数据结构-树
数据结构树知识点总结图
数据结构树知识点总结图一、树的定义树是一种抽象的数据结构，它是由n（n≥0）个节点组成的有限集合，其中一个节点被指定为根节点，其他节点被划分为m（m≥0）个互不相交的子集T1、T2、...、Tm，每个子集本身又是一棵树。
树的定义可以用递归方式来描述，即树是由一个根节点和若干颗子树组成的。
其中，根节点没有父节点，每个子树的根节点都是父节点的孩子节点。
二、树的特点1. 树是一种层次结构：树中的节点可以分层次地组织，也就是包含父子关系。
根节点是树的第一层，它的子节点是树的第二层，以此类推。
2. 树是一种非线性结构：树中的节点之间的关系是非线性的，每个节点可以有多个子节点，但只有一个父节点。
3. 树是一种递归结构：树的定义中包含了对子树的定义，因此树是一种递归结构，通过递归的方式可以方便地对树进行操作。
4. 树是一种有序结构：树中的节点之间存在明确定义的顺序关系，因此可以用来表示有序集合。
三、树的基本操作1. 树的创建：创建一棵树需要先创建根节点，然后在根节点上添加子节点，逐层递归地创建子树。
2. 树的遍历：树的遍历是指按照一定顺序访问树中的每个节点，常见的遍历方式包括前序遍历、中序遍历、后序遍历和层序遍历。
3. 树的查找：树的查找是指在树中查找指定的节点，包括广度优先搜索（BFS）和深度优先搜索（DFS）两种方式。
4. 树的插入：树的插入是指将新节点插入到树中的指定位置，可以在根节点或指定节点的子节点上进行插入操作。
5. 树的删除：树的删除是指将指定节点从树中删除，可以删除叶子节点、中间节点或整棵子树。
6. 树的修改：树的修改是指对树中的节点进行数值或结构的改变，包括修改节点的值、替换子树等操作。
四、常见类型的树1. 二叉树（Binary Tree）：每个节点最多含有两个子节点的树，包括普通二叉树、满二叉树和完全二叉树等。
2. 平衡二叉树（Balanced Binary Tree）：每个节点的左子树和右子树的高度差不超过1的二叉树。
C++数据结构——树（基础知识篇）
C++数据结构——树（基础知识篇）C++数据结构——树（基础知识篇）⽬录1. 简介树是数据结构中的重点，也是我们学习数据结构这门课程中的难点，接下来我们会先来介绍⼀下树这种数据结构中的⼀些基础知识，为我们后⾯的学习打下基础。
本篇博客不涉及代码实现，只有理论知识，所有的代码实现会另起篇幅。
2. 基本结构⼀棵树是N个节点和N-1条边的集合，其中⼀个节点叫做根节点，每条边都将某个节点连接到它的⽗亲，⽽除去根节点外每个节点都只有⼀个⽗亲，每个⼦节点之间互不相交。
3. 基础知识3.1 术语1.节点的度：节点的⼦节点（⼦树）个数。
例如上图中：节点2的度为3，因为它有456三个⼦节点。
2.树的度：树中节点的最⼤的度。
3.叶⼦节点：度为0的节点。
上图中节点45678都是叶⼦节点4.⽗节点：顾名思义，当前节点的⽗亲，就像⼈际关系⼀样，例如：节点1是节点2和节点3的⽗亲。
⼦节点，祖⽗节点，兄弟节点等等之类的以此类推就⾏了。
5.路径和路径长度：路径是⼀个节点序列，是多个节点的集合，⽽路径的长度为路径所包含的边的个数，例如：从节点1到节点4的路径为1-2-4，路径长度为2。
6.节点的层次：规定根节点在第⼀层，其他的节点层次是其⽗节点的层次+1。
7.树的深度：树中最⼤的层次就是树的深度。
8.树的⾼度：与深度相反，⾼度的第⼀层是深度的最后⼀层，树的⾼度与深度⼀致（深度是从上往下数，⾼度是从下往上数）3.2 树的表⽰⽅式树有基本的三种表⽰⽅式，分别是双亲表⽰法、孩⼦表⽰法、孩⼦兄弟表⽰法。
由于双亲表⽰法和孩⼦表⽰法局限太⼤⽽且不常⽤（有兴趣的读者可以⾃⼰去查阅⼀下其他资料），我们重点介绍⼀下孩⼦兄弟表⽰法。
⼜是这张图，我们已经很清楚图中各个节点之间的关系了，⽽这种树的⼦节点个数并不统⼀，有两个的有三个的，这样我们在创建结构体（类）的时候会⼗分困难，那么有没有⼀种⽅法可以让他们的结构统⼀起来呢，这就是我们的孩⼦兄弟表⽰法的由来。
关于数据结构树的举例
关于数据结构树的举例
树是一种常见的数据结构，它有根节点、子节点和叶节点组成。
树的一个重要特点是它可以表达具有层次结构的数据。
以下是一些关于数据结构树的举例：
1. 二叉树：每个节点最多有两个子节点的树结构。
一种常见的应用是二叉搜索树，其中左子节点的值小于父节点的值，右子节点的值大于父节点的值。
2. AVL树：一种自平衡二叉搜索树，用于解决普通二叉搜索
树可能导致的不平衡问题。
AVL树通过旋转操作来使树保持
平衡。
3. 红黑树：另一种自平衡二叉搜索树，也用于解决二叉搜索树可能导致的不平衡问题。
红黑树通过颜色标记节点并进行旋转操作来保持平衡。
4. B树：一种用于在外部存储中组织大量数据的数据结构。
B
树具有多个子节点和键值对，并且在每个节点上有更多的子节点，以减少I/O操作。
5. 堆：一种特殊的树结构，用于快速访问最大或最小元素。
在大根堆中，父节点的值大于或等于子节点的值；在小根堆中，父节点的值小于或等于子节点的值。
6. 树状数组：一种特殊的树结构，用于高效地进行前缀和查询和更新操作。
树状数组通常用于解决区间求和等相关问题。
7. Trie树：一种用于存储和搜索字符串的数据结构。
Trie树逐
个字符存储字符串，并通过每个节点的子节点表示不同的字符。
这些只是数据结构树的一些常见例子，还有许多其他类型的树结构可用于各种应用。
数据结构树教案
数据结构树教案一、教学目标1. 知识目标：理解树的概念、特性及其在数据结构中的应用。
2. 能力目标：掌握树的构建、遍历和查找等基本操作。
3. 情感态度与价值观：培养学生对数据结构的兴趣，提高其解决问题的能力。
二、教学内容1. 树的概念与特性2. 树的表示方法3. 树的构建4. 树的遍历5. 树的查找三、教学难点与重点难点：树的应用和实际操作。
重点：树的构建和遍历。
四、教具和多媒体资源1. 黑板2. 投影仪3. 教学软件：树结构的演示软件。
五、教学方法1. 激活学生的前知：回顾数据结构基础知识，了解学生在树结构方面的知识储备。
2. 教学策略：采用讲解、示范、小组讨论和实践操作相结合的方式，引导学生掌握树结构的基本操作。
