像的变化规律。

同时，还需要学习如何通过给定的函数关系，确定对应的二次函数表达式，并能够解决基于二次函数的实际问题。

2. 一次函数与不等式一次函数在高中数学中是一个基础且重要的概念，学生需要掌握一次函数的性质、图像和应用等方面的知识。

此外，一次不等式也是学习的重点之一，学生需要学会解决一次不等式，并在实际问题中进行应用。

二、数列与数学归纳法1. 等差数列与等比数列等差数列和等比数列是数列的两种常见形式，学生需要理解它们的定义和性质，并能够求解相应的问题。

对于高二上学期的新教材，这一知识点会涉及更加复杂的情形，如公式的推导和应用的拓展等。

2. 数学归纳法的应用数学归纳法是高中数学的一种重要证明方法，学生需要学会运用数学归纳法证明一些基本的数学命题。

在新教材中，数学归纳法的应用范围更广，需要学生能够熟练地运用数学归纳法解决一些复杂问题。

三、平面向量与解析几何1. 平面向量及其运算高二上学期的新教材对平面向量进行了系统的讲解，学生需要掌握平面向量的定义、性质和运算法则，并能够解决实际问题。

此外，向量的线性运算和共线条件等内容也是需要重点掌握的。

2. 平面解析几何平面解析几何是高中数学的一门重要分支，学生需要掌握平面上的点、直线和圆的相关知识，学习如何利用解析几何的方法解决平面几何问题。

新教材中对平面解析几何的内容进行了适当扩展，学生需要更加深入地理解和应用。

四、三角函数与三角恒等变换1. 三角比的定义与性质三角函数是高中数学中的重要内容，学生需要掌握各种三角比的定义、正负性和值域等性质，并能够利用三角比解决实际问题。

2. 三角恒等变换三角恒等变换是三角函数的一种重要性质，学生需要学习不同的恒等变换关系，并能够应用这些关系证明和求解各种式子。

第一章章末复习课-新教材高二数学人教A选择性必修第一册第1章

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Hale Waihona Puke 当堂训练1.下列各组向量中不平行的是( D ) A.a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4) B.c＝(1,0,0)，d＝(－3,0,0) C.e＝(2,3,0)，f＝(0,0,0) D.g＝(－2,3,5)，h＝(16,24,40) 解析 A：b＝－2a⇒a∥b； B：d＝－3c⇒d∥c； C：而零向量与任何向量都平行.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 1 平行六面体 A1B1C1D1－ABCD，M 分―AC→成的比为12，N 分A―1→D 成的比为 2，设―A→ B＝a，―AD→＝b，―AA→1＝c，试用 a、b、c 表示M―→N.
解析答案
类型二利用空间向量证明空间中的位置关系例2 如图，已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点， AC＝BC＝BB1. 求证：(1)BC1⊥AB1； (2)BC1∥平面CA1D.
问题导学
知识点一空间中点、线、面位置关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则
线线平行线面平行面面平行线线垂直线面垂直面面垂直
l∥m⇔a∥b⇔a＝kb ，k∈R l∥α⇔_a_⊥__μ__⇔_a_·_μ_＝__0_
α∥β⇔μ∥v⇔_μ_＝__k_v_，__k_∈__R_ l⊥m⇔_a_⊥__b__⇔_a_·b__＝_0__
π
π
π
π
A.6
B.4
C.3
D.2
解析答案
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4.已知a，b，c是空间的一组基底，设p＝a＋b，q＝a－b，则下列向量中
可以与p，q一起构成空间的另一组基底的是( C )
A.a

高二数学新教材选择性必修第一册1.4.1 空间向量的应用(一)(精讲)(解析版)

