新高中数学第一章三角函数1-4-2正弦函数余弦函数的性质学案新人教A版必修4

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高中数学第一章三角函数 1.4.2 正弦函数与余弦函数的性质教案新人教A版必修4

§1.4.2正弦函数余弦函数的性质【教材分析】《正弦函数和余弦函数的性质》是普通高中课程标准实验教材必修４中的内容，是正弦函数和余弦函数图像的继续，本课是根据正弦曲线余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦函数和余弦函数的性质。

【教学目标】1. 会根据图象观察得出正弦函数、余弦函数的性质；会求含有x x cos ,sin 的三角式的性质；会应用正、余弦的值域来求函数)0(sin ≠+=a b x a y 和函数c x b x a y ++=cos cos 2)0(≠a 的值域2. 在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯．3. 在解决问题的过程中，体验克服困难取得成功的喜悦．【教学重点难点】教学重点：正弦函数和余弦函数的性质。

教学难点：应用正、余弦的定义域、值域来求含有x x cos ,sin 的函数的值域【学情分析】知识结构：在函数中我们学习了如何研究函数，对于正弦函数余弦函数图像的学习使学生已经具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力。

心理特征：高一普通班学生已掌握三角函数的诱导公式，并了解了三角函数的周期性，但学生运用数学知识解决实际问题的能力还不强；能够通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识。

但在处理问题时学生考虑问题不深入，往往会造成错误的结果。

【教学方法】1．学案导学：见后面的学案。

2．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习【课前准备】1．学生的学习准备：预习“正弦函数和余弦函数的性质”，初步把握性质的推导。

2．教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。

【课时安排】1课时【教学过程】一、预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

二、复习导入、展示目标。

高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质2学案新人教A版必修4

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)学习目标 1.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值(重点).2.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能利用单调性比较大小(重、难点).3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间(重点)．知识点正弦函数、余弦函数的图象和性质(表中k ∈Z ))【预习评价】1．在下列区间中，使y ＝sin x 为增函数的是( ) A ．[0，π] B ．[π2，3π2]C ．[－π2，π2]D ．[π，2π]解析因为函数y ＝sin x 的单增区间是[－π2＋2k π，π2＋2k π]，k ∈Z ，故当k ＝0时，即为[－π2，π2]，故选C ．答案 C2．函数y ＝2－sin x 取得最大值时x 的值为________．解析当sin x ＝－1，即x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，函数y ＝2－sin x 的最大值为3．答案－π2＋2k π(k ∈Z )题型一正弦函数、余弦函数的单调性【例1】 (1)下列函数，在[π2，π]上是增函数的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝cos xC ．y ＝sin 2xD ．y ＝cos 2x解析对于函数y ＝cos 2x ，令π＋2k π≤2x ≤2π＋2k π，(k ∈Z )，即π2＋k π≤x ≤π＋k π (k ∈Z )，故y ＝cos 2x 的单增区间是[π2＋k π，π＋k π](k ∈Z )，则当k ＝0时单增区间为[π2，π]，故选D ．答案 D(2)求函数y ＝1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4，x ∈[－4π，4π]的单调减区间．解 y ＝1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4＋1．由2k π－π2≤12x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )．解得4k π－π2≤x ≤4k π＋32π(k ∈Z )．又∵x ∈[－4π，4π]，∴函数y ＝1＋sin(－12x ＋π4)的单调减区间为[－4π，－5π2]，[－π2，3π2]，[7π2，4π]．规律方法单调区间的求法求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的函数的单调区间，要先把ω化为正数， (1)当A >0时，把ωx ＋φ整体放入y ＝sin x 或y ＝cos x 的单调增区间内，求得的x 的范围即函数的增区间；放入y ＝sin x 或y ＝cos x 的单调减区间内，可求得函数的减区间．(2)当A <0时，把ωx ＋φ整体放入y ＝sin x 或y ＝cos x 的单调增区间内，求得的x 的范围即函数的减区间；放入y ＝sin x 或y ＝cos x 的单调减区间内，可求得函数的增区间．提醒求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，把ωx ＋φ看作一个整体，借助y ＝sinx 的单调区间来解决．当A <0或ω<0时，要注意原函数的单调性与y ＝sin x 的单调性的关系．【训练1】求函数f (x )＝2cos(2x －π6)的单调增区间．解令－π＋2k π≤2x －π6≤2k π，k ∈Z ，解得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调增区间是[－5π12＋k π，π12＋k π](k ∈Z )．题型二利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小【例2】利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小． (1)sin 49π45与cos 39π45；(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π与cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π. 解 (1)sin 49π45＝sin(π＋4π45)＝－sin 4π45，cos 39π45＝cos(π－6π45)＝－cos 6π45＝－sin 11π30，∵0＜4π45＜11π30＜π2，且y ＝sin x 在[0，π2]上是增函数∴sin 4π45<sin 11π30；从而－sin 4π45>－sin 11π30，即sin 49π45>cos 39π45.(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π＝cos 235π＝cos(4π＋35π)＝cos 35π， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π＝cos 174π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π4＝cos π4．∵0<π4<35π<π，且y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，∴cos 35π<cos π4，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π<cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π．规律方法比较三角函数值的大小的步骤 (1)依据诱导公式把几个三角函数化为同名函数． (2)依据诱导公式把角化到属于同一个单调增(减)区间． (3)依据三角函数的单调性比较大小后写出结论．【训练2】比较下列各组数的大小：(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫493π； (2)cos 870°与sin 980°．解 (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫493π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫16π＋π3＝sin π3， ∵y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6<sin π3，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π<sin 493π． (2)cos87π18＝cos(4π＋5π6)＝cos 5π6，sin 49π9＝sin(4π＋13π9)＝sin 13π9＝sin(π2＋17π18)＝cos 17π18，∵0＜5π6＜17π18＜π，且y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，∴cos 5π6>cos 17π18，即cos 8π18>sin 49π9.方向1 正弦函数、余弦函数的值域问题【例3-1】函数f (x )＝2cos(2x ＋π4)，x ∈[－π2，0]的值域为________．解析 ∵－π2≤x ≤0，∴－3π4≤2x ＋π4≤π4，∴－22≤cos(2x ＋π4)≤1，故－1≤2cos(2x ＋π4)≤2，即f (x )的值域是[－1，2]．答案 [－1，2]方向2 与正、余弦函数有关的复合函数的值域问题【例3-2】函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．解析f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34，令cos x ＝t 且t ∈[0，1]，则y ＝－t 2＋3t ＋14＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋1，则当t ＝32时，f (x )取最大值1. 答案1方向3 含参数的最值问题【例3-3】若函数y ＝a －b cos x (b >0)的最大值为32，最小值为－12，求函数y ＝【例3-4】－4a cos bx 的最值和最小正周期．解 ∵y ＝a －b cos x (b >0)， ∴y max ＝a ＋b ＝32，y min ＝a －b ＝－12．由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝32，a －b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝1.∴y ＝－4a cos bx ＝－2cos x ，所以函数y=－4a cos bx 的最大值为2，最小值为-2,最小正周期为2π. 规律方法求三角函数值域或最值的常用方法(1)可化为单一函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋k ，其最大值为|A |＋k ，最小值－|A |＋k (其中A ，ω，k ，φ为常数，A ≠0，ω≠0)．(2)可化为y ＝A sin 2x ＋B sin x ＋C 或y ＝A cos 2x ＋B cos x ＋C (A ≠0)，最大值、最小值可利用二次函数在定义域上的最大值、最小值的求法来求(换元法)．课堂达标1．y ＝2sin(3x ＋π3)的值域是( )A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．[－2,0]D ．[－1,1]解析因为sin(3x ＋π3)∈[－1,1]，所以y ∈[－2,2]．答案 A2．下列关系式中正确的是( )A ．sin 11°<cos 10°<sin 168°B．sin 168°<sin 11°<cos 10°C ．sin 11°<sin 168°<cos 10°D．sin 168°<cos 10°<sin 11°解析因为sin 168°＝sin 12°，cos 10°＝sin 80°，又因为函数y ＝sin x 在[0，π2]上单调递增，所以sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°．答案 C3．函数f (x )＝2cos(2x －π4)的单减区间是________．解析令2k π≤2x －π4≤π＋2k π，k ∈Z ，得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，即f (x )的单减区间是[π8＋k π，5π8＋k π](k ∈Z )．答案 [π8＋k π，5π8＋k π](k ∈Z )4．函数y ＝cos(x ＋π6)，x ∈[0，π2]的值域是________．解析 ∵0≤x ≤π2，∴π6≤x ＋π6≤2π3， ∴cos 2π3≤cos(x ＋π6)≤cos π6．∴－12≤y ≤32，即值域为[－12，32]．答案 [－12，32]5．求函数y ＝3－2sin 12x 的最值及取到最值时的自变量x 的集合．解 ∵－1≤sin 12x ≤1，∴当sin 12x ＝－1，12x ＝2k π－π2，k ∈Z ，即x ＝4k π－π，k ∈Z 时，y max ＝5，此时自变量x 的集合为{x |x ＝4k π－π，k ∈Z }；当sin 12x ＝1，12x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝4k π＋π，k ∈Z 时，y min ＝1，此时自变量x 的集合为{x |x ＝4k π＋π，k ∈Z }．课堂小结1．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)单调区间的方法把ωx ＋φ看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2 (k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为增区间，由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．3．求三角函数值域或最值的常用方法：将y 表示成以sin x (或cos x )为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y 的范围．基础过关1．函数y ＝sin 2x 的单调减区间是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，32π＋2k π(k ∈Z ) B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋34π(k ∈Z ) C ．[]π＋2k π，3π＋2k π(k ∈Z ) D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ) 解析令π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z ，则y ＝sin 2x 的单减区间是[π4＋k π，3π4＋k π](k ∈Z )．答案 B2．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2解析因为函数周期为π，所以排除C ，D ．又因为y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为增函数，故B 不符合．故选A ．答案 A3．函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65B ．1 C.35D.15解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，函数的最大值为65.答案 A4．函数y ＝sin(x 2－π3)取最大值时自变量的取值集合是________．解析当x 2－π3＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝5π3＋4k π，k ∈Z 时，函数取最大值．答案 {x |x ＝5π3＋4k π，k ∈Z }5．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为________________________．解析 ∵1<π2<2<3<π，sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3．y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上递增，且0<π－3<1<π－2<π2，∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)，即sin 3<sin 1<sin 2．答案 sin 3<sin 1<sin 26．已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4． (1)求f (x )的单调递增区间(k ∈Z )；(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 值(k ∈Z )．解 (1)令－π＋2k π≤3x ＋π4≤2k π，可得－5π12＋23k π≤x ≤－π12＋23k π，故f (x )的单调递增区间是[－5π12＋23k π，－π12＋23k π](k ∈Z )．(2)当3x ＋π4＝－π＋2k π，即x ＝－5π12＋23k π(k ∈Z )时，f (x )的最小值为－2．7．求函数y ＝cos 2x －sin x 的值域．解 y ＝cos 2x －sin x ＝－sin 2x －sin x ＋1 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋122＋54． ∵sin x ∈[－1,1]，∴当sin x ＝－12时，y max ＝54；当sin x ＝1时，y min ＝－1．∴函数y ＝cos 2x －sin x 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54．能力提升8．若函数y ＝sin(π＋x )，y ＝cos(2π－x )都是减函数，则x 的集合是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π≤x ≤2k π＋π2，k ∈ZB ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |k π≤x ≤2k π＋π2，k ∈ZC ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π－π2≤x ≤2k π＋π2，k ∈ZD ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π2≤x ≤2k π＋3π2，k ∈Z解析 y ＝sin(π＋x )＝－sin x ，y ＝cos(2π－x )＝cos x ，对y ＝－sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z)上单调递减．对y ＝cos x 在[2k π，π＋2k π](k ∈Z)上单调递减．取两集合的交集，故选A ．答案 A9．函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则b －a 的最大值和最小值之和等于( )A ．4π3B ．8π3C ．2πD ．4π解析作出y ＝sin x 的一个简图，如图所示，∵函数的值域为[－1，12]，且sin π6＝sin 5π6＝12，sin 3π2＝－1，∴定义域[a ，b ]中b －a 的最小值为3π2－5π6＝2π3，定义域[a ，b ]中b －a 的最大值为2π＋π6－5π6＝4π3，故可得，最大值与最小值之和为2π．答案 C10．已知α，β为锐角三角形的两个内角，则cos α与sin β的大小关系是________．解析因为α，β是锐角三角形的两个内角，故α＋β>π2，∴α>π2－β，α∈(0，π2)，π2－β∈(0，π2)，所以cos α<cos(π2－β)＝sin β．答案 cos α<sin β11．若f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________．解析 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，即0≤x ≤π3，且0<ω<1，∴0≤ωx ≤ωπ3<π3．∵f (x )max ＝2sin ωπ3＝2，∴sin ωπ3＝22，ωπ3＝π4，即ω＝34．答案 3412．求下列函数的单调增区间：(1)y ＝1－sin x 2；(2)y ＝log 12cos(π3－x 2)．解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ，得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z ．∴y ＝1－sin x 2的增区间为[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z )． (2)要求函数y ＝log 12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2的增区间，即求使y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3>0且单调递减的区间．为此，x 满足：2k π≤x 2－π3<2k π＋π2，k ∈Z ．整理得4k π＋2π3≤x <4k π＋5π3，k ∈Z ． ∴函数y ＝log 12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2的增区间为 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫4k π＋2π3，4k π＋5π3，k ∈Z ． 13．(选做题)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，且|φ|<π.若f (x )≤|f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6|对x ∈R 恒成立．且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，求f (x )的单调递增区间．解由f (x )≤|f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6|对x ∈R 恒成立知， 2·π6＋φ＝2k π±π2(k ∈Z )． ∴φ＝2k π＋π6或φ＝2k π－5π6(k ∈Z )． ∵|φ|<π，得φ＝π6或φ＝－5π6，又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)， ∴φ＝－5π6，故f (x )=2sin(2x －5π6)由2k π－π2≤2x －5π6≤2k π＋π2(k ∈Z )．得f (x )的单调递增区间是[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )．。

