周期性非正弦稳态电路分析
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电路原理课件10非正弦周期电流电路
掌握非正弦周期电压和电流的有效值
掌握电路平均功率的计算 掌握正确运用叠加原理分析计算非正弦周期电流电路的 稳态响应
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非正弦周期电流电路
回顾与展望 电路Fra Baidu bibliotek
电阻电路 (第1章~第4章) RLC电路 (第6章~第9章) RLC电路 (第5章)
电源
直流电源
着力点
直流稳态分析
同频正弦电源 直流电源 或正弦交流
k =1 2 2 = a0 + { a k + bk [ k =1
ak a +b
2 k 2 k
cos( k1t ) +
bk a +b
2 k 2 k
sin( k1t )]} k = 1， 2， 3，
比较可知
A0 = a0 Akm = a + b
2 k 2 k
A0
周期函数 f(t) 的恒定分量(或 直流分量)。
Akm
1 21 314151 k1
如果把各次谐波的初相用相应的线段依次排列，那么得到的频
谱称为相位频谱。本书中频谱专指幅度频谱。
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非正弦周期电流电路 三、傅里叶级数与波形对称性的关系 利用函数的对称性计算傅里叶级数展开式中的系数 1. 偶函数：f (t) = f (t)
非正弦周期电流电路及电路频率特性
理论与实践结合
通过实验验证和理论推导相结合的方式，深入探讨了非正 弦周期电流电路的频率特性，为该类电路的设计和应用提 供了理论指导。
未来发展趋势预测
拓展应用领域
随着科技的不断发展，非正弦周期电流电路的应用领域将 进一步拓展，如新能源、智能制造等新兴领域将成为研究 的热点。
深化理论研究
针对非正弦周期电流电路的频率特性等关键科学问题，需 要进一步深化理论研究，揭示其本质规律和内在机理。
音频信号处理
在音响系统中，滤波器用于 调整音频信号的频率响应， 实现重低音增强、高音削弱 等音效处理。
通信信号处理
在通信系统中，滤波器用于 提取特定频段的信号，如中 频带通滤波器用于接收机的 中频信号处理。
电源噪声滤除
在电源电路中，滤波器用于 滤除电源中的高频噪声，保 证电源输出的稳定性和纯净 性。
傅里叶级数展开
任何周期信号都可以表示为一系列正弦波和余弦波的叠加，这就是傅里叶级数展 开的基本原理。通过这种方法，非正弦周期信号可以分解为多个不同频率的正弦 波分量。
频谱分析
频谱分析是研究信号中各频率分量幅度和相位关系的一种方法。对于非正弦周期 信号，通过频谱分析可以确定其包含的频率成分以及各成分的幅度和相位信息。
通频带
对于具有一定带宽的信号而言，能够通过谐振电路并被放大的频率范围称为通频带。通频带的宽度与 电路的品质因数Q有关，Q值越高则通频带越窄，反之则越宽。在实际应用中，需要根据信号的特点 和电路的要求来选择合适的通频带宽度。
通过实验验证和理论推导相结合的方式，深入探讨了非正 弦周期电流电路的频率特性，为该类电路的设计和应用提 供了理论指导。
未来发展趋势预测
拓展应用领域
随着科技的不断发展，非正弦周期电流电路的应用领域将 进一步拓展，如新能源、智能制造等新兴领域将成为研究 的热点。
深化理论研究
针对非正弦周期电流电路的频率特性等关键科学问题，需 要进一步深化理论研究，揭示其本质规律和内在机理。
音频信号处理
在音响系统中，滤波器用于 调整音频信号的频率响应， 实现重低音增强、高音削弱 等音效处理。
通信信号处理
在通信系统中，滤波器用于 提取特定频段的信号，如中 频带通滤波器用于接收机的 中频信号处理。
电源噪声滤除
在电源电路中，滤波器用于 滤除电源中的高频噪声，保 证电源输出的稳定性和纯净 性。
傅里叶级数展开
任何周期信号都可以表示为一系列正弦波和余弦波的叠加，这就是傅里叶级数展 开的基本原理。通过这种方法，非正弦周期信号可以分解为多个不同频率的正弦 波分量。
频谱分析
频谱分析是研究信号中各频率分量幅度和相位关系的一种方法。对于非正弦周期 信号，通过频谱分析可以确定其包含的频率成分以及各成分的幅度和相位信息。
通频带
对于具有一定带宽的信号而言，能够通过谐振电路并被放大的频率范围称为通频带。通频带的宽度与 电路的品质因数Q有关，Q值越高则通频带越窄，反之则越宽。在实际应用中，需要根据信号的特点 和电路的要求来选择合适的通频带宽度。