1.4.1 空间向量应用（一）考法一平面的法向量【例1】（2020年广东潮州）如图已知ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，试建立适当的坐标系． (1)求平面ABCD 的一个法向量； (2)求平面SAB 的一个法向量； (3)求平面SCD 的一个法向量．【答案】见解析【解析】以点A 为原点，AD 、AB 、AS 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (0,1,0)，C (1,1,0)，D ⎝⎛⎭⎫12，0，0，S (0,0,1)． (1)∵SA ⊥平面ABCD ，∴AS →＝(0,0,1)是平面ABCD 的一个法向量．(2)∵AD ⊥AB ，AD ⊥SA ，∴AD ⊥平面SAB ，∴AD →＝⎝⎛⎭⎫12，0，0是平面SAB 的一个法向量． (3)在平面SCD 中，DC →＝⎝⎛⎭⎫12，1，0，SC →＝(1,1，－1)．设平面SCD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥DC →，n ⊥SC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧ n ·DC →＝0，n ·SC →＝0，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋y ＝0，x ＋y －z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ，z ＝－y ，令y＝－1，得x＝2，z＝1，∴n＝(2，－1,1)．【一隅三反】1．（2020年广东惠州）正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：(1)平面BDD1B1的一个法向量；(2)平面BDEF的一个法向量．【答案】见解析【解析】设正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则D (0,0,0)，B (2,2,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，E (1,0,2)． (1)连接AC (图略)，因为AC ⊥平面BDD 1B 1，所以AC →＝(－2,2,0)为平面BDD 1B 1的一个法向量． (2)DB →＝(2,2,0)，DE →＝(1,0,2)．设平面BDEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )．∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝0，n ·DE →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0，x ＋2z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，z ＝－12x . 令x ＝2，得y ＝－2，z ＝－1.∴n ＝(2，－2，－1)即为平面BDEF 的一个法向量.2．（2019·涟水县第一中学高二月考）四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，,AC BD 为正方形ABCD 的对角线，给出下列命题：①BC 为平面P AD 的法向量； ②BD 为平面P AC 的法向量； ③CD 为直线AB 的方向向量；④直线BC 的方向向量一定是平面P AB 的法向量．其中正确命题的序号是______________ 【答案】②，③，④【解析】①因为底面ABCD 是正方形，所以//BC AD ，由AD ⊂平面P AD 知BC 不是平面P AD 的法向量； ②由底面ABCD 是正方形知BD AC ⊥，因为PA ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥，又PA AC A =，PA ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ，所以BD ⊥平面P AC ，BD 为平面P AC 的法向量，②正确；③因为底面ABCD 是正方形，所以//AB CD ，则CD 为直线AB 的方向向量，③正确； ④易知BC AB ⊥，因为PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PA BC ⊥，又PA AB A =，PA ⊂平面P AB ，AB平面P AB ，所以BC ⊥平面P AB ，故④正确.故答案为：②，③，④考点二空间向量证明平行【例2】（2019年广东湛江二中周测）如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段P A ，PD ，CD 的中点．（1）求证：PB ∥平面EFG . （2）证明平面EFG ∥平面PBC 【答案】见解析【解析】证明 ∵平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ，∴AB ，AP ，AD 两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)， D (0，2，0)，P (0，0，2)，E (0，0，1)，F (0，1，1)，G (1，2，0)．∴PB →＝(2，0，－2)，FE →＝(0，－1，0)，FG →＝(1，1，－1)，设PB →＝sFE →＋tFG →，即(2，0，－2)＝s (0，－1，0)＋t (1，1，－1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，t －s ＝0，－t ＝－2，解得s ＝t ＝2，∴PB →＝2FE →＋2FG →，又∵FE →与FG →不共线，∴PB →，FE →与FG →共面．∵PB ⊄平面EFG ，∴PB ∥平面EFG . （2）证明 ∵EF →＝(0，1，0)，BC →＝(0，2，0)，∴BC →＝2EF →，∴BC ∥EF .又∵EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴EF ∥平面PBC ，同理可证GF ∥PC ，从而得出GF ∥平面PBC .