高中数学 (1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质)教案新人教A版必修4

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质整体设计教学分析对于函数性质的研究,在高一必修中已经研究了幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质.因此作为高中最后一个基本初等函数的性质的研究,学生已经有些经验了.其中,通过观察函数的图象,从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法,这也是数形结合思想方法的应用.由于三角函数是刻画周期变化现象的重要数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方,而且对于周期函数,我们只要认识清楚它在一个周期区间上的性质,那么就完全清楚它在整个定义域内的性质.正弦、余弦函数性质的难点,在于对函数周期性的正确理解与运用,以下的奇偶性,无论是由图象观察,还是由诱导公式进行证明,都很容易.单调性只要求由图象观察,不要求证明,而正弦、余弦函数的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论,只要注意引导学生利用周期进行正确归纳即可.三维目标1.通过创设情境,如单摆运动、波浪、四季变化等,让学生感知周期现象;理解周期函数的概念;能熟练地求出简单三角函数的周期,并能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用.2.通过本节的学习,使同学们对周期现象有一个初步的认识,感受生活中处处有数学,从而激发学生的学习积极性,培养学生学好数学的信心,学会运用联系的观点认识事物.重点难点教学重点:正弦、余弦、正切函数的主要性质(包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域);深入研究函数性质的思想方法.教学难点:正弦函数和余弦函数图象间的关系、图象变换,以及周期函数概念的理解,最小正周期的意义及简单的应用.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路 1.人的情绪、体力、智力都有周期性的变化现象,在日常生活和工作中,人们常常有这样的自我感觉,有的时候体力充沛,心情愉快,思维敏捷;有的时候却疲倦乏力,心灰意冷,反应迟钝;也有的时候思绪不稳,喜怒无常,烦躁不安,糊涂健忘,这些感觉呈周期性发生,贯穿人的一生,这就是人体节律.这种有规律性的重复,我们称之为周期性现象.请同学们举出生活中存在周期现象的例子,在学生热烈的争论中引入新课.思路2.取出一个钟表,实际操作,我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复,这是一种周期现象.我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数.那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢?在图形上让学生观察正弦线“周而复始”的变化规律,在代数式上让学生思考诱导公式:sin(x+2kπ)=sinx又是怎样反映函数值的“周而复始”的变化规律的.要求学生用日常语言叙述这个公式,通过对图象、函数解析式的特点的描述,使学生建立在比较牢固的理解周期性的认知基础上,来理解“周而复始”变化的代数刻画,由此引出周期函数的概念.推进新课新知探究提出问题问题①正弦函数、余弦函数是周期函数吗?如果是,又是怎样周期性变化的?问题②阅读教材并思考:怎样从代数的角度定义周期函数?活动:教师可先引导学生查阅思考上节学过的正弦函数图象,让学生观察正弦线的变化规律,有什么新的发现?再让学生描述这种规律是如何体现在正弦函数的图象上的,即描述正弦函数图象是如何体现“周而复始”的变化规律的.通过研究图象,学生很容易看出正弦函数、余弦函数是周期函数.怎样变化呢?从图1中也能看出是每隔2π就重复一次.对问题①,学生对正弦函数是周期函数是没有疑问的,至于怎样描述,学生一时很难回答.教师可引导学生思考讨论,正弦函数图象是怎样重复出现的?对于回答对的学生给予肯定,鼓励继续探究.对于找不到思路的学生给予提示,指导其正确的探究思路.图1问题②,从图象上能够看出,但关键是怎样对“周而复始”的变化规律作出代数描述,这对学生有一定的难度.在引入正式定义之前,可以引导学生先从不同角度进行描述.例如:对于函数f(x)自变量每增加或减少一个定值(这样的定值可以有很多个),函数值就重复出现,那么这个函数就叫做周期函数.教师也可以引导点拨学生从诱导公式进行描述.例如:sin(α+2kπ)=sinα,cos(α+2kπ)=cosα,k∈Z.这表明,正弦函数、余弦函数在定义域内自变量每增加(k>0时)或减少(k<0时)一个定值2kπ,它的函数值就重复出现,所以正弦函数、余弦函数都是周期函数.还可以通过类比奇函数、偶函数、周期函数的研究方法来加深理解周期性概念.如果函数f(x)对于其定义域内的每一个值,都有:f(-x)=-f(x),那么f(x)叫做奇函数;f(-x)=f(x),那么f(x)叫做偶函数;f(x+T)=f(x),其中T是非零常数,那么f(x)叫做周期函数.从上述定义可以看到,函数的性质是对函数的一种整体考察结果,反映了同一类函数的共同特点,它们可以从代数角度得到统一刻画.这种共同特点还可以从函数的图象上得到反映.讨论结果:①正弦函数、余弦函数是周期函数,每隔2π就重复一次.②略.定义:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.正弦函数是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π.提出问题①怎样正确理解三角函数是周期函数的定义?并举例说明.②通过探求思考怎样求一些简单三角函数的周期?活动:对问题①,学生一时可能难于理解周期的代数刻画.教师在引导学生阅读、讨论、思考问题时可多举些具体例子,以使抽象概念具体化.如常数函数f(x)=c(c为常数,x∈R)是周期函数,所有非零实数T都是它的周期.同时应特别强调:(1)对周期函数与周期定义中的“当x取定义域内每一个值时”这句话,要特别注意“每一个值”的要求.如果只是对某些x 有f(x+T)=f(x),那么T就不是f(x)的周期.例如,分别取x 1=2k π+4π(k∈Z ),x 2=6π,则由sin(2k π+4π+2π)≠sin(2k π+4π),sin(6π+2π)≠sin 6π,可知2π不是正弦函数的周期.又如sin(30°+120°)=sin30°,但不是对所有x 都有f(x+120°)=f(x),所以120°不是f(x)的周期.(2)从上述定义还可以看到周期函数的周期不唯一,例如2π,4π,6π,8π,……都是它的周期,有无穷多个,即2k π(k∈Z ,k≠0)都是正弦函数的周期.这一点可以从周期函数的图象上得到反映,也可以从代数上给以证明:设T 是函数f(x)的周期,那么对于任意的k∈Z ,k≠0,kT 也是函数f(x)的周期.(3)对于周期函数来说,如果所有的周期中存在着一个最小的正数,就称它为最小正周期.但周期函数不一定存在最小正周期,例如,对于常数函数f(x)=c(c 为常数,x∈R),所有非零实数T 都是它的周期,由于T 可以是任意不为零的常数,而正数集合中没有最小值,即最小正数是不存在的,所以常数函数没有最小正周期.(4)正弦函数中,正周期无穷多,2π是最小的一个,在我们学习的三角函数中,如果不加特别说明,教科书提到的周期,一般都是指最小正周期.对问题②,教师要指导学生紧扣定义,可先出一些简单的求周期的例子,如:若T 是f(x)的周期,那么2T 、3T 、…呢?怎样求?实际上,由于T 是f(x)的周期,那么2T 、3T 、…也是它的周期.因为f(x+2T)=f(x+T+T)=f(x+T)=f(x).这样学生就会明白,数学中的周期函数,其实就是在独立变量上加上一个确定的周期之后数值重复出现的函数.讨论结果:①略.②定义法、公式法和图象法.应用示例思路1例1 求下列函数的周期:(1)y=3cosx,x∈R ;(2)y=sin2x,x∈R ; (3)y=2sin(2x -6π),x∈R . 活动:教师引导学生紧扣定义,一切从定义出发来求.(1)因为3cos(x+2π)=3cosx,根据周期函数的定义可知,原函数的周期为2π.有的学生可能会提出π是不是呢?让学生自己试一试,加深对概念的理解.因为3cos(x+π)=-3cosx≠3cosx,所以π不是周期.(2)教师引导学生观察2x,可把2x 看成一个新的变量u,那么cosu 的最小正周期是2π,就是说,当u 增加到u+2π时,函数cosu 的值重复出现,而u+2π=2x+2π=2(x+π),所以当自变量x 增加到x+π且必须增加到x+π时函数值重复出现.因为sin2(x+π)=sin(2x+2π),所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为π.(3)因为2sin ［21(x+4π)-6π］=2sin ［(2x -6π)+2π］=2sin(2x -6π). 所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为4π.解:(1)周期为2π;(2)周期为π;(3)周期为4π.点评:通过本例我们看到函数周期的变化仅与自变量的系数有关,关键是让学生认识到,f(x+T)=f(x)中,T 是相对于自变量x 而言的,让学生总结归纳一下这些函数的周期与解析式中哪些量有关.一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(其中A 、ω、φ为常数,A≠0,ω>0,x∈R )的周期为T=ωπ2.可以按照如下的方法求它的周期:y=Asin(ωx+φ+2π)=Asin ［ω(x+ωπ2)+φ］=Asin(ωx+φ). 于是有f(x+ωπ2)=f(x), 所以其周期为ωπ2.例如,在第(3)小题,y=2sin(21x-6π),x∈R 中,ω=21,所以其周期是4π.由上述解法可以看到,思考的基本依据还是y=sinx 的周期为2π.根据这个结论,我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期.如例3中的第(3)小题:T=ωπ2=4π.这是求简单三角函数周期的最基本方法,即公式法. 变式训练1.已知f(x)是周期为5的周期函数,且f(1)=2 007,求f(11).解:因为5是函数f(x)在R 上的周期,所以f(11)=f(6+5)=f(6)=f(1+5)=f(1)=2 007.2.已知奇函数f(x)是R 上的函数,且f(1)=2,f(x+3)=f(x),求f(8).解:由题意知,3是函数f(x)的周期,且f(-x)=-f(x),所以f(8)=f(2+2³3)=f(2)=f(-1+3)=f(-1)=-f(1)=-2.思路2例1 判断函数f(x)=2sin 2x+｜cosx ｜,x∈R 的周期性.如果是周期函数,最小正周期是多少?活动:本例的难度较大,教师可引导学生从定义出发,结合诱导公式,寻求使f(x+T)=f(x)成立的T 的值.学生可能会很容易找出4π,2π,这的确是原函数的周期,但是不是最小正周期呢?教师引导学生选其他几个值试试.如果学生很快求出,教师给予表扬鼓励;如果学生做不出,教师点拨学生的探究思路,主要让学生自己讨论解决.解:因为f(x+π)=2sin 2(x+π)+｜cos(x+π)｜=2sin 2x+｜cosx ｜=f(x).所以原函数是周期函数,最小正周期是π.点评:本题能很容易判断是周期函数,但要求的是“最小正周期”,那就要多加小心了.虽然将4π,2π带入公式后也符合要求,但还必须进一步变形,即f(x)中的x 以x+π代替后看看函数值变不变.为此需将π, 2π等都代入试一试.实际上,在f(x)=2sin 2x+｜cosx ｜,x∈R 中,学生应看到平方与绝对值的作用是一样的,与负号没有关系.因而π肯定是原函数的一个周期.变式训练1.求函数y=2sin31(π-x)的周期. 解:因为y=2sin 31(π-x)=-2sin(31x-3π), 所以周期T=6π.2.证明正弦、余弦函数的最小正周期是2π.证明:(反证法)先证正弦函数的最小正周期是2π.由于2π是它的一个周期,所以只需证明任意一个小于2π的正数都不是它的周期.假设T 是正弦函数的周期,且0<T<2π,那么根据周期函数的定义,当x 取定义域内的每一个值时,都有sin(x+T)=sinx.令x=2π, 代入上式,得sin(2π+T)=sin 2π=1, 但sin(2π+T)=cosT,于是有cosT=1. 根据余弦函数的定义,当T∈(0,2π)时,cosT<1.这说明上述cosT=1是不可能的.于是T 必须等于2π,即正弦函数的最小正周期是2π.同理可证,余弦函数的最小正周期也是2π.知能训练课本本节练习解答:1.成立.但不能说12°是正弦函数的一个周期,因为此等式不是对x 的一切值都成立. 例如sin(20°+120°)≠sin20°.点评:理解周期函数概念中“当x 取定义域内每一个值时”的“每一个值”的含义. 2.(1)38π; (2)2π; (3)2π; (4)6π. 点评:利用周期函数的图象和定义求周期,体会周期与自变量x 的系数有关.3.可以先在一个周期的区间上研究函数的其他性质,再利用函数的周期性,将所研究的性质扩展到整个定义域.点评:了解如何利用函数的周期性来认识周期函数的其他性质.可让学生课堂讨论,然后归纳总结.课堂小结由学生回顾本节所学的数学知识有哪些?〔周期函数的概念,最小正周期的定义,正弦、余弦函数的周期性,y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的周期〕.并思考总结本节都用了哪些数学方法?(观察与归纳,特殊到一般,定义法,数形结合,辩证的观点)作业1.课本习题 A 组3,B 组3.2.预习正弦函数、余弦函数的奇偶性.设计感想1.