第12章 非正弦周期电流电路
系数的计算
1 a0 T 2 ak T 1
T 0
1 f ( t )dt T
T /2
T / 2
f ( t )dt
T 0
f ( t ) cos(k 1 t )dt
1
2 0
f ( t ) cos(k 1 t )d ( 1 t )
f (t ) cos(k t )d ( t )
f ( t ) A0 Akm cos(k 1t k )
k 1
k 1
(1) (2)
(1), (2)式系数之间的关系
A0 a0 , Akm a b
2 k
2 k
ak Akm cos k
, bk Akm sin k
bk , tg k ak
T
1 2 I 0 I km cos(k1t k )dt 0 T 0 1 2 I km I qm cos(k1t k ) cos(q1t q )dt 0, k q T 0
T
故
I
2 2 I 0 I 12 I 2
对于非正弦周期电压
u U 0 U km cos(k 1 t k )
f ( t ) a0 (ak cos k 1t bk sin k 1t )
非正弦周期性电流电路
02
通过拉普拉斯变换，可以将非 正弦周期性电流或电压转换为 复平面上的函数，从而方便地 分析其频域特性。
03
拉普拉斯变换法适用于求解线 性时不变电路中的初值问题和 稳态问题。
状态空间平均法
01
状态空间平均法是一种基于状态方程的分析方法，通过建立电 路的状态方程来描述非正弦周期性电流或电压的行为。
02
非正弦周期性电流电路的未来展望
随着新能源和智能电网的发展，非正弦周期性电流电路将在新能源并网、 无功补偿、有源滤波等领域发挥更加重要的作用。
非正弦周期性电流电路的分析方法和模型将进一步完善，为理论研究提供 更加准确和可靠的依据。
非正弦周期性电流电路的应用领域将进一步拓展，为电力电子、电机控制、 新能源等领域的发展提供更加先进和实用的技术支撑。
三角波电路
电流在一定范围内连续变化， 形状类似三角形，常用于模拟
信号处理和合成。
锯齿波电路
电流在一定范围内按锯齿形状 变化，常见于测试和测量设备
。
非正弦周期性电流电路的应用场景
数字逻辑电路
非正弦周期性电流在数字逻辑 电路中广泛使用，如微处理器
、存储器和逻辑门等。
测试与测量设备
在各种测试和测量设备中，非 正弦周期性电流用于生成测试 信号或进行信号处理。
在控制系统中的应用
执行器控制
非正弦周期性电流电路可以用于执行器的控制，以实现系统的稳 定性和动态性能。
电路分析周期性激励下电路的稳态响应
•例 图示电路为全波整流滤波电路。其中Um=157V。L=5H, C
=10F, R=2000，=314rad/s。加在滤波器上的全波整流电压
u 如图所示。
•求：（1）电阻R上电压uR及其有效值UR 。
• （2）电阻R消耗的的平均功率。
•u •L
•u
•C •R •uR
•0
• •
t
•解 •（1） 上述周期性非正弦电压分解成付氏级数为:
•取到四 •次谐波
电路分析周期性激励下电路的稳态响 应
•（2） 计算各次谐波分量单独作用时产生的响应 •（a）100V直流电源单独作用。（L短路、C开路）
•（b）二次谐波
•u •R •uR
•单独作用（用相量法） •jXL •jXC •R
电路分析周期性激励下电路的稳态响 应
电路分析周期性激励下电路的稳态响 应
•锯齿 波
• —谐波（harmonic）分析法
•周期性非正弦电源 •分解成傅里叶级数（Fourier series）
•利用叠加定理分别计算各次谐波电源单独作用 在电路上产生的响应。
•将各次谐波电源在电路中产生的响应进行相加。
电路分析周期性激应励下电•返路的回稳态目响
•14.2 周期函数的谐波分析—傅里叶级数
•
（a）直流分量单独作用相当于解直流电路。（L短路、
C 开路）
第十二章 非正弦周期电流电路
I3m cos3t 3
则代入有效值的定义积分式可得： I
I
2 0
I12
I
2 2
I
2 3
其中，I0、 I1 、 I2 、 I3 分别为电流i(t)的直流分量电流和基波、 2次谐波、3次谐波电流的有效值。
证明过程见书上page326。
同理，非正弦周期电压的有效值为：
下面来看什么是非正弦周期信号
2019/5/30
3
定义：随时间按非正弦规律周期变化的信号(电流或电压)，称为 非正弦周期信号。
①锯齿波
②三角波
③方波（矩形波）
④半波整流波形