又EF ∩GF ＝F ，EF ，GF ⊂平面EFG ， ∴平面EFG ∥平面PBC .【一隅三反】1.在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CC 1，B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD ．【答案】见解析【解析】法一如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，M ⎝⎛⎭⎫0，1，12，N ⎝⎛⎭⎫12，1，1，于是DA 1→＝(1,0,1)，DB →＝(1,1,0)，MN →＝⎝⎛⎭⎫12，0，12.设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥DA 1→，n ⊥DB →，即⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA 1→＝x ＋z ＝0，n ·DB →＝x ＋y ＝0，取x ＝1，则y ＝－1，z ＝－1，∴平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(1，－1，－1)．又MN →·n ＝⎝⎛⎭⎫12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴MN →⊥n .∴MN ∥平面A 1BD ．法二 MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12(D 1A 1→－D 1D →)＝12DA 1→，∴MN →∥DA 1→，∴MN ∥平面A 1BD ．法三 MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12DA →－12A 1A →＝12()DB →＋BA →－12()A 1B →＋BA →＝12DB →－12A 1B →. 即MN →可用A 1B →与DB →线性表示，故MN →与A 1B →，DB →是共面向量，故MN ∥平面A 1BD ．2．（2020·上海杨浦.复旦附中高二期中）已知平面α的一个法向量为(1,2,2),(2,1,0)n AB ==-，则直线AB 与平面α的位置关系为_______.【答案】直线AB 在平面α上或直线AB 与平面α平行【解析】由()12+21+200n AB ⋅=⨯-⨯⨯=，所以n AB ⊥.又向量n 为平面α的一个法向量. 所以直线AB 在平面α上或直线AB 与平面α平行. 故答案为：直线AB 在平面α上或直线AB 与平面α平行.3．（2019·江苏海陵.泰州中学高二月考）已知直线//l 平面α，且l 的一个方向向量为()2,,1a m =，平面α的一个法向量为11,,22n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则m =______. 【答案】8-【解析】由题意，知a n ⊥，∴0a n ⋅=，即()12,,11,,202m ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，∴8m =-. 故答案为：8-考法三空间向量证垂直【例3】（2020.广东.田家炳中学）如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点．求证：AB 1⊥平面A 1BD .【答案】见解析【解析】方法一设平面A 1BD 内的任意一条直线m 的方向向量为m .由共面向量定理，则存在实数λ，μ，使m ＝λBA 1→＋μBD →.令BB 1→＝a ，BC →＝b ，BA →＝c ，显然它们不共面，并且|a |＝|b |＝|c |＝2，a ·b ＝a·c ＝0，b·c ＝2，以它们为空间的一个基底，则BA 1→＝a ＋c ，BD →＝12a ＋b ，AB 1→＝a －c ，m ＝λBA 1→＋μBD →＝⎝⎛⎭⎫λ＋12μa ＋μb ＋λc ， AB 1→·m ＝(a －c )·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫λ＋12μa ＋μb ＋λc ＝4⎝⎛⎭⎫λ＋12μ－2μ－4λ＝0.故AB 1→⊥m ，结论得证．方法二取BC 的中点O ，连接AO . 因为△ABC 为正三角形，所以AO ⊥BC .因为在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，且平面ABC ∩平面BCC 1B 1＝BC ，AO ⊂平面ABC ，所以AO ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1的中点O 1，以O 为原点，分别以OB ，OO 1，OA 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B (1，0，0)，D (－1，1，0)，A 1(0，2，3)，A (0，0，3)，B 1(1，2，0)．设平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，BA 1→＝(－1，2，3)，BD →＝(－2，1，0)．因为n ⊥BA 1→，n ⊥BD →，故⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA 1→＝0，n ·BD →＝0，即⎩⎨⎧－x ＋2y ＋3z ＝0，－2x ＋y ＝0，令x ＝1，则y ＝2，z ＝－3，故n ＝(1，2，－3)为平面A 1BD 的一个法向量，而AB 1→＝(1，2，－3)，所以AB 1→＝n ，所以AB 1→∥n ，故AB 1⊥平面A 1BD .【一隅三反】1．（2018·浙江高三其他）已知平面α的法向量为(2,2,4)n =-，(1,1,2)AB =--，则直线AB 与平面α的位置关系为（） A ．AB α⊥ B ．AB α⊂C ．AB 与α相交但不垂直D ．//AB α【答案】A 【解析】()()1,1,2,2,2,4,2,//,AB n n AB n AB AB α=--=-∴=-∴∴⊥.本题选择A 选项.2．（2020·安徽池州。

