历史上三大数学危机之三

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数学史上的三大危机

数学史上的三大危机无理数危机、无穷小是零危机和悖论危机无理数的发现－第一次数学危机大约公元前５世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯的悖论。

当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称"四艺"，在其中追求宇宙的和谐规律性。

他们认为：宇宙间一切事物都可总结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为１的直角三角形就是如此。

这个悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时理解上的"危机"，从而产生了第一次数学危机。

到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。

他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第５卷中。

欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。

今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处。

第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大的冲击。

这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却能够由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。

危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！无穷小是零吗？－第二次数学危机18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的实验过，绝大部分数学家对这个理论的可靠性是毫不怀疑的。

1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，茅头指向微积分的基础--无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。

他指出："牛顿在求xn的导数时，采取了先给x以增量０，应用二项式（x+0）n，从中减去xn以求得增量，并除以０以求出xn的增量与x的增量之比，然后又让０消逝，这样得出增量的最终比。

数学三大危机简介

数学三大危机简介数学三大危机第一次数学危机毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。

他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。

由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。

毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数。

而“一切数均可表示成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。

然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。

毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢?他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。

希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数根号2的诞生。

小小根号2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。

它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。

实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击，对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。

这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。

这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的!可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的根号2的存在而推翻了!这应该是多么违反常识，多么荒谬的事!它简直把以前所知道的事情根本推翻了。

更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。

这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的，史称“第一次数学危机”。

第二次数学危机出现第二次数学危机导源于微积分工具的使用。

伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹共同发现。

这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。

许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如反掌。

但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。

数学史上一共发生过三次危机,都是怎么回事

数学史上一共发生过三次危机，都是怎么回事？在数学历史上，有三次大的危机深刻影响着数学的发展，三次数学危机分别是：无理数的发现、微积分的完备性、罗素悖论。

第一次数学危机第一次数学危机发生在公元400年前，在古希腊时期，毕达哥拉斯学派对“数”进行了定义，认为任何数字都可以写成两个整数之商，也就是认为所有数字都是有理数。

但是该学派的一个门徒希帕索斯发现，边长为“1”的正方形，其对角线“√2”无法写成两个整数的商，由此发现了第一个无理数。

毕达哥拉斯的其他门徒知道后，为了维护门派的正统性，把希帕索斯杀害了，并抛入大海之中，看来古人也是解决不了问题时，先解决提出问题的人。

即便如此，无理数的发现很快引起了一场数学革命，史称第一次数学危机，这危机影响数学史近两千年的时间。

第二次数学危机微积分是一项伟大的发明，牛顿和莱布尼茨都是微积分的发明者，两人的发现思路截然不同；但是两人对微积分基本概念的定义，都存在模糊的地方，这遭到了一些人的强烈反对和攻击，其中攻击最强烈的是英国大主教贝克莱，他提出了一个悖论：从微积分的推导中我们可以看到，△x在作为分母时不为零，但是在最后的公式中又等于零，这种矛盾的结果是灾难性的，很长一段时间内数学家都找不到解决办法。

直到微积分发明100多年后，法国数学家柯西用极限定义了无穷小量，才彻底解决了这个问题。

第三次数学危机数学家总有一个梦想，试图建立一些基本的公理，然后利用严格的数理逻辑，推导和证明数学的所有定理；康托尔发明集合论后，让数学家们看到了曙光，法国科学家庞加莱认为：我们可以借助结合论，建造起整座数学大厦。

正在数学家高兴之时，英国哲学家、逻辑学家罗素，提出了一个惊人的悖论——罗素悖论：罗素悖论通俗描述为：在某个城市中，有一位名誉满城的理发师说：“我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。

”那么请问理发师自己的脸该由谁来刮？罗素悖论的提出，引发了数学上的又一次危机，数学家辛辛苦苦建立的数学大厦，最后发现基础居然存在缺陷，数学家们纷纷提出自己的解决方案；直到1908年，第一个公理化集合论体系的建立，才弥补了集合论的缺陷。