共同特点： ①均为周期函数，周期为T，f (t)= f (T+t)； ②非正弦。
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4
分类： 1）偶函数:f(t)=f(-t) 有纵轴对称的性质。
代替原函数，但工程上只要达到要求的精度，取前若干项也就
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7
可以了。
2、傅氏级数另一种表达式：
将 an cos nt bn sin nt 合并（进行和差化积）可得：
f t fT t A0 A1m cost 1 A2m cos2t 2
由傅立叶级数演变出一种从时间域到频率域的变换——傅立叶 变换，是信号分析与处理的极其重要的数学工具。通过傅立叶变 换，可以将随时间变化的函数（信号）变换为幅值随频率变化的 信号，可以方便地分析不同频率下信号的特点和贡献幅值大小。
电路理论 周期性非正弦电路分析
k =1 ∞
= U 0 I 0 + U 1 I 1cosϕ1 + U 2 I 2cosϕ 2 + U 3 I 3cosϕ 3 + L = P0 + P1 + P2 + L + Pk + L
结论： 结论 ϕ 2,3, 式中 ：： k = ϕ uk − ϕ ik , (k = 1， L) 平均功率＝直流分量的功率＋ 平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率 为各次谐波电压与电流的相位差。 为各次谐波电压与电流的相位差。
电 路 理 论
第八章
周期性非正弦 电路分析
1
第八章
8.2 8.3
周期性非正弦电路分析
非正弦周期量的有效值与功率 非正弦周期电流电路的计算
2
第八章
周期性非正弦电路分析
非正弦周期信号的特点
半波整流电路的输出信号 ui t uo t
方波信号 T
t
3
♣ 不是正弦波
♣ 按周期规律变化
常见非正弦周期性电信号 常见非正弦周期性电信号 正弦
一、非正弦周期的有效值
1 定义： 定义：任一周期量 f (t)，其有效值 ， F = ，其有效值F T 简称均方根值。 简称均方根值。
∫
T
0
f 2 ( t )dt
若 ： i = I 0 + ∑ I km sin( k ω t + ϕ k )
= U 0 I 0 + U 1 I 1cosϕ1 + U 2 I 2cosϕ 2 + U 3 I 3cosϕ 3 + L = P0 + P1 + P2 + L + Pk + L
结论： 结论 ϕ 2,3, 式中 ：： k = ϕ uk − ϕ ik , (k = 1， L) 平均功率＝直流分量的功率＋ 平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率 为各次谐波电压与电流的相位差。 为各次谐波电压与电流的相位差。
电 路 理 论
第八章
周期性非正弦 电路分析
1
第八章
8.2 8.3
周期性非正弦电路分析
非正弦周期量的有效值与功率 非正弦周期电流电路的计算
2
第八章
周期性非正弦电路分析
非正弦周期信号的特点
半波整流电路的输出信号 ui t uo t
方波信号 T
t
3
♣ 不是正弦波
♣ 按周期规律变化
常见非正弦周期性电信号 常见非正弦周期性电信号 正弦
一、非正弦周期的有效值
1 定义： 定义：任一周期量 f (t)，其有效值 ， F = ，其有效值F T 简称均方根值。 简称均方根值。
∫
T
0
f 2 ( t )dt
若 ： i = I 0 + ∑ I km sin( k ω t + ϕ k )
第十二章非正弦周期电流电路分析
第十二章 非正弦周期电流电路分析
§12.1 非正弦周期电压与电流
前面几章我们研究了正弦电流电路的分析计算方法。但在工程实际中大量存在的还有非正弦周期规律变化的电压和电流，如图12-1-1所示，分别称为非正弦周期电压或电流。其中T称为周期，f=1/T 称为频率，ω1=2πf=2π/T称为角频率，U和I称为幅度，u(t)和i(t)随时间变化的曲线称为波形。 周期函数的一般定义是：设有一时间常数f(t)，若满足f(t-nT)=f(t) (n=0,±1, ±2,…),则称f(t)为周期函数，其中T为常数，称为f(t)的重复周期，简称周期。
图12-1-1 非正弦周期电压和电流举例
本章中将研究当先行电路中的激励为非正弦周期电源时，电路中的稳态响应如何分析计算。解决此问题的电路原理是叠加原理，数学基础是傅立叶级数，另外还将简要介绍信号频谱的概念及其方法。