3. 学生活动：组织学生进行小组讨论，进行实践操作，加深对树结构的理解。
六、教学过程1. 导入：通过问题导入，如“什么是树？树在数据结构中有什么作用？”等，引发学生的思考。
2. 讲授新课：讲解树的概念、特性、表示方法、构建、遍历和查找等知识，配合教学软件进行演示。
3. 巩固练习：布置相关练习题，让学生进行实践操作，巩固所学知识。
4. 归纳小结：总结本节课所学内容，强调树在数据结构中的重要地位。
七、评价与反馈1. 设计评价策略：通过课堂小测验、小组报告等方式，评价学生对树结构的掌握情况。
2. 为学生提供反馈：根据评价结果，为学生提供针对性的反馈，指导其改进学习方法。
八、作业布置1. 完成教学软件中的练习题。
2. 思考树在实际生活中的应用，写一篇短文。
03、1数据结构第一部分--线性表-树与二叉树
数据结构(一)目录第1章序论 (1)1.1 什么是数据? (1)1.2 什么是数据元素? (1)1.3 什么是数据结构及种类? (1)1.4 数据的逻辑结构 (1)1.5 数据的物理结构 (1)1.6 算法和算法分析 (1)1.7 算法的五个特性 (1)1.8 算法设计的要求 (2)1.9 算法效率的度量 (2)第2章线性表 (3)2.1 线性表举例 (3)2.2 线性表的存储 (4)2.3 线性表-栈 (4)2.4 队列 (4)2.5 双端队列 (6)第3章树和二叉树 (6)3.1 树 (6)3.1.1 树的基本概念 (6)3.1.2 树的常用存储结构 (6)3.1.3 树的遍历 (7)3.2 二叉树 (7)3.2.1 二叉树的基本概念 (7)3.2.2 二叉树与树的区别 (7)3.2.3 树及森林转到二叉树 (7)3.2.4 二叉树的性质 (8)3.2.5 满二叉树 (8)3.2.6 完全二叉树 (8)3.2.7 完全二叉树的性质 (9)3.2.8 二叉树的四种遍历 (9)3.2.9 二叉排序树 (10)3.2.10 平衡二叉树 (11)3.2.11 m阶B-树 (11)3.2.12 最优二叉树 (11)3.2.13 二叉树的存储结构 (12)3.3 广义表 (13)3.4 矩阵的压缩存储 (14)3.4.1 特殊矩阵 (14)3.4.2 压缩存储 (14)第4章历年真题讲解 (15)4.1 2009年上半年 (15)4.2 2009年下半年 (15)4.3 2010年上半年 (15)4.4 2011年上半年 (16)4.5 2011年下半年 (16)4.6 2012年上半年 (17)4.7 2012年下半年 (17)4.8 2013年上半年 (18)4.9 2013年下半年 (18)4.10 2014年上半年 (18)4.11 2014年下半年 (19)4.12 2015年上半年 (19)4.13 2015年下半年 (19)4.14 2016年上半年 (20)第1章序论什么是数据?所有能输入到计算机中并能够被计算机程序处理的符号的总称,它是计算机程序加工的原料。
数据结构练习题--树(题)
第六章树一．名词解释：1 树 2。
结点的度 3。
叶子 4。
分支点 5。
树的度6．父结点、子结点 7兄弟 8结点的层数 9树的高度 10 二叉树11 空二叉树 12 左孩子、右孩子 13孩子数 14 满二叉树 15完全二叉树16 先根遍历 17 中根遍历 18后根遍历 19二叉树的遍历 20 判定树21 哈夫曼树二、填空题1、树（及一切树形结构）是一种“________”结构。
在树上，________结点没有直接前趋。
对树上任一结点X来说，X是它的任一子树的根结点惟一的________。
2、一棵树上的任何结点（不包括根本身）称为根的________。
若B是A的子孙，则称A是B的________3、一般的，二叉树有______二叉树、______的二叉树、只有______的二叉树、只有______ 的二叉树、同时有______的二叉树五种基本形态。
4、二叉树第i(i>=1)层上至多有______个结点。
5、深度为k(k>=1)的二叉树至多有______个结点。
6、对任何二叉树，若度为2的节点数为n2，则叶子数n0=______。
7、满二叉树上各层的节点数已达到了二叉树可以容纳的______。
满二叉树也是______二叉树，但反之不然。
8、具有n个结点的完全二叉树的深度为______。
9、如果将一棵有n个结点的完全二叉树按层编号，则对任一编号为i(1<=i<=n)的结点X有：（1）若i=1,则结点X是______；若i〉1,则X的双亲PARENT(X)的编号为______。
（2）若2i>n，则结点X无______且无______；否则，X的左孩子LCHILD(X)的编号为______。
（3）若2i+1>n，则结点X无______；否则，X的右孩子RCHILD(X)的编号为______。
10.二叉树通常有______存储结构和______存储结构两类存储结构。
11.每个二叉链表的访问只能从______结点的指针，该指针具有标识二叉链表的作用。
数据结构树知识点总结大全
数据结构树知识点总结大全本文将对树结构的知识点进行详细的总结，包括树的基本概念、树的分类、树的遍历、树的应用以及一些相关的算法和数据结构。
通过本文的学习，读者将对树结构有一个全面的了解，并可以在实际的编程和问题解决中灵活运用树结构。
一、树的基本概念1.1 节点和边1.2 根节点、叶子节点和内部节点1.3 子树和森林1.4 高度和深度1.5 有序树和无序树1.6 二叉树二、树的分类2.1 二叉搜索树2.2 平衡二叉树2.3 B树和B+树2.4 红黑树2.5 AVL树2.6 Trie树2.7 堆和堆排序2.8 Huffman树2.9 伸展树2.10 Splay树三、树的遍历3.1 深度优先遍历3.1.1 前序遍历3.1.2 中序遍历3.1.3 后序遍历3.2 广度优先遍历四、树的应用4.1 数据库索引4.2 文件系统4.3 图形学中的场景图4.4 解析树4.5 代码优化4.6 线段树4.7 树状数组4.8 字典树4.9 贝叶斯分类器中的朴素贝叶斯算法五、树的相关算法和数据结构5.1 查找5.1.1 二叉搜索树的插入和删除5.1.2 二叉搜索树的查找5.1.3 递归查找和非递归查找5.2 排序5.2.1 二叉搜索树的中序遍历5.2.2 堆排序5.2.3 AVL树的平衡调整5.2.4 红黑树的插入和删除5.3 最短路径5.3.1 二叉堆的应用5.3.2 AVL树的应用5.4 动态规划5.4.1 线段树的应用5.4.2 树状数组的应用六、结语树结构是数据结构中非常重要的一部分，它有着广泛的应用领域。