新课标高二数学选修一

新课标高二数学选修一新课标高二数学选修一课程是高中数学教育的重要组成部分，旨在培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。

以下是本课程的一些主要内容和学习要点：一、课程目标1. 加深对数学概念的理解，掌握数学基础知识和基本技能。

2. 培养学生的抽象思维、逻辑推理和空间想象能力。

3. 通过解决实际问题，提高学生的数学应用能力。

二、课程内容1. 函数与方程：深入学习函数的性质，包括单调性、奇偶性、周期性等，以及方程的求解方法。

2. 不等式：掌握不等式的解法，包括线性不等式和非线性不等式的解法。

3. 数列：学习数列的基本概念，包括等差数列、等比数列、数列的极限等。

4. 解析几何：研究平面上的曲线和曲面，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线等。

5. 立体几何：学习空间图形的性质，包括多面体、旋转体等。

6. 概率与统计：了解概率的基本概念，学习统计数据的收集、处理和分析方法。

三、学习方法1. 积极参与课堂讨论，主动思考问题。

2. 完成课后习题，巩固所学知识。

3. 定期复习，避免遗忘。

4. 利用网络资源，拓宽学习视野。

四、课程评估1. 课堂表现：包括课堂参与度和讨论的积极性。

2. 作业完成情况：作业的准确性和及时性。

3. 期中和期末考试：测试学生对课程内容的掌握程度。

五、课程总结通过本课程的学习，学生不仅能够掌握数学的理论知识，而且能够提高解决实际问题的能力。

数学选修一课程为学生提供了一个全面、深入的数学学习平台，有助于学生在未来的学术和职业生涯中取得成功。

希望每位同学都能在本课程中获得宝贵的知识和技能，为未来的学习和发展打下坚实的基础。

高二数学作业1简述新课程中数列、不等式的定位、要求、变化及其缘由

高二数学作业1：简述新课程中数列、不等式的定位、要求、变化及其缘由。

一、数列的定位、要求、变化及缘由：1、定位与要求：数列作为一种特殊函数，把生活实际与数学知识有机地联系在一起,我们说数学就在我们身边，数列就在我们身边。

教学中应从日常生活中的大量实际问题入手，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受数列模型的广泛应用，如存款利息、购房贷款等与人们生活联系密切的现实问题。

新课标的教学更贴近生活实际，通过实例，引入数列的概念，理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然规律的数学模型。

新课程的编排特点和学习方式的变化，使课堂教学方法发生了重大变化.新课程提倡教学目标综合化，知识的生活化，使学生获得对数学知识理解的同时，在思维能力、观察能力、情感态度、价值观、生活观等方面得到较为全面的发展。