(完整版)简述数学史上的三大危机

简述数学史上的三大危机世界曾经发生过金融危机，比如美国的金融危机席卷全球，造成了史无前例的影响。

实际上，在数学界也发生过翻天覆地的变革，那就是数学史上的三次数学危机。

在古希腊，哲学家都是格外重视数学。

像无论是最早的唯物主义哲学家泰勒斯，还是最早的唯心主义哲学家毕达哥拉斯，都特别推崇数学。

在那些伟大的数学家中，在数学上成就最大的，当推毕达哥拉斯。

毕达哥拉斯建立了一个带有神秘色彩的团体，被称为毕达哥拉斯学派。

这个学派传授知识，研究数学，还很重视音乐。

“数”与“和谐”是他们的主要哲学思想。

他们认为数是万物的本源，数产生万物，数的规律统治万物，也就是“万物皆数”的观点。

“万物皆数”就是万物皆可用自然数或分数表示。

然而，这一观点在后来确被毕达哥拉斯自己给推翻了。

这还得从一个有趣的故事说起。

有一次毕达哥拉斯去朋友家做客，他发现朋友家的地板上的方形图案很有意思，凭借着他数学家头脑的直觉，得出了我们今天所学的勾股定理以及证明。

然而根据勾股定理，边长为1的正方形，其对角线的长度应当是根号2，毕达哥拉斯发现根号2既不是自然数，也不是分数。

这个事实的发现，是毕达哥拉斯学派的一大成就，它标志着人类思维有了更高的抽象能力。

但这一发现引起了毕达哥拉斯学派的惶恐不安。

因为他们心目中的数只有自然数与自然数之比---分数。

如今发现边长为1的正方形的对角线这个明明白白地摆在那里的东西竟不能用“数”表示。

这难道不是自己否定自己信仰的真理吗？于是毕达哥拉斯学派千方百计封锁消息，但是纸包不住火终于还是传开了。

当时研究数学的希腊学者们便对数的重要性有了怀疑。

哲学家们认为世界上的量都可以用数表示，任何两个分数，无论多么近，他们之间还有无穷对个分数，这么多的数居然还不能表示出线段上某些点的长度，数的万能的力量因为根号2的出现被否定了，这就是所谓的第一次数学危机。

第二次数学危机我们生活着的这个世界，在一刻不停地变化着。

古希腊哲学家赫拉克利特说：人不能两次踏入同一条河流，因为河水在流动，当人第二次踏进同一条河流时，已经不是第一次踏进时的河水了。

三次数学危机

站在危机中看未来——三次数学危机极其对数学的影响数学的发展并不是一帆风顺的，历史上数学一共经历了三次危机。

第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。

这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。

当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知，毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。

该学派的成员希伯索斯根据勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现，边长为l的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示。

希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事。

它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见解。

使当时希腊数学家们深感不安，相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死，这就是第一次数学危机。

这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。

两个几何线段，如果存在一个第三线段能同时量尽它们，就称这两个线段是可通约的，否则称为不可通约的。

正方形的一边与对角线，就不存在能同时量尽它们的第三线段，因此它们是不可通约的。

很显然，只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制，所谓的数学危机也就不复存在了。

不可通约量的研究开始于公元前4世纪的欧多克斯，其成果被欧几里得所吸收，部分被收人他的《几何原本》中。

这次数学危机对希腊数学产生了决定性的影响。

首先，希腊人得出直觉、经验都不是绝对可靠的，推理论明才是可靠的，因而希腊人此后更加重视逻辑，并在亚里士多德手中完成了古典逻辑学。

其次，由于整数及其比不能包括一切几何量，但几何量却可以表示一切数，因此希腊人认为几何较之算术占着更重要的地位。

在其后的希腊数学中，这种几何对算术的优势支配了希腊数学一千年。

希帕索斯的发现导致了第一次数学危机，然而为了解决这一危机，却又导致了古希腊古典逻辑学与公理几何学的诞生。

数学史上的三次危机

数学史上的三次危机第一次数学危机在古代的数学家看来与有理数对应的点充满了数轴，现在尚未深入了解数轴性质的人也会这样认为。

因此，当发现在数轴上存在不与任何有理数对应的一些点时，在人们的心理上引起了极大震惊，这个发现是早期希腊人的重大成就之一。

它是在公元前5世纪或6世纪的某一时期又毕达哥拉斯学派的成员首先获得的。

这是数学史上的一个里程碑。

毕达哥拉斯学派发现单位正方形的边与对角线不可公度，即对角线的长不能表为qp/的形式，也就是说不存在作为公共量度单位的线断。

后来，又发现数轴上还存在许多点也不对应于任何有理数。

因此，必须发明一些新的数，使之与这样的点对应，因为这些数不能是有理数，所以把它们称为无理数。

例如，,22,8,62等都是无理数。

无理数的发现推翻了早期希腊人坚持的另一信念：给定任何两个线段，必定能找到第三线段，也许很短，使得给定的线段都是这个线段的整数倍。

事实上，即使现代人也会这样认为，如果他还不知道情况并非如此的话。

第一次数学危机表明，当时希腊的数学已经发展到这样的阶段：1．数学已由经验科学变为演绎科学；2．把证明引入了数学；3．演绎的思考首先出现在几何中，而不是在代数中，使几何具有更加重要的地位。