通过本文的学习，读者可以对树结构有一个全面的了解，并可以在实际的编程和问题解决中灵活运用树结构。
希望本文对读者有所帮助，也希望读者可以通过学习树结构，提高自己在算法和数据结构方面的能力，为未来的编程之路打下坚实的基础。
数据结构第七章 树和森林
7.5 树的应用
➢判定树
在实际应用中，树可用于判定问题的描述和解决。
•设有八枚硬币，分别表示为a，b，c，d，e，f，g，h，其中有一枚且 仅有一枚硬币是伪造的，假硬币的重量与真硬币的重量不同，可能轻， 也可能重。现要求以天平为工具，用最少的比较次数挑选出假硬币， 并同时确定这枚硬币的重量比其它真硬币是轻还是重。
的第i棵子树。 ⑺Delete（t，x，i）在树t中删除结点x的第i棵子树。 ⑻Tranverse（t）是树的遍历操作，即按某种方式访问树t中的每个
结点，且使每个结点只被访问一次。
7.2.2 树的存储结构
顺序存储结构 链式存储结构 不管哪一种存储方式，都要求不但能存储结点本身的数据 信息，还要能够唯一的反映树中各结点之间的逻辑关系。 1.双亲表示法 2.孩子表示法 3.双亲孩子表示法 4.孩子兄弟表示法
21
将二叉树还原为树示意图
A BCD
EF
A
B
C
E
D
F
A
B
C
E
D
F
22
练习：将下图所示二叉树转化为树
1 2
4
5
3
6
2 4
1 53
6
23
7.3.2 森林转换为二叉树
由森林的概念可知，森林是若干棵树的集合，只要将森林中各棵树 的根视为兄弟，森林同样可以用二叉树表示。 森林转换为二叉树的方法如下：
⑴将森林中的每棵树转换成相应的二叉树。 ⑵第一棵二叉树不动，从第二棵二叉树开始，依次把后一棵二叉树 的根结点作为前一棵二叉树根结点的右孩子，当所有二叉树连起来 后，此时所得到的二叉树就是由森林转换得到的二叉树。
相交的集合T1，T2，…，Tm，其中每一个集合Ti（1≤i≤m）本身又是 一棵树。树T1，T2，…，Tm称为这个根结点的子树。 • 可以看出，在树的定义中用了递归概念，即用树来定义树。因此， 树结构的算法类同于二叉树结构的算法，也可以使用递归方法。
数据结构3(树形结构)
递归定义 二叉树是由“根节点”、“左子树”和“右子树” 三部分构成，则遍历二叉树的操作可分解 为“访问根节点”、“遍历左子树”和“遍历右 子树”三个子操作。 因此，不难得到三种遍历的递归定义：
– 先序遍历：访问根节点；先序遍历左子树；先序遍历 右子树； – 中序遍历：中序遍历左子树；访问根节点；中序遍历 右子树； – 后序遍历：后序遍历左子树；后序遍历右子树；访问 根节点。
二叉树的存储结构：链式存储结构（1）
typedef struct BiTNode { Lchild data Rchild ElemType data; struct BiTNode *Lchild, *Rchild; // 左、右孩子指针 } *BiTree;
二叉树的存储结构：链式存储结构（2） 上面链式结构只能从根向下找，无法直接获 得节点的父节点
– 启示：给定任意两种遍历序列，唯一确定这棵树。
先序遍历：递归伪代码
template<class T> void BinaryTree<T>::PreOrder(BinaryTreeNode<T>*root)｛ if(root!=NULL){ Visit(root); //访问根节点 PreOrder(root->leftchild()); //访问左子树 PreOrder(root->rightchild());//访问右子树 } ｝ 注：Visit(root)是个抽象操作，实际上，“访问”可以在该节点 上做任何操作。
中序遍历：递归伪代码
template<class T> void BinaryTree<T>::PreOrder(BinaryTreeNode<T>*root)｛ if(root!=NULL){ PreOrder(root->leftchild()); //访问左子树 Visit(root); //访问根节点 PreOrder(root->rightchild());//访问右子树 } ｝
数据结构中的树型结构与应用场景分析
数据结构中的树型结构与应用场景分析在计算机科学中，数据结构中的树是一种重要的数据结构，它具有树状的形态，由节点和边组成。
树型结构在很多实际应用中具有广泛的应用场景，本文将分析树型结构的基本概念、应用场景以及其在实际应用中的优势。
一、树型结构的基本概念树是由节点和边组成的一种非线性数据结构。
它包含一个根节点和若干个子节点，子节点可以再分为更多的子节点，形成树形结构。
树中的节点可以有任意多个子节点，但每个节点最多只能有一个父节点。
常见的树型结构有二叉树、二叉搜索树、AVL树等。
二、树型结构的应用场景1. 文件系统文件系统通常采用树型结构来组织文件和目录之间的关系。
根节点表示根目录，每个节点代表一个文件或目录，子节点表示文件夹中的文件或子目录。
这种树型结构可以方便地进行文件的查找、添加和删除操作，实现了高效的文件管理。
2. 数据库管理系统数据库管理系统中使用B树和B+树作为索引结构，以实现高效的数据访问。
这些树型结构可以帮助实现数据的快速查找和排序，提高数据库的性能。
在数据库中，还可以使用树型结构来表示表与表之间的关系，如关系型数据库中的外键关系。
3. 网络路由计算机网络中的路由表常常使用树型结构来存储和查找路由信息。
每个节点表示一个网络节点，子节点表示与该节点相连的其他节点。
通过遍历树，可以确定数据包的最佳路径，实现路由的选择和数据转发。
4. 组织架构和人际关系在企业或组织中，可以使用树型结构来表示组织架构和人际关系。
树的根节点表示组织的最高层级，子节点表示下一级别的部门或员工。