新课程中的数列着重体现了函数思想、方程思想、数列模型思想并通过生活中的实例，强调实际应用。

体会等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系。

重视在探索等差、等比数列的通项公式与前n项和公式的过程中，对学生观察、猜想、归纳、类比、抽象和概括能力的培养,突出问题意识。

新课标要求探索并掌握等差数列、等比数列的定义、通项公式与前n项和的公式及其与函数之间的关系。

提倡自主探究，保证基本技能的训练；控制难度和复杂程度；运用数列模型解决实际问题的能力，方程与函数思想贯穿本章始终。

2、变化：新课课程中对“数列”内容的出现的形式发生了一些变化：（1）注重知识的形成过程。

如概念的呈现都是从一些实际例子开始，通过引导学生观察与概括其特点，建立相关的概念。

（2）通过循序渐进、螺旋上升的方式提高学生的数学水平；（3）强化了用函数的观点呈现数列,把更多的注意力方在核心概念、基本数学思想方法上。

（4）注重注重通性通法，不追求特殊方法与技巧。

（5）注重体现文化价值定位及要求上的变化：在数学教学中,应注重发展学生的应用意识。

通过丰富的实例引入数学知识,引导学生应用数学知识解决实际问题,经历探索、解决问题的过程,体会数学的应用价值。

高二数学选修系列1、系列2简介课件新课标

（描点作椭圆、割线逼近切线）
1.2 入口浅，寓意深；整体贯通，相互联系
例１．气温变化图（变化率）、放大再放大、
推理与证明（引言）
例２．圆与球（微分与积分）
例３．推理与证明（不等式与台体体积）、
曲线与方程（直线、圆与圆锥曲线）、边际函数
1.3 广阔的空间
Dandlin双球链接、阅读与探究
皮亚杰的两种建构：“同化”与“顺应”
对客体的认识是一个“同化”的过程，即如何把对象纳入（整合）到已有的认识框架（认知结构）之中；也只有借助同化过程，客体才获得了真正的意义．从而，认识就并非是思维对于外部事物的简单、被动的反映，相反，这事实上是一个主动建构的过程．与此同时，认知结构本身也有一个不断发展与建构的过程，在已有的认知结构无法“容纳” 新的对象时，主体就必须对已有的认知结构进行变革以使其与客体相适应，这就是“顺应”．
（２）课程内容：
强调学生的直接经验，教学内容应与生活密切相联．
“让学生学会直接地用新鲜的目光检验现实，而不是只研究别人的实践结果，”因为，“经验
是不可由别人代为获取的，根本不可能．”
（３）教学方法----“情意主义教学过程论”
信任、真诚和移情是教学过程中的主要情意因素.
“信任”－－相信每个学生都能以自己的方式学
好，否则，唯恐学生误入歧途，就容易填鸭式灌输．
“真诚”－－教师是一个真诚的人，尊重学生，
珍视学生，不把自己的感情强加给学生，与学生在感情上和思想上产生共鸣，感受学生在接触新问题时的畏惧和踌躇，体验学生在解决问题时的成功和快活，理解学生偶尔的淡漠、探索的渴望和坚持不懈的辛劳．
“移情”－－通过适当的媒介和渠道，把自己的
《教育过程》简介

高二数学选修1习题答案

高二数学选修1习题答案高二数学选修1习题答案在高中数学的学习中，选修1是一个重要的模块，它主要涉及到函数、导数和微分等内容。

学生们在学习这个模块时，经常会遇到一些难题。

为了帮助同学们更好地理解和掌握这些知识点，下面将给出一些高二数学选修1习题的详细解答。

一、函数的概念与性质1. 已知函数f(x) = 2x + 3，求f(2)的值。

解：将x = 2代入函数f(x) = 2x + 3中，得到f(2) = 2(2) + 3 = 7。

2. 已知函数f(x) = x^2 - 3x + 2，求f(-1)的值。

解：将x = -1代入函数f(x) = x^2 - 3x + 2中，得到f(-1) = (-1)^2 - 3(-1) + 2 = 6。

二、函数的图像与性质1. 函数y = x^2 - 2x + 1的图像是什么样的？解：这是一个二次函数，对应的图像是一个开口向上的抛物线。

由于二次项的系数大于0，所以抛物线的开口朝上。

顶点坐标为(1, 0)。

2. 函数y = -x^2 + 4x - 3的图像是什么样的？解：这是一个二次函数，对应的图像是一个开口向下的抛物线。

由于二次项的系数小于0，所以抛物线的开口朝下。

顶点坐标为(2, -3)。

三、导数与微分1. 计算函数f(x) = x^3 - 2x^2 + x的导数。

解：对多项式函数f(x) = x^3 - 2x^2 + x分别求导，得到f'(x) = 3x^2 - 4x + 1。

2. 已知函数f(x) = x^2 + 2x + 1，求f'(2)的值。

解：将x = 2代入函数f'(x) = 2x + 2中，得到f'(2) = 2(2) + 2 = 6。

四、函数的应用1. 一个长方形的长是x米，宽是y米，求长方形的面积S与周长C的关系式。

解：长方形的面积S等于长乘以宽，即S = xy。

周长C等于长的两倍加宽的两倍，即C = 2x + 2y。

高中数学新教材苏教版高二课件组合(1)