这种状态已知保持到笛卡儿解析几何的诞生。

中国、埃及、巴比伦、印度等国的数学没有经历这样的危机，因而一直停留在实验科学。

即算术阶段。

希腊则走上了完全不同的道路，形成了欧几里得的《几何原本》与亚里斯多得的逻辑体系，而成为现代科学的始祖。

在当时的所有民族中为什么只有希腊人认为几何事实必须通过合乎逻辑的论证而不能通过实验来建立？这个原因被称为希腊的奥秘。

总之，第一次数学危机是人类文明史上的重大事件。

无理数与不可公度量的发现在毕达哥拉斯学派内部引起了极大的震动。

首先，这是对毕达哥拉斯哲学思想的核心，即“万物皆依赖于整数”的致命一击；既然像2这样的无理数不能写成两个整数之比，那么，它究竟怎样依赖于整数呢？其次，这与通常的直觉相矛盾，因为人们在直觉上总认为任何两个线段都是可以公度的。

三次数学危机的产生与解决

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解决措施
针对三次数学危机，数学家们提出了各种解决措施。在第一次数学危机中，欧多克索斯提出了实数的概念，将数学从困境中解脱出来；在第二次数学危机中，数学家们对集合论进行严格的公理化，提出了公理化集合论；在第三次数学危机中，
数学家们发展出了新的数学逻辑系统——模态逻辑，为数学的发展提供了更加坚实的基础。
三次数学危机的产生与解决
目录
01 第一次数学危机
03 第三次数学危机
02 第内容
目录
06 总结
数学作为一门基础学科，是人类文明的重要组成部分。然而，在数学发展史上，曾先后出现过三次严重的危机。本次演示将分别探讨这三次数学危机的产生背景、原因及后果，并提出相应的解决措施。
第一次数学危机
第一次数学危机发生在公元前580年至568年之间的古希腊时期。这场危机的起因主要在于当时数学界对无理数认识的不足。古希腊的数学家们认为，所有的数都可以表示为整数或分数，即有理数。然而，当时希腊数学家希帕索斯发现了一个问题：如果将
正方形的对角线进行等分，那么所得的线段长度就无法用有理数来表示。这个发现动摇了当时数学界的基础，引发了第一次数学危机。
第二次数学危机
第二次数学危机发生在19世纪末期。这次危机源于康托尔的集合论，由于集合论的某些基本概念含混不清，引发了数学界的恐慌。这场危机的根本原因是，当时数学家们并未对集合论进行严格的公理化。为了解决这次危机，数学家们对集合论进行了深入
研究，最终由策梅洛提出了公理化集合论，平息了这次危机。
发展。而在第三次数学危机时期，人们对数学的认知发生了根本性的改变，使数学进入了一个全新的发展阶段。
总结
三次数学危机的产生与解决，是人类文明发展的重要组成部分。这些危机不仅推动了数学的快速发展，而且也启示人们要不断深入思考和探索数学的内涵和基础。通过了解三次数学危机的历史背景、原因、后果及解决措施，我们可以更好地理解数学的

史上数学三大危机简介

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------史上数学三大危机简介数学三大危机数学三大危机简述：第一，希帕索斯（Hippasu，米太旁登地方人，公元前 5 世纪）发现了一个腰为 1 的等腰直角三角形的斜边（即根号 2）永远无法用最简整数比（不可公度比）来表示，从而发现了第一个无理数，推翻了毕达哥拉斯的著名理论。

相传当时毕达哥拉斯派的人正在海上，但就因为这一发现而把希帕索斯抛入大海；第二，微积分的合理性遭到严重质疑，险些要把整个微积分理论推翻；第三，罗素悖论：S 由一切不是自身元素的集合所组成，那 S 包含 S 吗？用通俗一点的话来说，小明有一天说：我正在撒谎！问小明到底撒谎还是说实话。