这种树型结构可以方便地查看和管理组织内部的层级关系，帮助实现高效的组织管理。
5. 无线传感器网络无线传感器网络中的节点通常采用分层式的树型结构组织。
树的根节点是数据聚集点，每个子节点负责采集和传输数据。
通过树的结构，可以实现分布式的数据收集和处理，减少网络通信开销，提高网络的稳定性和可靠性。
三、树型结构的优势1. 高效的数据组织和检索：树型结构可以以较高的效率进行数据的组织和检索，具有较快的查找和插入速度。
6.4数据结构---树的深度
6.4数据结构---树的深度⼀、最⼤深度1.⼆叉树的最⼤深度 leetcode104给定⼀个⼆叉树，找出其最⼤深度。
⼆叉树的深度为根节点到最远叶⼦节点的最长路径上的节点数。
说明: 叶⼦节点是指没有⼦节点的节点。
⽰例：给定⼆叉树 [3,9,20,null,null,15,7]，3/ \9 20/ \15 7返回它的最⼤深度 3思路1：深度优先搜索（递归）终⽌条件：如果⼆叉树为空,则深度为0；递归体：如果不为空,分别求左⼦树的深度和右⼦树的深度,取最⼤的再加1def maxDepth(root):""":type root: TreeNode:rtype: int"""if root == None:return 0leftDepth = maxDepth(root.left) + 1rightDepth = maxDepth(root.right) + 1return leftDepth if leftDepth > rightDepth else rightDepth思路2：把树看做是图，⽤dfs求最长长度的路径from collections import defaultdictdef maxDepth2(nodes):#输⼊:nodes [3,9,20,null,null,15,7]#由节点列表构造图的邻接表def define_graph(arr):neig_dict = defaultdict(list)for i in range(len(arr)):if arr[i] != None:if (2*i+1) <= len(arr)-1 and arr[2*i+1]:#如果左节点存在neig_dict[arr[i]].append(arr[2*i+1])if (2*i+2) <= len(arr)-1 and arr[2*i+2]:#如果右节点存在neig_dict[arr[i]].append(arr[2*i+2])if (i-1)//2 >= 0 and arr[(i-1)//2]:#左⼦树的⽗节点neig_dict[arr[i]].append(arr[(i-1)//2])elif (i-2)//2 >= 0 and arr[(i-2)//2]:#右⼦树的⽗节点neig_dict[arr[i]].append(arr[(i-2)//2])return neig_dict#遍历邻接表,返回⼀次遍历的长度def dfs(nei_dict,i,visit):for j in nei_dict[i]:if j not in visit:visit.add(j)dfs(neig_dict,j,visit)return len(visit)neig_dict = define_graph(nodes)init_node = nodes[0]#图的起始点visit = set()visit.add(init_node)max_len = 0for i in neig_dict[init_node]:#遍历初始点的所有邻接点visit.add(i)max_len = max(dfs(neig_dict,i,visit),max_len)print('visit',visit)visit = set()#每遍历完⼀条路径之后,都要重新定义visitvisit.add(init_node)return max_len# res = maxDepth2([3,9,20,None,None,15,7])# print("最⼤深度",res)思路3：层次遍历，计算有多少层，即为树的深度def maxDepth_leverOrder(arr,arr_level):def levelOrder(arr,i,arr_lever):#i是当前节点是index#先序遍历树的每⼀个节点,当前节点的层数等于上⼀层加⼀if (i-1)//2 >= 0 and arr[(i-1)//2]:#左节点存在arr_lever[i] = arr_lever[(i-1)//2] + 1#等于⽗节点层数加⼀elif (i-1)//2 >= 0 and arr[(i-1)//2]:#右节点存在arr_lever[i] = arr_lever[(i-1)//2] + 1for i in range(1,len(arr)):#遍历除了根节点的其他节点if arr[i] == None:continueelse:levelOrder(arr,i,arr_level)arr = [3,9,20,None,None,15,7]if len (arr) == 1:print(1)else:arr_level = defaultdict(int)arr_level[0] = 1 # 根节点为第⼀层print ('arr_level before',arr_level)maxDepth_leverOrder(arr,arr_level)print('arr_level after',arr_level)print('深度',max(arr_level.items(),key=lambda x:x[1]))#5,3==> 树在列表中的index值,对应的深度def level_Order_init(root):# 层次遍历的递归写法def maxDepth_leverOrder_recur(level, result, node):if node:print('level=%s,result长度=%s'%(level,len(result)))#level<len(result)，说明有下⼀层,但是还没放数据#level=len(result)，说明有下⼀层且该层数据已经遍历完if