2023
1.3 组合（1）
苏教版2-3 高中数学
学习目标
1.理解组合及组合数的概念. 2.能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题.
问题导学
知识点一组合的概念考察下面的两个问题：
1. 高二（1）班从甲, 乙, 丙这3名学生选2名学生代表，有多少种不同的选法？ 2. 从1，2，3这3个数字中选取2个数字，能构成多少个不同的集合？思考：以上两个问题与排列问题有何区别？有何联系？
命题角度2 含组合数的方程例 4 已知C1m5 －C1m6 ＝107C7m，求 Cm8 ＋C85－m.
解 ∵C1m5 －C1m6 ＝107Cm7 ， m！5－m！ m！6－m！ 7×7－m！m！ ∴ 5！－ 6！＝ 10×7！，即m！55－！m！－m！6－6×m5！5－m！＝7×m！170－×m7×66－×m5！5－m！. ∴1－6－6 m＝7－m606－m，即m2－23m＋42＝0，解得m＝2或21.
例 3 (1) 10 支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进
行___4_5__场次． (2)从 8 个人里选 4 个代表去开会，有___7_0__种选法．
(3)有 6 名男医生、5 名女医生，从中选出 3 名男医生、2 名女医生组
成一个医疗小组，则不同的选法共有__2_0_0__种．
A．24种 B．12种
C．10种
D．9种
5．男女学生共有 8 人，从男生中选取 2 人，从女生中选取 1 人，共有 30 种不同
的选法，其中女生有________人．
6. 不等式 C1n0－3<Cn10－2的解集为__________. 7．求等式C5n－C1＋n3－C3 3n－3＝159中的 n 值．

高二数学新教材选择性必修第一册3.3 抛物线(精讲)(解析版)

【一隅三反】
1．（2020·全国高二课时练习）已知抛物线 C
:
y2
x
的焦点为
F
，
A(x0 ,
y0 )
是C
上一点， |
AF
|
5 4
x0
，
则 x0 （）
A．4
B．2
C．1
D．8
【答案】C
【解析】点
A
到抛物线的准线：
x
1 4
的距离为： d
x0
1 4
，利用抛物线的定义可得：
x0
1 4
5 4
x0 ，
求解关于实数 x0 的方程可得： x0 1.本题选择 C 选项.
A．3 【答案】B
B．4
C．5
D．6
【解析】
如图所示，利用抛物线的定义知： MP MF
当 M , A, P 三点共线时， MA MF 的值最小，且最小值为 CP r CP 1
抛物线的准线方程： y 1， C 1, 4
CP 4 1 5
本题正确选项： B
MA MF 5 1 4 min 考点二抛物线的标准方程
点0 2 ，故选 D.
3．（2020·全国高二课时练习）已知点 M 是抛物线 x2 4 y 上的一动点， F 为抛物线的焦点， A 是圆 C ：
13 / 13
(x 1)2 ( y 4)2 1 上一动点，则| MA | | MF | 的最小值为（）
设交点的横坐标分别为
xA,xB,则
xA+xB=
8 k2
-4,①xA·xB=4.
又|FA|=xA+2,|FB|=xB+2,|FA|=2|FB|,
B． 25 m 6

高二新教材数学选择性必修第一册【步步高】学习笔记(人教A版)

高二新教材数学选择性必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）一、引言在高中数学学习过程中，选择性必修课程是非常关键的一部分。

本文将针对高二新教材数学选择性必修第一册【步步高】进行学习笔记的整理与总结，这本教材是人教A版。

二、教材结构概览【步步高】学习笔记共分为五个单元，分别是：1.数与式2.函数的基本性质3.一次函数与二次函数4.平面向量5.解析几何与实际问题每个单元包含了若干章节，并按照内容安排从易到难。