罗素悖论的可怕在于，它不像最大序数悖论或最大基数悖论那样涉及集合高深知识，它很简单，却可以轻松摧毁集合理论！第一次数学危机毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。

他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。

由毕达哥拉斯提出的著名命题万物皆数是该学派的哲学基石。

毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数。

而一切数均可表成整数或整数之比则是这一学派的数学信仰。

1 / 6然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的掘墓人。

毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为 1 的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。

希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生。

小小的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。

它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。

实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击，对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。

数学史上的三次危机3篇

数学史上的三次危机第一次危机：希腊数学危机希腊数学家们是数学历史上的伟大人物，他们创造了许多数学概念和理论，如欧几里得几何、三角学、锥曲线等。

但在公元前4世纪到公元前3世纪的时期，希腊数学发生了危机。

这一时期的希腊数学家纷纷开始关注无穷大和无穷小的概念。

然而，这些概念并不符合当时的逻辑和数学标准，他们甚至不能用现代的数学符号来表示。

因此，这些数学家的理论并没有得到广泛的认可和接受。

在这一时期，希腊数学的道路出现了两条分支。

一条是传统的代数学派，他们注重整数、有理数和分数的研究；另一条是几何学派，他们将一切几何测量归纳为单个不可减少的点。

两个学派的意见相左，争论不断，导致了希腊数学的危机。

这一时期的数学发展为数学的发展带来了许多思考，但也让希腊数学陷入了停滞和分化的境地。

第二次危机：19世纪末的非欧几何危机19世纪末期，非欧几何成为了当时的热门话题。

在欧几里得几何中，平行公设是一项基本性质，两条不重合的直线在平面上永远不会相交。

然而，非欧几何学派质疑这一性质，提出了一种名为反射性的新性质，也就是说，两条不重合的直线在特定的情况下是可以相交的。

这种观点的提出，引起了数学界的强烈反响和激烈争议。

欧几里得几何是基础数学，因此许多人认为非欧几何在一定程度上是在否认这一基础。

在这种文化和学术背景下，非欧几何的认可难以达成，成为了数学史上的一次危机。

第三次危机：20世纪初的集合论危机20世纪初，集合论成为了数学的新话题。

然而，当时对于集合论的探讨往往涉及到关于无限的思考，这些思考往往与人的直觉相悖，甚至有些违反逻辑。

其中最著名的例子就是悖论：一个包含所有时空中的点的集合是否存在？如果存在，那么这个集合中是否包含它自身？如果不包含，那么就不能称其为包含所有时空中的点的集合；如果包含，那么这个集合就非常巨大，超出了我们的想象。

这个悖论意味着个体和整体的关系无法解决，出现了数学中的自我矛盾。

这一数学危机的解决需要借鉴哲学和逻辑学的工具，很多数学家因此开始关注哲学基础和逻辑体系，试图建立一个完备的集合论，以应对数学的自我矛盾和前进。

三次数学危机

三次数学危机在现代数学史上，它的发展伴随着三大危机，也正是当时的人们正视这些危机而不逃避，最终解决了这些问题，并在解决的过程中，发展了数学。

一、第一次数学危机现代意义下的数学，来源于古希腊毕达哥拉斯学派。

兴旺于公元前500年左右。

他们认为，“万物皆数”，他们相信一切数字皆可以表达为整数或整数之比──分数，简单而言，他们所认识的只是“有理数”。

当时的人只有“有理数”的观念是绝不奇怪的，对于整数，在数轴上我们知道是一点点均匀分布的，而任何连续整数之间取其中点，必定有另一个有理数存在，……，因此令人很容易以为“有理数”可以完全填满整条数轴，“有理数”就是等于一切数，可惜这个想法随着正方形对角线长度的测量而产生了无法解决的问题：如图，两个边长为q 的正方形面积和与一个边长为p 的正方形面积相等。

即p 2=2q 2，但是p ，q 不能表示为整数比的关系。

这是由毕达格拉斯的学生Hippasus 首先发现的。

现在的教科书是用奇偶性来证明的，非常巧妙。

现在你还可以在网上找到更多巧妙的证法。

“逻辑上的矛盾”是如此之大，以致于有一段时间，他们费了很大的精力将此事保密，不准外传。

而Hippasus却将这一事实传播了出去，最终他被追杀并投入大海。

在大约公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。

可惜他的著作已经失传，但他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第5卷中，并且和狄德金于1872年绘出的无理数的现代解释基本一致。