level == len(result):#说明该层数据已经遍历完成,下⼀步要遍历下⼀层的数据result.append([])result[level].append(node.val)#该层maxDepth_leverOrder_recur(level+1,result,node.left)#左,下⼀层maxDepth_leverOrder_recur(level+1,result,node.right)#右,下⼀层level,result = 0,[]maxDepth_leverOrder_recur(level,result,root)print('深度',len(result))return resultL1 = TreeNode(3)L2 = TreeNode(9)L3 = TreeNode(20)L4 = TreeNode(15)L5 = TreeNode(7)L1.left = L2L1.right = L3L2.left = NoneL2.right = NoneL3.left = L4L3.right = L5res = level_Order_init(L1)print(res)2.N叉树的最⼤深度 leetcode559题⽬：给定⼀个N叉树，找到其最⼤深度。
自考软件基础(数据结构--树与二叉树)
B
C
D
E
F
G
H
I
J
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第二节 二叉树
一、定义
南昌大学
二叉树是一种重要的树形结构，它的特点是：二叉树可以为空（节点个
数为0），任何一个节点的度都小于或等于2，并且，子树有左、右之分，
其次序不能任意颠倒。 二叉树有5种基本形态，如图10-2所示。
第 6 /209页
第二节 二叉树
南昌大学
struct node
{ datatype data； struct node *Lchild,*rchild：
}；
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第二节 二叉树
南昌大学
例10-5 写出图10-8a所示二叉树的链式存储结构。其链式结构如图10-8b 所示。可以看出：具有n个节点的二叉树链式存储共有2n个链，其中只 有n-1个用来存放该节点的左、右孩子，其余的n +1个指针域为空。
解：第一步：由后序遍历结果确定整个二叉树根为A，由中序结果确定
A的左、右子树。 后序遍历结果： 中序遍历结果：
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第三节 二叉树的遍历
第二步：确定A的左子树。 1)后序遍历结果：
南昌大学
中序遍历结果：
2）确定B的右子树： ①后序遍历结果：
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第三节 二叉树的遍历
②中序遍历结果：
南昌大学
第 9 /209页
第二节 二叉树
下面介绍两种特殊的二叉树。
南昌大学
(1) 满二叉树指深度为k，且有2k-1个节点的二叉树。或者说除叶子节点外，
其它节点的度都为2的二叉树。
(2) 完全二叉树一个满二叉树的最下层从右向左连续缺少n (n>=0)个节点 的二叉树。 图10-3为满二叉树和完全二叉树示例。
《数据结构——C语言描述》第6章：树
先根遍历: -+a*b–cd/ef 中根遍历: a+b*c–d–e/f 后根遍历: abcd-*+ef/-
typedef struct Node { datatype data; struct Node *Lchild; struct Node *Rchild; } BTnode,*Btree;
满二叉树：一棵深度为k且有2k-1个结 点的二叉树称为满二叉树。 完全二叉树：深度为k，有n个结点的 二叉树当且仅当其每一个结点都与深度 为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一 对应时，称为完全二叉树。
1 2 4 8 9 10 5 11 12 6 13 14 3 7 15 4 6 2
1 3 5 7
树的度：树中最大的结点的度数即为 树的度。图6.1中的树的度为3。 结点的层次(level)：从根结点算起， 根为第一层，它的孩子为第二层……。 若某结点在第l层，则其孩子结点就在 第l+1层。图6.1中，结点A的层次为1， 结点M的层次为4。 树的高度(depth)：树中结点的最大层 次数。图6.1中的树的高度为4。 森林(forest)：m(m≥0)棵互不相交的 树的集合。
非线性数据结构——树
⾮线性数据结构——树树⾮线性数据结构定义：也就是每个元素可以有多个前驱和后继。
树是⼀种⾮线性结构。
它可以有两种定义。
第⼀种：树是n（n>=0，n为0时，称为空树）个元素的集合，它只有⼀个特殊的没有前驱的元素，这个元素成为树的根（root），⽽且树中除了根节点外，其余的元素都只能有⼀个前驱，可以有0个或者多个后继。
第⼆种递归定义：树T是n（n>=0，n为0时，称为空树）个元素的集合，它有且只有⼀个特殊元素根，剩余元素都可以被划分为M个互不相交的集合T1,T2,T3……、Tm,⽽每⼀个集合都是树，称为T的⼦树subtree,同时，⼦树也有⾃⼰的根。
维基百科是这样定义的：树中的概念结点：树中的数据元素，也就是上图中的,A,B,C,D,E,F,G……结点的度degree：节点拥有的⼦树的数⽬称为度，记作d(v)。
叶⼦结结：节点的度为0，称为叶⼦节点leaf，终端节点，末端节点。
分⽀结点：节点的度不为0，称为⾮终端节点或分⽀节点。
分⽀：节点之间的关系。
内部节点：除根节点外的分⽀节点，当然也不包括叶⼦节点。
树的度：树内各节点的度的最⼤值，⽐如下⾯这个图D节点的度最⼤为3，所以树的度数就是3.孩⼦（⼉⼦child）节点：节点的⼦树的根节点成为该节点的孩⼦。
双亲（⽗parent）节点：⼀个节点是他各⼦树的根节点的双亲。
兄弟（sibling）节点：具有相同双亲节点的节点。