§12.2 非正弦周期函数展开成傅立叶级数
一． 傅里叶级数的三角函数形式
设f(t)为一非正弦周期函数，其周期为T，频率和角频率分别为f , ω1。由于工程实际中的非正弦周期函数，一般都满足狄里赫利条件，所以可将它展开成傅里叶级数。即
其中A0/2称为直流分量或恒定分量；其余所有的项是具有不同振幅，不同初相角而频率成整数倍关系的一些正弦量。A1cos(ω1t+ψ1)项称为一次谐波或基波，A1，ψ1分别为其振幅和初相角；
A2cos(ω2t+ψ2)项的角频率为基波角频率ω1的2倍，称为二次谐波，A2，ψ2分别为其振幅和初相角；其余的项分别称为三次谐波，四次谐波等。基波，三次谐波，五次谐波……统称为奇次谐波；二次谐波，四次谐波……统称为偶次谐波；除恒定分量和基波外，其余各项统称为高次谐波。式（12-2-1）说明一个非正弦周期函数可以表示一个直流分量与一系列不同频率的正弦量的叠加。
第八章-非正弦周期电流电路
e j 5 1 t Im U e j 7 1 t Im U 5 m 7m
[0.0157 50sin ( 1t 90 )
0.125sin ( 1t 179.95 ) 3
0.0416sin ( 1t 0.01 ) 5
0.0208sin7 1t ] V
Um
50
电压响应的幅值频 谱中基波含量最大 是由于电路对基波 发生谐振。
0.125
0
ω1
3ω1
nω1
例2
已知ω = 314 rad/s, R1 = R2 = 10 , L1 = 0.106 H， L2 = 0.0133 H，C1 = 95.6μ F，C2=159 F，
谐波分析法(harmonic analysis)
具有对称性的周期函数的傅里叶级数展开式的特点： (1) 奇函数(odd function) ： f ( t ) = f ( t )
奇函数的波 形对称于坐 标系的原点
a0 0, 2
2 bn T
4 T
an 0, bn 0
f ( t ) sin( 1t ) dt n
三次谐波分量电压单独作用
L1与C1并联的等效阻抗为
1 j3 C1 1 j 3 L1
电气学院《电路-非正弦周期电流电路和信号的频谱》课件
13-4 非正弦周期电流电路的计算
一、一般步骤：
1） 将激励为非正弦周期函数展开为傅立叶级数： f (w t) = A0 + Ak m cos(kw t + k ) k =1 2） 将激励分解为直流分量和无穷多个不同频率的 正弦激励分量； 3） 求各激励分量单独作用时的响应分量：
(1) 直流分量作用：直流分析（C开路，L短路）求Y0;
（2）基波分量作用：角频率为w （正弦稳态分析）求y1; （3）二次谐波分量作用：角频率为2w （正弦稳态分析）求y2;
………………
4) 时域叠加：y(t)= Y0 + y1 + y2 + y3 + y4 + ……
例：图示电路中 us (t) = 40 + 180 coswt + 60 cos(3wt + 45)
+ 20cos(5wt +18) ,f=50 Hz，求i(t)和电流有效值I 。
解：直流分量作用： i(0) = 0
基波分量作用：
•
• (1)
I=
U (1) s
= 1.426 86
R + j(wL 1 )
2
wC
i(1) = 1.426cos(wt + 86)A
3次谐波作用：
•
• (3)
I=
第8章 非正弦周期电流电路
计算步骤：
⑴将给定的非正弦周期激励的电压或电流分解为 傅立叶级数，根据精度要求取前若干项。一般取 5 次 以前各项。
⑵按直流稳态求出激励中直流分量单独作用的响 应分量；再按正弦稳态求出激励中各次谐波分量分别 单独作用的响应分量，应用相量法时注意感抗、容抗 与频率的关系；最后把各响应分量转换为时域形式。
2
1
(U m ) cos(kt )dt 0
2 2 T 2 1 bk u (t ) sin(kt )dt U m sin(kt )dt (U m ) sin(kt )dt 1 T 0 2 0
1 U 2 2U m 1 m U m cos(kπt ) cos(kπt ) 1 cos(kπ) 0 1 kπ kπ kπ
A0 a0
2 Amk ak bk2
ak Amk cos k
bk Amk sin k
bk k arc tan( ) bk
(8 3)
式中
2π T角频率
Am1 cos(t 1 ) Am2 cos(2t 2 ) Amk cos(kt k )
U 0 I 0 U k I k cos k
k 1
(8 8)
式中