本节课的设计思想是:在学生的探究活动中突破正弦、余弦函数的周期性这个教学难点.因此一开始要让学生从图形、代数两方面深入探究,不要让开始的探究成为一种摆设.如果学生一开始没有很好的理解,那么,以后有些题就会很难做.通过探究让学生找出周期这个规律性的东西,并明确知识依附于问题而存在,方法为解决问题的需要而产生.将周期性概念的形成过程自然地贯彻到教学活动中去,由此把学生的思维推到更高的广度.2.本节设计的特点是从形到数、由特殊到一般、由易到难,这符合学生的认知规律.让学生在探究中积累知识,发展能力,对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启导.但由于学生知识水平的限制,本节不能扩展太多,建议让学有余力的学生继续探讨函数的周期性的规律及一般三角函数的周期的求法.3.根据本节课的特点可考虑分层推进、照顾全体.对优等生,重在引导他们进行一题多解,多题合一,变式思考的训练,培养他们求同思维、求异思维能力,以及思维的灵活性、深刻性与创造性,鼓励他们独立思考,勇于探索,敢于创新,对正确的要予以肯定,对暴露出来的问题要及时引导、剖析纠正,使课堂学习成为再发现再创造的过程.(设计者:郑吉星)第2课时导入新课思路1.(类比导入)我们在研究一个函数的性质时,如幂函数、指数函数、对数函数的性质,往往通过它们的图象来研究.先让学生画出正弦函数、余弦函数的图象,从学生画图象、观察图象入手,由此展开正弦函数、余弦函数性质的探究.思路2.(直接导入)研究函数就是要讨论函数的一些性质,y=sinx,y=cosx是函数,我们当然也要探讨它们的一些性质.本节课,我们就来研究正弦函数、余弦函数最基本的几条性质.请同学们回想一下,一般来说,我们是从哪些方面去研究一个函数的性质的呢(定义域、值域、奇偶性、单调性、最值)?然后逐一进行探究.推进新课新知探究提出问题①回忆并画出正弦曲线和余弦曲线,观察它们的形状及在坐标系中的位置;②观察正弦曲线和余弦曲线,说出正弦函数、余弦函数的定义域各是什么;③观察正弦曲线和余弦曲线,说出正弦函数、余弦函数的值域各是什么;由值域又能得到什么;④观察正弦曲线和余弦曲线,函数值的变化有什么特点?⑤观察正弦曲线和余弦曲线,它们都有哪些对称?(1)(2)图2活动:先让学生充分思考、讨论后再回答.对回答正确的学生,教师可鼓励他们按自己的思路继续探究,对找不到思考方向的学生,教师可参与到他们中去,并适时的给予点拨、指导. 在上一节中,要求学生不仅会画图,还要识图,这也是学生必须熟练掌握的基本功.因此,在研究正弦、余弦函数性质时,教师要引导学生充分挖掘正弦、余弦函数曲线或单位圆中的三角函数线,当然用多媒体课件来研究三角函数性质是最理想的,因为单位圆中的三角函数线更直观地表现了三角函数中的自变量与函数值之间的关系,是研究三角函数性质的好工具.用三角函数线研究三角函数的性质,体现了数形结合的思想方法,有利于我们从整体上把握有关性质.对问题①,学生不一定画准确,教师要求学生尽量画准确,能画出它们的变化趋势.对问题②,学生很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R 〔或(-∞,+∞)〕. 对问题③,学生很容易观察出正弦曲线和余弦曲线上、下都有界,得出正弦函数、余弦函数的值域都是[-1,1].教师要引导学生从代数的角度思考并给出证明.∵正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度,∴｜sinx ｜≤1,｜cosx ｜≤1,即-1≤sinx≤1,-1≤cosx≤1.也就是说,正弦函数、余弦函数的值域都是［-1,1］.对于正弦函数y=sinx(x∈R ),(1)当且仅当x=2π+2k π,k∈Z 时,取得最大值1. (2)当且仅当x=-2π+2k π,k∈Z 时,取得最小值-1. 对于余弦函数y=cosx(x∈R ),(1)当且仅当x=2k π,k∈Z 时,取得最大值1.(2)当且仅当x=(2k+1)π,k∈Z 时,取得最小值-1.对问题④,教师可引导、点拨学生先截取一段来看,选哪一段呢?如图3,通过学生充分讨论后确定,选图象上的［-2π,23π］(如图4)这段.教师还要强调为什么选这段,而不选[0,2π]的道理,其他类似.图3图4这个变化情况也可从下表中显示出来: x-2π … 0 … 2π … π … 23π sinx -1↗ 0 ↗ 1 ↘ 0 ↘ -1 就是说,函数y=sin x,x∈［-2π,23π］.当x∈［-2π,2π］时,曲线逐渐上升,是增函数,sinx 的值由-1增大到1; 当x∈［2π,23π］时,曲线逐渐下降,是减函数,sinx 的值由1减小到-1. 类似地,同样可得y=cosx,x∈[-π,π]的单调变化情况.教师要适时点拨、引导学生先如何恰当地选取余弦曲线的一段来研究,如图5,为什么选[-π,π],而不是选[0,2π].图5引导学生列出下表: x-π … -2π … 0 … 2π … π cosx -1 ↗ 0 ↗ 1 ↘ 0 ↘ -1 结合正弦函数、余弦函数的周期性可知:正弦函数在每一个闭区间［-2π+2k π,2π+2k π］(k∈Z )上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个闭区间［2π+2k π,23π+2k π］(k∈Z )上都是减函数,其值从1减小到-1. 余弦函数在每一个闭区间［(2k-1)π,2k π］(k∈Z )上都是增函数,其值从-1增加到1;在每一个闭区间［2k π,(2k+1)π］(k∈Z )上都是减函数,其值从1减小到-1.对问题⑤,学生能直观地得出:正弦曲线关于原点O 对称,余弦曲线关于y 轴对称.在R 上,y=sinx 为奇函数,y=cosx 为偶函数.教师要恰时恰点地引导,怎样用学过的知识方法给予证明?由诱导公式:∵sin(-x)=-sinx,cos(-x)=cosx,∴y=sinx 为奇函数,y=cosx 为偶函数.至此,一部分学生已经看出来了,在正弦曲线、余弦曲线上还有其他的对称点和对称轴,如正弦曲线还关于直线x=2π对称,余弦曲线还关于点(2π,0)对称,等等,这是由它的周期性而来的.教师可就此引导学生进一步探讨,为今后的学习打下伏笔.讨论结果:①略.②定义域为R .③值域为[-1,1],最大值都是1,最小值都是-1.④单调性(略).⑤奇偶性(略).当我们仔细对比正弦函数、余弦函数性质后,会发现它们有很多共同之处.我们不妨把两个图象中的直角坐标系都去掉,会发现它们其实都是同样形状的曲线,所以它们的定义域相同,都为R ,值域也相同,都是［-1,1］,最大值都是1,最小值都是-1,只不过由于y 轴放置的位置不同,使取得最大(或最小)值的时刻不同;它们的周期相同,最小正周期都是2π;它们的图象都是轴对称图形和中心对称图形,且都是以图象上函数值为零所对应的点为对称中心,以过最值点且垂直于x 轴的直线为对称轴.但是由于y 轴的位置不同,对称中心及对称轴与x轴交点的横坐标也不同.它们都不具备单调性,但都有单调区间,且都是增、减区间间隔出现,也是由于y 轴的位置改变,使增减区间的位置有所不同,也使奇偶性发生了改变.应用示例思路1例1 数有最大值、最小值吗?如果有,请写出取最大值、最小值时的自变量x 的集合,并说出最大值、最小值分别是什么.(1)y=cosx+1,x∈R ;(2)y=-3sin2x,x∈R .活动:通过这道例题直接巩固所学的正弦、余弦的性质.容易知道,这两个函数都有最大值、最小值.课堂上可放手让学生自己去探究,教师适时的指导、点拨、纠错,并体会对应取得最大(小)值的自变量为什么会有无穷多个.解:(1)使函数y=cosx+1,x∈R 取得最大值的x 的集合,就是使函数y=cosx,x∈R 取得最大值的x 的集合{x|x=2k π,k∈Z };使函数y=cosx+1,x∈R 取得最小值的x 的集合,就是使函数y=cosx,x∈R 取得最小值的x 的集合{x|x=(2k+1)π,k∈Z }.函数y=cosx+1,x∈R 的最大值是1+1=2,最小值是-1+1=0.(2)令Z =2x,使函数y=-3sin Z ,Z ∈R 取得最大值的Z 的集合是{Z |Z =-2π+2k π,k∈Z }, 由2x=Z =-2π+2k π,得x=-4π+k π. 因此使函数y=-3sin2x,x∈R 取得最大值的x 的集合是{x|x=-4π+k π,k∈Z }. 同理,使函数y=-3sin2x,x∈R 取得最小值的x 的集合是{x|x=4π+k π,k∈Z }. 函数y=-3sin2x,x∈R 的最大值是3,最小值是-3.点评:以前我们求过最值,本例也是求最值,但对应的自变量x 的值却不唯一,这从正弦函数的周期性容易得到解释.求解本例的基本依据是正弦函数、余弦函数的最大(小)值的性质,对于形如y=Asin(ωx+φ)+B 的函数,一般通过变量代换(如设Z =ωx+φ化归为y=Asin Z +B 的形式),然后进行求解.这种思想对于利用正弦函数、余弦函数的其他性质解决问题时也适用.例2 函数的单调性,比较下列各组数的大小: (1)sin(-18π)与sin(-10π);(2)cos(523π-)与cos(417π-). 活动:学生很容易回忆起利用指数函数、对数函数的图象与性质进行大小比较,充分利用学生的知识迁移,有利于学生能力的快速提高.本例的两组都是正弦或余弦,只需将角化为同一个单调区间内,然后根据单调性比较大小即可.课堂上教师要让学生自己独立地去操作,教师适时地点拨、纠错,对思考方法不对的学生给予帮助指导.解:(1)因为2π-<10π-<18π-<0,正弦函数y=sinx 在区间[2π-,0]上是增函数,所以sin(18π-)>sin(10π-). (2)cos(523π-)=cos 523π=cos 53π,cos(417π-)=cos 417π=cos 4π. 因为0<4π<53π<π,且函数y=cosx,x∈[0,π]是减函数,所以cos 4π>cos 53π,即cos(523π-)<cos(417π-). 点评:推进本例时应提醒学生注意,在今后遇到的三角函数值大小比较时,必须将已知角化到同一个单调区间内,其次要注意首先大致地判断一下有没有符号不同的情况,以便快速解题,如本例中,cos4π>0,cos 53π<0,显然大小立判. 例3 函数y=sin(21x+3π),x∈[-2π,2π]的单调递增区间. 活动:可以利用正弦函数的单调性来求所给函数的单调区间.教师要引导学生的思考方向: 把21x+3π看成Z ,这样问题就转化为求y=sin Z 的单调区间问题,而这就简单多了. 解:令Z =21x+3π.函数y=sin Z 的单调递增区间是［2π-+2k π,2π+2k π］. 由-2π+2k π≤21x+3π≤2π+2k π,得35π-+4k π≤x≤3π+4k π,k∈Z . 由x∈［-2π,2π］可知,-2π≤35π-+4k π且3π+4k π≤2π,于是121-≤k≤125,由于k∈Z ,所以k=0,即35π-≤x≤3π,而［35π-,3π］［-2π,2π］, 因此,函数y=sin(2x +3π),x∈[-2π,2π]的单调递增区间是［35π-, 3π］. 点评:本例的求解是转化与化归思想的运用,即利用正弦函数的单调性,将问题转化为一个关于x 的不等式问题.然后通过解不等式得到所求的单调区间,要让学生熟悉并灵活运用这一数学思想方法,善于将复杂的问题简单化.思路2例1 求下列函数的定义域: (1)y=xsin 11+;(2)y=cosx . 活动:学生思考操作,教师提醒学生充分利用函数图象,根据实际情况进行适当的指导点拨,纠正出现的一些错误或书写不规范等.解:(1)由1+sinx≠0,得sinx≠-1,即x≠23π+2k π(k∈Z ). ∴原函数的定义域为{x ｜x≠23π+2k π,k∈Z }. (2)由cosx≥0,得2π-+2k π≤x≤2π+2k π(k∈Z ). ∴原函数的定义域为［2π-+2k π,2π+2k π］(k∈Z ). 点评:本例实际上是解三角不等式,可根据正弦曲线、余弦曲线直接写出结果.本例分作两步,第一步转化,第二步利用三角函数曲线写出解集.例2 在下列区间中,函数y=sin(x+4π4π)的单调增区间是( ) A.［2π,π］ B.［0,4π］ C.［-π,0］ D.［4π,2π］活动:函数y=sin(x+4π)是一个复合函数,即y=sin[φ(x)],φ(x)=x+4π,欲求y=sin(x+4π)的单调增区间,因φ(x)=x+4π在实数集上恒递增,故应求使y 随φ(x)递增而递增的区间.也可从转化与化归思想的角度考虑,即把x+4π看成一个整体,其道理是一样的. 解:∵φ(x)=x+4π在实数集上恒递增,又y=sinx 在[2k π-2π,2k π+2π](k∈Z )上是递增的,故令2k π-2π≤x+4π≤2k π+2π. ∴2k π-43π≤x≤2k π+4π. ∴y=sin(x+4π)的递增区间是[2k π-43π,2k π+4π]. 取k=-1、0、1分别得[411π-,47π]、[43π-,4π]、[45π,49π], 对照选择肢,可知应选B.答案:B点评:像这类题型,上述解法属常规解法,而运用y=Asin(ωx+φ)的单调增区间的一般结论,由一般到特殊求解,既快又准确,若本题运用对称轴方程求单调区间,则是一种颇具新意的简明而又准确、可靠的方法.当然作为选择题还可利用特殊值、图象变换等手段更快地解出.解题规律:求复合函数单调区间的一般思路是:(1)求定义域;(2)确定复合过程,y=f(t),t=φ(x);(3)根据函数f(t)的单调性确定φ(x)的单调性;(4)写出满足φ(x)的单调性的含有x 的式子,并求出x 的范围;(5)得到x 的范围,与其定义域求交集,即是原函数的单调区间.结论:对于复合函数的单调性,可以直接根据构成函数的单调性来判断.变式训练1.如果函数f(x)=sin(πx+θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T,且当x=2时取得最大值,那么( )A.T=2,θ=2π B.T=1,θ=π C.T=2,θ=π D.T=1,θ=2π 解:T=ππ2=2,又当x=2时,sin(π²2+θ)=sin(2π+θ)=sin θ,要使上式取得最大值,可取θ=2π. 答案:A。