祖先节点：从根节点到该节点所经分⽀上所有的节点，上图中A,B,D就都是G的祖先节点。
⼦孙节点：节点的所有⼦树上的节点都成为该节点的⼦孙，⽐如上图中，B节点的⼦孙有D,G,H,I。
节点的层次(level)：根节点为第⼀层，根的孩⼦为第⼆层，以此类推，记作l(v).树的深度（⾼度depth）：树的层次的最⼤值，上图中的树深度为4.堂兄弟：双亲在同⼀层的节点，堂兄弟的双亲不⼀定是兄弟。
有序树：节点的⼦树是有顺序的（兄弟有⼤⼩，有先后次序，不能交换），⽆序树：节点的⼦树是⽆序的，可以交换。
第四篇 数据结构-树
第十章非线性结构—树和图第九章讨论的线性表（包括栈、队列、与串）属于线性结构。
在这种结构中，不管其存储方式如何，数据元素的逻辑位置之间呈线性关系，每一个数据元素通常只有一个前件（除第一个元素外）和一个后件（除最后一个元素外）。
在实际生活中，可以用线性结构描述数据元素之间逻辑关系的问题是很广泛的，但也有很多问题不能依靠线性结构来解决，因此在这类问题中，数据元素间的逻辑关系不能用线性结构明确、方便地描述出来。
一般来说，至少存在一个结点（数据元素）有多于一个前件或后件的数据结构称为非线性结构。
具有非线性结构特征的数据结构有两种1.⑴树2.⑵图§10.1 树例如某学校试图将学生成绩表中的百分制成绩转换成五个等级，其中成绩0～59分为不及格，60～69分为及格，70～79分为中，80～89分为良，90～100分为优。
现有n个学生的百分制成绩，如何将他们的成绩转换成五级分制。
下图揭示了一个百分制成绩的判定转换过程。
对于这样一张简单的表，已经不能用线性结构来表示。
因为表中数据元素可能有两个后件，它们之间的关系已经不是线性的了。
上图中所示的表是一个非线性结构。
由该图可以看出，虽然每一个结点可能有多个后件，但它们的前件却只有一个（第一个结点无前件）。
这种非线性结构称为树，树表示了数据元素之间的层次关系，而这种层次关系仿佛像一棵倒长的树。
下面讨论树的基本概念，其中重点讨论的是二叉树。
一、.树的概念1、树的定义树是一种常见的非线性的数据结构。
树的递归定义如下：树是n(n>0)个结点的有限集，这个集合满足以下条件：⑴有且仅有一个结点没有前件（父亲结点），该结点称为树的根；⑵除根外，其余的每个结点都有且仅有一个前件；⑶除根外，每一个结点都通过唯一的路径连到根上。
这条路径由根开始，而未端就在该结点上，且除根以外，路径上的每一个结点都是前一个结点的后件（儿子结点）；由上述定义可知，树结构没有封闭的回路。
下图给出了树的几个示例：2、结点的分类在树中，一个结点包含一个元素以及所有指向其子树的分支。
常见基本数据结构——树，二叉树，二叉查找树，AVL树
常见基本数据结构——树，⼆叉树，⼆叉查找树，AVL树常见数据结构——树处理⼤量的数据时，链表的线性时间太慢了，不宜使⽤。
在树的数据结构中，其⼤部分的运⾏时间平均为O(logN)。
并且通过对树结构的修改，我们能够保证它的最坏情形下上述的时间界。
树的定义有很多种⽅式。
定义树的⾃然的⽅式是递归的⽅式。
⼀棵树是⼀些节点的集合，这个集合可以是空集，若⾮空集，则⼀棵树是由根节点r以及0个或多个⾮空⼦树T1,T2,T3,......,Tk组成，这些⼦树中每⼀棵的根都有来⾃根r的⼀条有向的边所连接。
从递归的定义中，我们发现⼀棵树是N个节点和N-1条边组成的，每⼀个节点都有⼀条边连接⽗节点，但是根节点除外。
具有相同⽗亲的节点为兄弟，类似的⽅法可以定义祖⽗和孙⼦的关系。
从节点n1到nk的路径定义为节点n1，n2，...，nk的⼀个序列，并且ni是ni+1的⽗亲。
这个路径的长是路径上的边数，即k-1。
每个节点到⾃⼰有⼀条长为0的路径。
⼀棵树从根到叶⼦节点恰好存在⼀条路径。
对于任意的节点ni，ni的深度为从根到ni的唯⼀路径长。
ni的⾼是从ni到⼀⽚叶⼦的最长路径的长。
因此，所有的树叶的⾼度都是0，⼀棵树的⾼等于它的根节点的⾼。
⼀棵树的深度总是等于它最深叶⼦的深度；该深度等于这棵树的⾼度。
树的实现实现树的⼀种⽅法可以是在每⼀个节点除数据外还要有⼀些指针，使得该节点的每⼀个⼉⼦都有⼀个指针指向它。
但是由于每个节点的⼉⼦树可以变化很⼤⽽且事先不知道，故在各个节点建⽴⼦节点的链接是不可⾏的，这样将会浪费⼤量的空间。
实际的做法很简单：将每个节点的所有⼉⼦都放在树节点的链表中。
下⾯是典型的声明：typedef struct TreeNode *PtrToNodestruct TreeNode{ ElementType Element; PtrToNode FirstChild; PtrToNode NextSibling}下⾯是⼉⼦兄弟表⽰法的图⽰：树的遍历及应⽤⼀个常见的使⽤是操作系统中的⽬录结构。
数据结构 第六章-树
20
A B C D
E
F
G H
I J
A
E F H
G
B C
D A
I J
A
B C F
E H
G
B C D F
E G H I J
21
I
D
J
5. 二叉树转换成树和森林
二叉树转换成树 1. 加线：若p结点是双亲结点的左孩子，则将p的右孩 子，右孩子的右孩子，……沿分支找到的所有右孩 子，都与p的双亲用线连起来 2. 抹线：抹掉原二叉树中双亲与右孩子之间的连线 3. 调整：将结点按层次排列，形成树结构7Fra bibliotek6.3.2
树和森林的存储结构
树的存储结构有很多，既可以采用顺序存储结构， 也可以采用链式存储结构。但无论采用哪种存储方式， 都要求存储结构不仅能存储各结点本身的数据信息，还 要能惟一地反映树中各结点之间的逻辑关系。 双亲表示法 孩子链表表示法 孩子兄弟表示法
8
1.双亲表示法 除根外，树中的每个结点都有惟一的一个双亲结点，所以可以用一 组连续的存储空间存储树中的各结点。一个元素表示树中一个结点， 包含树结点本身的信息及结点的双亲结点的位臵。 A B E F C G H D I
}CTBox;
//树结构 typedef struct {CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE]; int n, r; }Ctree
12
3. 孩子-兄弟表示法（树的二叉链表）