I 0、U 0 为直流分量， I k、U k 为 k 次谐波有效值，
k uk ik
⑴将给定的非正弦周期激励的电压或电流分解为 傅立叶级数，根据精度要求取前若干项。一般取 5 次 以前各项。
⑵按直流稳态求出激励中直流分量单独作用的响 应分量；再按正弦稳态求出激励中各次谐波分量分别 单独作用的响应分量，应用相量法时注意感抗、容抗 与频率的关系；最后把各响应分量转换为时域形式。
2
1
(U m ) cos(kt )dt 0
2 2 T 2 1 bk u (t ) sin(kt )dt U m sin(kt )dt (U m ) sin(kt )dt 1 T 0 2 0
1 U 2 2U m 1 m U m cos(kπt ) cos(kπt ) 1 cos(kπ) 0 1 kπ kπ kπ
A0 a0
2 Amk ak bk2
ak Amk cos k
bk Amk sin k
bk k arc tan( ) bk
(8 3)
式中
2π T角频率
Am1 cos(t 1 ) Am2 cos(2t 2 ) Amk cos(kt k )
U 0 I 0 U k I k cos k
k 1
(8 8)
式中
I 0、U 0 为直流分量， I k、U k 为 k 次谐波有效值，
k uk ik
2周期性非正弦稳态电路分析t
同次谐波电压与电流的乘积 uk(t)ik(t) 不同次谐波电压与电流的乘积 uk(t)iq(t)
结论：不同次谐波电压、电流乘积积分为0，不能构成平均功率
所以 1 T P=U0I0+ uk (t)ik(t)dt k=1 T 0
P=U0I0+U1I1cos1 +U2I2cos2 +U3I3cos3+ • • •
k 1 k 1
u
1）矩形波电压
t
O
4U m 1 1 u (sinω t sin3 ω t sin5 ω t ......) π 3 5
2）三角波电压
u
O
t
8U m 1 1 u 2 (sinω t sin3 ω t sin5 ω t ......) π 9 25
例 正弦波经全波和半波整流后的平均值
全波
Uav=0.9U
半波
Uav=0.45U
33
(3) 平均功率
T P= 1 u(t)i(t)dt T 0 u(t)=U0+ 2 Uksin(kt+uk) k=1
i + u
-
i(t)=I0+ 2 Iksin(kt+ik)
k=1
u(t)i(t)
2I 0i1 2I 0i2 2I 0ik
非正弦周期信号电路的稳态计算
非正弦周期信号电路的稳态计算
对于非正弦周期信号激励的稳态电路，无法用直流电路或正弦交流电路的计算方法来分析计算，而必须先把非正弦周期信号激励用傅里叶级数分解为不同频率的正弦分量之和，然后再分别计算各个频率分量激励下的电路响应。最后用叠加定理把各响应分量进行叠加获得稳态响应。其计算过程的主要步骤可分为三步：
(1)把给定的非正弦周期激励源分解为傅里叶级数表达式，即分解为直流分量与各次谐
波分量之和，根据展开式各项收敛性及所需精度确定所需谐波项数;
(2)分别计算直流分量和各频率谐波分量激励下的电路响应。直流分量用直流电路分析方法，此时电感短路、电容开路;对于不同频率的正弦分量，采用正弦电路相量分析计算方法，这时需注意电路的阻抗随频率而变化，各分量单独计算时应作出对应电路图;
(3)应用叠加定理把输出响应的各谐波分量相加得到总的响应值，注意叠加前应把各谐
波响应表达成时域瞬时式(因为不同频率的相量式相加是无意义的)。
下面用具体例子来说明线性电路的周期非正弦稳态分析。
例6-2-1 电路如图6-2-1所示，已知，，，电源电压
，基波角频
率，试求流过电阻的电流及电感两端电压。
图 6-2-1
解：本题的激励电压源已分解成各次谐波分量，因此可直接进行各次谐波的计算。对于直流分量的计算，可用一般直流电路的解题方法，画出对应直流电路如图6-2-2a所示，已
知，则得
对于基波分量，其对应电路如图6-2-2b所示，，
ab端入端阻抗：
图 6-2-2
电感两端电压：
即有：
，
对于三次谐波分量，其等效电路如图6-2-2c所示，，其入端阻抗为：
第12章 非正弦周期信号电路的稳态分析
识记知识
（1）傅立叶级数展开式，确定傅立叶系数的表示式； （2）非正弦周期信号的有效值、平均值和平均功率的计算公式。
学习方法与建议 准确理解周期信号的有效值、平均值和平均功率的定义及其物理含
义，再推广到非正弦周期信号的有效值、平均值和平均功率的计算。
三、重点、难点和疑点及解决方法