高中数学第一章三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)导学案新人教A版必修4-新人

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一) 学习目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期.3.掌握函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.知识点一函数的周期性思考1 如果函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，那么3是f (x )的周期吗？答案不一定.必须满足当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋3)＝f (x )，才可以说3是f (x )的周期.思考2 所有的函数都具有周期性吗？答案不是.只有同时符合周期函数定义中的两个条件的函数才具有周期性.思考3 周期函数都有最小正周期吗？答案周期函数不一定存在最小正周期.例如，对于常数函数f (x )＝c (c 为常数，x ∈R )，所有非零实数T 都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小正周期. 梳理函数的周期性(1)对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.(2)如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f (x )的最小正周期.知识点二正弦函数、余弦函数的周期性思考1 证明函数y ＝sin x 和y ＝cos x 都是周期函数.答案 ∵sin(x ＋2π)＝sin x ，cos(x ＋2π)＝cos x ，∴y ＝sin x 和y ＝cos x 都是周期函数，且2π就是它们的一个周期.思考2 证明函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(或f (x )＝A cos(ωx ＋φ))(Aω≠0)是周期函数. 答案由诱导公式一知，对任意x ∈R ，都有A sin[(ωx ＋φ)＋2π]＝A sin(ωx ＋φ)，所以A sin[ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＋φ]＝A sin(ωx ＋φ)，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＝f (x )，所以f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是周期函数，2πω就是它的一个周期. 同理，函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(ω≠0)也是周期函数.梳理由sin(x ＋2k π)＝sin x ，cos(x ＋2k π)＝cos x (k ∈Z )知，y ＝sin x 与y ＝cos x 都是周期函数，2k π (k ∈Z 且k ≠0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2π. 知识点三正弦函数、余弦函数的奇偶性思考对于x ∈R ，sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x ，这说明正弦函数、余弦函数具备怎样的性质？答案奇偶性.梳理 (1)对于y ＝sin x ，x ∈R 恒有sin(－x )＝－sin x ，所以正弦函数y ＝sin x 是奇函数，正弦曲线关于原点对称.(2)对于y ＝cos x ，x ∈R 恒有cos(－x )＝cos x ，所以余弦函数y ＝cos x 是偶函数，余弦曲线关于y 轴对称.类型一三角函数的周期性例1 求下列函数的最小正周期.(1)y ＝sin(2x ＋π3)(x ∈R )； (2)y ＝|sin x |(x ∈R ).解 (1)方法一令z ＝2x ＋π3，因为x ∈R ，所以z ∈R . 函数f (x )＝sin z 的最小正周期是2π，即变量z 只要且至少要增加到z ＋2π，函数f (x )＝sin z (z ∈R )的值才能重复取得.而z ＋2π＝2x ＋π3＋2π＝2(x ＋π)＋π3，所以自变量x 只要且至少要增加到x ＋π，函数值才能重复取得，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )的最小正周期是π. 方法二 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为2π2＝π. (2)因为y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ sin x (2k π≤x ≤2k π＋π)，－sin x (2k π＋π<x ≤2k π＋2π)(k ∈Z ).其图象如图所示，所以该函数的最小正周期为π.反思与感悟对于形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，Aω≠0时的最小正周期的求法常直接利用T ＝2π|ω|来求解，对于y ＝|A sin ωx |的周期情况常结合图象法来求解. 跟踪训练1 求下列函数的周期.(1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π3；(2)y ＝|cos 2x |. 解 (1)T ＝2π|－12|＝4π. (2)T ＝π2. 类型二三角函数的奇偶性例2 判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π2； (2)f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )；(3)f (x )＝1＋sin x －cos 2x 1＋sin x. 解 (1)显然x ∈R ，f (x )＝cos 12x ， ∵f (－x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＝cos 12x ＝f (x )， ∴f (x )是偶函数.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－sin x >0，1＋sin x >0，得－1<sin x <1.解得定义域为{x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z }. ∴f (x )的定义域关于原点对称.又∵f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )，∴f (－x )＝lg[1－sin(－x )]－lg[1＋sin(－x )]＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )＝－f (x ).∴f (x )为奇函数.(3)∵1＋sin x ≠0，∴sin x ≠－1，∴x ∈R 且x ≠2k π－π2，k ∈Z . ∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数.反思与感悟判断函数奇偶性应把握好两个关键点：关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；关键点二：看f (x )与f (－x )的关系.对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.跟踪训练2 判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2x ＋x 2sin x ； (2)f (x )＝1－2cos x ＋2cos x －1.解 (1)f (x )＝sin 2x ＋x 2sin x ，∵x ∈R ，f (－x )＝sin(－2x )＋(－x )2sin(－x )＝－sin 2x －x 2sin x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2cos x ≥0，2cos x －1≥0，得cos x ＝12. ∴f (x )＝0，x ＝2k π±π3，k ∈Z . ∴f (x )既是奇函数又是偶函数.类型三三角函数的奇偶性与周期性的综合应用例3 定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值. 解 ∵f (x )的最小正周期是π，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3. ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝32. 反思与感悟解决此类问题的关键是运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x 的值转化到可求值区间内.跟踪训练3 若f (x )是以π2为周期的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6的值. 解因为f (x )是以π2为周期的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＋π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－1.类型四函数周期性的综合应用例4 已知函数f (x )＝cos π3x ，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)的值. 解 ∵f (1)＝cos π3＝12，f (2)＝cos 2π3＝－12，f (3)＝cos π＝－1，f (4)＝cos 4π3＝－12，f (5)＝cos 5π3＝12，f (6)＝cos 2π＝1， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝0.同理，可得每连续六项的和均为0.∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)＝f (2 017)＋f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020)＝cos 2 017π3＋cos 2 018π3＋cos 2 019π3＋cos 2 020π3＝cos π3＋cos 2π3＋cos π＋cos 4π3＝12＋(－12)＋(－1)＋(－12)＝－32. 反思与感悟当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值.跟踪训练4 设函数f (x )＝sin π3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)＝ .解析 ∵f (x )＝sin π3x 的周期T ＝2ππ3＝6， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)＝335[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)]＋f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015)＝335⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3＋sin 23π＋sin π＋sin 43π＋sin 53π＋sin 2π ＋f (335×6＋1)＋f (335×6＋2)＋f (335×6＋3)＋f (335×6＋4)＋f (335×6＋5)＝335×0＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝sin π3＋sin 23π＋sin π＋sin 43π＋sin 53π＝0.1.函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为( ) A.π2B.πC.2πD.4π 答案 D2.下列函数中最小正周期为π的偶函数是( )A.y ＝sin x 2B.y ＝cos x2 C.y ＝cos xD.y ＝cos 2x 答案 D3.设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为π2的奇函数 D.最小正周期为π2的偶函数解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝－cos 2x ， ∴f (x )＝－cos 2x .又f (－x )＝－cos(－2x )＝－cos 2x ＝f (x )，∴f (x )是最小正周期为π的偶函数.4.函数y ＝sin(ωx ＋π4)的最小正周期为2，则ω的值为 . 答案 ±π解析 ∵T ＝2π|ω|＝2，∴|ω|＝π，∴ω＝±π. 5.若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π2，且满足 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ cos x ，－π2≤x ＜0，sin x ，0≤x ＜π，则f ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4＝ . 答案 22 解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＋3π2×3 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝sin 3π4＝22.1.求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f (x ＋T )＝f (x )成立的T .(2)图象法，即作出y ＝f (x )的图象，观察图象可求出T ，如y ＝|sin x |.(3)结论法，一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω>0，x ∈R )的周期T ＝2πω. 2.判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键.如果定义域关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系，从而判断奇偶性.课时作业一、选择题1.下列函数中，周期为π2的是( ) A.y ＝sin x 2B.y ＝sin 2xC.y ＝cos x 4D.y ＝cos(－4x ) 答案 D解析 T ＝2π|－4|＝π2. 2.函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的最小正周期为π5，其中ω>0，则ω等于( ) A.5 B.10 C.15 D.20答案 B3.已知a ∈R ，函数f (x )＝sin x －|a |(x ∈R )为奇函数，则a 等于( )A.0B.1C.－1D.±1答案 A解析因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝sin(－x )－|a |＝－f (x )＝－sin x ＋|a |，所以|a |＝0，从而a ＝0，故选A.4.下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( )A.y ＝cos|2x |B.y ＝|sin x |C.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x D.y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x 答案 D 解析 y ＝cos|2x |是偶函数，y ＝|sin x |是偶函数，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝cos 2x 是偶函数，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x ＝－sin 2x 是奇函数，根据公式求得其最小正周期T ＝π. 5.函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 4x ＋π3(k ＞0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是( ) A.10 B.11 C.12 D.13答案 D解析 ∵T ＝2πk 4≤2，即k ≥4π， ∴正整数k 的最小值是13.6.函数y ＝|sin x |(1－sin x )1－sin x的奇偶性为( ) A.奇函数B.既是奇函数也是偶函数C.偶函数D.非奇非偶函数答案 D解析由题意知，当1－sin x ≠0，即sin x ≠1时，y ＝|sin x |(1－sin x )1－sin x＝|sin x |，所以函数的定义域为{x |x ≠2k π＋π2，k ∈Z }，由于定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数.7.函数f (x )＝3sin(23x ＋15π2)是( ) A.周期为3π的偶函数B.周期为2π的偶函数C.周期为3π的奇函数D.周期为4π3的偶函数答案 A二、填空题8.若0<α<π2，g (x )＝sin(2x ＋π4＋α)是偶函数，则α的值为 . 答案 π4解析要使g (x )＝sin(2x ＋π4＋α)为偶函数，则需π4＋α＝k π＋π2，k ∈Z ，∴α＝k π＋π4，k ∈Z . ∵0<α<π2，∴α＝π4. 9.函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋2x ＋1的图象关于对称.(填“原点”或“y 轴”) 答案 y 轴解析 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋2x ＋1＝2cos 2x ＋1， ∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数.∵偶函数的图象关于y 轴对称，∴f (x )的图象关于y 轴对称.10.关于x 的函数f (x )＝sin (x ＋φ)有以下说法： ①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数； ②存在φ，使f (x )是偶函数；③存在φ，使f (x )是奇函数；④对任意的φ，f (x )都不是偶函数.其中错误的是 .(填序号)答案 ①④解析当φ＝0时，f (x )＝sin x 是奇函数.当φ＝π2时，f (x )＝cos x 是偶函数. 三、解答题11.判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝cos(π2＋2x )cos(π＋x )； (2)f (x )＝1＋sin x ＋1－sin x ；(3)f (x )＝e sin x ＋e －sin x e sin x －e－sin x . 解 (1)∵x ∈R ，f (x )＝cos(π2＋2x )cos(π＋x ) ＝－sin 2x ·(－cos x )＝sin 2x cos x .∴f (－x )＝sin(－2x )cos(－x )＝－sin 2x cos x＝－f (x )，∴y ＝f (x )是奇函数.(2)∵对任意x ∈R ，－1≤sin x ≤1，∴1＋sin x ≥0，1－sin x ≥0，∴f (x )＝1＋sin x ＋1－sin x 的定义域是R .又∵f (－x )＝1＋sin (－x )＋1－sin (－x )，＝1－sin x ＋1＋sin x ＝f (x )，∴y ＝f (x )是偶函数.(3)∵e sin x －e －sin x ≠0，∴sin x ≠0，∴x ∈R 且x ≠k π，k ∈Z .∴定义域关于原点对称.又∵f (－x )＝e sin (－x )＋e －sin (－x)e sin (－x )－e－sin (－x ) ＝e －sin x ＋e sin x e －sin x －esin x ＝－f (x )，∴y ＝f (x )是奇函数. 12.已知f (x )是以π为周期的偶函数，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ，求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π时，f (x )的解析式. 解当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π时，3π－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， ∵当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ， ∴f (3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x .又∵f (x )是以π为周期的偶函数，∴f (3π－x )＝f (－x )＝f (x )， ∴f (x )的解析式为f (x )＝1－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π. 13.已知函数f (x )满足f (x ＋2)＝－1f (x )，求证：f (x )是周期函数，并求出它的一个周期. 证明 ∵f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－1f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是周期函数，且4是它的一个周期.四、探究与拓展14.若函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的最小正周期为T ，且T ∈(1，4)，则正整数ω的最大值为 .答案 6解析 ∵T ＝2πω，1＜2πω＜4，则π2＜ω＜2π. ∴ω的最大值是6.15.欲使函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)在闭区间[0，1]上至少出现50个最小值，求ω的最小值.解函数y ＝A sin ωx 的最小正周期为2πω，因为在每一个周期内，函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)都只有一个最小值，要使函数y ＝A sin ωx 在闭区间[0，1]上至少出现50个最小值，则y 在区间[0，1]内至少含4934个周期，即⎩⎪⎨⎪⎧ T ＝2πω，4934T ≤1，解得ω≥199π2，所以ω的最小值为199π2.。

2019_2020学年高中数学第1章三角函数1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(第二课时)导学案新人教A版必修4

1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质(第二课时)[教材研读]预习课本P37～40，思考以下问题1．正、余弦函数的单调区间分别是什么？2．正、余弦函数的最值分别是多少？取最值时自变量x的值是多少？[要点梳理]正弦函数、余弦函数的图象和性质[自我诊断]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1．正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数．( ) 2．存在x ∈R 满足sin x ＝ 2.( )3．在区间[0,2π]上，函数y ＝cos x 仅当x ＝0时取得最大值1.( ) [答案] 1.× 2.× 3.×题型一正、余弦函数的单调性思考：正弦函数在定义域上是增函数，而余弦函数在定义域上是减函数，这种说法对吗？提示：不正确．正弦函数在每个闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )上是增函数，并不是在整个定义域上是增函数，同样的，余弦函数在闭区间[2k π，2k π＋π](k ∈Z )上是减函数，并不是在整个定义域上是减函数．求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的单调区间．[思路导引] 将x －π3看成一个整体解题．[解] 令z ＝x －π3，则y ＝2sin z .∵z ＝x －π3是增函数，∴y ＝2sin z 单调递增(减)时，函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3也单调递增(减)．由z ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，得x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z )，故函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z )．同理可求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋5π6，2k π＋11π6.求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的函数的单调区间时，若ω为负数，则要先把ω化为正数．当A >0时，把ωx ＋φ整体放入y ＝sin x 或y ＝cos x 的单调增区间内，求得的x 的范围即函数的增区间；整体放入y ＝sin x 或y ＝cos x 的单调减区间内，可求得函数的减区间．当A <0时，上述方法求出的区间是其单调性相反的区间．[跟踪训练]求函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递减区间． [解] ∵y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝－3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，∴y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3是增函数时，y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 是减函数． ∵函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )上是增函数，∴－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，即－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π(k ∈Z )．∴函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π(k ∈Z )．题型二三角函数值的大小比较思考：利用三角函数的单调性比较大小sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18________sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10(填“<”或“>”)提示：因为－π2<－π10<－π18<0，正弦函数y ＝sin x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上是增函数，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－810，故填>.比较下列各组数的大小：(1)sin250°与sin260°；(2)cos 15π8与cos 14π9.[思路导引] 利用三角函数的单调性比较．[解] (1)∵函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上单调递减，且90°<250°<260°<270°， ∴sin250°>sin260°.(2)cos 15π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π8＝cos π8，cos 14π9＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π－4π9＝cos 4π9.∵函数y ＝cos x 在[0，π]上单调递减，且0<π8<4π9<π，∴cos π8>cos 4π9，∴cos 15π8>cos 14π9.比较三角函数值大小的方法(1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上．[跟踪训练]比较下列各组数的大小． (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8与cos 13π7；(2)sin194°与cos160°. [解] (1)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝cos π8，cos 13π7＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π7＝cos π7，而0<π8<π7<π2，且y ＝cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减，∴cos π8>cos π7.即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8>cos 13π7.(2)∵sin194°＝sin(90°＋104°)＝cos104°，而0°<104°<160°<180°，且y ＝cos x 在[0，π]上单调递减． ∴cos104°>cos160°. 即sin194°>cos160°. 题型三正、余弦函数的最值思考：正弦函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2上函数值的变化有什么特点？余弦函数在[0,2π]上函数值的变化有什么特点？提示：y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上，曲线逐渐上升，是增函数，函数值y 由－1增大到1；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上，曲线逐渐下降，是减函数，函数值y 由1减小到－1.y ＝cos x 在[0，π]上，曲线逐渐下降，是减函数，函数值由1减小到－1，在[π，2π]上，曲线逐渐上升，是增函数，函数值由－1增大到1.(1)求函数y ＝3－2sin x 的最大值和最小值，并分别写出使这个函数取得最大值和最小值时x 的集合．(2)求函数y ＝2sin 2x ＋2sin x －12，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6的值域．[思路导引] (1)利用正弦函数的值域确定函数的最值；(2)利用变量代换转化为二次函数求值域，注意变量的范围．[解] (1)因为－1≤sin x ≤1，所以当sin x ＝－1，即x ＝2k π＋3π2，k ∈Z 时，y 取得最大值5，相应的自变量x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k π＋3π2，k ∈Z .当sin x ＝1，即x ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，y 取得最小值1，相应的自变量x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k π＋π2，k ∈Z. (2)令t ＝sin x ，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，所以12≤sin x ≤1，即12≤t ≤1.所以y ＝2t 2＋2t －12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－1，∵以t 为自变量的二次函数在[12，1]上单调递增，∴1≤y ≤72，所以原函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，72. [变式] 将(2)中函数改为y ＝2cos 2x ＋2sin x －12，其他条件不变，结果如何？[解] y ＝2cos 2x ＋2sin x －12＝2(1－sin 2x )＋2sin x －12＝－2sin 2x ＋2sin x ＋32＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122＋52. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，∴sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1. 所以32≤y ≤52.故原函数的值域⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，52.求三角函数值域或最值的常用方法(1)可化为单一函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋k ，其最大值为|A |＋k ，最小值为－|A |＋k (其中A ，ω，k ，φ为常数，A ≠0，ω≠0)．(2)可化为y ＝A sin 2x ＋B sin x ＋C 或y ＝A cos 2x ＋B cos x ＋C (A ≠0)，最大、最小值可利用二次函数在定义域上的最大值、最小值的求法来求．(换元法)[跟踪训练] 求下列函数的值域：(1)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2；(2)y ＝cos 2x －4cos x ＋5.[解] (1)由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2可得x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，函数y ＝cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上单调递减，所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32. (2)令t ＝cos x ，则－1≤t ≤1. ∴y ＝t 2－4t ＋5＝(t －2)2＋1， ∴t ＝－1时，y 取得最大值10，t ＝1时，y 取得最小值2.所以y ＝cos 2x －4cos x ＋5的值域为[2,10]．课堂归纳总结1．本节课的重点是正弦函数和余弦函数的性质，难点是正、余弦函数的最值问题的求解．2．要重点掌握函数性质的应用 (1)正、余弦函数的单调性，见典例1； (2)三角函数值的大小比较，见典例2； (3)正、余弦函数的最值，见典例3.3.本节课的易错点有以下两处(1)求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，如果ω<0，应先利用诱导公式将其转化为正值，如典例1的跟踪训练．(2)求函数y ＝A sin 2x ＋B sin x ＋C 的值域时，易忽视正弦函数y ＝sin x 的有界性，如典例3(2).1．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的一个递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2B ．[－π，0]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3[解析] ∵2k π＋π2≤x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，∴2k π＋π3≤x ≤2k π＋4π3，k ∈Z .令k ＝0得π3≤x ≤4π3.又∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3 ∴函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的一个递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3.故选D.[答案] D2．函数y ＝2sin 2x ＋2cos x －3的最大值是( ) A ．－1 B ．1 C ．－12D ．－5[解析] 由题意，得y ＝2sin 2x ＋2cos x －3＝2(1－cos 2x )＋2cos x －3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122－12.∵－1≤cos x ≤1，∴当cos x ＝12时，函数有最大值－12.[答案] C3．下列关系式中正确的是( ) A ．sin11°<cos10°<sin168° B ．sin168°<sin11°<cos10° C ．sin11°<sin168°<cos10° D ．sin168°<cos10°<sin11°[解析] ∵sin168°＝sin(180°－12°) ＝sin12°，cos10°＝sin(90°－10°)＝sin80°.由正弦函数的单调性得sin11°<sin12°<sin80°，即sin11°<sin168°<cos10°. [答案] C4．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2[解析] 由周期为π，则排除C 、D.A 中y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递减，符合题意．而B 中y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递增，则不符题意，故选A.[答案] A11 5．函数y ＝13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x (x ∈[0，π])的单调递增区间为________． [解析] ∵y ＝13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝－13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6 ∴函数的单调增区间即为t ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的单调递减区间为2k π＋π2≤x －π6≤2k π＋3π2∴2k π＋2π3≤x ≤2k π＋5π3，k ∈Z且x ∈[0，π]，当k ＝0时，－2π3≤x ≤5π3，而⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π5∩[0，π]＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π，∴y ＝13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x (x ∈[0，π])的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π.[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π。