孩子兄弟表示法用二叉链表作为树的存储结构。将树中的多支关系用 二叉链表的双支关系体现。 ※ 结点的左指针指向它的第一个孩子结点
//孩子结点结构 typedef struct CTNode
1 2 3 4 5 6
数据结构--树 ppt课件
A BC D
树的度::=
madxeg (nro)ed ee
no tdreee
例如, degree of this tree = 3.
父节点（Parent） ::= 有子树的节点是 其子树根节点的父节点。
E F G HI J
KL
M
子节点（Child） ::= 若A节点是B节点的父节点，则B节点是A节点 的子节点，也叫孩子节点。
A BC D E F G HI J
KL
M
B
E
F
A
C
G
H
D
I
J
§1 预备知识
因此，每个节点的大小取决于 子树数目。噢，这样并不太好！ K L M
§1 预备知识
❖ 儿子-兄弟表示法
Element FirstChild NextSibling
A BC D E F G HI JFra bibliotekKLM
A
N
B
C
D
N
E
F G HI J
第四章 树
§1 预备知识
客观世界中许多事物存在层次关系 ◦ 人类社会家谱 ◦ 社会组织结构 ◦ 图书信息管理
图书
哲
学
…
宗
教
文 学
医 药 卫
农 业 科
工 业 技
生学术
综
…
合
哲 学 理
世
欧
界 哲
…
洲 哲
宗 教
论学
学
电 工 技 术
计 算… 机
建 筑 科 学
水 利 工 程
宗 教 分 析 研 究
宗 教… 理 论 与 概 况
} }
T ( N ) = O( N )
数据结构中的树、图、查找、排序
数据结构中的树、图、查找、排序在计算机科学中，数据结构是组织和存储数据的方式，以便能够有效地对数据进行操作和处理。
其中，树、图、查找和排序是非常重要的概念，它们在各种算法和应用中都有着广泛的应用。
让我们先来谈谈树。
树是一种分层的数据结构，就像是一棵倒立的树，有一个根节点，然后从根节点向下延伸出许多分支节点。
比如一个家族的族谱，就可以用树的结构来表示。
最上面的祖先就是根节点，他们的后代就是分支节点。
在编程中，二叉树是一种常见的树结构。
二叉树的每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。
二叉搜索树是一种特殊的二叉树，它具有特定的性质，即左子树中的所有节点值都小于根节点的值，而右子树中的所有节点值都大于根节点的值。
这使得在二叉搜索树中查找一个特定的值变得非常高效。
二叉搜索树的插入和删除操作也相对简单。
插入时，通过比较要插入的值与当前节点的值，确定往左子树还是右子树移动，直到找到合适的位置插入新节点。
删除节点则稍微复杂一些，如果要删除的节点没有子节点，直接删除即可；如果有一个子节点，用子节点替换被删除的节点；如果有两个子节点，通常会找到右子树中的最小节点来替换要删除的节点，然后再删除那个最小节点。
接下来，我们聊聊图。
图是由顶点（也称为节点）和边组成的数据结构。
顶点代表对象，边则表示顶点之间的关系。
比如，社交网络中的用户可以看作顶点，用户之间的好友关系就是边。
图可以分为有向图和无向图。
有向图中的边是有方向的，就像单行道；无向图的边没有方向，就像双向车道。
图的存储方式有邻接矩阵和邻接表等。
邻接矩阵用一个二维数组来表示顶点之间的关系，如果两个顶点之间有边，对应的数组元素为 1，否则为 0。
邻接表则是为每个顶点建立一个链表，链表中存储与该顶点相邻的顶点。
图的遍历是图算法中的重要操作，常见的有深度优先遍历和广度优先遍历。
深度优先遍历就像是沿着一条路一直走到底，然后再回头找其他路；广度优先遍历则是先访问距离起始顶点近的顶点，再逐步扩展到更远的顶点。
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第i层上最大结点数是第i-1层的2倍，即2 2i2 2i1
故命题得证
2、性质2
一颗深度为k的二叉树中，最多有2k-1个结点(k1)
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证明：由性质1，可得深度为k 的二叉树最大结点数是：
k
k
(第i层的最大结点数 ) 2i1 2k 1
i 1
i 1
3、性质3： 对任何一棵二叉树，如果其叶子结点
结点A的度：3 结点B的度：2 结点M的度：0 树的度：3
A
B
C
D
结点A的层次：1 结点M的层次：4
结点A的孩子：B，C，D 结点B的孩子：E，F
E
F GH I J
KL
M
图5.2
叶子：K，L，F，G，M，I，J
树的深度：4
结点I的双亲：D 结点L的双亲：E
结点B，C，D为兄弟 结点K，L为兄弟
结点F，G为堂兄弟 结点A是结点F，G的祖先
§5.1 树的定义和基本术语
一、树的定义 树是由n个结点构成的有限集合。 当n=0时，称为空树。 在一棵非空树中（n>0）中，有且仅有
一个特定的结点，称根的结点；其余结点 可T棵2…分树…,为且Tm称m个，为（其根m中的≥，0子）每树互一。不个相集交合的本集身合又T是1，一
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※ 特点：
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※结点的层次(level)——从根结点算起，根为第一 层，它的孩子为第二层…… ※深度(depth)——树中结点的最大层次数 ※森林(forest)——m(m0)棵互不相交的树的集合 ※有序树－ 树中结点的各子树从左到右是有次序的， 否则为无序树。
例： 如下图5.2所示，回答问题：
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第五章 树
本章内容： * 树的定义和基本操作； * 二叉树的定义及遍历、存储结构； * 树的应用；
重点： * 树的定义 * 二叉树的定义及遍历序列
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内容