1 . 重点 （1） 非正弦周期信号的有效值求解； （2） 非正弦周期信号电路的平均功率求法； （3） 非正弦周期信号电路的稳态计算。
2．难点和疑点 （1）非正弦周期信号的傅立叶系数的求解； （2）非正弦周期信号的有效值与正弦信号的有效值的区别； （3）非正弦周期信号电路的平均功率与正弦信号的有功功率的
区别； （4）非正弦周期信号电路的稳态计算时，感抗、容抗的换算。
3．混淆点、易错点、易忽略点 （1） 非正弦周期信号的傅立叶系数容易混淆；
第十二章 非正弦周期信号电路的稳态分析
一、 教学目标
在无线电和电子工程中的电信号不一定是正弦周期变化的，例如方 波、锯齿波或者经过整流的半波，电力系统中正弦交流电受某些干扰也 有可能发生畸变，因此如何分析非正弦周期信号电路及其响应，是电路 课程中的又一项内容。
1. 知识教学点 （1）常见的非正弦周期信号及其傅立叶级数分解 （2）掌握非正弦周期量的有效值 （3）非正弦周期信号电路的功率 （4）非正弦周期信号电路的稳态分析
（1）傅立叶级数展开式，确定傅立叶系数的表示式； （2）非正弦周期信号的有效值、平均值和平均功率的计算公式。
学习方法与建议 准确理解周期信号的有效值、平均值和平均功率的定义及其物理含
义，再推广到非正弦周期信号的有效值、平均值和平均功率的计算。
三、重点、难点和疑点及解决方法
1 . 重点 （1） 非正弦周期信号的有效值求解； （2） 非正弦周期信号电路的平均功率求法； （3） 非正弦周期信号电路的稳态计算。
2．难点和疑点 （1）非正弦周期信号的傅立叶系数的求解； （2）非正弦周期信号的有效值与正弦信号的有效值的区别； （3）非正弦周期信号电路的平均功率与正弦信号的有功功率的
区别； （4）非正弦周期信号电路的稳态计算时，感抗、容抗的换算。
3．混淆点、易错点、易忽略点 （1） 非正弦周期信号的傅立叶系数容易混淆；
第十二章 非正弦周期信号电路的稳态分析
一、 教学目标
在无线电和电子工程中的电信号不一定是正弦周期变化的，例如方 波、锯齿波或者经过整流的半波，电力系统中正弦交流电受某些干扰也 有可能发生畸变，因此如何分析非正弦周期信号电路及其响应，是电路 课程中的又一项内容。
1. 知识教学点 （1）常见的非正弦周期信号及其傅立叶级数分解 （2）掌握非正弦周期量的有效值 （3）非正弦周期信号电路的功率 （4）非正弦周期信号电路的稳态分析
非正弦周期电流电路
第8章 非正弦周期电流电路
8.1 非正弦周期信号
在实际工程中，除了正弦激励和响应外，还会经常遇到非正弦激励和响应。电路中的激励或响应是按非正弦周期性变化的电压电流，则称其为非正弦周期量，这种电路称为非正弦周期电流电路。例如，实际的交流发电机发出的电压波形与正弦波或多或少有些差别，严格讲是非正弦周期波。通信工程方面传输的各种信号，如收音机、电视机收到的信号电压或电流，它们的波形都是非正弦波。在自动控制、电子计算机等技术领域中用到的脉冲信号也都是非正弦波。图8-1所示非正弦周期波形都是工程中常见的例子。
另外，如果电路存在非线性元件，即使在正弦电源的作用下，电路中也将产生非正弦周期的电压和电流。
非正弦信号的波形多种多样，有周期性的，也有非周期性的，在本章中只研究非正弦周期量。作为非正弦周期电路，一种是电路为线性电路，由于激励源为非正弦量而形成了非正弦的响应；另一种是激励源是正弦量，由于电路中存在非线性元件而形成了非正弦的响应。图8-1 非正弦周期电流、电压波形
本章只讨论非正弦周期量激励下线性电路稳定状态的分析和计算方法，并简要地介绍信号频谱的初步概念。首先应用数学中的傅里叶级数（傅氏级数）展开方法，将非正弦周期激励电压、电流或信号分解为一系列不同频率的正弦量之和，再根据线性电路的叠加定理，分别计算在各个正弦量单独作用下电路中产生的同频正弦电流分量和电压分量；最后，把所得分量按时域形式叠加，就可以得到电路在非正弦周期激励下的稳态电流和电压。这种方法称为谐波分析法。它实质上是把非正弦周期电流电路的计算转化为一系列正弦电流电路的计算。
第07章 非正弦周期电流电路的稳态分析
i ( t ) I 0 i1 ( t ) i 2 ( t )
例：图示电路，电压源的波形如图，求电感上的电压。 ①将us(t)傅里叶级 数展开：
ω 2π 2π 10 rad/s
3
0
u
200 V
25 mH
u S (t )
1 ms
50
t
②直流分量作用：
T 400 1 us (t ) 100 (cos t cos 3t ) π 3