第一次数学危机表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示。

反之，数却可以由几何量表示出来。

整数的尊祟地位受到挑战，古希腊的数学观点受到极大的冲击。

于是，几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。

同时也反映出，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的。

从此希腊人开始从“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系。

这是数学思想上的一次革命，是第一次数学危机的自然产物。

三次数学危机和数学悖论读书笔记

三次数学危机和数学悖论读书笔记一、第一次数学危机。

1. 危机的起源。

- 毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，这里的数指的是整数或整数之比（即有理数）。

当他们研究等腰直角三角形的斜边与直角边的关系时，发现了一个不可公度的量。

例如，对于边长为1的等腰直角三角形，其斜边长度为√(2)，√(2)不能表示为两个整数之比，这与他们的信条产生了冲突。

2. 对数学的影响。

二、第二次数学危机。

1. 危机的起源。

- 17世纪，牛顿和莱布尼茨分别独立地创立了微积分。

在微积分的早期发展中，存在着一些概念上的模糊性。

例如，牛顿的流数法中，对于无穷小量的定义和处理不够严谨。

在求导过程中，先把一个量看作无穷小量进行运算，最后又把它当作零舍去，这就引发了逻辑上的矛盾。

例如，对于函数y = x^2，求导时(Δ y)/(Δ x)=frac{(x + Δ x)^2-x^2}{Δ x}=2x+Δ x，当Δ x趋近于0时，牛顿把Δ x既当作非零的量进行运算，最后又当作零舍去得到y' = 2x。

2. 对数学的影响。

- 这次危机促使数学家们对微积分的基础进行深入的思考和研究。

柯西、魏尔斯特拉斯等数学家通过极限理论等方式来完善微积分的基础。

柯西提出了极限的ε - δ定义，使得微积分中的概念如导数、积分等有了严格的定义基础。

魏尔斯特拉斯进一步完善了极限理论，消除了无穷小量概念的模糊性，从而使微积分建立在严格的逻辑基础之上，推动了分析学的蓬勃发展，也为现代数学分析等学科的发展奠定了坚实的基础。

三、第三次数学危机。

1. 危机的起源。

- 19世纪末，集合论成为了数学的基础。

康托尔创立的集合论在处理无穷集合等问题上取得了巨大的成功。

罗素提出了著名的罗素悖论。

考虑集合S={xx∉ x}，如果S∈ S，根据S的定义，S∉ S；如果S∉ S，同样根据定义S∈ S，这就产生了矛盾。

这个悖论表明集合论本身存在着逻辑漏洞。

2. 对数学的影响。

- 第三次数学危机引发了数学界的巨大震动。

数学三大危机

数学三大危机1.第一次危机发生在公元前～年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派；2.第二次数学危机的解决使微积分更完善；3.第三次数学危机，出现在十九世纪末。

当时英国数学家罗素把子集分为两种。

1. 第一次危机发生在公元前～年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。

这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数紧固，科学知识保密，所有发明创造都归为学派领袖。

当时人们对有理数的重新认识还很非常有限，对于无理数的概念更是一无所知，毕达哥拉斯学派所说的数，原来就是指整数，他们不把分数看作一种数，而仅看做两个整数之比，他们错误地指出，宇宙间的一切现象都归咎于整数或整数之比。

该学派的成员希伯索斯根据勾股定理（西方称作毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理辨认出，边长为l的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能够则表示。