该教材的特点是理论与实践相结合，通过大量的例题和应用练习，帮助学生理解数学的原理以及应用。

三、笔记详解1. 数与式数与式是数学的基础，本章主要介绍了实数、整式、有理式等概念。

重点内容包括：•实数的概念和性质；•整式的定义和分类；•有理式的概念和性质。

值得注意的是，在实数的学习中，我们引入了数轴的概念，通过数轴的表示方法，帮助学生更好地理解和运用实数。

2. 函数的基本性质函数是高中数学中重要的概念，本章主要介绍了函数的基本性质，包括：•函数的定义和表示方法；•函数的性质与运算规律；•一些特殊函数的性质与图像。

通过对函数的学习，学生可以更好地理解数学中的变量与关系，并且能够利用函数解决实际问题。

3. 一次函数与二次函数一次函数和二次函数是高中数学的重点内容，本章主要介绍了一次函数和二次函数的基本性质和应用，包括：•一次函数和二次函数的定义和图像特征；•一次函数和二次函数的图像变换；•一次函数和二次函数的应用。

通过对一次函数和二次函数的学习，学生可以更好地掌握线性关系和二次函数的特点，并且能够利用函数解决实际问题。

4. 平面向量平面向量是高中数学中较为抽象和复杂的内容之一，本章主要介绍了平面向量的概念和运算，包括：•平面向量的定义和表示方法；•平面向量的性质和运算规律；•向量的共线、垂直和平行判定。

平面向量的学习需要学生具备较好的空间思维能力，通过大量的例题和应用，帮助学生掌握向量的计算和应用。

5. 解析几何与实际问题解析几何是高中数学的重要部分，本章主要介绍了二维坐标系和解析几何的基本方法，包括：•二维坐标系的概念和表示方法；•直线和圆的方程；•解析几何的应用。

专题01 空间向量及其运算(知识精讲)高二数学新教材知识讲学(人教A版选择性必修第一册)