高中数学教案必修4教案第一章三角函数 1.4.2正弦函数、余弦函数的性质

但在处理问题时学生考虑问题不深入，往往会造成错误的结果。

【教学方法】1．学案导学：见后面的学案。

2．教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。

【课时安排】1课时【教学过程】一、预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

二、复习导入、展示目标。

高中数学第一章三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(2)教案新人教A版必修4

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)1.知识与技能(1)理解正弦函数、余弦函数的性质如周期性、单调性、奇偶性、对称性、最大值、最小值等知识.(2)掌握正弦函数、余弦函数的图象与性质的灵活应用.2.过程与方法在求形如y=A sin(ωx+φ)的函数的单调区间时,注意引导学生把ωx+φ看成一个整体,利用整体代换求出.3.情感、态度与价值观让学生自己探究学习正、余弦函数的图象性质,领会从特殊推广到一般的数学思想,体会三角函数图象所蕴涵的和谐美,体会数形结合的思想,激发学生学习数学的兴趣.重点:正弦函数、余弦函数的图象及主要性质(包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域)的应用,深化研究函数性质的思想方法.难点:正弦函数、余弦函数的图象与性质的应用.1.下列函数中,以π为周期且在区间上为增函数的是()A.y=sinB.y=sin xC.y=cos 2xD.y=-cos 2x解析:由周期为π,排除A,B答案.又y=cos 2x易求递增区间为,k∈Z,从而C不正确.答案:D2.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,-π<φ≤π,若f(x)的最小正周期为6π,且当x=时,f(x)取得最大值,则()A.f(x)在区间[-2π,0]上是增函数B.f(x)在区间[-3π,-π]上是增函数C.f(x)在区间[3π,5π]上是减函数D.f(x)在区间[4π,6π]上是减函数解析:由f(x)的最小正周期为6π,可得=6π,∴ω=.∴f(x)=2sin.又∵x=时,f(x)取最大值,∴2sin=2.∴+φ=2kπ+(k∈Z).∴φ=2kπ+,k∈Z.∵-π<φ≤π,∴φ=.∴f(x)=2sin.令2kπ-x+≤2kπ+,k∈Z,得6kπ-≤x≤6kπ+,k∈Z,∴f(x)的递增区间为,k∈Z,从而可得A正确.答案:A3.函数y=cos2x-sin x的值域为.解析:y=cos2x-sin x=-sin2x-sin x+1=-.∵-1≤sin x≤1,∴值域为.答案:4.已知函数f(x)=cos,x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值,并求出取得最值时x的值.解:(1)因为f(x)=cos,所以函数f(x)的最小正周期为T==π,由-π+2kπ≤2x-≤2kπ(k∈Z),得-+kπ≤+kπ(k∈Z),故函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).(2)因为f(x)=cos在区间上为增函数,在区间上为减函数,又f=0,f,f cos=-cos=-1,故函数f(x)在区间上的最大值为,此时x=,最小值为-1,此时x=.。

高中数学第一章三角函数 1.4.2 正弦函数与余弦函数

§1.4.2正弦函数余弦函数的性质课前预习学案一、预习目标探究正弦函数、余弦函数的周期性，周期，最小正周期；会比较三角函数值的大小,会求三角函数的单调区间.二、预习内容1. _____________________________________________________________________叫做周期函数，___________________________________________叫这个函数的周期.2. _____________________________________叫做函数的最小正周期.3.正弦函数，余弦函数都是周期函数，周期是____________，最小正周期是________.4.由诱导公式_________________________可知正弦函数是奇函数.由诱导公式_________________________可知，余弦函数是偶函数.5.正弦函数图象关于____________________对称，正弦函数是_____________.余弦函数图象关于________________对称，余弦函数是_____________________.6.正弦函数在每一个闭区间_________________上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间_________________上都是减函数，其值从1减少到－1.7.余弦函数在每一个闭区间_________________上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间______________上都是减函数，其值从1减少到－1.8.正弦函数当且仅当x＝___________时，取得最大值1,当且仅当x=_________________时取得最小值－1.9.余弦函数当且仅当x＝______________时取得最大值1；当且仅当x=__________时取得最小值－1.10.正弦函数sinxy=的周期是___________________________.3=的周期是___________________________.11.余弦函数y cos2x12.函数y=sinx+1的最大值是__________,最小值是_____________,y=-3cos2x的最大值是_____________,最小值是_________________.13.y=-3cos2x取得最大值时的自变量x的集合是_________________.π54sin π45cos -π532sin π125cos 14.把下列三角函数值从小到大排列起来为：_____________________________，，，三、提出疑惑课内探究学案一、学习目标：会根据图象观察得出正弦函数、余弦函数的性质；会求含有x x cos ,sin 的三角式的性质；会应用正、余弦的值域来求函数)0(s in ≠+=a b x a y 和函数c x b x a y ++=c o s c o s 2)0(≠a 的值域学习重难点：正弦函数和余弦函数的性质及简单应用。

部编版2020学年高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质一学案含解析新人教A版必修4

1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质第一课时正弦函数、余弦函数的性质(一)正弦、余弦函数的周期性[提出问题]问题1：终边相同的角的三角函数值有什么关系？提示：相等．即sin(2kπ＋x)＝sin x，cos(2kπ＋x)＝cos x(k∈Z)．问题2：正弦曲线具有什么特点？提示：“周而复始”，每隔2π就重复一次．问题3：余弦曲线是否也具有上述特点？提示：是．[导入新知]1．函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期．2．正弦、余弦函数的周期性正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cos x(x∈R)都是周期函数，2kπ(k∈Z，且k≠0)都是它们的周期．最小正周期为2π.[化解疑难]细解周期函数(1)一定要强调是对定义域内的每一个值都有f(x＋T)＝f(x)成立，即x的任意性，否则不能说y＝f(x)是周期函数．(2)并非所有周期函数都有最小正周期．例如，对于常数函数f(x)＝c(c为常数，x∈R)，所有非零实数T都是它的周期，最小正数不存在，所以常数函数没有最小正周期．(3)在周期函数y＝f(x)中，若x∈D，则x＋nT∈D(n∈Z)，从而要求周期函数的定义域一定为无限集，且无上下界.正弦、余弦函数的奇偶性[提出问题]问题1：正弦曲线、余弦曲线各有怎样的对称性？提示：正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于y轴对称．问题2：诱导公式sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x 体现了函数的什么性质？提示：奇偶性． [导入新知]正弦、余弦函数的奇偶性正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数． [化解疑难]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(Aω≠0)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(Aω≠0)奇偶性的判断方法由于函数y ＝A sin ωx (Aω≠0)是奇函数，y ＝A cos ωx (Aω≠0)是偶函数，因此判断函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(Aω≠0)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(Aω≠0)是否具备奇偶性，关键是看它们能否通过诱导公式转化为y ＝A sin ωx (Aω≠0)或y ＝A cos ωx (Aω≠0)．函数的周期[例1] 求下列三角函数的周期： (1)y ＝3sin x ，x ∈R ； (2)y ＝cos 2x ，x ∈R ； (3)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π4，x ∈R ；(4)y ＝|cos x |，x ∈R.[解] (1)因为3sin(x ＋2π)＝3sin x ，由周期函数的定义知，y ＝3sin x 的周期为2π. (2)因为cos2(x ＋π)＝cos(2x ＋2π)＝cos 2x ，由周期函数的定义知，y ＝cos 2x 的周期为π.(3)因为sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13x ＋6π－π4＝sin 13x ＋2π－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π4，由周期函数的定义知，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π4的周期为6π.(4)y ＝|cos x |的图象如图(实线部分)所示，由图象可知，y ＝|cos x |的周期为π. [类题通法]求函数最小正周期的常用方法求三角函数的周期，一般有两种方法：①公式法，即将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b 的形式，再利用T ＝2π|ω|求得；②图象法，利用变换的方法或作出函数的图象，通过观察得到最小正周期．[活学活用]求下列函数的最小正周期： (1)y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 2＋3；(2)y ＝cos|x |.答案：(1)4 (2)2π三角函数的奇偶性[例2] (1)函数f (x )＝2sin 2x 的奇偶性为( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数(2)判断函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＋3π2的奇偶性．[解析] (1)(1)A(2)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＋3π2＝－cos 34x ，∴f (－x )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34x ＝－cos 34x ，∴函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＋3π2为偶函数．[类题通法]与三角函数奇偶性有关的结论(1)要使y ＝A sin(ωx ＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z)； (2)要使y ＝A sin(ωx ＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝k π＋π2(k ∈Z)；(3)要使y ＝A cos(ωx ＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝k π＋π2(k ∈Z)；(4)要使y ＝A cos(ωx ＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝k π(k ∈Z)． [活学活用]1．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＋π2的奇偶性是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数也是偶函数答案：A2．若函数y ＝sin(x ＋φ)(0≤φ≤π)是R 上的偶函数，则φ等于( ) A ．0 B.π4 C.π2 D ．π答案：C三角函数的奇偶性与周期性的应用[例3] π，且当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－53π的值为( )A ．－12 B.12C ．－32 D.32[答案] D [类题通法]解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法利用函数的周期性，可以把x ＋nT (n ∈Z)的函数值转化为x 的函数值．利用奇偶性，可以找到－x 与x 的函数值的关系，从而可解决求值问题．[活学活用]已知f (x )是以π为周期的偶函数且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ，求x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π2，3π时，f (x )的解析式．答案：f (x )＝1－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π2，3π4.三角函数周期性的应用误区[典例] 函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋π6的最小正周期是π，则a ＝______. [解析] ∵2π|a |＝π，∴|a |＝2，∴a ＝±2.[答案] ±21．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，若忽视这一点，则易得出a ＝2的错误答案．2．对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A ≠0，ω≠0)，T ＝2π|ω|. [成功破障]函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－ωx 的最小正周期为4π，则ω＝______. 答案：±12[随堂即时演练]1．函数y ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－x 的奇偶性为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数答案：A2．函数f (x )＝7sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋15π2是( )A ．周期为3π的偶函数B ．周期为2π的奇函数C ．周期为3π的奇函数D ．周期为4π3的偶函数答案：A3．f (x )＝sin x cos x 是________(填“奇”或“偶”)函数．答案：奇 4．函数y ＝cos 1－x π2的最小正周期是________．答案：45．求y ＝|sin x |＋|cos x |的最小正周期，并判断其奇偶性．答案：最小正周期为π2；偶函数[课时达标检测]1．(陕西高考)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期是( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π答案：B2．函数y ＝4sin(2x ＋π)的图象关于( ) A ．x 轴对称 B ．原点对称 C ．y 轴对称 D ．直线x ＝π2对称答案：B3．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π2－1，则下列命题正确的是( ) A ．f (x )是周期为1的奇函数 B ．f (x )是周期为2的偶函数 C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数 D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数答案：B4．已知a ∈R ，函数f (x )＝sin x －|a |，x ∈R 为奇函数，则a 等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 答案：A5．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 4x ＋π3(k >0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是( )A ．10B ．11C ．12D ．13答案：D 二、填空题6．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的周期为π4，则ω＝________.答案：87．函数f (x )＝1＋sin x －cos 2x1＋sin x 的奇偶性为________．答案：非奇非偶函数8．若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π2，且满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x ＜0，sin x ，0≤x ＜π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝________. 答案：22三、解答题9．已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |.(1)画出函数的简图．(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．解：(1)y ＝12sin x ＋12|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π]k ∈Z，0，x ∈[2k π－π，2k π]k ∈Z ，图象如图所示：(2)由图象知该函数是周期函数，且周期是2π.10．设有函数f (x )＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx －π3和函数g (x )＝b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2kx －π6(a >0，b >0，k >0)，若它们的最小正周期之和为3π2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－3g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－1，求这两个函数的解析式．解：∵f (x )和g (x )的最小正周期和为3π2，∴2πk ＋2π2k ＝3π2，解得k ＝2. ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2， ∴a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π2－π3＝b cos ⎝⎛⎭⎪⎫4×π2－π6，即a ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3＝b ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π6.∴32a ＝32b ，即a ＝b .①又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－3g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－1，则有a ·sin π6＝－3b ·cos 5π6－1，即12a ＝32b －1.② 由①②解得a ＝b ＝1，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6.11．已知函数y ＝5cos ⎝⎛⎭⎪⎫2k ＋13πx －π6(其中k ∈N)，对任意实数a ，在区间[a ，a ＋3]上要使函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，求k 的值．解：由5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋13πx －π6＝54，得cos ⎝⎛⎭⎪⎫2k ＋13πx －π6＝14. ∵函数y ＝cos x 在每个周期内出现函数值14有两次，而区间[a ，a ＋3]长度为3，为了使长度为3的区间内出现函数值14不少于4次且不多于8次，必须使3不小于2个周期长度且不大于4个周期长度．即2×2π2k ＋13π≤3，且4×2π2k ＋13π≥3.∴32≤k ≤72.又k ∈N ，故k ＝2,3.。

高中数学第一章三角函数1-4-2正弦函数余弦函数的性质学案新人教A版必修4

高中数学第一章三角函数1-4-2正弦函数余弦函数的性质学案新人教A版必修41.掌握y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值.(重点)2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期，单调区间及最值.(难点)3.了解周期函数、周期、最小正周期的含义.(易混点)[基础·初探]教材整理1 函数的周期性阅读教材P34～P35“例2”以上部分，完成下列问题.1.函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.2.两种特殊的周期函数(1)正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.(2)余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.函数y＝2cos x＋5的最小正周期是________.【解析】函数y＝2cos x＋5的最小正周期为T＝2π.【答案】2π教材整理2 正、余弦函数的奇偶性阅读教材P37“思考”以下至P37第14行以上内容，完成下列问题.1.对于y＝sin x，x∈R恒有sin(－x)＝－sin x，所以正弦函数y＝sin x是奇函数，正弦曲线关于原点对称.2.对于y＝cos x，x∈R恒有cos(－x)＝cos x，所以余弦函数y＝cos x是偶函数，余弦曲线关于y轴对称.判断函数f(x)＝sin的奇偶性.【解】因为f(x)＝sin＝－cos 2x.且f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos 2x＝f(x)，所以f(x)为偶函数.教材整理3 正、余弦函数的图象和性质阅读教材P37～P38“例3”以上内容，完成下列问题.。