希伯索斯的辨认出被指出就是“可笑”和违背常识的事。

它不仅轻微地违反了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统看法。

并使当时希腊数学家们深感不安，据说希伯索斯因这一辨认出被资金投入海中溺死，这就是第一次数学危机。

这场危机通过在几何学中引入不容通约量概念而获得化解。

两个几何线段，如果存有一个第三线段能够同时量尽它们，就表示这两个线段就是可以通约的，否则称作不容通约的。

正方形的一边与对角线，就不存有能够同时量尽它们的第三线段，因此它们就是不容通约的。

很似乎，只要宣称不容通约量的存有并使几何量不再受到整数的管制，所谓的数学危机也就不复存在了。

不容通约量的研究已经开始于公元前4世纪的欧多克斯，其成果被欧几里得所稀释，部分被收人他的《几何原本》中。

第二次数学危机出现在十七世纪。

十七世纪微积分问世后，由于斟酌微积分的理论基础问题，数学界发生纷乱局面，即为第二次数学危机。

微积分的构成给数学界增添革命性变化，在各个科学领域获得广泛应用，但微积分在理论上存有矛盾的地方。

无穷小量就是微积分的基础概念之一。

三次数学危机

三次数学危机无理数的确认──第一次数学危机现代文明的基础，很大程度上由2000多年前生活在小小希腊城邦的科学家们建立。

公元前500年左右，古希腊的毕达哥拉斯创建了毕达哥拉斯学派。

这个学派认为：“万物皆数”（指整数），数是现实的基础，是严整性和次序的根据，是在宇宙体系里控制着的永恒的关系。

数学的知识是可靠的、准确的；数学的知识由于纯粹的思维而获得，不需要观察、直觉和日常经验。

毕达哥拉斯学派和更早的以泰勒斯为代表的米利都学派一起开创了应用演绎推理解决数学问题的先河。

从某种意义上来讲，现代意义下的数学，也就是作为演绎系统的纯粹数学，来源于古希腊。

整数是在对于对象的有限集合进行计算的过程中产生的抽象概念。

日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各种很难分离为单独个体的量，例如长度、重量、体积和时间等等。

为了满足这些简单的度量需要，人们提出了分数。

在分数和整数的基础上，人们进一步提出了有理数的概念。

所谓有理数即为两个整数p、q的商p/q，q≠0,那么由于有理数系统包括了所有的整数和分数，所以仅使用有理数对于进行实际量度已经足够了。

对有理数有一种简单的几何解释。

在一条水平直线上，标出一段线段作为单位长，如果令它的左端点和右端点分别表示0和1，则可用这条直线上的间隔为单位长的点的集合来表示整数，正整数在0的右边，负整数在0的左边。

以q为分母的分数，可以用每一单位间隔分为q等分的点表示。

于是，每一个有理数都对应着直线上的一个点。

古代数学家们认为，不言而喻，这样能把直线上所有的点用完。

从这个角度来看，“整数是完美的”。

毕达哥拉斯学派甚至将自己的全套哲学思想建立在了“整数”的基础上。

但是，恰恰是毕达哥拉斯学派在大约公元前400年发现：直是无理数就够了。

据亚里士多德说，历史上最早不能表示成中国有一句古话“纸里包不住火”。

人们很快发现不可通约性并不是罕见的现象。

后来，据柏拉图说，昔拉图的狄奥多鲁斯在大约公元前425年，指出面积等于3、5、6……17的正方形的边与单位正方形的边也不可通约，并对每一种情况都单独予以证明。

数学史上的三大危机

无理数危机、无穷小是零危机和悖论危机数学史上的三大危机无理数的发现－第一次数学危机大约公元前５世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯的悖论。

当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称"四艺"，在其中追求宇宙的和谐规律性。

这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的"危机"，从而产生了第一次数学危机。

到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。

他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第５卷中。

欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。

今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处。

第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大的冲击。

这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。

危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！无穷小是零吗？－第二次数学危机18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的实验过，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。

数学历史上三大危机

数学历史上三大危机数学作为一门研究数量、结构、变化和空间等概念的学科，自诞生以来就不断面临着各种挑战和危机。

其中，数学历史上最为著名的三大危机，分别是无理数的发现、无穷小量的悖论以及集合论中的罗素悖论。

这三大危机不仅推动了数学的发展，也深刻地影响了数学哲学和科学哲学的演变。

一、无理数的发现无理数的发现是数学史上的一次重大突破，也是数学历史上第一次危机。

自古以来，人们一直认为所有的数都可以表示为分数，即两个整数的比例。

然而，公元前5世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯学派发现了一个重要的几何事实：边长为1的正方形的对角线长度无法用两个整数的比例来表示。