专题一空间向量及其运算一知识结构图二.学法指导1．解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点(1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向． (2)注意点：注意一些特殊向量的特性．①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同.若两个向量模相等,方向相反,则它们为相反向量. 2．空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果． 3．利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质． 4.证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P ，A ，B 可通过证明下列结论来证明三点共线． (1)存在实数λ，使PA →＝λPB →成立．(2)对空间任一点O ，有OP →＝OA →＋tAB →(t ∈R )． (3)对空间任一点O ，有OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1)． 5.解决向量共面的策略（1）若已知点P 在平面ABC 内，则有AP →＝xAB →＋yAC →或OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →x ＋y ＋z ＝1，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数.（2）证明三个向量共面或四点共面，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示. 6.在几何体中求空间向量的数量积的步骤（1）首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.（2）利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积. （3）根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模. （4）代入公式a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉求解. 7.用向量法证明垂直关系的步骤(1)把几何问题转化为向量问题； (2)用已知向量表示所证向量；(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0； (4)将向量问题回归到几何问题． 8．利用向量数量积求夹角问题的思路(1)求两个向量的夹角有两种方法：①结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，但要注意向量夹角的范围；②先求a ·b ，再利用公式cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |求出cos 〈a ，b 〉的值，最后确定〈a ，b 〉的值．(2)求两条异面直线所成的角，步骤如下：①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)； ②将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题； ③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小；④异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量数量积求向量夹角的余弦值时应将余弦值加上绝对值，从而求出异面直线所成的角的大小． 9．求两点间的距离或线段长的方法(1)将相应线段用向量表示，通过向量运算来求对应向量的模．(2)因为a ·a ＝|a |2，所以|a |＝a ·a ，这是利用向量解决距离问题的基本公式．另外，该公式还可以推广为|a ±b |＝a ±b2＝a 2±2a ·b ＋b 2.(3)可用|a ·e |＝|a ||cos θ|(e 为单位向量，θ为a ，e 的夹角)来求一个向量在另一个向量所在直线上的投影．三.知识点贯通知识点1 空间向量的有关概念 1．空间向量(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：空间向量的大小． (3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a ，b ，c ，…表示；若向量a 的起点是A ，终点是B ，也可记作：AB →，其模记为|a |或|AB →|. 2．几类常见的空间向量例题1.给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；②若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |； ③在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AC →＝A 1C 1→； ④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p . 其中正确命题的序号是________．【答案】②③④【解析】对于①，向量a 与b 的方向不一定相同或相反，故①错；对于②，根据相反向量的定义知|a |＝|b |，故②正确；对于③，根据相等向量的定义知，AC →＝A 1C 1→，故③正确；对于④，根据相等向量的定义知正确．知识点二空间向量的线性运算(1)向量的加法、减法①定义：实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa 与向量a 方向相同；当λ<0时，λa 与向量a 方向相反；当λ＝0时，λa ＝0；λa 的长度是a 的长度的|λ|倍． ②运算律a ．结合律：λ(μa )＝μ(λa )＝(λμ)a .b ．分配律：(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ，λ(a ＋b )＝λa ＋λb .例题2：已知正四棱锥P ABCD ，O 是正方形ABCD 的中心，Q 是CD 的中点，求下列各式中x ，y ，z 的值．【答案】①OQ →＝PQ →＋yPC →＋zP A →； ②P A →＝xPO →＋yPQ →＋PD →.【解析】①如图，∵OQ →＝PQ →－PO →＝PQ →－12(P A →＋PC →)＝PQ →－12PC →－12P A→，∴y ＝z ＝－12.②∵O 为AC 的中点，Q 为CD 的中点， ∴P A →＋PC →＝2PO →，PC →＋PD →＝2PQ →， ∴P A →＝2PO →－PC →，PC →＝2PQ →－PD →， ∴P A →＝2PO →－2PQ →＋PD →，∴x ＝2，y ＝－2. 知识点三共线问题共线向量(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．(2)方向向量：在直线l 上取非零向量a ，与向量a 平行的非零向量称为直线l 的方向向量．规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a ，都有0∥a .(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使a ＝λb .(4)如图，O 是直线l 上一点，在直线l 上取非零向量a ，则对于直线l 上任意一点P ，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得OP →＝λa .例题3 .设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝e 1＋k e 2，BC →＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2，且A ，B ，D 三点共线，实数k ＝________. 【答案】1【解析】AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(e 1＋k e 2)＋(5e 1＋4e 2)＋(e 1＋2e 2)＝7e 1＋(k ＋6)e 2.设AD →＝λAB →，则7e 1＋(k ＋6)e 2＝λ(e 1＋k e 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝7λk ＝k ＋6，解得k ＝1.知识点四向量共面问题共面向量(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．(2)共面向量定理：若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .(3)空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件：存在有序实数对(x ，y ), 使AP →＝xAB →＋yAC →或对空间任意一点O ，有OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →.例题4．已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若点M 满足OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →.(1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面；(2)判断M 是否在平面ABC 内．【解析】 (1)∵OA →＋OB →＋OC →＝3OM →，∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)， ∴MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →， ∴向量MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知向量MA →，MB →，MC →共面，而它们有共同的起点M ，且A ，B ，C 三点不共线，∴M ，A ，B ，C 共面，即M 在平面ABC 内．知识点五空间向量数量积的运算空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a ·b .即a ·b ＝|a ||b |cos〈a ，b 〉．规定：零向量与任何向量的数量积为0. (2)常用结论(a ，b 为非零向量) ①a ⊥b ⇔a ·b ＝0.②a ·a ＝|a ||a |cos 〈a ，a 〉＝|a |2. ③cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |.(3)数量积的运算律例题5.如图，三棱锥A BCD 中，AB ＝AC ＝AD ＝2，∠BAD ＝90°，∠BAC ＝60°，则AB ·CD 等于( )A ．－2B ．2C ．－2 3D ．23 【答案】A【解析】∵CD →＝AD →－AC →，∴AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →)＝AB →·AD →－AB →·AC →＝0－2×2×cos 60°＝－2. 知识点六利用数量积证明空间垂直关系当a ⊥b 时，a ·b ＝0。