高中数学第一章三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(1)导学案新人教A版必修4

1.4.2 正余弦函数的性质（1）【学习目标】1.了解周期函数及最小正周期的概念.2.会求一些简单三角函数的周期.【学习重点】理解周期函数的意义会求周期函数的周期【基础知识】函数 x x k y sin )2sin(=+=π，说明当自变量x 的值增加π2的整数倍时，函数的值重复出现，数学上用周期来刻画这一变化规律.1．周期函数定义：对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：f (x+T)=f (x)，那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.问题：（1）对于函数sin y x =，x R ∈有2sin()sin 636πππ+=，能否说23π是它的周期？（2）正弦函数sin y x =，x R ∈是不是周期函数，如果是，周期是多少？（2k π，k Z ∈且0k ≠）（3）若函数()f x 的周期为T ，则kT ，*k Z ∈也是()f x 的周期吗？为什么？（是，其原因为：()()(2)()f x f x T f x T f x kT =+=+==+）2．一般结论：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+，x R ∈（其中,,A ωϕ 为常数，且0A ≠）的周期2||T πω= 说明：①周期函数x ∈定义域M ，则必有x+T ∈M, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界； ②“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x 0+t)≠f (x 0)）③T 往往是多值的（如y=sinx 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做f(x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）y=sinx, y=cosx 的最小正周期为2π （一般称为周期）从图象上可以看出sin y x =，x R ∈；cos y x =，x R ∈的最小正周期为2π；判断：是不是所有的周期函数都有最小正周期？（()f x c =没有最小正周期）3.求周期的方法：（1）公式法：一般结论：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+，x R ∈（其中,,A ωϕ 为常数，且0A ≠）的周期2||T πω=（2）定义法：f (x+T)=f (x)（3）图像法：如果函数的图像有一定的变化规律，在某一范围内函数图像重复出现，并且图像一方（左或者右）无限延伸.|sinx |=y 或者|cosx |=y .（4）性质法：你能推出下列函数的周期吗？①)()(x f x f -=+α k x f x f +-=+)()(α（其中k 为非零常数） ②)()(x f k x f ±=+α（其中k 为非零常数） ③)(1)(1)(x f x f x f +-=+α， )(1)(1)(x f x f x f -+=+α ④)2()1()(---=x f x f x f⑤)(x f 关于a x =和b x =对称⑥)(x f 关于)0,(a 和)0,(b 对称⑦)(x f 关于a x =和)0,(b 对称【例题讲解】例1 求下列三角函数的周期： ①x y cos 3= ②x y 2sin = ③12sin()26y x π=-，x R ∈．例2 求下列三角函数的周期：①y=sin(-x+3π)；② y=cos （-2x ）；③y=3sin(2x +5π).例3 求下列函数的周期： ①y=|sinx|；②y=|cosx|.【达标检测】1、设0≠a ，则函数)3sin(+=ax y 的最小正周期为（）A 、a πB 、||a πC 、a π2D 、||2a π2、函数1)34cos(2)(-+=πkxx f 的周期不大于2，则正整数k 的最小值是（）A 、13B 、12C 、11D 、103、求下列函数的最小正周期：（1）=-=T xy ),23sin(ππ .（2）=+=T x y ),62cos(ππ .4、已知函数)3sin(2πω+=x y 的最小正周期为3π，则=ω .5、求函数的周期：（1）x y cos 21=周期为： . （2）43sin x y =周期为： . （3）x y 4cos 2=周期为： .（4）x y 2sin 43=周期为： . 6、cosx sinx y +=是周期函数吗？如果是,则周期是多少？7、函数)sin()(x x f ω=)0(>w 在[0,4]与x 轴有9个交点，求ω的取值范围.【问题与收获】参考答案：例1： ① π2 ② π ③ π4例2： ① π2 ② π ③ π4例3： ① π ② π达标检测：1、D 2、A 3、π6 ，1 4、 6±5、 π2， 8π， π， π 6f (x+)=|sin(x+7、)4,2[π。

高中数学第一章三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(1)学案新人教A版必修4

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)学习目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义(重点).2.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期(重点).3.掌握函数y ＝sin x 、y ＝cos x 的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性(重点)．知识点1 周期函数 1．周期函数2．最小正周期【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)周期函数y ＝f (x )的定义域可以为[a ，b ](a ，b ∈R )．( ) (2)任何周期函数都有最小正周期．( )(3)若存在正数T ，使f (x ＋T )＝－f (x )，则函数f (x )的周期为2T .( ) 提示 (1)×，周期函数的定义域一定为无限集，且无上下界．(2)×，常数函数f (x )＝c ，任意一个正实数都是其周期，因而不存在最小正周期． (3)√，f (x ＋2T )＝f [(x ＋T )＋T ]＝－f (x ＋T )＝－[－f (x )]＝f (x )，所以f (x )的周期为2T ．知识点2 正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性【预习评价】函数y ＝sin(x ＋π2)是( )A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数解析因为y ＝sin(x ＋π2)＝cos x ，所以该函数是周期为2π的偶函数．答案 D题型一求三角函数的周期【例1】求下列函数的周期： (1)y ＝2sin(12x ＋π6)，x ∈R ；(2)y ＝1－2cos(π2x )，x ∈R ；(3)y ＝|sin x |，x ∈R ．解 (1)∵2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x ＋4π＋π6 ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6＋2π＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，∴自变量x 只要并且至少要增加到x ＋4π，函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，x ∈R 的值才能重复出现，∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，x ∈R 的周期是4π． (2)∵1－2cos[π2(x ＋4)]＝1－2cos(π2x ＋2π)＝1－2cos(π2x )，∴自变量x 只需并且至少要增加到x ＋4，函数y ＝1－2cos(π2x )，x ∈R 的值才能重复出现，∴函数y ＝1－2cos(π2x )，x ∈R 的周期是4．(3)作图如下：观察图象可知最小正周期为π．规律方法求三角函数周期的方法 (1)定义法,即利用周期函数的定义求解．(2)公式法，对形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A ≠0，ω≠0)的函数，T ＝2π|ω|．(3)观察法，即通过观察函数图象求其周期．三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解．【训练1】 (1)下列是定义在R 上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是()解析对于D ，x ∈(－1,1)时的图象与其他区间图象不同，不是周期函数．答案 D(2)下列函数中，周期为π2的是( )A ．y ＝sin x 2B ．y ＝sin 2xC ．y ＝cos x4D ．y ＝cos 4x解析选项A ，周期T ＝2π12＝4π；选项B ，周期T ＝2π2＝π；选项C ，周期T ＝2π14＝8π；选项D ，周期T ＝2π4＝π2．答案 D题型二三角函数的奇偶性【例2】判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π2；(2)f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )； (3)f (x )＝1＋sin x －cos 2x1＋sin x ．解 (1)显然x ∈R ，f (x )＝cos 12x ，f (－x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＝cos 12x ＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－sin x >0，1＋sin x >0，得－1<sin x <1．解得定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z ．∴f (x )的定义域关于原点对称．又∵f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x ) ∴f (－x )＝lg[1－sin(－x )]－lg[1＋sin(－x )] ＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )＝－f (x )． ∴f (x )为奇函数．(3)∵1＋sin x ≠0，∴sin x ≠－1， ∴x ∈R 且x ≠2k π－π2，k ∈Z ．∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数．规律方法判断函数奇偶性的两个关键点关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；关键点二：看f (－x )与f (x )的关系．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．【训练2】判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝|sin x |＋cos x ； (2)f (x )＝1－cos x ＋cos x －1．解 (1)函数的定义域为R ，又f (－x )＝|sin(－x )|＋cos(－x )＝|sin x |＋cos x ＝f (x )，所以f (x )是偶函数． (2)由1－cos x ≥0且cos x －1≥0，得cos x ＝1，从而x ＝2k π，k ∈Z ，此时f (x )＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数.【例3】 (1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( ) A ．y ＝cos|2x |B ．y ＝|sin x |C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2xD ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－2x解析 y ＝cos|2x |是偶函数，y ＝|sin x |是偶函数，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝cos 2x 是偶函数，y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－2x ＝－sin 2x 是奇函数，根据公式得其最小正周期T ＝π．答案 D(2)定义在R 上的函数f (x )既是偶函数，又是周期函数，若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3等于( )A ．－12B ．12C ．－32D ．32解析 f (5π3)＝f (5π3－π)＝f (2π3)＝f (2π3－π)＝f (－π3)＝f (π3)＝sin π3＝32．答案 D【迁移1】若将例3(2)题中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，结果如何？解 f (5π3)＝f (5π3－π)＝f (2π3)＝f (2π3－π)＝f (－π3)＝－f (π3)＝－sin π3＝－32．【迁移2】若将例3(2)题条件不变，求f ⎝⎛⎭⎪⎫2 017π3＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018π3的值．解 f (2 017π3)＝f (672π＋π3)＝f (π3)＝sin π3＝32，f (2 018π3)＝f (672π＋2π3)＝f (2π3)＝f (－π3)＝f (π3)＝sin π3＝32，所以f (2 017π3)＋f (2 018π3)＝32＋32＝3．规律方法三角函数周期性与奇偶性的解题策略(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的形式，再利用公式求解．(2)判断函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y ＝A sin ωx (A ω≠0)或y ＝A cos ωx (A ω≠0)其中的一个．【训练3】若函数f (x )是以π2为周期的偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π6＝________．解析 f (－17π6)＝f (－17π6＋3π)＝f (π6)＝f (π6－π2)＝f (－π3)＝f (π3)＝1．答案 1课堂达标1．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为( ) A ．4π B ．2π C ．π D.π2解析由题意T ＝2π2＝π，故选C.答案 C2．函数f (x )＝cos(π3x －π4)的周期是( )A ．3B ．3πC ．6D ．6π解析 T ＝2ππ3＝6．答案 C3．函数y ＝sin(ωx ＋π4)的最小正周期为2，则ω的值为________．解析 T ＝2π|ω|＝2，∴|ω|＝π，∴ω＝±π．答案 ±π4．函数f (x )是周期函数，10是f (x )的一个周期，且f (2)＝2，则f (22)＝________．解析 f (22)＝f (22－20)＝f (2)＝2．答案25．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＋3π2 (2)f (x )＝x ·cos x ．解 (1)f (x )的定义域是R ，且f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＋3π2＝－cos 34x ，所以f (－x )＝f (x )，则f (x )是偶函数．(2)f (x )的定义域是R ，又f (－x )＝(－x )·cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．课堂小结1．求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f (x ＋T )＝f (x )成立的T ．(2)图象法，即作出y ＝f (x )的图象，观察图象可求出T ，如y ＝|sin x |．(3)结论法，一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ为常数，A ≠0，ω>0，x ∈R )的周期T ＝2πω．2．判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键．如果定义域关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系，从而判断奇偶性．基础过关1．函数f (x )＝x ＋sin x ，x ∈R ( ) A ．是奇函数，但不是偶函数 B ．是偶函数，但不是奇函数 C ．既是奇函数，又是偶函数 D ．既不是奇函数，又不是偶函数解析由f (－x )＝－x －sin x ＝－(x ＋sin x )＝－f (x )可知f (x )是奇函数．答案 A2．下列函数中，周期为2π的是( ) A ．y ＝sin x2B ．y ＝sin 2xC ．y ＝|sin x2|D ．y ＝|sin 2x |解析 y ＝sin x 2的周期为T ＝2π12＝4π；y ＝sin 2x 的周期为T ＝2π2＝π； y ＝|sin x2|的周期为T ＝2π；y ＝|sin 2x |的周期为T ＝π2．故选C ．答案 C3．定义在R 上的函数f (x )周期为π，且是奇函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．0D ．2解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－1．答案 B4．若函数f (x )＝sin(12x ＋φ)是偶函数，则φ＝________．解析由诱导公式得若f (x )是偶函数，则φ＝π2＋k π，k ∈Z ．答案π2＋k π，k ∈Z 5．若f (x )是R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝sin x ，则f (x )的解析式为________．解析当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝sin(－x )＝－sin x ，又f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝－sin x ，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0答案 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <06．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x cos(π＋x )； (2)f (x )＝1＋sin x ＋1－sin x ； (3)f (x )＝e sin x＋e－sin xe sin x －e－sin x ．解 (1)x ∈R ，f (x )＝cos(π2＋2x )cos(π＋x )＝－sin 2x ·(－cos x )＝sin 2x cos x ． ∴f (－x )＝sin(－2x )cos(－x )＝－sin 2x cos x ＝－f (x )．∴y ＝f (x )是奇函数．(2)对任意x ∈R ，－1≤sin x ≤1， ∴1＋sin x ≥0,1－sin x ≥0．∴f (x )＝1＋sin x ＋1－sin x 的定义域是R ． ∵f (－x )＝1＋－x ＋1－－x，＝1－sin x ＋1＋sin x ＝f (x )， ∴y ＝f (x )是偶函数． (3)∵esin x－e－sin x≠0，∴sin x ≠0，∴x ∈R 且x ≠k π，k ∈Z ． ∴定义域关于原点对称．又∵f (－x )＝e－x ＋e －－x e－x－e－－x＝e －sin x ＋esin xe －sin x －esin x ＝－f (x )， ∴该函数是奇函数．7．已知f (x )是以π为周期的偶函数，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ，求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π时，f (x )的解析式．解 x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π时，3π－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ，∴f (3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x ．又∵f (x )是以π为周期的偶函数， ∴f (3π－x )＝f (－x )＝f (x )，∴f (x )的解析式为f (x )＝1－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π．能力提升8．函数y ＝|sin x －sin x1－sin x 的奇偶性为( )A ．奇函数B ．既是奇函数也是偶函数C ．偶函数D ．非奇非偶函数解析由题意知，当1－sin x ≠0，即sin x ≠1时，y ＝|sin x －sin x1－sin x＝|sin x |，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠2k π＋π2，k ∈Z ，由于定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数．答案 D9．设f (x )是定义域为R ，最小正周期为3π2的函数，若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x ≤0，sin x ，0<x ≤π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4的值等于( )A ．1B ．22 C ．0 D ．－22解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝f (－15π4＋3π2×3)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝sin 3π4＝22．答案 B10．关于x 的函数f (x )＝sin(x ＋φ)有以下说法： ①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数； ②存在φ，使f (x )是偶函数； ③存在φ，使f (x )是奇函数； ④对任意的φ，f (x )都不是偶函数．其中错误的是________(填序号)．解析 φ＝0时，f (x )＝sin x 是奇函数． φ＝π2时，f (x )＝cos x 是偶函数．答案 ①④11．设函数f (x )＝sin π3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 017)＝________．解析 ∵f (x )＝sin π3x 的周期T ＝2ππ3＝6．∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 017)＝336[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)]＋f (2 017) ＝336⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3＋sin 23π＋sin π＋sin 43π＋sin 53π＋sin 2π ＋f (336×6＋1)＝336×0＋f (1)＝sin π3＝32．答案3212．判断函数f (x )＝ln(sin x ＋1＋sin 2x )的奇偶性．解 ∵sin x ＋1＋sin 2x ≥sin x ＋1≥0，若两处等号同时取到，则sin x ＝0且sin x ＝－1矛盾， ∴对x ∈R 都有sin x ＋1＋sin 2x >0． ∵f (－x )＝ln(－sin x ＋1＋sin 2x )＝ln(1＋sin 2x －sin x )＝ln(1＋sin 2x ＋sin x )－111 ＝－ln(sin x ＋1＋sin 2x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．13．(选做题)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，若函数g (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，求关于x 的方程g (x )＝32的解集．解当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3．因为x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，所以由g (x )＝32解得x ＋π3＝－π6或π6，即x ＝－π2或－π6．又因为g (x )的最小正周期为π．所以g (x )＝32的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π－π2或x ＝k π－π6，k ∈Z ．。