其它各项称为周期函数 f(t)的高次谐波(high order harmonic component)如： A cos(2t )
2m 2
称为周期函数 f(t)的二次谐波。其频率是原周期函数的频率 的两倍。 二、傅里叶系数与原周期函数的关系： 1） f(t)为偶函数：f(t) =f(-t)， f(t)关于纵轴对称。则
t
0
T
t
f 周期性：( t ) f ( t T ) nonsinusoidal periodic wave 非正弦波激励 非周期性 第一节 非正弦周期的傅里叶级数展开式 一、傅里叶级数：任一个周期（非正弦 ）函数只要满足狄里赫 利条件，都可以展开为一系列频率成整数倍的正弦函数之和。
若：
f (t ) f (t T )
1 T
0
T
u dt
例：图示电路，电压源的波形如图，求电感上的电压。 ①将us(t)傅里叶级 数展开：
ω 2π 2π 10 rad/s
3
0
u
200 V
25 mH
u S (t )
1 ms
50
t
②直流分量作用：
T 400 1 us (t ) 100 (cos t cos 3t ) π 3
其它各项称为周期函数 f(t)的高次谐波(high order harmonic component)如： A cos(2t )
2m 2
称为周期函数 f(t)的二次谐波。其频率是原周期函数的频率 的两倍。 二、傅里叶系数与原周期函数的关系： 1） f(t)为偶函数：f(t) =f(-t)， f(t)关于纵轴对称。则
t
0
T
t
f 周期性：( t ) f ( t T ) nonsinusoidal periodic wave 非正弦波激励 非周期性 第一节 非正弦周期的傅里叶级数展开式 一、傅里叶级数：任一个周期（非正弦 ）函数只要满足狄里赫 利条件，都可以展开为一系列频率成整数倍的正弦函数之和。
若：
f (t ) f (t T )
1 T
0
T
u dt
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2 T
fT(t)sinkt dt 0
Ckm=
2 T
fT(t)coskt dt 0
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• 奇函数 ( odd function )
• 信号波形对称于原点，
• 即 f (t) = −f(−t)
• 对于奇函数级数中的系数
A0=0
Ckm=0
现代电路与系统
第6页/共55页
• 偶函数 ( even function )
现代电路与系统
第15页/共55页
(4) 视在功率与功率因数
S =UI = U02 +U12 +U32 + • • • cos =P/S uS= 2Usint
I02 +I12 +I32 + • • •
+i
uS -
i=I0+ I21sin(t+1)+ I2sin(22t+2)+ • • •
第12页/共55页
•••
• 视在功率，功率因数，有功功率，三者关系是什么？
• 在很多电路中，不只有电阻，还有电感和电导。这两种东西本 身不消耗能量，只是储存或放出能量。
• 例如：某个机器内部有电阻、电感和电导。
– 视在功率就是输入电流乘上机器上加的电压。 – 有功功率就是消耗在机器内部电阻上的功率。 – 视在功率乘以cos A等于有功功率，其中A就是功率因数，一般用百分数表
A0=0
Bkm=0
Ckm=0
k=2,4,6…
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• 偶谐函数 ( even harmonic function)
• 信号波形平移半个周期后得到的波形与原波形重合
• 即满足
f t T1 f t
2
现代电路与系统
偶谐函数的傅里叶展开式中不含奇次谐波分量，只含偶次谐波分量。其傅里叶系 数为
• 本例偶谐函数是经过全波整流后得到的电流
Bkm=0
Ckm=0
k=1,3,5…
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2.3 非正弦周期性电量的有效值与平均值，平均功率 (1) 电压和电流的有效值
现代电路与系统
U= 1 uT2(t)dt T0
( 对所有周期函数 )
u(t)=U0+ U2ksin(kt+k) k=1
u2(t)
本章目录
• 2.1 引言 • 2.2 非正弦周期函数分解傅里叶级数 • 2.3 非正弦周期性电量的有效值与平均值，平均功率 • 2.4 非正弦周期性稳态电路分析 • 2.5 对称三相非正弦周期电流电路