这个发现不仅颠覆了毕达哥拉斯学派关于数的理论，也引发了一场关于无理数存在性的哲学争论。

无理数的发现揭示了数学中存在着一类无法用分数精确表示的数，这对当时的数学观念产生了巨大的冲击。

为了解决这个问题，古希腊数学家们发展了无理数的理论，并提出了诸如平方根、立方根等概念。

无理数的发现不仅推动了数学的发展，也促使人们重新审视数学的基础和本质。

二、无穷小量的悖论无穷小量的悖论是数学史上第二次重大危机。

在17世纪，随着微积分的诞生，无穷小量的概念逐渐被引入数学研究。

然而，无穷小量的性质和应用却引发了诸多悖论和争论。

例如，无穷小量是0还是非0？无穷小量乘以无穷大是什么？这些问题困扰着当时的数学家，也对微积分的发展产生了阻碍。

为了解决无穷小量的悖论，数学家们进行了深入的研究和探索。

19世纪，柯西、黎曼等数学家提出了极限的概念，建立了微积分的严格基础。

极限概念的引入不仅解决了无穷小量的悖论，也推动了数学分析的进一步发展。

三、集合论中的罗素悖论集合论中的罗素悖论是数学史上第三次重大危机。

19世纪末，德国数学家康托尔创立了集合论，为数学提供了一个全新的研究对象。

然而，1901年，英国哲学家罗素发现了一个关于集合论的基本悖论：一个集合如果包含所有不包含自身的集合，那么这个集合是否包含自身？罗素悖论揭示了集合论中存在的基本矛盾，对数学的基础产生了严重的挑战。

数学的三次危机

数学的三次危机从哲学上来看，矛盾是无处不存在的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。

数学中有大大小小的许多矛盾，例如正与负、加与减、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。

在整个数学发展过程中，还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷、连续与离散、存在与构造、逻辑与直观、具体对象与抽象对象、概念与计算等等。

在数学史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。

当矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就会产生数学危机。

而危机的解决，往往能给数学带来新的内容、新的发展，甚至引起革命性的变革。

数学的发展就经历过三次关于基础理论的危机。

一、第一次数学危机从某种意义上来讲，现代意义下的数学，也就是作为演绎系统的纯粹数学，来源予古希腊毕达哥拉斯学派。

它是一个唯心主义学派，兴旺的时期为公元前500年左右。

他们认为，“万物皆数”(指整数)，数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界，数学的知识由于纯粹的思维而获得，不需要观察、直觉和日常经验。

整数是在对于对象的有限整合进行计算的过程中产生的抽象概念。

日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各种量，例如长度、重量和时间。

为了满足这些简单的度量需要，就要用到分数。

于是，如果定义有理数为两个整数的商，那么由于有理数系包括所有的整数和分数，所以对于进行实际量度是足够的。

有理数有一种简单的几何解释。

在一条水平直线上，标出一段线段作为单位长，如果令它的定端点和右端点分别表示数0和1，则可用这条直线上的间隔为单位长的点的集合来表示整数，正整数在0的右边，负整数在0的左边。

以q为分母的分数，可以用每一单位间隔分为q等分的点表示。

于是，每一个有理数都对应着直线上的一个点。

古代数学家认为，这样能把直线上所有的点用完。

但是，毕氏学派大约在公元前400年发现：直线上存在不对应任何有理数的点。

特别是，他们证明了：这条直线上存在点p不对应于有理数，这里距离op等于边长为单位长的正方形的对角线。

于是就必须发明新的数对应这样的点，并且因为这些数不可能是有理数，只好称它们为无理数。

数学历史上三大危机

Байду номын сангаас
（Leibniz，1646年—1716年），德国哲学家、数学家。与牛顿一起被认为是微积分的奠基者。
第二次数学危机
• 这是他著名的名言“存在就是被感知”的基本原理。。 • 一回，贝克莱突发奇想，想知道上吊是什么感觉，然后他就上吊了，幸好有朋友及时赶到，救了他一命。 • 贝克莱悖论：无穷小量到底是不是零？
第一次数学危机
• 为庆贺毕达哥拉斯定理（即勾股定理）的发现用了一百头牛设宴，也叫“百牛定理”“蒋铭祖定理”。 • 他认为万物皆数：“1”是万物之母； “2”是对立和否定的原则；“3” 是万物的形体和形式；“4”是正义； “5” 雄性与雌性和结合；“6” 是灵魂；“7”是机会；“8”是和谐，也是爱情和友谊；“9”是理性和强大；“10” 是完满和美好。 • 毕达哥拉斯的得意弟子希帕索斯发现了无理数投进了爱琴海，因为这动摇了学派的根基。
（ Newton 1643年1月4日—1727年3月31日）爵士，英国皇家学会会长，物理学家，百科全书式的“全才”。
第二次数学危机
• 莱布尼茨最大的贡献不是发明微积分，而是发明了微积分中使用的数学符号，他对二进制的发展做出了贡献。 • 2006年7月1日，德国的汉诺威大学正式改名为汉诺威莱布尼茨大学。 • 牛顿与莱布尼茨在微积分上的著作权之争，演变成了英国科学界与德国科学界、乃至与整个欧洲大陆科学界的对抗。
数学曾有过三次危机
历史上，数学的发展有顺利也有曲折。大的挫折也可以叫做危机。危机也意味着挑战，危机的解决就意味着进步。所以，危机往往是数学发展的先导。数学发展史上有三次数学危机。每一次数学危机，都是数学的基础部分受到质疑。实际上，也恰恰是这三次危机，引发了数学上的三次思想解放，大大推动了数学科学的发展。