§5.1 树的定义和基本术语 §5.2 二叉树的定义及存储结构 §5.3 二叉树的遍历 §5.4 树的存储 §5.5 树的应用
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特点：
※深度为k的完全二叉树，其前k-1层是一颗 满二叉树；
上。
※最后第k层的结点都尽量排在靠左的位置
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二、二叉树的性质
1、性质1： 在二叉树的第 i层上至多有 2i1个结点(i 1)
证明：用归纳法证明之
i=1时，只有一个根结点，2i1 20 1 是对的
假设对所有j(1j<i)命题成立，即第j层上至多有 2 j1个结点 那么，第i-1层至多有 2 i 2 个结点
n0=n2+1
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4、性质4：
具有n个结点的完全二叉树的 深度为log 2 n 1
5、性质5：
如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结 点按层序编号，则对任一结点i(1in)， 有：
(1) 如果i=1，则结点i是二叉树的根，无 双亲；如果i>1，则其双亲是i/2 (2) 如果2in，则其左孩子是2i；如果 2i>n，则结点i无左孩子； (3)如果2i+1n，则其右孩子是2i+1； 如果2i+1>n，则结点i无右孩子；
• 树中至少有一个结点—根,它没有前驱结点， 除根结点之外的所有结点有且只有一个前 驱结点；
• 树中各子树是互不相交的集合，树中所有 结点可以有零个或多个后继结点。
任意有限两集个合集T合1，不T能2…有…相T重m应的该结“点互。不相交”，即 ※ 树的各个结点有不同层次关系，这种关系通常用
图形表示，但与自然界的树木相反，习惯上将整 棵树的根画在最上层，如图5.1所示
数为n0，度为2的结点数为n点数 因为：二叉树中所有结点的度均小于或等于2 所以：其结点总数n=n0+n1+n2 又二叉树中，除根结点外，其余结点都只有一个分支进入
设B为分支总数，则n=B+1 又：分支由度为1和度为2的结点射出，B=n1+2n2 于是，n=B+1=n1+2n2+1=n0+n1+n2
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※ 特点： (1)每个结点至多有二棵子树(即不存在度大于2的
结点);
(2)二叉树的子树有左、右之分，且其次序不能任 意颠倒;
一般地，二叉树有五种基本形态，如图5.3所示。
A
A
A
A
空二叉树
只有根结点 的二叉树
B 右子树为空
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B
B
C
左子树为空
左、右子树 均非空
图5.3
2、二叉树的基本操作
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§5.2 二叉树
一、二叉树的定义和基本操作 1、二叉树的定义
一个二叉树是n个结点的有限集合（n≥0），此 集合或者是空集（n=0），或者是由一个根结点及 两棵互不相交的、分别称为左子树和右子树的二叉 树组成。
由上述定义可知，二叉树可以是空集，其根可以 有空的左子树或右子树，或者左、右子树皆为空。
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三、树的表示方法
a
1、直观表示法：图5.3表示法
b
2、文氏图法：
d ef
c gh
b
e
d
ij
ij
a
f
gh
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3、嵌套括号法
a ( b ( d, e ( i, j ), c ( g, h ) ) )
4、凹入表示法
a b d e i j f c g h
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四、树的基本操作 见书上P68
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子树
只有根结点的树 A
有子树的树 A
根
B
C
D
E
F GH I J
KL
M
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图5.1
二、树的相关术语
❖结点(node)——表示树中的元素，包括数据 项及若干指向其子树的分支 ❖结点的度(degree)——结点拥有的子树个数 ❖叶子(leaf)——度为0的结点 ❖孩子(child)——结点子树的根称为该结点的 孩子 ❖双亲(parents)——孩子结点的上层结点叫该 结点的~ ❖兄弟(sibling)——同一双亲的孩子 ❖树的度——一棵树中最大的结点度数
满二叉树
1
2
3
4
5
6
7
8 9 10 11 12 13 14 15
1
2
3
4
5
6
7
8 9 10 11 12
完全二叉树
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1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
(2)完全二叉树：
定义：一颗深度为k，有n个结点的二叉树当且 仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号 （自左而右）从1至n的结点一一对应时，称为~。
见书上P70 3、几种特殊的二叉树
(1)满二叉树：
定义1：在一个二叉树中，若第i层的结 点数为2i-1，则称此层的结点数是满的，当树 中的每一层都是满的，则称此二叉树为满二 叉树。
定义2：如果一个二叉树中，除最下一 层的各结点度数为0以外，其它各层结点的度 数均等于2，则此二叉树为满二叉树。
特点：每一层上的结点数都是最大结点数。 跳转到第一页