现代电路与系统
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2.1 引言
周期性非正弦稳态电路分析
• 正弦稳态分析 • 电路中产生非正弦周期变化电压、电流的原因
• 有功功率P=U.I.cosø cosø即为功率因数。
• 功率因数低，说明电路中用于交变磁场吞吐转换的无 功功率大，从而降低了设备的利用率，增加了线路供 电损失。
现代电路与系统
第14页/共55页
• 如何提高功率因数？
• 常用的方法就是在电感性电器两端并联静电电容 器， 如图C所示：这样将电压电路所需的无功功率，大部分 转交由电容器供给，把交变磁场与电源的吞吐转变磁 场与电容电场之间吞吐，从而使发电机电源能量得到 充分利用，所以说提高功率因数具有很大的经济意义。
• 信号波形相对于纵轴是对称的
• 即 f (t) =f(−t)
• 对于偶函数级数中的系数为
BBiblioteka Baidum=0
现代电路与系统
第7页/共55页
• 奇谐函数 ( odd harmonic function或半波对 称函数)
• 信号波形的后f 半t 周T21 期 是 f前t 半周期的镜像
•即
现代电路与系统
奇谐函数的傅里叶展开式中不含直流及偶次谐波分量，只含奇次谐波分量。其傅 里叶系数为
f (t)=A0+ Akmsin(kt+k)
k=1
A0 — 常数项 （直流分量）
— 基波角频率
2 = T
k — 整数
现代电路与系统
f (t)=A0+ Bkmsinkt + Ckmcoskt
k=1
k=1
Akm= B2km+C2km
k=tg –1
Ckm Bkm
A0=
1 T
fT(t)dt 0
Bkm=
各次谐波的平方：U20，u2k(t)
不同次谐波的乘积： Ukmsin(kt+k )Uqmsin(qt+q )
U= U20+U21+U22+
•••
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(2) 电压和电流的平均值与均绝值 1、平均值
定义 2、均绝值
U0=
1 T
uT(t)dt 0
现代电路与系统
问题
0 0.5T
T 1.5
2T
示。一般希望功率因素越高越好。
现代电路与系统
第13页/共55页
• 什么叫功率因数？
• 功率因数是衡量电器设备效率高低的一个系数。它是 交流电路中有功功率与视在功率的比值
• 即 功率因数=有功功率/视在功率 • 其大小与电路的负荷性质有关，如白炽灯，电阻炉等
电热设备，功率因数为1，对具有电感的电器设备如日 光灯、电动机等，功率因数小于1，从功率三角形的图 中，运用数学三角关系可得出：
i
+
u-
u(t)i(t)
同次谐波电压与电流的乘积 uk(t)ik(t) 不同次谐波电压与电流的乘积 uk(t)iq(t)
结论：不同次谐波电压、电流乘积积分为0，不能构成平均功率
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所以
P=U0I0+
k=1
T1uk
0(Tt)ik(t)dt
P=U0I0+U1I1cos1 +U2I2cos2 +U3I3cos3+
(1) 电源提供的电压或电流是非正弦周期变化的
现代电路与系统
第2页/共55页
(2) 一个电路中有两个或两个以上不同频率的电源作用
Rb1 C1
+EC
Rc
C2
+
- 输入
uS(t) Rb2
Re
输出 C3
(3) 电路中含有非线性元件
现代电路与系统
+
+
R
-
-
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(3) 电路中含有非线性元件 +
T
定义
Uav=
1 T
Tu(t) dt 0
与平均值的关系
例 正弦波经全波和半波整流后的平均值
全波
Uav=0.9U
半波
第11页/共55页
Uav=0.45U
(3) 平均功率
P= 1 uT(t)i(t)dt
T0
u(t)=U0+ Uk2sin(kt+uk)
k=1
i(t)=I0+ Ik2sin(kt+ik) k=1
-
• 本章的讨论对象及处理问题的思路
+ R
-
非正弦周期 变化的电源
线性时不变 电路
（稳态分析）
(1) f (t+kT)=A0+ Akmsin(kt+k)
k=1
(2) 线性时不变电路 — 叠加定理适用
现代电路与系统
电源中不同频率成分的正弦波分别作用于电路
第4页/共55页
2.2 非正弦周期函数分解傅里叶级数