数学史上的三大数学危机

a
d
t
a mt
d nt
5
实例
① 形数（表示图形所用点的个数）
6
三边形数四边形数五边形数
六边形数
3
4
5
6
6
9
12
15
10
16
22
28
15
25
35
45
1 3 (2n 1) n2
1 5 (4n 3) 2n2 n
1 2 n n(n 1) 2
1 4 (3n 2) n(3n 2) 2
实数理论—极限理论—微积分。而“历史顺序”则正好相反。
29
三、第三次数学危机
1．“数学基础”的曙光——集合论
到19世纪，数学从各方面走向成熟。非欧几何的出现使几何理论更加扩展和完善；实数理论（和极限理论）的出现使微积分有了牢靠的基础；群的理论、算术公理的出现使算术、代数的逻辑基础更为明晰，等等。人们水到渠成地思索：整个数学的基础在哪里？正在这时，19世纪末，集合论出现了。人们感觉到，集合论有可能成为整个数学的基础。
34
罗素悖论是：以 M表示“是其本身成员的
所有集合的集合”（所有异常集合的集合），
而以 N表示“不是它本身成员的所有集合的集
合”（所有正常集合的集合），于是任一集合
或者属于M ，或者属于 N ，两者必居其一，且
只居其一。然后问：集合N 是否是它本身的成员？（集合 N 是否是异常集合？）
35
如果 N 是它本身的成员，则按 M 及 N 的定义，N 是 M 的成员，而不是 N 的成员，即N 不
有公式 S(t) 1 gt ，2 其中 g 是固定的重力加速度。
2
我们要求物体在t 0

数学的三大危机和悖论

•
现得很优秀 ︒
数学体系 ︐ 尽管很多方面表
机 ︐ 就没能完全形成真正的
大国 ︐ 因为没有这次数学危
向不同的路 ︐ 像中国这样的
使得东西方数学体系完全走
大定律 ︒ 正是因为这次危机 ︐
• 下面我来跟大伙聊聊这三次有意思的事件。
第一次数学文化
第一次数学危机发生在公元前500年左右，我感觉跟精确度有关，我们平时用到的数学知识，几乎都只要精确到一定程序就可以了，所以古希腊毕达哥拉斯学派认为，任何一个数都能用a/b的形式来表示，其中a 和b都是整数，这些数在数学上有个专有名词叫有理数。但是有一天，有个叫希帕索斯的学者发现，好像不是这么回事，他作了一个这样的假设，就是等腰直角三角形，如果直边都为1，那么它的斜边(√2)就不满足这个条件。这个证明起来其实很简单，但是对于当时着了迷的毕达哥拉斯派学者来说，这完全不能接受，就好像发现自己一直深爱的很纯洁的美女是绿茶妹一样，这些气急败坏的学者们最后把希帕索斯扔到海里面去了。这就是典型的学术迫害啊。
数学的三大危机和悖论
• 在数学的历史上，有过三次比较重大的危机。
• 第一次是关于无理数的，这次危机把毕达哥拉斯的数学王朝推翻。 • 第二次数学危机是关于微积分的，是常识跟数学之间的契合的问题。
• 第三次数学危机发生在二十世纪初，这次危机涉及到了数学中最基础的大厦，差点把整个数学理论推翻重来。
的地位下降 ︐ 几何学的地位
第一次数学危机使得纯代数

多的学者发现
一个希帕索斯 ︐ ︐ 自然会 ︐ 有更 ︔ √2 √3 √5