高中数学第1章三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(第二课时)导学案新人教A版必修4

1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质(第二课时)[教材研读]预习课本P37～40，思考以下问题1．正、余弦函数的单调区间分别是什么？2．正、余弦函数的最值分别是多少？取最值时自变量x的值是多少？[要点梳理]正弦函数、余弦函数的图象和性质[自我诊断]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1．正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数．( ) 2．存在x ∈R 满足sin x ＝ 2.( )3．在区间[0,2π]上，函数y ＝cos x 仅当x ＝0时取得最大值1.( ) [答案] 1.× 2.× 3.×题型一正、余弦函数的单调性思考：正弦函数在定义域上是增函数，而余弦函数在定义域上是减函数，这种说法对吗？提示：不正确．正弦函数在每个闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )上是增函数，并不是在整个定义域上是增函数，同样的，余弦函数在闭区间[2k π，2k π＋π](k ∈Z )上是减函数，并不是在整个定义域上是减函数．求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的单调区间．[思路导引] 将x －π3看成一个整体解题．[解] 令z ＝x －π3，则y ＝2sin z .∵z ＝x －π3是增函数，∴y ＝2sin z 单调递增(减)时，函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3也单调递增(减)．由z ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，得x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z )，故函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z )．同理可求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋5π6，2k π＋11π6.求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的函数的单调区间时，若ω为负数，则要先把ω化为正数．当A >0时，把ωx ＋φ整体放入y ＝sin x 或y ＝cos x 的单调增区间内，求得的x 的范围即函数的增区间；整体放入y ＝sin x 或y ＝cos x 的单调减区间内，可求得函数的减区间．当A <0时，上述方法求出的区间是其单调性相反的区间．[跟踪训练]求函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递减区间．[解] ∵y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝－3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， ∴y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3是增函数时，y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 是减函数．∵函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )上是增函数，∴－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，即－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π(k ∈Z )．∴函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π(k ∈Z )．题型二三角函数值的大小比较思考：利用三角函数的单调性比较大小sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18________sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10(填“<”或“>”)提示：因为－π2<－π10<－π18<0，正弦函数y ＝sin x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上是增函数，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－810，故填>.比较下列各组数的大小：(1)sin250°与sin260°；(2)cos 15π8与cos 14π9.[思路导引] 利用三角函数的单调性比较．[解] (1)∵函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上单调递减，且90°<250°<260°<270°， ∴sin250°>sin260°.(2)cos 15π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π8＝cos π8， cos 14π9＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－4π9＝cos 4π9. ∵函数y ＝cos x 在[0，π]上单调递减，且0<π8<4π9<π，∴cos π8>cos 4π9，∴cos 15π8>cos 14π9.比较三角函数值大小的方法(1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上．[跟踪训练]比较下列各组数的大小． (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8与cos 13π7； (2)sin194°与cos160°. [解] (1)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝cos π8，cos 13π7＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π7＝cos π7，而0<π8<π7<π2，且y ＝cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减，∴cos π8>cos π7.即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8>cos 13π7.(2)∵sin194°＝sin(90°＋104°)＝cos104°，而0°<104°<160°<180°，且y ＝cos x 在[0，π]上单调递减． ∴cos104°>cos160°. 即sin194°>cos160°. 题型三正、余弦函数的最值思考：正弦函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2上函数值的变化有什么特点？余弦函数在[0,2π]上函数值的变化有什么特点？提示：y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上，曲线逐渐上升，是增函数，函数值y 由－1增大到1；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上，曲线逐渐下降，是减函数，函数值y 由1减小到－1.y ＝cos x 在[0，π]上，曲线逐渐下降，是减函数，函数值由1减小到－1，在[π，2π]上，曲线逐渐上升，是增函数，函数值由－1增大到1.(1)求函数y ＝3－2sin x 的最大值和最小值，并分别写出使这个函数取得最大值和最小值时x 的集合．(2)求函数y ＝2sin 2x ＋2sin x －12，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6的值域．[思路导引] (1)利用正弦函数的值域确定函数的最值；(2)利用变量代换转化为二次函数求值域，注意变量的范围．[解] (1)因为－1≤sin x ≤1，所以当sin x ＝－1，即x ＝2k π＋3π2，k ∈Z 时，y 取得最大值5，相应的自变量x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k π＋3π2，k ∈Z .当sin x ＝1，即x ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，y 取得最小值1，相应的自变量x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k π＋π2，k ∈Z. (2)令t ＝sin x ，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，所以12≤sin x ≤1，即12≤t ≤1.所以y ＝2t 2＋2t －12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－1，∵以t 为自变量的二次函数在[12，1]上单调递增，∴1≤y ≤72，所以原函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，72. [变式] 将(2)中函数改为y ＝2cos 2x ＋2sin x －12，其他条件不变，结果如何？[解] y ＝2cos 2x ＋2sin x －12＝2(1－sin 2x )＋2sin x －12＝－2sin 2x ＋2sin x ＋32＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122＋52.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，∴sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.所以32≤y ≤52.故原函数的值域⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，52.求三角函数值域或最值的常用方法(1)可化为单一函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋k ，其最大值为|A |＋k ，最小值为－|A |＋k (其中A ，ω，k ，φ为常数，A ≠0，ω≠0)．(2)可化为y ＝A sin 2x ＋B sin x ＋C 或y ＝A cos 2x ＋B cos x ＋C (A ≠0)，最大、最小值可利用二次函数在定义域上的最大值、最小值的求法来求．(换元法)[跟踪训练] 求下列函数的值域：(1)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2；(2)y ＝cos 2x －4cos x ＋5.[解] (1)由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2可得x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，函数y ＝cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上单调递减，所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32. (2)令t ＝cos x ，则－1≤t ≤1. ∴y ＝t 2－4t ＋5＝(t －2)2＋1， ∴t ＝－1时，y 取得最大值10，t ＝1时，y 取得最小值2.所以y ＝cos 2x －4cos x ＋5的值域为[2,10]．课堂归纳总结1．本节课的重点是正弦函数和余弦函数的性质，难点是正、余弦函数的最值问题的求解．2．要重点掌握函数性质的应用 (1)正、余弦函数的单调性，见典例1； (2)三角函数值的大小比较，见典例2； (3)正、余弦函数的最值，见典例3. 3.本节课的易错点有以下两处(1)求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，如果ω<0，应先利用诱导公式将其转化为正值，如典例1的跟踪训练．(2)求函数y ＝A sin 2x ＋B sin x ＋C 的值域时，易忽视正弦函数y ＝sin x 的有界性，如典例3(2).1．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的一个递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2B ．[－π，0]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3[解析] ∵2k π＋π2≤x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，∴2k π＋π3≤x ≤2k π＋4π3，k ∈Z .令k ＝0得π3≤x ≤4π3.又∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3 ∴函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的一个递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3.故选D.[答案] D2．函数y ＝2sin 2x ＋2cos x －3的最大值是( ) A ．－1 B ．1 C ．－12D ．－5[解析] 由题意，得y ＝2sin 2x ＋2cos x －3＝2(1－cos 2x )＋2cos x －3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122－12. ∵－1≤cos x ≤1，∴当cos x ＝12时，函数有最大值－12.[答案] C3．下列关系式中正确的是( ) A ．sin11°<cos10°<sin168° B ．sin168°<sin11°<cos10° C ．sin11°<sin168°<cos10° D ．sin168°<cos10°<sin11°[解析] ∵sin168°＝sin(180°－12°) ＝sin12°，cos10°＝sin(90°－10°)＝sin80°.由正弦函数的单调性得sin11°<sin12°<sin80°，即sin11°<sin168°<cos10°.[答案] C4．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2 [解析] 由周期为π，则排除C 、D.A 中y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递减，符合题意．而B 中y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递增，则不符题意，故选A.[答案] A5．函数y ＝13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x (x ∈[0，π])的单调递增区间为________． [解析] ∵y ＝13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝－13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6 ∴函数的单调增区间即为t ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的单调递减区间为2k π＋π2≤x －π6≤2k π＋3π2∴2k π＋2π3≤x ≤2k π＋5π3，k ∈Z 且x ∈[0，π]，当k ＝0时，－2π3≤x ≤5π3，而⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π5∩[0，π]＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π，∴y ＝13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x (x ∈[0，π])的单调递增区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π. [答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π。

人教A版数学必修四第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质二导学案

1.4.2.正弦函数、余弦函数的性质(二)学习目标.1.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间.知识点一.正弦、余弦函数的定义域、值域观察下图中的正弦曲线和余弦曲线. 正弦曲线：余弦曲线：可得如下性质：由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R ，值域都是[－1，1].对于正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 有：当且仅当x ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1；当且仅当x ＝－π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1.对于余弦函数y ＝cos x ，x ∈R 有：当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1；当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1. 知识点二.正弦、余弦函数的单调性观察正弦函数y ＝sin x ，x ∈[－π2，3π2]的图象.思考1.正弦函数在[－π2，3π2]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？答案.观察图象可知：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，曲线逐渐上升，是增函数，sin x 的值由－1增大到1；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2时，曲线逐渐下降，是减函数，sin x 的值由1减小到－1.推广到整个定义域可得当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )时，正弦函数y ＝sin x 是增函数，函数值由－1增大到1；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )时，正弦函数y ＝sin x 是减函数，函数值由1减小到－1.观察余弦函数y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的图象.思考2.余弦函数在[－π，π]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？答案.观察图象可知：当x ∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，是增函数，cos x 的值由－1增大到1；当x ∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，cos x 的值由1减小到－1. 推广到整个定义域可得当x ∈[2k π－π，2k π]，k ∈Z 时，余弦函数y ＝cos x 是增函数，函数值由－1增大到1；当x ∈[2k π，(2k ＋1)π]，k ∈Z 时，余弦函数y ＝cos x 是减函数，函数值由1减小到－1. 思考3.正弦函数、余弦函数的单调区间是什么？答案. y ＝sin x 的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π，k ∈Z .y ＝cos x 的增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ，减区间为[2k π，π＋2k π]，k ∈Z .梳理.类型一.求正弦、余弦函数的单调区间例1.求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递增区间.解.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，令z ＝x －π4，则y ＝－2sin z .因为z 是x 的一次函数，所以要求y ＝－2sin z 的单调递增区间，即求sin z 的单调递减区间，即2k π＋π2≤z ≤2k π＋3π2(k ∈Z ).∴2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )，∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z ).反思与感悟.用整体替换法求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间时，如果式子中x 的系数为负数，先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调区间.求单调区间时，需将最终结果写成区间形式.跟踪训练1.函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3的单调递减区间为________________. 答案.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－2π9，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π9，π3解析.由π2＋2k π≤3x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得π9＋2k π3≤x ≤4π9＋2k π3(k ∈Z ). 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，所以函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－2π9，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π9，π3.类型二.正、余弦函数单调性的应用命题角度1.利用正、余弦函数的单调性比较大小例2.利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小. (1)sin 196°与cos 156°；(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π与cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π.解.(1)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°， cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°. ∵0°<16°<66°<90°，且y ＝sin x 在[0°，90°]上是增函数， ∴sin 16°<sin 66°，从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°. (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π＝cos 235π＝cos(4π＋35π)＝cos 35π，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π＝cos 174π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π4＝cos π4.∵0<π4<35π<π，且y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，∴cos 35π<cos π4，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π<cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π. 反思与感悟.用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小. 跟踪训练2.比较下列各组数的大小.(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫493π； (2)cos 870°与sin 980°.解.(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫493π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫16π＋π3＝sin π3.∵y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6<sin π3，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π<sin 493π. (2)cos 870°＝cos(720°＋150°)＝cos 150°，sin 980°＝sin(720°＋260°)＝sin 260°＝sin(90°＋170°)＝cos 170°.∵0°<150°<170°<180°，且y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数， ∴cos 150°>cos 170°，即cos 870°>sin 980°. 命题角度2.已知三角函数的单调性求参数范围例3.已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上是增函数，求ω的取值范围.解.由－π2＋2k π≤ωx ≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω， ∴f (x )的单调递增区间是[－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω]，k ∈Z . 根据题意，得[－π3，π4]⊆[－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω](k ∈Z )，从而有⎩⎪⎨⎪⎧－π2ω≤－π3，π2ω≥π4，ω>0，解得0<ω≤32.故ω的取值范围是(0，32].反思与感悟.此类问题可先解出f (x )的单调区间，将问题转化为集合间的包含关系，然后列不等式组求出参数范围.跟踪训练3.已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是(..)A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D.(0，2]答案.A解析.取ω＝54，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54x ＋π4，其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，排除B ，C.取ω＝2，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π⊈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，排除D. 类型三.正、余弦函数的值域或最值例4.(1)求函数y ＝2cos(2x ＋π3)，x ∈(－π6，π6)的值域；(2)求使函数y ＝－sin 2x ＋3sin x ＋54取得最大值和最小值的自变量x 的集合，并求出函数的最大值和最小值.解.(1)∵－π6<x <π6，∴0<2x ＋π3<2π3，∴－12<cos(2x ＋π3)<1，∴函数y ＝2cos(2x ＋π3)，x ∈(－π6，π6)的值域为(－1，2).(2)令t ＝sin x ，则－1≤t ≤1， ∴y ＝－t 2＋3t ＋54＝－(t －32)2＋2.当t ＝32时，y max ＝2，此时sin x ＝32，即x ＝2k π＋π3或x ＝2k π＋2π3(k ∈Z ). 当t ＝－1时，y min ＝14－ 3.此时sin x ＝－1，即x ＝2k π＋3π2(k ∈Z ).综上，使函数y ＝－sin 2x ＋3sin x ＋54取得最大值时自变量x 的集合为{x |x ＝2k π＋π3或x＝2k π＋2π3，k ∈Z }，且最大值为2.使函数y ＝－sin 2x ＋3sin x ＋54取得最小值时自变量x 的集合为{x |x ＝2k π＋3π2，k ∈Z }，且最小值为14－ 3.反思与感悟.一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等.三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质. 常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种：(1)形如y ＝sin(ωx ＋φ)的三角函数，令t ＝ωx ＋φ，根据题中x 的取值范围，求出t 的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y ＝sin t 的最值(值域)；(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)的三角函数，可先设sin x ＝t ，将函数y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)化为关于t 的二次函数y ＝at 2＋bt ＋c (a ≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值).(3)对于形如y ＝a sin x (或y ＝a cos x )的函数的最值还要注意对a 的讨论.跟踪训练4.已知函数f (x )＝2a sin x ＋b 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，函数的最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值.解.∵－π3≤x ≤2π3，∴－32≤sin x ≤1.若a ＞0，则⎩⎨⎧ 2a ＋b ＝1，－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧ a ＝12－63，b ＝－23＋12 3.若a ＜0，则⎩⎨⎧2a ＋b ＝－5，－3a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.1.函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的一个单调递减区间是(..)A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2B.[－π，0]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23π，23πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，23π答案.D解析.由π2≤x ＋π6≤32π，解得π3≤x ≤43π.故选D.2.下列不等式中成立的是(..)A.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10 B.sin 3>sin 2 C.sin 75π>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π D.sin 2>cos 1答案.D解析.∵sin 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2－π2，且0<2－π2<1<π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2>cos 1，即sin 2>cos 1.故选D.3.函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是(..)A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1答案.B解析.∵0≤x ≤π2，∴π6≤x ＋π6≤23π，∴cos 23π≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤cos π6，∴－12≤y ≤ 32.故选B.4.求函数y ＝3－2sin 12x 的最值及取到最值时的自变量x 的集合.解.∵－1≤sin 12x ≤1，∴当sin 12x ＝－1，12x ＝2k π－π2，k ∈Z ，即x ＝4k π－π，k ∈Z ，y max ＝5，此时自变量x 的集合为{x |x ＝4k π－π，k ∈Z }；当sin 12x ＝1，12x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝4k π＋π，k ∈Z 时，y min ＝1，此时自变量x 的集合为{x |x ＝4k π＋π，k ∈Z }.5.求函数y ＝2sin(π6－2x )，x ∈(0，π)的单调递增区间.解.∵函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， ∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－2x 的单调递增区间为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的单调递减区间.由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z .∵x ∈(0，π)，∴由k ＝0，得π3≤x ≤5π6.∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－2x ，x ∈(0，π)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6.1.求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间的方法把ωx ＋φ看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2 (k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为增区间，由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为减区间.若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间.2.比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断.3.求三角函数值域或最值的常用方法将y 表示成以sin x (或cos x )为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y 的范围.课时作业一、选择题1.函数y ＝1－2cos π2x 的最小值，最大值分别是(..)A.－1，3B.－1，1C.0，3D.0，1答案.A解析.∵cos π2x ∈[－1，1]，∴－2cos π2x ∈[－2，2]，∴y ＝1－2cos π2x ∈[－1，3]，∴y min ＝－1，y max ＝3.2.下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是(..) A.y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B.y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C.y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2D.y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2答案.A3.下列关系式中正确的是(..) A.sin 11°<cos 10°<sin 168° B.sin 168°<sin 11°<cos 10° C.sin 11°<sin 168°<cos 10° D.sin 168°<cos 10°<sin 11° 答案.C解析.∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°， cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°.∴由正弦函数的单调性，得sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.4.函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间是(..) A.(π2，π) B.(π，2π) C.(π，3π2) D.(0，π)答案.C解析.作出函数y ＝|sin x |的图象，如图，观察图象知C 正确，故选C.5.函数y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈[π3，2π3]的最小值是(..)A.－13B.154C.0D.－14答案.D解析.令t ＝cos x ，x ∈[π3，2π3]，∴t ∈[－12，12]， y ＝3t 2－4t ＋1＝3(t －23)2－13.∵y ＝3(t －23)2－13在t ∈[－12，12]上单调递减， ∴当t ＝12时，y min ＝3×(12)2－4×12＋1＝－14. 6.若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω的值可为(..)A.32B.23C.2D.3答案.A 解析.由题意知，T 4＝π3，即T ＝4π3，4π3＝2πω， ∴ω＝32. 二、填空题7.sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为__________.答案.sin 3<sin 1<sin 2解析.∵1<π2<2<3<π， sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递增，且0<π－3<1<π－2<π2， ∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)，即sin 3<sin 1<sin 2.8.函数y ＝2sin(2x ＋π3)(－π6≤x ≤π6)的值域是________. 答案.[0，2]解析.∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3， ∴0≤sin(2x ＋π3)≤1，∴y ∈[0，2]. 9.函数y ＝13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x (x ∈[0，π])的单调递增区间为________.答案.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π 解析.y ＝－13sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6， ∵x ∈[0，π]，∴－π6≤x －π6≤5π6. 要求函数的单调递增区间，则π2≤x －π6≤5π6，即2π3≤x ≤π.∴y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6－x (x ∈[0，π])的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π. 10.函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则b －a 的最大值与最小值之和为________.答案.2π解析.由图可知，b －a 的最大值为13π6－5π6＝4π3， b －a 的最小值为3π2－5π6＝2π3. 所以最大值与最小值之和为4π3＋2π3＝2π. 三、解答题11.求下列函数的单调增区间.(1)y ＝1－sin x 2；(2)y ＝12log sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3. 解.(1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ，得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .∴y ＝1－sin x 2的单调增区间为[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z ). (2)要求函数y ＝12log sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的单调增区间，即求使y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3>0且单调递减的区间. ∴2k π＋π2≤x 2－π3<2k π＋π，k ∈Z ，整理得4k π＋5π3≤x <4k π＋8π3，k ∈Z . ∴函数y ＝12log sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的单调增区间为 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫4k π＋5π3，4k π＋8π3，k ∈Z . 12.求下列函数的最大值和最小值.(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2； (2)f (x )＝－2cos 2x ＋2sin x ＋3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6. 解.(1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时， 2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，由函数图象知， f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，sin π2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1. 所以，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值分别为1，－12. (2)f (x )＝－2(1－sin 2x )＋2sin x ＋3＝2sin 2x ＋2sin x ＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin x ＋122＋12. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，所以12≤sin x ≤1. 当sin x ＝1时，y max ＝5；当sin x ＝12时，y min ＝52. 所以，f (x )在[π6，5π6]上的最大值和最小值分别为5，52. 13.已知函数f (x )＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b (a ＞0).当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为3，最小值是－2，求a 和b 的值.解.∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，∴f (x )max ＝a ＋b ＝3， f (x )min ＝－32a ＋b ＝－2. 由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝3，－32a ＋b ＝－2，得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝－2＋ 3.四、探究与拓展 14.已知奇函数f (x )在[－1，0]上单调递减，α，β为锐角三角形两内角，则(..)A.f (cos α)>f (cos β)B.f (sin α)>f (sin β)C.f (sin α)>f (cos β)D.f (sin α)<f (cos β)答案.D解析.由题意，得α＋β>π2，∴π2>α>π2－β>0， ∴sin α>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，即1>sin α>cos β>0， ∴－1<－sin α<－cos β<0.∵奇函数f (x )在[－1，0]上单调递减，∴f (－sin α)>f (－cos β)，∴－f (sin α)>－f (cos β)，∴f (sin α)<f (cos β).15.已知定义在R 上的奇函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增，且f (12)＝0，△ABC 的内角A 满足f (cos A )≤0，求角A 的取值范围.解.①当0<A <π2时，cos A >0. 由f (cos A )≤0＝f (12)，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，得0<cos A ≤12，解得π3≤A <π2. ②当π2<A <π时，cos A <0. ∵f (x )为R 上的奇函数，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴f (x )在(－∞，0)上单调递增，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，∴由f (cos A )≤0＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，得cos A ≤－12， ∴2π3≤A <π. ③当A ＝π2时，cos A ＝0，∵f (x )为R 上的奇函数， ∴f (0)＝0，∴f (0)≤0成立.综上所述，角A 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π.。

2017_2018学年高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一)学案(含解析)新人教A版必修4

1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质第一课时正弦函数、余弦函数的性质(一)[提出问题]问题1：终边相同的角的三角函数值有什么关系？提示：相等．即sin(2kπ＋x)＝sin x，cos(2kπ＋x)＝cos x(k∈Z)．问题2：正弦曲线具有什么特点？提示：“周而复始”，每隔2π就重复一次．问题3：余弦曲线是否也具有上述特点？提示：是．[导入新知]1．函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期．2．正弦、余弦函数的周期性正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cos x(x∈R)都是周期函数，2kπ(k∈Z，且k≠0)都是它们的周期．最小正周期为2π.[化解疑难]细解周期函数(1)一定要强调是对定义域内的每一个值都有f(x＋T)＝f(x)成立，即x的任意性，否则不能说y＝f(x)是周期函数．(2)并非所有周期函数都有最小正周期．例如，对于常数函数f(x)＝c(c为常数，x∈R)，所有非零实数T都是它的周期，最小正数不存在，所以常数函数没有最小正周期．(3)在周期函数y＝f(x)中，若x∈D，则x＋nT∈D(n∈Z)，从而要求周期函数的定义域一定为无限集，且无上下界.[提出问题]问题1：正弦曲线、余弦曲线各有怎样的对称性？提示：正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于y轴对称．问题2：诱导公式sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x 体现了函数的什么性质？提示：奇偶性． [导入新知]正弦、余弦函数的奇偶性正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数． [化解疑难]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ω≠0)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ω≠0)奇偶性的判断方法由于函数y ＝A sin ωx (A ω≠0)是奇函数，y ＝A cos ωx (A ω≠0)是偶函数，因此判断函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ω≠0)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ω≠0)是否具备奇偶性，关键是看它们能否通过诱导公式转化为y ＝A sin ωx (A ω≠0)或y ＝A cos ωx (A ω≠0)．[例1] (1)y ＝3sin x ，x ∈R ； (2)y ＝cos 2x ，x ∈R ； (3)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π4，x ∈R ；(4)y ＝|cos x |，x ∈R.[解] (1)因为3sin(x ＋2π)＝3sin x ，由周期函数的定义知，y ＝3sin x 的周期为2π. (2)因为cos2(x ＋π)＝cos(2x ＋2π)＝cos 2x ，由周期函数的定义知，y ＝cos 2x 的周期为π.(3)因为sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13x ＋6π－π4＝sin 13x ＋2π－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π4，由周期函数的定义知，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π4的周期为6π.(4)y ＝|cos x |的图象如图(实线部分)所示，由图象可知，y ＝|cos x |的周期为π. [类题通法]求函数最小正周期的常用方法求三角函数的周期，一般有两种方法：①公式法，即将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b 的形式，再利用T ＝2π|ω|求得；②图象法，利用变换的方法或作出函数的图象，通过观察得到最小正周期．[活学活用]求下列函数的最小正周期： (1)y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 2＋3；(2)y ＝cos|x |.答案：(1)4 (2)2π[例2] (1)函数A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数(2)判断函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＋3π2的奇偶性．[解析] (1)(1)A(2)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＋3π2＝－cos 34x ，∴f (－x )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34x ＝－cos 34x ，∴函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＋3π2为偶函数．[类题通法]与三角函数奇偶性有关的结论(1)要使y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ω≠0)为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z)； (2)要使y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ω≠0)为偶函数，则φ＝k π＋π2(k ∈Z)；(3)要使y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ω≠0)为奇函数，则φ＝k π＋π2(k ∈Z)；(4)要使y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ω≠0)为偶函数，则φ＝k π(k ∈Z)． [活学活用]1．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＋π2的奇偶性是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数也是偶函数答案：A2．若函数y ＝sin(x ＋φ)(0≤φ≤π)是R 上的偶函数，则φ等于( ) A ．0 B.π4 C.π2 D ．π答案：C[例3] π，且当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－53π的值为( )A ．－12 B.12C ．－32 D.32[答案] D [类题通法]解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法利用函数的周期性，可以把x ＋nT (n ∈Z)的函数值转化为x 的函数值．利用奇偶性，可以找到－x 与x 的函数值的关系，从而可解决求值问题．[活学活用]已知f (x )是以π为周期的偶函数且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ，求x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π2，3π时，f (x )的解析式．答案：f (x )＝1－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π2，3π4.三角函数周期性的应用误区[典例] 函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋π6的最小正周期是π，则a ＝______. [解析] ∵2π|a |＝π，∴|a |＝2，∴a ＝±2.[答案] ±21．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，若忽视这一点，则易得出a ＝2的错误答案．2．对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A ≠0，ω≠0)，T ＝2π|ω|. [成功破障]函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－ωx 的最小正周期为4π，则ω＝______. 答案：±12[随堂即时演练]1．函数y ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－x 的奇偶性为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数答案：A2．函数f (x )＝7sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋15π2是( )A ．周期为3π的偶函数B ．周期为2π的奇函数C ．周期为3π的奇函数D ．周期为4π3的偶函数答案：A3．f (x )＝sin x cos x 是________(填“奇”或“偶”)函数．答案：奇 4．函数y ＝cos －x π2的最小正周期是________．答案：45．求y ＝|sin x |＋|cos x |的最小正周期，并判断其奇偶性．答案：最小正周期为π2；偶函数[课时达标检测]1．(陕西高考)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期是( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π答案：B2．函数y ＝4sin(2x ＋π)的图象关于( ) A ．x 轴对称 B ．原点对称 C ．y 轴对称 D ．直线x ＝π2对称答案：B3．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π2－1，则下列命题正确的是( ) A ．f (x )是周期为1的奇函数 B ．f (x )是周期为2的偶函数 C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数 D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数答案：B4．已知a ∈R ，函数f (x )＝sin x －|a |，x ∈R 为奇函数，则a 等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 答案：A5．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 4x ＋π3(k >0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是( )A ．10B ．11C ．12D ．13答案：D 二、填空题6．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的周期为π4，则ω＝________.答案：87．函数f (x )＝1＋sin x －cos 2x1＋sin x 的奇偶性为________．答案：非奇非偶函数8．若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π2，且满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x ＜0，sin x ，0≤x ＜π，则f ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4＝________. 答案：22三、解答题9．已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |.(1)画出函数的简图．(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．解：(1)y ＝12sin x ＋12|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈[2k π，2k π＋πk ∈，0，x ∈[2k π－π，2k πk ∈，图象如图所示：(2)由图象知该函数是周期函数，且周期是2π.10．设有函数f (x )＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx －π3和函数g (x )＝b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2kx －π6(a >0，b >0，k >0)，若它们的最小正周期之和为3π2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－3g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－1，求这两个函数的解析式．解：∵f (x )和g (x )的最小正周期和为3π2，∴2πk ＋2π2k ＝3π2，解得k ＝2. ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2， ∴a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π2－π3＝b cos ⎝⎛⎭⎪⎫4×π2－π6，即a ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3＝b ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π6.∴32a ＝32b ，即a ＝b .①又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－3g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－1，则有a ·sin π6＝－3b ·cos 5π6－1，即12a ＝32b －1.② 由①②解得a ＝b ＝1，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6.11．已知函数y ＝5cos ⎝⎛⎭⎪⎫2k ＋13πx －π6(其中k ∈N)，对任意实数a ，在区间[a ，a ＋3]上要使函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，求k 的值．解：由5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋13πx －π6＝54，得cos ⎝⎛⎭⎪⎫2k ＋13πx －π6＝14. ∵函数y ＝cos x 在每个周期内出现函数值14有两次，而区间[a ，a ＋3]长度为3，为了使长度为3的区间内出现函数值14不少于4次且不多于8次，必须使3不小于2个周期长度且不大于4个周期长度．即2×2π2k ＋13π≤3，且4×2π2k ＋13π≥3.∴32≤k ≤72.又k ∈N ，故k ＝2,3.。

高中数学第一章三角函数1.4.2第一课时正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性学案新人教A版必修4(2

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第一课时正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性预习课本P34～37，思考并完成以下问题（1)周期函数的定义是什么？（2)如何利用周期的定义求正、余弦函数的周期？（3）正、余弦函数的奇偶性分别是什么？错误!1．周期函数(1）周期函数的概念条件①对于函数ƒ(x),存在一个非零常数T②当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f（x）结论函数ƒ（x)叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期条件周期函数ƒ（x)的所有周期中存在一个最小的正数结论这个最小正数叫做ƒ(x）的最小正周期［点睛］对周期函数的两点说明（1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．（2)如果T是函数ƒ(x）的一个周期，则nT（n∈Z且n≠0）也是ƒ(x)的周期．2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数y＝sin x y＝cos x周期2kπ(k∈Z且k≠0)2kπ(k∈Z且k≠0）最小正周2π2π期奇偶性奇函数偶函数错误!1．判断下列命题是否正确．（正确的打“√”，错误的打“×")(1）因sin错误!＝sin错误!，则错误!是正弦函数y＝sin x的一个周期．( ）（2）若T是函数ƒ（x)的周期，则kT，k∈N*也是函数f（x）的周期．（) (3）函数y＝3sin 2x是奇函数．( )(4）函数y＝－cos 错误!x是偶函数．（）答案：(1)×（2）√(3）√(4）√2．函数ƒ（x)＝2sin错误!是( )A．T＝2π的奇函数B．T＝2π的偶函数C．T＝π的奇函数D．T＝π的偶函数答案：B3．下列函数中，周期为错误!的是（）A．y＝sin x B．y＝sin 2xC．y＝cos 错误!D．y＝cos 4x答案：D4．函数ƒ(x）＝sin x cos x是______（填“奇”或“偶")函数．答案:奇三角函数的周期［典例]求下列函数的周期．（1）ƒ（x)＝cos错误!；（2)ƒ(x)＝|sin x|.［解］(1)[法一定义法］∵ƒ（x)＝cos错误!＝cos错误!＝cos错误!＝ƒ(x＋π)，即ƒ(x＋π）＝ƒ（x），∴函数ƒ（x)＝cos错误!的周期T＝π。

新高中数学第一章三角函数1-4-2正弦函数余弦函数的性质学案新人教A版必修4

高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数与余弦函数的性质教案 新人教A版必修4

高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质2学案新人教A版必修4

高中数学 (1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质)教案 新人教A版必修4

高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)导学案 新人教A版必修4-新人